ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.703-716

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.63+519.651+517.956.32

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

В ЗАДАЧE ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

И ИХ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Указан конкретный вычислительный агрегат, реализующий точный порядок погрешности,

возникающей при дискретизации решения уравнения Клейна-Гордона вычислительными

агрегатами, построенными по точной числовой информации о начальных условиях, при-

надлежащих многомерным 1-периодическим классам Никольского. Найдена предельная

погрешность указанного оптимального вычислительного агрегата.

DOI: 10.31857/S0374064122050107, EDN: CBUUGO

1. Постановка задачи дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона.Пусть

символом u(x, t; f₁, f₂) обозначено классическое решение уравнения Клейна-Гордона

∂²u

+...+

-u

(0 ≤ t < +∞, x = (x₁, . . . , x_s) ∈ R^s)

(1)

∂t²

∂x²¹

∂x2s

с начальными условиями

∂u(x, 0)

u(x, 0) = f₁(x) и

= f₂(x).

(2)

∂t

Решение u(x, t; f₁, f₂) описывает, в частности, свободную релятивистскую (псевдо) скалярную

частицу массы, равной единице (см., например, [1, с. 54]).

Задача дискретизации бесконечного объекта (в нашем случае решения u(x, t; f₁, f₂), пред-

ставимого кратным рядом (см. приведённую ниже лемму 1)) состоит в его приближении прос-

тым (в некотором смысле) конечным объектом и в указании точности предложенного прибли-

жения.

Впервые задача дискретизации решений была рассмотрена Н.М. Коробовым для уравне-

ния Пуассона [2, с. 185-190]. Далее эта задача изучалась в работах [3] и [4, § 10.5, с. 217] для

уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности соответственно. Следует отметить статью

С.А. Смоляка [5], в которой был предложен метод построения оптимальных вычислительных

агрегатов в задачах численного интегрирования, восстановления функций и дискретизации ре-

шений уравнения в частных производных. Впоследствии метод Смоляка и его различные при-

менения стали объектами изучения многих математиков (см., например, [6-8]). Отметим также

работу [9], содержащую ряд результатов, полученных при дискретизации решений классиче-

ских уравнений математической физики, в частности, решений уравнения Клейна-Гордона в

рамках постановки “Компьютерный (вычислительный) поперечник” (подробную информацию

об этой постановке можно найти, например, в [10]).

В данной работе дискретизация решений u(x, t; f₁, f₂) производится вычислительными аг-

регатами, построенными по точной числовой информации о начальных условиях f₁ и f₂, и

находится предельная погрешность оптимального вычислительного агрегата.

Следуя работам [11-13], сформулируем задачу дискретизации решений уравнения Клейна-

Гордона вычислительными агрегатами, построенными по точной числовой информации о на-

чальных условиях.

Пусть даны целые числа N₁ ≥ 1 и N₂ ≥ 1, классы F₁ и F₂ функций, заданных на Ω₁

и Ω₂ соответственно, нормированное пространство Y функций, заданных на ΩY , и пусть

703

9^∗

704

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

N = N₁ + N₂. Числовая информация l(N1,N2) = (l⁽¹⁾¹(f₁),... ,l(N1)1(f₁),l⁽¹⁾²(f₂),... ,l(N2)2(f₂))

объёма N о начальных условиях f₁ ∈ F₁ и f₂ ∈ F₂ снимается с функционалов

l⁽¹⁾¹ : F₁ → C, ... , l(N1)1 : F₁ → C и l⁽¹⁾² : F₂ → C, ... , l(N2)2 : F₂ → C.

Пусть также дана функция ϕ_N (z₁, . . . , z_N ; y) : C^N × ΩY → C - алгоритм переработки

числовой информации l(N1,N2) о начальных условиях f₁ ∈ F₁ и f₂ ∈ F₂ такая, что при

всяком фиксированном (z₁, . . . , z_N ) ∈ C^N как функция от y принадлежит пространству Y.

Далее, через {ϕ_N }_Y будем обозначать множество функций ϕ_N , удовлетворяющих всем пе-

речисленным выше условиям, через (l(N1,N2), ϕ_N ) - вычислительный агрегат дискретизации,

действующий по правилу ϕ_N (l⁽¹⁾¹(f₁), . . . , l(N1)1(f₁), l⁽¹⁾²(f₂), . . . , l(N2)2(f₂); ·), а через D(N

1,N2)

множество всех вычислительных агрегатов (l(N1,N2), ϕ_N )._⋃

Для заданных F₁, F₂, Y и D_N =N1+N₂=N

D(N1,N₂) положим

N₁,N₂=1,2,...

δ_N (D_N ,F₁,F₂)_Y = min

inf

δ_N ((l(N1,N2),ϕ_N ),F₁,F₂)_Y ,

N₁+N₂=N (l(N1^,N2),ϕ_N )∈D_N

где

δ_N ((l(N1,N2),ϕ_N ),F₁,F₂)_Y =

= sup

∥u(· ; f₁, f₂) - ϕ_N (l⁽¹⁾¹(f₁), . . . , l(N1)1(f₁), l⁽¹⁾²(f₂), . . . , l(N2)2(f₂); ·)∥_Y .

(f₁,f₂)∈F₁×F₂

Всюду ниже для любого числа A и положительного числа B запись A

≪ B будет

α,β,...

означать существование постоянной C(α, β, . . .) > 0 такой, что |A| ≤ C(α, β, . . .)B, а для

положительных чисел A и B одновременное выполнение соотношений A

≪

B и B ≪ A

α,β,...

записывается в виде A ≻≺ B.

α,β,...

В рамках приведённых обозначений и определений задача дискретизации решений урав-

нения Клейна-Гордона вычислительными агрегатами, построенными по точной числовой ин-

формации о начальных условиях, заключается в установлении точного порядка величины

δ_N (D_N ,F₁,F₂)_Y (т.е. в нахождении положительной последовательности {ψ_N }N≥1, удовлетво-

ряющей соотношению δ_N (D_N , F₁, F₂)_Y

≻≺ ψ_N, здесь в качестве α,β,... берутся параметры

α,β,...

