ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.723-732

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.938

УПАКОВОЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ БАССЕЙНОВ,

ПОРОЖДЁННЫХ ИНВАРИАНТНЫМИ МЕРАМИ

НА ПРОСТРАНСТВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Рассматривается отображение левого сдвига на пространстве бесконечных сигналов X^N,

составленных из букв конечного алфавита X. Для каждого сигнала итерации сдвигов

порождают последовательность эмпирических мер на X^N и отвечающее этой последова-

тельности предельное множество. Это множество компактно, связно и состоит из инвари-

антных вероятностных мер. Всё фазовое пространство X^N разбивается на узкие бассейны,

состоящие из сигналов с одинаковыми предельными множествами для последовательности

эмпирических мер, и для каждого узкого бассейна вычисляется упаковочная размерность.

DOI: 10.31857/S0374064122060012, EDN: CBXHEW

Введение. Рассмотрим множество X = {1, . . . , r}. Ниже оно будет называться алфави-

том, а его элементы - буквами. Всякие последовательности букв (конечные и бесконечные)

будем называть сигналами. Совокупность конечных сигналов длины n естественно обозна-

чить как Xⁿ, а множество всех бесконечных сигналов как

X^N = {x = (x₁,x₂,...) : x_i ∈ X}.

Любую начальную часть сигнала будем называть его префиксом.

Фиксируем на X^N топологию декартова произведения, порождённую дискретной тополо-

гией на множестве X. По теореме Тихонова [1, приложение, § 7, с. 417] пространство X^N с

этой топологией компактно.

Определим на X^N отображение левого сдвига T :

T (x₁, x₂, x₃, . . .) = (x₂, x₃, x₄, . . .).

Пусть M(X^N) обозначает совокупность всех (борелевских) вероятностных мер на тополо-

гическом пространстве X^N, а M_T (X^N) - совокупность всех T -инвариантных вероятностных

мер на X^N (мера μ называется инвариантной, если для любого измеримого множества A

выполняется равенство μ(T-1A) = μ(A)). Очевидно, что оба множества M(X^N) и M_T (X^N)

выпуклы. В силу теоремы Алаоглу [1, гл. IX, § 59, с. 389] они компактны (в слабой топологии,

порождённой непрерывными функциями на X^N).

Для каждого бесконечного сигнала x ∈ X^N обозначим через δ_x единичную меру, сосредо-

точенную в точке x. Определим также последовательность эмпирических мер δ_x,n ∈ M(X^N)

по правилу

δ_x + δ_Tx + ... + δ_Tn-1_x

δ_x,n =

Пусть V (x) - множество всех предельных точек последовательности δ_x,n. В силу компакт-

ности M(X^N) это множество непусто и компактно. Ниже (см. леммы 1, 2) будет доказано,

что оно связно и содержится в M_T (X^N).

Каждое множество инвариантных мер W ⊂ M_T (X^N) порождает следующие подмножества

в пространстве X^N : бассейн B(W ), узкий бассейн NB(W ) и широкий бассейн WB(W ),

определяемые соответственно формулами

B(W ) = {x ∈ X^N : V (x) ⊂ W },

723

724

БАХТИН, САДОК

NB(W) = {x ∈ X^N : V (x) = W},

WB(W) = {x ∈ X^N : V (x)

^⋂W = ∅}.

Иначе говоря, B(W ) - это совокупность таких бесконечных сигналов x, для которых

множество предельных точек последовательности эмпирических мер δ_x,n содержится в W,

NB(W) - это совокупность таких бесконечных сигналов x, для которых множество предель-

ных точек последовательности δ_x,n совпадает с W, а WB(W ) - это совокупность таких бес-

конечных сигналов x, для которых последовательность δ_x,n имеет хотя бы одну предельную

точку в W. При этом очевидно, что

NB(W) ⊂ B(W) ⊂ WB(W) ⊂ X^N.

Из упомянутой выше компактности и связности V (x) следует, что узкий бассейн может

быть непуст только тогда, когда множество W непусто, компактно и связно. С другой сто-

роны, для любого непустого связного компакта W ⊂ M_T (X) порождённый им узкий бассейн

NB(W) действительно непуст (это будет доказано в п. 3, где будет построено некоторое непу-

стое подмножество D_∞ ⊂ NB(W )). Что касается бассейнов B(W ) и WB(W ), то они непусты

для любого W = ∅ (поскольку содержат узкие бассейны NB(μ) для всех μ ∈ W ).

