ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.591-606

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.35

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ

УСЛОВИЕМ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Изучена смешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного урав-

нения колебания струны. Исследованы вопросы единственности, локальной и глобальной

разрешимости поставленной задачи в зависимости от характера нелинейностей, присут-

ствующих как в уравнении, так и в граничном условии. Рассмотрены случаи несущество-

вания решения не только в целом, но даже локально, а также когда эта задача имеет

взрывное решение.

DOI: 10.31857/S0374064122050028, EDN: CASWYZ

1. Постановка задачи. В плоскости независимых переменных x и t в области D_T :=

:= {(x, t) ∈ R² : 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим смешанную задачу определения решения

u(x, t) полулинейного волнового уравнения вида

□u + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ D_T ,

(1.1)

удовлетворяющего начальным

u(x, 0) = ϕ(x), u_t(x, 0) = ψ(x),

0≤x≤l,

(1.2)

и краевым условиям

u_x(0,t) = F[u_t(0,t)] + α(t),

0≤t≤T,

(1.3)

u_x(l,t) = β(t),

0≤t≤T,

(1.4)

где g, f, ϕ, ψ, F, α и β - заданные функции своих аргументов, u - искомая действительная

∂

∂²

функция, а оператор □ :=

∂t²

∂x²

Легко видеть, что при выполнении

f ∈ C¹(D_T), g,F ∈ C¹(R),

ϕ ∈ C²([0,l]), ψ ∈ C¹([0,l]), α,β ∈ C¹([0,T])

(1.5)

необходимыми условиями разрешимости задачи (1.1)-(1.4) в классе C²(D_T ) являются следу-

ющие условия согласования второго порядка:

ϕ′(0) = F [ψ(0)] + α(0),

ψ^′(0) = F^′[ψ(0)]{ϕ^′′(0) - g[ϕ(0)] + f(0,0)} + α^′(0),

ϕ′(l) = β(0), ψ^′(l) = β^′(0).

(1.6)

Отметим, что нелинейное граничное условие вида (1.3), когда функция F зависит только

от u, возникает, например, при описании процесса продольных колебаний пружины в случае

упругого закрепления одного из её концов, когда натяжение не подчиняется линейному закону

Гука и является нелинейной функцией смещения [1, с. 41; 2-4], а также при описании процес-

сов в распределённых автоколебательных системах [5, с. 405]. Краевое условие (1.3) возника-

ет, например, когда конец пружины испытывает сопротивление среды, нелинейно зависящее

591

2^∗

592

ДЖОХАДЗЕ

от скорости его движения [1, с. 42]. Задаче (1.1)-(1.4) посвящены многочисленные работы,

в которых в основном решения рассматриваются в пространствах типа Соболева. В настоя-

щей работе задача (1.1)-(1.4) исследуется в классической постановке для достаточно широких

классов нелинейных функций, присутствующих как в уравнении (1.1), так и в граничном усло-

вии (1.3). При этом предлагается другой подход, когда используются представления решения

задач Коши, Гурса и Дарбу в разных частях рассматриваемой области.

В п. 2 приведена эквивалентная редукция поставленной задачи к нелинейному интеграль-

ному уравнению типа Вольтерры. В п. 3 доказана локальная разрешимость задачи по пе-

ременной t. В п. 4 при некоторых ограничениях на нелинейные функции g и F получена

априорная оценка для классического решения этой задачи. В п. 5 доказана глобальная раз-

решимость в предположении, что T ≤ l. В п. 6 доказана единственность решения. Наконец,

в п. 7 рассмотрены случаи несуществования решения не только в целом, но даже локально, а

также когда эта задача имеет взрывное решение.

2. Редукция задачи (1.1)-(1.4) к нелинейному интегральному уравнению типа

Вольтерры. Далее, с целью избежать трудностей технического характера, ограничимся рас-

смотрением случая, когда T = l, которое будет снято при получении локальной разрешимости

и априорной оценки в пп. 3 и 4 соответственно. Пусть u ∈ C²(D_l) является классическим реше-

нием задачи (1.1)-(1.4). Разобьём область D_l, являющуюся квадратом с вершинами в точках

O(0, 0), A(0, l), B(l, l) и C(l, 0), на четыре прямоугольных треугольника Δ₁ := ΔOO₁C,

Δ₂ := ΔOO₁A, Δ₃ := ΔCO₁B и Δ₄ := ΔAO₁B, где точка O₁(l/2,l/2) - центр квадрата D_l.

В треугольнике Δ₁ в силу (1.2) и формулы Даламбера, как известно, справедливо равенство

[1, с. 59]

u(x, t) =

[ϕ(x - t) + ϕ(x + t)] +

∫

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ, (x,t) ∈ Δ₁.

(2.1)

x-t

Ω¹

x,t

Здесь

f₁(x,t,s) := f(x,t) - g(s), s ∈ R,

(2.2)

а Ω1x,t - треугольник с вершинами в точках (x,t), (x - t,0) и (x + t,0).

Как известно, для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции w и характе-

ристического для уравнения (1.1) прямоугольника P P₁P₂P₃ из области её определения спра-

ведливо равенство [6, с. 173]

∫

w(P ) = w(P₁) + w(P₂) - w(P₃) +

□w(ξ,τ)dξ dτ,

(2.3)

PP₁P₂P₃

где P и P₃, а также P₁ и P₂ - противоположные вершины этого прямоугольника, причём

ордината точки P больше ординат остальных точек.

