ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.756-762

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 519.6+517.956.4

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА И ИСТОЧНИКА

В УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассматривается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности, в котором

коэффициент теплопроводности и одна из функций, входящих в источник, зависят от

времени и неизвестны. Ставится задача определения этих функций по дополнительной

информации о решении начально-краевой задачи. Эта задача сводится к системе нелиней-

ных операторных уравнений для неизвестных функций. Система нелинейных операторных

уравнений используется при построении итерационного метода для определения искомых

функций. Доказывается сходимость итерационного метода.

DOI: 10.31857/S0374064122060048, EDN: CCLWAH

1. Введение. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности

u_t = k(t)u_xx + g(t)f(x),

0<x<π,

0<t≤T,

(1.1)

u(0, t) = u(π, t) = 0,

0≤t≤T,

(1.2)

u(x, 0) = ϕ(x),

0≤x≤π.

(1.3)

Будем предполагать, что функции k(t) и g(t) непрерывны на отрезке [0, T ], k(t) поло-

жительна на этом отрезке, а функции f(x) и ϕ(x) удовлетворяют условиям

f ∈ C⁶[0,π], f(2k)(0) = f(2k)(π) = 0, k = 0,1,2;

(1.4)

ϕ ∈ C⁶[0,π], ϕ(2k)(0) = ϕ(2k)(π) = 0, k = 0,1,2.

(1.5)

При сделанных предположениях решение задачи (1.1)-(1.3) существует, единственно и

определяется формулой

(

∫

)

∑

u(x, t) =

ϕn

exp

-n²

k(θ) dθ sin(nx) +

n=1

(

∫

)

∑ ∫t

+ f_n

exp

-n²

k(θ) dθ g(τ) dτ sin(nx),

(1.6)

n=1

где

∫

ϕn =

ϕ(s) sin(ns) ds, f_n =

f (s) sin(ns) ds.

Сформулируем обратную задачу. Пусть функции f(x) и ϕ(x) заданы, а функции k(t) и

g(t) неизвестны. Требуется определить k(t) и g(t), если задана дополнительная информация

о решении задачи (1.1)-(1.3):

u_x(0,t) = p(t),

0≤t≤T,

(1.7)

u_x(π,t) = h(t),

0≤t≤T,

(1.8)

где p(t) и h(t) - известные функции, удовлетворяющие условиям

p,h ∈ C¹[0,T], p(0) = ϕ^′(0), h(0) = ϕ^′(π).

(1.9)

756

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

757

Исследованию обратных задач для уравнения теплопроводности посвящено большое чис-

ло публикаций (см., например, [1-10] и имеющуюся в них библиографию). Обратные задачи

для параболических уравнений, в которых неизвестными являются две или более функций,

рассматривались в [11-17]. Итерационным методам решения обратных задач для дифферен-

циальных уравнений посвящены работы [18-24].

Целью статьи является разработка и обоснование итерационного численного метода реше-

ния сформулированной обратной задачи.

Дадим определение решения обратной задачи. Далее, чтобы подчеркнуть зависимость ре-

шения задачи (1.1)-(1.3) от функций k(t) и g(t), будем обозначать его через u(x, t; k, g).

Пусть t₀ ∈ (0, T ].

Определение. Функции k(t) и g(t) называются решением обратной задачи для t ∈

∈ [0, t₀], если: k, g ∈ C[0, t₀], k(t) > 0 для t ∈ [0, t₀], u(x, t; k, g) удовлетворяет уравнению

(1.1) и условиям (1.2), (1.3), (1.7), (1.8) для t ∈ [0, t₀].

Пусть функции k(t) и g(t) являются решением обратной задачи для t ∈ [0, t₀]. Выведем

систему нелинейных операторных уравнений для этих функций.