Всякий бесконечный сигнал x однозначно определяет множество V (x). Поэтому узкие

бассейны, отвечающие разным множествам W, не пересекаются между собой. Таким образом,

все пространство бесконечных сигналов X^N оказывается разбито на узкие бассейны, порож-

дённые всевозможными связными компактами W ⊂ M_T (X). Однако бассейны двух других

типов могут иметь непустые пересечения.

Зафиксируем набор чисел θ = (θ(1), θ(2), . . . , θ(r)) ∈ (0, 1)^r (по одному числу θ(i) для

каждой буквы i ∈ X). Определим с его помощью метрику ρ на пространстве бесконечных

сигналов X^N следующим образом:

∏

ρ(x, y) =

θ(x_t), где n = inf{t : x_t = y_t} - 1

(1)

t=1

(здесь n - длина наибольшего общего префикса x и y).

Введём в рассмотрение функцию

∕(∑

)

S(μ, θ) = h(μ)

- μ(i)ln θ(i)

μ ∈ M_T(X^N),

i∈X

где h(μ) обозначает энтропию меры μ (определение см., например, в [2, гл. 2, с. 75]), а μ(i)

обозначает меру множества всех бесконечных сигналов, начинающихся с буквы i. Известно

[3, гл. 6, с. 133], что энтропия аффинна и полунепрерывна сверху (в слабой топологии) по

отношению к аргументу μ ∈ M_T (X^N), поэтому функция S(μ, θ) полунепрерывна сверху по

отношению к μ.

Целью данной статьи является доказательство следующих двух теорем об упаковочных

размерностях бассейнов.

Теорема 1. Пусть на пространстве X^N задана метрика (1). Тогда для любого непустого

связного компакта W ⊂ M_T (X^N) имеет место равенство

dim_P NB(W ) = sup S(μ, θ),

(2)

μ∈W

где dim_P обозначает упаковочную размерность.

Теорема 2. Для любого непустого подмножества W ⊂ M_T (X^N) справедливы равенства

dim_P B(W ) = sup S(μ, θ),

(3)

μ∈W

dim_P WB(W ) = dim_P X^N = sup S(μ, θ).

(4)

μ∈M_T (X^N)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

УПАКОВОЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ БАССЕЙНОВ

725

Замечание 1. В статье [4] аналогичные теоремы были доказаны в более простой ситу-

ации, когда эмпирические меры δ_x,n определяются не на фазовом пространстве X^N, а на

алфавите X, и, соответственно, множества V (x) и W содержатся в M(X). Разумеется, в

этом случае разбиение X^N на узкие бассейны оказывается грубее.

Работа имеет следующую структуру. В п. 1 определяются упаковочные размерности мно-

жеств, локальные размерности мер и формулируется теорема о связях между ними. В п. 2

доказываются топологические леммы и формулируется так называемая “информационная”

теорема, необходимые для доказательства теорем 1 и 2. В п. 3 конструируется модельное мно-

жество сигналов, содержащееся в узком бассейне. В п. 4 доказывается нижняя оценка для

упаковочных размерностей модельного множества и узкого бассейна с помощью локальных

размерностей мер. В последнем п. 5 доказывается верхняя оценка для упаковочной размерно-

сти узкого бассейна, из которой затем выводятся теоремы 1, 2.

1. Упаковочные размерности множеств и локальные размерности мер. Важней-

шей характеристикой фрактального множества является его дробная размерность. В настоя-

щий момент известно несколько различных типов дробных размерностей (см., например, [5]),

среди которых второй по популярности (после хаусдорфовой) является упаковочная размер-

ность. Напомним её определение из [5].

Упаковкой множества A в метрическом пространстве M называется любой конечный или

счётный набор шаров B(x_i, r_i) с центрами x_i ∈ A и радиусами r_i, для которых выполняется

условие ρ(x_i, x_j ) > r_i + r_j при i = j. Упаковку, состоящую из шаров радиуса не больше ε,

будем называть ε-упаковкой.

