ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.628-637

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.32+517.929

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Для двух гиперболических дифференциально-разностных уравнений с операторами сдви-

гов общего вида, действующими по всем пространственным переменным, построены

трёхпараметрические семейства решений. Доказаны теоремы, что полученные решения

являются классическими при выполнении условия положительности вещественной части

символа дифференциально-разностных операторов. Приведены классы уравнений, для ко-

торых эти условия выполнены.

DOI: 10.31857/S0374064122050041, EDN: CBCDZS

Введение. В последние годы в приложениях математики широкое распространение по-

лучили функционально-дифференциальные уравнения или, иначе, дифференциальные урав-

нения с отклоняющимся аргументом. Систематическое изучение уравнений с отклоняющимся

аргументом было начато в сороковых годах XX в. благодаря приложениям к теории автома-

тического управления и связано с работами А.Д. Мышкиса [1], Э. Пинни [2], Р. Беллмана и

К.Л. Кука [3], Г.А. Каменского [4], Л.Э. Эльсгольца [5], Дж. Хейла [6].

Простыми представителями обыкновенных уравнений с отклоняющимся аргументом могут

служить уравнения

u^′(t) = f(t,u(t),u(t - h))

u^′(t) = f(t,u(t),u(t - h),u^′(t - h)),

где h > 0 - заданная постоянная величина.

Возникновение таких уравнений обеспечивается элементом задержки в моделируемой сис-

теме, в результате действия которого скорость эволюции системы определяется её состоянием

не только в текущий момент времени t, но и в предшествующий момент t - h.

Появление “запаздывания” h порой приводит не только к количественным, но и к каче-

ственным изменениям постановок задач и свойств их решений. Так, в качестве начального

условия для уравнений первого порядка задаётся не только значение u(t₀), как для класси-

ческих уравнений, а все значения искомой функции u(t) при t₀ - h ≤ t ≤ t₀.

Вопрос об устойчивости систем, описываемых такими уравнениями, решается на основе

анализа корней соответствующих характеристических уравнений, которые оказываются не

алгебраическими (как для обычных дифференциальных уравнений), а трансцендентными.

Реальные объекты могут описываться функционально-дифференциальными уравнениями

и более сложной структуры. В частности, уравнения могут включать не одно, а несколько дис-

кретных запаздываний, а также “распределённое запаздывание”, что приводит к изучению ин-

тегро-дифференциальных уравнений, которые в линейном случае могут, например, иметь вид

∫t

u^′(t) = K(t,s)u(s)ds + f(t), t ≥ t₀.

t₀

Данные уравнения описывают системы, обладающие памятью.

Существенные результаты в исследовании задач для функционально-дифференциальных

уравнений различных классов были получены А.Л. Скубачевским [7, 8], В.В. Власовым [9, 10],

628

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

629

А.Н. Зарубиным [11, 12], А.Б. Муравником [13-19], А.В. Разгулиным [20], Л.Е. Россовским [21]

и другими авторами.

Специальный класс функционально-дифференциальных уравнений составляют дифферен-

циально-разностные уравнения, теория краевых задач для которых продолжает развиваться.

В настоящее время достаточно полно исследованы задачи для эллиптических дифференциаль-

но-разностных уравнений в ограниченных областях, большой вклад в разработку и развитие

теории для них принадлежит А.Л. Скубачевскому [7, 8].

В неограниченных областях задачи для эллиптических дифференциально-разностных

уравнений изучены в значительно меньшей степени. Обширное исследование таких задач пред-

ставлено в работах А.Б. Муравника [13-19]. В частности, в работах [17-19] рассматриваются

краевые задачи для многомерных эллиптических дифференциально-разностных уравнений.

Параболические уравнения с отклонениями по времени (или с переменными запаздыва-

ниями) в старших производных были исследованы в работах В.В. Власова [9]. Краевые за-

дачи в ограниченных областях для параболических дифференциально-разностных уравнений

со сдвигами по пространственным переменным изучались в работах А.Л. Скубачевского и

Р.В. Шамина [22], А.Л. Скубачевского и А.М. Селицкого [23]. В случае же неограниченной

области задачи для таких уравнений были изучены в монографии А.Б. Муравника [13].

