ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.686-695
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.4
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЁРТКИ
С ВЫПУКЛОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
© 2022 г. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян
Исследован класс многомерных интегральных уравнений типа свёртки с монотонной и
выпуклой нелинейностью. Данный класс уравнений имеет применения в теории p-адиче-
ских открыто-замкнутых струн и в математической теории пространственно-временного
распространения пандемии. Доказана теорема существования неотрицательного, нетриви-
ального, ограниченного и непрерывного решения. Установлена интегральная асимптотика
построенного решения. В специальном классе неотрицательных и ограниченных функций
доказана теорема единственности. Приведены прикладные примеры указанных уравнений.
DOI: 10.31857/S0374064122050089, EDN: CBIGTS
Введение. Настоящая работа посвящена вопросам существования и единственности, а
также исследованию интегральной асимптотики решения для следующего n-мерного инте-
грального уравнения с монотонной и выпуклой нелинейностью:
∫
Q(f(x1, . . . , xn)) = λ(x1, . . . , xn) K(x1 - t1, . . . , xn - tn)f(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn,
Rn
(x1, . . . , xn) ∈ Rn := R × . . . × R , R := (-∞, +∞), n ≥ 1,
(1)
n
относительно искомой функции f(x1, . . . , xn).
В уравнении (1) функция λ определена на множестве Rn и удовлетворяет следующим
условиям:
1) 1 - λ ∈ C(Rn)
⋂L1(Rn), λ(x1,... ,xn) ≡ 1, (x1,... ,xn) ∈ Rn;
2) существуют непрерывные и монотонно возрастающие на множестве R+ := [0, +∞)
функции {λj (u)}nj=1 со свойствами
0 < εj ≤ λj(u) ≤ 1, u ∈ R+, lim
λj(u) = 1,
1 - λj ∈ L1(R+), j = 1,n,
u→+∞
причём такие, что имеет место двойное неравенство
max{λ1(|x1|), . . . , λn(|xn|)} ≤ λ(x1, . . . , xn) ≤ 1, (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
(2)
Относительно ядра K предполагается выполнение ограничений:
I) K ∈ CM(Rn)
⋂L1(Rn), K(z1,... ,zn) ≥ 0, (z1,... ,zn) ∈ Rn,
∫
K(z1, . . . , zn) dz1 . . . dzn = 1,
Rn
где CM (Rn) - пространство непрерывных и ограниченных функций на множестве Rn;
II) K(z1,...,zn) - чётная функция по каждому аргументу:
K(z1, . . . , zn) = K(|z1|, . . . , |zn|);
686
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
687
III) при каждом фиксированном (z1,...,zj-1,zj+1,...,zn) ∈ Rn-1 функция K(z1,...,zn)
монотонно убывает по zj на множестве R+, j = 1, n;
IV ) сходятся следующие интегралы:
∞
∫
uWj(u) du < +∞, j = 1, n,
0
где
∫∞
∫
∞
Wj(u) :=
···
K(x1, . . . , xn) dx1 . . .
xj ... dxn |xj=u, u ∈ R, j = 1,n,
(3)
−∞
-∞
а шапка над dxj выражения dx1 ...
xj ... dxn означает, что интегрирование ведётся по всем
переменным, кроме xj.
Нелинейность Q(u) - это непрерывная нечётная
функция на множестве R, обладающая следующими
свойствами (рис. 1):
a) существует число η > 0 такое, что Q(η) = η и
Q(u) монотонно возрастает на отрезке [-η, η];
b) Q(u) строго выпукла вниз на отрезке [0, η];
c) уравнение Q(u) = ε2u имеет положительный
корень ξ, где ε := min{ε1, . . . , εn} ∈ (0, 1).
Уравнение (1) встречается в различных областях
современного естествознания. В частности, такие
уравнения возникают в теории p-адических откры-
то-замкнутых струн для скалярного поля тахионов,
в математической теории пространственно-временно-
го распространения эпидемии (в рамках известной мо-
Рис. 1. График функции y = Q(u).