Для всякого s > 0 положим

}

{∑

C^sε(A) = sup

r^si : шары B(x_i,r_i) образуют ε-упаковку A

Очевидно, что величина C^sε(A) не возрастает при уменьшении ε. Поэтому существует предел

C^s(A) = lim

C^sε(A),

(5)

ε→0

который мы будем называть ёмкостью (размерности s) множества A.

Упаковочной мерой (размерности s) множества A называется число

}

{∑

P^s(A) = inf

C^s(A_i) : множества A_i образуют счётное покрытие A

(6)

а его упаковочная размерность определяется как

dim_P A = inf{s > 0 : P^s(A) = 0}.

Пусть на метрическом пространстве M задана борелевская мера μ. Функция

ln μ(B(x, r))

D_μ(x) = limsup

x∈M,

(7)

r→0+0

ln r

называется верхней локальной размерностью меры μ.

Следующая теорема является техническим инструментом, позволяющим вычислять упа-

ковочные размерности множеств с помощью локальных размерностей мер.

Теорема 3 [5, утверждение 2.3]. Если для подмножества A ⊂ M существует такая

конечная борелевская мера μ на M, что D_μ(x) ≤ s для всех точек x ∈ A, то тогда

dim_P A ≤ s. С другой стороны, если D_μ(x) ≥ s для всех x ∈ A и при этом внешняя мера

μ^∗(A) положительна, то в таком случае dim_P A ≥ s.

Замечание 2. Формально в монографии [5] теорема 3 доказана лишь для подмножеств A

евклидова пространства, однако на самом деле приведённое там доказательство годится для

любого метрического пространства.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

726

БАХТИН, САДОК

2. Топологические леммы и информационная теорема. Для функций f ∈ C(X^N) и

мер μ ∈ M(X^N) введём обозначение

∫

μ[f] = f dμ.

X^N

В частности, для эмпирической меры μ = δ_x,n будет выполняться

∑

δ_x[f] + δ_Tx[f] + ... + δ_Tn-1_x[f]

δ_x,n[f] =

f (Tⁱx).

(8)

i=0

Лемма 1. Пусть x ∈ X^N и последовательность эмпирических мер δ_x,n имеет предель-

ную точку μ (в слабой топологии). Тогда μ ∈ M_T (X^N).

Доказательство. Для f ∈ C(X^N) в силу (8) справедливы равенства

∑

f (x) - f(Tⁿx)

δ_x,n[f] - δ_x,n[f ◦ T] =

f (Tⁱx) -

f (Ti+1x) =

i=0

Из них в пределе получается

μ[f] - μ[f ◦ T ] = 0, f ∈ C(X^N).

Последнее тождество равносильно инвариантности меры μ. Лемма доказана.

Из этой леммы следует, что множество V (x), состоящее из всех предельных точек после-

довательности δ_x,n, содержится в M_T (X^N).

Лемма 2. Для всякого x ∈ X^N множество V (x) связно.

Доказательство. Заметим, что для любой функции f ∈ C(X^N)

∑

δ_x,n[f] - δx,n+1[f] =

f (Tⁱx) -

f (Tⁱx) =

f (Tⁱx) -

f (Tⁿx),

n+1

n(n + 1)

n+1

i=0

откуда следует, что

2∥f∥

|δ_x,n[f] - δx,n+1[f]| ≤

(9)

n+1

Очевидно, что множество V (x) замкнуто. Предположим, что оно не связно. Тогда его

можно представить как объединение двух непустых непересекающихся замкнутых подмно-

жеств: V (x) = V₀

^⊔V₁. По лемме Урысона существует непрерывная функция F на M(X^N)

со значениями в отрезке [0, 1], равная тождественному нулю на V₀ и тождественной единице

на V₁.

Из (9) и компактности множества M(X^N) вытекает, что

F (δ_x,n) - F (δx,n+1) → 0 при n → ∞.

