ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.554-567

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.64+517.958:537.8

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ

ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дано обоснование метода коллокации для системы интегральных уравнений в задачах

экранирования электромагнитных полей для цилиндрических тел. Система интегральных

уравнений в специально выбранных точках аппроксимируется системой алгебраических

уравнений, для которой устанавливается существование и единственность решения. Дока-

зывается сходимость решения полученной системы алгебраических уравнений к точному

решению системы интегральных уравнений и указывается скорость сходимости метода.

DOI: 10.31857/S0374064122040112, EDN: CALBHE

1. Введение и постановка задачи. Рассмотрим в однородном изотропном пространстве

цилиндрическое тело Ω₁ с поперечным сечением D₁ и с образующей, направленной вдоль

оси z, боковая поверхность которого представляет собой тонкий экран S_Λ толщиной Λ. Для

упрощения системы интегральных уравнений экран S_Λ заменяется идеально тонкой поверх-

ностью S, на которой вводятся специальные граничные условия (см. [1]). Обозначим через

Ω₂ область вне тела Ω₁ (т.е. R³ = Ω₁

^⋃S ^⋃Ω₂), а через D₂ сечение области Ω₂ плоскостью

z = const. Среда в области Ω_j (j = 1,2) характеризуется электромагнитными параметра-

ми γ_j = 0, ε_j и μ_j, а материал экрана - параметрами γ, ε и μ. Пусть замкнутая кривая

Ляпунова Γ является контуром ортогонального сечения поверхности S, а n(y) - внешняя

единичная нормаль в точке y ∈ Γ. В работе [2] показано, что если электромагнитное по-

ле распространяется ортогонально образующей цилиндра, то краевая задача экранирования

сводится к следующей краевой задаче:

Δu₁ + k²¹u₁ = 0 в D₁, Δu′2 + k²²u′2 = 0 в D₂,

(

)

∂u₁

∂u₂



u₁|_Γ = α₁

+α₂



∂n

(

)

∂u₁

∂u₂



u₂|_Γ = β₁

+β₂

u₂ = u₀ + u′2,

(1)



∂n

где Δ - оператор Лапласа, k_j = ω

√ε_jμ_j (j = 1,2),

)

⁽1

α₁ =

-N , α₂ =-

+N ,

2ωμ₁

2ωμ₂

)

⁽1

β₁ =

+N , β₂ =-

-N ,

2ωμ₁

2ωμ₂

(

)

N =

ωμΛ, Π =

ω ε+i

Λ,

ω - круговая частота поля, а u₀ - потенциал источника, определяющий внешнее электромаг-

нитное поле, воздействующее на экран.

Используя интегральную формулу Грина, в работе [2] доказано, что неизвестные функции



∂u₁(x)



ϕ(x) = u₁(x)|x∈Γ и ψ(x) =



∂n(x)

x∈Γ

554

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

555

удовлетворяют системе интегральных уравнений

∫

ϕ(x) + (K₁₁(x, y)ϕ(y) + K₁₂(x, y)ψ(y)) dl_y = 0,

∫

α₂

ψ(x) + (K₂₁(x, y)ϕ(y) + K₂₂(x, y)ψ(y)) dl_y = 2

u₀(x),

которую запишем в виде

ϕ(x) + (A₁₁ϕ)(x) + (A₁₂ψ)(x) = 0,

α₂

ψ(x) + (A₂₁ϕ)(x) + (A₂₂ψ)(x) = 2

u₀(x),

(2)

здесь

∫

(A_jmf)(x) = K_jm(x, y)f(y) dl_y , x ∈ Γ, j, m = 1, 2,

1 ∂G₁(x,y)

K₁₁(x,y) =

K₁₂(x,y) = -

G₁(x,y),

∂n(y)

[

)]

⁽∂G₁(x,y)

∂G₂(x,y)

K₂₁(x,y) =

G₂(x,y) - β₂

πδ

∂n(y)

[

]

∂G₂(x,y)

K₂₂(x,y) =

β₂G₁(x,y) - α₁G₂(x,y) - δ

πδ

∂n(y)

πi

δ = α₂β₁ - α₁β₂, G_j(x,y) =

H⁽¹⁾⁰(k_j|x - y|) - фундаментальное решение уравнения Гельм-

гольца в D_j (j = 1, 2), H⁽¹⁾⁰ - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, определяемая

формулой H⁽¹⁾⁰(w) = J₀(w) + iN₀(w), где

∑

(-1)^m

⁽w)2m

J₀(w) =

(m!)²

m=0

- функция Бесселя нулевого порядка,

(

)

∑

∑ 1⁾(-1)m+1(w)2m

N₀(w) =

+ C J₀(w) +

(m!)²

m=1

l=1

– функция Неймана нулевого порядка, а C = 0.57721 . . . - постоянная Эйлера.

Из задачи (1) следует, что

β₂

u′2(y) =

ϕ(y) +

ψ(y) - u₀(y), y ∈ Γ,

α₂

∂u′2(y)

α₁

∂u₀(y)

ϕ(y) -

ψ(y) -

y ∈ Γ.

