ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.568-572

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.968.72

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛУГРУПП

К ИССЛЕДОВАНИЮ ВОЛЬТЕРРОВЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследуются абстрактные вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения, которые

являются операторными моделями задач теории вязкоупругости. К рассматриваемому

классу уравнений относятся также интегро-дифференциальные уравнения Гуртина-Пип-

кина, описывающие процесс распространения тепла в средах с памятью. Представлены

результаты о существовании сильно непрерывной сжимающей полугруппы, порождаемой

вольтерровым интегро-дифференциальным уравнением с операторными коэффициентами

в гильбертовом пространстве, а также результаты о свойствах генератора указанной полу-

группы.

DOI: 10.31857/S0374064122040124, EDN: CAMAOJ

Введение. Настоящая работа посвящена изучению свойств линейных операторов, которые

являются генераторами полугрупп, порождаемых абстрактными вольтерровыми интегро-диф-

ференциальными уравнениями с операторными коэффициентами в гильбертовом пространст-

ве. Указанные абстрактные интегро-дифференциальные уравнения могут быть реализованы,

в частности, как интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, возникаю-

щие в теории вязкоупругости, а также как интегро-дифференциальные уравнения Гуртина-

Пипкина, описывающие процесс распространения тепла в средах с памятью.

В настоящее время существует обширная литература, посвящённая исследованию воль-

терровых интегро-дифференциальных уравнений и связанных с ними задач, появляющихся в

многочисленных приложениях (см., например, работы [1-5] и приведённую в них библиогра-

фию).

1. Определения. Обозначения. Постановка задачи. Пусть H - сепарабельное гиль-

бертово пространство, A - самосопряжённый положительный, A^∗ = A ≥ κ₀I (κ₀ = const > 0),

оператор, действующий в пространстве H и имеющий ограниченный обратный. Пусть B -

самосопряжённый неотрицательный оператор, действующий в пространстве H, с областью

определения D(B) такой, что D(A) ⊆ D(B), удовлетворяющий для любого x ∈ Dom (A)

неравенству ∥Bx∥ ≤ κ∥Ax∥ при некотором κ = const > 0, через I обозначаем тождествен-

ный оператор в пространстве H.

Рассмотрим следующую задачу для интегро-дифференциального уравнения второго по-

рядка на положительной полуоси R₊ = (0, ∞):

∫

d²u(t)

+ (A + B)u(t) - K₁(t - s)Au(s) ds - K₂(t - s)Bu(s) ds = f(t), t ∈ R₊,

(1)

dt²

u(+0) = ϕ₀, u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁.

(2)

Предположим, что ядра интегральных операторов K_i(t), i = 1, 2, имеют следующее пред-

ставление:

+^∞

K_i(t) =

e^-tτ dμ_i(τ), i = 1,2,

568

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛУГРУПП

569

где dμ_i (i = 1, 2) - положительные меры, которым соответствуют неубывающие непрерывные

справа функции распределения μ_i соответственно. Интеграл понимается в смысле Стилтье-

са. Будем предполагать, что функции μ_i (i = 1, 2) представляют собой суммы абсолютно

непрерывных функций и функций скачков (ступенчатых функций), сингулярная компонента

отсутствует. Кроме того, будем считать, что выполнены условия

∫

dμ_i(τ)

< 1, i = 1, 2.

(3)

Зададим оператор A₀ равенством

(

∫

)

(

∫

)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

A₀ :=

A+ 1-

Замечание 1. Из свойств операторов A и B и неравенства Гайнца (см. [6, гл. 1, теоре-

ма 7.1]) следует, что оператор A₀ является обратимым, операторы Q₁ := A1/2A-1/20, Q₂ :=

:= B1/2A-1/20 допускают ограниченное замыкание в H, оператор A-10 ограничен.

Предположим, что вектор-функция A1/20f(t) ∈ C(R₊, H) и вектор ϕ₀ ∈ D(A3/20).

Определение 1. Будем называть вектор-функцию u(t) классическим решением задачи

(1), (2), если u(t) ∈ C²(R₊, H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R₊, H) и u(t) удовлетворяет уравнению (1)

для каждого значения t ∈ R₊ и начальному условию (2).