классов F₁, F₂ и пространства Y ) и в указании такого вычислительного агрегата

(l(N1,N2), ϕ_N ) ≡ ϕ_N (l(1)1(f₁), . . . ,l(N1)1(f₁),l(1)2(f₂), . . . ,l(N2)2(f₂); ·),

для которого δ_N ((l(N1,N2), ϕ_N ), F₁, F₂)_Y

≻≺ ψ_N (в этом случае говорят, что вычислительный

α,β,...

агрегат (l(N1,N2), ϕ_N ) реализует точный порядок дискретизации).

2. Определения оптимального вычислительного агрегата и его предельной по-

грешности.

Определение 1. Вычислительный агрегат (l(N1,N2),ϕ_N), реализующий точный порядок

погрешности дискретизации, называется оптимальным вычислительным агрегатом.

В работе [14] было дано определение предельной погрешности оптимального вычислитель-

ного агрегата ϕ_N (l(1)(f), . . . ,l(N)(f); ·) в задаче дискретизации решений u(t, x; f) уравнения

теплопроводности

∂u

∂²u

+...+

(0 ≤ t < +∞, x = (x₁, . . . , x_s) ∈ R^s)

∂t

∂x²¹

∂x2s

с начальным условием u(0, x; f) = f(x). Здесь сформулируем определение предельной по-

грешности оптимального вычислительного агрегата (l(N1,N2), ϕ_N ), строящегося по двум точ-

ным числовым информациям (l(1)1(f₁), . . . ,l(N1)1(f₁)) и (l(1)2(f₂), . . . ,l(N2)2(f₂)), полученным от

начальных условий f₁ и f₂.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

705

Определение 2. Предельной погрешностью оптимального вычислительного агрегата

(l(N1,N2), ϕ_N ) называется пара (εN1 , εN2 ) положительных последовательностей {εN1 } и {εN2 }

таких, что, во-первых, для всех N₁ ∈ N, N₂ ∈ N имеет место соотношение

△_N((εN1 ,εN2 ),(l(N1,N2),ϕ_N),F₁,F₂)_Y ≻≺ δ_N(D_N ,F₁,F₂)_Y ,

(3)

где

△_N((εN1 ,εN2),(l(N1,N2),ϕ_N),F₁,F₂)_Y =

= sup

sup

{∥u(· ; f₁, f₂) - ϕ_N (z⁽¹⁾¹, . . . , z(N1)1, z⁽¹⁾², . . . , z(N2)2; ·)∥_Y

(f₁,f₂)∈F₁×F₂ z⁽¹⁾¹,...,z(N1)1

z⁽¹⁾²,...,z(N2)

|z⁽¹⁾¹ -l(1)1(f₁)| < εN1 , . . . , |z(N1)1 -l(N1)1| < εN1 , |z⁽¹⁾² -l(1)2(f₁)| < εN2 , . . . , |z(N2)2 -l(N2)2| < εN2 } =

= sup

sup

∥u(· ; f₁, f₂) - ϕ_N (l(1)1(f₁) + γ⁽¹⁾¹εN1 , . . .

(f₁,f₂)∈F₁×F₂ |γ⁽¹⁾¹|≤1, ..., |γ(N1)1|≤1

|γ⁽¹⁾²|≤1, ..., |γ(N2)2|≤1

... ,l(N1)1(f₁) + γ(N1)1εN1,l(1)2(f₂) + γ⁽¹⁾²εN2,... ,l(N2)2(f₂) + γ(N2)2εN2;·)∥Y ,

во-вторых, справедливо равенство

△_N((ηN1 εN1 ,ηN2 εN2),(l(N1,N2),ϕ_N),F₁,F₂)_Y

lim

= +∞

(4)

N₁→∞

δ_N (D_N ,F₁,F₂)_Y

N₂→∞

для всех сколь угодно медленно возрастающих к +∞ положительных последовательностей

{ηN1 } и {ηN2 }.

Соотношение (3) означает, что при вычислении значений оптимального вычислительного

l(τ)

агрегата ϕ_N (l(1)1(f₁), . . . ,l(N1)1(f₁),l(1)2(f₂), . . . ,l(N2)2(f₂); ·) числовые информации

(f₁), τ =

= 1, N₁, иl(ν)2(f₂), ν = 1, N₂, можно заменить неточными значениями z(τ)1 и z(ν)2 такими,

что |z(τ)1 -l(τ)1(f)| < εN1 (τ

= 1, N₁) и |z(ν)2 -l(ν)2(f)| < εN2 (ν = 1, N₂) соответственно,

сохранив при этом точный порядок погрешности оптимальной дискретизации. Выполнение

же равенства (4) означает неулучшаемость порядков погрешностей εN1 и εN2 , так как сколь

угодно медленное возрастание к бесконечности величин εN1 и εN2 нарушает точный порядок

погрешности дискретизации.

3. Необходимые обозначения и определения для формулировки полученных ре-

зультатов. В дальнейшем через |E| будем обозначать количество элементов конечного мно-

жества E. Как обычно, [a] - целая часть числа a. Для упрощения записи будем использовать

обозначение

√

sin(t

4π²(m, m) + 1)

ρ_m(t) =

√

4π²(m, m) + 1

где m ∈ Z^s, t ≥ 0.

Пусть s = 1, 2, . . . и r - положительное число. Класс Никольского Hr2(0, 1)^s по определе-

нию состоит из всех суммируемых 1-периодических по каждой переменной функций f(x) =

= f(x₁,...,x_s), тригонометрические коэффициенты Фурье

f (m), m ∈ Z^s, которых удовле-

творяют условию

∑

sup

22jr

f (m)|² ≤ 1,

j=0,1,2,...

