ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.545-553
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.642.7
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО СЛАБО
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В РАЗНЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
© 2022 г. Г. А. Расолько, В. М. Волков
Рассматривается сингулярное интегральное уравнение с логарифмической особенностью,
использующееся в математической модели рассеяния E-поляризованных электромагнит-
ных волн. Для численного анализа его решений из разных функциональных классов Му-
схелишвили построены четыре вычислительные схемы, основанные на представлении части
искомой функции в виде линейной комбинации ортогональных многочленов Чебышёва и
спектральных соотношениях, что позволяет получить простые аналитические выражения
для сингулярной составляющей уравнения. Коэффициенты разложения решения по базису
полиномов Чебышёва вычисляются как решение соответствующей системы линейных ал-
гебраических уравнений. Результаты численных экспериментов показывают, что на сетке
из 20-30 узлов погрешность приближённого решения не превышает вычислительной по-
грешности.
DOI: 10.31857/S0374064122040100, EDN: CAKLSU
Введение. Аппарат интегральных уравнений широко используется при решении приклад-
ных задач аэродинамики, дифракции и многих других областей естествознания. Точность
приближённого численного решения интегральных уравнений в существенном определяется
способом их дискретизации, т.е. выбором квадратурных формул, базисных функций и узлов
аппроксимации, с помощью которых исходная задача сводится при численном интегрировании
к системе линейных алгебраических уравнений приемлемой размерности и обусловленности.
Для сингулярных интегральных уравнений, вследствие наличия особенностей в подынтеграль-
ных функциях, требуется максимально учитывать специфику задачи.
Данная работа является продолжением исследований [1-5], посвящённых разработке вы-
числительных схем приближённого решения сингулярных интегро-дифференциальных урав-
нений с использованием ортогональных многочленов Чебышёва.
1. Постановка задачи. Математическое описание рассеяния E-поляризованных электро-
магнитных волн криволинейным экраном сводится к решению сингулярного интегрального
уравнения со слабой особенностью вида (см. [6, с. 85])
∫
1
∫
1
1
1
ϕ(t) ln |t - x| dt +
ϕ(t)K(x, t) dt = f(x),
-1 < x < 1.
(1)
π
π
−1
-1
Здесь K(x, t) - известная функции из класса Гёльдера Hμ, 0 < μ ≤ 1, по обоим аргументам,
f (x) ∈ Hμ, ϕ(x) - неизвестная функция.
Обзор результатов исследований по вопросам разрешимости уравнений вида (1) в различ-
ных функциональных классах приведён в [6]. В частности, если f(x) - непрерывная функ-
ция с ограниченной производной, то уравнение (1) имеет единственное решение, которое при-
надлежит функциональному классу h(0) Мусхелишвили и представляется в виде ϕ(x) =
√
= v(x)/
1 - x2, где v(x) ∈ Hμ. Там же [6, с. 85, 58] рассматривается квадратурный метод
приближённого решения уравнения (1) в классе h(0), который использует известные спек-
тральные соотношения для слабо сингулярного интеграла
1
∫
1
Tk(t)
√
ln |t - x| dt = αkTk(x), k ∈ N
⋃ {0},
(2)
π
1-t2
−1
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
546
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
где α0 = - ln 2, αk = -1/k, k ∈ N, а Tk(x) = cos(k arccos x) - многочлены Чебышёва первого
рода, x ∈ [-1, 1].
В данной работе предлагаются алгоритмы численного решения уравнения (1) в разных
функциональных классах Мусхелишвили методом ортогональных многочленов. Этот метод
основан на использовании для входящих в уравнение интегралов спектральных (квазиспек-
тральных) соотношений, позволяющих получить аналитические выражения для сингулярных
интегралов, не прибегая к квадратурным формулам.
2. Предварительные сведения. В монографии [7, с. 31] определены классы функций
h(-1), h(0), h(1) и h(-1, 1). Согласно [7] функция принадлежит классу h(-1), если она
определена на полуинтервале [-1, 1), на каждом отрезке [-1, 1 - ε], где ε > 0 - любое до-
статочно малое число, удовлетворяет условию Гёльдера и в окрестности точки x = 1 имеет
интегрируемую особенность. Функция ψ(x) принадлежит классу h(1), если функция ψ(-x)
принадлежит классу h(-1). Функция принадлежит классу h(0), если она определена на ин-
тервале (-1, 1), на каждом отрезке [-1 + ε, 1 - ε], где ε > 0 - любое достаточно малое число,
удовлетворяет условию Гёльдера и в окрестности точек x = ±1 имеет интегрируемую осо-
бенность. Класс h(-1, 1) состоит из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на любом
отрезке интервала (-1, 1) и ограниченных в окрестности точек ±1.
