ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.638-655
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.227+517.958:539.3
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ОБЛАСТЯХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ
© 2022 г. С. А. Назаров
Рассмотрены формально самосопряжённые эллиптические системы дифференциальных
уравнений в частных производных, порождающие формально положительные операторы
и обладающие полиномиальным свойством. Найдены достаточные условия, обеспечиваю-
щие существование поверхностных волн Рэлея в задаче Неймана на полупространстве с
периодической границей. Приведены примеры конкретных задач математической физики,
в которых полученные достаточные условия упрощаются или превращаются в критерий,
а также изучены не обслуживаемые общими результатами задачи теории пластин и пьезо-
электрики, причём последняя требует серьёзной модификации подхода.
DOI: 10.31857/S0374064122050053, EDN: CBEIJR
1. Постановка задачи. Пусть Ω - область в полупространстве Rd+ = {x = (y, z) : y ∈
∈ Rd-1, z ∈ R+ = (0,+∞)}, d ≥ 2, инвариантная относительно целочисленных сдвигов вдоль
осей yj = xj , j = 1, d - 1, и бесконечная в направлении оси z = xd, т.е.
Ω = {x ∈ Rd : (y + α,z) ∈ Ω} для любых мультииндексов α = (α1,...,αd-1) ∈ Zd-1,
(1)
где Z = {0, ±1, ±2, . . .}, {x ∈ Rd : z > R} ⊂ Ω, R > 0.
Границу Γ считаем (d - 1)-мерной и липшицевой. Введём полубесконечную призму Π =
= {x ∈ Ω : |yj| < 1/2, j = 1, d - 1} с сечением ω = (-1/2, 1/2)d-1 (единичный куб в Rd-1)
и криволинейным, не обязательно связным, основанием ϖ = {x ∈ Γ : y ∈ ω}. Рассмотрим
краевую задачу
L(∇)u(x) = λu(x), x ∈ Π,
(2)
B(x, ∇)u(x) = 0, x ∈ ϖ,
(3)
с условиями квазипериодичности
∂mjuk(x)|x
j=1/2 =eiθj ∂juk(x)|xj=-1/2,x|xj=±1/2∈∂Π,
j = 1,d - 1, k = 1,K, m = 0,2tk - 1.
(4)
Поясним принятые обозначения. Прежде всего, ∇ = (∂1, . . . , ∂d-1)т, ∂j = ∂/∂xj и матричный
дифференциальный оператор
L(∇) = M(-∇)тAM(∇),
(5)
формально самосопряжённый. Здесьт - знак транспонирования, черта означает комплексное
сопряжение, M(∇) - матрица однородных дифференциальных операторов с постоянными
(комплексными) коэффициентами, у которой элементы имеют порядки ord Mnk = tk ∈ N =
= {1, 2, 3, . . .}, где k = 1, K, n = 1, N , а также K, N ∈ N и N ≥ K. Сама матрица M(∇)
является алгебраически комплектной [1, гл. 3], т.е. существует такое число ρM ∈ N0 = N
⋃ {0},
что для любой строки p = (p1, . . . , pK ), у которой элементы pk - однородные полиномы
степени ord pk = tk + ρ, причём ρ ≥ ρM, найдётся полиномиальная строка q = (q1, . . . , qN ),
удовлетворяющая равенству
p(ξ) = q(ξ)M(ξ) для всех ξ ∈ Rd.
(6)
638
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
639
Это требование обеспечивает неравенство Корна [1, § 3.7.4]
∥u; Ht(Ξ)∥2 ≤ CΞ,M(∥M(∇)u; L2(Ξ)∥2 + ∥u; L2(Ξ)∥2)
для u = (u1, . . . , uk)т ∈ Ht(Ξ) = Ht1 (Ξ) × · · · × HtK (Ξ),
(7)
где фигурируют пространство Лебега L2(Ξ) с натуральным скалярным произведением ( · , · )Ξ
и пространство Соболева Hl(Ξ) порядка l ∈ N, снабжённое стандартной нормой, а Ξ ∈ Rd -
произвольная область с (d - 1)-мерной липшицевой границей ∂Ξ и компактным замыканием
Ξ = Ξ
⋃∂Ξ. Разумеется, постоянная Корна CΞ,M в неравенстве (7) не зависит от вектор-
функции u ∈ Ht(Ξ). Справедлива формула Грина
(Lu, v)Ξ = a(u, v; Ξ) + (N u, Dv)∂Ξ,
(8)
в которой v = (v1, . . . , vK )т ∈ Ht(Ξ), u ∈ Ht•+t(Ξ) и t• = max{t1, . . . , tK }. Кроме того,
D(x, ∇) - система Дирихле на ∂Ξ, ord Dpk ≤ tk - 1 (см., [2, гл. 2, § 2]), а (T × K)-матрица
N (x, ∇) - оператор краевых условий Неймана (3), причём T = t1 + . . . + tK . Предположим,
что A и B - эрмитовы положительно определённые числовые матрицы с размерами N × N
и K × K соответственно; тогда полуторалинейная форма
a(u, v; Ξ) = (AM(∇)u, M(∇)v)Ξ
(9)
оказывается эрмитовой и положительной, а вариационная постановка задачи (2)-(4) со спек-
тральным параметром λ и параметром Флоке θ = (θ1, . . . , θd-1) ∈ [-π, π)d-1
a(u, v; Π) = λ(Bu, v)Π для всех v ∈ Htθ(Π)
(10)
осуществляется на пространстве Htθ(Π) вектор-функций u ∈ Ht(Π), для которых выполне-
ны устойчивые (p = 0, tk - 1) условия квазипериодичности (4) (используем терминологию
монографии [2, гл. 2])
Htθ(Π) = {u ∈ Ht(Π) : ∂mjuk(x)|x
j=1/2 =eiθj ∂juk(x)|xj=-1/2приx|xj=±1/2∈∂Π,
j = 1,d - 1, k = 1,K, m = 0,tk - 1}.
(11)
При этом краевые условия Неймана (3) и естественные (p = tk, 2tk - 1) условия квазиперио-
дичности (3) для гладкого решения Ht•+tθ(Π) восстанавливаются из интегрального тождества
(10) при помощи формулы Грина (8) (см., например, [2, гл. 2; 3, гл. 2]).
2. Волны Рэлея. Пусть при каких-то λ ∈ R+ и θ ∈ [-π,π)d-1 у задачи (9) есть нетриви-
альное решение u ∈ Ht(Π). Обычным способом (см., например, монографии [4, 5]) определим
вектор-функцию
Ω ∋ x → u(x) = ei(θ1[y1]+...+θd-1[yd-1])u(y1 - [y1],... ,yd-1 - [yd-1],z),
(12)
где [b] - целая часть числа b ∈ R. Нетрудно проверить, что благодаря условиям квазипе-
риодичности, включённым в определение (11), вектор-функция (12) попадает в пространство
Htloc(Π). Более того, в п. 4 будет проверено, что u - функция, бесконечно дифференцируемая
внутри области Ω и экспоненциально затухающая при z → +∞. Таким образом, при до-
полнительном предположении о гладкости поверхности Γ эта вектор-функция удовлетворяет
дифференциальной задаче
L(∇)u(x) = λu(x),
x ∈ Ω,
B(x, ∇)u(x) = 0, x ∈ Γ,
(13)
и локализована около границы, т.е. обладает всеми свойствами классических волн Рэлея.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
5∗
640
НАЗАРОВ
Подобные специфические “поверхностные волны” в деформируемых средах были обнару-
жены впервые лордом Рэлеем [6], а затем в иных вариантах Г. Лэмбом [7] и Р. Стоунли [8].
Сопутствующие физические явления нашли разнообразные применения в сейсмологии и сей-
сморазведке, в методах неразрушающего контроля приповерхностных повреждений и прочно-
сти соединений и многих других прикладных дисциплинах. Поэтому количество опубликован-
ных исследований в этом направлении, выполненных на разных уровнях строгости, огромно -
упомянем несколько монографий [9-11] и работ [12-20], а также обзорную статью [21].