Пусть теперь точка (x, t) ∈ Δ₂. Тогда, положив

μ₁ := u|x=0

(2.4)

и применив равенство (2.3) для характеристического прямоугольника с вершинами в точках

P (x, t), P₁(0, t-x), P₂(t, x) и P₃(t-x, 0), а равенство (2.1) для точки P₂(t, x) ∈ Δ₁, с учётом

(1.1), (1.2) и (2.1)-(2.4) получим

∫

u(x, t) = u(P₁) + u(P₂) - u(P₃) +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ =

PP₁P₂P₃

∫

= μ₁(t - x) - ϕ(t - x) +

[ϕ(t - x) + ϕ(t + x)] +

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ +

t-x

Ω¹

t,x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

593

∫

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ = μ₁(t - x) +

[ϕ(t + x) - ϕ(t - x)] +

PP₁P₂P₃

∫

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ, (x,t) ∈ Δ₂.

(2.5)

t-x

Ω²

x,t

Здесь Ω2x,t - четырёхугольник

P₂P₃P₁, где точка

P₂

P₂(x + t,0).

Приняв во внимание, что при (x, t) ∈ Δ₂ справедливо равенство

∫

f₁ dξ dτ =

dτ

f₁ dξ +

dτ

f₁ dξ,

(2.6)

Ω²

-x+t-τ

t-x

x-t+τ

x,t

в силу (2.5) будем иметь

u_x(x,t) = -μ′1(t - x) +

[ϕ^′(t + x) + ϕ^′(t - x) + ψ(t + x) + ψ(t - x)] +

∫

[f₁(x + t - τ, τ, u(x + t - τ, τ)) + f₁(-x + t - τ, τ, u(-x + t - τ, τ))] dτ +

∫

[f₁(x + t - τ, τ, u(x + t - τ, τ)) - f₁(x - t + τ, τ, u(x - t + τ, τ))] dτ.

(2.7)

t-x

В (2.7) подставим x = 0 и учтём первое из краевых условий (1.3) для неизвестной функции

μ₁ при 0 ≤ t ≤ l. В результате получим равенство

∫t

μ′1(t) + F[μ′1(t)] = ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ.

(2.8)

Предполагая, что

sF(s) ≥ -M₁, M₁ := const ≥ 0 для любых s ∈ R,

(2.9)

и вводя обозначение

Φ(s) := s + F (s), s ∈ R,

(2.10)

очевидно имеем

lim Φ(s) = ±∞.

(2.11)

s→±∞

При выполнении условия

F^′(s) = -1, s ∈ R,

(2.12)

в силу (2.11) существует обратная к Φ функция Φ-1 ∈ C¹(R). Поэтому из равенства (2.8)

будем иметь

{

∫

}

μ′1(t) = Φ-1 ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ

0≤t≤l,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

594

ДЖОХАДЗЕ

интегрирование которого с учётом начального условия μ₁(0) = ϕ(0) даёт функцию

∫t

{

∫

}

μ₁(t) = Φ-1 ϕ′(τ)+ψ(τ)-α(τ)+ f1(τ -τ1, τ1, u(τ -τ1, τ1)) dτ1 dτ +ϕ(0),

0 ≤ t ≤ l. (2.13)

Положив теперь

μ₂ := u|x=l,

(2.14)

с помощью аналогичных рассуждений, приведённых выше при получении равенства (2.5),

будем иметь

u(x, t) = μ₂(x + t - l) +

[ϕ(x - t) - ϕ(2l - x - t)] +

∫

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ, (x,t) ∈ Δ₃,

(2.15)

x-t

Ω³

x,t

u(x, t) = μ₁(t - x) + μ₂(x + t - l) -

[ϕ(t - x) + ϕ(2l - t - x)] +

∫

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ, (x,t) ∈ Δ₄,

(2.16)

t-x

Ω⁴

x,t

где Ω3x,t - четырёхугольник с вершинами P³(x, t), P³¹(l, x+t-l), P³²(x-t, 0) и P³³(2l - x - t, 0),

а Ω4x,t - пятиугольник с вершинами P⁴(x,t), P⁴¹(0,t - x), P⁴²(t - x,0), P⁴³(2l - x - t,0) и

P⁴⁴(l,x + t - l).

Принимая во внимание, что при (x, t) ∈ Δ₃

∫

f₁ dξ dτ =

dτ

f₁ dξ +

dτ

f₁ dξ,

Ω³

x-t+τ

x+t-l

x-t+τ

x,t

продифференцировав равенство (2.15) по переменной x, при (x, t) ∈ Δ₃ получаем

u_x(x,t) = μ′2(x + t - l) +

[ϕ^′(x - t) + ϕ^′(2l - x - t)] -

[ψ(2l - x - t) + ψ(x - t)] -

∫

[f₁(2l - x - t + τ, τ, u(2l - x - t + τ, τ)) + f₁(x - t + τ, τ, u(x - t + τ, τ))] dτ +

∫

[f₁(x + t - τ, τ, u(x + t - τ, τ)) - f₁(x - t + τ, τ, u(x - t + τ, τ))] dτ.

x+t-l

Подставляя полученное выражение при x = l во второе краевое условие (1.4), для неиз-

вестной функции μ₂ получаем выражение

∫^t

μ′2(t) + ϕ^′(l - t) - ψ(l - t) - f₁(l - t + τ,τ,u(l - t + τ,τ))dτ = β(t),

0≤t≤l.

(2.17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

595

При этом в силу (1.2) и (2.14) имеет место равенство

μ₂(0) = ϕ(l).

(2.18)

Из (2.17), (2.18) следует

∫t

∫

μ₂(t) = ϕ(l - t) + β(τ)dτ + ψ(τ)dτ +

l-t

τ₁

∫^t

∫

+ dτ₁

f₁(l - τ₁ + τ,τ,u(l - τ₁ + τ,τ))dτ,

0≤t≤l.