В работе А.Н. Зарубина [12] рассмотрена задача Коши для гиперболического уравнения с

запаздыванием по времени, встречающимся при математическом моделировании процессов в

средах с фрактальной геометрией. В работе В.В. Власова и Д.А. Медведева [10] гиперболиче-

ские дифференциально-разностные уравнения были исследованы для случая, когда операторы

сдвига также действуют по переменной времени.

В настоящее время, насколько нам известно, имеется незначительное число работ, по-

свящённых изучению гиперболических дифференциально-разностных уравнений, содержащих

сдвиги по пространственной переменной. В работах [24-28] построены семейства классических

решений для двумерных гиперболических уравнений, причём сдвиги по единственной про-

странственной переменной x, изменяющейся на всей вещественной оси, присутствуют либо в

потенциалах, либо в старшей производной.

В данной работе в полупространстве {(x, t) : x ∈ Rⁿ, t > 0} исследуется вопрос суще-

ствования гладких решений двух гиперболических дифференциально-разностных уравнений,

первое из которых содержит суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдви-

га по каждой из пространственных переменных:

∑

= a²

uxjx_j (x,t) +

b_juxjx_j (x1,... ,xj-1,xj - hj,xj+1,... ,xn,t),

(1)

j=1

где a, b₁, . . . , b_n и h₁, . . . , h_n - заданные вещественные числа.

Второе уравнение содержит сумму дифференциальных операторов и операторов сдвига по

каждой из пространственных переменных:

∑

= c²

uxjx_j (x,t) -

d_ju(x₁,... ,xj-1,x_j - l_j,xj+1,... ,x_n,t),

(2)

j=1

где c, d₁, . . . , d_n и l₁, . . . , l_n - заданные вещественные числа.

Определение 1. Функция u(x,t) называется классическим решением уравнения (1) (урав-

нения (2)), если в каждой точке полупространства (x, t) ∈ Rⁿ × (0, +∞) существуют класси-

ческие, т.е. определённые в смысле пределов отношений конечных разностей, производные u_tt

и uxjx_j (j = 1,n), и в каждой точке этого полупространства выполняется соотношение (1)

(соответственно, соотношение (2)).

Определение 2. Будем называть дифференциально-разностный оператор L положи-

тельным, если вещественная часть символа этого оператора положительна, т.е. выполняется

условие Re L(ξ) > 0 для всех ξ ∈ Rⁿ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

630

ЗАЙЦЕВА

Вещественная часть символа дифференциально-разностного оператора -L₁ уравнения (1)

равна

∑

-ReL₁(ξ) = |ξ|² +

a_jξ2j cos (h_jξ_j).

j=1

В дальнейшем будем считать оператор -L₁ положительным, т.е. для всех ξ ∈ Rⁿ выполня-

ется условие

∑

a²|ξ|² +

b_jξ2j cos (h_jξ_j) > 0.

(3)

j=1

Оператор -L₂ уравнения (2) также будем считать положительным в дальнейших рассуж-

дениях, т.е. для всех ξ ∈ Rⁿ будет выполняться условие

∑

c²|ξ|² +

d_j cos (l_jξ_j) > 0.

(4)

j=1

1. Построение решений уравнения (1). Для нахождения решений уравнения исполь-

зуем классическую операционную схему [29, § 10], согласно которой применим формально к

∫

уравнению (1) преобразование Фурье

f (ξ) =Rn f(x)e^iξ·x dx по n-мерной переменной x и

перейдём к двойственной переменной ξ.

С учётом формул [30, § 9] F_x[∂^αx∂βt f] = (-iξ)^α∂βt F_x[f] и F_x[f(x-x₀)] = eix0·ξF_x[f] получим

для нахождения функции u(ξ, t) := F_x[u](ξ, t) начальную задачу

(

)

∑

d²u

= - a²|ξ|² + b_jξ2j cos(h_jξ_j) + i

b_jξ2j sin (h_jξ_j)

u, ξ ∈ Rⁿ,

(5)

dt²

j=1

u(0) = 0,

ut(0) = 1.