(10)

Выберем произвольные меры μ₀ ∈ V₀ и μ₁ ∈ V₁. По определению множества V (x) они

являются предельными точками последовательности δ_x,n. Следовательно, значения F (μ₀) =

= 0 и F(μ₁) = 1 будут предельными для последовательности F(δ_x,n). Из этого факта и

(10) вытекает, что любое значение между нулём и единицей, в том числе 1/2, тоже будет

предельным для F (δ_x,n). Поэтому у последовательности δ_x,n существует такая предельная

точка μ, для которой F (μ) = 1/2. Поскольку μ ∈ V (x), это противоречит определению

функции F. Значит, множество V (x) связно. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть W - непустое компактное и связное подмножество метрического

пространства (M,ρ) и функция h : M → R полунепрерывна сверху. Тогда существует по-

следовательность точек x_i ∈ W, обладающая следующими свойствами:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

УПАКОВОЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ БАССЕЙНОВ

727

а) множество её предельных точек совпадает с W ;

б) ρ(x_i,xi+1) → 0;

в) для любой точки x^∗ ∈ W существует такая подпоследовательность xik , которая

сходится к x^∗ и при этом h(xik ) ≥ h(x^∗).

Доказательство. Фиксируем сходящуюся к нулю последовательность положительных чи-

сел ε_n. Для каждого n построим конечную ε_n/2-сеть в W, которую обозначим S_n. Для

каждой точки z ∈ S_n найдём точку максимума функции h на множестве B(z, ε_n/2)

^⋂ W.

Обозначим её x(z). Очевидно, множество S^′n = {x(z) : z ∈ S_n} образует ε_n-сеть в W. В силу

леммы 4 из статьи [6] существует такая замкнутая 2ε_n-цепь (т.е. конечная последовательность

точек, в которой первая точка совпадает с последней и любые две соседние точки лежат на

расстоянии меньше 2ε_n), которая содержит все точки S^′n и не содержит никаких других. Для

каждой точки из S^′n найдётся точка из S′n+1 на расстоянии меньшем, чем εn+1. Поэтому все

построенные замкнутые цепи можно разомкнуть и объединить в одну бесконечную цепь {x_i}

(в порядке возрастания n) таким образом, чтобы эта бесконечная цепь содержала каждое

из множеств S^′n и удовлетворяла условию ρ(x_i, xi+1) → 0. По построению множество всех

предельных точек последовательности {x_i} будет совпадать с W.

Пусть x^∗ ∈ W. По построению для каждого n существует точка z_n ∈ S_n такая, что

x^∗ ∈ B(z_n,ε_n/2). Поскольку x(z_n) является точкой максимума функции h на множестве

B(z_n, ε_n/2)

^⋂ W, получаем, что h(x(z_n)) ≥ h(x^∗) и одновременно ρ(x(z_n), x^∗) < ε_n. Последо-

вательность {x(z_n)} удовлетворяет п. в). Лемма доказана.

Для всякого (конечного или бесконечного) сигнала x = (x₁, x₂, . . .) и натурального числа

n, не превосходящего длины x, определим цилиндр Z_n(x) как множество всех бесконечных

сигналов y, имеющих тот же префикс длины n, что и x:

Z_n(x) = {y = (y₁,y₂,...) ∈ X^N : y₁ = x₁, ... , y_n = x_n}.

(11)

Ниже нам потребуется следующая “информационная” теорема.

Теорема 4 [7]. Для любой меры μ ∈ M_T (X^N) и любого ε > 0 существует слабая окрест-

ность O(μ) ⊂ M(X^N), удовлетворяющая оценке

card {x ∈ Xⁿ : ∃y ∈ Z_n(x) такое, что δ_y,n ∈ O(μ)} < en(h(μ)+ε), n → ∞.

(12)

С другой стороны, для любой меры μ ∈ M_T (X^N), любого ε > 0 и любой слабой окрестности

O(μ) ⊂ M(X^N) справедлива оценка

card {x ∈ Xⁿ : ∀y ∈ Z_n(x) δ_y,n ∈ O(μ)} > en(h(μ)-ε), n → ∞.

(13)

3. Модельное множество сигналов. Пусть W - непустой связный компакт в M_T (X^N) и

NB(W) ⊂ X^N - соответствующий узкий бассейн. Далее описывается конструкция модельного

множества D_∞ ⊂ NB(W ), чья упаковочная размерность может быть легко оценена снизу при

помощи теоремы 3.

