ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.669-685
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.72+517.984.5
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ,
ПОРОЖДАЕМОЙ ВОЛЬТЕРРОВЫМ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ,
ВОЗНИКАЮЩИМ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
© 2022 г. Ю. А. Тихонов
Малые поперечные колебания вязкоупругого трубопровода единичной длины при неот-
рицательных значениях времени в безразмерных переменных без учёта внешнего трения
описываются интегро-дифференциальным уравнением с условиями шарнирного закрепле-
ния на концах и начальными условиями. Решение этого уравнения может быть записано
посредством полугруппы операторов. В данной работе установлено, что указанное уравне-
ние порождает аналитическую в некотором угле правой полуплоскости полугруппу.
DOI: 10.31857/S0374064122050077, EDN: CBHGSS
Введение. Малые поперечные колебания вязкоупругого трубопровода единичной длины
(0 ≤ x ≤ 1) при t ≥ 0 в безразмерных переменных без учёта внешнего трения описываются
уравнением, рассмотренным в работе [1]:
(
) ∫ t
∂2u(t,x)
∂5u(t,x)
∂4u(t,x)
∂
∂u(t, x)
dK(t - s) ∂4u(s, x)
+α
+
+
g(x)
+
ds = 0,
(1)
∂t2
∂t∂x4
∂x4
∂x
∂x
dt
∂x4
0
где t > 0,
0 < x < 1. Параметр α положителен и пропорционален внутреннему трению
Кельвина-Фойгта (см. монографию [2, гл. 2]), g(x) - гладкая ограниченная вещественная
функция, пропорциональная неоднородной силе натяжения. Функция K(t) задаётся интегра-
лом Лебега-Стилтьеса
+∞
e-tτ
K(t) =
dμ(τ)
(2)
τ
0
с неубывающей, непрерывной справа функцией μ такой, что supp dμ ⊂ [d0, +∞], d0 > 0. При
этом справедливо условие
∫
dμ(τ)
< 1.
(3)
τ
0
Краевые условия для уравнения (1) задаются в предположении шарнирного закрепления кон-
цов трубы:
∂2u(t,0)
∂2u(t,1)
u(t, 0) = u(t, 1) =
=
= 0, t > 0.
(4)
∂x2
∂x2
При t = 0 заданы начальные условия
∂u(0, x)
u(0, x) = ϕ0(x),
= ϕ1(x),
0 < x < 1.
(5)
∂t
Уравнение (1) с краевыми (4) и начальными (5) условиями запишем в операторном ви-
де, рассмотрев сепарабельное гильбертово пространство H = L2[0, 1] и операторы A и C,
действующие как
(
)
d4y(x)
d
dy
Ay(x) =
,
Cy(x) =
g(x)
(x)
,
dx4
dx
dx
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
670
ТИХОНОВ
на функциях y(x) ∈ Dom (A) = {y : y ∈ W42[0, 1], y(0) = y(1) = y′′(0) = y′′(1) = 0}. Неиз-
вестную функцию u(t, x) рассматриваем как вектор-функцию u(t) со значениями в прост-
ранстве H, а начальные условия ϕ0 и ϕ1 - как некоторые векторы в H. Исходная задача в
введённых обозначениях принимает следующий вид:
t
∫
d2u(t)
du(t)
dK(t - s)
+ αA
+ (A + C)u(t) +
Au(s) ds = 0,
(6)
dt2
dt
dt
0
du(0)
u(0) = ϕ0,
=ϕ1.
(7)
dt
Задача Коши (6), (7) возникает, например, в задачах вязкоупругости и теплопроводности.
Если положим α = 0 и C = 0, то получим уравнение Гуртина-Пипкина (см. [3]), описы-
вающее процесс распространения тепла в средах с памятью. Изучению уравнения Гуртина-
Пипкина посвящено большое количество работ, в том числе зарубежных. Прежде всего от-
метим здесь работы В.В. Власова с соавторами. В статьях [4, 5] для частного случая ядра
свёртки (2), являющегося рядом из убывающих экспонент, установлена корректная разреши-
мость уравнения Гуртина-Пипкина в весовых пространствах Соболева, проведён спектраль-
ный анализ оператор-функции, которая является символом уравнения (6), получена асимпто-
тика невещественных точек спектра и локализация вещественных кластеров, на основе чего
получено представление решения в виде ряда из экспонент. Развитие указанных результатов
на случай интегральных ядер проведено в работе [6]. Перечисленные результаты изложены в
монографии [7, гл. 3]. Наиболее общий случай, включающий ненулевой оператор C, а также
ещё одно дополнительное слагаемое типа вольтерровой свёртки с ядром аналогичным (2), изу-
чен авторами в [8, 9]. В [10] исследована задача (6), (7) с наиболее общими ядрами свёртки -
ядрами Работнова. Наконец, в работе Н.А. Раутиан [11] задача (6), (7) исследована с помощью
полугруппового подхода, наиболее близкого к тому, который будет использован в настоящей
работе. Кроме того, для случая α > 0 получены результаты о корректной разрешимости
задачи (6), (7) (см. [4, 5]).
Операторные модели типа Гуртина-Пипкина с нулевым параметром α с некоммутирую-
щими операторными слагаемыми изучались также в работах других авторов.
В работах [12] и [13] рассматривались задачи управления решениями уравнения Гуртина-
Пипкина посредством граничных воздействий. В [14] устанавливается зависимость скорости
убывания энергии от скорости убывания ядра в модели теплопроводности Гуртина-Пипкина.
В монографии [15] и в [16, 17] разработан подход к решению задачи (6), (7) с позиции
теории полугрупп, где для случая, когда α = 0 и C = 0, но для более общего вида ядер K(t),
установлен вид генератора полугруппы и доказано, что полугруппа является сжимающей и
экспоненциально устойчивой.
Модели типа (6), (7) с компактным носителем интегральных ядер могут быть получены из
операторных моделей вязкоупругих жидкостей, рассматриваемых в работах Д.А. Закоры [18-
20], в которых построена экспоненциально устойчивая сжимающая полугруппа, на основе чего
получены результаты о классической разрешимости уравнений, а также об асимптотическом
поведении этих решений. Отметим, что в настоящей работе использованы методы, близкие к
тем, что применялись в указанных работах Д.А. Закоры.