Большинство результатов, особенно для векторных задач, например, в теории упругости,
получены при помощи аналитических методов в случае прямых границ и вычислительных
методов в случае осциллирующих. Далее, как и в [16-18, 20], применяются вариационные ме-
тоды спектрального анализа, годящиеся для произвольных периодических границ и широкого
класса систем дифференциальных уравнений. Вместе с тем при доказательстве существования
экспоненциально затухающей при z → +∞ волны (12) задействованные методы не предо-
ставляют сколь-нибудь точной информации о её строении, т.е. исследование спектральных
характеристик найденных рэлеевских волн оставлено за рамками данной работы.
В следующих двух пунктах изучается задача (2)-(4) при λ = 0, для которой установлены
теоремы 1 и 2, позволяющие сделать выводы о непрерывном спектре задачи (10). В п. 5 (теоре-
ма 5) доказываются достаточные условия непустоты дискретного спектра в случае θ = 0 (при
θ = 0 он заведомо пуст). В п. 6 полученный результат применяется к скалярной и векторным
задачам об акустической и упругих средах, а в п. 7 рассматриваются две механические задачи,
не охватываемые теоремой 5 и требующие модификации подхода, причём для рассмотренной
пьезоэлектрической задачи (п. 7, 5◦) результат и способ его вывода существенно отличаются
от, например, задачи теории упругости (п. 6, 2◦).
3. Полиномиальное свойство и спектр. В пространстве Соболева Htθ(Π) введём экви-
валентную норму
|||u|||θ = (a(u, u; Π) + (Bu, u)Π)1/2.
(14)
Требуемая оценка
∥u; Htθ(Π)∥ ≤ cθ|||u|||θ
(15)
обеспечена применением неравенства Корна (7) в усечённой призме Π(R) = {x ∈ Π : z < R}
и кубах QR+m = (R + m, R + m + 1) × (-1/2, 1/2), m ∈ N0. Просуммировав эти неравенства,
придём к соотношению
∥u; Htθ(Π)∥2 ≤ max{CΠ(R),M, CQ0,M}(∥M(∇)u; L2(Π)∥2 + ∥u; L2(Π)∥2)
и, наконец, учтём положительную определённость матриц A и B в формулах (9) и (14).
Неравенство, обратное для (15), очевидно.
Гильбертово пространство (11), снабжённое скалярным произведением
〈u, v〉θ = a(u, v; Π) + (Bu, v)Π,
(16)
обозначим через Hθ и введём в нем положительный, симметричный и непрерывный, а значит,
самосопряжённый оператор Tθ при помощи формулы
〈Tθu, v〉θ = (Bu, v)Π при всех u, v ∈ Hθ.
(17)
Его норма не превосходит единицы. Благодаря определениям (14) и (16), (17) вариационная
задача (10) оказывается эквивалентной абстрактному уравнению
Tθu = τu в пространстве Hθ
с новым спектральным параметром
τ = (1 + λ)-1.
(18)
По спектру Σθ ⊂ [0, 1] оператора Tθ определяем спектр задачи (10) (или (2)-(4) в случае
гладкой границы Γ)
σθ = {λ : (1 + λ)-1 ∈ Σθ} ⊂ R+ = [0,+∞).
(19)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
641
Более того, связь (18) спектральных параметров передает все качества (дискретность, непре-
рывность и проч.) компонент спектра Tθ компонентам спектра σθ.
Изучим спектр (19), используя информацию о задаче (10), полученную на основе теории
эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами на бесконечность [22,
гл. 5; 23, § 3] и полиномиального свойства [23-25] полуторалинейной формы (19):
a(u, u; Ξ) = 0, u ∈ Ht(Ξ)
⇔ u∈P|Ξ.
(20)
Здесь P - конечномерное подпространство векторных полиномов. По причине алгебраической
комплектности матрицы M(∇) справедливо равенство [23; предложение 1.6]
P = {p = (p1,...,pK)т : M(∇)p(x) = 0, x ∈ Rd}.
(21)
Подчеркнём, что в линеале (21) могут быть и полиномы p = (p1, . . . , pK )т, у которых ord pk ≥
≥ tk (см. п. 6, 2◦).
Высказывание (21) предоставляет много полезных сведений о задаче (10), в частности,
следующее утверждение [23; теоремы 1.9, 3.4 и 5.1], пояснения к проверке которого приведено
в следующем пункте.
Теорема 1. При θ ∈ [-π, π)d-1 \ {0} задача
a(u, v; Π) = f(v) для всех v ∈ Htθ(Π)
(22)
с непрерывным (анти)линейным функционалом f ∈ Htθ(Π)∗ имеет единственное решение
u ∈ Htθ(Π) и верна оценка
∥u; Htθ(Π)∥ ≤ cθ∥f; Htθ(Π)∗∥,
в которой множитель cθ не зависит от f, но неограниченно возрастает при θ → 0 ∈ Rd-1.
Теперь выводим первичную информацию о спектре (19), который представим как дизъ-
юнктное объединение существенного σeθ и дискретного σdθ спектров.
Следствие 1. 1) При θ ∈ [-π, π)d-1 \ {0} непрерывный спектр σcθ совпадает с суще-
ственным σeθ и приобретает положительную точку отсечки λ†θ, а значит, дискретный
спектр σdθ может появиться только на интервале (0,λ†θ).
2) При θ = 0 спектр σ0 = σe0 = σc0 занимает всю замкнутую положительную полуось
R+ и поэтому σd0 = ∅.
Доказательство. Поскольку второе слагаемое в левой части интегрального тождества
a(u, v; Π) - λ(Bu, v)Π = f(v) для всех v ∈ Htθ(Π)
(23)
порождает исчезающее при λ → 0 непрерывное возмущение оператора задачи (22), свойство
однозначной разрешимости из теоремы 1 передается задаче (23) при λ ∈ [0, λ#θ) и некотором
λ#θ > 0. Согласно общим результатам [26, 27] (см. также [22, гл. 1, § 2 и замечание 3.1.5])
задача (10) не имеет собственных чисел бесконечной кратности, т.е. σcθ = σeθ и, кроме того,
σcθ - луч [λ†θ,+∞), т.е. односвязное множество, причём, разумеется, λ†θ ≥ λ#θ > 0.
По поводу второго утверждения, означающего, что λ†0 = 0, см. теорему 3.
4. Экспоненциальные и полиномиальные решения; разрешимость задачи при
θ = 0. Пусть носитель функционала f из правой части интегрального тождества (23) ком-
пактный и supp f ⊂ Π(R). Тогда решение u ∈ Htθ(Π) бесконечно дифференцируемо на множе-
стве Π \ Π(R + δ) при любом δ > 0. В самом деле, гладкость внутри призмы {x ∈ Π : z > R}
обеспечена локальными оценками (см. монографию [2, § 3] и работы [28, 29]) решений эллип-
тических∗) систем. Выберем какой-либо индекс j ∈ {1, . . . , d - 1}, для определённости j = 1,
и рассмотрим вектор-функцию
{
u(x)
при x1 ∈ (-1/2, 1/2),
u(x) =
e±iθ1 u(x1 ∓ 1,x′)
при x1 ∓ 1 ∈ (-1/2, 1/2),
∗) Эллиптичность оператора L(∇) вытекает из полиномиального свойства (20); см. [23, гл. 5, § 1].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
642
НАЗАРОВ
где x′ = (x2, . . . , xd-1) ∈ (-1/2, 1/2)d-2 и xd > R. В силу условий квазипериодичности,
включённых в определение пространства (11), вектор-функция
u попадает в пространство
Htloc(Π1(R)), т.е. упомянутые выше локальные оценки показывают, что она гладкая внутри
расширенной призмы Π⊟(R) = (-3/2, 3/2) × (-1/2, 1/2)d-2 × (R, +∞), а значит, в Π(R),
вплоть до граней {±1/2}×(-1/2, 1/2)d-2 ×(R, +∞). Перебирая по очереди остальные индексы
j, приходим к нужному утверждению о гладкости.
Приведём некоторые сведения из теории эллиптических краевых задач в цилиндрических
областях [22, гл. 5; 23, § 3; 27]. С задачей (2)-(4) в бесконечном цилиндре ω × R свяжем
операторный пучок
R ∋ μ → Aλθ(μ) = L(∇y,μ) - λB : Hl+tθ(ω) → Hl-tθ(ω),
(24)
где l ≥ t• и Hlθ(ω) - пространство Соболева функций, подчинённых условиям квазиперио-
дичности на противоположных гранях единичного куба ω
∂mjUk(y)|y
j=1/2 =eiθj ∂jUk(y)|yj =-1/2,
y|yj=±1/2 ∈ ∂ω, j = 1,d - 1, k = 1,K, m = 0,l - 1.