∂n(y)

α₂

∂n(y)

При этом функции (см. [2])

∫

[

]

∂u₁(y)

∂G₁(x,y)

u₁(x) =

G₁(x,y)

- u₁(y)

dl_y, x ∈ D₁,

2π

∂n(y)

∫

[

]

∂u′2(y)

∂G₂(x,y)

u′2(x) = -

G₂(x,y)

- u′2(y)

dl_y, x ∈ D₂,

2π

∂n(y)

являются решением краевой задачи (1).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

556

ХАЛИЛОВ

Известно, что, вообще говоря, найти точное решение системы интегральных уравнений

(2) невозможно. Поэтому возникает интерес к исследованию её приближённого решения с

теоретическим обоснованием. Отметим, что в работах [3-8] изучены приближённые решения

некоторых классов систем интегральных уравнений. Но исследование приближённого реше-

ния системы интегральных уравнений (2) до настоящего времени отсутствовало. Кроме того,

в работе [9] построена квадратурная формула для логарифмических потенциалов простого

и двойного слоёв, а в работе [10] - квадратурная формула для их потенциалов. Однако в

работе [10] для этого использована асимптотическая формула для функции Ханкеля перво-

го рода нулевого порядка, которая не позволяет определить скорость сходимости указанных

квадратурных формул. Поэтому более практичный способ построения квадратурных формул

для потенциалов простого и двойного слоёв, а также исследование приближённого решения

системы интегральных уравнений (2) имеют важное значение, чему и посвящена настоящая

работа.

2. Построение квадратурной формулы. Предположим, что кривая Γ ⊂ R² задана

параметрическим уравнением x(t) = (x₁(t), x₂(t)), t ∈ [a, b]. Разобьём промежуток [a, b] на

n > 2M₀(b - a)/d равных частей точками t_p = a + (b - a)p/n, p = 0,n, здесь

√

M₀ = max

(x′1(t))² + (x′2(t))² < +∞

t∈[a,b]

(см. [11, с. 560]) и d - стандартный радиус (см. [12, с. 400]). В качестве опорных точек возьмём

x(τ_p), p = 1, n, где τ_p = a+(b - a)(2p - 1)/(2n). Тогда кривая Γ разбивается на элементарные

⋃_n

части Γ =

Γ_p, где Γ_p = {x(t) : tp-1 ≤ t ≤ t_p}. В дальнейшем запись a(n) ∼ b(n) означает,

p=1

что

a(n)

C₁ ≤

≤C₂

для всех n ∈ N,

b(n)

где C₁ и C₂ - положительные постоянные, не зависящие от n.

Известно, что (см. [9])

1) для каждого p ∈ {1, 2, . . . , n} имеет место отношение r_p(n) ∼ R_p(n), где

r_p(n) = min{|x(τ_p) - x(tp-1)|,|x(t_p) - x(τ_p)|}, R_p(n) = max{|x(τ_p) - x(tp-1)|,|x(t_p) - x(τ_p)|};

2) для любого p ∈ {1, 2, . . . , n} выполняется неравенство R_p(n) ≤ d/2;

3) для всех p, j ∈ {1, 2, . . . , n} справедливо отношение r_j(n) ∼ r_p(n);

4) имеют место отношения r(n) ∼ R(n) ∼

, где R(n) = max

R_p(n), r(n) = min r_p(n).

p=1,n

В дальнейшем такое разбиение будем называть разбиением кривой Γ на регулярные эле-

ментарные части.

Поступая точно так же, как и в доказательстве леммы 2.1 работы [13], несложно показать,

что справедлива

Лемма. Существуют такие постоянные C′0 > 0 и C′1 > 0, не зависящие от n, для

которых при всех p, j ∈ {1, 2, . . . , n}, j = p, и любом y ∈ Γ_j справедливо двойное неравенство

C′0|y - x(τ_p)| ≤ |x(τ_j) - x(τ_p)| ≤ C′1|y - x(τ_p)|.

Через C(Γ) обозначим пространство всех непрерывных функций на Γ с нормой ∥ϕ∥_∞ =

= max|ϕ(x)| и для функции ϕ ∈ C(Γ) вводим модуль непрерывности

x∈Γ

ω(ϕ, h) = max

|ϕ(x) - ϕ(y)|, h > 0.

|x-y|≤h

x,y∈Γ

Обозначим

1 ∂Gn1(x,y)

Kn11(x,y) =

Kn12(x,y) = -

Gn₁(x, y),

∂n(y)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

557

[

)]

⁽∂Gn1(x,y)

∂Gn2(x,y)

Kn21(x,y) =

(x, y) - β₂

πδ

∂n(y)

[

]

∂Gn2(x,y)

Kn22(x,y) =

β₂Gn1(x,y) - α₁Gn2(x,y) - δ

πδ

∂n(y)

где n ∈ N и

πi

Gnj(x, y) =

H(1)0,n(k_j|x - y|), x,y ∈ Γ, x = y, j = 1,2,

∑

(-1)^m

⁽w)2m

H(1)0,n(w) = J0,n(w) + iN0,n(w), J0,n(w) =

(m!)²

m=0

(

)

∑

∑ 1⁾(-1)m+1(w)2m

N0,n(w) =

+ C J0,n(w) +

(m!)²

m=1

l=1

Нетрудно вычислить, что

)

∂G^nj(x,y)

πi

⁽∂J0,n(k_j|x - y|)

∂N0,n(k_j|x - y|)

j = 1,2,

∂n(y)

где

∂J0,n(k_j|x - y|)

∑

(-1)^mk2mj|x - y|2m-2

= (y - x, n(y))

j = 1,2,

∂n(y)

22m-1(m - 1)!m!

m=1

(

∂N0,n(k_j|x - y|)

k_j|x - y|

⁾∂J0,n(k_j|x - y|)

2(y - x, n(y))

J0,n(k_j|x - y|) +

∂n(y)

π|x - y|²

∑

∑ 1⁾(-1)m+1k2mj|x - y|2m-2

+ (y - x, n(y))

j = 1,2.

