ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.696-702

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 517.954+517.988.8

СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ ПОГРЕШНОСТИ

ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНОГО МЕТОДА

СО СХЕМОЙ КРАНКА-НИКОЛСОН ПО ВРЕМЕНИ

ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

С ПЕРИОДИЧЕСКИМ УСЛОВИЕМ НА РЕШЕНИЕ

В сепарабельном гильбертовом пространстве гладко разрешимое линейное вариационное

параболическое уравнение с периодическим условием на решение решается приближён-

но проекционно-разностным методом. Дискретизация задачи по пространству проводится

методом Галёркина, а по времени - с использованием схемы Кранка-Николсон. В рабо-

те установлены эффективные по времени и по пространству оценки в сильных нормах

погрешности приближённых решений. Эти оценки позволяют получить скорость сходи-

мости погрешности по времени к нулю вплоть до второго порядка. Кроме того, оценки

погрешности учитывают аппроксимационные свойства проекционных подпространств, что

проиллюстрировано на подпространствах типа конечных элементов.

DOI: 10.31857/S0374064122050090, EDN: CBQGWG

1. Постановка задачи и вспомогательные результаты. Пусть даны вложенные се-

парабельные гильбертовы пространства V ⊂ H ⊂ V^′, где пространство V^′ - двойственное

к V, а пространство H отождествляется со своим двойственным. Оба вложения плотны и

непрерывны. Рассмотрим полуторалинейную по u, v ∈ V форму a(u, v). Пусть для u, v ∈ V

выполняются условия

|a(u, v)| ≤ μ∥u∥_V ∥v∥_V , Re a(u, u) ≥ α∥u∥2V ,

(1)

где α и μ - положительные числа. Форма a(u, v) порождает линейный ограниченный опе-

ратор A : V → V′ такой, что (Au,v) = a(u,v), где выражение типа (z,v) есть значение

функционала z ∈ V^′ на элементе v ∈ V. Если z ∈ H, то (z, v) - скалярное произведение в

пространстве H [1, гл. 2].

Рассмотрим в V^′ на отрезке [0, T ] параболическую задачу

u^′(t) + Au(t) = f(t), u(0) = u(T).

(2)

Здесь и далее производные функций понимаются в обобщённом смысле. В монографии [2,

с. 289] показано, что для заданного f ∈ L2(0,T;V′) существует (и притом единственное)

решение u ∈ L₂(0, T ; V )

^⋂C([0,T],H), u^′ ∈ L₂(0,T;V^′) задачи (2), называемое слабым ре-

шением.

Далее будем считать, что выполнены условия гладкой разрешимости, т.е. справедлива сле-

дующая теорема (см. работу [3]).

Теорема 1.1. Пусть вложение V ⊂ H компактно, а форма a(u, v) удовлетворяет тре-

бованиям (1). Пусть функция t → f(t) ∈ V^′ дифференцируема, f^′ ∈ L₂(0,T;V^′), и вы-

полняется равенство f(0) = f(T ). Тогда слабое решение задачи (2) будет таким, что

u^′ ∈ L₂(0,T;V )

^⋂C([0,T],H), u^′′ ∈ L₂(0,T;V ^′), причём справедлива оценка

∫

(∫T

∫

)

max

∥u^′(t)∥2H +

∥u^′′(t)∥2V ′ dt +

∥u^′(t)∥2V dt ≤ C

∥f^′(t)∥2V ′ dt +

∥f(t)∥2V ′ dt

0≤t≤T

696

СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ

697

В настоящей работе задача (2) решается полностью дискретным проекционно-разностным

методом с использованием метода Галёркина по пространству и схемы Кранка-Николсон по

времени. Обратим внимание, что в похожей ситуации сходимость проекционно-разностного

метода в более слабых, чем в настоящей работе, нормах изучалась в [4, 5]. В работе [4] была

установлена среднеквадратичная оценка погрешности приближённых решений. В статье [5]

оценка погрешности для уравнения задачи (2) получена в энергетической норме. В данной ра-

боте в предположениях гладкой разрешимости задачи (2) получены оценки в сильных нормах

погрешности приближённого решения.