Продифференцировав формулу (1.6) по x, положив x = 0, x = π и использовав условия

(1.7), (1.8), получим для t ∈ [0, t₀] равенства

(

∫

)

∫

(

∫

)

∑

p(t) =

nϕ_n

exp

-n²

k(θ) dθ

+ nf_n

exp

-n²

k(θ) dθ g(τ) dτ,

(1.10)

n=1

(

∫

)

∑

h(t) =

nϕ_n

cos(nπ) exp

-n²

k(θ) dθ

n=1

∫

(

∫

)

∑

+ nf_n

cos(nπ) exp

-n²

k(θ) dθ g(τ) dτ.

(1.11)

n=1

Введём операторы, действующие на функции k(t) и g(t):

(

∫

)

∑

A₁[k](t) = -

n³ϕ_n

exp

-n²

k(θ) dθ

(1.12)

n=1

(

∫

)

∑

A₂[k](t) = -

n³ϕ_n

cos(nπ) exp

-n²

k(θ) dθ

(1.13)

n=1

∫

(

∫

)

∑

B₁[k;g](t) =

n³fn

exp

-n²

k(θ) dθ g(τ) dτ,

(1.14)

n=1

∫

(

∫

)

∑

B₂[k;g](t) =

n³f_n

cos(nπ) exp

-n²

k(θ) dθ g(τ) dτ.

(1.15)

n=1

Продифференцировав равенства (1.10) и (1.11) по t, с помощью определений (1.12)-(1.15)

получим уравнения

p^′(t) = k(t)A₁[k](t) + g(t)f^′(0) - k(t)B₁[k;g](t),

0≤t≤t₀,

(1.16)

h^′(t) = k(t)A₂[k](t) + g(t)f^′(π) - k(t)B₂[k;g](t),

0≤t≤t₀.

(1.17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

758

ДЕНИСОВ

Введём операторы

Q[k; g](t) = B₁[k; g](t)A₂[k](t) - B₂[k; g](t)A₁[k](t),

(1.18)

p^′(t)f^′(π) - h^′(t)f^′(0)

C[k; g](t) =

(1.19)

(A₁[k](t) - B₁[k; g](t))f^′(π) - (A₂[k](t) - B₂[k; g](t))f^′(0)

p^′(t)A₂[k](t) - h^′(t)A₁[k](t) + k(t)Q[k;g](t)

D[k; g](t) =

(1.20)

A₂[k](t)f^′(0) - A₁[k](t)f^′(π)

Решив систему уравнений (1.16), (1.17), с учётом определений (1.18)-(1.20) получим систему

нелинейных операторных уравнений для функций k(t) и g(t):

k(t) = C[k; g](t),

0≤t≤t₀,

(1.21)

g(t) = D[k; g](t),

0≤t≤t₀.

(1.22)

Таким образом, мы показали, что если функции k(t) и g(t) являются решением обратной

задачи для t ∈ [0, t₀], то они удовлетворяют системе нелинейных операторных уравнений

(1.21), (1.22).

2. Итерационный метод и его сходимость. Система операторных уравнений (1.21),

(1.22) позволяет определить итерационный процесс для решения обратной задачи.

Найдём начальное приближение. Будем предполагать, что выполнено условие

(p^′(0)f^′(π) - h^′(0)f^′(0))(ϕ^′′′(0)f^′(π) - ϕ^′′′(π)f^′(0)) > 0.

(2.1)

Положив в уравнениях (1.21), (1.22) значение t = 0, получим

p^′(0)f^′(π) - h^′(0)f^′(0)

k(0) = k₀ =

> 0,

(2.2)

ϕ′′′(0)f^′(π) - ϕ^′′′(π)f^′(0)

p^′(0)ϕ^′′′(π) - h^′(0)ϕ^′′′(0)

g(0) = g₀ =

f^′(0)ϕ^′′′(π) - f^′(π)ϕ^′′′(0)

Рассмотрим итерационный процесс

km+1(t) = C[k_m;g_m](t),

0 ≤ t ≤ t₀, m = 0,1,2,... ,

(2.3)

gm+1(t) = D[k_m;g_m](t),

0 ≤ t ≤ t₀, m = 0,1,2,... ,

(2.4)

где k₀(t) = k₀, g₀(t) = g₀, и докажем его сходимость к решению обратной задачи.

