ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.575-590

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.983.51

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ

С ДРОБНЫМИ СТЕПЕНЯМИ ОПЕРАТОРНОГО

КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

Рассмотрена неполная начальная задача для абстрактного сингулярного уравнения Эй-

лера-Пуассона-Дарбу. Установлено, что при ослаблении требований на операторный ко-

эффициент рассматриваемого уравнения для построения решений следует использовать

дробные степени этого операторного коэффициента. Показано также, что дробная степень

операторного коэффициента связывает условие Дирихле и весовое условие Неймана в слу-

чае граничной задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

DOI: 10.31857/S0374064122050016, EDN: CAMOUB

Введение. Пусть A - замкнутый оператор в банаховом пространстве E с плотной в E

областью определения D(A). Рассмотрим уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

u^′′(t) +

u^′(t) = Au(t), t > 0, k > 0.

(1)

Как следует из результатов работ [1-3], корректная постановка начальных условий для

уравнения ЭПД (1) состоит в задании в точке t = 0 начальных условий

u(0) = u₀, u^′(0) = 0,

(2)

при этом если k ≥ 1, то начальное условие u^′(0) = 0 выполнено автоматически, т.е. снимается,

что характерно для ряда уравнений с особенностью в коэффициентах при t = 0.

Задача (1), (2) при k = 0 равномерно корректна только тогда, когда оператор A - гене-

ратор косинус-оператор-функции C(t; A). (По поводу терминологии см. обзорную работу [4].)

Что касается абстрактного уравнения ЭПД (1), то оно встречалось ранее в [5; 6, гл. 1; 7] при

различных предположениях об операторе A. В работах автора [1, 2] приведены необходимые

и достаточные условия на оператор A, обеспечивающие корректную разрешимость задачи

(1), (2). В работе [2] они сформулированы в терминах оценки нормы резольвенты R(λ, A)

оператора A и её весовых производных, а в [1] - в терминах дробной степени резольвенты и

её обычных производных. Множество операторов A, при которых задача (1), (2) равномер-

но корректна, обозначим через G_k, а разрешающий оператор этой задачи - через Y_k(t; A) и

назовём его операторной функцией Бесселя (ОФБ). ОФБ Y_k(t; A) имеет (см. [1, 2]) экспонен-

циальный тип при t → ∞ и для неё справедлива оценка

∥Y_k(t; A)∥ ≤ Υe^ωt,

(3)

где Υ ≥ 1, ω ≥ 0 - вещественные числа.

Если 0 < k < 1, то корректна также и более общая, чем в (2), постановка начальных

условий, а именно:

u(0) = u₀, lim

t^ku^′(t) = u₁.

(4)

t→0

ОФБ Y_k(t) может быть использована и при решении весовой задачи Коши (1), (4) для

уравнения ЭПД. При u₀, u₁ ∈ D(A) и A ∈ G_k ⊂ G2-k единственное решение задачи Коши

(1), (4) имеет вид (см. [8])

1-k

u(t) = Y_k(t; A)u₀ +

Y2-k(t;A)u₁.

1-k

575

576

ГЛУШАК

Если оператор A ∈ G_k и k ≥ 1, то задача (1), (4) корректной не является и, как указано

ранее, следует рассматривать задачу (1), (2). Отметим, что исследование корректной разре-

шимости весовой задачи Коши проведено автором в работе [9]. Естественно возникает вопрос:

а можно ли ослабить условия на класс операторов A так, чтобы была разрешима некоторая

другая начальная задача для уравнения ЭПД? Ответ на него будет дан в следующем пункте

работы.

1. Неполная задача Коши. В работе [10] введена в рассмотрение операторная функция

Макдональда, которая позволяет определить решение уравнения (1), стремящееся к нулю при

t → ∞, и рассмотреть случай так называемой неполной задачи Коши, когда второе начальное

условие при t = 0 не задаётся именно за счёт стремления решения к нулю при t → ∞. При

этом, как установлено, вид первого начального условия зависит от входящего в уравнение

(1) параметра k > 0. Ранее неполная задача Коши для абстрактного волнового уравнения

(случай k = 0 в уравнении (1)) изучалась в работах [11-16].

Указанное стремление решения к нулю обеспечивается видом оператора A. Будем пред-

полагать, что A = B², где B - генератор C₀-полугруппы T (t; B), допускающей оценку

∥T (t; B)∥ ≤ Υe^-ωt,

(5)

Υ ≥ 1, ω > 0 - вещественные числа.

С оператором A такого вида задача Коши для уравнения (1) с начальными условиями

вида (2) корректной не является, поскольку, вообще говоря, в этом случае A = B² ∈ G_k.

Пример 1. Примером удовлетворяющей оценке (5) полугруппы является полугруппа

T (t; B)u₀(x) = e^-tu₀(x + t),

допускающая оценку ∥T (t; B)∥ ≤ e^-t в банаховом пространстве BU(R) ограниченных равно-

мерно непрерывных на R функций с sup-нормой и генератором

Bu₀(x) = u′0(x) - u₀(x).