22m-1(m - 1)!m!

m=1

l=1

Построим сначала квадратурную формулу для интеграла (A₁₂ψ)(x), x ∈ Γ. Далее через

M обозначается положительная постоянная, разная в различных неравенствах.

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть Γ ⊂ R² - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <

< α ≤ 1 и ψ ∈ C(Γ). Тогда выражение

√

∑

b-a

(An12ψ)(x(τ_p)) =

Kn12(x(τ_p),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²ψ(x(τ_j))

j=1

j=p

в опорных точках x(τ_p), p = 1,n, является квадратурной формулой для интеграла

(A₁₂ψ)(x), x ∈ Γ, причём справедливы следующие оценки:

(

)

max

|(A₁₂ψ)(x(τ_p)) - (Aⁿ

ψ)(x(τ_p))| ≤ M ω(ψ, 1/n) + ∥ψ∥_∞

при

0 < α < 1,

p=1,n

n^α

(

)

ln n

max

|(A₁₂ψ)(x(τ_p)) - (Aⁿ

ψ)(x(τ_p))| ≤ M ω(ψ, 1/n) + ∥ψ∥_∞

при α = 1.

p=1,n

Доказательство. Несложно видеть, что

∫

(A₁₂ψ)(x(τ_p)) - (An12ψ)(x(τ_p)) = -

G₁(x(τ_p),y)ψ(y)dl_y -

Γp

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

558

ХАЛИЛОВ

∫

∑

(G₁(x(τ_p), y)-Gn1(x(τ_p), x(τ_j )))ψ(y) dl_y -

Gn₁(x(τ_p), x(τ_j ))(ψ(y)-ψ(x(τ_j ))) dl_y -

j=1

Γ_j

j=p

∫

(√

)

∑

√

Gn₁(x(τ_p), x(τ_j ))

(x′1(t))² + (x′2(t))² - (x′1(τ_j))² + (x′2(τj ))2

ψ(x(τ_j )) dt.

j=1

tj-1

j=p

Слагаемые в правой части этого равенства обозначим в порядке их следования через hn1(x(τ_p)),

hn2(x(τ_p)), hn3(x(τ_p)) и hn4(x(τ_p)).

Очевидно, что

∑

(|k₁| diam L)2m

|J₀(k₁|x - y|)| ≤

≤ M, x,y ∈ Γ,

(3)

4m(m!)

m=0



)2m



∑



∑

⁾ (-1)m+1 (k₁|x - y|

∑ 1⁾(|k₁|diamL)2m



≤ M, x,y ∈ Γ.

(4)



≤

(m!)²

4m(m!)²

m=1

l=1

m=1

l=1

Следовательно, имеет место неравенство

|G₁(x, y)| ≤ M| ln |x - y||, x, y ∈ Γ, x = y.

(5)

Тогда, применяя формулу вычисления криволинейного интеграла, находим

∫

|hn1(x(τ_p))| ≤

∥ψ∥_∞

|G₁(x(τ_p), y)| dl_y ≤ M∥ψ∥_∞

| ln τ|dτ ≤ M∥ψ∥_∞R(n)| ln R(n)|.

Γp

Пусть y ∈ Γ_j и j = p. Учитывая лемму, получаем

||x(τ_p) - y|^q - |x(τ_p) - x(τ_j)|^q| ≤ Mq|x(τ_j ) - y||x(τ_p) - y|q-1 ≤ MqR(n)(diam L)q-1

(6)



(

)



|x(τ_p) - x(τ_j )| - |x(τ_p) - y|



| ln(k₁|x(τ_p) - y|) - ln(k₁|x(τ_p) - x(τ_j )|)| =

l

≤

|x(τ_p) - y|



(

)



|x(τ_j ) - y|



R(n)

≤ ln 1+



(7)

≤

|x(τ_p) - y|

где q ∈ N. Тогда, принимая во внимание неравенства (3), (4), (6) и (7), будем иметь

|G₁(x(τ_p), y) - G₁(x(τ_p), x(τ_j ))| ≤



)2m)

π

∑

(-1)^m

⁽⁽k₁|x(τ_p) - y|)2m

⁽k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|



≤



⁺

(m!)²

m=0

(

)2m)



∑



1|x(τp) - x(τj)|

(-1)^m((k1|x(τp) - y|)2m

⁽k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|

 +

+^ ln^k

(m!)²

m=0



)2m



∑



(-1)^m

⁽k₁|x(τ_p) - y|



+^(ln(k₁|x(τ_p) - y|) - ln(k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|))

⁺

(m!)²

m=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

559



)2m)



∑



⁾ (-1)m+1 ((k₁|x(τ_p) - y|)2m

⁽k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|

MR(n)



≤

(m!)²

|x(τ_p)-y|

m=1

l=1

Кроме того, учитывая неравенства

∑

|k₁|2m|x - y|2m

|J₀(k₁|x - y|) - J0,n(k₁|x - y|)| ≤

≤

x,y ∈ Γ,

(8)

4m(m!)²

(n + 1)!

m=n+1

M|ln|x - y||

|N₀(k₁|x - y|) - N0,n(k₁|x - y|)| ≤

x,y ∈ Γ,

(9)

(n + 1)!