Теорема. Пусть функции f(x), ϕ(x), p(t) и h(t) удовлетворяют условиям (1.4), (1.5),

(1.9) и (2.1). Тогда существует t₀ ∈ (0, T ] такое, что последовательности функций k_m(t),

g_m(t), m = 0,1,2... , определённых итерационным процессом (2.3), (2.4), равномерно схо-

дятся на отрезке [0, t₀] к функциямk(t),

g(t), являющимся решением обратной задачи для

t ∈ [0,t₀].

Доказательство. Обозначим через

C[0, t₀] пространство вектор-функций

r(t) = {k(t); g(t)},

непрерывных на отрезке [0, t₀] с нормой

∥r∥

C[0,t₀]

= ∥k∥C[0,t0] + ∥g∥C[0,t₀ ].

Введём функцию r₀(t) = {k₀; g₀} и множество

R₀ = {r(t)

C[0, t₀];

∥r - r₀∥

≤ k₀/2}.

C[0,t₀]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

759

Оператор

M [r](t) = {C[k; g](t); D[k; g](t)},

где операторы C[k; g](t), D[k; g](t) определены формулами (1.19), (1.20), отображает множе-

ство R₀ в

C[0, t₀]. Сходимость итерационного процесса (2.3), (2.4) эквивалентна сходимости

метода последовательных приближений

rm+1(t) = M[r_m](t), m = 0,1,2,...

(2.5)

Докажем, что найдётся t₀ ∈ (0, T ] такое, что метод последовательных приближений (2.5)

сходится в норме пространства

C[0, t₀].

Найдём условия, при которых оператор M[r](t) отображает множество R₀ в себя.

Из определения операторов A₁[k](t), A₂[k](t) следует, что для i = 1, 2 и t ∈ [0, t₀] выпол-

няется условие



(

∫

)



∑



|A_i[k](t) - A_i[k](0)| ≤

n³|ϕ_n|

-n²

k(θ) dθ

-1

c₁t₀

для любого r ∈ R₀,

(2.6)

^e

≤

n=1

∑_∞

где c₁ = (3k₀/2)

n⁵|ϕ_n|.

n=1

Здесь и далее через c_i обозначаются положительные постоянные, не зависящие от r ∈ R₀

и t ∈ [0,T].

С учётом определений (1.14), (1.15) получим для i = 1,2 и t ∈ [0,t₀]

∑

|B_i[k; g](t)| ≤ t₀(|g₀| + k₀/2)

n³|f_n| = c₂t₀ при всех r ∈ R₀.

(2.7)

n=1

Обозначим через ω_p(δ) и ω_h(δ) модули непрерывности функций p^′(t) и h^′(t) на отрез-

ке [0, T ].

Выберем t₀ ∈ (0, T ] такое, что

|ϕ^′′′(0)f^′(π) - ϕ^′′′(π)f^′(0)| - (|f^′(π)| + |f^′(0)|)(c₁ + c₂)t₀ ≥ c₃ > 0.

(2.8)

Тогда, использовав определения (1.19), (2.2) и неравенства (2.6)-(2.8), имеем

|C[k; g](t) - k₀| ≤ c-13(ω_p(t₀)|f^′(π)| + ω_h(t₀)|f^′(0)|) + c₄t₀, t ∈ [0, t₀], для всех r ∈ R₀, (2.9)

где

c₄ = c-23|p^′(0)f^′(π) - h^′(0)f^′(0)|(|f^′(π)| + |f^′(0)|)(c₁ + c₂).

