ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.747-755
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.929
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ
УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА
© 2022 г. А. Л. Скубачевский, А. Ш. Адхамова
Рассмотрена система управления, описываемая системой дифференциальных уравнений
запаздывающего типа с переменными матричными коэффициентами и несколькими за-
паздываниями. Показана связь между вариационной задачей для нелокального функцио-
нала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответству-
ющей краевой задачей для систем дифференциально-разностных уравнений. Доказаны
существование, единственность и гладкость обобщённого решения краевой задачи на всём
интервале.
DOI: 10.31857/S0374064122060036, EDN: CCJPYL
Введение. Теория управляемых систем с последействием изучалась многими авторами
(см., например, [1-5]). Широко известно, что обратная связь в системе управления может при-
вести к задержке сигнала. Обычно предполагалось, что функционально-дифференциальные
уравнения, описывающие систему, имеют запаздывающий или нейтральный тип. Задача об
успокоении системы управления с последействием, описываемая системой дифференциально-
разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и постоянным
запаздыванием, рассматривалась Н.Н. Красовским [2]. Предполагалось, что имеется одно по-
стоянное запаздывание и коэффициенты системы также постоянные. В работах [6-11] эта за-
дача обобщалась на случай, когда уравнение, описывающее управляемую систему, содержит
также старшие члены с запаздыванием, т.е. имеет нейтральный тип.
В данной работе рассматривается задача об успокоении многомерной системы управления,
описываемой системой дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с пе-
ременными матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Устанавливается
связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомер-
ную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для систе-
мы дифференциально-разностных уравнений. Доказывается существование, единственность и
гладкость обобщённого решения этой задачи (в отличие от нейтрального типа можно доказать
гладкость решений на всём интервале).
1. Постановка задачи. В данной работе рассмотрим линейную нестационарную систему
управления, описываемую системой дифференциально-разностных уравнений запаздывающе-
го типа
∑
A0(t)y′(t) +
Bm(t)y(t - mτ) = u(t),
0<t<T,
(1)
m=0
где y(t) = (y1(t), . . . , yn(t))т - вектор-функция состояния системы, u(t) = (u1(t), . . . , un(t))т -
вектор-функция управления, A0(t) - невырожденная матрица порядка n×n, Bm(t) - матрица
порядка n × n с элементами a0ij (t), bmij(t) соответственно, которые являются непрерывно
дифференцируемыми функциями на R, τ = const > 0 - запаздывание.
Предыстория системы определяется начальным условием
y(t) = ϕ(t) для почти всех t ∈ [-Mτ, 0],
(2)
∏n
где ϕ(t)=(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))т ∈Ln2(-Mτ, 0) - заданная вектор-функция, Ln2(a, b)=
L2(a,b) -
∑n
i=1
пространство вектор-функций со скалярным произведением (v, w)Ln
(a,b) =
(vi, wi)L2(a,b),
2
i=1
v = (v1,...,vn)т, w = (w1,...,wn)т.
747
748
СКУБАЧЕВСКИЙ, АДХАМОВА
Поскольку функция ϕ ∈ Ln2(-Mτ, 0) определена п.в. на отрезке [-Mτ, 0], зададим допол-
нительно начальное условие
y(0 + 0) = ϕ0,
(3)
где ϕ0 ∈ Rn - некоторый вектор.
Рассмотрим задачу о приведении системы (1), (2) в положение равновесия при t ≥ T. Для
этого найдём такое управление u(t),
0 < t < T, что
y(t) = 0, t ∈ [T - Mτ, T ],
(4)
где T > 2Mτ.
Из всевозможных управлений будем искать управление, доставляющее минимум функци-
оналу энергии
T
∫
|u(t)|2 dt → min .
0
Здесь |·| - евклидова норма в Rn. Таким образом, получим вариационную задачу о минимуме
функционала
∫T
∑
2
J (y) :=
0(t)y′(t) +
Bm(t)y(t - mτ)
t → min
(5)
A
d
m=0
0
с краевыми условиями (2)-(4).
2. Связь между вариационной и краевой задачами. Введём некоторые вещественные
функциональные пространства.
Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с
нормой
∥x(t)∥C(R) = sup |x(t)|.
(6)
t∈R
Пусть Ck(R), k ∈ N, - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференци-
руемых функций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го
порядка, с нормой
∥x(t)∥Ck(R) = max sup |x(i)(t)|.