[2j-1]≤∥m∥<2^j

где m = (m₁, . . . , m_s) ∈ Z^s и ∥m∥ = max |m_j |.

j=1,s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

706

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

Ниже нам понадобится класс Соболева Wr2(0, 1)^s, состоящий из всех суммируемых 1-пе-

риодических по каждой переменной функций f(x) = f(x₁, . . . , x_s), тригонометрические коэф-

фициенты Фурье

f (m), m ∈ Z^s, которых удовлетворяют условию

∑

∥f∥_W r ≡

(m2r1 + ... + m2rs ) ≤ 1,

m∈Z^s

где m = max{1;|mj|} для каждого j = 1,s.

Нормированное пространство L2,∞ ≡ L2,∞((0, 1)^s × [0; +∞]) определяется как линейное

пространство всех функций g : R^s × [0; +∞) → C таких, что для каждого t ≥ 0 функция

g_t(x) = g(x,t) как функция аргумента x ∈ R^s является измеримой, 1-периодической по каж-

дой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству

∥g∥_L2,∞ ≡ sup ∥g( · , t)∥_L2(0,1)s < +∞.

t≥0

Символом Φ(N1,N₂) обозначается множество всех вычислительных агрегатов (l(N1,N2), ϕN )

с функционалами l⁽¹⁾¹(f₁) =

f₁(m⁽¹⁾¹), ..., l(N1)1(f₁)

= fˆ₁(m(N1)1), l⁽¹⁾²(f₂) =

f₂(m⁽¹⁾²), ...,

l(N2)2(f₂)

= fˆ₂(m(N2)2) и функцией ϕ_N

∈ {ϕ_N }_Y , а символом L(N1,N₂) - множество всех

вычислительных агрегатов (l(N1,N2), ϕ_N ) c линейными функционалами l⁽¹⁾¹ : F₁ → C, . . . ,

l(N1)1 : F₁ → C, l⁽¹⁾² : F₂ → C, ..., l(N2)2 : F₂ → C и функцией ϕ_N ∈ {ϕ_N }_Y .

Конкретизировав в δ_N (D_N , F₁, F₂)_Y множество D_N , классы F₁ и F₂, пространство Y,

получим различные задачи дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона, а также за-

дачи нахождения предельной погрешности оптимального вычислительного агрегата.

В статьях [15, 16] при D_N = L_N , F₁ ⋃ Hr12 (0, 1)^s, F2 = H22 (0, 1)s ⋃ DN = ΦN , F1 =

= Wr12(0, 1)^s, F2 =

(0, 1)^s, где L_N =N1+N₂=N,

L(N1,N₂) и ΦN = N1+N2=N,^Φ(N1,N2)

N₁,N₂=1,2,...

соответственно, были установлены точные порядки погрешности дискретизации, но не бы-

ли указаны конкретные вычислительные агрегаты, построенные по числовым информациям

объёма N и реализующие точные порядки.

В настоящей работе при конкретизации из [15] доказана оптимальность некоторого вычис-

лительного агрегата (l(N1,N2), ϕ_N ) и найдена его предельная погрешность.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть даны целое положительное число s, положительные числа r₁ > 2 +

+s/2, r₂ > 1+s/2 и пусть для каждого целого K_i ≥ 1, i ∈ {1,2} : N_i ≡ N_i(K_i) = (2K_i +1)^s.

Тогда для любого N ≡ N(K₁, K₂) = N₁ + N₂ имеют место соотношения

N₁,

≻≺

δ_N ((^l

≻≺

(5)

δ_N(L_N ,Hr12,H22 )L2,∞

N₂),ϕ_N),Hr12,H22 )

s,r₁,r₂

Nmin{r1/s,(r2+1)/s}

N₁,

здесь вычислительный агрегат (^l

N₂),ϕ_N) состоит из функционаловl(1)1(f₁) =

f₁(m⁽¹⁾¹),

N₁)

N₂)

l(1)

...,

(f₁)

f₁(m

(f₂)

f₂(m⁽¹⁾²), ... ,

(f₂)

f₂(m

) и функции

N₁)

N₂)

ϕ_N(z⁽¹⁾¹,... ,z

,z⁽¹⁾²,...,z

;x,t) =

N₁

N₂

∑

z(τ)1ρ^′m

(τ )

(t) exp{2πi(m(τ)1, x)} +

z(ν)2ρ

(t) exp{2πi(m(ν)2, x)},

m(ν)

τ=1

ν=1

где целые положительные числа

N₁

N₂

такие, что

(

)

min

N^r1^/s

N(r2+1)/s

N₁+N₂=N Nr1/s1

N(r2+1)/s2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

707

N_i)

{m(1)i, . . . , m

}, i ∈ {1, 2}, - некоторое упорядочение множества A_i = {m ∈ Z^s : ∥m∥ ≤

≤ K_i}, i ∈ {1,2}.

N₁

N₂

Далее, для краткости, символы

заменим соответственно на N₁ и N₂.

Теорема 2. Пусть даны целое положительное число s, положительные числа r₁ > 2 +

+ s/2, r₂ > 1 + s/2 и пусть для каждого целого K_i ≥ 1, i ∈ {1,2}, выполняется N_i ≡

≡ N_i(K_i) = (2K_i + 1)^s.

Тогда пара (εN1 , εN2 ) с компонентами εN1 = (Nr1/s+1/21)-1 и

⎧

⎨

(Nr2+12)-1,

если s = 1,

εN2 =

(N(r2+1)/22(ln N₂)1/2)-1, если s = 2,

⎩

(Nr2/s+1/22)-1,

если s > 2

является предельной погрешностью оптимального вычислительного агрегата (l(N1,N2), ϕ_N )

из теоремы 1, т.е. имеет место соотношение

(6)

△_N((εN1 ,εN2),(l(N1,N2),ϕ_N),Hr12,H22 )L2,∞ ≻≺ δN (LN ,H21,H22 )L2,∞ ,

и для любых сколь угодно медленно возрастающих к +∞ положительных последовательно-

стей {ηN1 } и {ηN2 } справедливо равенство

r₁

△_N((ηN1 εN1 ,ηN2 εN2 ),(l(N1,N2),ϕ_N),H₂

, Hr22 )L2,∞

lim

= +∞.