Заметим, что в случае когда для уравнения задачи (2) рассматривается задача Коши оцен-

ки в сильных нормах погрешности для проекционно-разностного метода со схемой Кранка-

Николсон по времени были установлены в работе [6].

Перейдём к описанию приближённой задачи. Пусть V_h, где h - положительный параметр,

есть конечномерное подпространство пространства V. Определим пространство V^′h, задав на

u_h ∈ V_h двойственную норму ∥u_h∥_V ′

= sup|(u_h,v_h)|, где точная верхняя граница берётся по

всем v_h ∈ V_h,

∥v_h∥_V = 1. Отметим, что справедливо неравенство ∥u_h∥_V ′

≤ ∥u_h∥_V ′ .

Пусть P_h - ортопроектор в пространстве H на V_h. Как замечено в работе [7], оператор P_h

допускает расширение по непрерывности до P_h : V^′ → V^′h, причём для u ∈ V^′ справедливо

условие

∥P_hu∥_V ′

≤ ∥u∥_V ′ . Отметим для u ∈ V^′ и v ∈ V важное соотношение (P_hu, v) =

= (u, P_hv), полученное в работе [8].

Для построения приближённых решений возьмём равномерное разбиение 0 = t₀ < t₁ <

< t₂ < ... < t_N = T отрезка [0,T], где N ∈ N. В подпространстве V_h ⊂ V рассмотрим

периодическую разностную задачу: для k = 1, N

(u^hk - uhk-1)τ-1 + P_hA(u^hk + uhk-1)/2 = f^hk, uh0 = u^hN ,

(3)

где τN = T, t_k = kτ, u^hk ∈ V_h, элементы f^hk ∈ V_h определим позже.

Однозначная разрешимость задачи (3) установлена в работе [4].

Далее будем предполагать, что форма a(u, v) является симметричной, т.е. a(u, v) = a(v, u),

где черта над комплексным числом означает переход к сопряжённому числу.

Определим гильбертово пространство

V (A) = {u, v ∈ V : (u, v)V(A) = a(u, v)}.

Очевидно, что нормы в пространствах V и V (A) эквивалентны.

Приведём необходимую в дальнейшем оценку из работы [9] для u ∈ V :

∥[I - Q_h(A)]u∥_V ≤ α-1/2∥[I - Q_h(A)]u∥V(A) ≤ α-1/2μ1/2∥(I - Q_h)u∥_V ,

(4)

где Q_h(A) - ортопроектор в V (A) на V_h, а Q_h - ортопроектор в V на V_h.

Лемма 1.1. Для решения (uh0, uh1, . . . , u^hN ) задачи (3) справедлива оценка

∑

∥(u^hk - uhk-1)τ-1∥2H τ ≤

∥f^hk∥2H τ.

(5)

k=1

Доказательство. Умножим уравнение задачи (3) скалярно в пространстве H на (u^hk -

- uhk-1)τ-1 :

∥(u^hk - uhk-1)τ-1∥2H + (2τ)-1(A(u^hk + uhk-1), u^hk - uhk-1) = (f^hk, (u^hk - uhk-1)τ-1).

(6)

Рассмотрим второе слагаемое в выражении (6):

(2τ)-1(A(u^hk + uhk-1), u^hk - uhk-1) = (2τ)-1(a(u^hk, u^hk) - a(uhk-1, uhk-1) + 2i Im a(uhk-1, u^hk)),

(7)

где i - мнимая единица.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

698

БОНДАРЕВ

Возьмём от равенства (6) удвоенную вещественную часть. Учитывая (7), получаем

2∥(u^hk - uhk-1)τ-1∥2H + τ-1a(u^hk, u^hk) - τ-1a(uhk-1, uhk-1) = 2 Re (f^hk, (u^hk - uhk-1)τ-1).

Оценим правую часть последнего равенства:

2Re (f^hk,(u^hk - uhk-1)τ-1) ≤ ∥f^hk∥2H + ∥(u^hk - uhk-1)τ-1∥2H.

Тогда

∥(u^hk - uhk-1)τ-1∥2H + τ-1a(u^hk, u^hk) - τ-1a(uhk-1, uhk-1) ≤ ∥f^hk∥2H .

Умножим на τ и просуммируем последние неравенства по k = 1, N . Учитывая периодическое

условие, получаем необходимую оценку (5). Лемма доказана.

