ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.607-627

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.226+517.925.7

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

С АНАЛИТИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

И ЛИНЕЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Применение метода спектрального выделения особенностей для построения решения кра-

евой задачи для нерегулярно вырождающегося эллиптического дифференциального опе-

ратора первого порядка с аналитическими коэффициентами в прямоугольнике приводит

к необходимости решения последовательности краевых задач для вырождающихся обык-

новенных дифференциальных уравнений первого порядка с аналитическими коэффициен-

тами на отрезке с большим параметром при неизвестной функции. Для фундаментальной

системы решений этих уравнений и для функций Грина данной последовательности за-

дач получены оценки их поведения при стремлении параметра к бесконечности. Решение

краевой задачи для вырождающегося по одной переменной (y) эллиптического дифферен-

циального оператора с аналитическими коэффициентами построено в виде ряда Пуассона -

ряда по собственным функциям предельного оператора с аналитическими по y коэффи-

циентами. Данная работа обобщает на случай вырождения первого порядка результаты,

ранее полученные для аналогичных уравнений с вырождением второго порядка.

DOI: 10.31857/S037406412205003X, EDN: CBABOB

Введение. Будем рассматривать следующие две краевые задачи для нерегулярно вырож-

дающегося эллиптического уравнения в прямоугольнике Ω = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < b} ≡

≡ (0, 1) × (0, b): задачу D (согласно терминологии М.В. Келдыша [1])

u^′′xx + yu^′′yy + c(y)u^′y - a(y)u = f(x,y), (x,y) ∈ Ω,

u(0, y) = u(1, y) = u(x, b) = u(x, 0) = 0

(1)

и задачу E

u^′′xx + yu^′′yy + c(y)u^′y - a(y)u = f(x,y), (x,y) ∈ Ω,

u(0, y) = u(1, y) = u(x, b) = 0,

|u(x, 0)| < +∞.

(2)

Определение. Будем говорить, что некоторая функция ϕ(y), определённая на отрезке

[0, b], принадлежит классу A, если функция ϕ(y) может быть представлена рядом по це-

лым степеням y, сходящимся в интервале (-R, R) для некоторого R > b. Иначе говоря,

аналитическое продолжение функции ϕ(z) должно быть аналитической функцией в круге

{z ∈ C : |z| < R}.

Коэффициенты a(y) и c(y) дифференциального оператора считаем принадлежащими

классу A. Кроме того, если a(y) ≥ 0 при y ∈ [0, b], то правая часть уравнения f(x, y)

при каждом фиксированном x принадлежит классу A по y и непрерывна по совокупности

переменных в Ω, где Ω = {x, y :

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ b} ≡ [0,1] × [0,b].

Однородные задачи указанного вида (f ≡ 0) для области с гладкой границей были по-

ставлены М.В. Келдышем в работах [1; 2, с. 299-301], а также доказаны существование и

единственность классических решений. Явного вида решений не было приведено, однако бы-

ли сформулированы условия корректной разрешимости краевых задач в терминах показателя

вырождения m и знаков коэффициентов a(y) и c(y) уравнений. Из полученных результатов

М.В. Келдыша следует, в частности, что решение задачи (2) единственно при c(0) ≥ 1, а

решение задачи (1) единственно при c(0) < 1.

Эти задачи исследовались и другими авторами. Отметим работы А.И. Янушаускаса [3,

гл. 3-5], М.М. Смирнова [4, с. 88-94] (0 < m < 2), Е.И. Моисеева [5, с. 73-88] (ym - при

607

3^∗

608

ЕМЕЛЬЯНОВ

производной u_xx, m > 0), В.М. Ивакина [6] (m > 2), И.М. Петрушко [7, 8] (m = 1) и др.

Решения задач получены в виде либо интегралов (с помощью метода функций Грина), либо

биортогональных рядов, исследовалось асимптотическое поведение решений при y → 0.

В [9; 10; 11 гл. X] предложен новый метод исследования таких задач - метод спектрально-

го выделения особенностей, позволяющий построить решение задачи в виде ряда Пуассона по

собственным функциям предельного оператора (y = 0) и указать, каким образом факт вы-

рождения уравнения сказывается на решении и каким образом аналитичность коэффициентов

уравнения наследуется решением задачи (обобщение теоремы Коши-Ковалевской). В работах

[9; 10; 11, гл. X; 12; 13] данным методом была полностью решена задача E, аналогичная (2),

но с квадратичным регулярным вырождением.

Цель данной работы - перенести указанные результаты на случай поставленных задач (1)

и (2) с линейным вырождением.

Применим метод функции Грина для вспомогательных задач для вырождающихся обык-

новенных дифференциальных операторов первого порядка. От задач (1) и (2) переходим к

расширенным (регуляризованным) задачам, решение которых ищем в виде ряда Пуассона

∑

v(x, y, τ) =

[τ_kϕ_k(y) + η_k(y)]ψ_k(x),

(3)

k=1

где ϕ_k, η_k - аналитические функции, представимые на отрезке [0, b] рядами по степеням y,

ψ_k = sin(πkx) - собственные функции “предельного” оператора L : lw(x) = -w^′′(x)+a(0)w(x),

x ∈ (0,1), w(0) = w(1) = 0, отвечающие собственным значениям λ_k = -k²π² - a(0). Рас-

ширенные задачи получаются из исходных задач после перехода в пространство бесконеч-

ной размерности (по аналогии с методом регуляризации сингулярных возмущений [11]), τ =

= (τ₁, τ₂, . . .) - новые независимые переменные, τ_k отвечает своему собственному значению

λ_k, k = 1,2,... При τ_k = (y/b)^r или τ_k = lny (конкретный вид τ_k будет указан далее) ре-

шение расширенных задач переходит в решение задач (1) и (2). Новые переменные позволяют

описать особенности решения, связанные с вырождением эллиптического оператора.

Для нахождения функций ϕ_k, η_k приходим к необходимости решить серию задач сле-

дующего вида в случае постановки задачи D (далее обозначаем неизвестную функцию как

y = y(x)):

xy^′′k(x) + c(x)y^′k(x) - (a(x) + π²k²)y_k(x) = f_k(x), x ∈ (0,b),

y_k(0) = y_k(b) = 0, k ∈ N,

(4)

и в случае постановки задачи E:

xy^′′k(x) + c(x)y^′k(x) - (a(x) + π²k²)y_k(x) = f_k(x), x ∈ (0,b),

|y_k(0)| < +∞, y_k(b) = 0, k ∈ N,

(5)

∑+∞

где f_k(t) - коэффициенты спектрального разложения f(x, t) =

f_k(t)ψ_k(x).

k=1

В п. 1 данной работы исследуются задачи (5). Для некоторой серии решений уравнений

из задач (5) с нулевой правой частью будет получена асимптотика решений при k → +∞.

На основании этого результата в п. 2 будут получены оценки для функций из фундаменталь-

ной системы решений задач (4) и (5), а также их функций Грина. Подобные результаты для

функции Грина в самосопряжённом случае для ОДУ без вырождения следуют, например, из

результатов [14, гл. I]. Общие результаты для задачи Коши для систем ОДУ без вырождения

изложены в книге [15, гл. VI].

В п. 3 методом спектрального выделения особенностей будут построены формальные ре-

шения задач (1) и (2) в виде рядов (3) (при соответствующих τ_k). Полученные в п. 2 оценки

функций Грина позволят доказать сходимость этих рядов к классическим решениям задач (1)

и (2).

Результат работы можно трактовать как обобщение теоремы Коши-Ковалевской на

рассмотренные вырождающиеся эллиптические уравнения - предложенная форма решения

указывает, каким образом аналитичность коэффициентов уравнения наследуется решением

задачи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

609

1. Асимптотическая формула решения задачи Коши для дифференциального

уравнения с линейным вырождением. Рассмотрим следующую задачу для дифференци-

ального уравнения с линейным вырождением:

xy^′′k + c(x)y^′k - (a(x) + π²k²)y_k = 0, x ∈ (0,b),

y_k(0) = 1, k ∈ N.