(7)

K₁→∞

²)_L2,∞

δ_N (L_N ,Hr12,H²

K₂→∞

4. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1 (см. [15, § 2, лемма 1]). Пусть даны целое положительное число s, положи-

тельные числа r₁ и r₂ такие, что r₁ > 2 + s/2 и r₂ > 1 + s/2. Тогда для каждой пары

(f₁, f₂) функций f₁ ∈ Hr12 (0, 1)^s, f2 ∈ H22 (0, 1)^s ряд

∑

f₁(m)ρ^′m(t)

f₂(m)ρ_m(t))exp{2πi(m,x)}

m∈Z^s

сходится абсолютно и является решением уравнения Клейна-Гордона (1) с начальными усло-

виями (2).

Лемма 2 (см. [15, § 2, лемма 3]). Пусть даны положительные числа α₁, α₂, c₁ и c₂.

Тогда для каждого N = 2, 3, . . . верно соотношение

min

)

≻≺ N-min{α1,α2}.

(c₁N-α11 + c2

N₁+N₂=N,

α₁,α₂,c₁,c₂

N₁≥1,N₂≥1

Лемма 3. Пусть p = 2, 3, . . . и B_p = {m ∈ Z^s : 1 ≤ ∥m∥ ≤ p}. Тогда справедливо

соотношение

⎧

⎨1,

если s = 1,

∑

≻≺

ln p, если s = 2,

m²¹ + ... + m2s

m∈B_P

^⎩ps-2, если s > 2.

Доказательство. Пусть s = 1. Тогда

∑

m²¹ + ... + m²

m²

m₁=1

m∈Bp

Поэтому, согласно неравенству

∫

∑₁

≥

dx,

m²

x²

m₁=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

708

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

имеем

∫

∑

≥2

dx = 2(1 - 1/(p + 1)) ≥

(8)

m²¹ + ... + m2s

x²

m∈Bp

Так как

∫

dx ≥

+...+

x²

2²

3²

p²

то

∫

∑

dx ≥

x²

m²

m₁=1

откуда получим цепочку неравенств

∫

)

∑

≤2 1+

≤ 4.

m²¹ + ... + m2s

x²

m∈Bp

Следовательно, в силу (8) при s = 1 имеет место соотношение

∑

≻≺

(9)

m²¹ + ... + m2s

m∈Bp

Перейдём к случаю s ≥ 2. Рассмотрим множества

M_p = {x ∈ R^s : 1 ≤ x₁ ≤ p, ... , 1 ≤ x_s ≤ p},

U_p = {x ∈ R^s : x₁ ≥ 0, ... , x_s ≥ 0, 1 ≤ x²¹ + ... + x2s ≤ sp²},

T_p = {x ∈ R^s : x₁ ≥ 1, ... , x_s ≥ 1, (x₁ - 1)² + ... + (x_s - 1)² ≤ (p - 1)²}.

Поскольку T_p ⊂ M_p ⊂ U_p, то

∫

dx₁ · · · dx

dx₁ · · · dx_s

≤

(10)

x²

+...+x2s

x²

+...+x2s

x²

+...+x2s

Перейдём к сферическим (полярным в случае s = 2) координатам в интегралах, рассмат-

риваемых на множествах T_p и U_p, и соответственно получим

{

∫

dx₁ · · · dx

ln p, если s = 2,

dx₁ · · · dx_s

ln p, если s = 2,

≻≺

x²¹ + ... + x2s

ps-2, если s > 2

x²¹ + ... + x2s

ps-2, если s > 2,

откуда, согласно (10), вытекает соотношение

{

∫

dx₁ · · · dx_s

ln p, если s = 2,

≻≺

(11)

x²¹ + ... + x2s

ps-2, если s > 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

709

Так как

∫

∑

dx₁ · · · dx

≻≺

(12)

x²¹ + ... + x2s

m²

+...+m2s

m₁=1

ms=1

)

∑

(s-1∑

∑

≻≺

m²¹ + ... + m2s

m²

+...+m²

m²

+...+m2s

τ+1

m∈Bp

τ=1

1≤mτ+1

m₁=1

ms=1

ms≤p

то в силу (9), (11) и (12) имеем

{

∑

ln p, если s = 2,

≻≺

m²¹ + ... + m2s

ps-2, если s > 2.

m∈Bp

Лемма доказана.

5. Доказательство теоремы 1. Сначала оценим величину δ_N ((l(N1,N2), ϕ_N ), Hr12 , H22 )L2,∞

сверху. Так как

ϕ_N(l(1)1(f₁),... ,l(N1)1(f₁),l(1)2(f₂),... ,l(N2)2(f₂);x,t) =

∑

f₁(m(τ)1)ρ^′m

(τ )

(t) exp{2πi(m(τ)1, x)} +

f₂(m(ν)2)ρ

(t) exp{2πi(m(ν)2, x)} =

m(ν)2

τ=1

ν=1

∑

f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,x)} +

f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,x)},

m∈A₁

m∈A₂

то в силу леммы 1 запишем равенство

u(x, t; f₁, f₂) - ϕ_N (l(1)1(f₁), . . . ,l(N1)1(f₁),l(1)2(f₂), . . . ,l(N2)2(f₂); x, t) =

∑

f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,x)} +

f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,x)}.