Лемма 1.2. Для решения (uh0, uh1, . . . , u^hN ) задачи (3) справедлива оценка



u^hk +uhk-1

²

∑



max

∥f^hk∥2H .

(8)



 ≤

1≤k≤N

k=1

Доказательство. В работе [9] для произвольных v^kh ∈ V_h, где k = 0, N и Nτ = T,

получена оценка

(



]

∑

v^hk -vhk-1

²

max

∥v^hk∥2V ≤ K

∥P_hAvhk-1∥2H + ∥P_hAv^hk∥²

τ+



(9)

 τ

0≤k≤N

 τ

k=1

По решению (uh0, uh1, . . . , u^hN ) задачи (3) определим элемент uh-1 = uhN-1. Положим v^hk = (u^hk +

+ uhk-1)/2 для k = 1,N и соответственно получим vh0 = (uh0 + uh-1)/2 = (u^hN + uhN-1)/2 = v^hN.

К элементам v^hk применим оценку (9):



(



)

u^hk +uhk-1

²

∑



uhk-1 + uhk-2

²



u^hk + uhk-1

²



max

≤K

τ +



^P



P



1≤k≤N

k=1



)



]

∑

⁽u^hk +uhk-1

uhk-1 + uhk-2

²



τ-1

(10)



 τ

k=1

Так как (uh0 + uh-1)/2 = (u^hN + uhN-1)/2, то справедливо равенство



∑

uhk-1 + uhk-2

²

∑

u^hk + uhk-1

²



τ =

^P



^P

 τ

k=1

Из задачи (3) следует выполнение неравенства



u^hk + uhk-1

²

u^hk -uhk-1

²



τ ≤ 2∥fhk ∥2Hτ + 2

^P



 τ

Теперь рассмотрим



)



∑

²

∑

²

∑

²

⁽u^hk +uhk-1

uhk-1 + uhk-2

u^hk -uhk-1

uhk-1 -uhk-2



τ-1

τ ≤

τ+

τ.



k=1

Здесь (uh0 - uh-1)τ-1 = (u^hN - uhN-1)τ-1. Отсюда следует равенство



∑

uhk-1 -uhk-2

²

∑

u^hk -uhk-1

²



τ =



 τ

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ

699

В результате из неравенства (10) получается оценка



}

u^hk +uhk-1

²

∑

u^hk -uhk-1

²

max



≤C

∥f^hk∥2H τ +



 τ

1≤k≤N

k=1

Оценка леммы (8) следует теперь из соотношения (5). Лемма доказана.

2. Оценки погрешности. Положим далее f^hk = P_h[f(t_k) + f(tk-1)]/2.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия гладкой разрешимости задачи (2) и форма a(u, v)

обладает свойством симметричности. Пусть u(t) - решение задачи (2), а (uh0, uh1, . . . , u^hN ) -

решение задачи (3). Тогда справедлива оценка



∫



u^hk + uhk-1

²

∑1

u^hk - uhk-1

²

u(tk) + u(tk-1)



max

u^′(t)dt -

≤



 τ

1≤k≤N

^τ

V k=1

tk-1

[

∫

≤ M max

∥(I - Q_h)u(t)∥2V +

∥(I - Q_h(A))u^′(t)∥2H dt +

0≤t≤T



∫

)



]

∑



²

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)



P_h

- u^′(t) dt

(11)



k=1

tk-1

Доказательство. Обозначим z^hk = Q_h(A)u(t_k) - u^hk. Из задач (2) и (3) получим

z^hk - zhk-1

z^hk + zhk-1

u(t_k) + u(tk-1)

u(t_k) - u(tk-1)

+P_hA

= P_hAQ_h(A)

+ Q_h(A)

-f^hk.

(12)

Воспользуемся равенством (14) из работы [6]: P_hAu = P_hAQ_h(A)u, справедливым для всех

u∈V.

Из уравнений (2) и задания f^hk следует, что

f^hk = P_h[u^′(t_k) + u^′(tk-1)]/2 + P_hA[u(t_k) + u(tk-1)]/2.