дели Дикмана-Капера) (см. работы [1-5]). Следует от-
метить, что соответствующий одномерный аналог уравнения (1) имеет приложения в теории
переноса излучения в спектральных линиях и в кинетической теории газов (см. [6-8]). В од-
номерном случае (n = 1) уравнение (1) достаточно подробно исследовалось в работах [1, 2,
9-12], где в основном обсуждались вопросы существования, асимптотического поведения и
единственности ограниченного решения. Соответствующее двумерное (n = 2) уравнение (1)
изучалось в статье авторов [13] в случае, когда ядро K, помимо условий I)-IV ), удовлетво-
ряет следующему дополнительному ограничению:
K(A) + K(C) ≥ K(B) + K(D),
где A = (x - x′, y - y′), B = (x + x′, y - y′), C = (x + x′, y + y′), D = (x - x′, y + y′),
x,x′,y,y′ ∈ R+.
В данной работе доказана конструктивная теорема существования нетривиального знако-
переменного ограниченного решения.
Ниже докажем существование нетривиального неотрицательного ограниченного и непре-
рывного решения f, более того, установим интегральную асимптотику η - f ∈ L1(Rn) и с
помощью этого результата докажем теорему единственности решения в специальном классе
ограниченных на Rn функций, приведём прикладные примеры функций λ, K и Q, удовле-
творяющих всем условиям сформулированных и доказанных теорем.
1. Существование неотрицательного нетривиального и ограниченного решения.
1.1. О вспомогательных одномерных нелинейных интегральных уравнениях на
всей прямой. Наряду с уравнением (1) рассмотрим следующие одномерные нелинейные ин-
тегральные уравнения на всей прямой:
∫∞
Q(ϕi(x)) = λi(|x|)
Wi(x - t)ϕi(t)dt, x ∈ R, i = 1,n,
(4)
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
8∗
688
ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН
относительно искомых измеримых и вещественнозначных функций {ϕi(x)}ni=1, где ядра Wi(x),
i = 1,n, задаются посредством формулы (3), а функции λi, i = 1,n, определяются в усло-
вии 2). Из результатов работы [10] следует, что уравнения (4) имеют нечётные монотонно
возрастающие непрерывные и ограниченные на R решения ϕi(x), i = 1, n, причём
lim
ϕi(x) = ±η, η ± ϕi ∈ L1(R∓), i = 1, n,
x→±∞
ξ(1 - e-pix) ≤ ϕi(x) ≤ η, x ∈ R+, i = 1, n,
(5)
где ξ - единственный положительный корень уравнения Q(u) = ε2u (см. условие c)), а числа
{pi}ni=1 - единственные положительные решения следующих характеристических уравнений
(рис. 2):
∞
∫
ε
Wi(x)e-px dx =
,
i = 1,n.
2
0
С использованием теоремы 3 из работы [14] несложно проверить также, что если для некото-
рого натурального m > 1 выполняется условие
∞
∫
xmWi(x)dx < +∞, i = 1,n,
0
то xm-1(η ± ϕi) ∈ L1(R∓), i = 1, n.
∫
Рис. 2. График функции χi(u) := Wi(x) ×
0
× e-ux dx - ε/2, u ≥ 0, i = 1,n.
1.2. Последовательные приближения для уравнения (1). Введём следующие после-
довательные приближения для уравнения (1):
∫
Q(fm+1(x1, . . . , xn)) = λ(x1, . . . , xn) K(x1 - t1, . . . , xn - tn)fm(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn,
Rn
f0(x1,... ,xn) ≡ η, (x1,... ,xn) ∈ Rn, m = 0,1,2,...
(6)
Учитывая условия 1), 2), I) и a), индукцией по m несложно доказать, что имеют место
следующие свойства:
A) fm ∈ C(Rn), m = 0, 1, 2, . . .
B) fm(x1,... ,xn) монотонно не возрастают по m,(x1,... ,xn) ∈ Rn.