Для произвольной непрерывной функции f(x), x ∈ [-1, 1], используем приближённое пред-
ставление в виде интерполяционного многочлена по узлам Чебышёва первого рода [8, с. 104]
∑
f (x) ≈ fn(x) =
FnjTj(x),
(3)
j=0
где
∑
∑
1
2
Fn0 =
f (xk), Fnj =
f (xk)Tj (xk), j = 1, n,
n+1
n+1
k=0
k=0
(
)
2k + 1
xk = cos
π
,
k = 0,n.
2n + 2
Для разложения функции f(x) по многочленам Чебышёва второго рода Uk(x) восполь-
зуемся в представлении (3) известными тождествами [7, с. 23]:
T0(x) = U0(x),
2T1(x) = U1(x),
2Tj (x) = Uj (x) - Uj-2(x), j ≥ 2.
В результате будем иметь
∑
fn(x) =
fnjUj(x),
(4)
j=0
здесь
fnj = Gnj - Gnj+2, j = 0,n - 2, fnn-1 = Gnn-1, fnn = Gnn,
∑
1
2k + 1
Gnj =
f (xk)Tj (xk), j = 0, n, xk = cos
π, k = 0,n.
n+1
2n + 2
k=0
Используя разложения (3) и (4), несложно построить следующие интерполяционные мно-
гочлены Kn,n(x, t) функции двух переменных K(x, t):
∑
∑
Kn,n(x,t) =
Tm(x) Tj(t)k∗m,j,
(5)
m=0
j=0
где
{
∑
∑
δmδj
1, q = 0,
2k + 1
k∗m,j =
Tm(xl)
K(xl, xr)Tj (xr), δq =
xk = cos
π, k = 0,n;
(n + 1)2
2, q = 0,
2n + 2
l=0
r=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
547
∑
∑
Kn,n(x,t) =
Um(x) km,jUj(t),
(6)
m=0
j=0
где
∑
∑
1
km,j =
(Tm(xl) - σmTm+2(xl))
K(xl, xr)(Tj (xr) - θjTj+2(xr)),
(n + 1)2
l=0
r=0
{
{
(
)
1, j = 0, n - 2,
1, m = 0, n - 2,
2k + 1
θj =
σm =
xk = cos
π
,
k = 0,n.
0, j = n - 1, n,
0, m = n - 1, n,
2n + 2
3. Приближённое решение уравнения (1) в классе h(0). Приближённое решение
ϕn(x) уравнения (1) будем искать как решение следующего уравнения относительно новой
неизвестной функции vn(x):
∫
1
∫
1
1
1
1
1
√
vn(t)ln |t - x|dt +
√
vn(t)Kn,n(x,t)dt = fn(x),
|x| < 1,
(7)
π
1-t2
π
1-t2
-1
−1
где Kn,n(x, t)- интерполяционный многочлен функции K(x, t) степени n по обеим перемен-
ным вида (5), fn(x)- интерполяционный многочлен (3) степени n функции f(x). Тогда
1
ϕn(x) =
√
vn(x).
(8)
1-x2
Отметим, что уравнение (7), как и уравнение (1), разрешимо в рассматриваемом классе h(0) [6].
Решение уравнения (7) будем искать в виде
∑
vn(x) =
ckTk(x),
(9)
k=0
где ck, k = 0, n, - неизвестные пока постоянные.
Рассмотрим первый интеграл в уравнении (7) с учётом представления (9) и равенств (2):
∫
1
∫
1
∑
∑
1
vn(t)
1
Tk(t)
√
ln |t - x| dt =
√
ln |t - x| dt =
Tk(x)ckαk,
(10)
π
1-t2
ck π
1-t2
k=0
k=0
-1
-1
где, согласно (2), α0 = - ln 2, αk = -1/k, k = 1, n. Формула (10) даёт разложение интеграла
по многочленам Чебышёва первого рода.