Преобразование Лапласа

û(λ) решения u(t) задачи (1), (2) с начальными условиями

u(+0) = 0, u⁽¹⁾(+0) = 0 имеет следующее представление:

û(λ) = L-1(λ

f (λ), в котором

f - преобразование Лапласа функции f, а оператор-функция L(λ) является символом урав-

нения (1) и задаётся равенством

L(λ) = λ²I + A + B -K1(λ)A -K2(λ)B,

здесь

K_i(λ) (i = 1,2) - преобразование Лапласа ядра K_i(t) (i = 1,2), имеющее, очевидно, вид

+^∞

dμ_i(τ)

K_i(λ) =

i = 1,2.

λ+τ

Через Ω_k (i = 1, 2) обозначим пространства L2μk (R₊, H) вектор-функций на полуоси R₊

со значениями в H, снабжённые соответственно нормами

∫

)1/2

||u||Ωk =

||u(s)||2H dμ_k(s)

Пространства Ω_k (k = 1, 2) являются сепарабельными гильбертовыми (см., например, [7,

с. 142]).

Замечание 2. Формально элементы ξ(s) пространства Ω_k достаточно определить только

⋃₂

на подмножестве

suppdμ_k ⊂ R₊.

k=1

2. Абстрактная задача Коши в расширенном функциональном пространстве.

Рассмотрим сильно непрерывную мультипликативную полугруппу L_k(t) в пространстве Ω_k

(см. [8, c. 65]): Lk(t)ξ(τ) = etτξ(τ), ξ(τ) ∈ Ωk, t ≥ 0, τ ∈ suppμk. Известно, что ли-

нейный оператор T_kξ(τ) = τξ(τ) в пространстве Ω_k с областью определения D(T_k) :=

:= {ξ ∈ Ω_k : τξ(τ) ∈ Ω_k} является генератором полугруппы L_k(t) (см. [8, c. 65]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

570

ВЛАСОВ, РАУТИАН

Определим взаимно сопряжённые операторы B_k : H → Ω_k и B^∗k : Ω_k → H равенствами

∞

∫

B_kv =

√τQkv,Bkξ(τ)=Qk

√τξ(τ)dμk(τ),τ∈suppdμk,k=1,2.

Введём гильбертово пространство H = H

^⊕H^⊕(⊕2k=1Ω_k), снабжённое нормой

∑

⋃

∥(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))∥2H = ||v||2H + ||ξ₀||2H +

||ξ_k(τ)||2 ,

τ ∈

suppdμ_k.

Ω_k

k=1

Рассмотрим в пространстве H линейный оператор A с областью определения

{

}

∑

D(A) = (v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ)) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ∈ H1/2, ξ_k(τ) ∈ D(T_k), k=1,2

k=1

действующий следующим образом:

(

[

]

∑

)т

A(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))^т =

-A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) , A1/20v, B_kA1/20v - T_kξ_k(τ), k = 1,2

k=1

В работе [9] показано, что при выполнении условий (3) оператор A в пространстве H с плот-

ной областью определения D(A) является максимально диссипативным и, следовательно,

представляет собой генератор сжимающей C₀-полугруппы S(t) = etA в пространстве H.

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t), t > 0, Z(0) = Z₀.

(4)

В работе [9] доказана теорема о существовании и единственности классического реше-

ния Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)) задачи (4) в предположениях, что вектор-функция

F (t) имеет вид F (t) := (f₁(t), 0, 0, 0), где f₁(t) = f(t) - (M₁(t)A + M₂(t)B)ϕ₀ и M_k(t) :=

∫+∞

e^-tτ τ-1dμ_k(τ), k = 1,2, вектор Z₀ имеет вид Z₀ = (ϕ₁,A1/20ϕ₀,0,0). Установлено

также, что при указанных предположениях v(t) = u^′(t), ξ₀(t) = A1/20u(t), где u(t) - клас-

сическое решение задачи (1), (2). Кроме того, получена оценка нормы решения задачи (4) в

пространстве H и оценка энергетической нормы решения задачи (1), (2) в пространстве H.

3. Свойства оператор-функции L(λ) и оператора A.

Определение 2. Множество значений λ ∈ C называется резольвентным множеством

R(L) оператор-функции L(λ), если для любого λ ∈ R(L) оператор-функция L-1(λ) су-

ществует и ограничена. Множество σ(L) = C\R(L) называется спектром оператор-функ-

ции L(λ).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) и supp dμ_k ⊂ (d, +∞), где d > 0 (k = 1, 2).

Тогда спектр оператор-функции L(λ) и спектр оператора A лежат в открытой левой по-

луплоскости {λ ∈ C : Re λ < 0}. При этом невещественный спектр оператор-функции L(λ)

совпадает с невещественным спектром оператора A, симметричен относительно веще-

ственной оси и состоит из изолированных точек конечной алгебраической кратности, не

имеющих конечных точек накопления.

