ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.733-746
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.928.2
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
ПРИ НАЛИЧИИ “СЛАБОЙ” ТОЧКИ ПОВОРОТА
ПЕРВОГО ПОРЯДКА У ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ
© 2022 г. А. Г. Елисеев, П. В. Кириченко
Методом регуляризации С.А. Ломова построено асимптотическое решение линейной зада-
чи Коши при наличии “слабой” точки поворота у предельного оператора. Записаны в явном
виде основные сингулярности данной задачи. Приведены оценки по ε, характеризующие
поведение сингулярностей при ε → 0. Доказана асимптотическая сходимость регуляризо-
ванных рядов. Результаты работы проиллюстрированы на примере.
DOI: 10.31857/S0374064122060024, EDN: CCGRFM
Светлой памяти моего дорогого учителя
Сергея Александровича Ломова (12.10.1922-12.06.1993)
в связи со 100-летием со дня его рождения
посвящаю эту работу
А. Г. Елисеев
Введение. Сингулярно возмущённые дифференциальные уравнения с нестабильным спек-
тром предельного оператора всегда вызывали интерес как у физиков, так и у математиков.
Особенно трудными являются задачи с точечной нестабильностью, а именно наличием точек
поворота. Первые задачи с точками поворота возникли, по-видимому, в квантовой механике.
Первым методом их решения был метод ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) - самый из-
вестный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая
функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем
амплитуда или фаза медленно изменяются. Он назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А.
Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили его в 1926 г. независимо друг от друга. В 1923 г.
математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрё-
дингера. Методы решения задач со спектральными особенностями развиваются и в настоящее
время. Отметим школу В.П. Маслова, школу А.Б. Васильевой-В.Ф. Бутузова-Н.Н. Нефедова
и школу С.А. Ломова. Обзор всех методов не является целью данной статьи. C точки зрения
метода регуляризации точки поворота делятся на три группы.
1. Простая точка поворота - собственные значения изолированы друг от друга, и одно
собственное значение в отдельных точках t обращается в нуль.
2. Слабая точка поворота - хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных
точках t, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до
точек пересечения. Базис из собственных векторов остаётся гладким по t.
3. Сильная точка поворота - хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных
точках t, но при этом предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову
в точках пересечения. Базис из собственных векторов в точках пересечения теряет гладкость
по t.
Классические точки поворота относятся к третьему типу.
В данной работе методом регуляризации С.А. Ломова (см. монографию [1, гл. 1, с. 38-
89]) строится регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущённой неодно-
родной задачи Коши на всём отрезке [0, T ] при наличии спектральной особенности в виде
733
734
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
“слабой” точки поворота у предельного оператора. Отметим статью [2], посвящённую постро-
ению асимптотики решений сингулярно возмущённых задач Коши для интегродифференци-
альных уравнений при наличии спектральных особенностей у предельного оператора. Следует
отметить также работу [3], в которой рассмотрены задачи в случае пересечения корней вырож-
денного уравнения (этот случай в указанной статье называется случаем обмена устойчивостя-
ми). Исследование данной проблемы основано на асимптотическом методе дифференциальных
неравенств. Точка ε = 0 для сингулярно возмущённой задачи Коши является особой в том
смысле, что классические теоремы существования решения задачи Коши не имеют места в
этой точке. Поэтому в решении сингулярно возмущённых задач возникают существенно осо-
бые сингулярности, описывающие нерегулярную зависимость решения от ε. Описание этих
сингулярностей и представляет основную проблему метода регуляризации. При выполнении
условий стабильности спектра существенно особые сингулярности описываются с помощью
экспонент вида exp(ϕ(t)/ε), где ϕ(t) - гладкая, в общем случае, комплексная функция дей-
ствительного переменного t. Для решений линейных однородных уравнений такие сингуляр-
ности были выделены ещё Лиувиллем (см. [4]).
Если же условия стабильности нарушены, например, точки спектра пересекаются в одной
или нескольких точках t, то описание сложнее. В работе [5] приведены сингулярности в случае
“простой” точки поворота, когда отдельная точка спектра оператора A(t) имеет вид
λ(t) = tk0 (t - t1)k1 · · · (t - tm)km a(t), a(t) = 0, k0 + k1 + . . . + km = n.
В статье [6] рассмотрена рациональная “простая” точка поворота, а иррациональная “прос-
тая” точка поворота изучена в работе [7]. Настоящая работа развивает идеи публикации [8], в
которой рассматривается самый элементарный случай спектральной особенности в виде “сла-
бой” точки поворота.
Существенно особые сингулярности с математической точки зрения - это специальные
функции, описывающие нерегулярную зависимость решения от ε при ε → 0, а с точки зре-
ния гидродинамики - функции пограничного слоя, порождаемого спектральной особенностью
точки λ(t).