Рассмотрим второй интеграл в уравнении (7). Учитывая представления (9) и (5) и свойство
ортогональности многочленов Чебышёва первого рода, получаем
∫
1
∫
1
∑ n∑
∑
1
vn(t)
1
1
√
Kn,n(x,t)dt =
ck
Tm(x) k∗
√
Tk(t)Tj(t)dt =
π
1-t2
m,j π
1-t2
k=0
m=0
j=0
-1
-1
∑ n∑
∑
∑
= ck Tm(x)ω∗m,k = Tm(x) ckω∗m,k,
(11)
k=0
m=0
m=0
k=0
{
k∗m,k,
k = 0,
ω∗m,k =
(12)
0.5 k∗m,k,
k > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
8∗
548
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Подставляя представления (10), (11) и выражение для правой части (3) в уравнение (7),
получаем
(
∑
∑
∑
Tj(x) cjαj +
ckω∗
j,k
= FnjTj(x).
(13)
j=0
k=0
j=0
Равенство (13) верно тогда и только тогда, когда в нём совпадают коэффициенты при мно-
гочленах одинаковой степени, т.е. когда имеет место следующая линейная алгебраическая
система уравнений относительно неизвестных ck, k = 0, n :
∑
cjαj +
ckω∗j,k = Fnj, j = 0,n,
(14)
k=0
в которой коэффициенты ω∗j,k вычисляются согласно (12), α0 = - ln 2, αk = -1/k, k = 1, n.
Решив систему (14) относительно неизвестных ck, k = 0, n, приближённое решение урав-
нения (1) с учётом (8) получим по формуле
∑
1
ϕn(x) =
√
ckTk(x).
(15)
1-x2
k=0
Предложенная схема протестирована на примере решения модельной задачи для уравне-
ния (1) при
)
2t2 - 1
( 28√3
1
K(x, t) =
,
f (x) = -2x -
- 16
(x + 2)(t + 2)
3
x+2
Несложно показать, что решением уравнения (1) в данном случае является функция ϕ(x) =
√
= 2x/
1 - x2. Как показывают расчёты, проведённые в среде компьютерной математики
MathCad, уже при сравнительно небольших значениях n, равных 9, 14 и 19, погрешность
приближённого решения ϕn(x), вычисленного по формуле (15) в системе точек x = -0.99,
-0.98, . . . , 0.99, не превосходит 1.8 · 10-10, 4.2 · 10-14 и 3.6 · 10-14 соответственно.
4. Приближённое решение уравнения (1) в классе h(-1, 1). Аналогично предыду-
щему пункту работы рассмотрим следующее вспомогательное уравнение относительно новой
неизвестной функции vn(x):
1
1
∫
∫
√
√
1
1
1 - t2vn(t)ln|t - x|dt +
1 - t2vn(t)Kn,n(x,t)dt = fn+2(x),
|x| < 1,
(16)
π
π
−1
-1
где Kn,n(x, t) - интерполяционный многочлен (6) функции K(x, t) степени n по обеим пе-
ременным, fn+2(x) - интерполяционный многочлен функции f(x) вида (4) степени n + 2.
Отметим, что уравнение (16) в заданном классе разрешимо [6].
Далее докажем
Утверждение 1. Для |x| < 1 имеет место равенство
⎧
⎪
ln 2
1
∫
1
⎨-
T0(x) +
T2(x),
k = 0,
√
1
2
4
Jk(x) =
1 - t2Uk(t)ln|t - x|dt =
(17)
π
⎪
1
1
-1
⎩-
Tk(x) +
Tk+2(x), k ≥ 1.
2k
2k + 4
Доказательство. С учётом известного соотношения 2(1 - x2)Uk(x) = Tk(x) - Tk+2(x)
(см. [7, с. 23]) подынтегральная функция в (17) сводится к виду (2), откуда и следует (17).
Утверждение 2. Для |x| < 1 имеет место равенство
1
∫
√
1
Ik(x) =
1 - t2Tk(t)ln|t - x|dt =
π
-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
549
⎧
)
⎪
( ln 2
1
1
⎪-
+
U0(x) +
U2(x),
k = 0,
⎪
2
8
8
⎪
⎪
1
1
⎪
⎨−
U1(x) +
U3(x),
k = 1,
6
24
)
(18)
=⎪⎪( ln 2
1
5
1
⎪
+
U0(x) -
U2(x) +
U4(x),
k = 2,
⎪
⎪
4
8
32
32
⎪
⎪
k-4(x)
3k - 4
3k + 4
1
⎩-U
+
Uk-2(x) -
Uk(x) +
Uk+2(x), k ≥ 3.
8(k - 2)
8k(k - 2)
8k(k + 2)
8(k + 2)
Доказательство. Равенство (18) доказывается непосредственной подстановкой [7, с. 23]
в интеграл, определяющий функцию Ik(x), выражения Tk(x) = (Uk(x) - Uk-2(x))/2, k ≥ 1,
U-1(x) = 0, T0 = U0, с учётом ранее полученных равенств (17) для Jk(x). Утверждение
доказано.