(25)
В силу эллиптичности оператора L(∇) спектр пучка (24) состоит из нормальных собственных
чисел (без конечных точек сгущения), расположенных в объединении полосы {μ ∈ C : |Re μ| ≤
≤ β0λ} и двойного угла {μ ∈ C : |Re μ| ≤ β1λ|Im μ|}, где β0λ и β1λ - положительные числа (см.
[26; 30, гл. 1; 22, гл. 1]). Каждому собственному числу μ отвечает каноническая система
жордановых цепочек
{Up,q : p = 1, κg, q = 0, κap - 1},
(26)
которая состоит из собственных (q = 0) и присоединённых (q > 0) векторов, удовлетворяю-
щих уравнениям
∑
1 djAλθ
Aλθ(μ)Up,q = -
(μ)Up,q-j, p = 1, κg, q = 0, κap - 1.
(27)
j! dμj
j=1
При этом κg - геометрическая, а κa1, . . . , κaκg - частные алгебраические кратности собствен-
ного числа μ; κa1 + . . . + κaκg - полная его кратность, и уравнения (27) с q = κap решений не
имеют (цепочки непродолжимы). По системе (26) выстраиваются экспоненциальные решения
задачи (2)-(4) в цилиндре ω × R:
∑
zj
Up,q(y,z) = eμz
Up,q-j(y), p = 1,κg, q = 0,κap - 1.
(28)
j!
j=0
Изучим экспоненциальные решения при разных значениях параметра Флоке θ ∈[-π, π)d-1.
Начнём со случая θ = 0 и заметим, что среди полиномов из линеала (20) только не зависящие
от переменных y1, . . . , yd-1 удовлетворяют на противоположных гранях призмы Π условиям
“чистой” периодичности, в которые превращаются условия (25) при θ = 0.
Лемма 1. В линеале
P0 = {p ∈ P : полином p зависит только от переменной z}
(29)
можно ввести базис
zq
pk,q(z) = ek
,
k = 1,K, q = 0,tk - 1,
(30)
q!
где ek = (δ1,k, . . . , δK,k)т - орт в пространстве RK , а δj,k - символ Кронекера.
Доказательство. Обратим внимание на важное свойство: ∂z p ∈ P для всякого вектор-
ного полинома p ∈ P по причине инвариантности формы (9) относительно сдвигов вдоль
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
643
оси z. Ввиду строения матричного дифференциального оператора M(∇) (см. п. 1) линейная
оболочка полиномов (30) содержится в P0. Допустим, что в линеале (29) нашелся полином
(
)т
zt1
ztK
P (z) = a1
,...,aK
,
a = (a1,...,aK)т ∈ CK,
|a| = 1.
(31)
t1!
tK!
Очевидно, что M(ed∂z) = M(ed)Z(∂z ) при Z(ζ) = diag {ζt1 , . . . , ζtK }, т.е.
0 = M(∇)P(z) = M(ed)a.
Требование (6), применённое к полиному (31), даёт такой векторный полином q, что
(32)
ξρMd(a1ξd1 ,...,aKξdK )=q(ξ)M(ξ)длявсехξ∈Rd.
Положим ξ1 = . . . = ξd-1 = 0 в равенстве (32) и умножим результат справа на Z(ξd)-1a.
В итоге придём к противоречию, доказыващему лемму:
ξρMd|a|2 =q(edξd)M(edξd)Z(ξd)-1a=q(edξd)M(ed)a=0.
Следующее утверждение - конкретизация предложения 1 [25] (см. также обзор [23, пред-
ложение 3.2]).
Теорема 2. Существует такое γ0 > 0, что у пучка (24) с параметрами θ = 0 ∈ Rd-1
и λ = 0 в полосе {μ ∈ C : |Reμ| < γ0} есть только одно собственное число μ = 0 с полной
алгебраической кратностью 2T = 2(t1 + . . . + tK ). Ему отвечает каноническая система
жордановых цепочек
{ek, 0, . . . , 0, Uk,tk , . . . , Uk,2tk-1}, k = 1, K,
(33)
у которых явно указаны первые tk элементов, а остальные - суть решения уравнений (27)
при θ = 0, λ = 0 и q = tk,2tk - 1.
Первые tk элементов жордановой цепочки (33) предоставляют по формуле (28) элемен-
ты базиса (30) в линеале (29). Поскольку оператор краевых условий Неймана (3), взятый
из формулы Грина (8), представим в виде N (x, ∇) = N#(x, ∇)M(∇) с подходящим мат-
ричным дифференциальным оператором N#(x, ∇), согласно соотношению (21) справедливы
равенства
N (x, ∇)pk,q(x) = 0, x ∈ ϖ, k = 1, K, q = 0, tk - 1.
Таким образом, полиномы (30) удовлетворяют всей задаче (2)-(4) при θ = 0, что и поясняет
очередное утверждение, доказанное в [23, п. 3, § 5] и [25, § 5].
Теорема 3. Если при некотором γ ∈ (0, γ0) функционал
Ht0(Π) ∋ v → fγ(v) = f(eγzv)
(34)
оказался непрерывным, то задача (22) с θ = 0 имеет решение u ∈ Ht0(Π) в том и только в
том случае, когда выполнены T условий ортогональности
f (p) = 0 для любого p ∈ P0.
Кроме того, это решение единственное и для него верны включение eγzu ∈ Ht0(Π) и оценка
∥eγz u; Ht0(Π)∥ ≤ cγ ∥fγ; Ht0(Π)∗∥.
При этом число γ0 > 0 взято из теоремы 2, а множитель cγ не зависит от функциона-
ла (34), но неограниченно возрастает при γ → +0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
644
НАЗАРОВ
Переформулируем результат для неоднородной задачи Неймана
L(∇)u(x) = f(x), x ∈ Π,
N (x, ∇)u(x) = g(x), x ∈ ϖ,
(35)
в случае периодических (θ = 0) гладких правых частей f, g и торца ϖ. При экспоненциаль-
ном затухании вектор-функции f задача (35) с условиями периодичности (4), θ = 0, имеет
периодическое гладкое решение u ∈ Ht0(Π) тогда и только тогда, когда справедливы условия
ортогональности
(f, p)Π + (g, Dp)ϖ = 0 при каждом p ∈ P0,
вытекающие из формулы Грина с пробными вектор-функциями v ∈ P0. Вместе с тем, как
показывает последнее пояснение в формулировке теоремы 3, предельный переход γ → +0
невозможен, и действительно оператор задачи (35), (4), θ = 0, в пространстве Ht0(Π) теряет
фредгольмовость, так как линеал P0 содержит по крайней мере все постоянные векторы,
из которых нетрудно соорудить сингулярную последовательность Вейля [31, гл. 9, § 1] для
оператора T0 в точке τ = 1, а значит, Σe0 = [0, 1] и σc0 = [0, +∞) согласно связи (18)
спектральных параметров τ и λ.
Теорема 1 придает иные свойства оператору Tθ при θ = 0 - он становится изоморфизмом,
что согласуется со следующим утверждением, вытекающим из предложения 3.2 (1) [23], по-
скольку задача (22) с условиями квазипериодичности остаётся самосопряжённой, но ни один
полином из линеала (21) не удовлетворяет названным условиям при θ = 0.
Теорема 4. При θ ∈ [-π, π)d-1 \ {0} найдётся такое положительное число γ(θ), что
полоса {μ ∈ C : |Re μ| < γ(θ)} свободна от спектра пучка μ → A0θ(μ). При этом γ(θ) → +0
в случае θ → 0 ∈ Rd-1.
Следствие 2. При θ ∈ [-π, π)d-1 \ {0} и |γ| < γ(θ), где число γ(θ) > 0 взято из
теоремы 4, решение u ∈ Htθ(Π) задачи (22) с правой частью f, подчинённой требованию
(34), удовлетворяет включению eγzu ∈ Htθ(Π) и оценке
∥eγz u; Htθ(Π)∥ ≤ cγ ∥fγ; Htθ(Π)∗∥.
Доказательство выводится из теоремы 4 при помощи общих результатов работы [27] (см.