Абстрактное интегро-дифференциальное уравнение типа (6) с дополнительными опера-
торными слагаемыми возникает при изучении флаттера. Исследование указанного уравнения
представлено в статьях [21, 22].
Спектральный анализ оператор-функции, в которой α > 0, C = 0, приведён в работах
[23, 24], где установлена локализация спектра соответствующей оператор-функции, а также
изучен вопрос о конечности числа вещественных точек в спектре.
Оператор-функция, являющаяся символом уравнения вида (6) с нулевым интегральным
ядром, исследовалась в статьях [25] и [26]. В них получена классификация точек спектра по-
ложительного, отрицательного и нейтрального типов для оператора, являющегося “линеариза-
цией” этой оператор-функции, исследован вопрос базисности Рисса его собственных функций.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
671
Наконец, аналогичная оператор-функция, включающая в себя интегральное слагаемое, изуча-
лась в работе [27]. В ней установлено, что спектр оператор-функции в правой полуплоскости
состоит из конечного числа характеристических точек, равному с учётом кратности количе-
ству отрицательных собственных значений оператора
(1 - K(0))A + C.
Целью настоящей работы является исследование свойств полугруппы операторов, порож-
даемой задачей (6), (7), а также доказательство аналитичности этой полугруппы.
1. Постановка задачи. Рассмотрим для абстрактного интегро-дифференциального урав-
нения задачу (6), (7) в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Ядро вольтерровой
свёртки имеет вид (2) и удовлетворяет условию (3) в нуле.
Предположим, что операторы A и C удовлетворяют следующим условиям:
(A) оператор A - самосопряжённый и положительно определённый: A = A∗, A ≥ aI, где
a > 0; обратный к нему оператор A-1 является компактным;
(B) оператор C - симметричный, A - компактный в смысле Като [28, c. 247];
(C) ∥A-1/2CA-1/2∥ < 1 - K(0).
По условию (C) сделаем замечание: оператор CA-1 ограничен в пространстве H, а сле-
довательно, и A-1C ограничен в H1 := {h ∈ Dom (A), ∥h∥1 := ∥Ah∥} и имеет ограниченное
замыкание в H, из чего следует, что оператор A-1/2CA-1/2 по теореме об интерполяции
(см. [29, гл. I, теорема 5.1]) имеет ограниченное замыкание в H . Таким образом, условие (C)
корректно.
Задачу Коши для уравнения второго порядка (6), (7) запишем в виде задачи Коши для
системы уравнений первого порядка. Прежде всего заметим, что из условий (B) и (C) следует,
что оператор (1 - K(0))I + A-1/2CA-1/2 ограниченный, самосопряжённый и положительно
определённый∗). Пусть
B := ((1 - K(0))I + A-1/2CA-1/2)1/2.
(8)
Введём новую неизвестную функцию ρ(t) и рассмотрим систему
t
∫
du(t)
+ αAu(t) + A1/2 Bρ(t) + K(t - s)Au(s) ds = 0,
dt
0
dρ(t)
= BA1/2u(t).
(9)
dt
Далее введём функцию
∫t
e-τ(t-s)
v(t, τ) :=
√τA1/2u(s)ds.
0
Добавим уравнение
dv(t, τ)
1
=
dt
√τA1/2u(t)-τv(t,τ)
к системе (9) и подставим v(t, τ) в первое уравнение этой системы. Обозначив
ρ0 :=B-1A-1/2(αAu0 + u1),
получим задачу
(
∫
)
du
1
(t) + A1/2 αA1/2u(t) +Bρ(t) +
= 0,
dt
√τv(t,τ)dμ(τ)
0
∗) Здесь и далее через T обозначается замыкание оператора T.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
7∗
672
ТИХОНОВ
dρ
(t) =BA1/2u(t),
dt
dv
1
(t, τ) =
(10)
dt
√τA1/2u(t)-τv(t,τ)
с начальными условиями
u(0) = u0, ρ(0) = ρ0, v(0, τ) ≡ 0.
(11)
Если формально продифференцируем по t первое уравнение в (10) и исключим переменные
ρ(t) и v(t, τ), то получим уравнение (6).
В данной работе мы покажем, что решение задачи (10), (11) может быть представлено
посредством полугруппы операторов. Более того, будет установлено, что эта полугруппа яв-
ляется аналитической.
Отметим, что вопросы разрешимости задач (6), (7) и (10), (11) и эквивалентность этих
вопросов требуют отдельного обоснования, находящегося за рамками настоящей работы.
2. Определение генератора полугруппы. На множестве R+ можно ввести неотрица-
тельную меру
∫
ν(A) := dμ(τ),
(12)
A
где A ⊂ R+ - борелевское множество. Интеграл (12) понимается в смысле Лебега-Стилтьеса.
Рассмотрим теперь семейство гильбертовых пространств H(τ) := H, τ ∈ R+, которое обра-
зует ν-измеримое поле (см. [29, п. 2.3]). Пространство
+∞
L2(H,μ) :=
H(τ) dμ(τ)
0
является пространством ν-почти всюду определённых измеримых (в сильном смысле) функ-
ций f : R+ → H таких, что выполняется условие
∫
∥f∥2L
=
∥f(τ)∥2H dμ(τ) < +∞.
2(H,μ)
0
Пространство L2(H, μ) является сепарабельным гильбертовым (см. [30, c. 148]). Далее норма
и скалярное произведение в пространстве H будут обозначаться ∥ · ∥ и ( · , · ) соответственно,
а в пространстве L2(H,μ) как ∥ · ∥2 и (·,·)2.
Рассмотрим операторы S, S∗ и Γ, действующие в пространствах
S : H → L2(H,μ),
S∗ : L2(H,μ) → H,
Γ : Dom(Γ) ⊂ L2(H,μ) → L2(H,μ)
по следующим правилам:
1
Sh(τ) :=
√τh,h∈H,
+∞
1
S∗f :=
√τf(τ)dμ(τ),f∈L2(H,μ),
0
Γf(τ) := τf(τ), f ∈ L2(H,μ).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
673
Отметим при этом, что операторы S и S∗ являются ограниченными, что следует из неравенств
+∞
∥h∥2
∥Sh∥22 =
dμ(τ) < ∥h∥2,
τ
0
∫
∫
∫
(τ)
2
dμ(τ)
∥S∗f∥2 =f
≤
∥f∥2 dμ(τ)
< ∥f∥22,
√τdμ(τ)
τ
0
0
0
а также являются взаимно сопряжёнными:
+∞
(
∫
)
1
f (τ)
(Sh, f)2 =
= (h, S∗f).