Тогда формула (12) преобразуется к виду

z^hk - zhk-1

z^hk + zhk-1

u(t_k) - u(tk-1)

u^′(t_k) + u^′(tk-1)

+P_hA

= Q_h(A)

-P_h

∫

)

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)

[I - Q_h(A)]u^′(t) dt +

P_h

- u^′(t) dt.

(13)

tk-1

Применим к соотношению (13) оценки (5) и (8). В результате получим



z^hk +zhk-1

²

∑

z^hk -zhk-1

²



max

≤



 τ

1≤k≤N

 τ

V k=1

[∫T



∫

)



]

∑



²

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)



≤M

∥[I - Q_h(A)]u^′(t)∥2H dt +

P_h

- u^′(t) dt

(14)



k=1

tk-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

700

БОНДАРЕВ

Заметим, что

u(t_k) + u(tk-1)

u^hk + uhk-1

u(t_k) + u(tk-1)

z^hk + zhk-1

= [I - Q_h(A)]

∫

u^hk - u

z^hk - zhk-1

k-1

u^′(t)dt -

[I - Q_h(A)]u^′(t) dt.

tk-1

Отсюда имеем



∫



²

∑1

²

u(tk) + u(tk-1)

u^hk + uhk-1

u^hk - uhk-1



max

u^′(t)dt -

≤



 τ

1≤k≤N

^τ

V k=1

tk-1



z^hk +zhk-1

²



u(t_k) + u(tk-1)2



≤ 2 max

+ 2 max

I - Q_h(A)]



[



1≤k≤N



∫



∑

z^hk -zhk-1

²

∑1

²



[I - Q_h(A)]u^′(t) dt

≤

 τ

^τ

k=1

tk-1



z^hk +zhk-1

²

∑

z^hk -zhk-1

²

≤ 2 max



+ 2 max

∥[I - Q_h(A)]u(t)∥2V + 2



 τ

1≤k≤N

0≤t≤T

 τ

k=1

∫T

∥[I - Q_h(A)]u^′(t)∥2H dt.

Из последнего неравенства с учётом соотношений (4) и (14) следует оценка (11). Теорема

доказана.

Приведём оценки погрешности, следующие из неравенства (11) с порядком сходимости по

времени и по пространству. Введём в рассмотрение множество D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H}.

Пусть существует гильбертово пространство E такое, что D(A) ⊂ E ⊂ V и выполняется

типичная для эллиптических операторов оценка

∥v∥_E ≤ δ∥Av∥_H (v ∈ D(A)),

(15)

где δ ≥ 0. Например, если параболическое уравнение в области Ω определено равномерно эл-

липтическим дифференциальным оператором второго порядка и краевым условием Дирихле,

то рассматриваем пространства H = L₂(Ω), V =W12(Ω), V^′ = W-12(Ω), E = W²²(Ω)^⋂ W¹²(Ω)

[2, с. 275]. Если же на границе области Ω задаётся условие Неймана, то пространства следу-

ющие: H = L₂(Ω), V = W¹²(Ω), E = W²²(Ω) [2, с. 276].

Пусть подпространства V_h обладают аппроксимационным свойством

∥(I - Q_h)v∥_V ≤ rh∥v∥_E (v ∈ E),

(16)

типичным для подпространств типа конечных элементов [10, гл. 3]. Здесь r > 0 и не зависит

от v и h. В простейшем одномерном случае, когда V

= W¹²(a,b) либо V

= W¹²(a,b), а

пространство H = L₂(a, b), в качестве подпространств V_h могут быть взяты подпространства

кусочно-линейных на [a, b] функций [10, с. 100-103].

В работе [11] показано, что из условий (15) и (16) для v ∈ V следует оценка (аналог леммы

Обэна-Нитше)

∥[I - Q_h(A)]v∥_H ≤ rμδ-1h∥(I - Q_h)v∥_V .

(17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ

701

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и условие (15). Пусть решение

u(t) задачи (2) такое, что u ∈ C([0, T ], E). Пусть подпространства V_h обладают свой-

ством (16).