(6)

В этом разделе мы полагаем, что коэффициенты a(x) и c(x) уравнения являются непре-

рывно дифференцируемыми на промежутке [0, b] функциями, при этом производная функции

c(x) = (c(x) - c(0))/x непрерывна на (0, b] и может иметь интегрируемую особенность в точ-

ке 0. Положим, что a(x) ≥ 0, c(0) ≡ c₀ ≥ 1.

Получим равномерную асимптотику последовательности решений y_k(x) данной задачи (6)

при k → +∞. При этом решение полагается априорно существующим и единственным при

каждом k > 0.

Некоторые аналоги требуемых результатов в случае без вырождения следуют из [14, с. 17,

лемма 2.2] или же могут быть получены с использованием теоремы Тихонова [16, § 7]. Наличие

вырождения существенно затрудняет доказательство.

В соответствии с методом спектрального выделения особенностей [9; 10; 11, гл. X; 12; 13]

рассмотрим вспомогательную задачу

xy^′′k + c(0)y^′k - π²k²y_k = 0, x ∈ (0,b),

yk(0) = 1, k ∈ N.

Разложив y_k(x) в ряд по степеням x и приравняв коэффициенты при равных степенях

x, легко показать [17, с. 51], что

Γ(α + 1)

yk(x) =

√x), k ∈ N,

(πki√x)αJα(2πki

где J_α - функция Бесселя первого рода, i - мнимая единица, α = c₀ - 1.

Перейдём в задаче (6) к малому параметру μ = 1/(πk) и будем искать её решение в

следующем виде:

y(x, μ) = y(x, μ) · z(x, μ), μ > 0,

где z(x, μ) - новая неизвестная функция,

y(x, μ) = y_k(x) при k = 1/πμ. Подставим данное

соотношение в уравнение (6) и поделим полученное выражение на y(x, μ). Введём вспомога-

тельные обозначения

c(x) = (c(x) - c₀)/x, R_μ(x) = -iJα+1(2i√x/μ)/Jα(2i√x/μ),

R_μ(x) = y^′(x,μ)/y(x,μ).

В силу формул дифференцирования функций Бесселя [17, с. 56] имеет место соотношение

R_μ(x) = R_μ(x)/(μ√x), и полученную для z(x,μ) задачу можно записать как

d²z

μx

+2√xRμ(x)dz

+ μc(x)

+ c(x)√xRμ(x)z - μa(x)z = 0, x ∈ (0,b),

dx²

z(0, μ) = 1, μ > 0.

(7)

Принимая во внимание тот факт, что R_μ(x) → 1 при μ → 0 + 0, x > 0 (см. асимптотики

J_α(ix) в [17, с. 222] при x → +∞), запишем предельную задачу (7) при μ = 0:

+ c(x)z = 0, x ∈ (0, b),

z(0) = 1.

(8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

610

ЕМЕЛЬЯНОВ

Далее докажем, что z(x, μ) → z(x) при μ → 0 + 0, x ∈ (0, b]. Введём функцию

μa(x) - c(x)√xRμ(x)

ϕ(x, μ) =

x ∈ (0,b], μ > 0.

μc(x) + 2√xRμ(x)

Функция ϕ(x, μ) определяет начальное значение z^′(x, μ) при x = 0: z^′(0, μ) = ϕ(0, μ), ϕ(x, μ)

непрерывна при (x, μ) ∈ [0, b] × [0, μ₀] \ {(0, 0)} и, вообще говоря, имеет разрыв в точке (0, 0).

Исследуем её свойства при (x, μ) → (0, 0). Для начала отметим, что R_μ(x) ∼ const ×

√x/μ

при (x, μ) → (0, 0), R_μ(x) ≤ 1, x ∈ [0, b], μ > 0, а a(x) и c(x) являются непрерывно диф-

ференцируемыми на (0, b], непрерывными и интегрируемыми на [0, b] функциями, c(0) ≥ 1,

следовательно, в достаточно малой окрестности точки (0, 0) справедлива цепочка неравенств



μa(x)



c(x)√xRμ(x)



|ϕ(x, μ)| ≤

⁺

≤

μc(x) + 2√xRμ(x)

^μc(x) + 2√xRμ(x)



μa(x)

c(x)

√xR_μ(x)

a(x)

c(x)



≤

const,

⁺



≤

⁺



≤

μc(x)

2√xRμ(x)

^ c(x)

т.е. ϕ(x, μ) ограничена в некоторой окрестности точки (0, 0), а значит, и в [0, b] × [0, μ0].

Далее, имеем

(

)

2α + 1

const

R^′μ(x) =

|R^′μ(x)| ≤

μ√x1-μ

2√xRμ(x)-Rμ(x)

μ√x,

следовательно, функцию ϕ^′x(x, μ) можно оценить следующим образом:



μa^′(x) - c^′(x)√xRμ(x) - c(x)Rμ(x)/2√x - c(x)√xR′μ(x)



|ϕ^′x(x, μ)| ≤

⁺

μc(x) + 2√xRμ(x)



 (μa(x) - c(x)√xRμ(x))(μc′(x) + Rμ(x)/√x + 2√xR′μ(x))



+^

^.

(μc(x) + 2√xRμ(x))2

Оценивая данные дроби аналогично ϕ(x, μ) в достаточно малой окрестности точки (0, 0),

получаем неравенство

const

|ϕ^′x(x, μ)| ≤

x ∈ [0,b], μ ≥ 0.

Таким образом, функция xϕ^′x(x, μ) является ограниченной в прямоугольнике [0, b] × [0, μ₀].

Сведём уравнение второго порядка (7) к системе дифференциальных уравнений, положив

w(x, μ) = z^′x(x, μ):

μx

+2√xRμ(x)w + μc(x)w + c(x)√xRμ(x)z - μa(x)z = 0, x ∈ (0,b),

= w,

z(0, μ) = 1, μ > 0.

(9)

При этом w(0, μ) = ϕ(0, μ). Сделаем в задаче (9) замену неизвестных функций таким образом,

чтобы начальные условия стали нулевыми. Пусть

z = z+ 1, w = ϕ(x,μ) + ϕ(x,0)z + ŵ.

Тогда задача (9) будет преобразована к виду

dŵ

μx

+ μxϕ^′x(x,μ) + μxϕ^′x(x,0)z + μxϕ(x,0)

+2√xRμ(x) ŵ + μc(x) ŵ +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

611

+ c(x)√xRμ(x)z - μa(x)z + zϕ(x,0)(2√xRμ(x) + μc(x)) = 0,

= ϕ(x, μ) + ϕ(x, 0)z + ŵ,

z(0, μ) = ŵ(0, μ) = 0, x ∈ (0, b), μ > 0.

Подставим dz/dx из второго уравнения в первое. Введём для удобства следующие обозна-

чения:

c(x)

c′(x)

c²(x)

c(x)c(x)

A(x) = -x

+ c(x), B(x) = -x

- a(x) -

c(x)

D(x) = -

Φ(x, μ) = -xϕ^′x(x, μ) + x

ϕ(x, μ).

После подстановки получим окончательный вид задачи (9) в новых неизвестных:

dŵ

μx

+2√xRμ(x) ŵ + μA(x) ŵ + μB(x)z = μΦ(x,μ),

= D(x)z + ŵ + ϕ(x,μ),

z(0, μ) = ŵ(0, μ) = 0, x ∈ (0, b), μ > 0.

(10)

Коэффициенты A(x), B(x) и D(x) являются непрерывными на [0, b], при этом функция

A(x) непрерывно дифференцируема и A(0) = c(0), функции Φ(x, μ), ϕ(x, μ) ограничены в

[0, b] × [0, μ₀] и интегрируемы по x при любом μ ≥ 0.