Доказательство теоремы 1 содержится в статье [10]. Условия (3) являются существенны-

ми для устойчивости задачи решения (1), (2).

Перейдём теперь к уточнению локализации спектра оператор-функции L(λ) в левой по-

луплоскости в случае, когда носитель меры dμ_k(τ) (k = 1, 2) принадлежит полуоси [d₁, +∞),

0 < d₁ < +∞. Рассмотрим уравнения

τ K₁(x) + (1 - τ)K2(x) = 1,

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛУГРУПП

571

τ K₁(x) + (1 - τ)K2(x) = 1 + x²/ω².

(6)

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3) и носители мер dμ_k(τ) (k = 1, 2) принадле-

жат полуоси [d₁, +∞),

0 < d₁ < +∞. Тогда множество вещественных корней уравнения

(6) принадлежит спектру оператор-функции L(λ), причём вещественный корень x₁(τ) ∈ (-

-d₁,0) уравнения (6), если он существует, удовлетворяет неравенству x₁(τ) < x₀(τ) < x₀ <

< 0, где x₀ := max{x₀(τ^′), x₀(τ^′′)}, а x₀(τ) - вещественный корень уравнения (5), лежащий

в интервале (-d₁,0), τ^′ := ∥(A + B)1/2A-1/2∥-2, τ^′′ := ∥A1/2(A + B)-1/2∥². Если носители

мер dμ_k(τ) (k = 1,2) принадлежат отрезку [d₁,d₂],

0 < d₁ < d₂ + ∞, то уравнения (5) и

(6) не имеют корней на полуинтервале (-∞,-d₂].

Уточним локализацию невещественной части спектра оператор-функции L(λ) в случае,

когда мера dμ_k(τ) имеет компактный носитель.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3) и носители мер dμ_k(τ) (k = 1, 2) принадле-

жат отрезку [d₁, d₂],

0 < d₁ < d₂ < +∞. Тогда невещественная часть спектра оператор-

функции L(λ) принадлежит полосе Ω := {λ ∈ C : α₁ ≤ Re λ ≤ α₂}, где

]

^[K₁(0)(Af,f) + K₂(0)(Bf,f)

α₁ = -

sup

f ∈ D(A),

(7)

((A + B)f, f)

||f||=1

[∫d2

∫

d₂

]

(Af, f)dμ₁(τ)

(Bf, f)dμ₂(τ)

α₂ = -

inf

f ∈ D(A).

(8)

||f||=1

((A + B)f, f) + τ²

d₁

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3) и носители мер dμ_k(τ) (k = 1, 2) принад-

лежат отрезку [d₁, d₂],

0 < d₁ < +∞. Тогда существует такое ε₁ > 0, что для всех

ε ∈ (0,ε₁) оператор функция (λA-1 - I)-1 ограничена в области Γ_ε = {λ ∈ C : |λ| ≥ ε-1,

| arg λ ± π/2| ≥ ε}.

Доказательство теорем 2-4 содержится в статье [11].

Пусть носители мер dμ_k(τ) (k = 1, 2) принадлежат отрезку [d₁, d₂],

0 < d₁ < d₂ < +∞.

Тогда на основании теоремы 1, а также представлений (23) и (35) из статьи [9] заключаем,

что вещественная часть спектра оператора A принадлежит множеству [-d₂, x₀). Кроме того,

из теоремы 2 следует существование такого числа δ > 0, что внутри контура Γ = {x + iy ∈

∈ C : x ∈ [-d₂ - δ, x₀ + δ], y = ±δ} нет невещественных точек спектра оператора A._∫

Обозначим через Q проектор Рисса Q = -1/(2πi)_Γ (A - λI)-1dλ. Рассмотрим подпро-

странства H₁ := QH и H₂ := (I - Q)H. Заметим, что подпространство H₁ отвечает веще-

ственной части, а подпространство H₂ - невещественной части спектра оператора A.

Обозначим s_j(A-1/20) (j = 1, 2, . . .) - собственные значения самосопряжённого компактно-

го положительного оператора (A-1/20), упорядоченные по убыванию, с учётом кратности.

Теорема 5 (о полноте). Пусть выполнены условия (3), носители мер dμ_k(τ) (k = 1, 2)

принадлежат отрезку [d₁,d₂],

0 < d₁ < d₂ < +∞, и для некоторого p > 0 выполнено

соотношение

lim

(js^pj(A-1/20)) = 0.