Отметим также, что множество генераторов C₀-полугрупп, удовлетворяющих неравенству

(5), вместе с каждым оператором B содержит также и дробные степени B_α = -(-B)^α, 0<

< α < 1, этого оператора (подробнее о функциях от оператора и, в частности, о дробных

степенях см. [17, гл. 4, § 14; 18, с. 358; 19, гл. 1, § 5; 20, с. 96]). Действительно, полугруппа,

порождённая оператором B_α, имеет вид (см. [18, с. 357-363])

∞

∫∞

∫

T (t; B_α) = f_t,α(s)T (s; B) ds = f1,α(s)T (st1/α; B) ds,

где неотрицательная функция f_t,α(s) определена равенством

⎧

∫

⎪

⎨

exp(sz - tz^α) dz, s ≥ 0,

f_t,α(s) =

2πi

⎪

⎩ σ-i∞

s < 0,

σ > 0, t > 0,

0 < α < 1, и ветвь функции z^α выбрана так, что Rez^α > 0 при Rez >

> 0. Функция f_t,α(s) при s > 0 может быть выражена через функцию типа Райта [21, гл. 1]

f_t,α(s) = s-1e1,01,α(-ts^-α), где

∑

z^k

e^μ,δα,β(z) =

α > max{0;β}, μ,z ∈ C,

Γ(αk + μ)Γ(δ - βk)

k=0

Γ(·) - гамма-функция Эйлера.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

577

Учитывая оценку (5) и равенство (см. формулу (2.2.37) в [21, с. 79])

∞

∫

s-1e1,01,α(-s^-α)exp(-ωst1/α)ds = exp(-ω^αt),

оценим ∥T (t; B_α)∥. Будем иметь

∫∞

∥T (t; B_α)∥ ≤ Υ s-1e1,01,α(-s^-α) exp(-ωst1/α) ds = Υ exp(-ω^αt),

следовательно, полугруппа T (t; B_α) удовлетворяет требуемому неравенству вида (5).

Следуя [10], введём в рассмотрение операторную функцию, которая может быть записана

и в терминах оператора Эрдейи-Кобера K_η,α (см., например, [22, раздел 18.1, формулы (18.3),

(18.8)]), в виде

∞

∫

√π

M_k(t;B)v₀ =

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)v₀ ds =

K1/2-k/2,k/2T(t;B)v₀, v₀ ∈ E.

(6)

Γ(k/2)

Сходимость интеграла в выражении (6) обеспечена условием k > 0 и оценкой (5).

Если B ∈ R, B < 0, то T (t; B) = e^Bt и (см. [23, интеграл 2.3.5.4])

M_k(t;B) = (-Bt/2)1/2-k/2Kk/2-1/2(-Bt),

(7)

где K_ν (·) - функция Макдональда. Поэтому операторная функция M_k(t; B) была названа

операторной функцией Макдональда (ОФМ).

Из неравенства (5) и представления (7) вытекает оценка

∥M_k(t; B)∥ ≤ Υt1/2-k/2Kk/2-1/2(ωt), Υ ≥ 1, ω > 0,

и стремление функции M_k(t; B)v₀, v₀ ∈ E, к нулю при t → ∞, т.е. равенство

lim

∥M_k(t; B)v₀∥ = 0.

(8)

t→∞

Функция M_k(t; B)v₀, v₀ ∈ D(A), удовлетворяет уравнению (1). Использовав обозначение

M^′k(t;B)v₀ = (M_k(t;B)v₀)^′, вычислим производные этой функции. Имеем

∫

∞

∫

∞

√π

M^′k(t;B)v₀ =

s(s² - 1)k/2-1T (ts; B)Bv₀ ds =

(s² - 1)k/2T (ts; B)Bv₀ ds =

Γ(k/2)

kΓ(k/2)

√

(

∫

∞

)

(s² - 1)k/2T (ts; B)Bv₀|∞1 - t (s² - 1)k/2T (ts; B)B²v₀ ds

kΓ(k/2)

∞

∫

t√π

(s² - 1)k/2T (ts; B)Av₀ ds,

kΓ(k/2)

∞

∫

√π

M^′′k(t;B)v₀ =

s²(s² - 1)k/2-1T(ts;B)Av₀ ds.

Γ(k/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

578

ГЛУШАК

Подставив найденные производные в левую часть уравнения (1), получим

∫

∞

√π

M^′′k(t;B)v₀ +

M^′k(t;B)v₀ =

(s²(s² - 1)k/2-1 - (s² - 1)k/2)T (ts; B)Av₀ ds =

Γ(k/2)

∞

∫

√π

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)Av₀ ds = AM_k(t; B)v₀,

(9)

Γ(k/2)

и, следовательно, функция M_k(t; B)v₀, v₀ ∈ D(A), удовлетворяет уравнению (1).

Для введённой ОФМ M_k(t; B), определяющей решение уравнения (1), справедлива фор-

мула сдвига решения по параметру. Ранее аналогичная формула, причём только в сторону

увеличения индекса для ОФБ Y_k(t; A), была установлена в работах [1, 2] и в более общем

виде в [24]. В следующей теореме покажем, что одна из формул сдвига связана с дробными

степенями входящего в уравнение (1) генератора полугруппы B.

Теорема 1. Пусть 0 < k < m, 0 < p < k, оператор A представим в виде A = B², где

B - генератор C₀-полугруппы T(t;B), допускающей оценку (5). Тогда и в сторону увеличе-

ния, и в сторону уменьшения индекса справедливы формулы сдвига по параметру:

∞

∫

M_m(t;B)v₀ =

s^k(s² - 1)m/2-k/2-1M_k(ts;B)v₀ ds, v₀ ∈ E,

(10)

Γ(m/2 - k/2)

∞

∫

k-p

2p-k+1(-tB)

M_p(t;B)v₀ =

s(s² - 1)k/2-p/2-1M_k(ts; B)v₀ ds, v₀ ∈ D((-B)k-p+2).

(11)

Γ(k/2 - p/2)

Доказательство. Формула (10) сдвига решения по параметру с точки зрения дробного

исчисления является следствием известной формулы композиции для операторов Эрдейи-

Кобера (см. [22, раздел 18.1, формулы (18.3), (18.8), (18.16)]), которая имеет вид

K_η,αKη+α,βu(t) = Kη,α+βu(t).

(12)

Действительно, положив в (12) значения

m-k

1-m

α=

β =

η=

получим формулу (10). Отметим также, что непосредственная проверка этой формулы при-

водится в работе [10].

Чтобы вывести формулу сдвига (11) из формулы (12) для композиции при

p-k

1-p

α=

< 0, β =

η=

следует осуществить и мотивировать операцию весового дифференцирования, которая скрыта

в операторе K_η,α при α < 0. Проще проверить справедливость этой формулы непосредствен-

но, не используя формулу (12) для композиции.