Известно (см., например, [8, гл. IV, § 4, теорема 4]), что слабая топология на M(X^N) мет-

ризуема посредством метрики

∑

ρ(μ, ν) =

|μ[f_i] - ν[f_i]|,

i=1

где {f_i} образует счётное всюду плотное множество на единичной сфере в C(X^N). Фиксируем

такую метрику. Очевидно, она ограничена на M(X^N).

Выберем для множества W последовательность точек μ_i ∈ W в соответствии с леммой 3

(в которой в качестве функции h(μ) используется энтропия). Зададим последовательность

положительных чисел ε_i, сходящуюся к нулю. Вторая часть теоремы 4 (оценка (13)) гаранти-

рует, что для каждой меры μ_i, числа ε_i > 0 и всякого достаточно большого n_i ∈ N существует

такое подмножество A_i ⊂ Xni , что

card A_i > eni(h(μi)-εi),

(14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

728

БАХТИН, САДОК

и одновременно для любого x ∈ X^N с префиксом из A_i выполняются неравенства

ρ(δx,ni , μ_i) < ε_i,

(15)

∑

|δx,ni (j) - μ_i(j)| < ε_i.

(16)

j∈X

Выберем последовательность n_i настолько быстро растущей, чтобы выполнялось условие

ni+1 ≥ in_i.

(17)

После этого определим множества

(18)

D_i = An21 × A23 × ··· × Aii+1 ⊂ Xn1n²+n2n³+...+nini+1 ,

(19)

D_∞ = An21 × A23 × ··· ⊂ X^N.

Очевидно, что любой сигнал из D_∞ имеет префиксы в каждом из D_i.

Лемма 4. Если w ∈ D_∞, то V (w) = W.

Доказательство. Пусть w ∈ D_∞ и w^′ - префикс w произвольной длины n. В силу

определений множеств D_i и D_∞ этот префикс представляется в виде конкатенации

w^′ = xyzu,

в которой

x ∈ Di-1, y ∈ Ani+1i, z ∈ Aⁱ+1 (k < ni+2), u ∈ X^l (l < ni+1),

а длины сигналов x, y, z, u соответственно равны

|x| = n₁n₂ + . . . + ni-1n_i,

|y| = n_ini+1,

|z| = ni+1k,

|u| = l < ni+1.

(20)

Поэтому эмпирическую меру δ_w,n можно записать следующим образом:

∑

|x|-1∑

|y|-1∑

|z|-1∑

|u|-1∑

δ_w,n =

δ_Tiw =

δ_Tiw +

δ_T|x|+i_w +

δ_T|xy|+i_w +

δ_T|xyz|+i_w,

i=0

откуда вытекает, что

|x|

|y|

|z|

δ_w,n - μ_i =

(δ_w,|x| - μ_i) +

(δ_T |x|_w,|y| - μi) +

(δ_T |xy|_w,|z| - μi+1) +

|z|

|u|

(μi+1 - μ_i) +

(δ_T |xyz|_w,|u| - μi)

и, следовательно, выполняется неравенство

|x|

ρ(δ_w,n, μ_i) ≤

ρ(δ_w,|x|, μ_i) + ρ(δ_T |x|_w,|y|, μi) + ρ(δ_T |xy|_w,|z|, μi+1) +

|y|

|u|

+ ρ(μi+1, μ_i) +

ρ(δ_T |xyz|_w,|u|, μi).

(21)

|y|

Заметим, что в силу (15), (20) и (17) имеют место оценки

ρ(δ_T |x|_w,|y|, μi) < εi, ρ(δ_T |xy|_w,|z|, μi+1) < εi+1,

|u|

≤

|y|

n_i

|x|

n₁n₂ + ... + ni-1n_i

(i - 1)ni-1n_i

n_i

≤

(22)

|y|

n_ini+1

ni+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

УПАКОВОЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ БАССЕЙНОВ

729

и, кроме того, ρ(μi+1, μ_i) → 0 (в соответствии с леммой 3). Поэтому все слагаемые в правой

части (21), а вместе с ними и величина ρ(δ_w,n, μ_i) (в которой i по построению монотонно

зависит от n) стремятся к нулю при n → ∞. Значит, последовательность δ_w,n имеет те же

предельные точки, что и последовательность μ_i, а множество предельных точек последова-

тельности μ_i по лемме 3 совпадает с множеством W. Лемма доказана.