получаем

M|ln|x(τ_p) - x(τ_j)||

|G₁(x(τ_p), x(τ_j )) - Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| ≤

≤

(n + 1)!

(n + 1)!|x(τ_p) - y|

В результате находим, что

|G₁(x(τ_p), y) - Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| ≤ |G₁(x(τ_p), y) - G₁(x(τ_p), x(τ_j ))| +

(

)

+ |G₁(x(τ_p), x(τ_j )) - Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| ≤

R(n) +

|x(τ_p) - y|

(n + 1)!

Следовательно,

(

∫

(

)

dτ

|hn2(x(τ_p))| ≤ M∥ψ∥_∞ R(n) +

≤ M∥ψ∥_∞ R(n) +

| ln R(n)|.

(n + 1)!

r(n)

Из неравенства (5) вытекает сходимость несобственного интеграла

∫

|G₁(x, y)| dl_y ,

а также неравенство

∫

|G₁(x, y)| dl_y ≤ M, x ∈ Γ.

Тогда из неравенств (8) и (9) следует, что

∫

|Gn1(x, y)| dl_y ≤

|G₁(x, y)| dl_y +

|G₁(x, y) - Gn1(x, y)| dl_y ≤ M, x ∈ Γ, n ∈ N.

В итоге, принимая во внимание лемму, будем иметь

∫

|hn3(x(τ_p))| ≤ Mω(ψ, R(n))

|Gn1(x(τ_p), y)| dl_y ≤ Mω(ψ, R(n)).

Очевидно, что



√

√



x′1(t))² + (x′2(t))² - (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²

M (R(n))^α, t ∈ [tj-1, t_j].

(10)

 (

≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

560

ХАЛИЛОВ

Пусть y ∈ Γ_j и j = p. Учитывая лемму и неравенства (3) и (4), получаем

∑

(|k₁| diam L)2m

|J0,n(k₁|x(τ_p) - x(τ_j )|)| ≤

≤ M, n ∈ N,

4m(m!)²

m=0

|N0,n(k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|)| ≤ M| ln |x(τ_p) - y||, n ∈ N.

Поэтому

|Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| ≤ M| ln |x(τ_p) - y||, n ∈ N.

Отсюда заключаем, что

∫

∑

|hn4(x(τ_p))| ≤ M∥ψ∥_∞(R(n))^α

|Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| dt ≤

j=1

tj-1

j=p

∫

∑

≤ M∥ψ∥_∞(R(n))^α

|Gn1(x(τ_p), x(τ_j ))| dl_y ≤

j=1

Γ_j

j=p

∫

≤ M∥ψ∥_∞(R(n))^α

| ln |x(τ_p) - y|| dl_y ≤ M∥ψ∥_∞(R(n))^α.

В результате, суммируя полученные оценки для выражений hn1(x(τ_p)), hn2(x(τ_p)), hn3(x(τ_p))

и hn4(x(τ_p)) и принимая во внимание отношение R(n) ∼ 1/n, завершаем доказательство тео-

ремы 1.

Теперь построим квадратурную формулу для интеграла (A₁₁ϕ)(x), x ∈ Γ.

Теорема 2. Пусть Γ ⊂ R² - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <

< α ≤ 1 и ϕ ∈ C(Γ). Тогда выражение

∑

√

b-a

(An11ϕ)(x(τ_p)) =

Kn11(x(τ_p),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²ϕ(x(τ_j))

j=1

j=p

в опорных точках x(τ_p), p = 1,n, является квадратурной формулой для интеграла

(A₁₁ϕ)(x), x ∈ Γ, причём справедлива следующая оценка:

(

)

ln n

max

|(A₁₁ϕ)(x(τ_p)) - (Aⁿ

ϕ)(x(τ_p))| ≤ M ω(ϕ, 1/n) + ∥ϕ∥_∞

p=1,n

n^α

Доказательство. Нетрудно видеть, что

∫

∂G₁(x(τ_p),y)

(A₁₁ϕ)(x(τ_p)) - (An11ϕ)(x(τ_p)) =

ϕ(y) dl_y +

∂n(y)

Γp

∫ (

)

∑

∂G₁(x(τ_p),y)

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))

ϕ(y) dl_y +

∂n(y)

∂n(x(τ_j))

j=1

Γ_j

j=p

∫

∑

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))

(ϕ(y) - ϕ(x(τ_j ))) dl_y +

∂n(x(τ_j))

j=1

Γ_j

j=p

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

561

∫

(√

)

∑

√

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))

(x′1(t))² + (x′2(t))² - (x′1(τ_j))² + (x′2(τj ))2

ϕ(x(τ_j )) dt.

∂n(x(τ_j))

j=1

tj-1

j=p

Слагаемые в правой части этого равенства обозначим в порядке их следования через δn1(x(τ_p)),

δn2(x(τ_p)), δn3(x(τ_p)) и δn4(x(τ_p)).