Сформулируем и докажем ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть семейство функций v_μ(x) удовлетворяет неравенствам

∫x

0 ≤ v_μ(x) ≤ A + κ ln

v_μ(ξ)dξ, x ∈ [0,b],

(11)

равномерно по μ ∈ {μ}; постоянные A, κ > 0. Тогда существует постоянная C > 0, не

зависящая от μ и x, такая, что справедливы неравенства

0 ≤ v_μ(x) ≤ C,

∀x ∈ [0,b],

∀μ ∈ {μ}.

Доказательство. Заменим (11) на более слабое неравенство

∫x

0 ≤ v_μ(x) ≤ A + κ ln

v_μ(ξ)dξ, x ∈ [0,b], μ ∈ {μ}.

Положим

∫x

V_μ(x) = ln

v_μ(ξ)dξ ≥ 0, V^′μ(x) = ln

v_μ(x), V_μ(0) = 0, x ∈ (0,b], μ ∈ {μ}.

Тогда имеем

V′μ

(x)

0≤

≤ A + κV_μ(x), x ∈ (0,b], μ ∈ {μ},

ln(b/x)

0 ≤ V ^′μ(x) ≤ Aln

+ κV_μ(x)ln

x ∈ (0,b], μ ∈ {μ}.

(12)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

612

ЕМЕЛЬЯНОВ

Рассмотрим задачу

V ′(x) = Aln

V (x) ln

V (0) = 0, x ∈ [0, b], μ ∈ {μ}.

(13)

Её решение имеет вид

∫x

A ln(b/ξ)

⁽x)-κx

V (x)

V₀(x)

dξ,

V₀(x) = ebκx

x ∈ [0,b], μ ∈ {μ},

V₀(ξ)

так как 0 < C₀

V₀(x) ≤ C₁, очевидно, что

V (x) - ограниченная и положительная функция.

Покажем, что 0 ≤ V_μ(x)

V (x). Действительно, существует функция ρ_μ(x) такая, что

(

)

V ′μ(x) = ρ_μ(x) Aln

+ κ ln

V_μ(x)

0 ≤ ρ_μ(x) ≤ 1, x ∈ (0,b], μ ∈ {μ}.

Обозначив разност

V (x)- V_μ(x) = d_μ(x), получим, совместив последнее уравнение и условие

(13), следующую задачу:

(

)

d^′μ(x) = ρ_μ(x) Aln

+ κ ln

V (x)

+ ρ_μ(x)κ ln

d_μ(x),

d_μ(0) = 0, x ∈ (0,b], μ ∈ {μ},

где 0 ≤ ρ_μ(x) = 1 - ρ_μ(x) ≤ 1. Последняя задача решается в квадратурах. С учётом свойств

коэффициентов уравнения, анализируя полученный интеграл, имеем d_μ(x) ≥ 0, что равно-

сильно

V_μ(x)

V (x)

C = const.

Выразим V^′μ(x) через v_μ(x), подставим данное соотношение и полученную оценку в (12):

0 ≤ ln

v_μ(x) ≤ Aln

+ κ ln

C, x ∈ (0,b], μ ∈ {μ},

0≤v_μ(x)≤A+

C = C, x ∈ (0,b], μ ∈ {μ}.

Лемма доказана.

Лемма 2. Рассмотрим задачу

dŵ

μx

+2√xRμ(x) ŵ + μA(x) ŵ + μB(x)z(x) = μΦ(x,μ),

ŵ(0, μ) = 0, x ∈ [0, b], μ > 0,

(14)

где z(x) - некоторая ограниченная и интегрируемая на [0, b] функция. Тогда решение (клас-

сическое)

ŵ(x) задачи (14) существует, единственно, и для любых x ∈ [0, b], μ ∈ (0, μ₀]

справедливы оценки

∫

| ŵ(x)| ≤ W₁ + W₂ max

|z(ξ)|,

| ŵ(x)| ≤ W₁ + W₂

|z(ξ)| dξ,

(15)

ξ∈[0,x]

где константы W₁ и W₂ не зависят от x, μ и z(x).

Доказательство. I. Найдём решение однородного уравнения (14)

(

)

A(x)

μx

+2√xRμ(x)w+ μA(x)w = 0,dw

dx,

√xRμ(x)-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

613

( ∫x

) ( ∫x

)

2R_μ(ξ)

A(ξ)

w(x) = exp

dξ

μ√ξdξexp

Введём обозначение

∫x

2R_μ(ξ)

P (x, μ) = -

√ξdξ.

P (x, μ) при каждом фиксированном μ > 0 является непрерывной, монотонно убывающей на

[0, b] функцией переменного x.

Разложим A(x) = c₀

A(x). Заметим, что

A(x)/x является непрерывной функцией на

отрезке [0, b]. Тогда

( ∫x

)

( ∫x

) ( ∫x

)

A(ξ)

c₀

A(ξ)

exp

dξ

= exp

dξ exp

dξ

( ∫x

)

A(ξ)

= exp(c₀ ln b - c₀ ln x) exp

dξ

= x-c0Aˆ(x),

где

( ∫x

)

A(ξ)

0<C₁

A(x) = bc0 exp -

dξ

≤C₂.

Объединив оценки, получим

C₁eP(x,μ)/μx-c0 ≤ w(x) ≤ C₂eP(x,μ)/μx-c0, x ∈ [0,b], μ > 0.

II. Методом вариации произвольной постоянной получим решение задачи (14):

∫x

Φ(ξ, μ) - B(ξ)z(ξ)

ŵ(x) = w(x)

dξ.

ξ w(ξ)

Для получения равномерной оценки (15) вынесем максимум модуля z(x) из интеграла. По-

ложим M = max

(|Φ(ξ, μ)|, |B(ξ)|). В результате будем иметь

ξ∈[0,x]

μ∈[0,μ₀]

∫x

∫

|Φ(ξ, μ)|w(x)

|B(ξ)|w(x)

| ŵ(x)| ≤

dξ + max |z(ξ)|

dξ ≤

ξ w(ξ)

ξ∈[0,x]

ξ w(ξ)

(

)∫x

C₂eP(x,μ)/μx^-c

≤ M 1 + max |z(ξ)|

dξ =

ξ∈[0,x]

ξC₁eP(ξ,μ)/μξ^-c0

(

)

∫

MC₂

1 + max |z(ξ)| x-c0

e(P(x,μ)-P(ξ,μ))/μξc0-¹ dξ ≤

C₁

ξ∈[0,x]

(

)

∫

(

)

MC₂

≤

1 + max |z(ξ)| x-c0

ξc0-¹ dξ =

1 + max |z(ξ)|

C₁

ξ∈[0,x]

C₁c₀

ξ∈[0,x]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

614

ЕМЕЛЬЯНОВ

Теперь получим интегральную оценку (15). Отметим, что xw(x)/(ξ w(ξ)) ≤ C₂/C₁ при 0 ≤ ξ ≤

x. Через

M обозначим величину

)

⁽xw(x)|B(ξ)|

M= max

ξ w(ξ)

где максимум берётся по всем значениям μ ∈ [0, μ₀], x ∈ [0, b], ξ ∈ [0, x].

Оценим ŵ(x) иначе:

∫x

∫

|Φ(ξ, μ)|w(x)

xw(x)|B(ξ)||z(ξ)|

MC₂

| ŵ(x)| ≤

dξ +

dξ ≤

+M¯1

|z(ξ)| dξ.

ξ w(ξ)

C₁c₀

Лемма доказана.