1. Постановка задачи. Описание сингулярностей. Рассмотрим задачу Коши
εu = A(t)u + h(t), u(0,ε) = u0,
(1)
где выполнены следующие условия:
1) h(t) ∈ C∞([0, T ], Rn);
2) A(t) ∈ C∞([0, T ], L(Rn, Rn));
3) для собственных значений предельного оператора A(t):
a) для всех t ∈ (0, T ] λ1(t) = λ2(t), λi(t) = 0, i = 1, 2;
б) условие “слабой” точки поворота первого порядка при t = 0:
λ2(t) - λ1(t) = ta(t), a(t) = 0;
в) геометрическая кратность собственных значений равна алгебраической для всех t ∈
∈ [0, T ];
4) Re λi(t) ≤ 0, i = 1, 2, для t ∈ [0, T ];
5) A(t) = λ1(t)P1(t) + λ2(t)P2(t), dim Im P1(t) = m, dim Im P2(t) = k, m + k = n, здесь
dim Im Pi(t), i = 1, 2, - размерность образов проектирующих операторов на собственные под-
пространства.
В рассматриваемой задаче (1) характер особенности сводится к наличию “слабой” точки по-
ворота (условие 3), существенно особые сингулярности в этом случае можно найти из решения
следующей задачи Коши:
(
)
(
)
(
)
λ1(t)
0
0
1
1
εJ˙(t) =
J+ε
J, J(0) =
(2)
0
λ2(t)
1
0
1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
735
Решив (2) методом последовательных приближений, мы приходим к рядам для функций J(t),
членами которых являются “k-моментные” интегралы
∫
t
∫
s1
∫
σ1,k
=eϕ1(t)/ε eΔϕ(s1)/ε e-Δϕ(s2)/ε···
e(-1)k+1Δϕ(sk)/ε
dsk · · · ds1,
0
0
0
k интегралов
∫
t
∫
s1
∫
σ2,k
=eϕ2(t)/ε e-Δϕ(s1)/ε eΔϕ(s2)/ε···
e(-1)kΔϕ(sk)/ε
dsk · · · ds1,
0
0
0
k интегралов
∫t
где ϕi(t) =
λi(s)ds, i = 1,2, а Δϕ(t) = ϕ2(t) - ϕ1(t).
0
Несложно установить, что σi,k удовлетворяют условиям
2,k = λ2(t)σ2,k + εσ1,k-1,
σ1,k(0) = 0, σ2,k(0) = 0, k ≥ 1.
(3)
Именно эти интегралы представляют собой многообразие функций, необходимое для регуляри-
зации задачи (1). Вместо искомого решения u(t, ε) задачи (1) будем изучать вектор-функцию
z(t, σ, ε) такую, что её сужение совпадает с искомым решением:
z(t, σ, ε)|σ=σs,k (t,ε) = u(t, ε), s = 1, 2, k = 0, ∞.
С учётом (1), (3) и формулы сложного дифференцирования
)
∑∑
dz
(λs
∂z
= Ż+
σs,k(t,ε) + σ3-s,k-1(t,ε)
dt
ε
∂σs,k
s=1 k=0
можно записать задачу для расширенной функции z(t, σ, ε) следующим образом:
∑∑
∂z
A(t)z -
(λsσs,k - εσ3-s,k-1)
= εŻ - h(t), z(0,0,ε) = u0.
(4)
∂σ
s,k
s=1 k=0
Будем полагать, что если слагаемое содержит в индексе значение k - 1 < 0, то это слагаемое
равно нулю.
Для решения задачи (4) введём пространство безрезонансных решений
⊕⊕
Ê=
E
⊗ {σs,k}⊕ E.
s=1 k=0
Элемент z ∈Ê имеет вид
∑∑
z=
zs,k
⊗ {σs,k} + w,
s=1 k=0
где zs,k, w ∈ E. Здесь
⊕ - символ прямой суммы линейных пространств,⊗ - символ тен-
зорного произведения.
Введём операторы, порождённые задачей (4):
{
⊕⊕
⊗
∂
L0 =
(A(t) - λs(t))
σs,k
}⊕A(t),
∂σs,k
s=1 k=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
736
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
{
}
⊕⊕
⊗
∂
L1 =
I
σ3-s,k
,
I - тождественный оператор,
∂σ
s,k
s=1 k=0
Gz = z(0, 0, ε).
Действия операторов запишутся в виде
∑∑
L0z(t) =
(A(t) - λs(t))zs,k(t)
⊗ {σs,k} + A(t)w(t),
s=1 k=0
∑∑
L1z(t) =
z3-s,k+1(t)
⊗ {σs,k},
s=1 k=0
Gz = z(0,0,ε).