С учётом определений операторов A₁[k](t), A₂[k](t) и Q[k;g](t) получим неравенства

|A₁[k](t)| ≤ |ϕ^′′′(0)| + c₁t₀,

|A₂[k](t)| ≤ |ϕ^′′′(π)| + c₁t₀, t∈[0, t₀], для любого r ∈R₀,

(2.10)

|Q[k; g](t)| ≤ c₂t₀(|ϕ^′′′(0)| + |ϕ^′′′(π)| + 2c₁t₀), t ∈ [0, t₀], для любого r ∈ R₀.

(2.11)

Из определения оператора D[k; g](t) и постоянной g₀ следует, что

|D[k; g](t) - g₀| = |D[k; g](t) - D[k; g](0)|.

Учтём определения (1.18), (1.20), неравенство (2.8) и оценки (2.6), (2.7), (2.10), (2.11), в ре-

зультате имеем

|D[k; g](t) - g₀| = |D[k; g](t) - D[k; g](0)| ≤

≤ c-13(ω_p(t₀)(|ϕ^′′′(π)|+c₁t₀)+ω_h(t₀)(|ϕ^′′′(0)|+c₁t₀))+c₅t₀, t ∈ [0,t₀], для всех r ∈ R₀, (2.12)

где

c₅ = c-13((|p^′(0)| + |h^′(0)|)c₁ + 3k₀c₂(|ϕ^′′′(0)| + |ϕ^′′′(π)| + 2c₁T)/2) +

+ c-23c₁(|f^′(0)| + |f^′(π)|)|p^′(0)ϕ^′′′(π) - h^′(0)ϕ^′′′(0)|.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

760

ДЕНИСОВ

Выберем t₀ ∈ (0, T ] так, чтобы выполнялось неравенство

c-13(ω_p(t₀)(|ϕ^′′′(π)| + |f^′(π)| + c₁t₀) + ω_h(t₀)(|ϕ^′′′(0)| + |f^′(0)| + c₁t₀)) + (c₄ + c₅)t₀ ≤ k₀/2. (2.13)

Тогда из неравенств (2.9), (2.12), (2.13) следует, что оператор M[r](t) отображает множество

R₀ в себя.

Получим условия, при выполнении которых оператор M[r](t) является сжимающим на

множестве R₀.

Введём функцию q(t) = p^′(t)f^′(π) - h^′(t)f^′(0).

Пусть r₁(t) = {k₁(t); g₁(t)} и r₂(t) = {k₂(t); g₂(t)} - две произвольные функции из множе-

ства R₀. Из определения (1.19) и неравенства (2.8) следует

∥C[k₁; g₁] - C[k₂; g₂]∥C[0,t0] ≤ c³²∥q∥C[0,T ][|f^′(π)| × ∥A1[k1] - A1[k2]∥C[0,t₀] +

+ |f^′(0)| × ∥A₂[k₁] - A₂[k₂]∥C[0,t

0] +|f′(π)|×∥B1[k1;g1]-B1[k2;g2]∥C[0,t0]⁺

+ |f^′(0)| × ∥B₂[k₁; g₁] - B₂[k₂; g₂]∥C[0,t

(2.14)

0]]^.

С учётом определений (1.12) и (1.13) имеем

∥A_i[k₁] - A_i[k₂]∥C[0,t0] ≤ c6t0∥k1 - k2∥C[0,t₀], i = 1, 2,

(2.15)

∑_∞

где c₆ =

|ϕ_n|n⁵.

n=1

Из определения операторов B_i[k; g](t), i = 1, 2, следует неравенство

∥B_i[k₁; g₁] - B_i[k₂, g₂]∥C[0,t0] ≤ c7t⁰∥k1 - k2∥C[0,t₀] + c8t0∥g1 - g2∥C[0,t₀],

(2.16)

где

∑

c₇ = (|g₀| + k₀/2)

n⁵|f_n|, c₈ =

n³|f_n|.

n=1

Использовав неравенства (2.14)-(2.16), получим

(2.17)

∥C[k₁; g₁] - C[k₂; g₂]∥C[0,t0] ≤ c9t0∥k1 - k2∥C[0,t₀] + c10t0∥g1 - g2∥C[0,t₀],

где c₉ = c-23∥q∥C[0,T](|f^′(π)| + |f^′(0)|)(c₆ + c₇T ), c₁₀ = c-23∥q∥C[0,T](|f^′(π)| + |f^′(0)|)c₈.