Лемма 3. Рассмотрим задачу

= D(x)z + ŵ(x) + ϕ(x,μ),

z(0, μ) = 0, x ∈ [0, b], μ > 0,

(16)

где

ŵ(x) - некоторая ограниченная и интегрируемая на [0, b] функция. Тогда решение (клас-

сическое)

z(x) задачи (16) существует, единственно и для любых x ∈ [0, b], μ ∈ (0, μ₀]

справедлива оценка

∫x

|z(x)| ≤ Z₁ + Z₂

| ŵ(ξ)|dξ,

(17)

где константы Z₁ и Z₂ не зависят от x, μ и выбора

ŵ(x).

Доказательство. I. Аналогично доказательству леммы 2 найдём решение однородного

уравнения

(∫x

)

= D(x)z,

Z₁ ≤ z(x) = exp D(ξ)dξ

≤

Z₂.

II. Решение задачи (16) имеет вид

∫x

ŵ(ξ) + ϕ(ξ, μ)

z(x) = z(x)

dξ.

z(ξ)

Применив полученные оценки z(x), придём к неравенству

(

∫

)

Z₂

|z(x)| ≤

max

|ϕ(ξ, μ)| +

| ŵ(ξ)|dξ

Z₁

ξ∈[0,x]

μ∈[0,μ₀]

что и требовалось доказать.

Лемма 4. Решение {z(x),

w(x)} системы (10) равномерно ограничено по x ∈ [0, b], μ ∈

∈ [0, μ₀], если оно существует.

Доказательство. Система (10) является объединением задач (14) и (16). Её решение су-

ществует, следовательно, является непрерывным на [0, b] при каждом фиксированном μ > 0.

Тогда, применив лемму 2 и второе соотношение (15), а также лемму 3 и соотношение (17),

получим

∫

| ŵ(x)| ≤ W₁ + W₂

|z(ξ)| dξ,

|z(x)| ≤ Z₁ + Z₂

| ŵ(ξ)|dξ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

615

Совместим данные неравенства:

∫x

(

∫

)

|z(x)| ≤ Z₁ + Z₂

W₁ + W₂

|z(ζ)| dζ dξ ≤

∫x

∫

≤ Z₁ + bZ₂W₁ + Z₂W₂

|z(ζ)|

dξ dζ = Z₁ + bZ₂W₁ + Z₂W₂

|z(ζ)| ln

dζ.

Таким образом, для |z(x)| выполнены все условия леммы 1, следовательно, существует посто-

янная C₁ > 0 такая, что |z(x)| ≤ C₁ равномерно по всем x ∈ [0, b], μ ∈ [0, μ₀].

Использовав первое неравенство (15) леммы 2, оценим

ŵ(x):

| ŵ(x)| ≤ W₁ + W₂ max |z(ξ)| ≤ W₁ + W₂C₁ = C₂.

ξ∈[0,x]

Лемма доказана.

Сформулируем и докажем теорему о предельном переходе в задаче (7) при μ → 0 + 0.

Теорема 1. Пусть решение задачи (7) существует. Тогда найдётся постоянная M > 0,

не зависящая от μ, такая, что

|z(x, μ)|, |z^′x(x, μ)| ≤ M,

|z^′′xx(x, μ)| ≤ M/(μx), x ∈ [0, b], μ ∈ (0, μ₀].

Кроме того, решение z(x,μ) задачи (7) сходится к решению z(x) предельной задачи (8) при

μ → 0 + 0 равномерно по x ∈ [0,b]. Для любого ε ∈ (0,b) z^′x(x,μ) сходится к z′(x) при

μ → 0 + 0 равномерно по x ∈ [ε,b].

Доказательство. Из леммы 4 следует равномерная ограниченность функций |z(x, μ)| и

| ŵ(x,μ)|:

z(x) = z(x) + 1, z^′(x) = w(x) = ϕ(x, μ) + ϕ(x, 0)z(x) + ŵ(x),

2√xRμ(x)w(x) + μc(x)w(x) + c(x)√xRμ(x)z(x) - μa(x)z(x)

z^′′(x) = w^′(x) = -

μx

из чего, очевидно, следуют оценки теоремы. Кроме того, из этого факта следует предкомпакт-

ность множества решений {z(x, μ)}μ∈(0,μ0 ] в C[0, b], а значит, и {z(x, μ)}μ∈(0,μ₀ ].

В доказательстве леммы 2 было получено интегральное представление для

ŵ(x):

∫x

∫

Φ(ξ, μ) - B(ξ)z(ξ)

w(x)

ŵ(x) = w(x)

dξ =

L(ξ, μ) dξ,

ξ w(ξ)

где |L(x, μ)| < C₃ в силу доказанной ограниченности z(x).

Применим в данном неравенстве оценки w(x) сверху и снизу из доказательства леммы 2:

∫x

∫

C₂x-c0 exp(P(x,μ)/μ)

C₃C₂ 1

x exp(P (x, μ)/μ)

| ŵ(x)| ≤ C₃

dξ ≤

ξC₁ξ^-c0 exp(P(ξ,μ)/μ)

C₁

ξ exp(P (ξ, μ)/μ)

∫

(

)

∫

(

∫

)

C₃C₂

2R_μ(ζ)

≤

exp

(P (x, μ) - P (ξ, μ)) dξ =

exp

C₁ε

√ζdζdξ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

616

ЕМЕЛЬЯНОВ

При достаточно малых μ имеет место оценка снизу 2R_μ(x) ≥ x/b, x ∈ [0, b]. Таким образом,

∫

(

∫

)

∫

(

)

C₃C₂

2pζ

2pC₃C₂

x³ - ξ³

| ŵ(x)| ≤

exp

dξ ≤

C₁ε

b√ζdζdξ=

C₁ε

3bμ x3/2 + ξ3/2

∫

(

)

∫

(

)

2pC₃C₂

ε²

≤

exp

(x - ξ)(x² + xξ + ξ²) dξ ≤

exp

(x - ξ) dξ.

C₁ε

3b5/2μ

C₁ε

μ 3b5/2

Зафиксируем произвольное ε ∈ (0, b) и введём величины

C₄ = ε²/3b5/2 ≥ 0, C₅ = 2pC₃C₂/C₁ε ≥ 0.

Тогда

∫x

(

)

(

)

(

)

C₄

C₅

C₄

| ŵ(x)| ≤ C₅ exp

(x - ξ) dξ ≤ μ

exp

x exp

= Cμ → 0, μ → 0 + 0,

C₄

т.е.

ŵ(x) → 0 равномерно на любом [ε, b] при μ → 0 + 0. Так как функция

ŵ(x) равномерно

ограничена на [0, b], она сходится на нём к 0 в среднем.

Выделим из {z(x, μ)}μ∈(0,μ0 ] произвольную последовательность с μ → 0 + 0, имеющую

равномерный предел. Пусть

z(x, μ_l) → z(x) при μl → 0 + 0. Перейдём от задачи (10) к

эквивалентной ей системе интегральных уравнений и подставим в неё z(x, μ_l) и

ŵ(x, μ_l):

∫

dŵ

μξ

(ξ) dξ ≡ μx ŵ(x) - μ ŵ(ξ) dξ =

∫x

√

[μΦ(ξ, μ) - 2

ξR_μ(ξ) ŵ(ξ) - μA(ξ) ŵ(ξ) - μB(ξ)z(ξ)]dξ,

∫x

z(x) =

[D(ξ)z(ξ) + ŵ(ξ) + ϕ(ξ, μ)] dξ, x ∈ [0, b], μ > 0.

Данная система допускает предельный переход при μ_l → 0 + 0. Первое уравнение обратится

в тождество 0 = 0, из второго будет получено

∫x

z(x) =

[D(ξ)z(ξ) + ϕ(ξ, 0)] dξ, x ∈ [0, b].

(18)

Решение z(x) этого уравнения существует и единственно.

Таким образом, любая последовательность {z(x, μ_l)} при μ_l → 0 + 0 имеет единствен-

ную в C[0, b] предельную точку z(x), являющуюся решением интегрального уравнения (18).