0≤i≤k t∈R
Обозначим через Wk2(a, b) пространство абсолютно непрерывных на [a, b] функций, име-
ющих производную k-го порядка из L2(a, b) со скалярным произведением
∫
b
∑
(v, w)W k
=
v(i)(t)w(i)(t)dt.
2
(a,b)
i=0 a
Пусть
Wk
(a, b) = {w ∈ Wk2(a, b) : w(i)(a) = w(i)(b) = 0, i = 0, k - 1}.
2
Введём пространства вектор-функций
∏
∏
Wk,n
Wk
Wk,n2(a,b) =
Wk2(a,b),
(a, b) =
(a, b)
2
2
i=1
i=1
со скалярным произведением
∑
(v, w)W k,n
= (vi, wi)W k
,
(a,b)
(a,b)
2
2
i=1
где v = (v1, . . . , vn)т, w = (w1, . . . , wn)т.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
749
Покажем, что вариационная задача (2)-(5) эквивалента краевой задаче для системы диф-
ференциально-разностных уравнений второго порядка.
Пусть y ∈ W1,n2(-Mτ, T ) - решение вариационной задачи (2)-(5), где ϕ ∈ Ln2(-Mτ, 0).
Введём пространства
L = {v ∈ Ln2(-Mτ,T) : v(t) = 0, t ∈ (-Mτ,0)⋃(T - Mτ,T)},
W = {v ∈ W1,n2(-Mτ,T) : v(t) = 0, t ∈ (-Mτ,0)⋃(T - Mτ,T)}.
Часто мы будем отождествлять пространство
L c L2(0,T - Mτ), а пространство
W с
W1,n
(0, T - Mτ), не оговаривая этого специально.
2
Пусть v ∈W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv ∈ W1,n2(0, T )
удовлетворяет краевым условиям (2)-(4) для каждого s ∈ R.
Обозначим J(y + sv) = F (s). Поскольку J(y + sv) ≥ J(y) (s ∈ R), имеем
dF
= 0.
(7)
ds
s=0
Положим
∫T
(
)
∑
)т(
∑
B(y, v) :=
A0(t)y′(t) +
Bm(t)y(t - mτ) A0(t)v′(t) +
Bl(t)v(t - lτ) dτ.
(8)
m=0
l=0
0
Из (7) следует, что
B(y, v) = 0, v ∈W.
(9)
В слагаемых, содержащих v(t - lτ), сделаем замену переменной ξ = t - lτ. Получим
∫T
(
∑
)т
B(y, v) =
A0(t)y′(t) +
Bm(t)y(t - mτ) A0(t)v′(t)dt +
m=0
0
∫ (
)т
∑
∑
+
A0(ξ + lτ)y′(ξ + lτ) +
Bm(ξ + lτ)y(ξ + (l - m)τ) Bl(ξ + lτ)v(ξ)dξ.
m=0
l=0 -lτ
⋃
Вернёмся к старой переменной t, полагая t = ξ. С учётом v(t) = 0 при t ∈ (-Mτ, 0)
⋃ (T - Mτ, T ) будем иметь
∫
(
∑
)т
B(y, v) =
A0(t)y′(t) +
Bm(t)y(t - mτ) A0(t)v′(t)dt +
m=0
0
∫ (
)
∑
∑
+
A0(t + lτ)y′(t + lτ) +
Bm(t + lτ)y(t + (l - m)τ)тBl(t + lτ) v(t)dt.
(10)
l=0
m=0
0
Из (9), (10) и определения производной в смысле теории обобщённых функций следует, что
[
]′
∑
Aт0(t)A0(t)y′(t) + Aт0(t)
Bm(t)y(t - mτ)
∈ Ln2(0,T - Mτ),
(11)
m=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
750
СКУБАЧЕВСКИЙ, АДХАМОВА
т.е.
∑
Aт0(t)A0(t)y′(t) +
Aт0(t)Bm(t)y(t - mτ) ∈ W1,n2(0,T - Mτ).
(12)
m=0
Поскольку предполагаем, что ϕ ∈ Ln2(-Mτ, 0), производная каждого из слагаемых в (11),
стоящих в квадратных скобках, вообще говоря, может быть сингулярной обобщённой функ-
цией и в этом случае не будет принадлежать Ln2(-Mτ, 0).