(2.19)

Замечание 2.1. Из приведённых выше рассуждений следует, что при выполнении условий

(2.9) и (2.12) классическое решение u ∈ C²(D_l) задачи (1.1)-(1.4) удовлетворяет следующему

нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерры:

u(x, t) = (Au)(x, t), (x, t) ∈ D_l,

(2.20)

где оператор A действует по формулам (2.1) при (x, t) ∈ Δ₁; (2.5) при (x, t) ∈ Δ₂; (2.15) при

(x, t) ∈ Δ₃; (2.16) при (x, t) ∈ Δ₄, причём в этих формулах предполагается, что функции μ₁ и

μ₂ задаются равенствами (2.13) и (2.19) соответственно. При этом любое решение нелинейного

интегрального уравнения (2.20) класса C(D_l) будет принадлежать пространству C²(D_l) и

удовлетворять задаче (1.1)-(1.4), если для данных этой задачи выполнены условия гладкости

(1.5) и согласования второго порядка (1.6).

Замечание 2.2. Из структуры оператора A и замечания 2.1 следует, что этот опера-

тор действует непрерывным образом из пространства C(D_l) в пространство C¹(D_l). Теперь,

приняв во внимание, что вложение пространства C¹(D_l) в пространство C(D_l) является ком-

пактным [7, с. 135], получим, что оператор

A : C(D_l) → C(D_l)

является компактным.

3. Локальная разрешимость задачи (1.1)-(1.4).

Теорема 3.1. Пусть T ≤ l и выполнены условия (1.5), (1.6), (2.9) и (2.12). Тогда найдётся

такое положительное число T₀ := T₀(f, g, F, ϕ, ψ, α, β) ≤ l, что при T ≤ T₀ задача (1.1)-

(1.4) в области D_T будет иметь хотя бы одно классическое решение u ∈ C²(D_T ).

Доказательство. Поскольку доказательство носит стандартный характер, то приведём

его в общих чертах. В силу (2.1), (2.5), (2.13), (2.15), (2.16), (2.19) и теоремы Фубини о повтор-

ном интегрировании легко видеть, что равенство (2.20) можно записать в виде

∫^t

u(x, t) = (Au)(x, t) = (A₀u)(x, t; τ) dτ + u₀(x, t), (x, t) ∈ D_T ,

(3.1)

где A₀ - ограниченный оператор, действующий в пространстве C(D_T ), а u₀ - вполне опре-

делённая функция из C(D_T ).

Для фиксированного r > 0 положим

B_r(u₀) := {v ∈ C(D_T ) : ∥v - u₀∥C(DT )≤r}

M (r) := sup

(3.2)

∥A₀v∥C(DT )^,

v∈Br (u0)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

596

ДЖОХАДЗЕ

причём, исходя из структуры оператора A₀, очевидно, что M(r) < +∞. Тогда для функции

v ∈ B_r(u₀) в силу (3.1) и (3.2) будем иметь

∫t

|(Av)(x, t) - u₀(x, t)| ≤

|(A₀v)(x, t; τ)| dτ ≤ tM(r), (x, t) ∈ D_T .

Отсюда следует, что при T ≤ T₀ := r/M(r) непрерывный и компактный оператор A перево-

дит замкнутый выпуклый шар B_r(u₀) в себя. Поэтому согласно теореме Шаудера существует

хотя бы одно решение уравнения (2.20) в B_r(u₀) ⊂ C(D_T ) и тем самым в силу замечания 2.1

задачи (1.1)-(1.4) - в области D_T . Теорема доказана.

4. Априорная оценка решения задачи (1.1)-(1.4). Рассмотрим условие

∫s

(Gg)(s) := g(s₁) ds₁ ≥ -M₂s² - M₃ при всех s ∈ R,

(4.1)

где M_i := const ≥ 0, i = 2, 3.

Лемма 4.1. Пусть выполнены условия (2.9), (4.1). Тогда для решения u ∈ C²(D_T ) задачи

(1.1)-(1.4) справедлива априорная оценка

∥u∥C(DT )≤c1^∥f∥C(D_T )+c2^∥ϕ∥C¹([0,l])+c3^∥ψ∥C([0,l])+c4^∥α∥C¹([0,T ])⁺

+ c₅∥β∥_C1([0,T]) + c₆∥g∥C([-∥ϕ∥C([0,l]),∥ϕ∥C([0,l])]) + c7

(4.2)

с положительными постоянными c_i = c_i(M₁,M₂,M₃,l,T), i = 1,7, не зависящими от функ-

ций u, f, ϕ, ψ, α и β.

Доказательство. Пусть u ∈ C²(D_T ) является решением задачи (1.1)-(1.4). Умножив обе

части равенства (1.1) на 2u_t и проинтегрировав по области D_τ , 0 < τ ≤ T, получим

∫

(u2t)_t dx dt - 2 u_xxu_t dx dt + 2

[G(g)(u)]_t dx dt = 2 fu_t dx dt.

(4.3)

Dτ

Положим ω_τ : t = τ,

0 ≤ x ≤ l,

0 ≤ τ ≤ T; Γ := Γ₁

^⋃ω0 ⋃Γ₂, где Γ₁ : x = 0, 0 ≤ t ≤ T;

Γ₂ : x = l, 0 ≤ t ≤ T. Пусть ν := (νx,νt) - единичный вектор внешней нормали к ∂Dτ. Легко

видеть, что справедливы условия

ν_x|ωτ = 0,

0 ≤ τ ≤ T, ν_x|Γ1 = -1, ν_x|Γ2 = 1,

ν_t|Γ1 ⋃Γ2 = 0, ν_t|ω0 = -1, ν_t|ωτ = 1,

0<τ ≤T.