Доказано, что при μ → 0 + 0

z(x, μ) → z(x) равномерно сходится на [0, b], для любого ε ∈

∈ (0, b]

ŵ(x, μ) → 0 равномерно на [ε, b]. Так как ϕ(x, 0) = -c(x)/2 = D(x), то уравнение

(18) примет вид

∫x

c(x)

z(x) = -

(z(ξ) + 1) dξ, x ∈ [0, b].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

617

Отметим, что при μ → 0 + 0 функция z(x, μ) сходится равномерно к z(x) = z(x) - 1. Тогда

∫x

c(x)

z(x) = 1 -

z(ξ) dξ, x ∈ [0, b].

Продифференцировав это уравнение, получим для функции z(x) задачу (8), т.е. именно ре-

шение (8) z(x) является равномерным пределом z(x, μ):

c(x)

z^′(x,μ) = w(x,μ) = ϕ(x,μ) + ϕ(x,0)z(x,μ) + ŵ(x,μ) → ϕ(x,0)(1 + z(x)) = -

z(x) = z^′(x),

указанная сходимость - равномерная на [ε, b] для любого b ≥ ε > 0. Теорема полностью

доказана.

Приведём следствия теоремы 1.

Теорема 2. Пусть решение задачи (6) y_k(x) существует. Тогда

(

( ∫x

)

Γ(α + 1)

√

c(ξ)

y_k(x) =

x) exp

dξ

+ o(1)

k ∈ N, x ∈ [0,b],

(πki√x)αJα(2πki

при k → +∞ равномерно на x ∈ [0,b].

Для доказательства достаточно найти решение задачи (8)

z(x), применить теорему 1 о

равномерной сходимости z(x, μ) к z(x) и вернуться к начальным обозначениям задачи (6).

2. Оценки функций из фундаментальной системы решений и функции Грина.

Теорема 3. Пусть решение задачи (6) y_k(x) существует. Тогда найдутся не зависящие

от x ∈ [0,b] и k > 0 постоянные C₁ > 0 и C₂ > 0 такие, что при достаточно больших k

и x ∈ [0,b] имеют место неравенства

√x

e2πk

0<C₁

(19)

1 + (πk

√x)α+1/2≤yk(x)≤C2 1 + (πk√x)α+1/2^,

2πk√x

√x

e2πk

0<C₁k

(20)

1 + (πk

√x)α+1/2≤yk(x)≤C2√x 1 + (πk√x)α+1/2,

√x

e2πk

|y^′′

(x)| ≤ C₂

(21)

x 1 + (πk

√x)α+1/2^.

Доказательство. I. Вновь воспользуемся разложением y_k(x) = y_k(x)z_k(x), где z_k(x) =

= z(x,μ = 1/(πk)). При t → +∞ имеет место следующая асимптотическая формула [17,

с. 222]:

(

const

⁽1⁾⁾

J_α(it) =

√

et 1+O

Применим её к y_k(x). Существуют постоянные A > 0, B₁ > 0 и B₂ > 0 такие, что выполнено

√x

e2πk

0<B₁

√x ≥ A.

(πk

√x)α+1/2≤yk(x)≤B2 (πk√x)α+1/2^,k

При 0 ≤ k√x ≤ A можно выбрать постоянные B3 > 0 и B4 > 0 так, чтобы выполнялось

0 < B₃ ≤ y_k(x) ≤ B₄,

0≤k√x ≤ A.

Совместив последние неравенства, имеем

√x

e2πk

0<B₅

(22)

1 + (πk√x)α+1/2≤yk(x)≤B6 1 + (πk√x)α+1/2,B5,B6 >0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

618

ЕМЕЛЬЯНОВ

Аналогично могут быть оценены производные

πki Γ(α + 1)

y′k(x) = -

√x),

√x (πki√x)αJα+1(2πki

2πk√x

√x

e2πk

0<B₅k

(23)

1 + (πk

√x)α+1/2≤yk(x)≤B6√x 1 + (πk√x)α+1/2,B5,B6 >0,

π²k

Γ(α + 1)

y′′k(x) = -

√x),

x (πki√x)αJα+2(2πki

√x

e2πk

y′′

(x) ≤ B₆

(24)

x 1 + (πk

√x)α+1/2^.

II. В силу теоремы 1 z_k(x)

→ z(x) - решению задачи (8). Тогда найдётся достаточно

k→+∞

большой номер k₀ и постоянные D₁ > 0 и D₂ > 0 такие, что 0 < D1 ≤ zk(x) ≤ D2;

|z^′k(x)| ≤ D₂, |z′′k(x)| ≤ D2k/x при k ≥ k0. В совокупности с неравенствами (22) эти оценки

дают (19):

y^′k(x) = y^′k(x)z_k(x) + y_k(x)z^′k(x).

В силу неравенств (22) и (23)

2πk√x

√x

e2πk

|y^′k(x)| ≤ D₂B₆

√x 1 + (πk√x)α+1/2+D2B⁶ 1 + (πk√x)α+1/2≤C2√x 1 + (πk√x)α+1/2,

2πk√x

√x

e2πk

|y^′k(x)| ≥ D₁B₅k

1 + (πk

√x)α+1/2-D2B⁶ 1 + (πk√x)α+1/2⁼

(

)

2πk√x

√x

D₂B

e2πk

D₁B₅ -

≥C₁k

1 + (πk

√x)α+1/2

1 + (πk

√x)α+1/2

при (D₁B₅ - D₂B₆/k) ≥ C₁ > 0, что выполнено при k ≥ k₀. Оценки (20) доказаны. Анало-

гично, применив в оценке y^′′k(x) неравенства (22), (23) и (24), получим оценку (21):

)

2πk√x

√x

⁽k²

k²

e2πk

|y^′′(x)| ≤ D2B6

≤C₂

1 + (πk

√x)α+1/2

√x⁺

x 1 + (πk

√x)α+1/2^.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь изначальные условия на коэффициенты уравнений (1) и (2).

Теорема 4. Пусть коэффициенты a(x), c(x) из класса A, a(x) ≥ 0 и c(0) ≥ 1. Тогда

существует единственное решение задачи (6), также принадлежащее классу A.

Доказательство данного утверждения мы опустим, так как оно во многом повторяет дока-

зательство теоремы 1 из [13].

Построенные решения y_k(x) задач (9) можно выбрать в качестве элементов фундаменталь-

ных систем решений для задач (5), удовлетворяющих левому краевому условию этих задач.

Соответственно, теперь будем обозначать их как Y0k(x) ≡ y_k(x). Будем называть их первыми

элементами фундаментальных систем решений (ФСР) задач (5).

Аналогично далее мы будем рассматривать некоторую последовательность решений после-

довательности задач

xy^′′k + c(x)y^′k - (a(x) + π²k²)y_k = 0, x ∈ (0,b),

y_k(b) = 0, k ∈ N,

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

619

при c₀ ≥ 1. Решение каждой такой задачи определено не однозначно. Использовав известное

следствие формулы Остроградского-Лиувилля, частные решения задач (25) можно предста-

вить в следующем виде:

∫x

( ∫ξ

)

c(ζ)

Y bk (x) = -Y 0k (x)

exp

dζ dξ, x ∈ (0, b], k ∈ N.

(26)

(Y0k(ξ))2

Система решений {Y0k, Y^bk} является линейно независимой по построению. Поэтому по-

ложим функции Y^bk(x) вторыми элементами ФСР задач (5). По аналогии с Y0k(x) получим

оценки на систему Y^bk(x) при k → +∞.

