ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.777-794

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.226

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

ЗАДАЧИ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ ОБОБЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ

Метод усреднения дифференциальных операторов, основанный на асимптотическом раз-

ложении по малому параметру, широко используется в математике и физике. Он позволяет

помимо теоремы усреднения получать оценки разности точного решения и его приближе-

ний. Настоящая работа посвящена оценкам погрешности усреднения обобщённого уравне-

ния Бельтрами с локально-периодическими коэффициентами.

DOI: 10.31857/S0374064122060061, EDN: CDDWLR

Теория G-сходимости и усреднения дифференциальных операторов бурно развивается с

семидесятых годов прошлого столетия. Этот раздел дифференциальных уравнений имеет мно-

гочисленные приложения в различных областях физики и механики сплошных сред (см. [1] и

библиографию в ней). Операторные оценки погрешности классических задач усреднения хоро-

шо изучены В.В. Жиковым, М.Ш. Бирманом, Т.А. Суслиной и их учениками (см., например,

[2, 3]).

Операторным оценкам погрешности усреднения эллиптических операторов второго поряд-

ка дивергентного вида с локально-периодическими коэффициентами посвящены работы [4-6].

Термин “операторные оценки усреднения” был предложен В.В. Жиковым в статье [7].

Данная работа посвящена оценкам погрешности усреднения задачи Римана-Гильберта для

обобщённого уравнения Бельтрами с локально-периодическими коэффициентами:

A_εw_ε ≡ ∂_zw_ε + μ(x,ε-1x)∂_zw_ε + ν(x,ε-1x)∂_zw_ε = f ∈ L₂(Q;C),

{

∫

}

w_ε ∈ W₀(Q) = w ∈ W¹²(Q;C) : Re w|_∂Q = 0,

Imw dx = 0 ,

где ε > 0 - малый параметр. Это уравнение является недивергентным, поэтому полученные

оценки погрешности усреднения, естественно, отличаются от оценок для дивергентных опера-

торов.

Отметим, что оценки погрешности классического усреднения (порядка O(√ε)) задачи

Римана-Гильберта для обобщённых уравнений Бельтрами с периодическими коэффициента-

ми получены в работах [8, 9]. Оценки погрешности усреднения (порядка O(ε)) периодической

задачи для таких уравнений приводятся в работе [10].

Оценки усреднения порядка O(√ε) задачи Римана-Гильберта для уравнения Бельтра-

ми с локально-периодическим коэффициентом получены в статье [11]. Переход от уравнения

Бельтрами к обобщённому уравнению Бельтрами вызывает определённые трудности. Дело в

том, что уравнение Бельтрами является C-линейным уравнением, а обобщённое уравнение

Бельтрами - R-линейным уравнением. Поэтому методы изучения вопросов усреднения для

обобщённого уравнения значительно сложнее, чем для уравнения Бельтрами.

В работе получены операторные оценки погрешности усреднения порядка O(√ε) задачи

Римана-Гильберта для обобщённого уравнения Бельтрами с локально-периодическими ко-

эффициентами μ(x, ε-1x), ν(x, ε-1x). Функции μ(x, y), ν(x, y) - измеримые ограниченные

функции, удовлетворяющие условию эллиптичности

vraisup (|μ(x,y)| + |ν(x,y)|) ≤ k₀ < 1.

(x,y)∈Q×□

777

778

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

Кроме того, μ(x, y) и ν(x, y), как функции x, равномерно непрерывны по Липшицу, а как

функции y - периодические. Эти оценки получены как в пространствах Соболева, так и в

пространствах Лебега.

Обозначения. Q ⊂ R² - ограниченная односвязная область плоскости, Q - замыкание

области Q, запись Q₁ ⋐ Q означает, что замыкание Q₁ - компакт из Q.

∂_z = 2-1(D₁ + iD₂),

∂z = 2-1(D1 - iD2), Dj = Dxj = ∂/∂xj, j = 1,2, i - мни-

мая единица. L₂(Q; C) - пространство Лебега комплекснозначных квадратично суммируемых

функций над полем действ

∫

венством (u, v)L2(Q;C) = Re_Q uv dx, u, v ∈ L2(Q; C), где

v - комплексно-сопряжённая к v

функция. Соответствие L₂(Q; C) ∋ u = u₁ + iu₂ → (u₁, u₂) = U ∈ (L₂(Q))² есть изомор-

физм, причём (U, V )(L2(Q))2 = (u, v)L2(Q;C).Всепространства,используемыевработе,еслине

оговорено противное, являются пространствами над полем действительных чисел.