√τ(h,f(τ))dμ(τ)=h,
√τdμ(τ)
0
0
Оператор Γ - самосопряжённый, как оператор умножения на независимую переменную в гиль-
бертовом пространстве [31, п. 54], при этом является положительно определённым в простран-
стве L2(H, μ) ввиду того, что носитель меры ν отделён от 0.
Определим пространство H := H
⊕H⊕L2(H,μ) со скалярным произведением
(·,·)H := (·,·) + (·,·) + (·,·)2,
индуцирующим евклидову норму, относительно которой H полно. Таким образом, H - сепа-
рабельное гильбертово пространство.
Рассмотрим действующий в пространстве H оператор
⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞
A1/2
0
0
-αI
-B
-S∗
A1/2
0
0
A=⎝ 0
I
0
⎠⎝ B
0
0
⎠⎝0
I
0⎠
(13)
0
0
I
S
0
-Γ
0
0
I
с областью определения
Dom (A) = {(u, ρ, v)т ∈ H : v ∈ Dom (Γ),
(-αA1/2u -Bρ - S∗v) ∈ Dom (A1/2)}.
Лемма 2.1. Множество Dom (A) всюду плотно в H. При этом оператор A является
замкнутым и диссипативным.
Доказательство. Рассмотрим множество V векторов вида (u, ρ, v)т, где u ∈ Dom (A),
ρ ∈ Dom(A1/2),
v(τ) - кусочно-постоянная функция, принимающая значения в Dom (A1/2),
и v(τ) ≡ 0 вне некоторого компакта R+, где нуль - элемент H. Заметим, что V ⊂ Dom (A).
Действительно,
B2 = (1 - K(0))I + A-1/2CA-1/2 на Dom (A1/2) и
Bρ ∈ Dom (A1/2) при
ρ ∈ Dom(A1/2) в силу обратимости
B. Далее, выполняется условие
∫
∫
∥τ v(τ)∥2 dμ(τ) =
∥τ v(τ)∥2 dμ(τ) < +∞,
0
K
где K - компакт в R+. Кроме того, справедливы неравенства
∫
∫
∫
)1/2
v(τ)
dμ(τ)
1/2
∥A1/2 v(τ)∥2 dμ(τ)
<
A
≤
√τdμ(τ)
τ
0
0
0
)1/2
∑
<
∥A1/2vi∥2
< +∞,
k=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
674
ТИХОНОВ
где vi - различные ненулевые значения функции v(τ) в Dom (A1/2). Множество V всюду
плотно в пространстве H. Действительно, Dom (A) и Dom (A1/2) плотны в H в силу само-
сопряжённости оператора A. Кусочно-постоянные функции с компактным носителем плотны
в L2(H,μ). Ввиду плотности Dom (A1/2) в H эти функции могут быть приближены к функ-
циями вида v(τ) со значениями в Dom (A1/2). Следовательно, Dom (A) плотно в H. Первое
утверждение леммы доказано.
Рассмотрим последовательность {xn}+∞n=1 ⊂ Dom (A) такую, что xn → x ∈ H и Axn →
→ y ∈ H при n → +∞. По определению замкнутости линейного оператора нужно показать,
что x ∈ Dom (A) и y = Ax.
Поскольку xn ∈ Dom (A), то xn = (un, ρn, vn)т, где vn ∈ Dom (Γ) и (-αA1/2un -Bρn -
- S∗vn) ∈ Dom (A1/2), откуда следует, что un ∈ Dom (A1/2). Пусть x = (u,ρ,v)т, причём
очевидно, что un → u, ρn → ρ в H и vn → v в L2(H, μ) при n → +∞. Подействуем
оператором A на вектор xn :
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
un
A1/2(-αA1/2un -Bρn - S∗vn)
yu
Axn = A⎝ρn⎠= ⎝
BA1/2un
⎠→y:= ⎝yρ⎠.
vn
SA1/2un - Γvn
yv
Отсюда имеем
BA1/2un → yρ, следовательно, A1/2un →B-1yρ при n → +∞. Ввиду замкну-
тости A1/2 u ∈ Dom (A1/2) и A1/2u =B-1yρ, следовательно, yρ =BA1/2u.
Далее, ввиду ограниченности S SA1/2un → SA1/2u, следовательно, Γvn → (yv -SA1/2u) ∈
∈ L2(H,μ) при n → +∞. Оператор Γ самосопряжён в L2(H,μ), следовательно, замкнут,
отсюда следует, что Γv = SA1/2u - yv, т.е. yv = SA1/2u - Γv.
Наконец, A1/2(-αA1/2un -Bρn - S∗vn) → yu, при этом
(-αA1/2un -Bρn - S∗vn) →
→ (-αA1/2u -Bρ - S∗v) при n → +∞. Ввиду замкнутости A1/2 имеем (-αA1/2u -Bρ -
- S∗v) ∈ Dom (A1/2) и yu = A1/2(-αA1/2u - Bρ - S∗v). Замкнутость оператора A доказана.
Как и в работе [32, лемма 2], проверяется непосредственно, что A является диссипативным
оператором, т.е. выполняется Re (Ah, h)H ≤ 0 для любого h ∈ Dom (A). Тем самым лемма
полностью доказана.
3. Основной результат. Основной результат данной работы есть обобщение результа-
тов работы [32, теоремы 1 и 2] на случай, когда ядро вольтерровой свёртки K(t) является
интегралом Стилтьеса.
Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (3) и условия (A)-(C), тогда оператор A явля-
ется генератором сжимающей сильно непрерывной полугруппы. Более того, эта полугруппа
является аналитической.
Доказательство теоремы 3.1 сводится к проверке условий двух классических теорем теории
полугрупп (см. [33, с. 83]), формулировки которых приводим в следующем пункте для полноты
изложения.
4. Теоремы о генераторе полугруппы.
Теорема 4.1 (Люмьера-Филлипса). Пусть A - диссипативный оператор (т.е. для любого
элемента h ∈ Dom (A) имеет место неравенство Re (Ah, h)H ≤ 0) с плотной областью
определения, тогда замыкание
A является генератором сжимающей C0-полугруппы тогда
и только тогда, когда область значений Ran (A - λI) оператора A - λI всюду плотна для
некоторого λ > 0.