(5)
Кроме того, введём спектральные проекторы
{
}
{
}
⊗
∂
⊗
∂
Pk,s,p(t) = Pk(t)
σs,p
,
πk,s,p(t) = Pk(t)〈δ(t),Pk(t)·〉
σs,p
,
∂σs,p
∂σs,p
∑∑
∑∑
P0(t) =
Ps,s,p(t),
π0(t) =
π3-s,s,p(t).
(6)
s=1 p=0
s=1 p=0
Здесь в формуле определения проектора πk,s,p(t) вместо точки ставится элемент, на который
действует проектор, а
P0(t) - оператор, проектирующий на ядро L0.
Действие проекторов на элемент z ∈Ê запишется в виде
а)
Pk,s,p(t)z(t) = Pk(t)zs,p(t)
⊗σs,p,
б)
Pk,s,p(t)L0z(t) = (λk(t) - λs(t))Pk(t)zs,p(t)
⊗σs,p,
в) πk,s,p(t)z(t) = Pk(0)zs,p(0)
⊗σs,p.
Использовав операторы (5), (6), можно записать задачу (4) в пространстве
Ê следующим
образом:
L0z = εL1z + ε˙z - h(t), Gz = u0.
(7)
Задача (7) является регулярной по ε, поэтому её решение будем определять в виде регу-
лярного ряда по степеням ε, т.е. в виде
∑
z= εkzˆk.
(8)
k=0
Подставив ряд (8) в задачу (7), получим следующую серию итерационных задач:
L0
z0 = -h(t), Gzˆ0 = u0,
L0zˆk = L1zk-1 +˙zk-1, k = 1,∞,
zk = 0.
(9)
2. Разрешимость итерационных задач. Для того чтобы решить итерационные зада-
чи (9), сформулируем теорему разрешимости уравнений вида L0(t)z =ĥ(t) в пространстве
E.
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть в пространстве
Ê имеется уравнение
L0z =ĥ(t)
(10)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
737
и выполнены условия 1)-5) задачи (1). Уравнение (10) разрешимо в
Ê тогда и только тогда,
когда справедливы условия
1)
P0(t)ĥ(t) = 0 для всех t ∈ [0,T];
2)
π0(t)ĥ(t) = 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть уравнение (10) разрешимо. Подействуем на
него оператором
P0(t). Так как
P0(t)L0(t) = 0, то и
P0(t)ĥ(t) = 0. Отсюда следует, что
∑∑
ĥ(t) =
P3-s(t)hs,p(t)
⊗ {σs,p} + h0(t).
s=1 p=0
Подействуем оператором π0. Тогда будем иметь
π0(t)L0z = π0(t)ĥ(t).
Так как
∑∑
π0(t)L0z =
(λ3-s(0) - λs(0))(P3-s(0)zs,p(0))
⊗ {σs,p} = 0,
s=1 p=0
то
∑∑
π0(t)ĥ(t) =
(P3-s(0)hs,p(0))
⊗ {σs,p} = 0.
s=1 p=0
Достаточность очевидна.
В результате получим решение
∑∑
z(t)
P0(t)z(t) +
(A(t) - λs(t))-1P3-s(t)hs,p(t)
⊗ {σs,p} + A-1(t)h0(t).
s=1 p=0
Здесь
P0(t)z(t) - произвольный вектор из ядра оператора L0(t). Теорема доказана.
Ê
Теорема 2. Пусть дана задача в пространстве
L0z = 0, Gz = 0
(11)
и выполнены условия теоремы 1. Тогда при выполнении равенств
P0(t)(L1z
z) = 0,
π0(t)(L1z
z) = 0
решение задачи (11) единственно и равно тождественно нулю.
Доказательство. Решение уравнения системы (11) запишется в виде
∑∑
z0 =
Ps(t)zs,p(t)
⊗ {σs,p}.
(12)
s=1 p=0
Вычислим
∑∑[d
L1
z0
z0 =
(Ps(t)zs,p(t)) + P3-s(t)z3-s,p+1
]⊗σs,p,
dt
s=1 p=0
здесь Ps(t)zs,p(t) - произвольный собственный вектор оператора A(t). Подставив функцию
(12) в начальное условие, с учётом σs,p(0, ε) = 0, p ≥ 1, будем иметь
Ps(0)zs,0(0) = 0, s = 1,2.
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
738
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
Так как
P0(t)(L1z(t)
z(t)) = 0, то отсюда получим серию задач Коши
⎧
⎨d
(Ps(t)zs,0(t)) =
˙
P
s(t)(Ps(t)zs,0(t)),
p=0:
dt
⎩
Ps(0)zs,0(0) = 0, s = 1,2,
⎧
⎨d
(Ps(t)zs,p(t)) =
˙
P
s(t)(Ps(t)zs,p(t)),
p≥1:
dt
(13)
⎩
Ps(0)zs,p(0) = ? (на данный момент не определено).