Из леммы 4 вытекает включение D_∞ ⊂ NB(W ). Значит, бассейн NB(W ) непуст.

4. Нижняя оценка размерности узкого бассейна. Мы будем использовать модельное

множество D_∞, определённое выше с помощью последовательности мер μ_i ∈ W, удовлетво-

ряющих лемме 3, и формул (14)-(19).

Положим

C = max|lnθ(j)|.

(23)

j∈X

Обозначим через |Z_n(x)| диаметр цилиндра Z_n(x) из (11) в метрике (1). Тогда

∏

|Z_n(x)| =

θ(x_i),

i=1

∑

ln |Z_n(x)| =

ln θ(x_i) = n

δ_x,n(j)ln θ(j),

(24)

i=1

j∈X



∑



∑



n |Z_n(x)| - n

μ(j) ln θ(j)

|δ_x,n(j) - μ(j)| · max | ln θ(j)|.

(25)

l

≤

j∈X

Из (25), (23) и (16) следует, что для любого x ∈ X^N с префиксом из A_i



∑



∑



n |Zni (x)| - n_i

μ_i(j)ln θ(j)

n_i

|δx,ni (j) - μ_i(j)| · max| ln θ(j)| ≤ niεiC.

(26)

l

≤

j∈X

Пусть ν_i - вероятностная мера на множестве A_i, для которой все элементы x ∈ A_i имеют

равные вероятности ν_i(x) = (card A_i)-1. Продолжим её нулём на Xni \ A_i. Тогда из (14)

следует, что для всякого x ∈ A_i справедливо неравенство

ln ν_i(x) < -n_ih(μ_i) + n_iε_i.

(27)

Затем определим на пространстве X^N = Xn1n² × Xn2n³ × Xn3n⁴ × . . . вероятностную меру

ν = νn21× ν23 × ν34 × ...По построениюν(D∞) = 1иν(XN \ D∞) = 0.

Нетрудно видеть, что в пространстве сигналов X^N всякий шар B(x, r), где r < 1, совпа-

дает с цилиндром Z_n(x), где n определяется из условий |Z_n(x)| ≤ r < |Zn-1(x)|. Поэтому

величину D_ν (x) из (7) можно определять равносильной формулой

ln ν(Z_n(x))

D_ν(x) = lim sup

n→∞ ln |Zn(x)|

Лемма 5. Для всех w ∈ D_∞ справедлива оценка

D_ν(w) ≥ sup S(μ,θ).

(28)

μ∈W

Доказательство. Поскольку функция S(μ, θ) полунепрерывна сверху по переменной μ,

она достигает максимума на компакте W в некоторой точке μ^∗ ∈ W.

В силу леммы 3 существует такое бесконечное подмножество I ⊂ N, что для всех i ∈ I

выполняется неравенство h(μ_i) ≥ h(μ^∗) и при этом μ_i → μ^∗ при i ∈ I.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

730

БАХТИН, САДОК

Фиксируем w ∈ D_∞ и индекс i ∈ I. У w есть префикс w^′ ∈ D_i. Он представляется в

как

виде w^′ = xy, где x ∈ Di-1 и y ∈ Ani+1i. При этом справедлива оценка |x|/|y| ≤ 1/i

последняя из оценок (22).

Использовав определение меры ν и неравенство (27), получим оценку

(29)

ln ν(Z_|w′_|(w^′)) ≤ ln νni+1i(Z|y|(y)) ≤ ni+1(-nih(μi) + niεi) = -|y|h(μi) + |y|εi.

Аналогично, из определения диаметра цилиндра и неравенства (26) получим

∑

ln |Z_|w′_|(w^′)| = ln |Z_|x|(x)| + ln |Z_|y|(y)| ≥ -|x|C + |y|

μ_i(j)ln θ(j) - |y|ε_iC.