Используем далее представление искомой функции vn(x) в виде (9) с неизвестными ck,
k = 0,n.
Рассмотрим первый интеграл в (16) с учётом представления (9):
∫
1
∫
1
√
∑1
√
∑
1
1-t2vn(t)ln |t - x|dt =
1 - t2Tk(t)ln|t - x|dt =
ckIk(x).
π
ck π
k=0
k=0
−1
-1
Подставляя в последнее равенство выражения для Ik(x) из (18), получаем
∫
1
)
)
√
1
(1
( ln 2
1
1 - t2vn(t)ln|t - x|dt = c0
U2(x) -
+
U0(x)
+
π
8
2
8
−1
(
)
)
)
1
1
((ln 2
1
5
1
+c1
-
U1(x) +
U3(x)
+c2
+
U0(x) -
U2(x) +
U4(x)
+
6
24
4
8
32
32
)
∑ (
Uk-4(x)
3k - 4
3k + 4
1
+ ck -
+
Uk-2(x) -
Uk(x) +
Uk+2(x)
(19)
8(k - 2)
8k(k - 2)
8k(k + 2)
8(k + 2)
k=3
После несложных преобразований придём к равенству
1
∫
√
∑
1
1 - t2vn(t)ln|t - x|dt =
BkUk(x),
(20)
π
k=0
−1
в котором выражения для Bk несложно получить, приводя подобные члены в представле-
нии (19). Равенство (20) даёт разложение интеграла по многочленам Чебышёва второго рода.
Рассмотрим второй интеграл в уравнении (16), используя интерполяционный многочлен (6)
функции K(x, t). Имеем
1
1
∫
∫
√
∑ n∑
∑
√
1
1
1-t2vn(t)Kn,n(x,t)dt =
ck
Um(x) km,j
1 - t2Tk(t)Uj(t)dt =
π
π
k=0
m=0
j=0
−1
-1
∫
1
)
∑ n∑
∑
√
1
(1
= ck Um(x) km,j
1 - t2(Uj+k(t) + Uj-k(t))dt
=
2
π
k=0
m=0
j=0
-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
550
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
∑
∑
∑
1
=
Um(x)
ckkm,k + c0km,0
= DmUm(x),
(21)
4
m=0
k=0
m=0
∑n
где Dm =
ckωm,k,
k=0
{
0.5km,k ,
k = 0,
ωm,k =
(22)
0.25km,k ,
k > 0.
Подстановка в уравнение (16) представлений (20), (21) и выражения для fn+2(x) в виде (4)
приводит к равенству
∑
∑
∑
(Bk + Dk)Uk(x) +
BkUk(x) =
fn+2kUk(x).
(23)
k=0
k=n+1
k=0
Равенство (23) верно тогда и только тогда, когда в нём совпадают коэффициенты при мно-
гочленах одинаковой степени, т.е. когда имеет место система уравнений Bk + Dk = fn+2k,
k = 0,n, Bk = fn+2k, k = n + 1,n + 2. После несложных её преобразований приходим к
системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ck, k = 0, n :
∑
βkck + γkck+2 + δkck+4 +
cqωk,q = fn+2k, k = 0,1,
q=0
∑
αkck-2 + βkck + γkck+2 + δkck+4 +
cqωk,q = fn+2k, k = 2,n - 4,
q=0
∑
αkck-2 + βkck + γkck+2 +
cqωk,q = fn+2k, k = n - 3,n - 2,
q=0
∑
αkck-2 + βkck +
cqωk,q = fn+2k, k = n - 1,n,
q=0
αkck-2 = fn+2k, k = n + 1,n + 2,
(24)
где
⎧
ln 2
1
⎪
⎧
-
-
,
k = 0,
⎪
1
2
8
⎪
⎪
,
k = 2,
⎨
⎨
8
1
αk =
βk =
−
,
k = 1,
⎪
⎪
6
⎩1
⎪
,
k > 2,
⎪
3k + 4
8k
⎩-
,
k > 1,
8k(k + 2)
⎧
⎧
ln 2
1
1
⎪
⎪
⎨
+
,
k = 0,
⎨-
,
k = 0,
4
8
16
γk =
δk =
⎪
3k + 2
⎪
1
⎩
,
k > 0,
⎩-
,
k > 0,
8k(k + 2)
8(k + 2)
коэффициенты ωk,q вычисляются согласно (22).