Для доказательства аналитичности полугруппы, генератором которой является оператор
A, мы воспользуемся известным критерием аналитичности (см. [33, теорема 4.6]). Обозначим
множество
Λδ := {λ ∈ C : |arg λ| < π/2 + δ}.
(14)
Теорема 4.2 (критерий аналитичности полугруппы). Линейный оператор A является
генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существует число δ ∈
∈ (0, π/2) такое, что
ρ(A) ⊃ Λδ\{0},
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
675
и для любого ε > 0 найдётся значение Mε ≥ 1 такое, что выполняется неравенство
Mε
∥R(λ, A)∥ <
|λ|
для всех λ = 0, λ ∈ Λδ-ε.
Символом ρ(A) здесь и далее обозначено резольвентное множество оператора A.
Далее мы установим, что Λδ ⊂ ρ(A). Кроме того, мы получим оценку нормы резольвенты
R(λ, A) := (A - λI)-1 во множестве Λδ.
5. Доказательство основных результатов. Ход рассуждений при доказательстве при-
ведённых результатов во многом аналогичен доказательству результатов работы [32], посколь-
ку общий вид оператора A (см. (13)) и свойства операторных коэффициентов аналогичны,
однако в данном случае следует уточнить ряд моментов, в которых используется явный вид
функции K(t).
5.1. Переход от оператора A к голоморфной в C\(-∞, d0] оператор-функции.
Пусть оператор-функция L(λ) определена равенством
L(λ) := λ2 + αλA + A + C -K(λ)A,
где
K(λ) - преобразование Лапласа функции -K′(t), аналитически продолженное в левую
полуплоскость, за исключением полуоси (-∞, -d0), определяемое по формуле
+∞
dμ(τ)
K(λ) =
τ+λ
d0
Рассмотрим также оператор-функциюL(λ), определённую равенством
L(λ) := λ2A-1 +B2 + (αλ + K(0) -K(λ))I.
Заметим, что в области Dom (A1/2) справедливо равенство
L(λ) = A-1/2L(λ)A-1/2
в силу (8).
Далее введём операторные матрицы
⎛
⎞
A1/2
0
0
A0 :=⎝ 0 I
0⎠,
(15)
0
0
I
⎛
⎞
1
I
B S∗(Γ + λI)-1
⎜
λ
⎟
B1(λ) :=
⎝
⎠,
(16)
0
I
0
0
0
I
⎛
⎞
I
0
0
⎜
1
⎟
B
B2(λ) :=
⎝
-
I
0⎠,
(17)
λ
−(Γ + λI)-1S
0
I
⎛
⎞
1
-
L(λ)
0
0
⎜
⎟
A(λ) :=
⎝
⎠,
(18)
λ0
-λI
0
0
0
-(Γ + λI)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
676
ТИХОНОВ
⎛
⎞
I
0
S∗Γ-1
⎠,
B1 =⎝- BT-1 I
0
(19)
0
0
I
⎛
⎞
I
T-1 B
0
B2 =⎝
0
I
0⎠,
(20)
−Γ-1S
0
I
⎛
⎞
-T
0
0
A=⎝ 0
-BT-1 B
0
⎠,
(21)
0
0
-Γ
где T = αI + S∗Γ-1S.
Следующее утверждение доказано в работе [32, лемма 3].
Лемма 5.1. Пусть λ ∈ (-∞, -d0), λ = 0. Тогда справедливо разложение
A-λI =A0B1(λ
A(λ)B2(λ)A0,
(22)
где операторные матрицы A0, B1,
A(λ), B2 определены равенствами (15)-(18). Кроме то-
го, справедливо разложение
A = A0B1A˜B2A0,
(23)
где операторные матрицы B1, B2,
A определены равенствами (19)-(21).
Из разложения (22) следует
Теорема 5.1. Пусть λ ∈ (-∞, d0)
⋃ {0}, тогда оператор A - λI и оператор-функция
L(λ) непрерывно обратимы одновременно.
Доказательство. Заметим, что при λ из условия теоремы операторы B1(λ) и B2(λ)
принадлежат L(H). При этом легко проверить, что обратные матрицы имеют вид
⎛
⎞
1
B
-
-S∗(Γ + λI)-1
λ
⎟
B-11(λ) =⎝I
⎠,
0
I
0
0
0
I
⎛
⎞
I
0
0
1
⎟
B-12(λ) =⎝
B
I
0⎠.
λ
(Γ + λI)-1S
0
I
Оператор A0 обратим ввиду обратимости A-1/2. Таким образом, оператор A - λI обра-
тим тогда и только тогда, когда обратим
A(λ) при λ из условия теоремы. Обратимость же
последнего эквивалентна обратимости
L(λ). Теорема доказана.
Отметим ещё одно важное свойство A, следующее из разложения (23).
Теорема 5.2. Оператор A непрерывно обратим.
Доказательство. Для этого достаточно заметить, что B1 и B2 ограничены и
⎛
⎞
I
0
-S∗Γ-1
B-11 = ⎝ BT-1 I
-BT-1S∗Γ-1
⎠,
0
0
I
⎛
⎞
I
-T-1 B
0
B-12 = ⎝
0
I
0⎠.
Γ-1S
-Γ-1ST-1 B I
Из разложения (23) следует, что A обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор
A, для обратимости которого, в свою очередь, требуется обратимость T = αI + S∗Γ-1S и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
677
BT-1 B. Оператор T - ограниченный, самосопряжённый, положительно определённый. Далее
отметим, что
∥Bh∥ = ∥((1 - K(0))h + A-1/2CA-1/2h)1/2∥ ≥ (1 - K(0) - ∥A-1/2CA-1/2∥)1/2∥h∥
для всех h ∈ H, откуда следует, что
BT-1 B - ограниченный, самосопряжённый, положи-
тельно определённый оператор. Тем самым
A, а значит и A, непрерывно обратим. Теорема
доказана.
Теорема 5.1 позволяет свести изучение спектра оператора A к изучению спектра оператор-
функцииL(λ).
В следующем пункте представлены основные результаты, касающиеся локализации спек-
тра оператор-функции L(λ), а также оценки нормы её резольвенты L-1(λ). Показано, что
спектр L(λ) содержится вне некоторого угла в левой полуплоскости, из чего следует анало-
гичный факт для оператор-функцииL(λ), а следовательно, и для оператора A.