Теорема 5. Найдётся не зависящая от x ∈ (0, b] и k постоянная C > 0 такая, что

при достаточно больших k ∈ N и c(0) > 1 имеют место неравенства

-c₀+1

1 + (πk

√x)α+1/2

0 ≤ Y ^bk(x) ≤ C

x ∈ (0,b],

(27)

√x

1+k√x

e2πk

α+1/2

dY^bk

1 + (πk√x)

0≤-

(x) ≤ Cx-c0

x ∈ (0,b],

(28)

√x

e2πk



d²Y^bk



1 + (πk



(x)

Ckx-c0-¹

^√√)α+1/2 , x ∈ (0,b].

(29)



≤

dx²

e2πk

При c(0) = 1 имеют место неравенства

(

)

1 + (πk

√x)α+1/2

0 ≤ Y ^bk(x) ≤ C ln 2+

x ∈ (0,b],

(30)

k√x 1+k

√x

e2πk

√x

(

dY^bk

⁾1 1 + (πk√x)α+1/2

0≤-

(x) ≤ C ln

x ∈ (0,b],

(31)

k√x x

e2πk

√x



d²Y^bk



k 1 + (πk

√x)α+1/2



(x)

x ∈ (0,b].

(32)



≤

√x

dx²

x²

e2πk

Здесь α = c(0) - 1.

Доказательство. Для упрощения выкладок будем использовать символ const для обо-

значения, возможно, различных положительных постоянных, не зависящих от x ∈ (0, b] и

k∈N:

∫x

ξ^-c

Y bk(x) ≤ -const × Y 0k (x)

dξ, x ∈ (0, b], k ∈ N.

(Y0k(ξ))²

Применим оценки теоремы 3:

∫

)₂

2πk√x

⁽1 + (πk√ξ)α+1/2

Y bk (x) ≤ const ×

ξ-c0

√

dξ ≤

1 + (πk

√x)α+1/2

e2πk

∫

α+1/2

1 + (πk√x)

√x-√ξ)

⁽1 + (πk√ξ)α+1/2 )²

≤ const ×

ξ-c0e4πk(

dξ.

√x

e2πk

1 + (πk

√x)α+1/2

Введём новые переменные

k√x = t, k√ξ = τ, τ - t = ν.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

620

ЕМЕЛЬЯНОВ

Тогда получим

∫b

⁽1 + (πk√ξ)α+1/2 )²

√x-√ξ)

I(k, x) = ξ-c0 e4πk(

dξ =

1 + (πk

√x)α+1/2

√

⁽1 + (πτ)α+1/2)²

= 2k2α τ1-2c0 e-4πν

dτ.

1 + (πt)α+1/2

Обозначим ядро интеграла через

)₂

α+1/2

⁽1 + (πτ)

⁽1 + (πt)α+1/2 + (πν)α+1/2)²

K(t, τ) = τ1-2c0 e-4πν

≤ const × τ1-2c0 e-4πν

≤

1 + (πt)α+1/2

≤ const × τ1-2c0 e-4πν (1 + (πν)2α+1) ≤ const × e-4πν τ1-2c0 ≤ const × e-4πν ν1-2c0 , τ = t + ν.

В силу данной оценки ядра можем выбрать точку γ > 0, не зависящую от t, такую, что

∫

τ1-2c0K(t,τ)dν = τ1-2c0K(t,τ)dν +

τ1-2c0 K(t,τ)dν ≤

[∫γ

∫

]

≤ const

e-4πντ1-2c0 dν + γ1-2c0

e-4πν dν

≤

[∫γ

]

∫

γ1-2c0 e-4πγ

≤ const

τ1-2c0 dν +

≤ const τ1-2c0 dν.

4π

Рассмотрим случай c₀ > 1. Тогда

∫

I(k, x) ≤ const × k2α

τ1-2c0dτ ≤ const × k2α(t-2α - (t + γ)-2α) =

(

)-2α)

= const × x^-α -

⁽√x +γ)-2α)

= const × x-α 1-

k√x

Исследовав отдельно случаи больших и малых k√x, получим общую оценку

-α

I(k, x) ≤ const ×

1+k√x,

которая доказывает неравенство (27). Аналогично при c₀ = 1 получаем оценку

∫

(

)

ln(2 + (k√x)-1)

I(k, x) ≤ const ×

τ-1dτ = const × ln 1+

≤ const ×

k√x

1+k√x

что доказывает неравенство (30):

∫

( ∫ξ

)

( ∫x

)

dY^bk

dY0k

c(ζ)

(x) =

(x)

exp

dζ dξ +

exp

dζ

≤

(Y0k(ξ))2

Y0k(x)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

621

α+1/2

k 1 + (πk√x)

1 + (πk

√x)α+1/2

≤ const ×

I(k, x) + const × x-c0

√x

e2πk

При c₀ > 1 аналогично получаем

[

]

α+1/2

dY^bk

1 + (πk√x)

1 + (πk

√x)α+1/2

(x) ≤ const ×

x-c0 +

x^-α

≤ const × x-c0

√x

e2πk

√x 1 + k√x

e2πk

при c₀ = 1 получаем

α+1/2

dY^bk

1 + (πk√x)

^[1

k ln(2 + 1/k√x)]

(x) ≤ const ×

≤

e2πk

√x

1+k√x

α+1/2

ln(2 + 1/k√x) 1 + (πk√x)

≤ const ×

e2πk

√x

Оценки (28) и (31) доказаны. Наконец, дифференцируя определение Y^bk(x) дважды и произ-

водя аналогичные выкладки, имеем



d²Y^bk



1 + (πk

√x)α+1/2

k² 1 + (πk

√x)α+1/2



(x)

const × x-c0-¹

+ const ×

I(k, x),



≤

√x

dx²

e2πk

и, соответственно, оценки (29) при c₀ > 1 и (32) при c₀ = 1. Теорема доказана.

Мы получили набор оценок для фундаментальных систем решений задач (5). Получим

аналогичные оценки в случае задач (4) при c(0) < 1, сведя их к задачам (5).

Будем искать решения уравнений (4) в виде y_k(x) = x1-c0 y_k(x), где yk(x) - новая неиз-

вестная функция. Тогда

y^′k(x) = x1-c0 y^′k(x) + (1 - c₀)x-c0 y_k(x),

xy^′′k(x) = x2-c0 y^′′k(x) + 2(1 - c₀)x1-c0 y^′k(x) - c₀(1 - c₀)x-c0 y_k(x),

xy^′′k + č(x)y^′k - (ǎ(x) + π²k²)y_k = 0,

(33)

где

č(x) = 2 + c(x) - 2c(0),

ǎ(x) = a(x) + (c₀(1 - c₀) - (1 - c₀)c(x))x-1.

Для уравнений (33) можно поставить краевые задачи вида (5). Выполнены все условия

теорем 3-5, а значит можем выбрать описанным выше образом фундаментальные системы

решений этих задач, обозначив их

Y0k(x)

Y bk (x)}. Соответственно, функции из фундамен-

тальных систем решений задач (4) имеют вид

Y0k(x) = x1-c0

Y0k(x), Y^bk(x) = x1-c0Y bk (x), x ∈ (0,b], k ∈ N.

Заметим, что č₀ = 2+c₀ -2c₀ = 2-c₀ > 1 и, соответственно, мы можем положить в общем

случае α = |c₀ - 1|. Применив оценки теорем 3 и 5, получена следующая

Теорема 6. Пусть c(0) < 1. Тогда существуют не зависящие от x ∈ [0, b] и k ∈ N

постоянные C₁ и C₂ такие, что при достаточно больших k имеют место неравенства

√x

e2πk

0<C₁x1-c0

≤ Y 0k (x) ≤ C₂x1-c0

1 + (πk

√x)α+1/2

1 + (πk√x)α+1/2,x∈[0,b],

2πk√x

√x

dY0k

e2πk

0<C₁x-c0k

(x) ≤ C₂x-c0 k

1 + (πk

√x)α+1/2^≤

1 + (πk√x)α+1/2,x∈[0,b],



√x

d²Y0k

e2πk



(x)

C₂x-1-c0k²



≤

dx²

1 + (πk√x)α+1/2,x∈[0,b],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

622

ЕМЕЛЬЯНОВ

α+1/2

1 + (πk√x)

0≤Y^b

(x) ≤ C₂

x ∈ [0,b],

1+k√x

e2πk

√x

α+1/2

dY^b

1 + (πk√x)

0≤-

(x) ≤ C₂

x ∈ [0,b],

x3/2

e2πk

√x



d²Y^bk



1 + (πk

√x)α+1/2



(x)

x ∈ [0,b].