Рассмотрим ∥Q[k₁; g₁] - Q[k₂; g₂]∥C[0,t0]. Из формул (1.12)-(1.15) следует, что для

любого

r ∈ R₀ и t ∈ [0,t₀] справедливы неравенства

|A_i[k](t)| ≤ c₁₁;

|B_i[k; g](t)| ≤ c₈t₀(|g₀| + k₀/2), i = 1, 2,

(2.18)

∑∞

где c₁₁ =

n³|ϕ_n|.

n=1

Тогда

∥Q[k₁; g₁] - Q[k₂; g₂]∥C[0,t0] ≤

≤ c₈t²⁰(2|g₀| + k₀)c₆∥k₁ - k₂∥C[0,t

0] +2c11(c7t0∥k1^-k2^∥C[0,t0]+c8^t0^∥g1^-g2^∥C[0,t0]⁾⁼

= c₁₂t²⁰∥k₁ - k₂∥C[0,t

(2.19)

0] +^c13^t0^∥g1^-g2^∥C[0,t0]^,

где c₁₂ = c₈(2|g₀| + k₀)c₆ + 2c₁₁c₇, а c₁₃ = 2c₁₁c₈.

С учётом оценок (2.15), (2.16), (2.18) и (2.19) имеем

[

∥D[k₁; g₁] - D[k₂; g₂]∥C[0,t0] ≤ c³¹t0

(∥p^′∥C[0,T] + ∥h^′∥C[0,T])c₆∥k₁ - k₂∥C[0,t

0] +

]

3k₀

+ c₁₁c₈(2|g₀| + k₀)∥k₁ - k₂∥C[0,t0] +

(c₁₂t₀∥k₁ - k₂∥C[0,t0] + c13∥g1 - g2∥C[0,t₀])

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

761

+ c-23t₀[(∥p^′∥C[0,T] + ∥h^′∥C[0,T])c₁₁ + 3k₀c₁₁c₈t₀(|g₀| + k₀/2)](|f^′(0)| + |f^′(π)|)c₆∥k₁ - k₂∥C[0,t

0] =

(2.20)

= t₀(c₁₄ + c₁₅t₀)∥k₁ - k₂∥C[0,t0] + t0c16∥g1 - g2∥C[0,t₀],

где

c₁₄ = c-13[(∥p^′∥C[0,T] + ∥h^′∥C[0,T])c₆ + c₁₁c₈(2|g₀| + k₀)] +

+ c-23(∥p^′∥C[0,T] + ∥h^′∥C[0,T])c₁₁(|f^′(0)| + |f^′(π)|)c₆,

c₁₅ = 3k₀c-13c₁₂/2 + c-233k₀c₁₁c₈(|g₀| + k₀/2)(|f^′(0)| + |f^′(π)|)c₆,

а c₁₆ = c-133k₀c₁₃/2.

Пусть t₀ ∈ (0, T ] такое, что выполняются неравенства

c₉t₀ + (c₁₄ + c₁₅t₀)t₀ ≤ α,

(2.21)

c₁₀t₀ + c₁₆t₀ ≤ α,

(2.22)

где α - положительная постоянная, α < 1. Тогда из неравенств (2.17), (2.20)-(2.22) и опреде-

ления оператора M[k; g](t) следует, что он является сжимающим на множестве R₀.

С учётом неравенств (2.8), (2.13), (2.21) и (2.22) получаем, что существует t₀ ∈ (0,T] такое,

что оператор M[k; g](t) отображает множество R₀ в себя и является сжимающим на этом мно-

жестве. Следовательно, функции k_m(t), g_m(t) при m → ∞ равномерно сходятся на отрезке

[0, t₀] к непрерывным функциям

^k(t) и

g(t), являющимся решением системы операторных

уравнений (1.21), (1.22). Тогда эти функции удовлетворяют системе уравнений (1.16), (1.17).