(13)

m∈Z^s\A₁

m∈Z^s\A₂

Обозначим через l_i, i ∈ {1, 2}, некоторое целое число, удовлетворяющее неравенствам

2lⁱ

≤ K_i < 2li+1. Тогда для всех m ∈ Z^s таких, что ∥m∥ ≤ 2li, при f_i ∈ Hri2(0,1)^s имеет

место неравенство

)1/2

( ∑

f_i(m)|2

≪

i ∈ {1,2}.

(14)

s,r

ⁱ Nri/s

∥m∥≥2li

Действительно, учитывая очевидные соотношения N1/s1 ≻≺

K₁,N1/s2 ≻≺

K₂, для каждого

i ∈ {1,2} получим

)1/2

( ∑

∑

f_i(m)|2

f_i

(m)|²

∥m∥≥2li

τ=l_i+1 2τ-1≤∥m∥<2^τ

)1/2

∑

2-2τri · 22τri

f_i(m)|2

≤

τ=l_i+1

2τ-1≤∥m∥<2^τ

(

{

})1/2(

)1/2

∑

≤

sup

22τri

f_i(m)|2

2-2τri

≪

τ=l_i+1,l_i+2,...

s,r_i Nri/s

2τ-1≤∥m∥<2^τ

τ=l_i+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

710

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

Так как



(

)1/2



∑



∑



f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,·)}

f₁(m)|²|ρ^′m(t)|2



L²

m∈Z^s\A₁

)1/2

( ∑

f₁(m)|²|ρ^′m(t)|2

≤

f₁(m)|²|ρ^′m(t)|2

∥m∥>K₁

∥m∥≥2^l1

и |ρ^′m(t)| ≤ 1 для всех m ∈ Z^s, то



)1/2



∑



( ∑



f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,·)}

≤

f₁(m)|2



L²

m∈Z^s\A₁

∥m∥≥2^l1

откуда в силу (14) следует оценка сверху для L²-нормы первой суммы правой части равен-

ства (13):



∑



f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,·)}

≪

(15)



L²

s,r₁ Nr1/s

m∈Z^s\A₁

Теперь оценим L²-норму второй суммы правой части (13) сверху. Из равенств Парсеваля



)1/2



∑



( ∑



f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,·)}

f₂(m)|²|ρ_m(t)|2



L²

m∈Z^s\A₂

∥m∥>K₂

с учётом неравенства 2l2 ≤ K₂ имеем



)1/2



∑



( ∑



f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,·)}

≤

f₂(m)|²|ρ_m(t)|2

(16)



L²

m∈Z^s\A₂

∥m∥≥2^l2

Поскольку



√



in(t

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1)



|ρ_m(t)| =s

√

≤

≤

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1

2π

m²¹ + ... + m2s

∥m∥

2l2

для всех ∥m∥ ≥ 2l2 , то

)1/2

( ∑

f₂(m)|²|ρ_m(t)|2

≤

f₂(m)|2

(17)

l₂

∥m∥≥2^l2

Вследствие неравенств (16), (17), (14) и 2l2 ≫

N1/s2 получаем



∑



f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,·)}

≪

(18)



L²

s,r₂ N(r2+1)/s

m∈Z^s\A₂

При любом t ≥ 0 из (13), (15) и (18) следует неравенство

∥u( · , t; f₁, f₂) - ϕ_N (l(1)1(f₁), . . . ,l(N1)1(f₁),l(1)2(f₂), . . . ,l(N2)2(f₂); · , t)∥_L2

≪

s,r₁,r₂

Nr1/s1

N(r2+1)/s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

711

откуда, поскольку переменная t и упорядоченная пара (f₁, f₂) произвольны, в силу опреде-

ления пространства L2,∞ и леммы 2 заключаем, что

≪ N-min{r1/s,(r2+1)/s}.

(19)

δ_N((l(N1,N2), ϕ_N), Hr12, H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

В статье [15, теорема 4] установлено соотношение

≫ N-min{r1/s,(r2+1)/s}.

(20)

δ_N (L_N ,Hr12,H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

Наконец, сопоставив неравенства δ_N (L_N , Hr12 , H22 )L2,∞ ≤ δN ((l(N1,N2), ϕN ), H21 , H22 )L2,∞ ,

(19) и (20), получим соотношения (5). Теорема 1 доказана.

6. Доказательство теоремы 2. Доказательство проведём для случая s > 2 (в случаях

s = 1 и s = 2 доказательство теоремы 2 проводится аналогично).

Так как для произвольно заданных чисел γ⁽¹⁾¹, . . . , γ(N1)1, γ⁽¹⁾², . . . , γ(N2)2 таких, что

|γ⁽¹⁾¹| ≤ 1, . . . ,

|γ(N1)1| ≤ 1,

|γ⁽¹⁾²| ≤ 1, . . . ,

|γ(N2)2| ≤ 1,

имеет место равенство

ϕ_N(l(1)1(f₁) + γ⁽¹⁾¹εN1,... ,l(N1)1(f₁) + γ(N1)1εN1 ,l(1)2(f₂) + γ⁽¹⁾²εN2 ,... ,l(N2)2(f₂) + γ(N2)2εN2 ;x,t) =

∑

f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,x)} +

f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,x)} +

m∈A₁

m∈A₂

∑

+εN1

γ(τ)1ρ′m(τ)(t)exp{2πi(m(τ)

,x)} + εN2

γ(ν)2ρ

(t) exp{2πi(m(ν)2, x)},

m(ν)

τ=1

ν=1

то в силу леммы 1 справедливо выражение

u(x, t; f₁, f₂) - ϕ_N (l(1)1(f₁) + γ⁽¹⁾¹εN1 , . . . ,l(N1)1(f₁) + γ(N1)1εN1 ,l(1)2(f₂) +

+ γ⁽¹⁾²εN2,... ,l(N2)2(f₂) + γ(N2)2εN2;x,t) =

∑

f₁(m)ρ^′m(t)exp{2πi(m,x)} +

f₂(m)ρ_m(t)exp{2πi(m,x)} +

Z^s\A₁

Z^s\A₂

∑

+εN1

(-γ(τ)1)ρ′m(τ) (t) exp{2πi(m(τ)1, x)} +

τ=1

∑

+εN2

(-γ(ν)2)ρ

(t) exp{2πi(m(ν)2, x)}.