≤

√x

dx²

C₂ x5/2

e2πk

Для получения оценок функций Грина краевых задач (4) и (5) необходимы оценки опре-

делителей Вронского ФСР уравнений этих задач по модулю снизу. Покажем, что существует

единая оценка для случаев c₀ > 1, c₀ = 1 и c₀ < 1, которая не зависит от k :

dY^bk

dY0k

w_k(x) = Y0k(x)

(x) -

(x)Y^bk(x), x ∈ [0, b], k ∈ N.

Подставим в эту формулу выражение (26) функции Y^bk(x), в результате получим

( ∫x

)

c(ζ)

w_k(x) = - exp

dζ

x ∈ [0,b], k ∈ N.

Теорема 7. Существует не зависящая от x ∈ (0, b] и k ∈ N постоянная W такая, что

имеют место неравенства

w_k(x) ≤ Wx-c0 < 0, k ∈ N, x ∈ [0,b].

Доказательство.

( ∫x

)

( ∫x

) ( ∫x

)

c(ζ)

c₀

w_k(x) = - exp

dζ

= -exp -

dζ exp

- c(ζ) dζ

(

) ( ∫x

)

(

∫

)

= -exp -c₀(lnx - lnb) exp

- c(ζ) dζ

= -x-c0 exp c₀ ln b - c(ζ)dζ

Введём обозначение

∫x

W = - min exp(c0 lnb -

c(ζ) dζ) < 0

x∈[0,b]

и получим требуемое утверждение. Теорема доказана.

Построим функции Грина задач (4) и (5). Будем рассматривать случай произвольного c(0).

Используем ранее введённые обозначения Y0k(x) и Y^bk(x) и запишем функции Грина задач

(4) и (5) в общем виде:

{

Y0k(x)Y^bk(ξ)(ξw_k(ξ))-1,

0 ≤ x < ξ ≤ b,

Gk(x, ξ) =

k ∈ N.

(34)

Y0k(ξ)Y^bk(x)(ξw_k(ξ))-1,

b ≥ x > ξ > 0,

Решения задач (4) и (5) соответственно имеют вид

∫^b

Y_k(x) = G_k(x,ξ)f_k(ξ)dξ, x ∈ [0,b], k ∈ N.

(35)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

623

Теорема 8. Для любого ε ∈ (0, b) найдутся постоянные C₁ = C₁(ε) и C₂, не зависящая

от ε, такие, что при всех k ∈ N имеют место неравенства

∫b

|G_k(x, ξ)| dξ ≤ C₂

(36)

1+k√x k,x∈[0,b],

∫

|G_k(x, ξ)| dξ ≤ C₁

x ∈ [ε,b],

(37)

k²

∫



dGk



x,ξ)

ξ≤C₁

x ∈ [ε,b].

(38)

^d

 dx⁽

Доказательство. Для доказательства неравенства (36) применим оценки теорем 3, 5, 6

и 7 к интегралу от функции (34). В случае c₀ ≥ 1, выбрав наихудшую оценку, получим

∫

(

)

const

√x)α+1/2

√ξ-√x)1+(πk

|G_k(x, ξ)| dξ ≤

1+k√xln

√xe2πk(

1 + (πk

√ξ)α+1/2dξ+

∫

(

)

const

√ξ)α+1/2

const

√x-√ξ)1+(πk

√

e2πk(

1+k√xln

1 + (πk

√x)α+1/2^dξ≡

1+k√x[I1(k,x,ξ)+I2(k,x,ξ)].

Во втором интеграле I₂(k, x, ξ) применим замену k√x = t, k√ξ = τ, τ-t = ν. Тогда получим

√

∫

(

)

1 + (πτ)α+1/2

I₂(k,x,ξ) =

τ ln

e2π(t-τ)

dτ ≤

k²

1 + (πt)α+1/2

√

∫

b-t

(

)

√

const

1 + (πt)α+1/2 + (πν)α+1/2

≤

e-2πν

dν ≤

k²

ν+t

1 + (πt)α+1/2

∫

(

)

const

≤

e-2πν(1 + (πν)α+1/2)dν.

Так как последний интеграл сходится и не зависит от k, то получаем

const

I₂(k,x,ξ) ≤

Рассмотрим теперь интеграл I₁(k, x, ξ) и сделаем в нём замену по формулам k√x = t,

k√ξ = τ, ν = t - τ. В результате будем иметь

(

∫

⁾ 2

1 + (πt)α+1/2

I₁(k,x,ξ) ≤ ln

τe-2π(t-τ)

dτ ≤

t k²

1 + (πτ)α+1/2

(

)

∫

const

≤ ln

e-2πν(1 + (πν)α+1/2)dτ.

k²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

4^∗

624

ЕМЕЛЬЯНОВ

√

Заметим, что t ln(2 + t-1) ≤ const × (1 + k

b), а интеграл является сходящимся. Поэтому

const

I₁(k,x,ξ) ≤

что доказывает неравенства (36) и (37) при c₀ ≥ 1. Случай c₀ < 1 исследуется аналогично:

∫



∫

dGk



√ξ

e2πk

1 1 + (πk

√x)α+1/2



x,ξ)

ξ ≤ const ×

dξ +

^d

√x

 dx⁽

1 + (πk

√ξ)α+1/2 x

e2πk

∫b

√x

e2πk

1 + (πk

√ξ)α+1/2

+ const ×

√

dξ.

1 + (πk

√x)α+1/2 ξ3/2

e2πk

Использовав технику, применённую ранее, получим оценку (38):

∫



dGk



const



x,ξ)

ξ≤

x ∈ [ε,b].

^d

 dx⁽

ε3/2k

Теорема доказана.

3. Решение задач для эллиптического уравнения. Вернёмся к решению задач (1)

и (2). Разложим правую часть f(x, y) уравнений в ряд Фурье

∑

f (x, y) =

f_k(y)sin(πkx), (x,y) ∈ Ω.

k=1

Соответственно, будем искать решения задач (1) и (2) в виде

∑

u(x, y) =

Y_k(y)sin(πkx), (x,y) ∈^Ω,

(39)

k=1

где Y_k(y) - решения задач (4) и (5) соответственно.

Теорема 9. Пусть правая часть f_k(y) задач (4) и (5) ограничена по норме в простран-

стве C²[0,b]. Тогда при k ∈ N имеют место соотношения

)

f_k(y)

⁽ 1

Y_k(y) = -

π²k²

1+k√yO

k³

равномерно по y ∈ [0, b]. Кроме того, для любого ε ∈ (0, b) справедливы равенства

)

f_k(y)

⁽ 1

f^′k(y)

⁽ 1⁾

Y_k(y) = -

Y ′k(y) = -

Y ′′k (y) = O

π²k²

k⁴

π²k²

k³

k²

равномерно по y ∈ [ε, b].

Доказательство данной теоремы осуществляется аналогично доказательству леммы 5 из

статьи [13] с учётом доказанной нами теоремы 8.

Теорема 10. Пусть правая часть f(x, y) задач (1) и (2) имеет вторую непрерывную

производную по y в Ω = [0,1] × [0,b], при каждом фиксированном y ∈ (0,b) принадлежит

классу Гёльдера по x. Тогда классические решения данных задач существуют и выражаются

рядом (39), где коэффициенты Y_k(y) определяются формулой (35). Ряд сходится абсолютно

и равномерно в Ω, допускает двукратное дифференцирование под знаком суммы по x и по y

внутри Ω.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

625

Доказательство данной теоремы осуществляется аналогично доказательству теоремы 5 из

работы [13] с учётом результатов теоремы 9.

