ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 5, с.717-720

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.928

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЧЁТНОГО

ПОРЯДКА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Исследуется асимптотическое поведение решений обыкновенного сингулярного дифферен-

циального уравнения произвольного нечётного порядка. При этом потенциал в уравнении

может быть либо быстро осциллирующей функцией, либо обобщённой функцией. С по-

мощью специальных квазипроизводных уравнение сводится к системе дифференциальных

уравнений первого порядка, которая приводится к L-диагональному виду последователь-

ным применением преобразований Хаусдорфа.

DOI: 10.31857/S0374064122050119, EDN: CBWEDY

Введение. Рассмотрим уравнение

iy(2n-1)(x) + q(x)y(x) = iλy, x ∈ [x₀, +∞),

(1)

для которого исследуем асимптотическое поведение фундаментальной системы его решений

при x → +∞. Отметим, что если функция q(x) суммируема на бесконечности, то она не вли-

яет на асимптотику решений (см. [1, с. 316]). Основная цель - выделить новый широкий класс

функций q(x), не влияющих на асимптотику решений уравнения (1). При этом будет предло-

жен новый подход к построению асимптотических формул для решений, состоящий в переходе

от уравнения (1) к уравнению в квазипроизводных, рассматриваемому в статье [2], которое

заменяется эквивалентной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Затем

к этой системе применяется преобразование Хаусдорфа (см. [3]), причём это преобразование

применяется до тех пор, пока не получится L-диагональная система, асимптотика которой

хорошо известна [1]. Отметим, что аналогичные вопросы для уравнения чётного порядка с по-

мощью иных методов изучались в работах [4] и [5]. Итак, будем рассматривать уравнение (1)

при следующих условиях на функцию q(x): пусть q(x) = q′′′3(x), q₁(x) = q′′3(x), q₂(x) = q′3(x),

q₃(x) ∈ L^1loc[x₀,+∞). Если q(x) - обобщённая функция, то производные понимаются в смысле

теории распределения. Запишем уравнение (1) в виде

y(2n-1) - iq(x)y = λy,

откуда получим уравнение

(y(2n-2) - iq₁(x)y)^′ + iq₁(x)y^′ = λy.

(2)

Введём в рассмотрение вектор-функцию

⎛

⎞

⎜

y^′

⎟

⎜

⎟

⎜

y^′′

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟^.

⎜

⎟

⎠

⎝ y(2n-3)

y(2n-2) - iq₁y

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

718

СУЛТАНАЕВ и др.

Тогда уравнение (2) будет эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого

порядка:

⎛

⎞

···

⎜

···

0⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

z^′ =

⎜

⎟z.

(3)

⎜

···

0⎟

⎠

^⎝-iq₁

···

−λ iq₁

···

Введём постоянные матрицы

⎛

⎞

···

⎛

⎞

···

⎜

···

0⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

L₀ =

⎜

⎟,

⎜

···

0⎟,

⎜

···

0⎟

⎝

⎠

−1

···

^⎝ 0

···

−λ

···

в результате чего матрица коэффициентов A₀(x; λ) в системе (3) запишется в виде A₀ = L₀ +

+ iq₁(x)D.

С помощью замены

z(x; λ) = eiq2(x)Du(x; λ)

представим систему (3) в виде

(

)

x;λ

= e-iq2(x)DL₀eiq2(x)Du(x;λ).

Воспользуемся тождеством Хаусдорфа и получим

e-iq2(x)DL₀eiq2(x)D = L₀ - iq₂(x)[L₀,D] -

q²²(x)[[L₀,D],D] +

iq³²(x)[[[L₀, D], D], D] + . . . ,

где [A, B] = AB - BA. Обозначим первый из коммутаторов через L₀₁, второй - L₀₂ и т.д.

С помощью вычислений найдём

⎛

⎞

···

⎜

⎟

⎜

⎟

L₀₁ =

⎜1

···

0⎟,

L0k = 0,

∀k > 1.

⎝

⎠

-2

···

Таким образом, имеем систему

u(x; λ) = (L₀ - iq₂(x)L₀₁)u(x; λ).

(4)

Далее, положив

u(x; λ) = eiq3(x)L01 v(x; λ),

получим следующую систему:

v(x; λ) = e-iq3(x)L01 L₀eiq3(x)L01 v(x; λ).

Согласно тождеству Хаусдорфа

e-iq3(x)L01 L₀eiq3(x)L01 = L₀ - iq₃(x)[L₀,L₀₁] -

q²³(x)[[L₀,L₀₁],L₀₁] +

iq³³(x)[[[L₀, L₀₁], L₀₁], L₀₁] + . . .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ

719

В результате вычисления будем иметь

⎛

⎞

···

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜1

···

0⎟

K₀₁ =

⎜

⎟, K0m = 0,

∀m > 1.