При доказательстве формулы (11) сдвига решения в сторону уменьшения индекса будет

использовано известное представление полугруппы T (t; B) с помощью резольвенты R(λ; B) =

= (λI - B)-1 оператора B, которое на элементах v₀ ∈ D(B²) при -ω < σ < 0 имеет вид

(см., например, [19, с. 48])

∫

R(λ; B)B²v₀

T (t; B)v₀ =

e^λtR(λ;B)v₀ dλ =

e^λt

dλ.

(13)

2πi

λ²

σ-i∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

579

Последний интеграл в равенстве (13) сходится абсолютно и равномерно по t ≥ 0, что

обеспечивает законность изменения порядка интегрирования в последующих выкладках.

Учитывая представление (13) и интегралы 2.3.5.4 из [23] и 2.16.3.8 из [25], после элемен-

тарных преобразований получаем

∞

∫

2p-k+1(-tB)^k-p

s(s² - 1)k/2-p/2-1M_k(ts; B)v₀ ds =

Γ(k/2 - p/2)

∫

∞

∫

∞

∫

k-p

2p-k+1

√π(-tB)

k/2-p/2-1

R(λ; B)B²v₀

s(s² - 1)

(τ² - 1)k/2-1

e^λtsτ

dλ dτ ds =

Γ(k/2)Γ(k/2 - p/2)

2πi

λ²

σ-i∞

∫

∞

∫

∞

k-p

2p-k+1

√π(-tB)

R(λ; B)B²v

s(s² - 1)k/2-p/2-1

(τ² - 1)k/2-1e^λtsτ dτ dλ ds =

Γ(k/2)Γ(k/2 - p/2)

2πi

λ²

σ-i∞

∫

∞

k-p

t(k+1)/2-p(-B)

s3/2-k/2(s² - 1)k/2-p/2-1 ×

2k/2-1/2-pΓ(k/2 - p/2)

∫

tk/2+1/2-p(-B)^k-p

(-λ)1/2-k/2Kk/2-1/2(-λts)R(λ; B)v₀ dλ ds =

2πi

2k/2-1/2-pΓ(k/2 - p/2)

σ-i∞

∞

∫

(-λ)-3/2-k/2R(λ; B)²v0

s3/2-k/2(s² - 1)k/2-p/2-1Kk/2-1/2(-λts)ds dλ =

2πi

σ-i∞

∫

k-p

t1/2-p/2(-B)

(-λ)p/2-3/2-kKp/2-1/2(-tλ)R(λ; B)B²v₀ dλ =

21/2-p/2

2πi

σ-i∞

∫

k-p

(-B)

⁽-tλ)1/2-p/2

(-λ)p-k-2

Kp/2-1/2(-λt)R(λ;B)B²v₀ dλ =

2πi

σ-i∞

= (-B)^k-p(-B)p-k-2M_p(t; B)B²v₀ = M_p(t; B)v₀.

Последние равенства записаны по определению функции от оператора (см. [19, с. 136]) на

основании скалярного равенства (7). Таким образом, формула сдвига (11) также установлена.

Следует отметить, что оператор в правой части (11) содержит композицию неограниченно-

го оператора B^k-p при k > p и интегрального, поэтому, также как и оператор Эрдейи-Кобера

K_η,α при α < 0, является по сути интегро-дифференциальным оператором. Теорема доказана.

Теперь укажем, какому начальному условию при t = 0 удовлетворяет ОФМ M_k(t; B).

Если 0 < k < 1, v₀ ∈ E, то после очевидных преобразований получим

∫

∞

∫

∞

√π

lim

M_k(t;B)v₀ =

lim

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)v₀ ds =

(s² - 1)k/2-1 ds,

t→0

Γ(k/2)

t→0

Γ(k/2)

√π Γ(k/2)Γ(1/2 - k/2)

v₀ =

Γ(1/2 - k/2)v₀.

(14)

Γ(k/2)

2Γ(1/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

580

ГЛУШАК

Установим далее, что ОФМ может быть использована при решении неполной задачи Ко-

ши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Нас будет интересовать решение уравнения (1),

удовлетворяющее условиям

u(0) = u₀, lim

∥u(t)∥ = lim

∥u^′(t)∥ = lim ∥u^′′(t)∥ = 0.

(15)

t→∞

В следующей теореме покажем, что в отличие от корректной задачи (1), (4) при 0 < k < 1

производная решения задачи (1), (15) связана с дробной степенью входящего в уравнение (1)

генератора полугруппы B.

Теорема 2. Пусть 0 < k < 1, оператор A представим в виде A = B², где B - генератор

C₀-полугруппы T(t;B), допускающей оценку (5), и u₀ ∈ D(A). Тогда функция

∞

∫

2√π

u(t) =

M_k(t;B)u₀ =

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)u₀ ds

(16)

Γ(1/2 - k/2)

Γ(k/2)Γ(1/2 - k/2)

является единственным решением неполной задачи Коши (1), (15) и, кроме того, удовлетво-

ряет содержащему дробную степень оператора (-B)1-k начальному условию вида

2kΓ(k/2 + 1/2)

lim

t^ku^′(t) = -

(-B)1-ku₀, u₀ ∈ D(A²).

(17)

t→0

Γ(1/2 - k/2)

Доказательство. Из соотношений (8), (9), (14) следует, что определяемая равенством (16)

функция u(t) является решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям (15). Осталось

доказать единственность этого решения. Заметим, что для этого достаточно двух условий,

содержащихся в (15), а именно:

u(0) = u₀, lim ∥u(t)∥ = 0.

t→∞

Доказательство единственности решения задачи (1), (15) проведём методом от противного.