также [22, гл. 3 и 5] и [23, § 3]), однако при малом γ может быть получено элементарны-
ми средствами. В качестве пробной вектор-функции в интегральном тождестве (22) возьмём
произведение vγ = eγzv ∈ C∞c(Π)K
⋂Htθ(Π). Ввиду компактности её носителя можно сделать
замену неизвестной u → uγ = eγz u. В результате интегральное тождество принимает вид
(AM(∇ - γed)uγ , M(∇ + γed)vγ )Π = f(vγ).
(36)
По замыканию формула (36) верна при vγ ∈ Htθ(Π), а её левая часть порождает малое, с
нормой O(|γ|), возмущение оператора задачи (22), а значит, при достаточно малом |γ| видо-
изменённая задача остаётся однозначно разрешимой, что и требовалось проверить. Остаётся
отметить, что упрощённый подход не позволяет приблизить весовой показатель γ к критиче-
ской величине γ(θ).
Поскольку оператор вложения Hθ ⊂ L2(Π)K некомпактный, это же свойство присуще опе-
ратору Tθ, заданному формулой (18). Следовательно, по теореме 9.2.1 из [31] существенный
спектр Σeθ не может состоять из единственной точки τ = 0. Таким образом, найдутся точ-
ки τ ∈ (0, 1) и λ = τ-1 - 1 > 0, при которых оператор Tθ - τ и оператор Oθ : Htθ(Π) →
→ Htθ(Π)∗ задачи (23) теряют фредгольмовость. Пусть λ = λ†θ - наименьшая из таких точек;
она положительна при θ = 0 в силу теоремы 1. Согласно теории краевых задач в цилиндриче-
ских областях [22, гл. 3 и 5; 27] у пучка (24) с пороговым параметром λ = λ†θ есть собственное
число μ = iζ на мнимой оси, которому отвечает экспоненциальное решение задачи (2)-(4) в
цилиндре ω × R
w(y, z) = eiζzW (y),
(37)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
645
где W - соответствующая собственная вектор-функция, удовлетворяющая условиям квазипе-
риодичности (25). Таких собственных чисел может быть несколько - они возникают в результа-
те смещения на мнимую ось из полуплоскостей {μ ∈ C : ± Im μ > 0} собственных чисел пучка
Aλθ при λ → λ†θ - 0. Хотя бы одно из них остаётся на мнимой оси при λ > λ†θ, так как иначе
непрерывный спектр теряет связность (см. [22, гл. 1, § 2] и доказательство следствия 1 [26]).
Согласно [32] последнее возможно лишь в том случае, когда у собственного вектора W есть
присоединённый W1, который находится из уравнения (27) при q = 1, принимающего вид
(AM(∇y, iζ)W1, M(∇y, iζ)V )ω - λ†θ(BW1, V )ω =
= -(AM′(∇y,iζ)W,M(∇y,iζ)V )ω - (AM(∇y,iζ)W,M′(∇y,iζ)V )ω
(38)
для каждого вектора V ∈ Htθ(ω). Здесь M′(∇y, μ) - производная матрицы M(∇y, μ) по по-
следнему аргументу. Одно из условий разрешимости уравнения (38) получается подстановкой
V = W в его правую часть:
Re (AM′(∇y,iζ)W,M(∇y,iζ)W)ω = 0.
(39)
Далее оперируем именно той волной (37), для которой выполнено соотношение (39).
5. Непустота дискретного спектра. Согласно максиминимальному принципу [31, теоре-
ма 10.2.2] нижняя грань -Σθ спектра оператора -Tθ (со знаком минус, но полуограниченного
снизу) вычисляется по формуле
-〈Tθu, u〉θ
-Σθ = inf
(40)
u∈Htθ(Π)\{0}
〈u, u〉θ
При учёте определений (14), (16), (17) и связи (18) спектральных параметров находим, что
1
-(Bu, u)Π
a(u, u; Π)
-
= inf
⇔ σθ = inf
(41)
1 + σθ u∈Htθ(Π)\{0} a(u,u;Π) + (Bu,u)Π
u∈Htθ(Π)\{0} (Bu, u)Π
Здесь σθ - нижняя грань спектра задачи (10), которая (грань) попадает на интервал (0, λ†θ )
и тем самым в дискретный спектр σdθ в том и только в том случае, если существует пробная
вектор-функция ϕ ∈ Htθ(Π), для которой справедливо неравенство
a(ϕ, ϕ; Π) - λ†θ(Bϕ, ϕ)Π < 0.
(42)
Воспользуемся приёмом из работы [33] и при θ = 0 положим
ϕε(y, z) = e(iζ-ε)zW (y) +
√εψ(x),
(43)
где ε > 0 - малый параметр, {iζ, W } - собственная пара пучка (24) при λ = λ†θ, породив-
шая волну (37) и удовлетворяющая требованию (39), а ψ - вектор-функция из пространства
C∞c(ω × R)K с малым носителем вокруг какой-то точки x0 ∈ ϖ. Имеем
(Bϕε, ϕε)Π = (B(e(iζ-ε)zW +
√εψ),e(iζ-ε)zW +√εψ)Π(R) +
∫∞
1
+ (BW, W )ωe-2εz dz =
e-2εR(BW,W)ω + (Bw,w)Π(R) + 2√ε Re(Bw,ψ)Π(R) + O(ε).
(44)
2ε
R
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
646
НАЗАРОВ
Аналогично поступим с первым слагаемым из (42):
a(ϕε, ϕε; Π) = (AM(∇)(e(iζ-ε)z W +
√εψ), M(∇)(e(iζ-ε)z W +√εψ))Π(R) +
∫∞
+ (AM(∇y, iζ - ε)W, M(∇y , iζ - ε)W )ωe-2εz dz =
R
1
=
e-2εR(AM(∇y,iζ)W,M(∇y,iζ)W)ω + e-2εR Re(AM′(∇y,iζ)W,M(∇y,iζ)W)ω +
2ε
+ (AM(∇)w, M(∇)w)Π(R) + 2√εRe (AM(∇)w,M(∇)ψ)Π(R) + O(ε).
(45)
Подставим выражения (45) и (44) в левую часть соотношения (42) с пробной вектор-функцией
(43) и заметим, что слагаемые порядка ε-1 взаимно уничтожаются по причине равенства
(AM(∇y, iζ)W, M(∇y , iζ)W )ω = λ†θ(BW, W )ω,
(46)
†
которое выводится интегрированием по частям из уравнения Aλθθ (iζ)W = 0, умноженного
скалярно в L2(ω)K на собственный вектор W. Ещё одно упрощение происходит от равенства
(39). В результате записываем соотношение (42) в виде
I0R(w) + 2√ε ReI1R(w,ψ) < -Cε
(47)
с некоторым множителем C > 0 и ингредиентами
I0R(w) = a(w,w;Π(R)) - λ†θ(Bw,w)Π(R),
I1R(w,ψ) = a(w,ψ;Π(R)) - λ†θ(Bw,ψ)Π(R).
(48)
Размер R подобран так, что {x ∈ Π : z > R} = ω × (R, +∞), и величина (48) в силу формулы
(46) не изменяется при росте R. Кроме того, ввиду малости носителя вектор-функции ψ и
формулы Грина (8) справедливо равенство
I1R(w,ψ) = (Nw,Dψ)ϖ.
(49)
Подведём итог проделанным выкладкам в основном утверждении данной статьи.
Теорема 5. Пусть волна (37), построенная по собственной паре {iζ, W } пучка (24) с
параметрами λ = λ†θ и θ ∈ [-π, π)d-1 \ {0}, удовлетворяет соотношению (39). Тогда дис-
кретный спектр σdθ задачи (10) (или (2)-(4) в дифференциальной постановке) заведомо не
пуст в следующих двух случаях:
1) величина (49) отрицательна;
2) справедливо равенство I0R(w) = 0 и вектор-функция x → N(x,∇)w(x) не вырождается
хотя бы в одной точке торца ϖ полуполосы Π.