⎜0

-3

···

0⎟

⎠

^⎝0

···

Таким образом, приходим к системе

v(x; λ) = (L₀ - iq₃(x)K₀₁)v(x; λ).

(5)

Заметим, что уравнения (4) и (5) имеют одинаковый вид

w^′(x;λ) = (L₀ + G)w(x;λ),

(6)

где L₀ - постоянная матрица. Следовательно, если матрица G суммируема на бесконечности,

то она не будет влиять на главный член асимптотики решений системы уравнений (6), что

равносильно тому, что и функция q(x) не будет влиять на асимптотику решений уравнения

(1). Таким образом, доказана

Теорема. Пусть q₂(x) или q₃(x) - комплекснозначные локально интегрируемые на про-

межутке [x₀, +∞) функции. Тогда фундаментальная система решений уравнения (1) при

больших x ведет себя в главном как фундаментальная система решений укороченного урав-

нения iy(2n-1)(x) = iλy(x), если либо q₂(x) ∈ L[x₀,+∞), либо q₃(x) ∈ L[x₀,+∞).

Пример 1. Пусть функция q₂(x) выражается через q(x) в виде двойного несобственного

интеграла, а q₃(x) - в виде тройного интеграла, которые рассматриваются в смысле условной

сходимости. Если q(x) = x^α sin e^x, то несложные выкладки с помощью интегрирования по

частям показывают, что q(x) не влияет на главный член асимптотики решений уравнения (1)

при любом значении α. Если q(x) = x^α sin x^β, то случай α < -1 неинтересный, так как

q(x) будет суммируемой функцией на бесконечности. Если же α ≥ -1, то q₃(x) суммируема

на бесконечности при β > α/3 + 4/3, а q₂(x) суммируема на бесконечности при значениях

β > α/2 + 3/2. Сравнивая два последних неравенства, получаем, что для α ≥ -1 q(x) не

влияет на главный член асимптотики решений уравнения (1), если β > α/3 + 4/3.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

iy^′′′(x) + δ^′(x)y(x) = iλy(x).

В данном случае q(x) = δ^′(x), q₁(x) = δ(x), q₂(x) = Θ(x), q²²(x) = q³²(x) = Θ(x). Систе-

ма (4), записанная для данного примера, будет иметь матрицу, элементы которой являются

кусочно-постоянными функциями, а значит, допускает существование явного решения u(x; λ),

которое мы не будем приводить в силу громоздкости выкладок, и в результате получим

z(x; λ) = eiΘ(x)Du(x; λ).

Замечание. В работе [6] изучена асимптотика решений уравнения (1) для случаев про-

изводной третьего и пятого порядков. Показано, что для уравнений третьего порядка ряд

Хаусдорфа не обрывается, но легко суммируется в силу циклического характера его членов.

Для уравнения пятого порядка ряд Хаусдорфа обрывается на втором члене. Полученный ре-

зультат относится к уравнениям произвольного нечётного порядка. Для уравнений порядка

не менее семи ряд Хаусдорфа обрывается на первом члене.

Исследование Я.Т. Султанаева выполнено при поддержке Министерства образования и

науки Республики Казахстан (проект АР08856104) и финансовой поддержке Министерства

образования и науки Российской Федерации в рамках реализации программы Московского

центра фундаментальной и прикладной математики (соглашение № 075-15-2019-1621).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022

10^∗

720

СУЛТАНАЕВ и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

2. Everitt W.N., Marcus L. Boundary value problem and symplectic algebra for ordinary differential and

quasi-differential operators // Math. Surveys and Monographs. 1999. V. 61. P. 1-60.

3. Валеев Н.Ф., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. О новом подходе к изучению асимптотического по-

ведения решений сингулярных дифференциальных уравнений // Уфимский мат. журн. 2015. Т. 7.

№ 3. С. 9-15.

4. Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами-

распределениями // Мат. заметки. 2016. Т. 99. Вып. 5. С. 788-793.

5. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных

уравнений с коэффициентами-распределениями // Мат. сб. 2020. Т. 211. № 11. С. 129-166.

6. Валеев Н.Ф., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. Об одном методе исследования асимптотики решений

дифференциальных уравнений нечетного порядка с осциллирующими коэффициентами // Мат.

заметки. 2021. Т. 109. Вып. 6. C. 938-943.

Башкирский государственный педагогический

Поступила в редакцию 28.03.2022 г.

университет им. М. Акмуллы, г. Уфа,

После доработки 28.03.2022 г.

Башкирский государственный университет, г. Уфа

Принята к публикации 21.04.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№5

2022