Решив систему (24) относительно неизвестных ck, k = 0, n, приближённое решение ϕn(x)
уравнения (1) получим по формуле
√
∑
ϕn(x) =
1-x2
ckTk(x).
(25)
k=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
551
Предложенная схема протестирована на примере решения модельной задачи для уравне-
ния (1) при
4t
2
√
1
K(x, t) =
,
f (x) =
x3 - x + (56 - 32
3)
(x + 2)(t + 2)
3
x+2
Несложно показать, что решением уравнения (1) в данном случае является функция ϕ(x) =
√
= 2x
1 - x2. Как показывают расчёты, уже при сравнительно небольших значениях n, рав-
ных 7, 14 и 29, погрешность приближённого решения ϕn(x), вычисленного по формуле (25) в
системе точек x = -0.99,
-0.98, . . . , 0.99, не превосходит 4.6 · 10-4, 1.8 · 10-7 и 1.7 · 10-13
соответственно.
5. Приближённое решение уравнения (1) в классах h(±1). Аналогично рассмот-
ренным выше случаям приближённое решение ϕn(x) уравнения (1) будем искать как решение
следующего уравнения относительно новой неизвестной функции vn(x):
∫
1
√
∫
1
√
1
1∓t
1
1∓t
vn(t)ln |t - x|dt +
vn(t)Kn,n(x,t)dt = fn+1(x),
|x| < 1,
(26)
π
1±t
π
1±t
−1
-1
где Kn,n(x, t) - интерполяционный многочлен (5) функции K(x, t) степени n по обеим пере-
менным, fn+1(x) - интерполяционный многочлен вида (3) функции f(x) степени n+1. Здесь
и далее из знаков “ ± ” или “ ∓ ” для класса h(1) выбирается верхний, а для класса h(-1) -
нижний. Решения ϕn и vn связаны равенством
√
1∓x
ϕn(x) =
vn(x).
(27)
1±x
Отметим, что уравнение (26), как и уравнение (1), в рассматриваемых классах функций
разрешимо [6].
Используем представление функции vn(x) в виде (9) с неизвестными ck, k = 0, n.
Утверждение 3. Для |x| < 1 имеет место равенство
⎧
⎪- ln 2T0(x) ± T1(x),
k = 0,
⎪
1
√
⎪
∫
⎨
ln 2
1
1
1∓t
±
T0(x) - T1(x) ±
T2(x),
k = 1,
Lk(x) =
Tk(t)ln |t - x|dt =
(28)
2
4
π
1±t
⎪
⎪
-1
⎪
Tk-1(x)
Tk(x)
Tk+1(x)
⎩±
-
±
,
k ≥ 2.
2(k - 1)
k
2(k + 1)
Доказательство. Умножим на
√1 ∓ t числитель и знаменатель подынтегральной функ-
ции и учтём соотношение xTk(x) = Tk+1(x)+T|k-1|(x) [7, с. 23]. В результате подынтегральная
функция в (28) сводится к виду (2), откуда и следует доказываемое утверждение.
Рассмотрим первый интеграл в уравнении (26). С учётом представления (27) и равенств
(28) имеем
1
√
1
√
∫
∫
∑
∑
1
1∓t
1
1∓t
vn(t)ln |t - x|dt =
Tk(t)ln |t - x|dt =
Lk(x)ck.
(29)
π
1±t
ck π
1±t
k=0
k=0
-1
-1
Приводя подобные члены в (29) с учётом равенства (28), приходим к следующему пред-
ставлению рассматриваемого интеграла по многочленам Чебышёва первого рода:
∫
1
√
∑
1
1∓t
vn(t)ln |t - x|dt =
BkTk(x).
π
1±t
k=0
-1
Выражения для Bk несложно получить из равенства (29).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
552
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Рассмотрим второй интеграл в уравнении (26). Используем интерполяционный многочлен
Kn,n(x,t) вида (5). Вследствие ортогональности многочленов Чебышёва первого рода, исполь-
зуя равенство (27), получаем
∫
1
√
∫
1
∑
∑
∑
1
1∓t
1
(1 ∓ t)
vn(t)Kn,n(x,t)dt =
ck
Tm(x) k∗
√
Tk(t)Tj(t)dt =
π
1±t
m,j π
1-t2
k=0
m=0
j=0
-1
-1
(
∑ n∑
∑ n∑
1
1
= ck
Tm(x) k∗m,kω∗k ∓
k∗m,|k-1|ω∗
∓ ck Tm(x)
k∗m,k+1ω∗k+1 =
|k-1|
2
2
k=0
m=0
k=0
m=0
∑
∑
= Tm(x) ckΩm,k,
(30)
m=0
k=0
1
1
Ωm,k = k∗m,kω∗k ∓
k∗m,|k-1|ω∗|k-1| ∓
k∗m,k+1ω∗k+1δk+1,
2
2
{
{
1, k = 0, n,
1,
k = 0,
δ∗k =
ω∗k =
(31)
0, k > n,
0.5,
k > 0.