Для решения возникающих задач Коши введём разрешающие операторы
d
˙
Us(t,τ) =
P
s(t)Us(t, τ), Us(t, t) = I, s = 1, 2.
dt
При p = 0 решение будет равно Ps(t)zs,0(t) = Us(t, 0)Ps(0)zs,0(0) ≡ 0. Чтобы определить
начальные условия для задач Коши (13) при p ≥ 1, вычислим π0(t)(L1 z+˙z) = 0. В результате
будем иметь
)
(d
(d)
Ps(0)
(Ps(t)zs,p+1(t))|t=0 = Ps(0)
(P˙s(t)P3-s(t)z3-s,p(t))|t=0, p ≥ 0.
(14)
dt
dt
Из системы (14) получим начальные условия для остальных задач Коши:
p = 0, s = 1,2, Ps(0)zs,1(0) =
˙
P
s(0)P3-s(0)z3-s,0(0) = 0,
p = 1, s = 1,2, Ps(t)zs,1(t) = Us(t,0)Ps(0)zs,1(0) ≡ 0.
Рассмотрев случай p = 1 (напомним, что p = 1 означает порядок кратных сингулярных
интегралов), переходим к случаю p = 2. Так как начальные условия при p выражаются
через начальные условия при p - 1, то тем самым по индукции доказываем, что начальные
условия равны нулю для любых p, а отсюда вытекает Ps(t)zs,p(t) = Us(t, 0)Ps(0)zs,p(0) ≡ 0.
Следовательно, решение задачи (11) равно тождественно нулю. Теорема доказана.
3. Построение формального асимптотического решения. Применим теоремы 1, 2
для решения итерационных задач (9). Запишем задачу на итерационном шаге ε0 :
L0
z0 = -h(t), Gzˆ0 = u0,
(15)
или покомпонентно
(A(t) - λs(t))z0s,p(t) = 0, A(t)w0(t) = -h(t), z01,0(0) + z02,0(0) + w0(0) = u0,
z0s,p(0), p ≥ 1, s = 1,2 (определяются в процессе решения итерационных задач).
Решение (15) будет иметь вид
∑∑
z0 =
Ps(t)z0s,p(t)
⊗ {σs,p} - A-1(t)h(t),
(16)
s=1 p=0
где Ps(t)z0s,p(t) - произвольный собственный вектор оператора A(t). Подставив решение (16)
в начальное условие и с учётом равенства σs,p(0, ε) = 0 при p ≥ 1, получим P1(0)z01,0(0) +
+ P2(0)z02,0(0) - A-1(0)h(0) = u0, откуда следует
Ps(0)h(0)
Ps(0)z0s,0(0) = Ps(0)u0 +
,
s = 1,2.
λs(0)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
739
Начальные условия для случая Ps(0)z0s,p(0), p ≥ 1, определяются из условий разрешимо-
сти итерационной системы на первом итерационном шаге. Таким образом, на нулевом итера-
ционном шаге получили
∑∑
z0 =
Ps(t)z0s,p(t)
⊗ {σs,p} - A-1(t)h(t),
s=1 p=0
Ps(0)h(0)
Ps(0)z0s,0(0) = Ps(0)u0 +
,
s = 1,2.
(17)
λs(0)
Задача на первом итерационном шаге ε
L0
z1
z0 + L1
z0, Gz1 = 0
(18)
разрешима в пространстве
Ê, если правая часть уравнения в (18) удовлетворяет условиям
теоремы 1. Предварительно вычислим
∑∑(d
L1
z0
z0 =
(Ps(t)z0s,p(t)) + z03-s,p+1(t))⊗σs,p -d
A-1(t)h(t).
(19)
dt
dt
s=1 p=0
Расписав задачу (18) на первом итерационном шаге по компонентам и с учётом (19), полу-
чим серию задач:
d
(A(t) - λs(t))z1s,p(t) =
(Ps(t)z0s,p(t)) + P3-s(t)z03-s,p+1(t),
dt
((
)2
∫
t
)
d
z11,0(0) + z12,0(0) =
A-1(t)
h(s)ds
,
dt
t=0
0
z1s,p(0), p ≥ 1, s = 1,2 (определяются в процессе решения итерационных задач).
(20)
Из условий разрешимости (20) с учётом (17) получим серию задач Коши:
⎧
d
⎨
˙
(Ps(t)z0s,0(t)) =
P
s(t)(Ps(t)zs,0(t)),
dt
p=0:
⎩Ps(0)z0s,0(0) = Ps(0)u0 +Ps(0)h(0),
s = 1,2,
λs(0)
⎧
⎨d
(Ps(t)z0s,p(t)) =
˙
P
s(t)(Ps(t)zs,p(t)),
p≥1:
dt
(21)
⎩
Ps(0)z0s,p(0) = ? (на данный момент не определено).