В силу выпуклости вниз функции Q(u), неравенства (2), соотношений (3), (4) и неравен-
ства Йенсена (см. [15, с. 254]), индукцией также можно получить оценку снизу для функций
fm(x1,... ,xn):
∑n
C) fm(x1,...,xn) ≥ n-1
|ϕj (xj )|, m = 0, 1, 2, . . . , (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
j=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
689
Следовательно, из A), B) и C) заключаем, что последовательность непрерывных функ-
ций {fm(x1, . . . , xn)}∞m=0 имеет поточечный предел, когда m → ∞ : lim
fm(x1,... ,xn) =
m→∞
= f(x1,...,xn). Воспользовавшись предельной теоремой Б. Леви (см. [16, с. 303]), можно убе-
диться, что f(x1, . . . , xn) является решением уравнения (1). Из свойств B) и C) получаем
также следующую двустороннюю оценку для функции f :
1
∑
|ϕj (xj )| ≤ f(x1, . . . , xn) ≤ ηλ(x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
(7)
n
j=1
Учитывая нечётность функций {ϕi(x)}ni=1 на множестве R, оценок (5) и (7), приходим к
следующему неравенству снизу для функции f(x1, . . . , xn):
(
)
∑
1
f (x1, . . . , xn) ≥ ξ
1-
e-pj|xj|
,
(x1, . . . , xn) ∈ Rn.
(8)
n
j=1
Так как свёртка ограниченных и суммируемых функций представляет непрерывную функцию
(см. [17]), то в силу условия 1) из уравнения (1) заключаем, что f ∈ C(Rn). Следователь-
но, сходимость последовательности непрерывных функций {fm(x1, . . . , xn)}∞m=0 к предельной
функции f(x1, . . . , xn) равномерна на каждом компакте из Rn.
На основе изложенного выше приходим к следующему результату:
Теорема 1. При условиях 1), 2), I)-IV) и a)-c) уравнение (1) обладает неотрицательным,
нетривиальным, ограниченным и непрерывным на множестве Rn решением f(x1,... ,xn).
Более того, для решения f имеют место оценки (7) и (8).
2. Интегральная асимптотика решения. Справедлива следующая
Теорема 2. При условиях теоремы 1 решение уравнения (1), являющееся поточечным
пределом последовательных приближений (6), обладает следующей интегральной асимпто-
тикой: η - f ∈ L1(Rn).
Доказательство. Введём следующие подмножества множества Rn :
Bj := {(x1,... ,xn) ∈ Rn : |xj| ≤ 1}, j = 1,2,... ,n.
(9)
С учётом оценки (5), свойств A), B) и C) для после-
довательности {fm(x1, . . . , xn)}∞m=0 в силу обозначений
(9) будем иметь
ξ
0 < δi :=
(1 - e-pi ) ≤ fm(x1, . . . , xn),
(10)
n
где (x1, . . . , xn) ∈ Rn\Bi, m = 0,1,2,... , i = 1,n.
С другой стороны, из выпуклости вниз функции Q на
отрезке [0, η] немедленно приходим к оценкам (рис. 3)
0 ≤ Q(u) ≤ u, u ∈ [0,η],
(11)
η-Q(δi)
η - Q(u)≥
(η - u), u∈[δi, η], i=1, n,
(12)
η-δ
Рис. 3. Пересечение графика функции
i
y = Q(u) с прямой
n
где числа {δi}
определяются по формуле (10), при-
i=1
η - Q(δi)
Q(δi) - δi
чём справедливы неравенства
y=
u+η
η - δi
η - δi
0 < δi < ξ < η, i = 1,n.
Сначала индукцией докажем, что
η - fm ∈ L1(Rn), m = 0,1,2,...
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
690
ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН
Действительно, при m = 0 данное включение очевидно. Предположив, что η - fm ∈ L1(Rn)
при некотором m ∈ N, записав итерации (6) в виде
η - Q(fm+1(x1,...,xn)) = η(1 - λ(x1,...,xn)) +
∫
+ λ(x1, . . . , xn) K(x1 - t1, . . . , xn - tn)(η - fm(t1, . . . , tn)) dt1 . . . dtn,
Rn
f0(x1,... ,xn) ≡ η, (x1,... ,xn) ∈ Rn, m = 0,1,2,... ,
(13)
и при этом учитывая условия 1), 2), I) и a), из (13) получаем, что
0 ≤ η - Q(fm+1(x1,...,xn)) ∈ L1(Rn).