W^kp(Q;C) - пространство Соболева комплекснозначных функций.

(Q; C) - подпро-

странство W¹²(Q; C), состоящее из элементов с нулевыми следами на границе.

□ - (ячейка периодов) квадрат со сторонами, параллельными осям координат, c длиной

стороны равной T.

Периодической будем называть функцию периода T по каждой переменной. Среднее зна-

чение периодической функции w обозначим символом 〈w〉, т.е.

∫

〈w〉 = T-2 w(x) dx = |□|-1 w(x) dx.

□

Пусть w(x, y) - периодическая по y функция, тогда 〈w(x, · )〉_y - среднее значение по y.

L_p(□;C), W1p(□;C), p ≥ 1, - пространства Лебега и Соболева периодических функций. Ска-

лярное произведение в L₂(□; C) задаёт равенство (u, v)L2(□;C) = Re 〈uv〉, u, v ∈ L2(□; C).

⇀ - знак слабой сходимости в соответствующем пространстве.

Пусть Ω - произвольная подобласть плоскости R², g(x, y) (x ∈ Ω, y ∈ R²) - непрерывная

по x ∈ Ω периодическая по y функция такая, что g(x, y) для любого x ∈ Ω как функция

переменной y принадлежит L_p(□; C), p ≥ 1, и пусть семейство {g^ε}, {gε} = {g(x, ε-1x)},

ограничено в L_p(Ω₁; C). Тогда g(x, ε-1x) ⇀ 〈g(x, · )〉_y в пространстве L_p(Ω₁; C) при ε → 0,

где Ω₁ - произвольная ограниченная подобласть области Ω .

W₀(Q) - подпространство W¹²(Q;C), элементы которого удовлетворяют соотношениям

∫

Re w ∈W12(Q;C),

Imw dx = 0.

В случае, когда это не вызывает вопросов, как уравнение, так и оператор соответствующей

краевой задачи обозначаем одним и тем же символом.

1. Формулировка результатов.

1.1. Задача Римана-Гильберта. В ограниченной односвязной области Q с кусочно-

гладкой границей рассмотрим задачу Римана-Гильберта (Р-Г) для обобщённого уравнения

Бельтрами

Aw ≡ ∂_zw + μ∂_zw + ν∂_zw = f ∈ L₂(Q; C), w ∈ W₀(Q),

(1)

где коэффициенты μ = μ(x), ν = ν(x) - измеримые ограниченные комплекснозначные функ-

ции, удовлетворяющие условию эллиптичности

vraisup(|μ(x)| + |ν(x)|) ≤ k₀ < 1,

(2)

x∈Q

k₀ > 0 - постоянная (константа эллиптичности).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

779

Как известно, имеет место

Теорема 1 (см. [12, 13]). Задача Римана-Гильберта (1), (2) (Р-Г) однозначно разрешима

для любой правой части f из L₂(Q; C), причём имеют место априорные оценки

∫

(1 - k₀)∥∂_zw∥2L

≤ Re Aw · ∂_zw dx, w ∈ W₀(Q),

2(Q;C)

(1 - k₀)∥∂_zw∥L2(Q;C) ≤ ∥Aw∥L₂ (Q;C) ≤ (1 + k0)∥∂zw∥L₂(Q;C), w ∈ W0(Q).

(3)

Выражение ∥w∥W0(Q) = ∥∂zw∥L₂(Q;C), w ∈ W0(Q), задаёт в подпространстве W0(Q) нор-

му, эквивалентную норме исходного пространства W¹²(Q; C) (см. [12, 13]), поэтому имеют

место оценки

c₁∥w∥_W1

(Q;C)

≤ ∥Aw∥L2(Q;C) ≤ c2∥w∥W12 (Q;C)^,

(4)

где c₁, c₂ > 0 - постоянные, зависящие только от постоянной эллиптичности k₀ и области Q.

Теорема 2. Пусть w ∈ W¹²(Q; C) - решение уравнения (1), коэффициенты μ = μ(x),

ν = ν(x) которого равномерно непрерывны по Липшицу в Q, т.е. выполняется неравенство

|ϕ(x^′) - ϕ(x)| ≤ L|x^′ - x|, x, x^′ ∈ Q, ϕ ∈ {μ, ν},

где L > 0 - постоянная. И пусть f ∈ W¹²(Q; C), тогда w ∈ W22,loc(Q) и в любой компактной

подобласти Q₁ ⋐ Q имеет место оценка

∥w∥_W 2

≤ c(∥f∥_W 1

+ ∥w∥_W 1

(5)

(Q₁;C)

(Q;C)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и dist (Q₁, ∂Q).