Для того чтобы определить начальные условия для задач Коши (21) при p ≥ 1, вычислим
π0(t)(L1z0
z0) = 0, в результате чего получим
)
(d
Ps(0)z0s,p+1(0) = Ps(0)
(P˙s(t)P3-s(t)z03-s,p|t=0).
(22)
dt
Так как начальные условия при p + 1 выражаются через начальные условия при p, то тем
самым по индукции доказываем, что начальные условия определены для любых p.
После определения начальных условий из системы (22) получаем решения системы (21):
(
)
Ps(0)h(0)
Ps(t)z0s,0(t) = Us(t,0) Ps(0)u0 +
,
λs(0)
Ps(t)z0s,p(t) = Us(t,0)Ps(0)z0s,p(0), s = 1,2, p = 1,∞.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
2∗
740
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
Таким образом, главный член асимптотики решения после сужения запишется в виде
(
)
∑
Ps(0)h(0)
uгл(t,ε) =
Us(t,0) Ps(0)u0 +
eϕs(t)/ε +
λs(0)
s=1
∑∑
+
Us(t,0)Ps(0)z0s,p(0)σs,p(t,ε) - A-1(t)h(t).
s=1 p=1
Записанное покомпонентно решение системы (21) на первом итерационном шаге имеет вид
(
d
z1s,p(t) = Ps(t)z1s,p(t) + (A(t) - λs(t))-1 P3-s(t)
(Ps(t)z0s,p(t)) +
dt
)
(
)2
∫
t
d
+ P3-s(t)z03-s,p+1(t)
- A-1(t)
h(s)ds,
dt
0
((
)2
∫
t
)
d
Ps(0)z1s,0(0) = Ps(0) A-1(t)
h(s)ds
,
s = 1,2.
dt
t=0
0
Собственные векторы Ps(t)z1s,p(t) и оставшиеся начальные условия находятся на втором
итерационном шаге. По данной схеме находятся все слагаемые решения задачи (9).
4. Оценка остаточного члена. Пусть члены ряда (8) в результате решения итерационных
задач определены для 0 ≤ q ≤ n + 1,
0 ≤ p ≤ r, здесь q - итерационный шаг по ε, а p -
порядки сингулярных интегралов. Запишем соотношение для остатка Rn,r(t, ε). Для этого
запишем ряд (8) в виде
∑∑
∑
z(t, ε) =
εq
zqs,p(t)σs,p(t,ε) +
εqwq(t) + εn+1Rn,r(t,ε).
(23)
q=0
s=1 p=0
q=0
Подставив ряд (23) в (1) и с учётом итерационных задач, получим задачу для остаточного
члена Rn,r(t, ε):
ε Rn,r(t,ε) - A(t)Rn,r(t,ε) = -H(t,ε), Rn,r(0,ε) = 0,
(24)
где
]
∑
∑
H(t, ε) =
(Żns,p(t) + zn3-s,p+1(t))σs,p(t,ε) + Żns,rσs,r(t,ε) +w˙n(t).
(25)
s=1
p=0
Как следует из условий 5) на спектр в задаче (1) и оценок интегралов σs,p(t, ε) (см. при-
ложение), правая часть (25) имеет оценку
∥H(t, ε)∥C[0,T] ≤ C для всех (t, ε) ∈ [0, T ] × (0, ε0].
Решение (24) запишем в виде
t
∫
1
Rk,m =
Uε(t,s)H(s,ε)ds,
ε
0
где Uε(t, s) - разрешающий оператор, являющийся решением следующей задачи Коши:
ε Uε(t,s) = A(t)Uε(t,s), Uε(t,s)|s=t = I.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
741
Из условий 5) на спектр в задаче (1) следует, что Uε(t, s) ограничен на [0, T ]×[0, t], ε ∈ (0, ε0],
т.е. выполняется оценка
∥Uε(t, s)∥C[0,T] ≤ C.
Следовательно, из соотношения
∫t
d
Rk,m = -Uε(t,s)A-1(s)H(s,ε)|t0 + Uε(t,s)
A-1(s)H(s,ε)ds =
ds
0
∫t
d
= -A-1(t)H(t,ε) + Uε(t,0)A-1(0)H(0,ε) + Uε(t,s)
A-1(s)H(s,ε)ds
ds
0
получим
∥Rn,r∥C[0,T] ≤ C.
Из этих двух оценок следует
Теорема 3 (об оценке остатка, асимптотическая сходимость). Пусть дана задача Коши
(1) и выполнены условия 1)-5). Тогда справедлива оценка
∑∑
∑
(t, ε) -
εq
zqs,p(t)σs,p(t,ε) +
εqwq(t)
≤ Cεn+1,
u
q=0
s=1 p=0
q=0
C[0,T]
где C ≥ 0 - константа, не зависящая от ε, а функции zs,p(t) и wq(t) получены из решения
итерационных задач при значениях 0 ≤ q ≤ n,
0 ≤ p ≤ r.