Тогда в случае u^′′ ∈ L_p(0, T ; H) для значений 1 ≤ p ≤ 2 справедлива оценка



u(tk) + u(tk-1)

u^hk + uhk-1

²



max



1≤k≤N



∫



∑1

u^hk - u

²

∑

u^hk - uhk-1

²

k-1



u^′(t)dt -

^′(t_k) -

≤

 τ

u

 τ

^τ

k=1

tk-1

[

(∫T

)2/p

(∫T

)]

≤C τ3-2/p

∥u^′′(t)∥^pH

+h²

∥u^′(t)∥2V dt + max

∥u(t)∥²

(18)

0≤t≤T

Если же решение u(t) задачи (2) таково, что u^′′′ ∈ L_p(0, T ; H) для 1 ≤ p ≤ 2, то справед-

лива оценка



∫



²

∑1

²

u(tk) + u(tk-1)

u^hk + uhk-1

u^hk - uhk-1



max

u^′(t)dt -

≤



 τ

1≤k≤N

^τ

V k=1

tk-1

[

(∫T

)2/p

(∫T

)]

≤C τ5-2/p

∥u^′′′(t)∥^pH

+h²

∥u^′(t)∥2V dt + max

∥u(t)∥²

(19)

0≤t≤T

Доказательство. Воспользуемся равенством (2.11) из работы [12]:

∫

)

∫

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)

- u^′(t) dt =

(2t - tk-1 - t_k)u^′′(t) dt.

(20)

tk-1

Из неравенства |2t - tk-1 - t_k| ≤ τ для t ∈ [tk-1, t_k] получим



∫

)



(∫T

)2/p

^∑1

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)

²

τ3-2/p



P_h

- u^′(t) dt

≤

∥u^′′(t)∥^pH dt

(21)



k=1

tk-1

Обоснование оценки третьего слагаемого в левой части неравенства (18) проводится как в

работе [9, теорема 3]. Теперь оценка (18) следует из условия (11) с учётом неравенств (16),

(17) и (21).

Из равенства

∫

)

∫

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)

- u^′(t) dt =

[τ² - (2t - tk-1 - t_k)²]u^′′′(t) dt,

tk-1

полученного из выражения (20) путём интегрирования по частям, и оценки |τ² - (2t - tk-1 -

- t_k)²| ≤ τ² для t ∈ [tk-1,t_k] следует неравенство



∫

)



(∫T

)2/p

^∑1

⁽u^′(t_k) + u^′(tk-1)

²

τ5-2/p



P_h

- u^′(t) dt

≤

∥u^′′′(t)∥^pH dt



k=1

tk-1

что вместе с оценками (16) и (17) доказывает неравенство (19). Следствие доказано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

702

БОНДАРЕВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М., 1977.

2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

3. Бондарев А.С. Разрешимость вариационного параболического уравнения с периодическим условием

на решение // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2015. № 4. С. 78-88.

4. Бондарев А.С. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода со схе-

мой Кранка-Николсон по времени для параболического уравнения с периодическим условием на

решение // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2017. Т. 46. № 6 (255). С. 72-79.

5. Бондарев А.С., Смагин В.В. Решение вариационного параболического уравнения с периодическим

условием на решение проекционно-разностным методом со схемой Кранка-Николсон по времени

// Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 4. С. 761-770.

6. Смагин В.В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода для парабо-

лических уравнений с модифицированной схемой Кранка-Николсон // Мат. заметки. 2003. Т. 74.

№ 6. С. 913-923.

7. Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галёркина для абстрактных

эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 7. С. 1269-1277.

8. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для

слабо разрешимых параболических уравнений // Мат. сб. 1997. Т. 188. № 3. С. 143-160.

9. Бондарев А.С. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода решения

параболического уравнения с периодическим условием на решение // Вестн. Воронеж. гос. ун-та.

Сер. Физика. Математика. 2018. № 2. С. 129-139.

10. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М., 1981.

11. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галёркину для параболических

уравнений с краевым условием типа Неймана // Изв. вузов. Математика. 1996. № 3. С. 50-57.

12. Смагин В.В. Проекционно-разностный метод со схемой Кранка-Николсон по времени приближён-

ного решения параболического уравнения с интегральным условием на решение // Дифференц.

уравнения. 2015. Т. 51. № 1. С. 116-126.

Воронежский государственный университет

Поступила в редакцию 14.10.2018 г.

После доработки 14.10.2021 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022