Пусть u₁(t) и u₂(t) - два решения этой задачи. Рассмотрим функцию двух переменных

w(t, s) = f(M_k(s; B)(u₁(t) - u₂(t))),

здесь f ∈ E^∗ (E^∗ - сопряжённое пространство к E) , M_k(s; B) - ОФМ, где t, s ≥ 0. Она,

очевидно, удовлетворяет уравнению и условиям

∂²w(t,s)

k ∂w(t,s)

∂²w(t,s)

k ∂w(t,s)

t,s > 0,

(18)

∂t²

∂t

∂s²

∂s

w(0, s) = 0, lim

w(t, s) = lim w(t, s) = 0.

(19)

t→∞

s→∞

Интерпретируем функцию w(t, s) как обобщённую функцию и по переменной s применим

I -преобразование.

Для скалярных экспоненциально убывающих при s → +∞ функций I-преобразование

определяется равенством

∫∞

√

ŵ(t, λ) =

λsI_p(λs)w(t,s)ds,

где p = (k - 1)/2, I_p(·) - модифицированная функция Бесселя. Распространение этого пре-

образования на обобщённые функции изложено в [26; 27, с. 63], при этом основные функции

также являются экспоненциально убывающими при s → +∞ функциями, что и обеспечивает

корректное определение I-преобразования обобщённой функции w(t, s).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

581

Из условий (18), (19) для образа ŵ(t, λ) в пространстве регулярных обобщённых функций

получим следующую задачу:

∂² ŵ(t,λ)

k ∂ ŵ(t,λ)

= λ² ŵ(t,λ), t > 0,

(20)

∂t²

∂t

ŵ(0, λ) = 0, lim ŵ(t, λ) = 0.

(21)

t→∞

Общее решение уравнения (20) имеет вид

ŵ(t, λ) = t(1-k)/2(d₁(λ)I(k-1)/2(λt) + d₂(λ)K(k-1)/2(λt)).

Из второго условия в (21) получаем d₁(λ) = 0, а из первого условия в (21) следует, что

d₂(λ) = 0. Поэтому

ŵ(t, λ) = w(t, s) = 0 для любого s ≥ 0. В силу произвольности функци-

онала f ∈ E^∗ при s = 0 получим равенство u₁(t) ≡ u₂(t), и единственность решения задачи

(1), (15) установлена.

Докажем справедливость равенства (17). Ранее было установлено, что

∞

∫

t√π

M^′k(t;B)u₀ = -

(s² - 1)k/2T (ts; B)Au₀ ds.

(22)

kΓ(k/2)

Учитывая представление (13) полугруппы T (t; B) с помощью резольвенты R(λ; B), ра-

венство (22) после изменения порядка интегрирования запишем в виде

∫

∞

tk+1√π 1

R(λ; B)

t^kM^′k(t;B)u₀ = -

A²u0

(s² - 1)k/2e^λts ds dλ =

kΓ(k/2) 2πi

λ²

σ-i∞

∫

k/2+1/2

2k/2-1/2t

(-λ)-k/2-5/2Kk/2+1/2(-λt)R(λ; B)A²u₀ dλ, u₀ ∈ D(A²).

(23)

2πi

σ-i∞

При преобразованиях был использован интеграл 2.3.5.4 из работы [23].

В равенстве (23) перейдём к пределу при t → 0. Поскольку в области K_ν (z) = 0, ν > 0,

Rez > 0 асимптотика функции Макдональда при z → 0 имеет вид (см. [28, с. 173])

K_ν(z) ∼ 2ν-1Γ(ν)z^-ν,

(24)

то по определению дробной степени оператора -B будем иметь

∫

2k-1Γ(k/2 + 1/2)

lim

t^kM^′k(t)u₀ = -

(-λ)-k-3R(λ; B)A²u₀ dλ =

t→0

2πi

σ-i∞

= -2k-1Γ(k/2 + 1/2)(-B)-k-3A²u₀ = -2k-1Γ(k/2 + 1/2)(-B)1-ku₀.

Следовательно, определяемая равенством (16) функция u(t) удовлетворяет предельному

соотношению (17), которое можно также рассматривать и как представление положительной

дробной степени оператора B, и как соотношение, связывающее начальные условия, накла-

дываемые на функцию и её производную. Теорема доказана.

Пример 2. В условиях примера 1, согласно теореме 2, при 0 < k < 1 для решения задачи

(1), (15), его производной и дробной степени оператора B справедливы представления

∞

∫

2√π

u(t, x) =

(s² - 1)k/2-1e^-tsu₀(x + ts) ds,

Γ(k/2)Γ((1 - k)/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

582

ГЛУШАК

∞

∫

-k

2√πt

u^′t(t,x) =

τ (τ² - t²)k/2-1e^-τ (u′0(x + τ) - u₀(x + τ)) dτ,

Γ(k/2)Γ((1 - k)/2)

∞

∫

(-B)1-ku₀(x) = -

τk-1e^-τ (u′0(x + τ) - u₀(x + τ))dτ.

Γ(k)

Если же параметр k ≥ 1, то ОФМ M_k(t; B) имеет особенность при t = 0 (см., например,

представление (7)). Поскольку при k = 1 у ОФМ M_k(t; B) имеется логарифмическая особен-

ность, а при k > 1 - степенная, то в этом случае удобно задавать весовое начальное условие

не для функции, а для производной. Тогда имеем

∞

∫

√πt

lim

t^kM^′k(t;B)v₀ = lim

s(s² - 1)k/2-1T (ts; B)Bv₀ ds =

t→0

t→0 Γ(k/2)

∫

∞

∫

∞

√π

lim

τ (τ² - t²)k/2-1T (τ; B)Bv₀ dτ =

τk-1T(τ;B)Bv₀ dτ =

Γ(k/2)

t→0

Γ(k/2)

√πΓ(k)

(-B)^-k(-B)v₀ = -

(-B)1-kv₀, v₀ ∈ D(A).