Теорема 4 (о предельном переходе). Пусть дана задача (1) и выполнены условия 1)-5).
Тогда:
a) если Re λi ≤ -δ < 0, то lim
u(t, ε) = -A-1(t)h(t), t ∈ [δ0, T ], где δ0 > 0 - сколь угодно
ε→0
малое значение;
b) если Re λi ≤ 0, то для всех ϕ(t) ∈ C∞[0, T ] справедливо равенство
∫
T
(
)
lim
u(t, ε) + A-1(t)h(t) ϕ(t)dt = 0.
ε→0
0
Доказательство. a) Утверждение этого пункта непосредственно следует из оценок ин-
тегралов σs,p(t, ε) в лемме из Приложения.
b) В этом случае σs,p(t, ε) являются быстро осциллирующими функциями и доказатель-
ство предельного перехода в слабом смысле следует из леммы Римана-Лебега.
5. Приложение. Рассмотрим систему
(
)
(
)
(
)
λ1(t)
0
0
1
1
εJ˙(t) =
J (t) + ε
J (t), J(0) =
,
(26)
0
λ2(t)
1
0
1
(
)
J1(t)
где J(t) =
- вектор-функция. Система (26) в общем случае в явном виде не решается.
J2(t)
Найдём решение (26) методом последовательных приближений.
Лемма. Решение (26) представляется в виде равномерно сходящегося ряда на [0, T ] ×
× (0, ε0], которое допускает следующую оценку:
a) если Re λi ≤ -δ < 0, то ∥J∥C[0,T] ≤ e-δt/εC;
b) если Re λi ≤ 0, то ∥J∥C[0,T] ≤ C,
где C > 0 - константа, не зависящая от ε.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
742
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
Доказательство. Решив (26) методом последовательных приближений, получим
)
)∫ t
(
)
)
(1
(1
1
(1
J (t) = exp
Λt0
+ exp
Λt
0
exp
-
Λs
0
T exp
Λs
0
ds +
ε
ε
ε
ε
0
(
)∫ t
(
)
)∫s
(
)
)
1
1
(1
1
(1
+ exp
Λt0
exp
-
Λs
T exp
Λs
exp
-
Λs1
T exp
Λs1
ds1 ds + . . . ,
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
ε
0
0
здесь
(
)
(
)
0
1
ϕ1(t)
0
T =
,
Λt0 =
1
0
0
ϕ2(t)
Использовав свойство
(
))
(
))
(1
ϕ1(t)
0
(1
ϕ2(t)
0
T exp
= exp
T,
ε
0
ϕ2(t)
ε
0
ϕ1(t)
получим
)
)∫ t
)
(1
(1
(1
J (t) = exp
Λt0
+ exp
Λt
exp
△s
T ds +
0
0
ε
ε
ε
0
)∫ t
)∫s
(
)
(1
(1
1
+ exp
Λt0
exp
△s
exp
-
△s1
T ds1 ds +
0
0
ε
ε
ε
0
0
)∫ t
)∫s
(
)∫s1
)
(1
(1
1
(1
+ exp
Λt0
exp
△s
exp
-
△s1
exp
△s2
T ds2 ds1
ds + . . . ,
(27)
0
0
0
ε
ε
ε
ε
0
0
0
где
(
)
ϕ2(t) - ϕ1(t)
0
△t0 =
0
ϕ1(t) - ϕ2(t)
Покомпонентно выражение (27) выглядит следующим образом:
(
)
(
)∫ t
(
)
1
1
1
J1(t) = exp
ϕ1(t)
+ exp
ϕ1(t)
exp
Δϕ(s) ds +
ε
ε
ε
0
(
)∫ t
(
)∫s
(
)
1
1
1
+ exp
ϕ1(t)
exp
Δϕ(s)
exp
-
Δϕ(s1) ds1 ds + . . . ,
ε
ε
ε
0
0
(
)
(
)∫ t
(
)
1
1
1
J2(t) = exp
ϕ2(t)
+ exp
ϕ2(t)
exp
-
Δϕ(s) ds +
ε
ε
ε
0
(
)∫ t
(
)∫s
(
)
1
1
1
+ exp
ϕ2(t)
exp
-
Δϕ(s)
exp
Δϕ(s1) ds1 ds + . . .