(21)

m(ν)2

ν=1

Оценим L²-норму третьей суммы правой части (21) сверху. Так как



)1/2



∑



(N1∑



N₁

(-γ(τ)1)ρ′m(τ)

(t) exp{2πi(m(τ,·)1)}

=εN1

|γ(τ)1|²|ρ′m(τ)

(t)|²

ε



τ=1

L²

τ=1

1)1/2 =

√N₁ получим



∑



N₁

(-γ(τ)1)ρ′m(τ)

(t) exp{2πi(m(τ)1, · )}

≤

(22)

ε



L²

Nr1/s

τ=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

712

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

Оценим L²-норму четвертой суммы правой части (21) сверху:



)1/2



∑



(N2∑



(-γ(ν)2)ρ

(t) exp{2πi(m(τ)2, · )}

=εN2

|γ(ν)2|²|ρ

(t)|²

≤

ε

N₂

m(ν)2



m(ν)

ν=1

L²

ν=1

)1/2

(N2∑

≤εN2

|ρ

(t)|²

(23)

m(ν)

ν=1

Теперь используем лемму 3:

∑

|ρ

(t)|² =

|ρ_m(t)|² = |ρ₀(t)|² +

|ρ_m(t)|² ≤ 1 +

≪

N(s-2)/s2.

m(ν)

m²¹ + ... + m2s

ν=1

m∈A₂

m∈A₂\{0}

m∈BK2

Следовательно, продолжив неравенство (23), будем иметь оценку сверху для L²-нормы

четвертой суммы правой части (21):



∑



N₂

(-γ(ν)2)ρ

(t) exp{2πi(m(ν)2, · )}

≪

N(s-2)/(2s)2 ≪

(24)

ε

m(ν)2



L²

s,r₂ Nr2/s+1/22

s,r₂ N(r2+1)/s

ν=1

При фиксированном t ≥ 0 из (15), (18), (21), (22) и (24) следует неравенство

∥u( · , t; f₁, f₂) - ϕ_N (l(1)1(f₁) + γ⁽¹⁾¹εN1 , . . . ,l(N1)1(f₁) + γ(N1)1εN1 ,l(1)2(f₂) + γ⁽¹⁾²εN2 ,

... ,l(N2)2(f₂) + γ(N2)2εN2;·,t)∥_L2

≪

s,r₁,r₂

Nr1/s1

N(r2+1)/s

откуда в силу определения пространства L2,∞ и леммы 2 имеем

≪ N-min{r1/s,(r2+1)/s}.

(25)

△_N((εN1,εN2 ),(l(N1,N2),ϕ_N),Hr12,H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

Поскольку δ_N (L_N , Hr12 , H22 )L2,∞ ≤ δN ((l(N1,N2), ϕN ), H21 , H22 )L2,∞ ≤

≤ △_N((εN1,εN2),(l(N1,N2),ϕ_N),Hr12,H22)L2,∞,

то вследствие неравенств (20) и (25) получим соотношение (6).

Далее убедимся в справедливости (7). Для каждого K_j ∈ N, j ∈ {1, 2}, определим мно-

жество

GK_j = {m ∈ Z^s : [

β-1/rj ]},_K

β-1/rjK_j ] ≤ ∥m∥ ≤ 5 · [

где βKj = min{ηNj , ln N_j }, j ∈ {1, 2}.

Так как lim

βKj = +∞, то существует номер K(0)j такой, что для всех K_j ≥ K(0)j

K_j→+∞

имеет место неравенство

βKj ≥ 1, j ∈ {1,2}.

(26)

При каждом K_j ≥ K(0)j для функций

-r_j/s-1/2

βKj N_j

∑

hKj (x) =

√

exp{2πi(m, x)}

s · 11^s · 5rj

m∈G_Kj

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

713

из проверяемого неравенства |GKj | ≤ 11^sN_jβ-s/rj и условий (26) получим цепочку неравенств_K

∑

∥hKj ∥_W rj =

β2K

N-2rj/s-1 m1rj +...+msrj ≤_j

s · 11^s · 52rj

m∈G_Kj

≤β2K

N-2rj/s-1

s(5N1/sjβ-1/rjK_j )2rj |GKj | ≤ βKs/rj ≤ 1._j

s · 11^s · 52rj

С учётом |GKj | ≥ N_jβ-s/rjK_j оценим L²-норму функции hKj , j ∈ {1,2} снизу:

βKj

√

∥hKj ∥_L2 ≫

|GKj |1/2 ≫

√

N_jβ-s/(2rj )_K

≫

β(2rj-s)/(2rj).

(27)

√

K_j

s,r_j Nrj/sj

N_j

s,r_j Nrj/s

N_j

s,r_j N^rj^/s

Теперь рассмотрим N -мерные векторы

(α⁽¹⁾¹, . . . , α(N1)1, α⁽¹⁾², . . . , α(N2)2),

(α⁽¹⁾¹,... , α(N1)1, α⁽¹⁾²,..., α(N2)2),

(ω⁽¹⁾¹, . . . , ω(N1)1, ω⁽¹⁾², . . . , ω(N2)2),

(ω⁽¹⁾¹,... , ω(N1)1, ω⁽¹⁾²,... , ω(N2)2)

с компонентами, определёнными равенствами:

(τ)

ĥ_K

1) α(τ)1 = -

⁾, τ = 1,N₁, и α(ν)2 = 0, ν = 1,N₂;

εN1ηN1

(τ)

α(τ)1 = -(-ĥK1 )(m

⁾, τ = 1,N₁, и

α(ν)2 = 0, ν = 1,N₂;

εN1 ηN1

(ν)

ĥ_K

3) ω(τ)1 = 0, τ = 1, N₁, и ω(ν)2 = -

⁾, ν = 1,N₂;

εN2ηN2

(ν)

ω(τ)1 = 0, τ = 1,N₁, и

ω(ν)2 = -(-ĥK2 )(m

⁾, ν = 1,N₂.