(4.4)

Применив интегрирование по частям, с учётом (1.2), (1.4) и (4.4) будем иметь

∫

(u2t)_t dx dt + 2

[(Gg)(u)]_t dx dt =

u2tν_t ds + 2

(Gg)(u)ν_t ds =

Dτ

∂Dτ

∫

= u2t dx - ψ2 dx + 2 (Gg)(u)dx - 2 (Gg)(ϕ)dx,

ωτ

ω₀

ωτ

ω₀

∫

−2

u_xxu_t dxdt = 2

[u_xu_tx - (u_xu_t)_x] dx dt = (u2x)_t dx dt - 2

u_xu_tν_x ds =

Dτ

∂Dτ

∫

= u2xνt ds + 2 u_xut dt - 2 u_xut dt =

∂Dτ

Γ1,τ

Γ2,τ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

597

∫

= u2x dx - ϕ′2 dx + 2 u_xut dt - 2 βut dt,

(4.5)

ωτ

ω₀

Γ1,τ

Γ2,τ

где Γ_i,τ := Γ_i

^⋂ {t ≤ τ}, i = 1, 2.

Равенство (4.3) в силу (4.5) запишем в виде

∫

fut dxdt = 2

u_xu_t dt - 2

βut dt - (ϕ′2 + ψ²)dx +

Dτ

Γ1,τ

Γ2,τ

ω₀

∫

+ (u2x + u2t) dx + 2 (Gg)(u) dx - 2 (Gg)(ϕ) dx.

(4.6)

ωτ

ω₀

С учётом (1.3) и (2.9) имеем

∫

u_xu_t dt =

F (u_t)u_t dt +

αu_t dt ≥ -M₁τ + αu_t dt.

(4.7)

Γ1,τ

Из (4.6) согласно (4.1) и (4.7) получаем

∫

w(τ) := (u2x + u2t) dx ≤ 2 fu_t dx dt + 2M₁τ - 2 αu_t dt + 2

βut dt +

ωτ

Dτ

Γ1,τ

Γ2,τ

∫

+ (ϕ′2 + ψ²) dx + 2

(Gg)(ϕ) dx + 2M₂ u² dx + 2M₃l.

(4.8)

ω₀

ωτ

Далее, поскольку в силу (1.2)

∫τ

u(x, τ) = ϕ(x) + u_t(x, t) dt,

то справедлива цепочка неравенств

(∫τ

)₂

∫

|u(x, τ)|² ≤ 2ϕ²(x) + 2

u_t(x,t)dt

≤ 2ϕ²(x) + 2τ u2t(x, t) dt.

Отсюда следует, что

∫

u² dx ≤ 2∥ϕ∥2L

+ 2T w(t) dt,

(4.9)

2 (ω0

)

ωτ

где функция w определена в левой части (4.8).

При (x, t) ∈ D_T , проинтегрировав очевидное неравенство

∫x

∫

|u(x, t)|² = |u(ξ, t) + u_x(x₁, t) dx₁|² ≤ 2|u(ξ, t)|² + 2l u2x(x, t) dx

по переменной ξ ∈ [0, l], будем иметь

∫

|u(x, t)|² ≤

|u(ξ, t)|² dξ + 2lw(t) =

u² dx + 2lw(t).

(4.10)

ωt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

598

ДЖОХАДЗЕ

Из (4.9) и (4.10) следует, что

∫

|u(x, t)|² ≤ 4∥ϕ∥2C(ω

w(σ) dσ + 2lw(t), (x, t) ∈ D_T .

(4.11)

Положив

w(t) := sup w(τ),

(4.12)

0≤τ≤t

с учётом очевидного неравенства w ≤

w из (4.11) получим

∫

∥u∥²

≤ 4∥ϕ∥2C(ω

w(σ) dσ + 2lw(τ),

0≤τ ≤T.

(4.13)

C(Dτ)

Далее для любого ε > 0 справедлива цепочка неравенств



∫



∫



αu_t dt



(τ)u(0, τ) - α(0)u(0, 0) -

α^′udt



⁼

^α

≤

Γ1,τ



∫



≤ |α(τ)u(0, τ)| + |α(0)ϕ(0)| + ^

α^′udt

≤

Γ1,τ∫

∫

≤

∥α∥2C([0,τ]) + ε∥u∥²

+ |α(0)ϕ(0)| +

α′2 dt +

u²

dt.

(4.14)

4ε

C(Dτ )

Γ1,τ

И аналогично (4.14) имеем



∫



∫



βut dt

∥β∥2C([0,τ]) + ε∥u∥²

+ |β(0)ϕ(l)| +

β′2 dt +

u² dt.

(4.15)



≤

C(Dτ )

4ε

Γ2,τ

В силу (4.11) получаем

∫

[

∫

]

u² dt = u²(0,t)dt ≤

4∥ϕ∥2C(ω

w(σ) dσ + 2lw(t) dt ≤

Γ1,τ

∫

≤ 4τ∥ϕ∥2C(ω

(τ - t)w(t) dt + 2l w(t) dt.

(4.16)

)

И аналогично (4.16) имеем

∫

u² dt ≤ 4τ∥ϕ∥2C(ω

(τ - t)w(t) dt + 2l w(t) dt.

(4.17)

Γ2,τ

Из (4.14) и (4.16) следует, что



∫



∫



αu_t dt

∥α∥2C([0,τ]) + ε∥u∥²

+ |α(0)ϕ(0)| +

α′2 dt +



≤

C(Dτ )

4ε

Γ1,τ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

599

∫

+ 2τ∥ϕ∥2C(ω

(τ - t)w(t) dt + l w(t) dt.

(4.18)

)

По аналогии с (4.18) из (4.15) и (4.17) имеем



∫



∫



βut dt

∥β∥2C([0,τ]) + ε∥u∥²

+ |β(0)ϕ(l)| +

β′2 dt +



≤

C(Dτ )

4ε

Γ2,τ

∫

+ 2τ∥ϕ∥2C(ω

(τ - t)w(t) dt + l w(t) dt.