(25)

Γ(k/2)

Теорема 3. Пусть k ≥ 1, оператор A представим в виде A = B², где B - генератор

C₀-полугруппы T(t;B), допускающей оценку (5), и u₁ ∈ D((-B)k+1). Тогда функция

∫

∞

Γ(k/2)

u(t) = -

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)(-B)k-1u₁ ds

√πΓ(k)Mk(t;B)(-B)k-1u¹ =^-Γ(k)

является единственным решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям вида

lim

t^ku^′(t) = u₁, lim

∥u(t)∥ = lim

∥u^′(t)∥ = lim ∥u^′′(t)∥ = 0.

(26)

t→0

t→∞

Требуемое утверждение о разрешимости следует из соотношений (8), (9) и (25), а един-

ственность решения устанавливается аналогично доказательству теоремы 2.

Покажем далее, что вместо весового начального условия в (26) при некотором α > k - 1

можно задавать нелокальное интегральное условие вида

∞

∫

tα-1M_k(t;B)v₀ dt = u₂.

(27)

Интегральные условия, схожие с условием (27), встречались ранее в ряде работ (см., на-

пример, [29, 30]).

Элементарные вычисления позволяют интеграл в левой части (27) записать в виде

∫

∞

∫

∞

∫

∞

√π

tα-1M_k(t;B)v₀ dt =

tα-1

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)v₀ ds dt =

Γ(k/2)

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

√π

t^α-k (τ²- t²)k/2-1T(τ;B)v₀ dτ dt =

T (τ; B)v₀ t^α-k(τ² - t²)k/2-1 dt dτ =

Γ(k/2)

∫

∞

√πΓ((α - k + 1)/2)

√πΓ(α)Γ((α - k + 1)/2)

τα-1T(τ;B)v₀ dτ =

(-B)^-αv₀.

(28)

Γ((α + 1)/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

583

Теорема 4. Пусть k ≥ 1, α > k - 1, оператор A имеет вид A = B², где B - генератор

C₀-полугруппы T(t;B), допускающей оценку (5), и u₂ ∈ D((-B)α+2). Тогда функция

Γ((α + 1)/2)

u(t) =

√πΓ(α)Γ((α - k + 1)/2)Mk(t;B)(-B)-αu² =

∞

∫

Γ((α + 1)/2)

(s² - 1)k/2-1T (ts; B)(-B)^αu₂ ds

Γ(α)Γ((α - k + 1)/2)Γ(k)

является единственным решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям вида

∞

∫

tα-1u(t)dt = u₂, lim

∥u(t)∥ = lim

∥u^′(t)∥ = lim ∥u^′′(t)∥ = 0.

t→∞

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущих теорем, требуемое утверждение

о разрешимости следует из соотношений (8), (9) и (28).

Единственность решения устанавливается аналогично тому, как это было сделано в дока-

зательстве теоремы 2, при этом условия (21) для уравнения (20) следует заменить на условия

∞

∫

tα-1 ŵ(t,λ)dt = 0, lim

ŵ(t, λ) = 0.

t→∞

Теорема доказана.

2. Задача Дирихле. Переходим далее к рассмотрению эллиптического случая для урав-

нения ЭПД и покажем, что решение задачи Дирихле удовлетворяет также и содержащему

дробную степень операторного коэффициента весовому условию Неймана.

Под задачей Дирихле на полуограниченном интервале t ∈ (0, ∞) будем понимать задачу

об отыскании ограниченного решения уравнения

w^′′(t) +

w^′(t) = -Bw(t), m ∈ R,

(29)

удовлетворяющего граничному условию Дирихле

w(0) = w₀, w₀ ∈ D(B).

(30)

Сформулируем в удобном для дальнейшего изложения виде теорему о разрешимости рас-

сматриваемой задачи Дирихле, которая фактически установлена в работе [31].

Теорема 5. Пусть m < 1 и оператор B является генератором равномерно ограниченной

C₀-полугруппы T(t;B). Тогда функция

∫

∞

(

)

1-m

t²

w(t) =

τm/2-3/2 exp -

T (τ; B)w₀ dτ

(31)

21-mΓ(1/2 - m/2)

4τ

является единственным решением задачи Дирихле (29), (30).

Покажем, что дробная степень входящего в уравнение (29) оператора B связывает усло-

вие Дирихле и весовое условие Неймана, накладываемые на определяемое равенством (31)

решение задачи Дирихле. При этом, как и в работе [19, с. 151], вначале вместо оператора B

следует рассмотреть оператор B_ε = B + εI, ε > 0. Оператор B_ε является генератором уже

убывающей полугруппы T_ε(t; B_ε), т.е. полугруппы, для которой справедлива оценка

∥T_ε(t; B_ε)∥ ≤ Υe^-ωt, Υ ≥ 1, ω = ε > 0.

(32)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

584

ГЛУШАК

Затем в установленном для оператора B_ε равенстве перейдём к пределу при ε → 0 и по-

лучим соответствующее утверждение уже для оператора B. В целях упрощения обозначений

далее будем считать, что C₀-полугруппа T (t; B) удовлетворяет оценке (32).

Заменив переменную интегрирования в определяемой равенством (31) функции w(t), за-

пишем представление

∫

∞

(

)

⁽st²

w(t) =

sm/2-3/2 exp -

;B w0 ds

Γ(1/2 - m/2)

и вычислим производную. После обратной замены получим

∫

∞

(

)

⁾st

⁽st²

w^′(t) =

sm/2-3/2 exp -

;B w0 ds =

Γ(1/2 - m/2)

∫

∞

(

)

t²

τm/2-1/2 exp -

T (τ; B)Bw₀ ds.