(6)

Для удобства в дальнейших вычислениях введём следующие обозначения:

∑

α(ξ) :=

b_jξ2j cos (h_jξ_j), β(ξ) :=

b_jξ2j sin (h_jξ_j).

j=1

Тогда уравнение (5) принимает вид

d²u

= -(a²|ξ|² + α(ξ) + iβ(ξ))u, ξ ∈ Rⁿ,

dt²

корни характеристического уравнения для которого определяются по формуле

√

k1,2 = ±

-(a²|ξ|² + α(ξ) + iβ(ξ)) = ±i

a²|ξ|² + α(ξ) + iβ(ξ) = ±iρ(ξ)eiϕ(ξ),

где

ρ(ξ) := [(a²|ξ|² + α(ξ))² + β²(ξ)]1/4,

(7)

β(ξ)

ϕ(ξ) :=

arctg

(8)

a²|ξ|² + α(ξ)

Отметим, что при выполнении условия (3) функции (7) и (8) определены корректно для любого

значения ξ ∈ Rⁿ, так как подкоренное выражение в формуле (7) всегда положительно, а

знаменатель аргумента арктангенса в (8) не обращается в нуль.

Таким образом, общее решение уравнения (5) имеет вид

u(ξ, t) = C₁(ξ)eitρ(ξ)[cosϕ(ξ)+isinϕ(ξ)] + C₂(ξ)e-itρ(ξ)[cosϕ(ξ)+isinϕ(ξ)],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

631

где C₁(ξ) и C₂(ξ) - произвольные постоянные, зависящие от параметра ξ, для определения

которых подставим функцию u(ξ, t) в начальные условия (6). Из системы

C₁(ξ) + C₂(ξ) = 0, C₁(ξ) - C₂(ξ) =

iρ(ξ)[cos ϕ(ξ) + i sin ϕ(ξ)]

находим значения констант

-iϕ(ξ)

e-iϕ(ξ)

C₁(ξ) =

C₂(ξ) = -

2iρ(ξ)

В результате решение задачи (5), (6) определяется по формуле

-iϕ(ξ)

u(ξ, t) =

[eitρ(ξ)[cosϕ(ξ)+isinϕ(ξ)] - e-itρ(ξ)[cosϕ(ξ)+isinϕ(ξ)]] =

2iρ(ξ)

-iϕ(ξ)

[e-tρ(ξ)sinϕ(ξ)eitρ(ξ)cosϕ(ξ) - etρ(ξ)sinϕ(ξ)e-itρ(ξ)cosϕ(ξ)] =

2iρ(ξ)

[e-tρ(ξ)sinϕ(ξ)ei(tρ(ξ)cosϕ(ξ)-ϕ(ξ)) - etρ(ξ)sinϕ(ξ)e-i(tρ(ξ)cosϕ(ξ)+ϕ(ξ))] =

2iρ(ξ)

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ))],

(9)

2iρ(ξ)

где введены обозначения

G₁(ξ) := ρ(ξ)sin ϕ(ξ), G₂(ξ) := ρ(ξ)cos ϕ(ξ).

(10)

Применим теперь к равенству (9) формально обратное преобразование Фурье F-1ξ

и по-

лучим

∫

u(x, t) =

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ))]e^-ix·ξ dξ =

(2π)ⁿ

2iρ(ξ)

Rⁿ

∫

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ)] dξ.

2i(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

С учётом чётности функций α(ξ), ρ(ξ), G₂(ξ) и нечётности функций β(ξ), ϕ(ξ),

G₁(ξ)

по каждой переменной ξ_j преобразуем последнее выражение следующим образом:

∫

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ)] dξ =

2i(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

[∫

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ)] dξ +

2i(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

∫

]

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ)] dξ

ρ(ξ)

Rⁿ+

[∫

[etG1(ξ)ei(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ) - e-tG1(ξ)e-i(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ)] dξ +

2i(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

632

ЗАЙЦЕВА

∫

]

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ϕ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ϕ(ξ)+x·ξ)] dξ

ρ(ξ)

Rⁿ

∫

[2ietG1(ξ) sin (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + 2ie-tG1(ξ) sin (tG₂(ξ) - ϕ(ξ) - x · ξ)] dξ =

2i(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

⁺∫

[etG1(ξ) sin (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + e-tG1(ξ) sin (tG₂(ξ) - ϕ(ξ) - x · ξ)] dξ.

(2π)ⁿ

ρ(ξ)

Rⁿ

Используем полученное представление и докажем следующее утверждение.