Подстановка в уравнение (26) представлений (29), (30) и выражения для его правой части
в виде (3) приводит к равенству
(
)
∑
∑
∑
Tj(x) Bj +
ckΩj,k
+ BnTn+1(x) = Fn+1jTj(x).
j=0
k=0
j=0
Данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда в нём совпадают коэффициенты
при многочленах одинаковых степеней, т.е. когда имеет место следующая система уравнений
относительно неизвестных ck, k = 0, n :
∑
Bj + ckΩj,k = Fn+1j, j = 0,n, Bn+1 = Fn+1n+1,
k=0
где коэффициенты Ωj,k вычисляются согласно (31). После несложных преобразований этой
системы приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных ck, k = 0, n:
∑
ln 2
- ln 2c0 ±
c1 +
cqΩ0,q = Fn+10,
2
q=0
∑
c0 - c1 ± 0,5c2 +
cqΩ1,q = Fn+11,
q=0
∑
1
1
1
±
ck-1 -
ck +
ck+1 ±
cqΩk,q = Fn+1k, k = 2,n - 1,
2k
k
2k
q=0
∑
1
1
±
cn-1 -
cn + cqΩn,q = Fn+1n,
2n
n
q=0
1
±
cn = Fn+1n+1.
(32)
2n + 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
553
Вычисляя коэффициенты ck, k = 0, n, как решение системы (32), приближённое решение
уравнения (1) найдём по формуле
√
∑
1-x
ϕn(x) =
ckTk(x).
(33)
1+x
k=0
Предложенные схемы протестированы на примере решения модельной задачи для уравне-
ния (1) при
4t
2
√
1
K(x, t) =
,
f (x) =
x3 - x + (56 - 32
3)
(x + 2)(t + 2)
3
x+2
Несложно показать, что решением уравнения (1) в классах h(±1) являются функции ϕ(x) =
√
= (2x ± 2x2)
(1 ∓ x)/(1 ± x). Как показывают расчёты, уже при сравнительно небольших
значениях n, равных 7, 14 и 29, погрешность приближённого решения ϕn(x), вычисленного
по формуле (33) в системе точек x = -0.99,
-0.98, . . . , 0.99, не превосходит 5.1 · 10-4,
1.5 · 10-7 и 7 · 10-13 соответственно.
Заключение. Построенные схемы численного решения сингулярного интегрального урав-
нения со слабой особенностью вида (1) в разных функциональных классах Мусхелишвили,
в отличие от ранее известных методик [6], позволяют получить приближённое решение за-
дачи, не прибегая к квадратурным формулам. Благодаря этому, как показывают численные
примеры, предложенные алгоритмы при небольших вычислительных затратах на достаточно
грубой сетке обеспечивают высокую точность приближённого решения, ограниченную лишь
вычислительной погрешностью, во всех рассмотренных классах функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Расолько Г.А. Численное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля
методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика.
2018. № 3. С. 68-74.
2. Расолько Г.А. К численному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения
Прандтля методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Ин-
форматика. 2019. № 1. С. 58-68.
3. Расолько Г.А., Шешко С.М., Шешко М.А. Об одном методе численного решения некоторых сингу-
лярных интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 9. С. 1285-
1292.
4. Расолько Г.А., Шешко С.М. Приближенное решение одного сингулярного интегро-дифференциаль-
ного уравнения методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика.
Информатика. 2020. № 2. С. 10-20.
5. Расолько Г.А., Волков В.М. Метод ортогональных многочленов для приближённого решения син-
гулярных интегро-дифференциальных уравнений в приложении к двумерным задачам дифракции
// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 830-839.
6. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумер-
ных задачах дифракции. Киев, 1984.
7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.
8. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М., 1983.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 17.01.2022 г.
г. Минск
После доработки 17.01.2022 г.
Принята к публикации 09.03.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