Наконец, построим решения задач (1) и (2) в том случае, когда коэффициенты дифферен-

циального оператора и правая часть являются аналитическими функциями.

Пусть функции a(y), c(y) и f(x, y) принадлежат классу A при каждом фиксированном

x ∈ [0,1]. Тогда имеют место следующие разложения в степенные ряды:

∑

a(y) =

a_nyⁿ, c(y) =

c_nyⁿ, f_k(y) =

f_knyⁿ, k ∈ N,

n=0

радиус сходимости всех рядов не меньше R. Будем искать частное решение уравнений из

задач (4) и (5) в виде

∑

η_k(y) =

η^Aknyⁿ + ln y

η^Sknyⁿ ≡ η(A)k(y) + lny · η(S)k(y).

(40)

n=0

Подставив указанные выше степенные ряды в соответствующие уравнения (4) и (5) и при-

равняв коэффициенты при yⁿ, ln y · yⁿ, получим систему уравнений относительно коэффи-

циентов η^Akn, η^Skn :

∑

(n + c₀)(n + 1)ηSk,n+1 +

c_n-m(m + 1)ηSk,m+1 -

a_n-mη^Sk,m - π²k²η^Sk,n = 0,

m=0

∑

[(n + c₀)(n + 1)ηAk,n+1 + (2n + 1 + c₀)ηSk,n+1] +

c_n-m[(m + 1)ηAk,m+1 + ηSk,m+1] -

m=0

∑

- a_n-mη^Ak,m - π²k²η^Ak,n = f_kn, n ∈ N₀, k ∈ N.

m=0

Данная система не определяет ηAk,0, ηSk,0. Положим ηAk,0 = 1, ηSk,0 = 0, что гарантирует

ограниченность решения в окрестности точки 0. Остальные коэффициенты рядов могут быть

найдены рекуррентно из системы уравнений.

Если c₀ = 0, -1, -2, . . . , то

[

]

∑

η^Ak,n = (n(n + c₀ - 1))-1 fk,n-1 +

(an-m-1 - mc_n-m)η^Ak,m - π²k²η^A

(41)

k,n-1

m=0

η^Sk,n = 0, k,n ∈ N.

(42)

В случаях c₀ = 0, -1, -2, . . . формулы (41) и (42) верны лишь при n = 1, -c₀. Рассмотрим

номер n = 1 - c₀. Можно выбрать

[

]

∑

η^Sk,n = (2n - 1 + c₀)-1 fk,n-1 +

(an-m-1 - mc_n-m)η^Ak,m - π²k²η^A

k,n-1

m=0

η^Ak,n = 0, k ∈ N, n = 1 - c₀.

Аналогично при n = 2 - c₀, 3 - c₀, . . . коэффициенты η^Akn, η^Skn корректно выражаются

через предыдущие. Таким образом, данная система уравнений разрешима.

Теорема 11. Пусть функция f(x, y) представима рядом по степеням x - 1/2 и y, схо-

дящимся при x ∈ (-ε, 1 + ε), y ∈ (-R, R) при некотором ε > 0. Тогда функции η(A)k(y) и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

626

ЕМЕЛЬЯНОВ

η(S)k(y) из формулы (40) принадлежат классу A, а соответствующие им степенные ряды

сходятся при y ∈ (-R, R).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 6 из статьи [13].

I. Рассмотрим случай c(0) < 1. Тогда однородные уравнения (4) имеют по два линейно

независимых ограниченных решения. В силу теоремы 4 одно из них имеет вид

ϕk(y) = y1-c0 ϕ(A)k(y),

а другое можно построить описанным в данной главе методом, положив f_k(y) ≡ 0. Оно будет

иметь вид

χ_k(y) = χ(A)k(y) + ln y · χ(S)k(y),

где ϕ(A)k(y), χ(A)k(y) и χ(S)k(y) - функции из класса A.

II. Пусть c(0) ≥ 1. Тогда единственное ограниченное решение (с точностью до постоянного

множителя) задачи (5) даётся теоремой 4 и имеет вид

ϕk(y) = ϕ(A)k(y),

где ϕ(A)k(y) - функция из класса A.

Теорема 12. Пусть функция f(x, y) представима рядом по степеням x - 1/2 и y, схо-

дящимся при x ∈ (-ε, 1 + ε), y ∈ (-R, R) при некотором ε > 0.

1. Если c(0) ≥ 1, то классическое решение задачи (2) имеет вид

(

)

∑

u(x, y) =

η(A)k(y) -ηkA)(b)ϕ(A)k(y) sin(πkx), (x, y) ∈Ω.

ϕ(A)k(b)

k=1

2. Если c(0) < 1 и c(0) = 0, -1, -2, . . . , то классическое решение задачи (1) имеет вид

(

)

∑

u(x, y) =

η(A)k(y) - χ(A)k(y) -ηkA)(b)-χkA)(b)y1-c(0)ϕ(A)k(y) sin(πkx), (x,y) ∈Ω.

b1-c(0)ϕ(A)k(b)

k=1

3. Если c(0) = 0, -1, -2, . . . , то классическое решение задачи (1) имеет вид

(

∑

u(x, y) =

η(A)k(y) + ln y · η(S)k(y) - χ(A)k(y) - ln y · χ(S)k(y) -

k=1

(A)

)

η_k

(b) + ln b · η(S)k(b) - χ(A)k(b) - ln b · χ(S)k(b)

y1-c(0)ϕ(A)k(y) ,

(x, y) ∈^Ω.

b1-c(0)ϕ(A)k(b)

Указанные ряды сходятся равномерно по (x, y) ∈ Ω и допускают двукратное дифферен-

цирование под знаком суммы по x и по y внутри Ω, функции η(A)k, η(S)k, χ(A)k, χ(S)k, ϕ(A)k

принадлежат классу A.

Доказательство. Выражение в скобках в силу наших построений является решением за-

дач (1) и (2) соответственно, т.е. совпадает с функциями (35), а указанные ряды Фурье -

с рядами (39), они сходятся к классическому решению в силу теоремы 10. Принадлежность

коэффициентов классу A следует из теоремы 11. Теорема доказана.

Автор выражает благодарность профессору И.С. Ломову за постановку задачи и полезные

обсуждения результатов.

Статья опубликована при финансовой поддержке Министерства образования и науки Рос-

сийской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и

прикладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

627

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырожденных уравнений эллиптического типа на границе об-

ласти // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.

2. Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М., 1985

3. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск, 1979.

4. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

5. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.

6. Ивакин В.М. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических

уравнений и систем // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск,

1982. С. 12-21.

7. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. Мат. Ин-та им. В.А. Стек-

лова. 1968. Т. 103. С. 181-200.

8. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения u_xx + yu_yy +

+ α(x, y)u_y + β(x, y)u_x + γ(x, y)u = f(x, y) в смешанной области // Дифференц. уравнения. 1968.

Т. 4. № 1. С. 123-135.

9. Ломов И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных

уравнений // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 12. С. 2079-2089.

10. Ломов И.С. Метод спектрального разделения переменных для нерегулярно вырождающихся эл-

липтических дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 5. С. 593-596.

11. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

12. Емельянов Д.П., Ломов И.С. Построение точных решений нерегулярно вырождающихся эллипти-

ческих уравнений с аналитическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 1.

С. 45-58.

13. Емельянов Д.П., Ломов И.С. Использование рядов Пуассона в аналитической теории нерегулярно

вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 5. С. 655-672.

14. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные

дифференциальные операторы). М., 1970.

15. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных

уравнений. М., 1973.

17. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 17.01.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 17.01.2022 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022