εN2 ηN2

Так как все компоненты указанных выше векторов по модулю не превосходят единицы и

при всех значениях τ = 1, N₁, ν = 1, N₂ имеют место равенства

ĥ_K

(m(τ)1) + α(τ)1εN1 ηN1 = 0,

(-ĥK1 )(m(τ)1) + α(τ)1εN1 ηN1 = 0,

ĥ_K

(m(ν)2) + ω(ν)2εN2 ηN2 = 0,

(-ĥK2 )(m(ν)2) + ω(ν)2εN2 ηN2 = 0,

то для всякого вычислительного агрегата (l(N1,N2), ϕ_N ) ∈ Φ(N1,N₂), в силу известного вложения

Wr2(0,1)^s ⊂ Hr2(0,1)^s (см., например, [17, c. 230]), имеем

sup

sup∥u(· ; t; f1, f2) - ϕN

f₁(m⁽¹⁾¹) + γ⁽¹⁾¹εN1 ηN1,...

(f₁,f₂)∈Hr12 ×Hr2

t≥0

|γ⁽¹⁾¹|≤1, ..., |γ(N1)1|≤1

|γ⁽¹⁾²|≤1, ..., |γ(N2)2|≤1

...,

f₁(m(N1)1) + γ(N1)1εN1ηN1

f₂(m⁽¹⁾²) + γ⁽¹⁾²εN2ηN2 ,...

f₂(m(N2)2) + γ(N2)2εN2ηN2 ;·,t)∥_L2 ≥

≥ max{∥u(·,0;hK1 ,0) - ϕ_N (ĥK1 (m⁽¹⁾¹) + α⁽¹⁾¹εN1 ηN1,

...,ĥK1(m(N1)1) + αN11εN1,0,0,... ,0;·,0)∥L2,∥u(·,0;(-hK1),0) - ϕN((-ĥK1)(m¹¹⁾) +

N₂

+ α⁽¹⁾¹εN1ηN1,... ,(-ĥK1)(m(N1)1) + α(N1)1εN1ηN1,0,0,... ,0;·,0)∥L2} =

N₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

714

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

= max{∥u(·,0;hK1 ,0) - ϕ_N(0,... ,0;·,0)∥_L2 ,∥u(·,0;(-hK1 ),0) - ϕ_N (0,... ,0;·,0)∥_L2 } ≥

(∑

)1/2

≥ ∥u( · , 0; hK1 , 0)∥_L2 ≥

|ĥK1(m)|²|ρ^′m(0)|2

= ∥hK1∥_L2 .

m∈HK1

Следовательно, в силу (27) получаем

sup

∥u(· ; f₁, f₂) -

(f₁,f₂)∈Hr12 ×Hr2

|γ⁽¹⁾¹|≤1, ..., |γ(N1)1|≤1

|γ⁽¹⁾²|≤1,...,|γ(N2)2|≤1

-ϕ_N

f₁(m⁽¹⁾¹) + γ⁽¹⁾¹εN1ηN1 ,...

f₁(m(N1)1) + γ(N1)1εN1 ηN1

f₂(m⁽¹⁾²) + γ⁽¹⁾²εN2ηN2 ,...

...,

f₂(m(N2)2) + γ(N2)2εN2 ηN2;·)∥_L2,∞ ≫

β(2r1-s)/(2r1).

(28)

K₁

s,r₁ Nr1/s

). Тогда для всех m ∈ GK2 имеют место неравенства

Пусть t₀ = β1/r2K₂ /(15π√s

√

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1 ≤ 1,

15√s≤t0

откуда следует

)

( √

sin t₀

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1

≥ sin

(29)

15√s,m∈GK2.

В силу равенства Парсеваля с учётом (27) и (29) имеем

(∑

)1/2

∥u( · , t₀; 0, hK2 )∥_L2 =

|ĥK2 (m)|²|ρ_m(t₀)|2

m∈GK2

(∑

√

)1/2

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1)

|ĥK2 (m)|² sin2(t0

≫

4π²(m²¹ + . . . + m2s) + 1

s,r₂

m∈GK2

1/r₂

β_K

β(2r2-s)/(2r2)+1/r2K₂

≫

∥hK2 ∥_L2 ≫

(30)

s,r₂

s,r₂ N1/s2

N(r2+1)/s

Поскольку

sup

sup∥u( · , t; f1, f2) - ϕN

f₁(m⁽¹⁾¹) + γ⁽¹⁾¹εN1 ηN1 ,...

(f₁,f₂)∈Hr12 ×Hr2

t≥0

|γ⁽¹⁾¹|≤1, ..., |γ(N1)1|≤1

|γ⁽¹⁾²|≤1, ..., |γ(N2)2|≤1

...,

f₁(m(N1)1) + γ(N1)1εN1ηN1

f₂(m⁽¹⁾²) + γ⁽¹⁾²εN2ηN2 ,...

f₂(m(N2)2) + γ(N2)2εN2ηN2 ;·,t)∥_L2 ≥

≥ max{∥u(·,t₀;0,hK2 ) - ϕ_N (0,0,... ,0

,ĥK2 (m⁽¹⁾²) + ω⁽¹⁾²εN2 ηN2 ,...