(33)

Γ(1/2 - m/2)t^m

4τ

Отметим, что сходимость на бесконечности интеграла в равенстве (33) обеспечена оцен-

кой (32). Учитывая представление (13) полугруппы T (τ; B) с помощью резольвенты R(λ; B),

равенство (33) для Re λ = σ < 0 и w₀ ∈ D(B³) после изменения порядка интегрирования

запишем в виде

∫

∞

(

)

∫

t²

R(λ; B)

w^′(t) =

τm/2-1/2 exp -

e^λτ

B³w₀ dλdτ =

Γ(1/2 - m/2)t^m

4τ

2πi

λ²

σ-i∞

∫

∞

(

)

R(λ; B)

t²

B³w0

τm/2-1/2 exp λτ -

ds dλ.

(34)

Γ(1/2 - m/2)t^m 2πi

λ²

4τ

σ-i∞

Использовав интеграл 2.3.16.1 работы [23], равенство (34) запишем в виде

∫

m/2+1/2

(2t)

t^mw^′(t) =

(-λ)-m/4-9/4Km/2+1/2((-λ)1/2t)R(λ; B)B³w₀ dλ.

(35)

Γ(1/2 - m/2) 2πi

σ-i∞

В равенстве (35) перейдём к пределу при t → +0. Поскольку в области Re z > 0, K_ν (z) = 0

асимптотика функции Макдональда при z → 0 имеет вид (24), то по определению дробной

степени оператора B для -1 < m < 1 будем иметь

∫

2mΓ(1/2 + m/2)

lim

t^mw^′(t) =

(-λ)-m/2-5/2R(λ; B)B³w₀ dλ =

t→0

Γ(1/2 - m/2)

2πi

σ-i∞

∫

2mΓ(1/2 + m/2)

μ-m/2-5/2R(-μ;B)(-B)³w₀ dμ =

Γ(1/2 - m/2)

2πi

σ-i∞

2mΓ(1/2 + m/2)

(-B)-m/2-5/2(-B)³w₀ = c(m)(-B)1/2-m/2w₀,

Γ(1/2 - m/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

585

где

2mΓ(m/2 + 1/2)

c(m) =

0 < 1/2 - m/2 < 1.

Γ(1/2 - m/2)

Таким образом, доказана следующая

Теорема 6. Пусть оператор B является генератором равномерно ограниченной C₀-по-

лугруппы T (t; B), w₀ ∈ D(B³) и -1 < m < 1. Тогда определяемая равенством (31) функция

w(t), являющаяся единственным решением задачи Дирихле (29), (30), удовлетворяет содер-

жащему дробную степень оператора B весовому условию Неймана вида

2mΓ(m/2 + 1/2)

lim

t^mw^′(t) = c(m)(-B)1/2-m/2w₀, c(m) =

(36)

t→0

Γ(1/2 - m/2)

Пример 3. Если оператор B является генератором равномерно ограниченной C₀-полу-

группы, то оператор B_α = -(-B)^α, 0 < α < 1, также будет генератором такой же полугруп-

пы (см. [19, гл. 1, § 5; 18, с. 358]), и в силу теоремы 6 для решения w(t) задачи Дирихле (29),

(30) с оператором B_α при -1 < m < 1 справедливо предельное соотношение

lim

t^mw^′(t) = c(m)(-B)α(1-m)/2w₀.

t→0

Если же оператор

B - генератор равномерно ограниченной аналитической в правой полу-

плоскости полугруппы, то оператор

B_n = (-1)n+1 Bⁿ, n ∈ R, по теореме Паке [32] порождает

такую же полугруппу, поэтому для решения w(t) задачи Дирихле (29), (30) с оператором

B_n

при -1 < m < 1 имеет место предельное соотношение

lim

t^mw^′(t) = c(m)(-B)n(1-m)/2w₀.

t→0

В частности, в качестве операторов B и

B можно взять оператор A ∈ G_k, k > 0, если

он удовлетворяет оценке (3) с постоянной ω, равной нулю (см. [1, 2]).

Пример 4. Для того чтобы привести ещё один конкретный пример, возьмём пространство

E = L_p(R),

1 < p < ∞, или пространство E = BU(R), а также генератор B и полугруппу

T (t, B) следующего вида (см. [18, с. 369; 20, с. 96]):

∫

(

)

(x - s)²

T (t, B)w₀(x) =

√

exp

w₀(s)ds.

dx²

πt

−∞

Установлено, что оператор B1/2 = -(-B)1/2 является генератором равномерно ограни-

ченной полугруппы и соответственно имеет вид

∫

w₀(x - s) - w₀(x)

w₀(s)

B1/2w₀(x) = lim

ds, T (t, B1/2)w₀(x) =

ds.

h→0 π

s² + h²

t² + (x - s)²

−∞

-∞

Тогда по теореме 6 функция

∫

∞

(

∫

1-m

t²

w₀(s)ds

w(t, x) =

τm/2-1/2 exp -

dτ

21-mπΓ(1/2 - m/2)

4τ

τ² + (x - s)²

-∞

будет ограниченным решением псевдодифференциального уравнения (оператор B1/2 не яв-

ляется оператором дифференцирования d/dx)

∂²w(t,x)

m ∂w(t,x)

= -B1/2w(t,x), t > 0,

∂t²

∂t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

586

ГЛУШАК

удовлетворяющим условиям Дирихле и Неймана

w(0, x) = w₀(x), w₀(x) ∈ D(B) = E

^⋂H²(R),

∂w(t,x)

lim

t^m

= c(m)(-B1/2)1/2-m/2w₀(x) =

t→0

∂t

= c(m)((-B)1/2)1/2-m/2w₀(x) = c(m)(-B)1/4-m/4w₀(x),

-1 < m < 1.

В следующей теореме установим свойство, аналогичное теореме 6, которым обладает ре-

шение задачи Дирихле для уравнения

w^′′(t) +

w^′(t) - b²²w(t) = -Aw(t), b₂ ∈ R, t > 0,

(37)

имеющего более общей вид, чем уравнение (29). При этом будем предполагать, что A ∈ G_k,

k > 0, а соответствующая ОФБ Y_k(t;A) имеет экспоненциальный тип при t → ∞ и для неё

справедлива оценка (3). Как установлено в работе [33], выполняется и A - b²¹ ∈ G_k, b₁ ∈ R,

т.е. задача Коши с условием (2) для уравнения

u^′′(t) +

u^′(t) + b²¹u(t) = Au(t), b₁ ∈ R, t > 0,

является корректной и для Y_k(t; A - b²¹) также справедлива оценка вида (3).