5.2. Локализация спектра оператор-функции L(λ). Покажем, что спектр оператор-
функции L(λ) содержится в области C\Λδ, где Λδ определена в (14). Полученные здесь ре-
зультаты являются обобщениями результатов работы [24], в которой ядро вольтерровой свёрт-
ки было представимо в виде ряда из экспонент.
Для полноты изложения приведём определение понятия спектра оператор-функции.
Определение. Резольвентным множеством ρ(L) оператор-функции L(λ) называется
множество точек в λ ∈ C такое, что оператор L-1(λ) определён и ограничен.
Спектром оператор-функции L(λ) называется множество σ(L) = C\ρ(L).
Для исследования спектра оператор-функции L(λ) нам потребуется следующая
Лемма 5.2. Спектр оператор-функции L(λ) в области {|Im λ| > 0}
⋃ {Re λ ≥ 0} сос-
тоит из собственных чисел конечной кратности.
Доказательство. Имеем
L(λ) = λ2I + αλA + A + C -K(λ)A = (λ2A-1 + CA-1 + (1 + αλ -K(λ))I)A.
Рассмотрим оператор
L(λ) = λ2A-1 + CA-1 + (1 + αλ -K(λ))I.
Оператор L(λ) обратим тогда и только тогда, когда обратимL(λ) ввиду обратимости опера-
тора A. Заметим, что если λ не является корнем уравнения
1 + αλ =K(λ),
(24)
то оператор
L(λ) фредгольмова типа, а значит, если
L(λ) необратим, то λ - собственное
число конечной кратности.
Далее, все корни уравнения (24) вещественны. Действительно, если |Im λ| > 0, то выра-
жения в левой и правой частях равенства (24) принимают значения в разных полуплоскостях,
т.е. выполняется неравенство
Im (1 + αλ) ImK(λ) < 0.
Пусть λ ≥ 0, тогда
1 - K(λ) + αλ ≥ 1 - K(0) + αλ > 0.
Таким образом, уравнение (24) не имеет неотрицательных корней. Это простое замечание
завершает доказательство леммы.
Получим, что если λ ∈ (-∞, 0) - точка спектра оператор-функции L(λ), то существует
вектор h ∈ Dom (L(λ)) = Dom (A) такой, что L(λ)h = 0, тем самым λ является корнем
уравнения вида
+∞
dμ(τ)
l(λ) := λ2 + αaλ + K(0)a + b - a
= 0,
τ +λ
0
где b := (((1 - K(0))A + C)h, h) > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
678
ТИХОНОВ
Лемма 5.3. Функция l(λ) не имеет корней в замкнутой правой полуплоскости.
Доказательство. Если λ ≥ 0, то
l(λ) > 0
в силу неравенства (3). Если Im λ = 0, то
+∞
Imλdμ(τ)
Iml(λ) = 2Re λIm λ + αaIm λ + a
=0
|τ + λ|2
0
только в случае, когда
+∞
αa
dμ(τ)
Re λ < -
-
< 0.
2
|τ + λ|2
0
Тем самым лемма доказана.
Из лемм 5.2 и 5.3 следует
Теорема 5.3. Оператор-функция L(λ) не имеет точек спектра в замкнутой правой
полуплоскости.
Далее мы покажем, что невещественная часть спектра оператор-функции L(λ) локализу-
ется в левой полуплоскости внутри некоторого угла C\Λδ, δ ∈ (0, π/2). Для этого рассмотрим
оператор-функцию
L0(λ) = λ2I + αλA + (1 -K(λ))A.
Оператор A - самосопряжённый с компактным обратным, следовательно, векторы {en}+∞n=1
такие, что
Aen = anen,
0 < an ≤ an+1 → +∞,
образуют ортонормированный базис пространства H.
Обозначим через
ln(λ) := (L(λ)en.en) = λ2 + αλan + (1 -K(λ))an
(25)
проекции оператор-функции L0(λ) на собственные подпространства, причём (см. [7, гл. 3])
⋃
σ(L0) =
{λ ∈ C : ln(λ) = 0}.
(26)
n
Укажем область локализации нулей функций ln(λ). Результаты, которые приводятся ниже,
есть обобщение теоремы 1 работы [24] на случай ядер вольтерровой свёртки, представимых в
виде интегралов Лебега-Стилтьеса. Обозначим область
{
}
⋃
αa1
Dδ := Λδ
Re λ ≥ -
, Imλ = 0
2
Лемма 5.4. Функция ln(λ), определённая равенством (25), для любого n ∈ N имеет
не более двух невещественных корней, причём эти корни комплексно сопряженные. Если
выполнено условие (3), то существует число δ ∈ (0, π/2) такое, что ln(λ) не имеет корней
в области Dδ для всех n ∈ N.
Доказательство. Очевидно, что все невещественные корни образуют пары комплексно-
сопряжённых корней в силу равенства ln(λ) = ln(λ). Тот факт, что таких пар не более одной,
установлен в работе [23]. Его доказательство опирается на модификацию известной теоремы
Шварца-Пика [34, гл. 4, п. 70, теорема 3] для верхней полуплоскости, применённой к функции
ϕn(λ) такой, что
ϕn(λ) = ϕ(-αanλ - an + K(λ)an),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
679
где ϕ2(λ) = λ. При этом в качестве ϕ выбирается ветвь, переводящая {0 < arg λ < 2π} в
верхнюю полуплоскость.
Пусть выполнено условие (3). Заметим, что все вещественные корни функции ln(λ) лежат
в левой полуплоскости. Действительно, ln(x) монотонно возрастает на (-d0, +∞), причём
ln(0) > 0 для любого n, следовательно, в замкнутой правой полуплоскости нет вещественных
корней у функции ln(λ).
Пусть теперь λ = x + iy, y > 0 и ln(λ) = 0, тогда
+∞
y dμ(τ)
Im ln(λ) = 2xy + αany + an
= 0,
|τ + λ|2
0
откуда найдём
∫
αan
dμ(τ)
x=-
-an
2
|τ + λ|2
0
Тем самым получаем оценку вещественных частей комплексно-сопряжённых корней функ-
ции ln(λ):
αan
αa1
x<-
<-
2
2
Далее запишем
ln(λ) = fn(λ) - an K(λ),
где fn(λ) = λ2 + αanλ + an.