(14)
В силу неравенства (11) и свойств B), C) приходим к неравенству
0 ≤ η - fm+1(x1,...,xn) ≤ η - Q(fm+1(x1,...,xn)), (x1,...,xn) ∈ Rn.
(15)
Из (14) и (15) заключаем, что η - fm+1 ∈ L1(Rn).
Проинтегрируем обе части (13) по (x1, . . . , xn) на Rn :
∫
∫
(η - Q(fm+1(x1, . . . , xn))) dx1 . . . dxn = η
(1 - λ(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
Rn
Rn
∫
∫
+ λ(x1, . . . , xn) K(x1 - t1, . . . , xn - tn)(η - fm(t1, . . . , tn)) dt1 . . . dtn dx1 . . . dxn.
(16)
Rn
Rn
Использовав теорему Фубини (см. [16, с. 317]), свойство B) и неравенство (2), из равенства
(16) получаем
∫
(η - Q(fm+1(x1, . . . , xn))) dx1 . . . dxn ≤
Rn
∫
≤ η∥1 - λ∥L1(Rn) + (η - fm+1(t1,... ,tn))dt1 ... dtn.
(17)
Rn
С учётом (11) и (12) из неравенства (17) приходим к следующей оценке:
∫
∫
η - Q(δi)
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn + (η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
η-δi
Rn\Bi
Bi
∫
≤ η∥1 - λ∥L1(Rn) + (η - fm+1(x1,... ,xn))dx1 ... dxn, i = 1,n,
Rn
или
∫
η(η - δi)∥1 - λ∥L1(Rn)
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
,
i = 1,n.
(18)
δi - Q(δi)
Rn\Bi
∫
Оценим интегралыB
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn. В силу обозначения (9) и оценки (18)
i
будем иметь
∫
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn =
Bi
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
691
∞
1
∞
∞
∫∞
∫
∫
∫
∫
=
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn =
−∞
-∞ -1
−∞
-∞
↑i
∫1
∫
∞
∫
∞
∫
1
∫
∞
∫
∞
=
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
-1
−∞
-∞ -1
−∞
-∞
↑1
↑i
∫
∫
∞
∫
∞
∫
1
∫
∞
∫
∞
+
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
R\[-1,1] -∞
-∞ -1
−∞
-∞
↑i
∫1
∫
∞
∫
∞
∫
1
∫
∞
∫
∞
≤
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
−1 -∞
-∞ -1 -∞
-∞
∫
+
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn =
Rn\B1
∫1
∫
1
∫
∞
∫
∞
∫
1
∫
∞
∫
∞
=
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
-1
-1
−∞
-∞ -1
−∞
-∞
↑1
↑2
↑i
∫1
∫
∫
∞
∫
∞
∫
1
∫
∞
∫
∞
+
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
−1 R\[-1,1] -∞
-∞ -1 -∞
-∞
∫
+
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
Rn\B1
∫
∫
≤
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
Rn\B1
Rn\B2
1
∞
∞
1
∞
∞
∫1
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
···
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤ . . . ≤
−1 -1 -∞
-∞ -1 -∞
-∞
∫
∫
1
∫
1
∑
≤
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn +
···
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
i=1
Rn\B1
-1
-1
(
)
∑
η-δi
≤ η ∥1 - λ∥L1(Rn)
+2n
δi - Q(δi)
i=1
∫
Итак, дляB
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn получаем следующую оценку сверху:
i
∫
(
)
∑
η-δi
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤ η
∥1 - λ∥L1(Rn)
+2n ,
i = 1,n.
(19)
δi - Q(δi)
i=1
Bi
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
692
ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН
Из оценок (18) и (19) сразу следует, что
∫
(η - fm+1(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
Rn
)
( (η - δ
∑
i)∥1 - λ∥L1(Rn)
η-δj
≤η
+ ∥1 - λ∥L1(Rn)
+2n ,
i = 1,n.