Доказательство. Утверждение 1 сомнений не вызывает: достаточно взять ε малым, со-
блюдая тем самым неравенство (47). В утверждении 2 благодаря общим свойствам системы
Дирихле (см. [2, гл. 2, § 2]) подбираем точку x0 ∈ ϖ, для которой b := N (x0, ∇)w(x0) ∈
∈ CT \ {0}, и такую пробную вектор-функцию ψ, что bтD(x0,∇)ψ(x0) < 0. В итоге при
малом ε > 0 вещественная часть величины I1R(w, ψ) стала отрицательной, а значит, выпол-
нено неравенство (47), т.е., как и в первом случае, согласно минимальному принципу (40) и
(41) получаем, что σθ < λ†θ и σθ ∈ σdθ. Именно в этом и требовалось убедиться.
Теорема 5 предоставляет достаточные условия непустоты дискретного спектра задачи (2)-
(4) в призме Π при θ = 0 и существования волн Рэлея (12) в полупространстве Ω с периоди-
ческой границей Γ (см. формулы (1)). Далее будут приведены конкретные задачи, в которых
полученные достаточные условия оказываются полезными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
647
6. Примеры.
1◦. Скалярный оператор второго порядка. Воспроизведём результат [33] в чуть более об-
щей постановке. Пусть K = 1, N = d ≥ 2, M(∇) = ∇ и B = 1. При помощи аффинно-
го преобразования сведём оператор (11) к виду -∇тA0∇, где A0 - диагональная матрица
diag {a01, . . . , a0d} и a0j > 0. Простое неравенство
∫
∫
dV
2
t)
t≥θ2
|V (t)|2 dt
(50)
d
dt(
−1/2
-1/2
для всех V ∈ H1(-1/2, 1/2), V (1/2) = eiθV (-1/2), |θ| ≤ π, и формула
w(y, z) = eiθ1y1 × · · · × eiθd-1yd-1
для волны (37) показывают, что, во-первых, λ = a01θ21 + . . . + a0d-1θ2d-1 и, во-вторых, величина
(48) равна нулю, так как ∇wтA0∇w - λ†θ|w|2 = 0. Наконец, N (x, ∇) = n(x)тA0∇, где n -
единичный вектор внешней нормали на торце ϖ. При этом N (x, ∇)w(x) = 0 почти всюду
на ϖ, если ϖ - конечное объединение∗) прямого торца ω × {h0} и участков (двусторонних)
гиперплоскостей ωq × {hq}, где 0 ≤ h0 ≤ h1 ≤ . . . ≤ hQ и ωq ω. Кроме того, неравенство
(50) убеждает в том, что σdθ = ∅ для всех θ ∈ [-π, π)d-1 при последней геометрии торца.
2◦. Пространственная задача теории упругости. Пусть K = d = 3, N = 6 и B = I3,
⎛
⎞
∂1
0
2-1/2∂2
2-1/2∂3
0
0
M(∇)т = ⎝ 0
∂2
2-1/2∂1
0
2-1/2∂3
0
⎠.
(51)
0
0
0
2-1/2∂1
2-1/2∂2
∂3
Задача (13) описывает распространение волн в однородном анизотропном упругом простран-
стве с периодической границей и (вещественной) симметричной и положительно определённой
матрицей жёсткости A. Соответствующая квадратичная форма (13) представляет собой удво-
енную упругую энергию деформируемого тела Ξ и вырождается на пространстве жёстких
смещений
P = {d(x)b : b ∈ R6}
(52)
с линейной матрицей-функцией
⎛
⎞
1
0
-2-1/2x2
2-1/2x3
0
0
d(x) =⎝0
1
2-1/2x1
0
-2-1/2x3
0
⎠.
(53)
0
0
0
-2-1/2x1
2-1/2x2
1
Множители 2-1/2 удобны при матричной записи определяющих соотношений теории упру-
гости [34, гл. 4; 35, гл. 3; 36, гл. 2]: в частности, выполнены равенства M(∇)M(x)т = I6 и
d(∇)тd(x)|x=0 = I6, где Im - единичная матрица размером m × m. Тот факт, что сечение
ω - единичный квадрат, а не прямоугольник, не является ограничительным, так как в теории
упругости матричную реализацию операторов системы дифференциальных уравнений (5) и
краевых условий
N (x, ∇)w(x) := M(n(x))тAM(∇)w(x)
(54)
можно сохранить при аффинном преобразовании координат путём введения нефизических
столбцов смещений и напряжений (см., например, статью [37]).
Как уже упоминалось в п. 1, подобные пространственная и плоская (см. пример 3◦) задачи
востребованы в практической инженерии и потому изучены в значительной степени (см. [9-21]
∗) В этом случае граница ∂Π не является липшицевой, однако сама призма Π представима как объединение
липшицевых областей, и этого свойства достаточно для проведения всех рассуждений.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
648
НАЗАРОВ
и многие другие публикации). Приведём лишь несколько следствий теоремы 5, которые могут
быть интересны.
Введём скалярную функцию∗)
Φθ(w;y) = M(∇y,iζ)W(y)тAM(∇y,iζ)W(y) - λ†θ|W(y)|2,
(55)
построенную по волне (37), удовлетворяющей условию (39). Если эта функция аннулируется
всюду на квадрате ω = (-1/2, 1/2) ∋ y = (y1, y2), то величина (48) равна нулю и по теореме 5
поверхностные волны Рэлея (12) существуют в том случае, если вектор нормальных напряже-
ний (54) отличен от нуля в какой-то точке x0 ∈ ϖ. Разумеется, всегда форму торца ϖ можно
подобрать так, чтобы требование к нормальным напряжениям (54) было выполнено, так как
шестимерный вектор напряжений AM(∇)w(x) не может полностью выродиться всюду в Π.
Пусть теперь ±Φθ(w; y±) > 0 для каких-то точек y± ∈ ω; поскольку функция (55) обла-
дает нулевым средним по квадрату ω, оба множества
ω±θ = {y ∈ ω : ±Φθ(w;y) > 0}
не пустые. Теперь нетрудно построить призму Π, для которой выполнено условие I0R(ω) < 0
из теоремы 5. Это происходит, например, в случае
Π = (Π0
⋃Υ-θ) \ Υ+θ, Π0 = ω × R+,
Υ±θ = ω±θ
⋂ {x : y ∈ ω, ±z ≥ 0},
(56)
так как разность интегралов
∫
∫
I0R(w) =
Φθ(w;y)dx -
Φθ(w;y)dx
+
Υ-
θ
Υ
θ
отрицательна, когда хотя бы одно из множеств (56) не пустое. Если же Υ±θ = ∅ и Π = Π0 -
полуцилиндр с прямым торцом, то Ω = Rd-1 × R+ - полупространство, а соответствующее
поле смещений (12) - классическая волна Рэлея (см. [38]).
3◦. Изотропная полуполоса. Пусть K = d = 2, N = 3, B = I2 и
⎛
⎞
⎛
⎞
∂1
0
λ + 2μ λ
0
M(∇) =⎝
0
∂2
⎠, A = ⎝ λ λ + 2μ
0⎠,
2-1/2∂2
2-1/2∂1
0
0
μ
где λ≥ 0 и μ> 0 - постоянные Ламе однородного изотропного упругого тела Π⊂(-1/2, 1/2)×
× R (масштабированием ширина полуполосы сведена к единице). При этом θ ∈ [-π,π) -
скаляр и непосредственные вычисления (см., например, [39]) показывают, что λ†θ = θ2μ и
ζ = 0, W(y) = (0,eiθy)т в волне (37). Таким образом,
Φθ(w;y) = 0 и AM(∇)w(y) = (0,0,μ)тiθeiθy,
M(n(x))тAM(∇)w(y) = n(x)μiθeiθy.
Итак, условия 2) теоремы 5 выполнены в полном объёме, т.е. волна Рэлея существует при
любых параметре Флоке θ ∈ [-π, π) \ {0} и профиле периодической границы Γ изотропной
деформируемой полуплоскости Ω.
∗) Предлагаемые конструкции пригодны и для рассмотренных общих эллиптических систем. Комплексное
сопряжение в задачах теории упругости не нужно.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
649
7. Задачи с вырожденной матрицей B или знакопеременной матрицей A.