В силу (12), подставив (10) в (9), можем провести интегрирование по частям. Тогда получим
[
]′
∑
∑
− Aт0(t)A0(t)y′(t) + Aт0(t)
Bm(t)y(t - mτ)
+ Bтl(t + lτ)A0(t + lτ)y′(t + lτ) +
m=0
l=0
∑
+
Bтl(t + lτ)Bm(t + lτ)y(t - (m - l)τ) = 0, t ∈ (0,T - Mτ).
(13)
l,m=0
Вектор-функция y ∈ W1,n2(0, T ) удовлетворяет системе (13) дифференциально-разностных
уравнений почти всюду на интервале (0, T - Mτ).
Определение 1. Вектор-функция y ∈ W1,n2(0,T) называется обобщённым решением зада-
чи (2)-(4), (13), если выполняется условие (12), y(t) почти всюду на (0, T -Mτ) удовлетворяет
системе уравнений (13), а также краевым условиям (2)-(4).
Очевидно, что следующее определение обобщённого решения эквивалентно определению 1.
Определение 2. Вектор-функция y ∈ W1,n2(0,T) называется обобщённым решением за-
дачи (2)-(4), (13), если она удовлетворяет интегральному тождеству
∫
({
(
∑
)т}
B(y, v) =
(Aт0(t)A0(t)y′(t))т + Aт0(t)
Bтm(t + mτ)y(t - mτ) v′(t) +
m=0
0
{(M∑
)т
+
Bтl(t + lτ)A0(t + lτ)y′(t + lτ)
+
l=0
)
∑
)т}
+
Bтl(t + lτ)Bm(t + lτ)y(t - (m - l)τ)
v(t) dt = 0
(14)
l,m=0
для всех v ∈W1,n2(0, T - Mτ) и краевым условиям (2)-(4).
Таким образом, мы доказали, что если вектор-функция y ∈ W1,n2(0, T ) является решением
вариационной задачи (2)-(5), то она будет обобщённым решением краевой задачи (2)-(4), (13).
Докажем обратное утверждение.
Пусть y ∈ W1,n2(0, T ) - обобщённое решение краевой задачи (2)-(4), (13). Тогда для всех
v ∈ W мы получаем
J (y + v) = J(y) + J(v) + 2B(y, v),
где J(v) - неотрицательный квадратичный функционал. Поскольку y - обобщённое решение
задачи (2)-(4), (13), то B(y, v) = 0. Следовательно,
J (y + v) ≥ J(y)
для всех v ∈W. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть ϕ ∈ Ln2(-Mτ, 0). Функция y ∈ W1,n2(0, T ) доставляет минимум
функционалу (5) с краевыми условиями (2)-(4) тогда и только тогда, когда она является
обобщённым решением краевой задачи (2)-(4), (13).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
751
3. Разрешимость краевой задачи. Далее докажем однозначную разрешимость краевой
задачи (2)-(4), (13).
Введём оператор R0 :L → Ln2(0, T ) по формуле
(R0v)(t) = A0(t)v(t).
Рассмотрим функционал
∫T
J0(v) =
|(R0v′)(t)|2 dt, v ∈W.
0
Лемма 1. Пусть det A0(t) = 0, t ∈ R. Тогда для всех w ∈W выполняется оценка
J0(w) ≥ c0∥w∥2
,
W1,n2(0,T-Mτ)
где c0 - положительная постоянная, не зависящая от w.
Доказательство следует из невырожденности матрицы A0(t), t ∈ R.
Лемма 2. Пусть det A0(t) = 0, t ∈ R. Тогда для всех w ∈W
J (w) ≥ c1∥w∥2
,
(15)
W1,n2(0,T-Mτ)
где c1 - положительная постоянная, не зависящая от w.
Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству лем-
мы 3.2 из [10], однако для полноты картины приведём его полностью.
1. Предположим противное: неравенство (15) не выполняется. Тогда для любого k ∈ N
существует wk ∈W такое, что
1
J (wk) ≤
∥wk∥2
k
W1,n2(0,T-Mτ)
Не ограничивая общности, будем считать, что ∥wk∥W 1,n
= 1. Тогда имеем нера-
2
(0,T -Mτ)
венство
1
J (wk) ≤
(16)
k
Введём оператор R1 :L → Ln2(0, T - Mτ) по формуле
∑
(R1v)(t) =
Bk(t)v(t - kτ).