(28)
ε
ε
ε
0
0
Равномерная сходимость рядов (28) следует из оценок:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
743
a) при Re λi(t) ≤ -δ < 0, t ∈ [0, T ],
|eϕ1(t)/ε| ≤ e-δt/ε,
∫
t
∫
t
∫
t
∫
s
)
(1
1
ϕ1(t)/ε
e(ϕ2(s)-ϕ1(s))/ε ds
exp
Re λ1(s1)ds1 +
Re λ2(s2)ds2 ds ≤
e
≤
ε
ε
0
0
s
0
∫t
≤ e-δ(t-s+s)/ε ds = e-δt/εt,
0
∫
t
∫
s1
∫
ϕ1(t)/ε
eΔϕ(s1)/ε eΔϕ(s2)/ε ···
e(-1)pΔϕ(sn)/ε dsp ··· ds1
e
≤
0
0
0
s1
∫t∫
∫
≤
···
e(ϕ1(t)-ϕ1(s1)+...+(-1)p+1ϕ1(sp))/εe(ϕ2(s1)-ϕ2(s2)+...+(-1)pϕ2(sp))/ε ds1 · · · dsp ≤ e-δt/ε (t)p
,
p!
0
0
0
откуда имеем
|J1(t, ε)| ≤ e-δt/εet ≤ eT e-δt/ε;
|J2(t, ε)| ≤ eT e-δt/ε.
b) при Re λi(t) ≤ 0, t ∈ [0, T ],
|Ji(t)| ≤ eT , i = 1, 2.
Следовательно, ряды (28) сходятся равномерно по ε и t на [0, T ] × (0, ε0]. Кроме того,
d
легко проверяется, что ряды допускают действие оператора ε
в любой степени.
dt
6. Пример. Здесь приведём решение задачи Коши
εu(t,ε) = A(t)u(t,ε) + h(t), u(t,ε) = u0.
(29)
Пусть выполнены условия 1)-5) задачи (1) при n = 3, m = 2, k = 1. Для удобства
обозначим эти требования здесь повторно:
1) h(t) ∈ C∞([0, T ], R3);
2) A(t) ∈ C∞([0, T ], L(R3, R3));
3) для собственных значений предельного оператора A(t):
a) для всех t ∈ (0, T ] λ1(t) = λ2(t), λi(t) = 0, i = 1, 2;
б) условие “слабой” точки поворота первого порядка при t = 0:
λ2(t) - λ1(t) = ta(t), a(t) = 0;
в) геометрическая кратность собственных значений равна алгебраической для всех t ∈
∈ [0, T ];
4) Re λi(t) ≤ 0, i = 1, 2, для t ∈ [0, T ];
5) A(t) = λ1(t)P1(t) + λ2(t)P2(t), dim Im P1(t) = 2, dim Im P2(t) = 1.
В базисе из собственных векторов ei(t), i = 1, 3, оператора A(t) производные проекторов
имеют вид
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
-C13
0
0
C13
P
˙
0
0
-C23⎠,
P
˙
0
0
C23⎠,
1(t) =⎝
2(t) =⎝
C31
C32
0
−C31
-C32
0
∑3
где Cji(t) - коэффициенты разложения ėi(t) по базису ėi(t) =
Cji(t)ej(t).
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
744
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
Сингулярности в данном случае имеют вид
t
s1
∫
∫
∫
σ1,k
=eϕ1(t)/ε eΔϕ(s1)/ε e-Δϕ(s2)/ε···
e(-1)k+1Δϕ(sk)/ε
dsk · · · ds1,
0
0
0
k интегралов
t
s1
∫
∫
∫
σ2,k
=eϕ2(t)/ε e-Δϕ(s1)/ε eΔϕ(s2)/ε···
e(-1)kΔϕ(sk)/ε
dsk · · · ds1.
0
0
0
k интегралов
Решение будем искать в виде
]
∑
u(t, ε) =
εk
σ1,pxpk(t) + σ2,pypk(t) + zk(t) .
k=0
p=0
Подставив функцию u(t, ε) в уравнение, получим серию итерационных задач. Вычислим
главный член асимптотики.
При ε0 имеем
z0(t) = -A-1(t)h(t);
P1(0)h(0)
(A(t) - λ1(t))x00(t) = 0, P1(0)x00(0) = P1(0)u0 +
;
λ1(0)
P2(0)h(0)
(A(t) - λ2(t))y00(t) = 0, P2(0)y00(0) = P2(0)u0 +
;
λ2(0)
(A(t) - λ1(t))xp0(t) = 0, P1(0)xp0(0) = ?;
(A(t) - λ2(t))yp0(t) = 0, P2(0)yp0(0) = ?.
Начальные условия для xp0(t), yp0(t) при p ≥ 1 находятся на основании теоремы разреши-
мости при рассмотрении итерационных задач на шаге ε.