Теорема 1. При выполнении условия (3) функции

F (x, t; ξ) := etG1(ξ) sin (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ),

(11)

H(x, t; ξ) := e-tG1(ξ) sin (tG₂(ξ) - ϕ(ξ) - x · ξ),

(12)

где ϕ(ξ) определяется по формуле (8), G₁(ξ) и G₂(ξ) - равенствами (10), удовлетворяют

уравнению (1) в классическом смысле.

Доказательство. Подставим сначала функцию (11) непосредственно в уравнение (1). Для

этого найдём производные

Fx_j (x, t; ξ) = ξjetG1(ξ) cos (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ),

Fx_j x_j (x, t; ξ) = -ξ^jetG1(ξ) sin (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ),

Ft(x, t; ξ) = G1(ξ)etG1(ξ) sin (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + G2(ξ)etG1(ξ) cos (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ),

Ftt(x, t; ξ) = [G¹(ξ) - G²(ξ)]etG1 (ξ) sin (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) +

+ 2G₁(ξ)G₂(ξ)etG1(ξ) cos (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ).

(13)

Найдём теперь значения выражений 2G₁(ξ)G₂(ξ) и G²¹(ξ)-G²²(ξ). Так как функции G₁(ξ)

и G₂(ξ) определяются равенствами (10), то

2G₁(ξ)G₂(ξ) = ρ²(ξ) sin(2ϕ(ξ)).

Из формулы (8) следует, что |2ϕ(ξ)| < π/2, а следовательно, cos(2ϕ(ξ)) > 0. Тогда справед-

ливы следующие равенства:

(

)[

(

)]-1/2

tg (2ϕ(ξ))

β(ξ)

sin(2ϕ(ξ)) =

√

= tg arctg

1 + tg2 arctg

1 + tg²(2ϕ(ξ))

a²|ξ|² + α(ξ)

[

]-1/2

β(ξ)

β²(ξ)

a²|ξ|² + α(ξ)

(a²|ξ|² + α(ξ))²

[

]1/2

β(ξ)

(a²|ξ|² + α(ξ))

β(ξ)

|a²|ξ|² + α(ξ)|

a²|ξ|² + α(ξ) (a²|ξ|² + α(ξ))² + β²(ξ)

a²|ξ|² + α(ξ)

ρ²(ξ)

В силу выполнения условия (3) из последнего равенства получим

β(ξ)

a²|ξ|² + α(ξ)

β(ξ)

sin(2ϕ(ξ)) =

a²|ξ|² + α(ξ)

ρ²(ξ)

а значит,

2G₁(ξ)G₂(ξ) = β(ξ).

(14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

633

При установленном выше неравенстве cos(2ϕ(ξ)) > 0 и выполнении условия (3) найдём

теперь

G²¹(ξ) - G²²(ξ) = ρ²(ξ)[sin² ϕ(ξ) - cos² ϕ(ξ)] = -ρ²(ξ)cos(2ϕ(ξ)) =

[

]1/2

ρ²(ξ)

(a²|ξ|² + α(ξ))

=-√

= -ρ²(ξ)

= -a²|ξ|² - α(ξ).

(15)

1 + tg²(2ϕ(ξ))

(a²|ξ|² + α(ξ))² + β²(ξ)

С учётом найденных выражений (14) и (15) функция (13) примет вид

Ftt(x, t; ξ) = [-(a²|ξ|² + α(ξ)) sin(tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + β(ξ) cos (tG2(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ)]etG1(ξ).

Подставим теперь производные F_tt и Fxj x_j в уравнение (1):

[

∑

Ftt(x, t; ξ) - a²

Fx_j x_j (x, t; ξ) =

- (a²|ξ|² + α(ξ)) sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) +

j=1

]

∑

+ β(ξ)cos (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + a²

ξ2j sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) etG1(ξ) =

j=1

= [-α(ξ) sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + β(ξ) cos (tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ)]etG1(ξ) =

∑

- b_jξ2j cos(h_jξ_j)sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) +

j=1

]

∑

+ b_jξ2j sin(h_jξ_j)cos(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) etG1(ξ) =

j=1

∑

= - b_jξ2j sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ - h_jξ_j)etG1(ξ) =

j=1

∑

= b_jFxjx_j(x1,... ,xj-1,xj - hj,xj+1,... ,xn,t;ξ).

j=1

Непосредственной подстановкой в уравнение (1) аналогично проверяется, что и функция

(12) удовлетворяет ему в классическом смысле. Теорема доказана.