4◦. Пластина Кирхгофа. Пусть d = 2, K = 3, N = 6 и
(
)
MM(∇)т
O2×3
M(∇)т =
,
(57)
O1×3
2-1/2∂21
∂1∂2
2-1/2∂2
2
где MM(∇) - (3×2)-матрица дифференциальных операторов из списка (37), а Op×q - нулевая
матрица размером p × q. Двумерная задача (13) служит асимптотической моделью колебаний
тонкой пространственной пластины (см. [36, гл. 7], публикации [39-43] и многие другие). Кроме
того, u′(x) = (u1(x), u1(x))т и u3(x) - осреднённые по толщине вектор продольных смещений и
прогиб пластины соответственно. На рассматриваемых низких частотах кинетическая энергия
продольных колебаний в принятой модели пренебрежимо мала, и поэтому B - диагональная
вырожденная матрица diag {0, 0, 1}. Отметим, что в среднечастотном диапазоне, наоборот,
демпфированы поперечные колебания и в качестве двумерной модели продольных колебаний
пластины выступает плоская задача теории упругости из примера 3◦ (и примера 2◦) п. 6.
Форма (9) с оператор-матрицей (57) вырождается на пространстве жёстких смещений (52) со
следующей линейной матрицей-функцией:
⎛
⎞
1
0
-2-1/2x2
0
0
0
d(x) =⎝0
1
2-1/2x1
0
0
0⎠.
(58)
0
0
0
-x1
x2
1
Различия между матрицами (58) и (53) обусловлены тем, что в теории Кирхгофа полный
вектор смещений в тонкой пространственной пластине восстанавливается по формуле
(u1(x1, x2) - x3∂1u3(x1, x2), u2(x1, x2) - x3∂2u3(x1, x2), u3(x1, x2))т.
Подставив сюда столбцы матрицы (58), получаем столбцы матрицы (53).
Известно (см., например, [36, гл. 4, § 2]), что в случае однородных и даже слоистых пла-
стин их срединные плоскости можно зафиксировать так, что матрица A станет блочно-диаго-
нальной
(A⇆ O3×3)
A=
,
O3×3
A↕
а задача (13) распадётся на статическую (λ = 0) плоскую задачу теории упругости и спек-
тральное уравнение четвёртого порядка, в частности, бигармоническое уравнение Софи Жер-
мен [44, § 30] для изотропной пластины; тогда, разумеется, применима теорема 5. Вместе с тем
для пластины из композиционного материала матрица A может быть заполненной целиком,
т.е. в системе (2) все уравнения перевязаны.
При вырожденной матрице B формулы (14) и (16) не задают норму в пространстве Ht0(Π),
однако при ненулевом параметре Флоке гильбертово пространство (11) по-прежнему можно
снабдить скалярным произведением (14).
Лемма 2. При θ ∈ [-π, 0)
⋃ (0, π) в качестве нормы в Htθ(Π) можно взять выражение
a(u, u; Π)1/2 или (a(u, u; Π) + ∥u3; L2(Π)∥2)1/2, где a - квадратичная форма (9) с матрицей
(57) дифференциальных операторов первого и второго порядков.
Доказательство. Только тривиальное жёсткое смещение из линеала (52) с матрицей
(58) удовлетворяет условиям квазипериодичности из формулы (11) на сторонах полуполо-
сы Π, а значит, из правых частей неравенств Корна на множествах Π(R) и QR+m, m ∈
∈ N0 (см. комментарий к соотношению (15)) можно удалить лебеговы нормы ∥u;L2(Π(R))∥ и
∥u; L2(QR+m)∥ соответственно. Таким образом, справедлива оценка
∥u; Htθ(Π)∥ ≤ cΠ,A,Ma(u, u; Π)1/2.
Лемма доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
650
НАЗАРОВ
5◦. Пьезоэлектрическая задача. Пусть d = 3, K = 4, N = 9 и B = diag {1, 1, 1, 0},
(
)
(
)
MM(∇)т O3×3
AMM AME
M(∇)т =
,
A=
(59)
O1×6
∇т
AEM
-AEE
Здесь MM(∇)т - матрица (51), AMM и AEE - (вещественные) симметричные и положительно
определённые матрицы, а AME = (AEM)т - (6 × 3)-матрица без каких-либо особых свойств, но
обязательно ненулевая. Кроме того, uM = (u1, u2, u3)т - вектор смещений и u4 - электрический
потенциал. Задача (13) описывает гармонические во времени колебания пьезоэлектрической
среды, в которой возможна свободная трансформация упругой энергии в электромагнитную и
наоборот, что и объясняет знак минус у нижнего правого (3 × 3)-блока матрицы A. В средне-
и низкочастотных диапазонах спектра, в которых реализуются механические колебания, элек-
тромагнитными колебаниями следует пренебречь - поэтому спектральный параметр λ исче-
зает из нижней строки системы дифференциальных уравнений (2), т.е. B44 = 0. Детальное
разъяснение физической постановки пьезоэлектрической задачи можно найти в [45, 46] и дру-
гих монографиях. В частности, форма (2) ассоциируется не с общей энергией среды, а с её
электрической энтальпией [47].
Матрица A из (59) не является положительной и, поскольку случай AME = O6×3 неин-
тересен ввиду исчезновения обсуждаемого пьезоэлектрического эффекта, добиться свойства
формальной положительности у оператора (5) какими-либо заменами не удаётся. Поэтому
приёмы, использованные в данной работе, не годятся для формально самосопряжённой зада-
чи (2)-(4) с матрицами (59). Однако, следуя [48], сделаем замену неизвестной u4 → uE = iu4
и тем самым придадим матрице из дифференциального оператора (5) вид
(
)
(
)
AMM O6×3
O6×6
AME
-i
(60)
O3×6
AEE
AEM
O3×3
с двумя симметричными (9 × 9)-матрицами. Согласно определениям и заключениям из рабо-
ты [25] для формы (9) с числовой матрицей (60) и дифференциальным оператором M(∇) из
списка (59) сохраняется полиномиальное свойство (20), в котором линеал полиномов имеет вид
P = {(d(x)bM,b4)т : bM ∈ C6,b4 ∈ C},
где фигурирует матрица жёстких механических смещений (53), а также постоянный элек-
трический потенциал. Таким образом, матрица (5) дифференциальных операторов второго
порядка эллиптическая, а значит, теорема 1 и следствие 1, происходящие из анализа соответ-
ствующей формально самосопряжённой краевой задачи Неймана (2)-(4) в полубесконечной
призме, сохраняют силу. Вместе с тем по-прежнему не удаётся определить самосопряжённый
оператор Tθ формулой (17) и приходится усложнить его конструкцию посредством трюка [48].
Далее имеем дело с чуть более простым случаем θ ∈ [-π, π)2 \ {0}, в котором вспомогатель-
ные задачи в Π становятся однозначно разрешимыми. Именно, пусть J uM := u4 ∈ H1θ(Π) -
решение задачи
(AEE∇u4, ∇v4)Π = (AEMMM(∇)uM, ∇v4)Π для всех потенциалов v4 ∈ H1θ(Π),
(61)
найденное по вектору смещений uM ∈ H1θ(Π)3. При этом H1θ(Π) - скалярное пространст-
во Соболева с одним условием квазипериодичности на противоположных гранях призмы Π.
Как проверено в статьях [48, 49] и нетрудно убедиться непосредственными вычислениями,
вариационная формулировка пьезоэлектрической задачи (2)-(4) с исходными матрицами (59)
равносильна интегральному тождеству
(AMMMM(∇)uM, MM(∇)vM)Π +
+ (AMEJ ∇uM, MM(∇)vM)Π = λ(uM, vM)Π для всех vM ∈ H1θ(Π)3,
(62)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
651
а полуторалинейная эрмитова форма
〈uM, vM〉 = (AMMMM(∇)uM, MM(∇)vM)Π + (AMEJ ∇uM, MM(∇)vM)Π + (uM, vM)Π,
включающая левую часть тождества (62), оказывается положительно определённой, и её мож-
но взять в качестве скалярного произведения в гильбертовом пространстве HMθ = H1θ(Π)3.
Кроме того, теперь удаётся ввести обладающий нужными свойствами оператор TMθ,
〈TMθuM, vM〉 = (uM, vM)Π для всех векторов смещений uM, vM ∈ H1θ(Π)3,
и новый спектральный параметр (18).
Всё готово для того, чтобы, как и в п. 5, применить минимальный принцип для вывода до-
статочных условий непустоты дискретного спектра оператора TMθ, а значит, и изолированных
собственных чисел исходной пьезоэлектрической задачи, однако интегро-дифференциальный
оператор задачи (62) перестал быть локальным, и это обстоятельство существенно влияет на
результат дальнейших вычислений.