При ε получим
(
)
d
z0(t) = -
A-1(t) A-1(t)h(t);
dt
(A(t) - λ1(t))xp1(t) =d
(P1(t)xp0(t)) + P2(t)yp+10(t), P1(0)xp1(0) = ?;
dt
(A(t) - λ2(t))yp0(t) =d
(P2(t)yp0(t)) + P1(t)xp+10(t), P2(0)yp0(0) = ?.
(30)
dt
Из условий разрешимости системы (30) получим уравнения
d
˙
P1(t)xp0(t) =
P
1(t)P1(t)x0(t),
dt
P1(0)h(0)
P1(0)x00(0) = P1(0)u0 +
,
λ1(0)
P1(0)xp0(0) = ?, p ≥ 1,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
745
и уравнения
d
˙
P2(t)yp0(t) =
P
2(t)P2(t)y0(t),
dt
P2(0)h(0)
P2(0)y00(0) = P2(0)u0 +
,
λ2(0)
P2(0)yp0(0) = ?, p ≥ 1.
Решение задачи Коши при p = 0 имеет вид
P1(t)x00(t) = U1(t,0)P1(0)x00(0), P2(t)y00(t) = U2(t,0)P2(0)y00(0).
Для определения начальных условий при p ≥ 1 подчиним системы при ε условиям точеч-
ной разрешимости
d
P2(0)
(P1xp0)(0) + P2(0)yp+10(0) = 0, P1(0)d
(P2yp0)(0) + P1(0)xp+10(0) = 0,
dt
dt
что даёт рекуррентно начальные условия при p ≥ 1:
P1(0)xp0(0) = P1(0)P2(0)P2(0)yp-10(0), P2(0)yp0(0) = P2(0)P1(0)P1(0)xp-10(0).
Тогда решения задач Коши при p ≥ 1 запишутся в виде
P1(t)xp0(t) = U1(t,0)P1(0)xp0(0), P2(t)yp0(t) = U2(t,0)P2(0)yp0(0),
или покомпонентно
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
αp0(0)
0
0
C13
0
⎝βp0(0)⎠= ⎝0
0
C23⎠⎝0
⎠,
0
0
0
0
γp0(0)
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
0
0
0
C13
αp0(0)
⎝0
⎠= ⎝
0
0
C23⎠⎝βp0(0)⎠.
γp0(0)
C31(0) C32(0)
0
0
Таким образом, для определения главного члена асимптотики имеем следующие задачи
Коши:
βp
αp0(t) + C11(t)αp0 + C12(t)βP0 (t) = 0,
(t) + C22(t)βp0 + C12(t)αp0(t) = 0,
0
(
)
(
)
αp0(0) = u01 +h1(0)
δp0 + C13(0)γp-10, βp0(0) = u02 +h2(0)
δp0 + C23(0)γp-10
λ1(0)
λ2(0)
и
(
)
γp0(t) + C33(t)γp0(t), γp0(0) = u03 +h3(0)
δp0 + C31(0)αp-10 + C32(0)βp-10.
λ2(0)
Главный член асимптотики решения задачи (29) имеет вид
∑
uгл(t) =
[σ1,p(t, ε)U1(t, 0)P1(0)xp0(0) + σ2,p(t, ε)U2(t, 0)P2(0)yp0(0)] - A-1(t)h(t).
p=0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.
2. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегродифференциаль-
ных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами // Уфимск. мат. журн.
2018. Т. 10. № 2. С. 3-12.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
746
ЕЛИСЕЕВ, КИРИЧЕНКО
3. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed problems in case of exchange of
stabilities // J. of Math. Sci. 2004. V. 121. № 1. P. 1973-2079.
4. Lioville J. Second memoire sur le developpement des fonction ou parties de fonctions en series dont les
divers termes sont assujetis a satisfaire a une meme equation differentielle du second ordre, contenant un
parametre variable // J. Math. Pure Appl. 1837. V. 2. P. 16-35.
5. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей
предельного оператора // Мат. сб. 1986. T. 131 (173). № 4 (12). С. 544-557.
6. Елисеев А.Г., Ратникова Т.А. Сингулярно возмущённая задача Коши при наличии рациональной
“простой” точки поворота у предельного оператора // Дифференц. уравнения и процессы управле-
ния. 2019. № 3. C. 63-73.
7. Елисеев А.Г. Регуляризованное решение сингулярно возмущённой задачи Коши при наличии ир-
рациональной “простой” точки поворота // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2020.
№ 2. C. 15-32.
8. Елисеев А.Г., Кириченко П.В. Решение сингулярно возмущённой задачи Коши при наличии “сла-
бой” точки поворота у предельного оператора // Итоги науки и техн. Сер. Совр. математика и её
прил. 2021. T. 192. С. 55-64.
Национальный исследовательский университет
Поступила в редакцию 28.12.2021 г.
“Московский энергетический институт”
После доработки 28.12.2021 г.
Принята к публикации 25.05.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