Проинтегрировав эти уравнения с учётом условий (1.9), получим, что^k(t) и g(t) являются

решением системы уравнений (1.10), (1.11). Таким образом, функция u(x, t;k, g) удовлетворя-

ет уравнению (1.1) и условиям (1.2), (1.3), (1.7), (1.8) для t ∈ [0, t₀]. Следовательно, функции

^k(t) и

g(t) являются решением обратной задачи для t ∈ [0, t₀]. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-

ский Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и

прикладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1935.

Т. 1. № 5. С. 294-300.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики

и анализа. Новосибирск, 1980.

3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференци-

альных уравнений. Новосибирск, 1969.

4. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М., 1988.

6. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994.

7. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.V. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics.

New York, 2000.

8. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York, 2006.

9. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, 2008.

10. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической

физики. М., 2009.

11. Музылев Н.В. О единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и

объемной теплоемкости // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1983. Т. 23. № 1. С. 102-108.

12. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений

// Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. № 3. С. 533-536.

13. Иванчов Н.И., Пабыривска Н.В. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в

параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43. № 2. С. 406-413.

14. Fatullayev A.C., Gasilov N., Yusubov I. Simultaneous determination of unknown coefficients in a parabolic

equation // Appl. Anal. 2008. V. 87. № 10. P. 1167-1177.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

762

ДЕНИСОВ

15. Hussein M.S., Lesnic D., Ivanchov M.I. Simultaneous determination of time-dependent coefficients in

the heat equation // Comp. and Math. with Appl. 2014. V. 67. № 5. P. 1065-1091.

16. Su L.D., Vabishechevish P.N., Vasil’ev V.I. The inverse problem of simultaneous determination of right-

hand side and the lowest coefficients in parabolic equations // 6th Intern. Conf. “Numerical Analysis and

its Applications” / Eds. I. Dimov, I. Farago, I. Vulkov. Lozenetz, Bulgaria, June 15-22, 2016. P. 633-639.

17. Камынин В.Л. Об обратной задаче одновременного определения двух зависящих от времени млад-

ших коэффициентов в недивергентном параболическом уравнении на плоскости // Мат. заметки.

2020. Т. 107. № 1. С. 74-86.

18. Бимуратов С.Ш., Кабанихин С.И. Решение одномерной обратной задачи электродинамики мето-

дом Ньютона-Канторовича // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1992. Т. 32. № 12.

С. 1900-1915.

19. Monch L. A Newton method for solving inverse scattering problem for a sound-hard obstacle // Inverse

Problems. 1996. V. 12. № 3. P. 309-324.

20. Kabanikhin S.I., Scherzer O., Shichlenin M.A. Iteration method for solving a two-dimensional inverse

problem for hyperbolic equation // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2003. V. 11. № 1. P. 1-23.

21. Yan-Bo Ma. Newton method for estimation of the Robin coefficient // J. Nonlin. Sci. Appl. 2015. V. 8.

№ 5. P. 660-669.

22. Денисов А.М. Итерационный метод решения обратной коэффициентной задачи для гиперболиче-

ского уравнения // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 7. С. 943-949.

23. Баев А.В., Гаврилов С.В. Итерационный метод решения обратной задачи рассеяния для систе-

мы уравнений акустики в слоисто-неоднородной среде с поглощением // Вестн. Моск. гос. ун-та.

Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика. 2018. № 2. С. 7-14.

24. Гаврилов С.В., Денисов А.М. Численные методы решения нелинейного операторного уравнения,

возникающего в обратной коэффициентной задаче // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 7.

С. 900-906.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 11.02.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 11.02.2022 г.

Принята к публикации 25.05.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022