Следствие 1. При выполнении условия (3) семейство функций

G(x, t; A, B, ξ) := AetG1(ξ) sin(tG₂(ξ) + ϕ(ξ) + x · ξ) + Be-tG1(ξ) sin (tG₂(ξ) - ϕ(ξ) - x · ξ),

где ϕ(ξ) определяется по формуле (8), G₁(ξ) и G₂(ξ) - равенствами (10), удовлетворяет

уравнению (1) в классическом смысле при любых вещественных значениях параметров A, B

и ξ.

Остаётся пока открытым вопрос: каким именно условиям должны удовлетворять веще-

ственные коэффициенты a > 0, b₁, . . . , b_n и сдвиги h₁, . . . , h_n уравнения (1), чтобы условие

(3) выполнялось для любого n-мерного параметра ξ ?

Запишем условие (3) в следующем виде:

a²(ξ²¹ + ξ²² + ... + ξ2n) + b₁ cos (h₁ξ₁)ξ²¹ + b₂ cos (h₂ξ₂)ξ²² + ... + b_n cos (h_nξ_n)ξ2n > 0.

Оно очевидно будет выполняться для любых сдвигов h₁, . . . , h_n и любых значений ξ₁, . . . , ξ_n,

если коэффициенты уравнения удовлетворяют следующему условию:

max |b_j | < a².

j=1,n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

634

ЗАЙЦЕВА

2. Построение решений уравнения (2). Для нахождения решений уравнения (2) также

применим формально к этому уравнению преобразование Фурье по n-мерной переменной x

и получим для отыскания функции

u(ξ, t) := Fx[u](ξ, t) обыкновенное дифференциальное

уравнение

(

)

∑

d²u

= - c²|ξ|² + d_j cos(l_jξ_j) + i

d_j sin (l_jξ_j)

u, ξ ∈ Rⁿ,

(16)

dt²

j=1

к которому, согласно [30, с. 198], добавим два начальных условия:

u(0) = 0,

ut(0) = 1.

(17)

Для удобства в дальнейших вычислениях введём следующие обозначения:

∑

λ(ξ) :=

d_j cos (l_jξ_j), μ(ξ) :=

d_j sin(l_jξ_j).

j=1

Тогда уравнение (16) принимает вид

d²u

= -(c²|ξ|² + λ(ξ) + iμ(ξ))u, ξ ∈ Rⁿ,

dt²

корни характеристического уравнения для которого определяются по формуле

√

k1,2 = ±

-(c²|ξ|² + λ(ξ) + iμ(ξ)) = ±i

c²|ξ|² + λ(ξ) + iμ(ξ) = ±iδ(ξ)eiψ(ξ),

где

δ(ξ) := [(c²|ξ|² + λ(ξ))² + μ²(ξ)]1/4,

(18)

μ(ξ)

ψ(ξ) :=

arctg

(19)

c²|ξ|² + λ(ξ)

Отметим также, что при выполнении условия (4) функции (18) и (19) определены коррект-

но для любого значения ξ ∈ Rⁿ.

Аналогично решению задачи (5), (6) получаем решение задачи (16) и (17):

u(ξ, t) =

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ψ(ξ)) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ψ(ξ))],

(20)

2iδ(ξ)

где введены обозначения

G₁(ξ) := δ(ξ)sin ψ(ξ),

G₂(ξ) := δ(ξ)cos ψ(ξ).

(21)

Применяя к равенству (20) формально обратное преобразование Фурье F-1ξ и учитывая

чётность функций λ(ξ), δ(ξ),

G₂(ξ) и нечётность функций μ(ξ), ψ(ξ),

G₁(ξ) по каждой

переменной ξ_j в дальнейших преобразованиях, окончательно получаем

∫

u(x, t) =

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ψ(ξ)) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ψ(ξ))]e^-ix·ξ dξ =

(2π)ⁿ

2iδ(ξ)

Rⁿ

∫

[e-tG1(ξ)ei(tG2(ξ)-ψ(ξ)-x·ξ) - etG1(ξ)e-i(tG2(ξ)+ψ(ξ)+x·ξ)] dξ =

2i(2π)ⁿ

δ(ξ)

Rⁿ

∫

[etG1(ξ) sin (t G₂(ξ) + ψ(ξ) + x · ξ) + e-tG1(ξ) sin (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ)] dξ.