Несложно убедиться, что

)

∂G₁(x,y)

πi

⁽∂J₀(k₁|x - y|)

∂N₀(k₁|x - y|)

∂n(y)

где

∑

∂J₀(k₁|x - y|)

(-1)^mk2m1|x - y|2m-2

= (y - x, n(y))

∂n(y)

22m-1(m - 1)!m!

m=1

(

∂N₀(k₁|x - y|)

k₁|x - y|

⁾∂J₀(k₁|x - y|)

2(y - x, n(y))

J₀(k₁|x - y|) +

∂n(y)

π|x - y|²

∑

∑ 1⁾(-1)m+1k2m1|x - y|2m-2

+ (y - x, n(y))

22m-1(m - 1)!m!

m=1

l=1

Так как (см. [12, с. 403])

|(y - x, n(y))| ≤ M|x - y|1+α,

(11)

то



∂J0(k₁|x - y|)



M |x - y|1+α

(12)



≤

∂n(y)



(

)

∂N0(k₁|x - y|)



M |x - y|1+α| ln |x - y|| +

+ |x - y|1+α ,

(13)



≤

∂n(y)

|x - y|1-α

а значит,



∂G1(x,y)



x,y ∈ Γ, x = y.

(14)



≤

∂n(y)

|x - y|1-α

Поэтому, учитывая формулу вычисления криволинейного интеграла, получаем

∫

dτ

|δn1(x(τ_p))| ≤ M∥ϕ∥_∞

≤ M∥ϕ∥_∞(R(n))^α.

τ1-α

Пусть y ∈ Γ_j и j = p. В силу леммы и неравенства (11) очевидно, что

|(y - x(τ_p), n(y)) - (x(τ_j ) - x(τ_p), n(x(τ_j )))| =

= |(y - x(τ_j ), n(y))| + |(x(τ_j ) - x(τ_p), n(y) - n(x(τ_j )))| ≤ M|y - x(τ_p)|(R(n))^α.

(15)

Тогда, учитывая неравенства (6), будем иметь



∂J0(k₁|x(τ_p) - y|)

∂J₀(k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|)



≤

∂n(y)

∂n(x(τ_j))

∑

|k₁|2m|x(τ_p) - y|2m-2

≤ |(y - x(τ_p), n(y)) - (x(τ_j ) - x(τ_p), n(x(τ_j )))|

22m-1(m - 1)!m!

m=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

562

ХАЛИЛОВ

∑

|k₁|2m||x(τ_p) - x(τ_j )|2m-2 - |x(τ_p) - y|2m-2|

+|(x(τ_j ) - x(τ_p), n(x(τ_j )))|

≤

22m-1(m - 1)!m!

m=1

≤ M|y - x(τ_p)|(R(n))^α.

(16)

Кроме того, вследствие леммы и неравенств (11), (15) и (16) получаем



(

)

(y-x(τp),n(y))

(x(τ_j ) - x(τ_p), n(x(τ_j )))

R(n)

(R(n))^α



≤

|x(τ_p) - y|²

|x(τ_p) - x(τ_j)|²

|x(τ_p) - y|2-α

|x(τ_p) - y|

Тогда, принимая во внимание неравенства (3), (7), (12), (13), (15) и (16), нетрудно показать,

что



(

)

∂N0(k₁|x(τ_p) - y|)

∂N₀(k₁|x(τ_p) - x(τ_j)|)

R(n)

(R(n))^α



≤

∂n(y)

∂n(x(τ_j))

|x(τ_p) - y|2-α

|x(τ_p) - y|

В результате находим



(

)

∂G1(x(τ_p),y)

∂G₁(x(τ_p),x(τ_j))

R(n)

(R(n))^α



≤

∂n(y)

∂n(x(τ_j ))

|x(τ_p) - y|2-α

|x(τ_p) - y|

Учитывая неравенство



∂G1(x(τ_p),x(τ_j))

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))



(17)



≤

∂n(x(τ_j))

∂n(x(τ_j ))

|x(τ_p) - y|1-αn!

заключаем, что



(

)

∂G1(x(τ_p),y)

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))

R(n)

(R(n))^α



≤

∂n(y)

∂n(x(τ_j ))

|x(τ_p) - y|2-α

|x(τ_p) - y|

|x(τ_p) - y|1-αn!

В итоге имеем

(

∫

)

dτ

|δn2(x(τ_p))| ≤ M∥ϕ∥_∞ R(n)

+ (R(n))^α

≤

τ2-α

τ1-α

r(n)

(

)

≤ M∥ϕ∥_∞ (R(n))^α|lnR(n)| +

Пусть y ∈ Γ_j и j = p. Так как из леммы и неравенств (14) и (17) следует, что



∂Gn1(x(τp),x(τj))

∂G1(x(τ_p),x(τ_j))

∂G1(x(τ_p),x(τ_j))

∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))



≤



⁺



≤

∂n(x(τ_j))

≤

n ∈ N,

(18)

|x(τ_p) - x(τ_j)|1-α

|x(τ_p) - y|1-αn!

|x(τ_p) - y|1-α

то

∫



∂Gn1(x(τp),x(τj))

|δn3(x(τ_p))| ≤

ω(ϕ, R(n))



l_y ≤ Mω(ϕ,R(n)).