δi - Q(δi)
δj - Q(δj)
j=1
Следовательно, согласно теореме Б. Леви (см. [16, с. 303]) η - f ∈ L1(Rn) и для предельной
функции f имеет место неравенство сверху
∫
(η - f(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
Rn
)
( (η - δ
∑
i)∥1 - λ∥L1(Rn)
η-δj
≤η
+2n ,
i = 1,n.
(20)
+ ∥1 - λ∥L1(Rn)
δi - Q(δi)
δj - Q(δj)
j=1
Теорема доказана.
Замечание. Из полученной оценки (20), в частности, следует, что
∫
(η - f(x1, . . . , xn)) dx1 . . . dxn ≤
Rn
)
( (η - δ∗)∥1 - λ∥
L1(Rn)
η-δ
≤η
+ n∥1 - λ∥L1(Rn
+2n ,
(21)
δ∗ - Q(δ∗)
) δ- Q(δ)
где δ∗ := max{δ1, . . . , δn},
δ := min{δ1, . . . , δn}.
Действительно, если мы докажем, что функция
η-u
χ(u) :=
u - Q(u)
монотонно невозрастающая на интервале (0, η), то из
(20) сразу получим оценку (21). Пусть u1, u2 ∈ (0, η),
u1 > u2, - произвольные элементы. Тогда, в силу мо-
нотонности и выпуклости функции Q, будем иметь
χ(u1) - χ(u2) =
η(u2 - u1) + (η - u2)Q(u1) - (η - u1)Q(u2)
=
≤ 0,
(u1 - Q(u1))(u2 - Q(u2))
Рис. 4. Пересечение графика функции
так как (рис. 4)
y = Q(u) с прямой
Q(u1)-Q(u2)
Q(u2)u1 -Q(u1)u2
Q(u1)
u1 - c0
η-u1
y=
u+
=
<
u1 - u2
u1 - u2
Q(u2)
u2 - c0
η-u2
3. О единственности решения уравнения (1). Имеет место следующая
Теорема 3. При условиях теоремы 1 уравнение (1) в классе ограниченных на Rn и поло-
жительных на Rn \ (0, . . . , 0) функций
M := {f ∈ M(Rn) : f(x1, . . . , xn) > 0, (x1, . . . , xn) ∈ Rn \ (0, . . . , 0), η - f ∈ L1(Rn)}
не может иметь более одного решения. Здесь M(Rn) - пространство ограниченных функций
на множестве Rn.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
693
Доказательство. Предположим противное. Пусть уравнение (1) имеет два разных ре-
шения f и
f из класса M. Так как f
f ∈ M(Rn), λ ∈ C(Rn), K ∈ L1(Rn) и свёртка
ограниченных и суммируемых функций является непрерывной функцией, то из (1) получаем,
что f
f ∈ C(Rn).
Поскольку f(x1, . . . , xn) ≡
f (x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn, то существует точка x0 :=
:= (x01, . . . , x0n) ∈ Rn такая, что f(x0)
f (x0). В силу непрерывности функций f и
f на Rn
существует окрестность Ux0 (δ) точки x0 ∈ Rn такая, что f(x)
f (x), x ∈ Ux0 (δ). Не умаляя
общности, можно считать, что (0, . . . , 0) ∈ Ux0 (δ).
Введём в рассмотрение измеримое множество E := {x ∈ Rn : f(x) =
f (x), f
f ∈ M}.
Очевидно, что Ux0 (δ) ⊂ E и, следовательно, mes E ≥ mes (Ux0 (δ)) > 0.