Поскольку пучок (24) и его спектр сохраняют указанные в п. 4 свойства, на пороге λ†θ, по-
ложительном при θ = 0, имеется волна (37) с ненулевой механической wM = (w1, w2, w3)т и
какой-то электрической w4 компонентами. Она удовлетворяет системе уравнений (2) и услови-
ям (4) квазипериодичности, но оставляет невязку в краевом условии Неймана (3) на торце ϖ
g(x) = -M(n(x))тAM(∇)w(x)
с четвертой, нижней - электрической, компонентой
g4(x) = -n(x)тAMEMM(∇)wM(x) + n(x)тAEE∇w4(x),
(63)
которую компенсируем при помощи решения w4 ∈ H1θ(Π) аналогичной (61) статической (без
спектрального параметра) задачи
(AEE∇w4, ∇v4)Π = (g4, v4)ϖ для всех v4 ∈ H1θ(Π).
(64)
Существование экспоненциально затухающего на бесконечности решения задачи обеспечено
теоремой 1 при ненулевом параметре Флоке (если θ = 0, то приходится пользоваться теоре-
мой 3, что усложняет последующий анализ; ср. работы [48, 49]).
Применим минимальный принцип (40) к оператору TMθ и после похожих на (41) преобра-
зований получим, что
-〈TMθuM, uM〉θ
a((uM, J uM), (uM, J uM); Π)
-ΣMθ =
inf
⇔ σMθ = inf
uM∈H1θ(Π)3\{0}
〈uM, uM〉θ
uM∈H1θ(Π)3\{0}
∥uM; L2(Π)∥2
При этом, как и в п. 5, требуется найти пробную вектор-функцию ϕM ∈ H1θ(Π)3, для которой
справедливо аналогичное (42) неравенство
a((ϕM, J ϕM), (ϕM, J ϕM); Π) - λ†θ∥ϕM; L2(Π)∥2 < 0.
(65)
Поскольку электрическая компонента J uM ∈ H1θ(Π) определена по механической компо-
ненте uM ∈ H1θ(Π)3 как решение задачи (61), конструкция (43) нуждается в изменении. По-
кажем как выводится достаточное условие, сопоставимое с первым утверждением теоремы 5.
Положим
ϕMε(y, z) = EεR(z)wM(y, z),
(66)
где
EεR(z) = 1 при z < R, EεR(z) = e-ε(z-R) при z ≥ R;
∂zEεR(z) = -εe-ε(z-R)XR(z),
(67)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
652
НАЗАРОВ
а XR - функция Хевисайда со скачком в точке z = R. Подчеркнём, что использование непре-
рывного кусочно-гладкого затухающего множителя EεR возможно потому, что производная
∂zEεR - ограниченная кусочно-гладкая функция и t1 = t2 = t3 = 1, т.е. справедливо включе-
ние ϕMε ∈ H1θ(Π)3. Электрическую компоненту ϕε4 = J ϕMε представим в виде
ϕε4(y, z) = EεR(z)w4(y, z) - w4(y, z) + εEεR(z)w′4(y, z),
(68)
где w = (wM, w4) - пороговая волна (37), а w4 ∈ H1θ(Π) и w′4 - решения задач (64) и
(AEE∇w′4, ∇v4)Π - ε(AEEXe3XRw′4, ∇v4)Π + ε(AEE∇w′4, e3XRv4)Π =
= (AEEe3XRw4, ∇v4)Π - (AEE∇w4, e3XRv4)Π - (AEMM(e3)XRwM, ∇v4)Π +
+ (AEMM(∇)wM, e3XRv4)Π для всех v4 ∈ H1θ(Π)
⋂C∞c(Π)K.
(69)
Лемма 3. Задача (69) имеет решение
w′4(y,z) = eiζzW′4(y) +
w′4(y,z),
(70)
где W′4 ∈ Hlθ(ω) и eγz
w′4 ∈ H1θ(Π) при любых l ∈ N и γ ∈ (0,γ(θ)).
Доказательство. Поскольку функции на первых позициях в скалярных произведениях
из правой части интегрального тождества (69) суть произведения eiζzF (y), нужно принять
во внимание асимптотические конструкции [27] (см. также [22, гл. 3, § 3]) и решить скалярное
уравнение
-(∇y, iζ - ε)тAEE(∇y, iζ - ε)W′4 =
1
=
((∇y, iζ - ε)тAEE(∇y, iζ - ε)W4(y) - (∇y, iζ - ε)тAEMMM(∇y, iζ - ε)WM(y)), y ∈ ω,
ε
с условиями квазипериодичности (25), m = 0, 1. Подчеркнём, что амплитудная часть W =
= ((WM)т, W4)т волны (37) удовлетворяет равенству (преобразованная нижняя строка систе-
мы (2))
(∇y, iζ)тAEE(∇y, iζ)W4(y) = (∇y, iζ)тAEMMM(∇y, iζ)WM(y), y ∈ ω,
и поэтому правая часть уравнения (70) равномерно ограничена при ε → +0. В силу теоремы 4
задача (70), (25) однозначно разрешима. Кроме того, оставшийся неучтенным функционал из
правой части задачи вида (69) для остатка
w′4 приобрел компактный носитель, а значит,
следствие 2 заканчивает проверку леммы, причём ингредиенты представления (69) остаются
ограниченными при ε → +0.
Проверка того факта, что выражение (68) действительно решает задачу (61) с правой
частью, построенной по произведению (66), проводится на основе интегральных тождеств (64)
и (69) с подходящими пробными функциями.
Повторим выкладки (44), (45) и придём к соотношениям
∫∞
∫
∥ϕMε; L2(Π)∥2 =
e-2ε(z-R)|WM(y)|2 dy dz + ∥wM;L2(Π(R))∥2 =
R ω
1
=
∥WM; L2(ω)∥2 + ∥wM; L2(Π(R))∥2
(71)
2ε
и
∞
∫
a((ϕMε, ϕε4), (ϕMε, ϕε4); Π) = e-2ε(z-R)((AM(∇y, iζ)W, M(∇y , iζ)W )ω +
R
+ ε2Re(AM(e3)W,M(∇y,iζ)W)ω)dz + (AM(∇)w,M(∇)w)Π(R) - (AEE∇w4,∇w4)Π +
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
653
+ 2Re((AEE∇w4,∇w4)Π - (AEMMM(∇)wM,∇w4)Π) + O(ε) =
1
=
(AM(∇y, iζ)W, M(∇y , iζ)W )ω + (AM(∇)w, M(∇)w)Π(R) -
2ε
- (AEE∇w4, ∇w4)Π + 2 Re (g4, w4)ϖ + O(ε).
(72)
Если преобразование (71) весьма просто (оно привело к равенству благодаря выбору (67) экс-
поненциальной весовой функции EεR(z)), то преобразование (72) достаточно запутано из-за
дополнительных слагаемых в определении преобразования (68), поэтому приведём пояснения.
Сомножители ε и EεR(z) в последнем слагаемом из (68), а также представление (70), по сути
означающее ограниченность решения w′4 задачи (69), демонстрируют, что вклад выражения
εEεRw′4 составляет O(ε) и им можно пренебречь. Интеграл, содержащий матрицу -M(e3) =
= ∂εM(∇y,iζ - ε), исчез по причине привычного соглашения (39). Согласно следствию 2
решение w4 задачи (64) с финитным функционалом в правой части затухает на бесконеч-
ности с фиксированной (не зависящей от ε) скоростью O(e-γz ), γ > 0, и, следовательно, в
скалярных произведениях (AEMM(∇)EεRwM, ∇w4)Π и подобных ему замена EεR(z) → 1 также
порождает допустимую погрешность O(ε). Кроме того, последний переход в выкладке (72)
использует определение (63), а равенство (64) при v4 = w4 показывает, что выражение под
знаком Re равно (AEE∇w4, ∇w4)Π. Наконец, подстановка выражений (72) и (71) в неравен-
ство (65) с пробной вектор-функцией (66), (68) приводит при учёте равенств (46) и (64) к
соотношению
I0R(w) < Cε,
где C > 0 - некоторая постоянная и
I0R(w) = (AM(∇)w,M(∇)w)Π(R) - λ†θ∥wM;L2(Π(R))∥2 + (AEE∇w4,∇w4)Π.