^d

∂n(x(τ_j))

Кроме того, учитывая лемму и неравенства (10) и (18), получаем

∫



∑



∂Gn1(x(τ_p),x(τ_j))



|δn4(x(τ_p))| ≤ M∥ϕ∥_∞(R(n))^α

t≤



^d

∂n(x(τ_j))

j=1

tj-1

j=p

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

563

∫



∂Gn1(x(τp),x(τj))



≤ M∥ϕ∥_∞(R(n))^α

l_y ≤ M∥ϕ∥_∞(R(n))^α.



^d

∂n(x(τ_j))

В результате, суммируя полученные оценки для выражений δn1(x(τ_p)), δn2(x(τ_p)), δn3(x(τ_p))

и δn4(x(τ_p)) и учитывая отношение R(n) ∼ 1/n, завершаем доказательство теоремы 2.

Аналогичным образом доказывается справедливость следующих теорем.

Теорема 3. Пусть Γ ⊂ R² - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <

< α ≤ 1 и ϕ ∈ C(Γ). Тогда выражение

√

b-a

∑

(An21ϕ)(x(τ_p)) =

Kn21(x(τ_p),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²ϕ(x(τ_j))

j=1

j=p

в опорных точках x(τ_p), p = 1,n, является квадратурной формулой для интеграла

(A₂₁ϕ)(x), x ∈ Γ, причём справедлива следующая оценка:

(

)

ln n

max

|(A₂₁ϕ)(x(τ_p)) - (Aⁿ

ϕ)(x(τ_p))| ≤ M ω(ϕ, 1/n) + ∥ϕ∥_∞

p=1,n

n^α

Теорема 4. Пусть Γ ⊂ R² - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 <

< α ≤ 1 и ψ ∈ C(Γ). Тогда выражение

√

∑

b-a

(An22ψ)(x(τ_p)) =

Kn22(x(τ_p),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²ψ(x(τ_j))

j=1

j=p

в опорных точках x(τ_p), p = 1,n, является квадратурной формулой для интеграла

(A₂₂ψ)(x), x ∈ Γ, причём справедлива следующая оценка:

(

)

ln n

max

|(A₂₂ψ)(x(τ_p)) - (Aⁿ

ψ)(x(τ_p))| ≤ M ω(ψ, 1/n) + ∥ψ∥_∞

p=1,n

n^α

3. Обоснование метода коллокации для системы уравнений (1). Пусть C2n - прост-

ранство 2n-мерных векторов z2n = (z2n1, z2n2, . . . , z2n2n)^т, z2nl ∈ C, l = 1, 2n, с нормой ∥z2n∥ =

= max

|z2nl|, где запись “ a^т ” означает транспонировaние вектора a. Рассмотрим квадратную

l=1,2n

матрицу A2n = (a_pj)2np,j=1 порядка 2n с элементами

√

|sgn (p - j)|(b - a)

a_pj =

Kn11(x(τ_p),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²

при p = 1, n и j = 1, n;

√

|sgn (p - j + n)|(b - a)

a_pj =

Kn12(x(τ_p),x(τ_j-n)) (x′1(τ_j-n))² + (x′2(τ_j-n))²

при p = 1, n и j = n + 1, 2n;

√

|sgn (p - j - n)|(b - a)

a_pj =

Kn21(x(τ_p-n),x(τ_j)) (x′1(τ_j))² + (x′2(τ_j))²

при p = n + 1, 2n и j = 1, n;

√

|sgn (p - j)|(b - a)

a_pj =

Kn22(x(τ_p-n),x(τ_j-n)) (x′1(τ_j-n))² + (x′2(τ_j-n))²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

9^∗

564

ХАЛИЛОВ

при p = n + 1, 2n и j = n + 1, 2n.

Если через z2np, p = 1, n, обозначим приближённое значение величины ϕ(x(τ_p)), а через

z2np+n, p = 1,n, - приближённое значение величины ψ(x(τ_p)), то, используя построенные квад-

ратурные формулы для интегралов (A_jmf)(x), x ∈ Γ, j, m = 1, 2, систему интегральных

уравнений (2) заменим системой алгебраических уравнений относительно z2n ∈ C2n, которую

запишем в виде

∑

z2np +

a_pjz2nj = 0, p = 1,n,

j=1

∑

α₂

z2np +

a_pjz2nj = 2

u₀(x(τ_p)), p = n + 1,2n.

(19)

j=1

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 5. Пусть функция u₀ непрерывна на кривой Γ. Тогда система уравнений (2)

и система уравнений (19) для несобственных частот имеют единственные решения ρ_∗ =

= (ϕ_∗, ψ_∗)^т ∈ C(Γ) × C(Γ) и w2n ∈ C2n (n ≥ n₀) соответственно, причём

(

)

ln n

max

|w2np - ϕ_∗(x(τ_p))| ≤ M ω(u₀, 1/n) +

p=1,n

n^α

(

)

ln n

max

|w2np+n - ψ_∗(x(τ_p))| ≤ M ω(u₀, 1/n) +

p=1,n

n^α

Доказательство. Для обоснования метода коллокации воспользуемся теоремой Г.М. Вай-

никко о сходимости для линейных операторных уравнений (см. [14]). Для этого сначала запи-

шем уравнения (2) и (19) в операторном виде.