Нам потребуется оценка fn(λ) при λ ∈ Λδ
⋂ {Re λ ≤ -αa1/2}:
fn(x + iy)
α2a1
ctg δ + sin(2δ),
>
an
2
которая устанавливается следующим образом:
fn(x + iy)
(x+iy)2
1
1
1
+ α(x + iy) + 1
|x + iy|2
α
+
=
≥
≥
an
an
an +
x + iy
(x + iy)2
(
)
1
x - iy
x2 - y2 - 2ixy
2|xy|
≥ (x2 + y2)Im
+α
+
α|y| +
≥
=
an
x2 + y2
(x2 + y2)2
x2 + y2
(
)
π
α2a1
≥ α|λ| sin
-δ
+ sin(2(π/2 - δ)) = α|λ|cos δ + sin(2δ) >
ctg δ + sin(2δ).
2
2
Оценим функцию
K(λ) в области Λδ
⋂ {Re λ < -αa1/2}:
∫
∫
∫
∫
dμ(τ)
dμ(τ)
dμ(τ)
dμ(τ)
| K(x + iy)| =
=
+
≤
τ + x + iy
|τ + x + iy|
|τ + x + iy|
|τ + x + iy|
0
0
0
2|x|
Для первого слагаемого в правой части последнего равенства справедлива оценка
∫
∫
∫
dμ(τ)
1
1
dμ(τ)
2|x|
<
dμ(τ) <
2|x|
<
|τ + x + iy|
|y|
|y|
τ
|y|
0
0
0
Если λ = x + iy ∈ Λδ
⋂ {Re λ ≤ -αa1/2}, то
2|x|
2cos(argλ)
cos(π/2 - δ)
=
2
= 2tgδ.
≤
|y|
sin(arg λ)
sin(π/2 - δ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
680
ТИХОНОВ
Для второго слагаемого в силу неравенств |τ + x + iy| > τ - |x| > τ/2 при τ > 2|x| имеем
оценку
∫
∫
dμ(τ)
dμ(τ)
<2
< 2.
|τ + x + iy|
τ
2|x|
2|x|
Последнее неравенство вытекает из условия (3).
Заметим, что если справедливо неравенство
α2a1
ctg δ + sin(2δ) > 2 tg δ + 2,
(27)
2
то |fn(x + iy)/an| > |K(x + iy)| на границе области Λδ ⋂ {Re λ < -αa1/2}. Следовательно,
по теореме Руше функция ln(λ) имеет столько же нулей, сколько и функция fn(λ) в этой
области. Функция
α2a1
g(δ) =
ctg δ + sin(2δ) - 2 tg δ - 2
2
монотонно убывает и имеет единственный корень δ0 на интервале (0, π/2). Таким образом,
при δ ∈ (0, δ0) неравенство (27) верно, и для любого n ∈ N функция ln(λ) не имеет корней
в Λδ. Лемма доказана.
По результатам леммы 5.4 вместе с соотношением (26) формулируется следующая
Теорема 5.4. Пусть выполнено условие (3), тогда существует δ ∈ (0, π/2) такое, что
Dδ ⊂ ρ(L0).
Далее нам потребуются некоторые оценки резольвенты оператор-функции L0(λ) в Dδ.
Обозначим
DR,δ := Dδ
⋂ {|λ| ≥ R}.
Лемма 5.5. Пусть выполнено условие (3), тогда найдутся такие числа R > 0 и δ ∈
∈ (0, π/2), что для любого n ∈ N и λ ∈ DR,δ будет справедлива следующая оценка:
|ln(λ)| > Man|λ|,
(28)
где M - положительная постоянная, зависящая только от выбора R и δ.
Доказательство. Зафиксируем значение δ ∈ (0, π/2), при котором выполнены условия
леммы 5.4. Справедливо выражение
∫
dμ(τ)
|ln(λ)| =λ2 + αanλ + an(1 - K(0)) + anλ
≥
τ (λ + τ)
0
∫
− K(0)
dμ(τ)
≥ |λ|αan + λ + 1
an
an|λ|
-
|λ|
τ |λ + τ|
0
Поскольку для λ ∈ Λδ\0 выполняется неравенство |τ + λ| ≥ |λ| cos δ, то
∫
dμ(τ)
1
<
τ |λ + τ|
|λ| cos δ
0
Далее имеем
)
( αan
αan|Im λ|
|αan + λ| ≥ |λ|
m
+1
≥ αan cos δ.
I
=
λ
|λ|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
681
Таким образом, получаем оценку
(
)
1 - K(0)
1
|ln(λ)| > αan|λ| cos δ -
-
α|λ|
|λ| cos δ
При достаточно большом R > 0 оценка (28) в DR,δ доказана. Лемма доказана.
Перейдём теперь к оценке L-10(λ) в DR,δ.
Теорема 5.5. Пусть выполнено условие (3), тогда найдутся числа R > 0 и δ ∈ (0, π/2)
такие, что в области DR,δ справедливы следующие оценки:
M1
∥AL-10(λ)∥ <
,
(29)
|λ|
M2
∥L-10(λ)∥ <
(30)
|λ|2
Постоянные M1 и M2 зависят только от выбора δ и R.
Доказательство. Выберем δ ∈ (0, π/2), для которого выполняются условия теоремы 5.4.
Оценка (29) следует из леммы 5.5 и равенства
an
∥AL-10(λ)∥ = sup
.
n
ln(λ)
Докажем оценку (30). Запишем L0(λ) в виде
(
∫
)
)
dμ(τ)
L0(λ) = λ(αA + λI) I +
(αI + λA-1)-1
τ (τ + λ)
0
Покажем, что существует R > 0 такое, что для любого λ ∈ DR,δ выполняется неравенство
∫
)
dμ(τ)
(αI + λA-1)-1
1.