(9)

j→+∞

Тогда система собственных и присоединённых векторов оператора A, отвечающих собствен-

ным значениям, принадлежащим множеству Ω := {λ ∈ C\R : α₁ ≤ Reλ ≤ α₂}, где α₁ и α₂

определяются формулами (7), (8), является полной в подпространстве H₂.

Доказательство теоремы 5 содержится в статье [10].

4. Представление решений. Представим начальный вектор Z₀ задачи (4) в виде Z₀ =

= Z₀₁+Z₀₂, где Z0k ∈ H_k, k = 0,1. Напомним, что подпространство H₁ отвечает веществен-

ной части, а подпространство H₂ - невещественной части спектра оператора A. Обозначим

Q₁ := Q, Q₂ := I - Q, A_k := Q_kAQ_k, k = 1,2, - сужение оператора A на подпростран-

ство H_k, которое является диссипативным оператором. Согласно теореме 5 система корневых

векторов оператора A₂ полна в пространстве H₂. Следовательно, при любом ε > 0 каждый

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

572

ВЛАСОВ, РАУТИАН

вектор Z₀₂ ∈ H₂ можно приблизить, с точностью до слагаемого Z0ε

(∥Z0ε∥_H < ε), линейной

комбинацией корневых векторов ξ_njs ∈ H₂, n = 0, ±1, ±2, . . . , ±N(ε), j = 1, j_n, s = 0, snj ,

оператора A₂, соответствующих невещественным собственным значениям λ_n (λ_-n =λn),

n = 0,±1,±2,...,±N(ε). В указанных обозначениях решение Z(t) задачи (4) при F(t) ≡ 0

представимо в виде Z(t) = Z₁(t)+Z₂(t), где Z_k(t) ∈ H_k, k = 1, 2, Z_k(t) = etAk Z0k = etAk Q_kZ₀,

t > 0.

Теорема 6 (представление решений). Пусть выполнены условия (3), носители мер dμ_k(τ)

(k = 1, 2) принадлежат отрезку [d1, d2],

0 < d₁ < d₂ < +∞, и при некотором p > 0

выполнено соотношение (9). Тогда решение Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)) ∈ H задачи

Коши (4) при F (t) ≡ 0 для любого ε > 0 представимо в следующем виде:

)

N (ε)∑

∑ (_ts

ts-1

Z(t) = etA1 Z₀₁ +

c_njs

ξnj0 +

ξnj1 + ... + tξnj(s-1) + ξ_njs eλnt + etA2 Z0ε,

(s - 1)!

n=-N(ε) j=1 s=0

где ∥Z0ε∥H < ε,

{λ_n}n∈Z (λ_-n =λn) - невещественные собственные значения оператора

A, которые принадлежат полосе Ω := {λ ∈ C : α₁ ≤ Re λ ≤ α₂} с величинами α_i (i = 1,2),

определяемыми формулами (7), (8), (ξnj0, ξnj1, . . . , ξ_njs) - цепочки собственных и присоеди-

нённых векторов оператора A, соответствующих собственному значению λ_n, snj - мак-

∑jn

симальная длина производной цепочки, отвечающей вектору ξnj0,

snj = p_n - алгебраи-

j=1

ческая кратность собственного значения λ_n, вектор-функции etA1 Z₀₁ и etA2 Z0ε для любого

ε > 0 и любого сколь угодно малого δ > 0 удовлетворяют неравенствам ∥etA1 Z01∥H1 ≤

C(δ)∥Z₀₁∥H1 e(x0+δ)t и

∥etA2 Z0ε∥H2 < ∥Z0ε∥H2 < ε, t ≥ 0, с константой C(δ), не зависящей

∫t

от вектора Z₀₁. Кроме того, вектор-функция u(t) =

v(s) ds + ϕ₀ является решением

задачи (1), (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 20-01-00288 A).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.

2. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York; London, 1971.

3. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory. Theory and

Applications. New; York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2012.

4. Gurtin M.E., Pipkin A.C. General theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech.

Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

5. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

6. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, М., 1967.

7. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гиль-

бертовы пространства. М., 1961.

8. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.

9. Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными

уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 9. С. 1255-1272.

10. Rautian N.A. On the properties of the generators of semigroups associated with Volterra integro-dif-

ferential equations // Differ. Equat. 2021. V. 57. № 12. P. 1652-1664.

11. Rautian N.A. Studying Volterra integro-differential equations by methods of the theory of operator

semigroups // Differ. Equat. 2021. V. 57. № 12. P. 1665-1684.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 20.03.2022 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 20.03.2022 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 21.04.2022 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022