(4.19)

)

В силу (4.9), (4.18) и (4.19) с учётом очевидных неравенств



∫



∫



2

fut dxdt

f² dxdt + u2t dxdt ≤

≤

Dτ

∫

[∫

]

∫

≤ lT∥f∥²

u2t dx dt ≤ lT∥f∥²

+ w(t)dt,

C(D_T )

C(D_T

)

ωt

∫

(ϕ′2 + ψ²) dx ≤ l(∥ϕ^′∥2C(ω

+ ∥ψ∥2C(ω

ω₀

∫

∫



(Gg)(ϕ) dx ≤ 2l∥(G|g|)(|ϕ|)∥C(ω0 ) = 2l

|g(s₁)| ds₁

≤



C(ω₀)

ω₀

≤ 2l∥ϕ∥C(ω0)∥g∥C([-∥ϕ∥C(ω

0),∥ϕ∥C(ω0)^]) ≤l(∥ϕ∥C(ω0)+∥g∥C([-∥ϕ∥C(ω0),∥ϕ∥C(ω0)])⁾

из (4.8) получим

∫

w(τ) ≤ lT ∥f∥²

+ w(t)dt + 2M₁T +

∥α∥2C([0,τ]) + 4ε∥u∥²

+ 2|α(0)ϕ(0)| +

C(D_T )

C(Dτ )

2ε

∫

+ α′2 dt + 8T∥ϕ∥2C(ω

(τ - t)w(t) dt + 4l w(t) dt +

∥β∥2C([0,τ]) +

2ε

Γ1,τ

∫

+ 2|β(0)ϕ(l)| +

β′2 dt + l(∥ϕ^′∥2C(ω

+ ∥ψ∥2C(ω

+ ∥ϕ∥2C(ω

+ ∥g∥2C([-∥ϕ∥

C(ω0 ),∥ϕ∥C(ω0)])

Γ2,τ

{

∫

}

∫

+ 2M₂ 2l∥ϕ∥2C(ω

+ 2T w(t) dt

+ 2M₃l ≤ α₁ w(t) dt + 4ε∥u∥²

+α₂,

(4.20)

)

C(Dτ )

где

(

)

2T²

α₁ := 1 + 4 M₂T +

α₂ := lT∥f∥²

+ 2M₁T +

∥α∥2C([0,T]) + 2|α(0)ϕ(0)| + ∥α^′∥2L

C(D_T )

2([0,T ])

2ε

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

600

ДЖОХАДЗЕ

+ 8T ∥ϕ∥2C(ω

∥β∥2C([0,T]) + 2|β(0)ϕ(l)| + ∥β^′∥2L

2([0,T ])

2ε

+ l(∥ϕ^′∥2C(ω

+ ∥ψ∥2C(ω

+ ∥ϕ∥2C(ω

+ ∥g∥2C([-∥ϕ∥

) + 4M₂l∥ϕ∥2C(ω

+ 2M₃l.

(4.21)

C(ω0 ),∥ϕ∥C(ω0)])

Так как величина ∥u∥²

относительно переменной τ является неубывающей функцией,

C(Dτ )

применив лемму Гронуолла к неравенству (4.20), получим

w(τ) ≤ exp(α₁T )(4ε∥u∥²

+ α₂) ≤ exp(α₁T)(4ε∥u∥²

+ α₂),

0≤τ ≤t≤T.

(4.22)

C(Dτ )

C(Dt)

В обозначении (4.12) из (4.22) следует

w(t) ≤ exp(α₁T )(4ε∥u∥²

+ α₂),

0≤t≤T.

(4.23)

C(Dt)

С учётом (4.23) из (4.13), приняв во внимание, что функция

w из (4.12) неубывающая,

имеем

(

)

2T τ

∥u∥²

≤ 4∥ϕ∥2C(ω

w(τ) ≤

C(Dτ)

(

)

≤ 4∥ϕ∥2C(ω

+ l exp(α₁T)(4ε∥u∥²

+ α₂),

0≤τ ≤T.

(4.24)

C(Dτ )

Положив

(

)

ε = ε₀ := 4

+ l exp(α₁T),

(4.25)

из (4.24) будем иметь

∥u∥²

≤ 8∥ϕ∥2C(ω

+ε₀α₂,

0≤τ ≤T,

(4.26)

C(Dτ)

где в выражении (4.21) для α₂ в качестве ε взята величина из (4.25).

Прежде чем из (4.26) при τ = T получить априорную оценку (4.2) с учётом того, что

2(|α(0)ϕ(0)| + |β(0)ϕ(l)|) ≤ ∥α∥2C([0,T]) + ∥β∥2C([0,T]) + 2∥ϕ∥2C(ω

для величины α₂ из (4.21) будем иметь

α₂ ≤ c₁∥f∥²

C(D_T )

+ c₂∥ϕ∥2C1(ω₀) ⁺c3∥ψ∥C (ω0) ⁺c4∥α∥C 1([0,T]) ⁺c5∥β∥C 1([0,T]) ⁺

+ c₆∥g∥2C([-∥ϕ∥

+c₇.

(4.27)

C(ω0 ),∥ϕ∥C(ω0)])

Здесь

c₁ := lT,

c₂ := 2(4T + 1 + (2M₂ + 1)l),

c₃ = c₆ := l,

c₄ = c₅ := 2ε₀ + T + 1,

c₇ := 2(M₁T + M₃l).

Теперь, положив

√

c₁ :=

lTε₀, c₂ :=

8 + 2ε₀(4T + 1 + (2M₂ + 1)l), c₃ = c₆ :=

lε₀,

√

c₄ = c₅ :=

(2ε₀ + T + 1)ε₀, c₇ =

2(M₁T + M₃l)ε₀,

(4.28)

∑_n

приняв во внимание (4.26), (4.27) и очевидное неравенство (

a2i)1/2 ≤

|a_i|, получим

i=1

оценку (4.2). Лемма доказана.