(17)
k=0
Из неравенства
α2 ≤ 2(α + β)2 + 2β2 (α,β ∈ R),
леммы 1 и ограниченности оператора R1 :L → Ln2(0, T - Mτ) для любого v ∈W получим
∫
c0∥v∥2
≤ J0(v) ≤ 2J(v) + 2
((R1v)(t))2 dt ≤ 2J(v) + k1∥v∥2Ln
,
(18)
W1,n2(0,T-Mτ)
2
(0,T -Mτ)
0
где c0, k1 - положительные постоянные, не зависящие от v.
В силу компактности оператора вложения
W в Ln2(0,T - Mτ) существует подпосле-
довательность
{wkm }, которая сходится к некоторой вектор-функции w0 в пространстве
Ln2(0,T - Mτ). Таким образом, из (16), (18) следует, что
c0∥wkm - wkl∥2
≤ 2J(wkm - wkl ) + k1∥wkm - wkl ∥2Ln
≤
W1,n2(0,T-Mτ)
2
(0,T -Mτ)
4
4
≤
+
+ k1∥wkm - wkl∥2Ln
→0
при l, m → ∞.
(0,T -Mτ)
km
kl
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
752
СКУБАЧЕВСКИЙ, АДХАМОВА
Следовательно, wkm → w0 вW и ∥w0∥W 1,n
= 1. Поэтому в силу (16) мы имеем
(0,T -Mτ)
2
∫
∑
2
J (w0) =
0(t)w0(t) +
Bm(t)w0(t - mτ)
t = 0,
A
d
m=0
0
т.е.
∑
A0(t)w′0(t) +
Bm(t)w0(t - mτ) = 0, t ∈ (0,T - Mτ).
(19)
m=0
Поскольку w0 ∈W, вектор-функция w0 удовлетворяет начальному условию
w0(t) = 0, t ∈ [-Mτ,0].
(20)
Тогда, если 0 < t ≤ τ, система уравнений (19) примет вид
A0(t)w′0(t) + B0(t)w0(t) = 0,
(21)
при этом в силу (20) w0(0) = 0. Следовательно,
w0(t) = 0, t ∈ [0,τ].
(22)
В силу (20), (22) для τ < t ≤ 2τ система уравнений (19) примет вид (21), при этом в силу (22)
w0(τ) = 0. Решив полученную задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (21) на полуинтервале (τ, 2τ], имеем w0(t) = 0, t ∈ (τ, 2τ], и т.д.
Таким образом, w0(t) ≡ 0 при t ∈ [0, T - Mτ]. Это противоречит равенству
∥w0∥W 1,n
= 1.
2
(0,T -Mτ)
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть det A0(t) = 0, t ∈ R. Тогда для любой вектор-функции ϕ∈Ln2(-Mτ, 0)
и любого ϕ0 ∈ Rn существует единственное обобщённое решение краевой задачи (2)-(4), (13)
y ∈ W1,n2(0,T), при этом
∥y∥W 1,n
≤ c(∥ϕ∥Ln(-Mτ,0) + |ϕ0|),
(23)
(0,T )
2
2
где c > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ и ϕ0.
Доказательство. Введём вектор-функции Φ0 ∈ Ln2(-Mτ, T )
⋂W1,n2(0,T) и Φ1,Φ2 ∈
∈ Ln2(0,T) по формулам
⎧
⎨0,
если
- Mτ < t < 0;
Φ0(t) =
ϕ0 - ϕ0t/(T - Mτ),
если 0<t<T -Mτ;
(24)
⎩0,
если T - Mτ < t < T ;
⎧
⎨
∑
Aт0(t)
Bтm(t)ϕ(t - mτ), если (k - 1)τ < t < kτ, k = 1,M;
Φ1(t) =
(25)
⎩
m=k
0,
если Mτ < t < T ;
⎧∑
⎨
Bтl(t + lτ)Bm(t + lτ)ϕ(t - (m - l)τ), если (k - 1)τ < t < kτ, k = 1,M;
Φ2(t) =
(26)
⎩l,m
0,
если Mτ < t < T.
В формуле для Φ2(t) суммирование производится по l, m таким образом, что k ≤ m-l ≤ M.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
753
Доказательство теоремы 2 основано на технике билинейных форм применительно к инте-
гральному тождеству (14). Однако B(y, v) не является билинейной формой, поскольку функ-
ция y удовлетворяет неоднородным краевым условиям (2), (3), поэтому введём вспомогатель-
ные билинейные формы B0(ϕ0, v) (ϕ0 ∈ Rn, v ∈W), B1(ϕ, v), B2(ϕ, v) (ϕ ∈ Ln2(-Mτ, 0),
v ∈ W) по формулам
∫
∫
B0(ϕ0,v) = B(Φ0,v), B1(ϕ,v) =
Φ1(t)v′(t)dt, B2(ϕ,v) =
Φ2(t)v(t)dt.