Оценим теперь следующую разность:
|Q(f(x1, . . . , xn)) - Q
f (x1, . . . , xn))| ≤ λ(x1, . . . , xn) ×
∫
× K(x1 -t1,...,xn -tn)|f(t1,...,tn)
f (t1, . . . , tn)| dt1 . . . dtn, (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
(22)
Rn
Так как f
f ∈M, то очевидно, что f
f ∈ L1(Rn). Следовательно, в силу условий I) и 2)
правая часть неравенства (22) принадлежит пространству L1(Rn). Умножим обе части (22) на
ограниченную функцию f(x1, . . . , xn)/λ(x1, . . . , xn) и проинтегрируем полученное неравенство
по (x1, . . . , xn) на Rn. Тогда, учитывая условие II) и неравенство (2), согласно теореме
Фубини (см. [16, с. 317]) приходим к неравенству
∫
|Q(f(x1, . . . , xn)) - Q
f (x1, . . . , xn))|f(x1, . . . , xn)/λ(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn ≤
Rn
∫
∫
≤ f(x1,...,xn) K(x1 -t1,...,xn -tn)|f(t1,...,tn)
f (t1, . . . , tn)| dt1 . . . dtn dx1 . . . dxn =
Rn
Rn
∫
∫
=
|f(t1, . . . , tn)
f (t1, . . . , tn)|
K(t1 - x1, . . . , tn - xn)f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn dt1 . . . dtn =
Rn
Rn
∫
=
|f(t1, . . . , tn)
f (t1, . . . , tn)|Q(t1, . . . , tn)/λ(t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn
Rn
или к аналогичному неравенству
∫
1
J :=
(|Q(f(x1, . . . , xn)) - Q
f (x1, . . . , xn))|f(x1, . . . , xn) -
λ(x1, . . . , xn)
Rn
- |f(x1, . . . , xn)
f (x1, . . . , xn)|Q(f(x1, . . . , xn))) dx1 . . . dxn ≤ 0.
Из свойств a), b) функции Q немедленно следует, что
∫
1
J =
f (x1, . . . , xn)|f(x1, . . . , xn)
f (x1, . . . , xn)| ×
λ(x1, . . . , xn)
E
)
( |Q(f(x1, . . . , xn)) - Q(f˜(x1, . . . , xn))|
Q(f(x1, . . . , xn))
×
-
dx1 . . . dxn ≤ 0.
|f(x1, . . . , xn)
f (x1, . . . , xn)|
f (x1, . . . , xn)
Далее, используя легко проверяемое неравенство
|Q(f(x1, . . . , xn)) - Q
f (x1, . . . , xn))|
Q(f(x1, . . . , xn))
>
,
(x1, . . . , xn) ∈ E
|f(x1, . . . , xn)
f (x1, . . . , xn)|
f (x1, . . . , xn)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
694
ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН
(вытекающее из выпуклости вниз функции Q), приходим к противоречию. Следовательно,
f (x1, . . . , xn)
f (x1, . . . , xn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Теорема доказана.
4. Примеры функций λ, K и Q. Приведём несколько примеров функций λ, K и
Q, имеющих и прикладной, и теоретический интерес.
Примеры функции λ. Приведём примеры функций {λj (u)}nj=1. Прямой проверкой
можно убедиться, что функции λj (u) = 1 - (1 - εj )e-u, u ∈ R+, j = 1, n, удовлетворя-
ют всем свойствам, перечисленным в условии 2). Тогда примером для λ(x1, . . . , xn) может
служить функция
λ(x1, . . . , xn) = 1 - re-(|x1|+...+|xn|), (x1, . . . , xn) ∈ Rn,
где r := min{1 - ε1, . . . , 1 - εn}.
Действительно, во-первых, очевидно, что
1 - λ ∈ C(Rn)
⋂L1(Rn), λ(x1,... ,xn) ≡ 1, λ(x1,... ,xn) ≤ 1, (x1,... ,xn) ∈ Rn.
Проверим левую часть неравенства (2). Имеем
λ(x1, . . . , xn) ≥ 1 - (1 - εj)e-(|x1|+...+|xn|) ≥ 1 - (1 - εj )e-|xj |, j = 1, n.