Замечание 4.1. Приведём некоторые классы функций, которые часто встречаются в при-

ложениях и для которых выполнены условия из (2.9) и (4.1):

1) F (s) = F₀(s)sign s + as + b, где F₀ ∈ C(R), F₀ ≥ 0; a, b, s ∈ R, a > 0;

2) g(s) = g₀(s)sign s + as + b, где g₀ ∈ C(R), g₀ ≥ 0; a, b, s ∈ R;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

601

3) g ∈ C(R), g|(-∞,0) ∈ L₁(-∞, 0); g|(0,+∞) ≥ 0 (например, g(s) = exp(s), s ∈ R).

5. Глобальная разрешимость задачи (1.1)-(1.4). При λ ∈ [0,1] пусть u = u_λ является

непрерывным решением нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерры

u = λAu,

(5.1)

где оператор A присутствует в правой части уравнения (2.20), которая при (x, t) ∈ Δ₂ в силу

(2.5), (2.13) действует по формуле

t-x

{

∫

}

(Au)(x, t) =

Φ-1 ϕ′(τ) + ψ(τ) - α(τ) + f1(τ - τ1, τ1, u(τ - τ1, τ1)) dτ1 dτ +

∫

+ ϕ(0) +

[ϕ(t + x) - ϕ(t - x)] +

ψ(τ) dτ +

f₁(ξ,τ,u(ξ,τ))dξ dτ.

(5.2)

t-x

Ω²

x,t

В силу (5.1) и (5.2), аналогично тому как из (2.6) было получено равенство (2.7), будем

иметь

{

∫

}

u_x(0,t) = -λΦ-1 ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ

{

∫

}

+ λ ϕ^′(t) + ψ(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ

(5.3)

{

∫

}

u_t(0,t) = λΦ-1 ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ

(5.4)

Из (5.4) при λ = 0 получим

[

]

∫

u_t(0,t)

= ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t) + f₁(t - τ,τ,u(t - τ,τ))dτ,

откуда с учётом (2.10) будем иметь

∫t

[

]

ϕ′(t) + ψ(t) + f₁(t - τ, τ, u(t - τ, τ)) dτ = Φ

u_t(0,t)

+ α(t) =

[

]

u_t(0,t) + F

u_t(0,t)

+ α(t).

(5.5)

Из (5.3)-(5.5) следует, что

[

]

}

[

]

^{1

u_x(0,t) = -u_t(0,t) + λ

u_t(0,t) + F

u_t(0,t)

+ α(t)

= λF

u_t(0,t)

+ λα(t).

(5.6)

Легко показать, что функция u = u_λ, λ ∈ (0, 1], в области D_T , T ≤ l, в силу (5.6) и

замечания 2.1 является классическим решением следующей смешанной задачи:

u_tt - u_xx = λ[-g(u) + f(x,t)], (x,t) ∈ D_T ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

602

ДЖОХАДЗЕ

u(x, 0) = λϕ(x), u_t(x, 0) = λψ(x),

0≤x≤l,

[

]

u_x(0,t) = λF

u_t(0,t)

+ λα(t), u_x(l, t) = λβ(t),

0≤t≤T,

(5.7)

когда данные этой задачи удовлетворяют аналогичным условиям гладкости (1.5) исходной

задачи (1.1)-(1.4), а условия согласования имеют вид

ϕ′(0) = F [ψ(0)] + α(0),

ψ^′(0) = F^′[ψ(0)]{ϕ^′′(0) - g[λϕ(0)] + f(0,0)} + α^′(0),

ϕ′(l) = β(0), ψ^′(l) = β^′(0).

(5.8)

При этом справедливо и обратное утверждение: классическое решение задачи (5.7) является

непрерывным решением нелинейного интегрального уравнения (5.1).

Легко видеть, что условия (5.8) будут выполнены для любого λ ∈ (0, 1], если, например,

ϕ(0) = 0, ϕ^′(0) = F [ψ(0)] + α(0),

ψ^′(0) = F^′[ψ(0)]{ϕ^′′(0) - g(0) + f(0,0)} + α^′(0),

ϕ′(l) = β(0), ψ^′(l) = β^′(0).

(5.9)

Замечание 5.1. Легко можно проверить, что аналогичные (2.9), (2.12) и (4.1) условия,

которые были достаточны при получении априорной оценки (4.2) для классического решения

задачи (1.1)-(1.4), также будут выполнены и для функций λg(s) и λF (s/λ), s ∈ R. Дейст-

вительно, в силу (2.9), (2.12), (4.1) и λ ∈ (0, 1] имеем

sλF(s/λ) = λ²

F (s/λ) ≥ -λ²M₁ ≥ -M₁;

{λF (s/λ)}^′s = F^′(s/λ) = -1, s ∈ R;

∫

λg(s₁) ds₁ = λ g(s₁) ds₁ ≥ -M₂λs² - M₃λ ≥ -M₂s² - M₃.

Таким образом, при выполнении условий (1.5), (2.9), (2.12), (4.1) и (5.9), согласно сказанно-

му выше, при λ ∈ (0, 1] непрерывное решение нелинейного интегрального уравнения (5.1)

является классическим решением задачи (5.7) и в силу леммы 4.1 удовлетворяет следующей

априорной оценке:

∥u_λ∥C(DT )≤c1^λ∥f∥C(D_T )+c2^λ∥ϕ∥C¹([0,l])+c3^λ∥ψ∥C([0,l])+c4^λ∥α∥C¹([0,T ])⁺

+ c₅λ∥β∥_C1([0,T]) + c₆λ∥g∥C([-λ∥ϕ∥C([0,l]),λ∥ϕ∥C([0,l])]) + c7 ≤ c1∥f∥C(DT) ⁺

+c₂∥ϕ∥_C1([0,l]) + c₃∥ψ∥C([0,l]) + c₄∥α∥_C1([0,T]) + c₅∥β∥_C1([0,T]) +

+ c₆∥g∥C([-∥ϕ∥C([0,l]),∥ϕ∥C([0,l])]) + c7,

(5.10)

где c_i, i = 1, 7, - те же постоянные, что и в лемме 4.1, которые были определены в (4.28).