(31)
<
τ (τ + λ)
0
Справедливо равенство
1
∥(αI + λA-1)-1∥ =
|λ| dist (-α/λ, σ(A-1))
Если Re λ ≥ 0, то dist (-α/λ, σ(A-1)) ≥ α/|λ|. В противном случае
α|Im λ|
α cos δ
dist (-α/λ, σ(A-1)) ≥Imα
=
≥
λ
|λ|2
|λ|
для λ ∈ Λδ\0. Отсюда следует, что
|λ|
1
∥(αI + λA-1)-1∥ <
=
(32)
|λ|α
α
При λ ∈ Λδ\0 справедливо неравенство |τ + λ| ≥ |λ| cos δ, из которого получаем оценку
∫
dμ(τ)
1
1
K(0) <
(33)
≤
τ (τ + λ)
|λ cos δ|
|λ| cos δ
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
682
ТИХОНОВ
Из (32) и (33) следует, что существует R > 0 такое, что для любого λ ∈ DR,δ выполнено
условие (31) и оператор
∫
)
dμ(τ)
-1
I+
(αI + λA-1)
τ (τ + λ)
0
непрерывно обратим. Для h ∈ Dom (A),
∥h∥ = 1 оценим снизу ∥(αA + λI)h∥, т.е. покажем,
что
∥(αA + λI)h∥ ≥ m|λ|
(34)
для λ ∈ Λδ. Здесь m - положительная постоянная, зависящая только от δ. Имеем
∥(αA + λI)h∥2 = ((αA + λI)h, (αA + λI)h) = ∥αAh∥2 + 2Re λ(αAh, h) + |λ|2.
Если Re λ ≥ 0, то неравенство (34), очевидно, верно. Иначе, если |Im λ| > 0, λ ∈ Λδ, то
можно записать
∥αAh∥2 + 2Re λ(αAh, h) + |λ|2 = ∥αAh∥2 + 2Re λ(αAh, h) + (|Re λ|2 + |Im λ|2) =
= ∥(αA + Re λ)h∥2 + |Im λ|2 ≥ |Im λ|2 = |λ|2 cos2 δ.
Из (34) с учётом обратимости оператора
∫
)
dμ(τ)
-1
I+
(αI + λA-1)
τ (τ + λ)
0
получим оценку (30) для любого λ ∈ DR,δ.
Из теорем 5.4 и 5.5 вытекает следующий результат о спектре оператор-функции L(λ).
Теорема 5.6. Пусть выполнено условие (3), тогда найдутся δ ∈ (0, π/2), R > 0 такие,
что DR,δ ⊂ ρ(L). Более того, σ(L)
⋂ {|Im λ| = 0} ⊂ {Re λ < -αa1/2}, и при этом в области
DR,δ справедливы оценки
M1
∥AL-1(λ)∥ <
,
|λ|
M2
∥L-1(λ)∥ <
(35)
|λ|2
Постоянные M1 и M2 зависят только от выбора δ и R.
Доказательство. Зафиксируем δ ∈ (0, π/2), при котором выполнены условия теоре-
мы 5.4. Заметим, что
L(λ) = L0(λ) + C = (I + CL-10(λ))L0(λ).
Далее, в силу ограниченности оператора CA-1 выполняется неравенство
∥CL-10(λ)∥ < M∥AL-10(λ)∥.
С учётом оценки (29) найдётся число R > 0 такое, что для любого λ ∈ DR,δ справедливо
условие
∥CL-10(λ)∥ < 1.
Значит, для таких λ непрерывная обратимость L(λ) эквивалентна непрерывной обратимости
L0(λ). Оценка ∥AL-1(λ)∥ следует теперь из непрерывной обратимости I+CL-10 для λ ∈ DR,δ
и неравенства (29) в области DR,δ.
В силу леммы 5.2 если λ такое, что Im λ = 0, λ ∈ σ(L), то λ - собственное число конечной
кратности оператор-функции L(λ), следовательно, существует h ∈ Dom (L(λ)) = Dom (A),
для которого выполняется равенство
(L(λ)h, h) = λ2 + αλ(Ah, h) + (Ch, h) + (Ah, h) -K(λ)(Ah, h) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
683
Заметим, что при |Im λ| = 0 справедливо выражение
+∞
dμ(τ)
2Re λ + α(Ah, h) +
= 0,
|τ + λ|2
0
откуда следует, что
αa1
Reλ < -
2
Наконец, оценка (35) вытекает из равенства
L(λ) = (I + CL-10(λ))L0(λ),
обратимости I + CL-10(λ) в DR,δ и оценки (30). Теорема доказана.
Из теоремы 5.6 следует, что для указанного в условии теоремы δ найдётся
δ ∈ [δ,π/2)
такое, что σ(L)
⋂Λ˜δ = ∅.
5.3. Доказательство теоремы 3.1. Заметим, прежде всего, что справедливо следующее
Предложение. Найдётсяδ ∈ (0, π/2) такая, что σ(L)⋂ Λ˜δ = ∅.
Доказательство. Действительно, из теоремы 5.6 это справедливо для σ(L). Далее, в
области Dom (A1/2) выполняется
L-1(λ) = A1/2L-1(λ)A1/2,
значит, Dom (A1/2) ⊆ Dom (L-1(λ)) при λ ∈ Λ˜δ. В силу этого и замкнутости оператора
L(λ)
получаем Dom (L-1(λ)) = H, откуда с учётом замкнутости немедленно вытекает непрерывная
обратимость.
Проверим выполнение условий теоремы 4.1 для оператора A (см. (13)), тем самым дока-
жем, что этот оператор является генератором сжимающей C0-полугруппы. Действительно, по
лемме 2.1 оператор A является диссипативным. Далее, из теорем 5.1, 5.2 и 5.3 и предложения
следует, что оператор A не имеет точек спектра при λ > 0, а следовательно, Ran (A -
- λI) = Dom ((A - λI)-1) = H. Тем самым условия теоремы 4.1 выполнены и A является
генератором сжимающей C0-полугруппы.
Теперь перейдём к проверке условий теоремы 4.2. Из теорем 5.1, 5.2 и 5.6 следует, что
спектр A содержится в C\Λ˜δ,
δ ∈ (0,π/2). Осталось проверить, что выполняется оценка
M
∥R(λ, A)∥ <
(36)
|λ|
Далее рассмотрим разложение (22) оператора A - λI. Запишем с его помощью явный вид
резольвенты
⎞
⎛
⎞⎛
I
0
0
A-1/2
0
0
1
⎟
⎠⎝
B
R(λ, A) =⎝
0
I
0
I
0⎠×
λ
0
0
I
(Γ + λI)-1S
0
I
⎞⎛
⎞⎛
⎞
⎛-λL-1(λ)
0
0
1
I
-
B
-S∗(Γ + λI)-1
A-1/2
0
0
⎜
1
⎟⎜
λ
⎟
×⎝
0
-
I
0
⎠⎝
⎠⎝
0
I
0⎠
0
I
0
λ
0
0
I
0
0
-(Γ + λI)-1
0
0
I
и подействуем ей на произвольный (u, ρ, v)т ∈ H:
⎛
⎞
⎛
⎞
u
ũ
R(λ, A)⎝ρ⎠= ⎝ρ⎠,
v
v
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
684
ТИХОНОВ
где
ũ = -(λA-1/2L-1(λ)A-1/2u - A-1/2L-1(λ) Bρ - λA-1/2L-1(λ)S∗(Γ + λI)-1v),
1
ρ=
(BA1/2ũ - ρ),
v = (Γ + λI)-1(SA1/2ũ - v).