0
0
Здесь функции Φ0, Φ1, Φ2 задаются формулами (24), (25) и (26) соответственно.
Положим
{
y(t) - Φ0(t), t ∈ (0, T );
x(t) =
0,
t ∈ (-Mτ;0).
По построению x ∈W. Тогда интегральное тождество (14) примет вид
B0(ϕ0,v) + B1(ϕ,v) + B2(ϕ,v) + B(x,v) = 0.
(27)
Поскольку B(v, v) = J(v), v ∈W, по лемме 2 мы можем ввести в пространствеW12(0, T -Mτ)
эквивалентное скалярное произведение по формуле
(x, v)′˚
= B(x,v).
W1,n2(0,T-Mτ)
Следовательно, тождество (27) может быть записано в виде
B0(ϕ0,v) + B1(ϕ,v) + B2(ϕ,v) + (x,v)′˚
= 0.
(28)
W1,n2(0,T-Mτ)
Из неравенства Коши-Буняковского, равенства (24) и леммы 2 получим
|B0(ϕ0, v)| ≤ k1|ϕ0|∥v∥W 1,n
≤ k2|ϕ0|∥v∥′˚
,
(29)
2
(0,T -Mτ)
W1,n2(0,T-Mτ)
где k1, k2 - положительные постоянные, не зависящие от ϕ0 и v.
Вновь используя неравенства Коши-Буняковского, а также равенства (25), (26) и лемму 2,
имеем
|Bi(ϕ, v)| ≤ k3∥ϕ∥L2(-Mτ,0)∥v∥W 1,n
≤
(0,T -Mτ)
2
,
i = 1,2,
(30)
≤ k4∥ϕ∥L2(-Mτ,0)∥v∥′˚W1,n(0,T -Mτ)
2
где k3, k4 - положительные постоянные, не зависящие от ϕ и v.
Таким образом, при фиксированных ϕ0 и ϕ функционалы B0(ϕ0, v) и B(ϕ, v) линейные
и ограниченные по v наW. В силу неравенств (29) и (30) нормы функционалов B0(ϕ0, ·) и
Bi(ϕ,·) на
W не превышают k2|ϕ0| и k4∥ϕ∥L
2(-Mτ,0) соответственно.ПотеоремеРиссаоб
общем виде функционала в гильбертовом пространстве существуют вектор-функции Fi ∈W
(i = 0, 1, 2) такие, что
B0(ϕ0,v) = (F0,v)′˚
,
W1,n2(0,T-Mτ)
Bi(ϕ0,v) = (Fi,v)′˚
,
W1,n2(0,T-Mτ)
при этом
∥F0∥′˚
≤ k2|ϕ0|,
(31)
W1,n2(0,T-Mτ)
∥Fi∥′˚
≤ k4∥ϕ∥Ln
(32)
W1,n2(0,T-Mτ)
2
(-Mτ,0).
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
754
СКУБАЧЕВСКИЙ, АДХАМОВА
Функции Fi (i = 0, 1, 2) определяются единственным образом. Тогда тождество (28) мож-
но записать в виде
∑
(Fi, v)′˚
+ (x, v)′˚
= 0, v ∈ W1,n2(0, T - Mτ).
(33)
W1,n2
(0,T -Mτ)
W1,n2(0,T-Mτ)
i=0,1,2
∑
Интегральное тождество (33) имеет единственное решение x = -i=0,1,2 Fi. Следова-
∑
тельно, задача (2)-(4), (13) имеет единственное обобщённое решение y = Φ0 -i=0,1,2 Fi ∈
∈ W1,n2(0,T). Кроме того, в силу (24), (31), (32) выполняется оценка (23). Теорема доказана.
4. Гладкость обобщённых решений на всём интервале. Рассматриваемая нами сис-
тема дифференциально-разностных уравнений имеет запаздывающий тип. Поэтому в случае
достаточно гладкой начальной функции (ϕ ∈ W1,n2(-Mτ, 0)) гладкость обобщённых решений
сохраняется на всём интервале.