(2π)ⁿ

δ(ξ)

Rⁿ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

635

На основании полученного интегрального представления доказана следующая теорема.

Теорема 2. При выполнении условия (4) функции

F (x, t; ξ) := etG1(ξ) sin (t G₂(ξ) + ψ(ξ) + x · ξ),

(22)

^H(x, t; ξ) := e-tG1(ξ) sin (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ),

(23)

где ψ(ξ) определяется по формуле (19),

G₁(ξ) и

G₂(ξ) - равенствами (21), удовлетворяют

уравнению (2) в классическом смысле.

Доказательство. Проверим сначала, что функция (23) удовлетворяет уравнению (2). Для

этого вычислим производные

H_x

(x, t; ξ) = -ξ_je-tG1(ξ) cos (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ),

H_x

jxj (x,t;ξ)=-ξje-tG1(ξ) sin (tG2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ),

H_t(x,t;ξ) = -G1(ξ)e-tG1(ξ) sin (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) + G₂(ξ)e-tG1(ξ) cos (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ),

H_tt(x,t;ξ) = [G21(ξ) -G22(ξ)]e-tG1(ξ) sin (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) -

- 2 G1(ξ) G2(ξ)e-tG1(ξ) cos(t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ).

Аналогично рассуждениям в теореме 1 находятся значения следующих выражений:

2G1(ξ)G2(ξ) = μ(ξ),

(ξ) -G22(ξ) = -c²|ξ|² - λ(ξ),

с учётом которых выражение для

H_tt принимает вид

H_tt(x,t;ξ) = [-(c²|ξ|² + λ(ξ))sin (tG2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) - μ(ξ)cos (tG2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ)]e-tG1(ξ).

H_x

Подставим теперь непосредственно производные

H_tt и

jxj вуравнение(2):

[

∑

H_tt

H_x

(x, t; ξ) - c²

- (c²|ξ|² + λ(ξ)) sin (t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) -

jxj (x,t;ξ)=

j=1

]

∑

− μ(ξ)cos (t G2(ξ) - ϕ(ξ) - x · ξ) + c²

ξ2j sin (tG2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) e-tG1(ξ) =

j=1

= -[λ(ξ)sin (t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) + μ(ξ)cos (t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ)]e-tG1(ξ) =

∑

= - d_j cos(l_jξ_j)sin(t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) +

j=1

]

∑

+ d_j sin(l_jξ_j)cos(t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ) e-tG1(ξ) =

j=1

∑

= - d_j sin(t G2(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ + l_jξ_j)e-tG1(ξ) =

j=1

∑

= - d_j H(x₁,...,xj-1,x_j - l_j,xj+1,...,x_n,t;ξ).

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

636

ЗАЙЦЕВА

Непосредственной подстановкой в уравнение (2) аналогично проверяется, что и функция

(22) удовлетворяет уравнению (2) в классическом смысле. Теорема доказана.

Следствие 2. При выполнении условия (4) трёхпараметрическое семейство функций

^G(x, t

B,ξ) :

AetG1(ξ) sin (t G₂(ξ) + ψ(ξ) + x · ξ) +

Be-tG1(ξ) sin (t G₂(ξ) - ψ(ξ) - x · ξ),

где ψ(ξ) определяется по формуле (19),

G₁(ξ) и

G₂(ξ) - равенствами (21), удовлетворяет

уравнению (2) в классическом смысле при любых вещественных значениях параметров

и ξ.

Выясним теперь: существуют ли в действительности такие уравнения (2), классические

решения которых нами были получены, чтобы условие (4) выполнялось при любом ξ ∈ Rⁿ ?

Ответ положительный. Приведём примеры таких уравнений.

Представим условие (4) в следующем виде:

(c²ξ²¹ + d₁ cos (l₁ξ₁)) + (c²ξ²² + d₂ cos (l₂ξ₂)) + . . . + (c²ξ2n + d_n cos (l_nξ_n)) > 0.

В работе [27] показано, что каждое из n слагаемых в левой части неравенства, записанного

выше, будет положительным, если выполняется условие

0 < d_jl2j ≤ 2c², j = 1,n.