Следовательно,
λ(x1, . . . , xn) ≥ max{1 - (1 - ε1)e-|x1|, . . . , 1 - (1 - εn)e-|xn|}, (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
Отметим, что если в качестве функций {λj (u)}nj=1 выбрать частные примеры λj (u) = 1 -
- (1 - εj )e-u2 , j = 1, n, то функция λ(x1, . . . , xn) может иметь следующую структуру:
λ(x1, . . . , xn) = 1 - re-(x1+...+xn), (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
Примеры ядра K. В приложениях часто встречаются следующие частные примеры ядра
K (см. работы [1-5]):
k1) K(x1,... ,xn) = π-n/2e-(x1+...+xn), (x1,... ,xn) ∈ Rn;
k2) K(x1,... ,xn) = 2-ne-(|x1|+...+|xn|), (x1,... ,xn) ∈ Rn;
∫b
k3) K(x1,... ,xn) =
e-(|x1|+...+|xn|)sG(s)ds, (x1,... ,xn) ∈ Rn, где G(s) - положитель-
a
ная непрерывная функция на интервале [a, b),
0 < a < b ≤ +∞, причём
b
∫
G(s)
1
ds =
sn
2n
a
Несложно проверить, что для примеров k1)-k3) автоматически выполняются все условия
I)-IV ).
Примеры нелинейности Q. Примерами нелинейности Q могут служить функции:
q1) Q(u) = up, u ∈ R, где p > 2 - нечётное число;
q2) Q(u) = aup +(1-a)u, u ∈ R, где a ∈ (0,1] - числовой (физический) параметр, p > 2 -
нечётное число;⎧
γ
⎨
ln
,
если u ≥ 0,
γ-u
q3) Q(u) =
где γ > 1 - числовой параметр.
⎩lnγ+u,
если u < 0,
γ
Отметим, что уравнения с нелинейностями q1), q2) и с ядром вида k1) встречаются в
динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн (см. [1-3]), а с нелинейностями
вида q3), q1) (с ядрами k2), k3)) - в математической биологии и в кинетической теории газов
(см. [4, 5, 7, 8]).
Исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке Республики Ар-
мения (проект 21T-1A047).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
695
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны
// Журн. теор. и мат. физики. 2004. Т. 138. № 3. С. 355-368.
2. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории
p-адической струны // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. № 2. С. 172-193.
3. Brekke L., Freund P.G.O., Olson M., Witten E. Non-archimedean string dynamics // Nucl. Phys. B.
V. 302. № 3. P. 365-402.
4. Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biol.
1978. V. 6. № 2. P. 109-130.
5. Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation // Nonlin.
Anal. 1978. V. 2. № 6. P. 721-737.
6. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2. № 1.
С. 31-36.
7. Cercignani C. The Boltzmann Equation and its Applications. New York, 1988.
8. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. О разрешимости нелинейного модельного уравнения Больцмана в
задаче плоской ударной волны // Журн. теор. и мат. физики. 2016. Т. 189. № 2. С. 239-255.
9. Diekmann O. Run for your life. A note on the asymptotic speed of propagation of an epidemic // J. of
Differ. Equat. 1979. V. 33. № 1. P. 58-73.
10. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн // Тр. Моск.
мат. о-ва. 2018. Т. 79. № 1. С. 117-132.
11. Khachatryan Kh.A., Petrosyan H.S. Integral equations on the whole line with monotone nonlinearity and
difference kernel // J. of Math. Sci. 2021. V. 255. № 6. P. 790-804.
12. Владимиров В.С. О решениях p-адических струнных уравнений // Журн. теор. и мат. физики.
2011. Т. 167. № 2. С. 163-170.
13. Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О знакопеременных и ограниченных решениях одного класса нели-
нейных двумерных интегральных уравнений типа свертки // Тр. Моск. мат. о-ва. 2021. Т. 82. № 2.
С. 313-327.
14. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. Асимптотическое поведение решения для одного
класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в задаче распределения дохода // Тр.
Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 1. С. 188-206.
15. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. М., 1981.
16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.
17. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975.
Ереванский государственный университет,
Поступила в редакцию 13.01.2022 г.
Армения,
После доработки 21.04.2022 г.
Национальный аграрный университет Армении,
Принята к публикации 21.04.2022 г.
г. Ереван
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№5
2022