λ
Для проверки оценки (36) достаточно доказать, что выполняются неравенства
∥A-1/2 L-1(λ)A-1/2∥ ≤M1
,
(37)
|λ|2
∥A-1/2 L-1(λ)∥ ≤M2,
(38)
|λ|
M3
∥(Γ + λI)-1∥ ≤
,
(39)
|λ|
где M1, M2, M3 > 0. Неравенство (37) следует из равенства A-1/2 L-1(λ)A-1/2 = L-1(λ) и
теоремы 5.6, а неравенство (38) - из условий
∥A-1/2 L-1(λ)∥ = ∥L-1(λ)A-1/2∥ = ∥A1/2L-1(λ)∥ < M∥AL-1(λ)∥ <M2
|λ|
Последнее неравенство доказано в теореме 5.6.
Оценка
1
∥Γ + λI∥ ≤
cos(δ|λ|)
выполняется при λ ∈ Λ˜δ. Таким образом, неравенства (37)-(39) доказаны, а вместе с ними и
теорема 3.1.
Автор выражает глубокую благодарность профессору В.В. Власову за постановку задачи
и постоянное внимание к работе, а также всем участникам семинара под его руководством за
полезные обсуждения и ценные советы.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Междисциплинарной научно-образо-
вательной школы МГУ “Математические методы анализа сложных систем”.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пивоварчик В.Н. Краевая задача, связанная с колебаниями стержня с внутренним и внешним тре-
нием // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1987. № 3. С. 68-71.
2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.
3. Pipkin A.C., Gurtin M.E. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. for
Rational Mech. and Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.
4. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Исследование операторных моделей, возникающих в
задачах наследственной механики // Совр. математика. Фунд. направления. 2012. Т. 45. С. 43-61.
5. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ интегро-дифференциальных уравнений в гиль-
бертовом пространстве // Совр. математика. Фунд. направления. 2012. Т. 62. С. 53-71.
6. Власов В.В., Раутиан Н.А. О свойствах решений интегродифференциальных уравнений, возника-
ющих в теории тепломассообмена // Тр. Моск. мат. о-ва. 2014. Т. 75. № 2. С. 219-243.
7. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.
М., 2016.
8. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ интегродифференциальных уравнений в гиль-
бертовом пространстве // Совр. математика. Фунд. направления. 2016. Т. 62. С. 53-71.
9. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифферен-
циальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Совр. математика. Фунд. направ-
ления. 2015. Т. 58. С. 22-42.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
О СВОЙСТВАХ ОДНОЙ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
685
10. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ и представление решений интегро-дифференци-
альных уравнений с дробно-экспоненциальными ядрами // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 2.
С. 197-220.
11. Раутиан Н.А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнени-
ями // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1226-1244.
12. Pandolfi L., Ivanov S. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest // J. of Math. and
Appl. 2009. V. 355. P. 1-11.
13. Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach // Appl.
Math. and Optim. 2005. V. 52. P. 143-165.
14. Rivera J.E.M., Naso M.G. On the decay of the energy for systems with memory and indefinite dissipation
// Asympt. Anal. 2006. V. 49. P. 189-204.
15. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory. Boston, 2012.
16. Dafermos C.M. Asymptotic stability in viscoelasticity // Arch. for Rational Mech. and Anal. 1970. V. 37.
P. 297-308.
17. Fabrizio M., Giorgi C., Pata V. A new approach to equations with memory // Arch. for Rational Mech.
and Anal. 2010. V. 198. P. 189-232.
18. Закора Д.А. Экспоненциальная устойчивость одной полугруппы и приложения // Мат. заметки.
2018. Т. 103. Вып. 5. С. 702-719.
19. Закора Д.А. Модель сжимаемой жидкости Олдройта // Тр. Крымской осенней мат. школы-симпо-
зиума. Совр. математика. Фунд. направления. 2016. Т. 61. С. 41-66.
20. Закора Д.А. Модель сжимаемой жидкости Максвелла // Тр. Крымской осенней мат. школы-сим-
позиума. Совр. математика. Фунд. направления. 2017. Т. 63. № 2. С. 247-265.
21. Davydov A.V. Asymptotics of the spectrum of an integro-differential equation, arising in the study of the
flutter of a viscoelastic plate // Rus. J. of Math. Phys. 2021. V. 28. № 2. P. 188-197.
22. Davydov A.V. Spectral analysis of integrodifferential operators arising in the study of flutter of a
viscoelastic plate // Moscow Univ. Math. Bull. 2020. V. 75. № 2. P. 65-71.
23. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM J. Math. Anal. 2011.
V. 43. № 5. P. 2296-2306.
24. Давыдов А.В., Тихонов Ю.А. Исследование операторных моделей Кельвина-Фойгта // Дифференц.
уравнения. 2018. Т. 54. № 12. C. 1663-1677.
25. Lancaster P., Shkalikov A. Damped vibrations of beams and related spectral problems // Canad. Appl.
Math. Quart. 1994. V. 2. № 1. P. 45-90.
26. Шкаликов A.A., Гринив Р.О. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с
внутренним трением // Мат. заметки. 1994. Т. 56. Вып. 2. С. 114-131.
27. Милославский А.И. О спектре неустойчивости операторного пучка // Мат. заметки. 1991. T. 49.
Вып. 4. С. 88-94.
28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.
29. Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.
30. Гельфанд И.М., Виленкин М.Я. Обобщенные функции. М., 1961.
31. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков,
1977.
32. Тихонов Ю.А. Об аналитичности полугруппы операторов, возникающей в задачах теории вязко-
упругости // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 808-822.
33. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroup for Linear Evolution Equations. New York, 1999.
34. Каратеодори К. Конформное отображение. М., 1934.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 05.10.2021 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 04.03.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 21.04.2022 г.
и прикладной математики
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