В настоящее время вопрос поиска других примеров уравнений (2), для которых выполня-

ется условие (4), остаётся открытым.

Автор признательна А.Б. Муравнику за постановку задачи и ценные советы и А.Л. Ску-

бачевскому за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке Центра фундаментальной и прикладной математики

Московского государственного университета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., 1972.

2. Pinney E. Ordinary Difference-Differential Equations. Berkeley; Los Angeles, 1958.

3. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967.

4. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.,

1992.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся

аргументом. М. 1971.

6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984.

7. Skubachevskii A.L. Elliptic Functional-Differential Equations and Applications. Basel; Boston; Berlin,

1997.

8. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных урав-

нений и их приложения // Успехи мат. наук. 2016. T. 71. Вып. 5 (431). С. 2-122.

9. Власов В.В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений

в гильбертовом пространстве // Мат. сб. 1995. T. 186. № 8. C. 67-92.

10. Власов В.В., Медведев Д.А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Собо-

лева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Совр. математика. Фунд. направления.

2008. T. 30. C. 3-173.

11. Зарубин А.Н. Математические основы теории управляемых систем. Орел, 1997.

12. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения

// Дифференц. уравнения. 2005. T. 41. № 10. C. 1406-1409.

13. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные

представления и качественные свойства решений задачи Коши // Совр. математика. Фунд. на-

правления. 2014. T. 52. C. 3-143.

14. Muravnik А. On the half-plane Diriclet problem for differential-difference elliptic equations with several

nonlocal terms // Math. Model. of Natural Phenomena. 2017. V. 12. № 6. P. 130-143.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

637

15. Муравник А.Б. Эллиптические задачи с нелокальным потенциалом, возникающие в моделях нели-

нейной оптики // Мат. заметки. 2019. T. 105. Вып. 5. C. 747-762.

16. Muravnik А.B. Half-plane differential-difference elliptic problems with general-kind nonlocal potentials

// Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. V. 67. P. 1101-1120.

17. Муравник А.Б. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения в полупространстве

// Мат. заметки. 2020. T. 108. Вып. 5. C. 764-770.

18. Муравник А.Б. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения общего вида в полупро-

странстве // Мат. заметки. 2021. T. 110. Вып. 1. C. 90-98.

19. Муравник А.Б. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с разнонаправленными

сдвигами в полупространстве // Уфимский мат. журн. 2021. T. 13. № 3. C. 107-115.

20. Разгулин А.В. Задача управления двумерным преобразованием пространственных аргументов в

параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференц. уравнения. 2006.

T. 42. № 8. C. 1078-1091.

21. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и рас-

тяжением аргументов неизвестной функции // Совр. математика. Фунд. направления. 2014. T. 54.

C. 3-138.

22. Shamin R.V., Skubachevskii A.L. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference

equation // Funct. Differ. Equat. 2001. V. 8. P. 407-424.

23. Селицкий А.М., Скубачевский А.Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-

разностного уравнения // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2007. T. 26. С. 324-347.

24. Зайцева Н.В. Глобальные классические решения некоторых двумерных гиперболических диффе-

ренциально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения. 2020. T. 56. № 6. C. 745-751.

25. Зайцева Н.В. О глобальных классических решениях некоторых гиперболических дифференциаль-

но-разностных уравнений // Докл. РАН. 2020. T. 491. № 2. C. 44-46.

26. Zaitseva N.V. Classical solutions of hyperbolic differential-difference equations with several nonlocal

terms // Lobachevskii J. of Math. 2021. V. 42. № 1. P. 231-236.

27. Зайцева Н.В. О глобальных классических решениях некоторых гиперболических дифференциаль-

но-разностных уравнений // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021.

T. 498. № 3. C. 37-40.

28. Зайцева Н.В. Гиперболические дифференциально-разностные уравнения с нелокальными потенци-

алами общего вида // Уфимский мат. журн. 2021. T. 13. № 3. C. 37-44.

29. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы един-

ственности решения задачи Коши // Успехи мат. наук. 1953. T. 8. Вып. 6 (58). С. 3-54.

30. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 05.11.2021 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 20.11.2021 г.

Принята к публикации 01.12.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022