N₁

... ,ĥK2(m(N2)2) + ωN22εN2;·,t0)∥L2,∥u(·,t0;0,(-hK2)) - ϕN(0,0,... ,0,(-ĥK2)(m²¹⁾) +

N₁

+ ω⁽¹⁾²εN2ηN2,... ,(-ĥK2)(m(N2)2) + ω(N2)2εN2ηN2;·,t₀)∥_L2} =

= max{∥u(·,t₀;0,hK2 ) - ϕ_N (0,... ,0;·,t₀)∥_L2 ,∥u(·,t₀;0,(-hK2 )) - ϕ_N (0,... ,0;·,t₀)∥_L2 } ≥

≥ ∥u( · , t₀; 0, hK2 )∥_L2 ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

715

то, приняв во внимание (30), получаем

sup

∥u(· ; f₁, f₂) - ϕ_N

f₁(m⁽¹⁾¹) + γ⁽¹⁾¹εN1 ηN1,...

(f₁,f₂)∈Hr12 ×Hr2

|γ⁽¹⁾¹|≤1, ..., |γ(N1)1|≤1

|γ⁽¹⁾²|≤1, ..., |γ(N₂)₂|≤1

...,

f₁(m(N1)1) + γ(N1)1εN1 ηN1

f₂(m⁽¹⁾²) + γ⁽¹⁾²εN2 ηN2,...

f₂(m(N2)2) + γ(N2)2εN2 ηN2 ;·)∥_L2,∞ ≫

s,r₂

(2r₂-s)/(2r₂)+1/r₂

β_K

≫

(31)

s,r₂

N(r2+1)/s

Из неравенств (28) и (31) следует

≫

△_N((ηN1 εN1,ηN2 εN2 ),(l(N1,N2),ϕ_N ),Hr12,H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

≫

(32)

(N-r1/s1 + N-(r2+1)/s2) min{βθ1K₁ ,βK },

s,r₁,r₂

где θ₁ = (2r₁ - s)/(2r₁), θ₂ = (2r₂ - s)/(2r₂) + 1/r₂.

≪ (N-r1/s1 + N-(r2+1)/s2), то с учётом (32) имеем

Поскольку δ_N (L_N , Hr12 , H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

≫

△_N((ηN1 εN1,ηN2 εN2 ),(l(N1,N2),ϕ_N ),Hr12,H22 )L2,∞

s,r₁,r₂

≫

δ_N (L_N,Hr12,H22 )L2,∞ min{βK11 ,βK2 },₂

s,r₁,r₂

отсюда, в силу равенства lim

min{βθ1K₁ ,βK2 }=+∞,вытекаетсоотношение(7).Теорема22

K₁→∞

K₂→∞

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

2. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближённом анализе. M., 1963.

3. Жилейкин Я.М. О приближённом решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Докл. АН

СССР. 1964. Т. 155. № 5. С. 999-1002.

4. Loo Keng Hua, Yang Wang. Application of Number Theory to Numerical Analysis. Berlin; Heidelberg;

New York, 1981.

5. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых

классов функций // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1042-1045.

6. Sickel W., Ullrich T. The Smolyak’s algorithm, sampling, on spars grids and function spaces of dominating

mixed smoothness // East J. Approx. 2007. V. 13. № 4. P. 287-425.

7. Naurizbayev N.,Temirgaliyev N. An exact order of discrepancy of the Smolyak grid and some general

conclusions in the theory of numerical integration // Found. Comput. Math. 2012. V. 12. P. 139-172.

8. Кудайбергенов С.С., Сабитова С.Г. О дискретизации решений уравнения Пуассона на классе Ко-

робова // Журн. вычислит. математики. и мат. физики. 2013. Т. 13. № 7. С. 1082-1093.

9. Темиргалиев Н., Таугынбаева Г.Е., Абикенова Ш.К. Дискретизация решений уравнений в частных

производных в контексте Компьютерного (вычислительного) поперечника // Вестн. Евразийск.

нац. ун-та. Сер. Математика. Информатика. Механика. 2019. Т. 126. № 1. С. 8-51.

10. Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Компьютерный (вычислительный) поперечник в контексте

общей теории восстановления // Изв. вузов. Математика. 2019. № 1. С. 89-97.

11. Абикенова Ш.К.,Темиргалиев Н. О точном порядке информативной мощности всех возможных ли-

нейных функционалов при дискретизации решений волнового уравнения // Дифференц. уравнения.

2010. Т. 46. № 8. С. 1201-1204.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

716

УТЕСОВ, БАЗАРХАНОВА

12. Абикенова Ш.К., Утесов А.Б., Темиргалиев Н. О дискретизации решений волнового уравнения с

начальными условиями из обобщённых классов Соболева // Мат. заметки. 2012. Т. 91. № 3. С. 459-

463.

13. Абикенова Ш.К. Дискретизация периодических решений волнового уравнения с начальными усло-

канд. физ.-мат. наук. Астана, 2010.

виями из классов Wr2(0, 1)^s, Wωr1 ,...,ωrs2 (0, 1)^s и E^s : дис

14. Утесов А.Б., Базарханова А.А. Об оптимальной дискретизации решений уравнения теплопроводно-

сти и предельной погрешности оптимального вычислительного агрегата // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 12. С. 1705-1714.

15. Ибатулин И.Ж., Темиргалиев Н. Об информативной мощности всех возможных линейных функ-

ционалов при дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике L2,∞ // Дифференц.

уравнения. 2008. Т. 44. № 4. С. 491-506.

16. Темиргалиев Н., Шерниязов К.Е., Берикханова М.Е. Точные порядки компьютерных (вычисли-

тельных) поперечников в задачах восстановления функций и дискретизации решений уравнения

Клейна-Гордона по коэффициентам Фурье // Совр. проблемы математики. 2013. Вып. 17. Матема-

тика и информатика. 2. К 75-летию со дня рождения А.А. Карацубы. С. 179-207.

17. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., 1977.

Актюбинский региональный университет

Поступила в редакцию 24.01.2022 г.

им. К. Жубанова, г. Актобе, Казахстан,

После доработки 25.03.2022 г.

Назарбаев университет,

Принята к публикации 21.04.2022 г.

г. Нур-Султан, Казахстан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022