Введём следующие обозначения:

√

k-m

b^q

k > 0, b := b²² - b²¹ > ω, q := 1 +

c(b, k, m) :=

2q-2Γ(k/2 + 1/2)Γ(1/2 - m/2)

Теорема 7. Пусть оператор A ∈ G_k, w₀ ∈ D(A), b > ω и -1 < m < 1. Тогда функция

∫∞

√

w(t) = c(b, k, m)t^q τ^k(1 + τ²)-q/2K_q(bt

1 + τ²)Y_k(tτ;A - b²¹I)w0 dτ

(38)

является единственным ограниченным решением задачи Дирихле (37), (30) и удовлетворяет

содержащему дробную степень оператора b²²I - A весовому условию Неймана вида

2mΓ(m/2 + 1/2)

lim

t^mw^′(t) =

(b²²I - A)1/2-m/2w₀ -

t→0

Γ(1/2 - m/2)

2mb²Γ(m/2 + 1/2)

−

(b²²I - A)-1/2-m/2w₀ - 2^mb2-2m(b²²I - A)m/2-1/2w₀, w₀ ∈ D(A²).

(39)

Γ(1/2 - m/2)

Доказательство. Тот факт, что определяемая равенством (38) функция w(t) является

единственным решением задачи Дирихле (37), (30), установлен в работе [31], и нам остаётся

доказать справедливость предельного соотношения (39). Учитывая следующие формулы для

производных функции Макдональда K_q(z) и ОФБ Y_k(t; A) (см. [1]):

(z^qK_q(z))^′ = -z^qKq-1(z), (Y_k(t; A)w₀)^′ =

Yk+2(t;A)Aw₀,

k+1

вычислим w^′(t). В результате получим

∫∞

√

w^′(t) = -bc(b,k,m)t^q τ^k(1 + τ²)1/2-q/2Kq-1(bt

1 + τ²)Y_k(tτ;A - b²¹I)w0 dτ +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

587

∞

∫

√

c(b, k, m)

tq+1

τk+2(1 + τ²)-q/2K_q(bt

1 + τ²)Yk+2(tτ;A - b²¹I)(A - b²¹I)w0 dτ.

(40)

k+1

Использовав схему доказательства теоремы 6 и интегральные представления функции

Макдональда K_q(z) (см. [28, с. 153]) и ОФБ Y_k(t; A)w₀, w₀ ∈ D(A²) (см. [2]), преобразу-

ем равенство (40) к виду

(

)q ∫∞

(

)

z²

K_q(z) =

s-q-1 exp -s -

ds,

∫

2k/2-1/2Γ(k/2 + 1/2)

Y_k(t;A)w₀ =

t1/2-k/2

λ3/2-k/2Ik/2-1/2(tλ)R(λ²;A)w₀ dλ, σ > ω.

iπ

σ-i∞

После элементарных преобразований будем иметь

∫

2k/2-1/2-qb^qc(b, k, m)Γ(k/2 + 1/2)

w^′(t) = -

t2q-1/2-k/2

λ3/2-k/2R(λ²;A - b²¹I)w₀ ×

iπ

σ-i∞

∫∞

(

)∫∞

(

)

b²t²

× s-q exp -s -

τk/2+1/2 exp -

τ²

Ik/2-1/2(tτλ)dτ ds dλ +

∫

2k/2-1/2-q b^qc(b, k, m)Γ(k/2 + 3/2)

t2q+1/2-k/2

λ1/2-k/2R(λ²;A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ ×

iπ(k + 1)

σ-i∞

∫∞

(

)∫∞

(

)

b²t²

× s-q-1 exp -s -

τk/2+3/2 exp -

τ²

Ik/2+1/2(tτλ)dτ ds dλ.

Вычислим внутренние интегралы в полученном равенстве, использовав формулы 2.15.5.4

из работы [25] и 2.3.16.1 из [23]. В результате получим

∫

2k/2+m/2b-k/2-m/2c(b, k, m)Γ(k/2 + 1/2)

w^′(t) = -

t^-m

λR(λ²; A - b²¹I)w₀ ×

2πi

σ-i∞

∫∞

(

)

λ²

b²t²

× s-m/2-1/2 exp -s 1 -

ds dλ +

b²

∫

2k/2+m/2+1b-k/2-m/2-2c(b, k, m)Γ(k/2 + 3/2)

t^-m

λR(λ²; A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ ×

2πi(k + 1)

σ-i∞

∫∞

(

)

λ²

b²t²

× sm/2-1/2 exp -s 1 -

ds dλ =

b²

2m+k/2+1/2b-k/2-3m/2+1c(b, k, m)Γ(k/2 + 1/2)

t-3m/2+1/2 ×

2πi

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

588

ГЛУШАК

∫

√

λ(b² - λ²)m/4-1/4K1/2-m/2(t

b² - λ²)R(λ²;A - b²¹I)w₀ dλ +

σ-i∞

2m+k/2+3/2b-k/2+m/2-1c(b, k, m)Γ(k/2 + 3/2)

t-m/2+1/2 ×

2πi(k + 1)

∫

√

λ(b² - λ²)-m/4-1/4Km/2+1/2(t b² - λ²)R(λ²; A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ dλ.