(73)
Теперь рассуждения, сопроводившие проверку теоремы 5, дают следующее утверждение.
Теорема 6. Если при θ = (θ1, θ2), |θj | ∈ (0, π], отрицательно выражение (73), вычислен-
ное для пьезоэлектрической волны (37), которая удовлетворяет задаче (2)-(4) с пороговым
параметром λ = λ†θ > 0 и подчинена соотношению (39), то дискретный спектр σdθ задачи
(2)-(4) с матрицами (59) не пуст.
По сравнению с величиной (48), найденной для задачи теории упругости (п. 6, 2◦), вели-
чина (73) содержит дополнительное положительное слагаемое
(AEE∇w4, ∇w4)Π,
(74)
появившееся в результате компенсирования неоднородности (63) в краевом условии (3) при
формировании оператора J wM. Это наблюдение согласуется с физической сущностью пьезо-
электрической задачи: помимо упругой энергии (AMMMM(∇)wM, MM(∇)wM)Π(R) тело Π(R)
запасает электромагнитную энергию (AEE∇w, ∇w4)Π(R). На первый взгляд кажется, что нера-
венство I0R(w) < 0 - более трудно достижимая цель, чем неравенство I0R(w) < 0 в “чисто
упругой” ситуации, в частности, манипуляции с множествами (56) бесполезны именно из-за
слагаемого (74). Вместе с тем сравнить величины I0R(w) и I0R(w) не удаётся хотя бы потому,
что точки отсечки непрерывного спектра в пьезоэлектрической и упругой задачах никак не
связаны. Наконец, опять-таки из-за нелокального оператора J не удалось применить трюк
работы [33] и получить аналог п. 2) теоремы 5 для задачи (2)-(4) с матрицами (59).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nečas J. Les méthodes in théorie des équations elliptiques. Paris-Prague, 1967.
2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.
3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
4. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
654
НАЗАРОВ
5. Wilcox C.H. Scattering theory for diffraction gratings // Appl. Math. Sci. Ser. V. 46. Singapore, 1997.
6. Rayleigh J.W.S. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. London Math.
Soc. 1885. V. 17. № 253. P. 4-11.
7. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy. Soc. 1917. V. A93. P. 114-128.
8. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proc. R. Soc. Lond. A. 1924.
V. 106. P. 416-428.
9. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М., 1981.
10. Kaplunov J.D., Kossovich L.Y., Nolde E.V. Dynamics of thin Walled Elastic Bodies. SanDiego, 1997.
11. Михасев Г.И., Товстик П.Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптоти-
ческие методы. М., 2009.
12. Коненков Ю.К. Об изгибной волне “рэлеевского” типа // Акустический журн. 1960. Т. 6. С. 124-126.
13. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности распределения энергии в тонкой прямоугольной пла-
стине при краевом резонансе // Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. № 7. С. 612-616.
14. Kim J.-Y., Rokhlin S.I. Surface acoustic wave measurements of small fatigue cracks initiated from a
surface cavity // Int. J. of Solids and Structures. 2002. V. 39. P. 1487-1504.
15. Zakharov D.D., Becker W. Rayleigh type bending waves in anisotropic media // J. of Sound and
Vibration. 2003. V. 261. P. 805-818.
16. Камоцкий И.В. О поверхностной волне, бегущей вдоль ребра упругого клина // Алгебра и анализ.
2008. Т. 20. № 1. С. 86-92.
17. Камоцкий И.В., Киселев А.П. Энергетический подход к доказательству существования волн Релея
в анизотропном упругом полупространстве // Прикл. математика и механика. 2009. Т. 73. № 4.
С. 645-654.
18. Заворохин Г.Л., Назаров А.И. Об упругих волнах в клине // Зап. науч. семинаров Петербург. отд.
Мат. ин-та РАН. 2010. Т. 380. С. 45-52.
19. Krushynska A.A. Flexural edge waves in semi-infinite elastic plates // J. of Sound and Vibration. 2011.
V. 330. P. 1964-1976.
20. Nazarov A., Nazarov S., Zavorokhin G. On symmetric wedge mode of an elastic solid // Europ. J. of
Appl. Math. 2021. V. 33. № 2. P. 201-223.
21. Lawrie J., Kaplunov J. Edge waves and resonance on elastic structures: an overview // Math. Mech. of
Solids. 2012. V. 17. № 1. P. 4-16.
22. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries.
Berlin; New York, 1994.
23. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряжённых эллиптических краевых задач и алгеб-
раическое описание их атрибутов // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77-142.
24. Назаров С.А. Самосопряжённые эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и фор-
мально положительные операторы // Проблемы мат. анализа. СПб., 1997. Вып. 16. С. 167-192.
25. Назаров С.А. Несамосопряжённые эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях,
имеющих цилиндрические выходы на бесконечность // Зап. науч. семинаров Петербург. отд. Мат.
ин-та РАН. 1997. Т. 249. С. 212-230.
26. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего
вида // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19. № 3. С. 53-160.
27. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или
угловыми точками // Тр. Московск. мат. о-ва. 1963. Т. 16. С. 219-292.
28. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential
equations satisfying general boundary conditions. 2 // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. P. 35-92.
29. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса -
Л. Ниренберга. 2 // Тр. МИАН СССР. 1966. Т. 92. С. 233-297.
30. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. М., 1965.
31. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве. Л., 1980.
32. Назаров С.А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодиче-
ских волноводов // Изв. РАН. Сер. мат. 2020. Т. 84. № 6. С. 73-130.
33. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Экспоненциально затухающие решения задачи о дифракции на жёст-
кой периодической решетке // Мат. заметки. 2003. Т. 73. № 1. С. 138-140.
34. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977.
35. Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations. Berlin; Heidelberg, 2005.
36. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и ин-
тегральные оценки. Новосибирск, 2002.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ВОЛНЫ РЭЛЕЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
655
37. Лангер С., Назаров С.А., Шпековиус-Нойгебауер М. Аффинные преобразования трёхмерных анизо-
тропных сред и явные формулы для фундаментальных матриц // Прикл. механика и техн. физика.
2006. Т. 47. № 2. С. 95-102.
38. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Упругие волны, локализованные около периодических семейств де-
фектов // Докл. РАН. 1999. Т. 368. № 6. С. 771-773.
39. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикл.
математика и механика. 1973. Т. 37. № 5. С. 914-924.
40. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity, II: Theory of Plates. Studies in Mathematics and its Applications.
V. 27. Amsterdam, 1997.
41. Dauge M., Djurdjevic I., Faou E., Rössle A. Eigenmode asymptotics in thin elastic plates // J. de
Mathématiques Pures et Appliqués. 1999. V. 78. № 9. P. 925-964.
42. Назаров С.А. Об асимптотике спектра задачи теории упругости для тонкой пластины // Сибирск.
мат. журн. 2000. Т. 41. № 4. С. 895-912.
43. Dauge M., Yosibash Z. Eigen-frequencies in thin elastic 3-D domains and Reissner-Mindlin plate models
// Math. Meth. Appl. Sci. 2002. V. 25. № 1. P. 21-48.
44. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970.
45. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводящих
сред. М., 1988.
46. Tiersten H.F. Linear Piezoelectric Plate Vibrations. New York, 1964.
47. Suo Z., Kuo C.-M., Barnett D.M., Willis J.R. Fracture mechanics for piezoelectric ceramics // J. Mech.
Phys. Solids. 1992. V. 40. № 4. P. 739-765.
48. Назаров С.А. Равномерные оценки остатков в асимптотических разложениях решений задачи о
собственных колебаниях пьезоэлектрической пластины // Проблемы мат. анализа. Новосибирск,
2003. Вып. 25. С. 99-188.
49. Nazarov S.A., Ruotsalainen K.R., Silvola M. Trapped modes in piezoelectric and elastic waveguides // J.
of Elasticity. 2016. V. 124. № 2. P. 193-223.
Институт проблем машиноведения РАН,
Поступила в редакцию 26.10.2021 г.
г. Санкт-Петербург
После доработки 21.01.2022 г.
Принята к публикации 21.04.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
6∗