В отличие от дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа гладкость
обобщённых решений уравнений нейтрального типа может нарушаться внутри интервала, на
котором определено решение, и сохраняться лишь на некоторых подынтервалах (см. работы
[6, 7, 12-15]).
Теорема 3. Пусть ϕ ∈ W1,n2(-Mτ, 0) и пусть ϕ(0) = ϕ0. Тогда обобщённое решение
задачи (2)-(4), (13) y ∈ W2,n2(0, T - Mτ).
Доказательство. Рассмотрим функцию
(
∑
)′M∑
F (t) = - Aт0(t)
Bm(t)y(t - mτ)
- Bтl(t + lτ)A0(t + lτ)y′(t + lτ) -
m=0
l=0
∑
-
Bтl(t + lτ)Bm(t + lτ)y(t - (m - l)τ), t ∈ (0,T - Mτ).
l,m=0
Из условий теоремы следует, что F ∈ Ln2(0, T - Mτ). Очевидно, что систему уравнений (13)
можно записать в виде
-(Aт0(t)A0(t)y′(t))′ = F (t), t ∈ (0, T - Mτ),
откуда
-Aт0(t)A0(t)y′′(t) = Φ(t), t ∈ (0,T - Mτ),
где Φ(t) = F (t) - (Aт0(t)A0(t))′y′(t).
Поскольку элементы матрицы A0(t) являются непрерывно дифференцируемыми функци-
ями и det A0(t) = 0, имеем
y′′(t) = -(Aт0(t)A0(t))-1Φ(t) ∈ Ln2(0,T - Mτ),
т.е. y(t) ∈ W2,n2(0, T - mτ). Теорема доказана.
Авторы благодарят Ю.С. Осипова за обсуждение работы и ряд ценных советов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Рос-
сийской Федерации в рамках государственного задания (соглашение 075-03-2020-223/3 (FSSF-
2020-0018)).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Осипов Ю.С., Куржанский А.Б. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами
// Прикл. математика и механика. 1968. Т. 32. № 2. С. 194-202.
2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1968.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
755
3. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. Линейные дифференциально-разностные игры // Докл. АН СССР.
1971. Т. 197. № 4. С. 777-780.
4. Banks H.T., Kent G.A. Control of functional differential equations of retarded and neutral type to target
sets in function space // SIAM J. Control. 1972. V. 10. № 4. P. 567-593.
5. Кряжимский А.В., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических
системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. № 6. С. 883-890.
6. Скубачевский А.Л. К задаче об успокоении системы управления с последействием // Докл. РАН.
1994. Т. 335. № 2. C. 157-160.
7. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications // Operator Theory. Adv.
and Appl. V. 91. Basel; Boston; Berlin, 1997.
8. Леонов Д.Д. К задаче об успокоении системы управления с последействием // Совр. математика.
Фунд. направления. 2010. Т. 37. C. 28-37.
9. Adkhamova A.S., Skubachevskii A.L. Damping problem for multidimensional control system with delays
// Distributed Computer and Communication Networks. 2016. № 678. P. 612-623.
10. Адхамова А.Ш., Скубачевский А.Л. Об одной задаче успокоения нестационарной системы управ-
ления с последействием // Совр. математика. Фунд. направления. 2019. Т. 65. № 4. С. 547-556.
11. Адхамова А.Ш., Скубачевский А.Л. Об успокоении системы управления с последействием ней-
трального типа // Докл. РАН. 2020. Т. 490. № 1. С. 81-84.
12. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений с
отклоняющимися аргументами в старших членах // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 3. С. 409-
418.
13. Каменский А.Г. Краевые задачи для уравнений с формально симметричными дифференциально-
разностными операторами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 5. С. 815-824.
14. Скубачевский А.Л., Иванов Н.О. Вторая краевая задача для дифференциально-разностных урав-
нений // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 500. № 1. С. 74-77.
15. Скубачевский А.Л., Иванов Н.О. Об обобщенных решениях второй краевой задачи для диффе-
ренциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами // Совр. математика. Фунд.
направления. 2021. Т. 67. № 3. С. 576-595.
Математический институт имени С.М. Никольского,
Поступила в редакцию 18.04.2022 г.
г. Москва,
После доработки 18.04.2022 г.
Российский университет дружбы народов,
Принята к публикации 25.05.2022 г.
г. Москва,
Московский центр фундаментальной
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№6
2022
3∗