(41)

σ-i∞

После умножения равенства (41) на t^m перейдём к пределу при t → +0. Поскольку в

области Re z > 0, K_ν (z) = 0 асимптотика функции Макдональда при z → 0 имеет вид (24),

то для значений -1 < m < 1 будем иметь

2m+k/2b-k/2-3m/2+1c(b, k, m)Γ(k/2 + 1/2)Γ(1/2 - m/2)

lim

t^mw^′(t) = -

t→0

2πi

∫

λ(b² - λ²)m/2-1/2R(λ²; A - b²¹I)w₀ dλ +

σ-i∞

2k/2+m/2b-k/2+m/2-1c(b, k, m)Γ(k/2 + 1/2)Γ(m/1 + 1/2)

2πi

∫

λ(b² - λ²)-m/2-1/2R(λ²; A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ dλ.

(42)

σ-i∞

Пусть γ - парабола, образ проходимой снизу вверх прямой Re λ = σ при отображении

μ = λ². По определению функции от оператора (A - b²¹I) (см. [19, с. 136]) получим

∫

λ(b² - λ²)m/2-1/2R(λ²; A - b²¹I)w₀ dλ =

2πi

σ-i∞

∫

(b² - μ)m/2-1/2R(μ; A - b²¹I)w₀ dμ = -

(b²I - (A - b²¹I))m/2-1/2w₀ =

2 2πi

(b²²I - A)m/2-1/2w₀

(43)

и аналогично

∫

λ(b² - λ²)-m/2-1/2R(λ²; A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ dλ =

2πi

^σ-i∞ ∫

(b² - μ)-m/2-1/2R(μ; A - b²¹I)(A - b²¹I)w₀ dμ =

2 2πi

(b²²I - A)-m/2-1/2((b²² - b²)I - A)w₀ =

(b²²I - A)1/2-m/2 -

b²(b²²I - A)-m/2-1/2w₀.

(44)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

О СВЯЗИ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ

589

Из равенств (42)-(44) и вытекает справедливость требуемого соотношения (39). Отметим

также, что если оператор A такой, что в соотношении (39) можно перейти к пределу при

b → 0, то оно превратится в равенство (36) из теоремы 6. Теорема доказана.

В заключение отметим, что в частном случае, когда оператор A ∈ G_k и для ОФБ Y_k(t; A)

справедливо неравенство (3) с постоянной ω = 0, соответствующие результаты о связи реше-

ния задачи Дирихле с дробными степенями операторного коэффициента A получены автором

ранее в работе [34].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глушак А.В., Покручин О.А. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения

Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 1. С. 41-59.

2. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // Докл. АН СССР. 1997. Т. 352. № 5. С. 587-599.

3. Глушак А.В. Семейство операторных функций Бесселя // Геометрия и механика. Итоги науки и

техн. Сер. Совр. математика и её приложения. 2020. Т. 187. С. 36-43.

4. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и

линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. 1990. Т. 28.

C. 87-202.

5. Donaldson J.A. A singular abstract Cauchy problems // Proc. Nat. Acad. Sci. 1970. V. 66. № 2. P. 269-

274.

6. Carroll R.W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy Problems. New York, 1976.

7. Bragg L.R. Some abstract Cauchy problems in exceptional cases // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. V. 65.

№ 1. P. 105-112.

8. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши

// Изв. вузов. Математика. 1986. № 6. С. 55-56.

9. Глушак А.В. Критерий разрешимости весовой задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-

Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 5. С. 627-637.

10. Глушак А.В. Операторная функция Макдональда и неполная задача Коши для уравнения Эйлера-

Пуассона-Дарбу // Итоги науки и техн. Сер. Совр. математика и её приложения. 2021. Т. 195.

С. 35-43.

11. Balakrishnan A.V. Fractional powers of closed operators and semigroups generated by them // Pac. J.

Math. 1960. V. 10. P. 419-437.

12. Fattorini H.O., Radnitz A. The Cauchy problem with incomplete initial data in Banach spaces // Mich.

Math. J. 1971. V. 18. P. 291-320.

13. Fattorini H.O. The undetermined Cauchy problem in Banach spaces // Math. Ann. 1973. V. 200. P. 103-

112.

14. Dorroh J.R. Semigroups of operators and second order Cauchy problems // Semigroup Forum. 1985.

V. 31. P. 297-304.

15. de Laubenfels R. Second order incomplete expiring Cauchy problems // Semigroup Forum. 1989. V. 39.

P. 75-84.

16. de Laubenfels R. Existence families, functional calculi and evolution equations // Lect. Not. Math.

V. 1570. Berlin, Heidelberg, New York, 1994.

17. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операто-

ры в пространствах суммируемых функций. М., 1966.

18. Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967.

19. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

20. Голдстейн Д. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, 1989.

21. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного

и континуального порядка. Нальчик, 2005.

22. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

23. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.,

1981.

24. Глушак А.В. Операторная формула сдвига решения задачи Коши для абстрактного уравнения

Эйлера-Пуассона-Дарбу // Мат. заметки. 2019. Т. 105. Вып. 5. С. 656-665.

25. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.,

1983.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

590

ГЛУШАК

26. Koh E.L., Zemanian A.N. The complex Hankel and I-transformations of generalized functions // SIAM

J. Appl. Math. 1968. V. 16. № 5. P. 945-957.

27. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М., 1977.

28. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., 1963.

29. Прилепко A.M., Тихонов И.В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюци-

онном уравнении // Изв. РАН. Сер. Математика. 1994. Т. 58. № 2. С. 167-188.

30. Тихонов И.В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциаль-

ного уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 6. С. 841-843.

31. Глушак А.В. О стабилизации решения задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения в

банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 4. С. 510-514.

32. Paquet L.

Équations d’évolution pour opérateurs locaux et équations aux dérivés partielles // C. R. Acad.

Sci. 1978. AB286. № 4. P. A215-A218.

33. Глушак А.В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Мат. заметки.

1996. Т. 60. № 3. С. 363-369.

34. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и модифицированное

преобразование Гильберта // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 128-130.

Белгородский государственный национальный

Поступила в редакцию 10.11.2021 г.

исследовательский университет

После доработки 13.03.2022 г.

Принята к публикации 21.04.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022