Рассмотрим матричный оператор 2-го порядка

(

)

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

определённый в пространстве C(Γ)×C(Γ). Тогда систему интегральных уравнений (2) можно

записать в виде

(I + A)ρ = χ,

(20)

где I - единичный оператор на C(Γ) × C(Γ), ρ = (ϕ, ψ)^т и χ = (0, 2α₂u₀/δ)^т. Отметим, что

пространство C(Γ) × C(Γ) является банаховым с нормой

∥ρ∥₁ = max{∥ϕ∥_∞, ∥ψ∥_∞}.

Очевидно, что систему алгебраических уравнений (19) можно записать в виде

(I2n + A2n)z2n = χ2n,

(21)

где I2n - единичная матрица 2n-го порядка, χ2n = p2nχ, а p2n : C(Γ) × C(Γ) → C2n -

линейный ограниченный оператор, определяемый формулой

p2nρ = (ϕ(x(τ₁)),ϕ(x(τ₂)),... ,ϕ(x(τ_n)),ψ(x(τ₁)),ψ(x(τ₂)),... ,ψ(x(τ_n)))^т.

Проверим выполнение условий теоремы 4.2 из [14], используя из этой работы обозначения

и необходимые определения и предложения. В работе [2] доказано, что система интегральных

уравнений (2) для несобственных частот k₂ = k(s)2 = ω_s√ϵ₂μ₂ (s = 1, 2, . . .) имеет единствен-

ное решение в пространстве C(Γ) × C(Γ) при любых непрерывных правых частях, где k(s)2 -

собственные значения внутренней краевой задачи Дирихле

Δu₂ + k²²u₂ = 0 в D₁,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

565

u₂|_Γ = 0.

Следовательно, Ker (I + A) = {0}. Кроме того, операторы I2n + A2n, n ∈ N, фредгольмо-

вы с нулевым индексом. Принимая во внимание способ разбиения кривой Γ на регулярные

элементарные части, получаем, что для любого ρ ∈ C(Γ) × C(Γ) справедливы равенства

lim

∥p2nρ∥ = lim max{max

|ϕ(x(τ_l))|, max |ψ(x(τ_l))|} =

n→∞

l=1,n

= max{max|ϕ(x)|, max|ψ(x)|} = ∥ρ∥1.

x∈Γ

Поэтому система операторов P = {p2n} является связывающей для пространств C(Γ) × C(Γ)

→ χ и, принимая во внимание теоремы 1-4, получаем, что по определе-

→ I + A. Так как, согласно определению 3.2 из [14],

I2n → I устойчиво, то по предложению 3.5 и по определению 3.3 из [14] осталось проверить

условие компактности, которое ввиду предложения 1.1 из [14] равносильно условию: для лю-

бой последовательности {z2n}, z2n ∈ C2n, ∥z2n∥ ≤ M, существует относительно компактная

последовательность {A2nz2n} ⊂ C(Γ) × C(Γ) такая, что

∥A2nz2n - p2n(A2nz2n)∥ → 0 при n → ∞.

В качестве {A2nz2n} выберем последовательность

(2n∑

∑

)т

(A2nz2n)(x) =

a(1)j(x)z2nj,

a(2)j(x)z2n

j=1

где

∫

a(1)j(x) = Kn11(x,y)dl_y и a(2)j(x) = Kn21(x,y)dl_y, если j = 1,n.

Γ_j

∫

a(1)j(x) =

Kn12(x,y)dl_y и a(2)j(x) =

Kn22(x,y)dl_y, если j = n + 1,2n.

Γ_j-n

Из неравенств (3), (4) и (11) очевидно вытекает, что для любых точек x, y ∈ Γ, x = y, и

при каждом n ∈ N справедливы следующие оценки:

(

)

|Kn11(x, y)| ≤ M

| ln |x - y|| +

|Kn12(x, y)| ≤ M| ln |x - y||,

|x - y|1-α

(

)

|Kn2i(x, y)| ≤ M

| ln |x - y|| +

i = 1,2.

(22)

|x - y|1-α

Отсюда получаем



∑



a(m)j(x)z2nj



M ∥z2n∥, x ∈ Γ, m = 1, 2,



≤

j=1

т.е.

|(A2nz2n)(x)| ≤ M∥z2n∥, x ∈ Γ.

Поэтому, принимая во внимание условие ∥z2n∥ ≤ M, заключаем, что последовательность

{A2nz2n} равномерно ограниченна.

Теперь возьмём любые точки x^′, x^′′ ∈ Γ такие, что |x^′ - x^′′| = h < d/2. Тогда, рассуждая

точно так же, как и в работе [15], несложно показать, что



 ∑

∑



a(k)j(x^′)z2nj -

a(k)j(x^′′)z2nj



M ∥z2n∥h| ln h|, k = 1, 2.



≤

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

566

ХАЛИЛОВ

Следовательно,

|(A2nz2n)(x^′) - (A2nz2n)(x^′′)| ≤ M∥z2n∥|x^′ - x^′′|| ln |x^′ - x^′′||,

а значит, {A2nz2n} ⊂ C(Γ) × C(Γ). Отсюда непосредственно вытекает равностепенная непре-

рывность последовательности

{A2nz2n}. Тогда из теоремы Арцеля следует относительная

компактность последовательности {A2nz2n}. Кроме того, рассуждая точно так же, как и в

доказательствах теорем 1 и 2, получаем

∥A2nz2n - p2n(A2nz2n)∥ → 0 при n → ∞.