(30)

j∈X

Наконец, деление (29) на (30) с учётом последней из оценок в (22) даёт неравенство

∕(

)

ln ν(Z_|w′_|(w^′))

∑

≥ (-h(μ^∗) + ε_i)

+ μ_i(j)ln θ(j) - ε_iC

ln |Z_|w′_|

(w^′)|

j∈X

Его правая часть при возрастании i ∈ I сходится к

)

∕(∑

−h(μ^∗)

μ^∗(j)ln θ(j)

= S(μ^∗,θ).

j∈X

Тем самым лемма доказана.

Очевидно, что из леммы 5 и теоремы 3 вытекает оценка

dim_P D_∞ ≥ sup S(μ, θ),

μ∈W

а поскольку модельное множество D_∞ содержится в узком бассейне NB(W ),

dim_P NB(W ) ≥ sup S(μ, θ).

(31)

μ∈W

5. Верхняя оценка размерности узкого бассейна. Сейчас для любого непустого под-

множества W ⊂ M_T (X^N) докажем, что

dim_P NB(W ) ≤ dim_P B(W ) ≤ sup S(μ, θ).

(32)

μ∈W

Тем самым будет доказана теорема 1, поскольку равенство (2) следует из (31), (32).

Пусть заданы мера μ ∈ M_T (X^N) и её окрестность O(μ) ⊂ M(X^N). Определим последова-

тельность множеств

Xⁿ(O(μ)) = {x = (x₁,... ,x_n) ∈ Xⁿ : ∃y ∈ Z_n(x) δ_y,n ∈ O(μ)}, n ∈ N.

(33)

В силу теоремы 4 для любой меры μ ∈ M_T (X^N) и любого ε > 0 существуют такие слабая

окрестность O(μ) ⊂ M(X^N) и число N(μ, ε), для которых выполняется оценка

card Xⁿ(O(μ)) < en(h(μ)+ε) при всех n ≥ N(μ, ε).

(34)

Положим

c = min|lnθ(i)|.

(35)

i∈X

Фиксируем произвольное число s, удовлетворяющее условию

s > sup S(μ,θ),

μ∈W

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

УПАКОВОЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ БАССЕЙНОВ

731

и выберем такое малое ε > 0, при котором справедливо неравенство

3ε

sup

S(μ, θ) < s -

(36)

μ∈W

Далее будем рассматривать меры μ, лежащие в замыкании W множества W. Для каждой

из них выберем такую малую окрестность O(μ), чтобы для неё выполнялось условие (34) и

для всех мер ν ∈ O(μ) было бы

∕(∑

)

∕(∑

)

h(μ)

- ν(i)lnθ(i)

< h(μ)

- μ(i)ln θ(i)

= S(μ,θ) +

(37)

i∈X

Тогда из (35)-(37) вытекает, что

∕(∑

)

∕(∑

2ε

h(μ)

ν(i) ln θ(i)

<s-

≤ s + 2ε

ν(i) ln θ(i)

i∈X

и после умножения на отрицательный знаменатель получим

∑

ν(i) ln θ(i) < -h(μ) - 2ε для всех ν ∈ O(μ).

(38)

i∈X

Рассмотрим любой префикс x ∈ Xⁿ(O(μ)). По определению множества Xⁿ(O(μ)) суще-

ствует такое y ∈ Z_n(x), для которого δ_y,n ∈ O(μ). Из (24) и (38) следует, что

∑

s ln |Z_n(x)| = s ln |Z_n(y)| = sn

δ_y,n(i)ln θ(i) < -n(h(μ) + 2ε),

i∈X

откуда получается оценка

|Z_n(x)|^s < e-n(h(μ)+2ε).

(39)

Таким образом, для каждой меры μ ∈ W определена окрестность O(μ), для которой

одновременно выполняются условия (34) и (39). Выберем конечное покрытие компакта W

окрестностями указанного вида. Обозначим их через O(μ₁), . . . , O(μ_l).

Рассмотрим последовательность множеств

GN = {y ∈ B(W ) : δy,n ∈ O(μ1)

^⋃ ... ^⋃O(μ_l) при всех n ≥ N}.

Очевидно, что чем больше N, тем больше G_N . Из определения бассейна следует, что для

всякого сигнала y ∈ B(W ) расстояние от δ_y,n до W стремится к нулю при n → ∞, поэтому

множества G_N покрывают бассейн B(W ).