Замечание 5.2. Согласно приведённым выше рассуждениям для непрерывного решения

интегрального уравнения (5.1) справедлива априорная оценка (5.10) при λ ∈ (0, 1], которая

справедлива и при λ = 0, поскольку в этом случае u_λ = u₀ = 0.

Таким образом, для решения u = u_λ уравнения (5.1) с непрерывным компактным опера-

тором A при любом λ ∈ [0, 1] имеет место априорная оценка (5.10), в которой постоянные

c_i, i = 1,7, не зависят от λ. Поэтому согласно теореме Лере-Шаудера [8, с. 375] уравнение

(5.1) при λ = 1 имеет хотя бы одно решение u ∈ C(D_T ), которое в силу приведённых вы-

ше рассуждений является также и классическим решением задачи (1.1)-(1.4) при выполнении

условий (1.5), (2.9), (2.12), (4.1) и (5.9).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

603

Тем самым доказана

Теорема 5.1. Пусть T ≤ l, имеют место условия (1.5), (2.9), (2.12), (4.1) и (5.9). Тогда

задача (1.1)-(1.4) имеет хотя бы одно классическое решение класса C²(D_T ).

6. Единственность решения задачи (1.1)-(1.4) класса C²(D_T ).

Теорема 6.1. Задача (1.1)-(1.4) не может иметь более одного решения класса C²(D_T ),

если наряду с (1.5) дополнительно потребовать, чтобы выполнялось

F^′(s) ≥ 0 для любых s ∈ R.

(6.1)

Доказательство. Действительно, допустим, что задача (1.1)-(1.4) имеет два возможных

различных решения u₁ и u₂ класса C²(D_T ). Тогда для их разности v := u₂ - u₁

будут

справедливы следующие тождества:

v_tt - v_xx + g(x,t)v = 0, (x,t) ∈ D_T ,

(6.2)

v(x, 0) = 0, v_t(x, 0) = 0,

0≤x≤l,

(6.3)

v_x(0,t)

F (t)v_t(0, t),

0≤t≤T,

(6.4)

v_x(l,t) = 0,

0≤t≤T.

(6.5)

Здесь

∫1

g(x, t) := g^′[u₁(x, t) + τ(u₂(x, t) - u₁(x, t))] dτ,

(6.6)

∫1

F (t) := F^′[u1t(0, t) + τ(u2t(0, t) - u1t(0, t))] dτ.

(6.7)

Умножив обе части равенства (6.2) на 2v_t и проинтегрировав по области D_τ , 0<τ ≤T,

с учётом (6.3), (6.5) аналогично тому, как из (4.3) было получено (4.6), будем иметь

∫

0=2

v_xv_t dt + (v2x + v2t)dx + 2

g(x, t)vv_t dx dt.

(6.8)

Γ1,τ

ωτ

Dτ

В силу (6.1), (6.4) и (6.7) имеем

∫

v_xv_t dt =

F (t)v2t dt ≥ 0.

(6.9)

Γ1,τ

Согласно (6.9) из (6.8) получим

∫

w(τ) := (v2x + v2t) dx ≤ -2

g(x, t)vv_t dx dt.

(6.10)

ωτ

Dτ

С учётом (1.5) для непрерывной в D_T функции g из (6.6) существует такое M = const ≥ 0,

что

|g(x, t)| ≤ M для всех точек (x, t) ∈ D_T .

(6.11)

Далее, поскольку в силу (6.3) следует

∫^t

v(x, t) = v_t(x, t^′) dt^′,

0≤t≤τ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

604

ДЖОХАДЗЕ

то

(∫ t

)₂

∫

v²(x,t) =

v_t(x, t′) dt′

≤ t v2t (x,t^′)dt^′ ≤ τ v2t (x,t^′)dt^′

и, тем самым, справедливы неравенства

∫

v² dxdt ≤ τ² v2t

dx dt ≤ T²

w(t) dt,

(6.12)

Dτ

где

w определена в левой части (6.10).

Теперь в силу (6.11), (6.12) и очевидного неравенства 2vv_t ≤ v² + v2t из (6.10) получим

∫τ

w(τ) ≤ M(1 + T²)

w(t) dt.

Отсюда в силу леммы Гронуолла следует, что

w(τ) = 0,

0 < τ ≤ T, и с учётом (6.3) имеем

v = u₂ - u₁ = 0. Теорема 6.1 доказана.

Из теорем 5.1 и 6.1 вытекает теорема существования и единственности классического ре-

шения задачи (1.1)-(1.4).

Теорема 6.2. Пусть T ≤ l и выполнены условия (1.5), (2.9), (2.12), (4.1), (5.9) и (6.1).

Тогда задача (1.1)-(1.4) имеет единственное классическое решение u ∈ C²(D_T ).

7. Случаи нарушения разрешимости задачи (1.1)-(1.4).

7.1. Ниже, использовав метод пробных функций [9, с. 10-12], покажем, что нарушение

условия (4.1), вообще говоря, может стать причиной отсутствия глобальной разрешимости

задачи (1.1)-(1.4).

Действительно, пусть

g(s) ≥ λ|s|^p, λ > 0, p > 1, s ∈ R.