Тогда, применяя теорему 4.2 из работы [14], заключаем, что уравнения (20) и (21) имеют

единственные решения ρ_∗ = (ϕ_∗, ψ_∗)^т ∈ C(Γ) × C(Γ) и w2n ∈ C2n (n ≥ n₀) соответственно,

причём

c₁δ_n ≤ ∥w2n - p2nρ_∗∥ ≤ c₂δ_n,

где

c₁ = 1/ sup∥I2n +A2n∥ > 0, c2 = sup ∥(I2n +A2n)-1∥ < +∞, δn = ∥(I2n +A2n)(p2nρ∗)-χ2n∥.

n≥n₀

Принимая во внимание равенство χ2n = p2nχ = p2nρ_∗ + p2n(Aρ_∗) и оценки погрешности

построенных квадратурных формул для интегралов (A_jmf)(x), x ∈ Γ, j, m = 1, 2, имеем

(

)

ln n

δ_n = ∥A2n(p2nρ_∗) - p2n(Aρ∗)∥ ≤ M

∥ρ_∗∥₁

+ ω(ρ_∗,1/n)

n^α

Здесь модуль непрерывности вектор-функций ρ_∗ определяется формулой

√

ω(ρ_∗, h) = max

(ϕ_∗(x) - ϕ_∗(y))² + (ψ_∗(x) - ψ_∗(y))², h > 0.

|x-y|≤h

x,y∈Γ

Воспользовавшись оценками (22) при n → ∞ и такими же, как и в работе [16], рассужде-

ниями, нетрудно показать, что

|(A_jmf)(x^′) - (A_jmf)(x^′′)| ≤ M∥f∥_∞|x^′ - x^′′|| ln |x^′ - x^′′||, x^′, x^′′ ∈ Γ, j, m = 1, 2.

Следовательно,

|(Aρ_∗)(x^′) - (Aρ_∗)(x^′′)| ≤ M∥ρ_∗∥₁|x^′ - x^′′|| ln |x^′ - x^′′||, x^′, x^′′ ∈ Γ,

т.е.

ln n

ω(Aρ_∗, 1/n) ≤ M∥ρ_∗∥₁

Тогда, принимая во внимание неравенства

ln n

ω(ρ_∗, 1/n) = ω(χ - Aρ_∗, 1/n) ≤ ω(χ, 1/n) + ω(Aρ_∗, 1/n) ≤ ω(u₀, 1/n) + M∥ρ_∗∥₁

∥ρ_∗∥₁ ≤ ∥(I + A)-1∥∥χ∥₁,

получаем, что

(

)

ln n

δ_n ≤ M ω(u₀,1/n) +

n^α

Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О ПРИБЛИЖЁННОМ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

567

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кравченко В.Ф., Ерофеенко В.Т. Дифракция электромагнитных волн на сверхпроводящих тонких

цилиндрических оболочках // Докл. РАН. 1994. Т. 337. № 1. C. 25-27

2. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Интегральные уравнения в задачах экранирования электромаг-

нитных полей для цилиндрических тел // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 2. C. 242-247.

3. Бойков И.В., Тында А.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории раз-

вивающихся систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 9. C. 1214-1223.

4. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерры I рода // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 1998. Т. 38. № 4. C. 607-611.

5. Гиат М., Камуш С., Хеллаф А., Мерчела В. Об одной системе интегральных уравнений Вольтерры

со слабо сингулярным ядром // Итоги науки и техники. Сер. Совр. математика и ее приложения.

Тематические обзоры. 2021. Т. 193. С. 33-44.

6. Ставцев С.Л. Итерационный подход к численному решению системы интегральных уравнений для

краевых задач скалярного уравнения Гельмгольца // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9.

C. 1282-1290.

7. Тында А.Н., Сидоров Д.Н., Муфтахов И.Р. Численный метод решения систем нелинейных ин-

тегральных уравнений Вольтерры I рода с разрывными ядрами // Журн. Средне-Волжск. мат.

о-ва. 2018. Т. 20. № 1. C. 55-63.

8. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для одного класса систем интегральных уравнений

// Укр. мат. журн. 2017. T. 69. № 6. C. 823-835.

9. Khalilov E.H., Bakhshaliyeva M.N. Quadrature formulas for simple and double layer logarithmic

potentials // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2019. V. 45. № 1. P. 155-162.

10. Kress R. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Math. and Comput. Model.

1991. V. 15. № 3-5. P. 229-243.

11. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962.

12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1976.

13. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для одного класса поверхностных интегральных

уравнений // Мат. заметки. 2020. T. 107. № 4. C. 604-622.

14. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближённое решение уравнений // Итоги

науки и техники. Мат. анализ. 1979. Т. 16. С. 5-53.

15. Бахшалыева М.Н., Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения

внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Журн. вычислит. математики и мат.

физики. 2021. Т. 61. № 6. С. 936-950.

16. Халилов Э.Г., Бахшалыева М.Н. Исследование приближенного решения интегрального уравнения,

соответствующего смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа // Уфимск. мат. журн. 2021.

Т. 13. № 1. С. 86-98.

Азербайджанский государственный университет

Поступила в редакцию 15.10.2021 г.

нефти и промышленности, г. Баку

После доработки 15.10.2021 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022