Возьмём любые натуральные числа m, N, удовлетворяющие условиям

m ≥ N ≥ max

N (μ_j , ε),

1≤j≤l

где N(μ_j , ε) - константы из (34), отвечающие мерам μ_j. Рассмотрим произвольную упаковку

множества G_N непересекающимися цилиндрами вида Zni (y_i), где y_i ∈ G_N и n_i ≥ m. Из

определения G_N видно, что δyi,n_i ∈ O(μ1)

^⋃ ...^⋃O(μ_l). При каждом n ≥ N(μ_j,ε) число

различных цилиндров Z_n(x), для которых существует такое y ∈ Z_n(x), что δ_y,n ∈ O(μ_j),

в силу (33) совпадает с числом элементов в множестве Xⁿ(O(μ_j )), а последнее в силу (34)

не превосходит en(h(μj )+ε). Кроме того, для каждого такого цилиндра Z_n(x) выполняется

неравенство (39). Объединив эти оценки, получим

∑

|Zni (y_i)|^s ≤

en(h(μj )+ε)e-n(h(μj )+2ε) =

n≥m j=1

∑

le^-mε

e^-nε =

→0

при m → ∞.

(40)

1-e^-ε

n≥m j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

732

БАХТИН, САДОК

Как уже отмечалось выше, всякий шар B(y, r) в пространстве X^N совпадает с некоторым

цилиндром Z_n(y), где |Zn(y)| ≤ r < |Zn-1(y)|. Поэтому всякая упаковка множества GN

шарами B(y_i, r_i), где y_i ∈ G_N , на самом деле состоит из непересекающихся цилиндров вида

Zni (y_i), причём

|Zni (y_i)|

|Zni (y_i)| ≤ r_i <

(41)

min θ(j)

Далее вычислим величины C^s(G_N ) и P^s(B(W )) по формулам (5), (6). Из (40) и (41)

вытекает, что C^s(G_N ) = 0. Поскольку множества G_N покрывают B(W ), отсюда следует

равенство P^s(B(W )) = 0. Значит, dim_P B(W ) ≤ s, откуда в силу произвольности числа s >

> sup S(μ,θ) и включения NB(W) ⊂ B(W) получаем заявленные в начале пункта нера-

μ∈W

венства

dim_P NB(W ) ≤ dim_P B(W ) ≤ sup S(μ, θ).

(42)

μ∈W

Оценки (31) и (42) доказывают теорему 1.

Осталось доказать теорему 2. Очевидно, что для каждого одноточечного множества W =

= {μ} бассейн B(μ) совпадает с узким бассейном NB(μ). В силу теоремы 1 для них выпол-

няются равенства

dim_P B(μ) = dim_P NB(μ) = S(μ, θ).

Поэтому для любого непустого множества W ⊂ M_T (X^N) имеем

dim_P B(W ) ≥ sup

dim_P B(μ) = sup S(μ, θ).

(43)

μ∈W

Объединив (42) и (43), получим равенство (3).

Наконец, формула (4) является следствием из очевидных включений

NB(M_T (X^N)) ⊂ WB(W) ⊂ X^N = B(M_T (X^N))

и вытекающих из (2), (3) равенств

dim_P NB(M_T (X^N)) = dim_P B(M_T (X^N)) = sup S(μ, θ).

μ∈M_T (X^N)

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. 2-е изд. Минск,

2006.

2. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М., 1969.

3. Рюэль Д. Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной

статистической механики. М.; Ижевск, 2002.

4. Bakhtin V.I., Sadok B. Packing dimensions of basins generated by distributions on a finite alphabet

// Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2021. № 2. С. 6-16.

5. Falconer K. Techniques in Fractal Geometry. Chichester; New York, 1997.

6. Бахтин В.И., Садок Б.М. Хаусдорфовы размерности узких бассейнов в пространстве последова-

тельностей // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2019. Т. 27. № 1-2. С. 3-12.

7. Бахтин В.И. Информационный смысл энтропии неэргодических мер // Дифференц. уравнения.

2019. Т. 55. № 3. С. 304-312.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 20.03.2022 г.

г. Минск,

После доработки 20.03.2022 г.

Люблинский католический университет

Принята к публикации 25.05.2022 г.

Иоанна Павла II, Польша

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022