(7.1)

Легко видеть, что при выполнении неравенства (7.1) условие (4.1) будет нарушено.

Умножив обе части уравнения (1.1) на пробную функцию χ ∈ C²(D_T ) такую, что

χ|DT > 0, χ|∂DT = χ_t|∂DT = χ_x|∂DT = 0,

(7.2)

после интегрирования по частям получим

∫

u□χ dx dt + g(u)χ dx dt = fχ dx dt,

(7.3)

D_T

где u ∈ C²(D_T ) - классическое решение задачи (1.1)-(1.4).

В силу (7.1)-(7.3) имеем

∫

|u|^pχ dx dt ≤

|u□χ| dx dt + fχ dx dt.

(7.4)

D_T

Если в неравенстве Юнга с параметром ε > 0

ab ≤

a^p +

bp′,

a, b ≥ 0,

= 1, p > 1,

p^′εp′-¹

p^′

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

605

′

|□χ|

возьмём a = |u|χ1/p, b =

, то с учётом того, что

= p^′ - 1, получим

χ1/p

p^′

|□χ|

|u□χ| = |u|χ1/p

≤

|u|^pχ +

(7.5)

χ1/p

p^′εp′-¹ χp′-¹

В силу (7.4) и (7.5) будем иметь

(

)∫

∫

|□χ|p′

λ-

|u|^pχ dx dt ≤

dx dt + fχ dx dt,

p^′εp′-¹

χp′-¹

D_T

откуда при ε < λp получим

∫

|□χ|p′

|u|^pχ dx dt ≤

dx dt +

fχdxdt.

(7.6)

(λp - ε)p^′εp′-¹

χp′-¹

λp - ε

D_T

С учётом того, что p^′ = p/(p - 1), p = p^′/(p^′ - 1) и

min

0<ε<λp (λp - ε)p^′εp′-¹

λp′

которое достигается при ε = λ, из (7.6) следует, что

∫

|□χ|p′

p^′

|u|^pχ dx dt ≤

dx dt +

fχdxdt.

(7.7)

λp′

χp′-¹

D_T

Ниже будем считать, что наряду с (7.2) выполнено условие

∫

|□χ|p′

κ₀ :=

dx dt < +∞.

(7.8)

χp′-¹

D_T

Простая проверка показывает, что в качестве функции χ, удовлетворяющей условиям (7.2)

и (7.8), можно взять, например, функцию

χ(x, t) = [xt(l - x)(T - t)]ⁿ, (x, t) ∈ D_T ,

при достаточно большом натуральном n.

Положив

f = -μf₀, f₀ ≥ 0, f₀ ≡ 0, μ = const > 0,

(7.9)

с учётом (7.8) неравенство (7.7) запишем в виде

∫

κ₀

μp^′

|u|^pχ dx dt ≤

f₀χdxdt.

(7.10)

λp′

D_T

В силу требований, наложенных на функции χ и f₀, будем иметь

∫

0≤

|u|^pχ dx dt,

f₀χdxdt > 0.

(7.11)

D_T

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

606

ДЖОХАДЗЕ

Поэтому в предположении, что задача (1.1)-(1.4) имеет классическое решение u(x, t) и

(∫

)-1

κ₀

μ > μ₀ :=

f₀χdxdt

(7.12)

λp′-¹p^′

D_T

придём к противоречию, поскольку в силу (7.11) левая часть (7.10) будет неотрицательной, а

правая часть - отрицательной.

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия (7.1), (7.9) и (7.12). Тогда задача (1.1)-(1.4) не

имеет классического решения в области D_T .

7.2. Наряду с теоремой 7.1 о несуществовании решения задачи (1.1)-(1.4) в фиксированной

области D_T , как показывают примеры, возможен также случай, когда эта задача не является

даже локально разрешимой, а также когда задача (1.1)-(1.4) имеет взрывное решение.

Действительно, в случае, когда g = 0, f = 0, F (s) = arctg s - s, s ∈ R, а |ϕ′(t) +

+ ψ(t) - α(t)| > π/2, t ∈ [0,l], задача (1.1)-(1.4) не разрешима даже локально. При этом если

|ϕ^′(t) + ψ(t) - α(t)| < π/2 в случае 0 ≤ t < t₀ ≤ l и |ϕ^′(t₀) + ψ(t₀) - α(t₀)| = π/2, то решение

этой задачи существует в промежутке [0, t₀), причём в силу формул (2.5), (2.7), (2.8) и (2.16)

выполняется

lim

t→t₀-0

∥u∥C1(Dt)=∞.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977.

2. Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. О глобальных и взрывных решениях смешанной задачи с

нелинейным граничным условием для одномерного полулинейного волнового уравнения // Мат. сб.

2014. Т. 205. № 4. С. 121-148.

3. Kharibegashvili S., Shavlakadze N., Jokhadze O. On the solvability of a mixed problem with a nonlinear

boundary condition for a one-dimensional semilinear wave equation // J. of Contemporary Math. Anal.

2018. V. 53. № 5. P. 247-259.

4. Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. О разрешимости смешанной задачи с нелинейным граничным

условием для одномерного полулинейного волнового уравнения // Мат. заметки. Вып. 108. № 1.

С. 137-152.

5. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с

последействием. М., 1981.

6. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982.

7. Гильбарг Д., Трудингер Н.С. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка.

М., 1989.

8. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.

9. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и

неравенств в частных производных // Тр. МИАН. 2001. Т. 234. C. 3-383.

Тбилисский государственный университет

Поступила в редакцию 13.01.2022 г.

имени И.А. Джавахишвили,

После доработки 13.01.2022 г.

Математический институт имени А.М. Размадзе,

Принята к публикации 21.04.2022 г.

г. Тбилиси, Грузия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022