Пусть дополнительно граница ∂Q принадлежит классу C² и w принадлежит W₀(Q),

тогда w принадлежит W₀(Q)

^⋂W²²(Q;C) и имеет место оценка

∥w∥_W 2

≤ c∥f∥_W 1

(6)

(Q;C)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и Q.

Доказательство теоремы 2 см. ниже в п. 2.

1.2. G-сходимость. Обозначим через A(k₀) множество обобщённых операторов Бельтра-

ми (1),

A(k₀) - подмножество A(k₀) операторов Бельтрами ((1) с ν = 0).

Определение 1. Считаем, что последовательность операторов {A_k} из класса A(k₀) G-

→ A), если для любого f ∈

∈ L₂(Q;C) последовательность {w_k} решений задачи Р-Г: A_kw_k = f, w_k ∈ W₀(Q), сходится

в L₂(Q;C). Сходимость в L₂(Q;C) можно заменить на слабую сходимость в W¹²(Q;C) к ре-

шению задачи Р-Г: Aw = f, w ∈ W₀(Q). Эквивалентность полученных при этом определений

следует из оценок (4) и компактности вложения W¹²(Q; C) ⊂ L₂(Q; C).

G-предел определён единственным образом и классы A(k₀),

A(k₀) G-компактны (см. [12]).

G-сходимость обладает следующим свойством сходимости “произвольных” решений: пусть

→ A, w_k ⇀ w в W¹²(Q; C), f_k → f в L₂(Q; C), A_kw_k = f_k, тогда Aw = f (см. [12]).

1.3. Понятие усреднения. Рассмотрим задачу Р-Г с малым параметром ε > 0:

A_εw_ε ≡ ∂_zw_ε + μ^ε∂_zw_ε + ν^ε∂_zw_ε = f ∈ L₂(Q;C), w_ε ∈ W₀(Q).

(7)

Всюду в работе коэффициенты μ^ε = μ^ε(x), ν^ε = ν^ε(x) - измеримые ограниченные функции,

имеющие локально-периодическую структуру:

μ^ε(x) = μ(x,ε-1x), ν^ε(x) = ν(x,ε-1x),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

780

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

т.е. функции μ(x, y), ν(x, y) периодические по второй переменной y (периодичность по пер-

вой переменной x не требуется). Кроме того, функции μ(x, y), ν(x, y) равномерно непрерыв-

ны по Липшицу по первой переменной x, т.е. справедлива оценка

|ϕ(x^′, y) - ϕ(x, y)| ≤ L|x^′ - x|, x, x^′ ∈ Q, п.в. y ∈ □, ϕ ∈ {μ, ν},

(8)

где L > 0 - постоянная, и μ(x, y), ν(x, y) удовлетворяют условию эллиптичности

vraisup (|μ(x,y)| + |ν(x,y)|) ≤ k₀ < 1.

(9)

(x,y)∈Q×□

Очевидно, что оператор A_ε принадлежит классу A(k₀).

Определение 2. Будем считать, что семейство {A_ε} операторов краевой задачи (7) до-

→ A ∈ A(k₀) при ε → 0.

В вопросах усреднения важную роль играет ядро оператора A^∗, сопряжённого оператору

периодической по y = (y₁, y₂) задачи

Aw ≡ ∂_ξw + μ(x,y)∂_ξw + ν(x,y)∂_ξw = f ∈ L₂(□;C), w(x,·) ∈ W¹²(□;C),

(10)

где x ∈ Q играет роль параметра,

(

)

(

)

∂

=2-1

∂_ξ = 2-1

-i

∂y₁

∂y₂

∂y₁

∂y₂

Сформулируем в виде теоремы результаты по периодической задаче из работы [14], необ-

ходимые в дальнейшем.

Теорема 3. Пусть x ∈ Q, тогда справедливы следующие утверждения.

1. Для периодической задачи имеют место оценки

c₁〈|

(□; C),

(11)

w(x, · )|²〉_y ≤ Re 〈Aw(x, · ) · ∂¯_ξw(x, · )〉y, w(x, · ) ∈

c₁〈|

w(x, · )|²〉1/2y ≤ 〈|Aw(x, · )|²〉1/2y ≤ c₂〈|∂¯_ξw(x, · )|²〉y/2, w(x, · ) ∈

(□; C),

(12)

где c₁ = 1 - k₀, c₂ = 1 + k₀. Первое из этих неравенств будем называть “неравенством

острого угла”.

2. Периодическая задача (10) фредгольмова.

3. Ядра Ker A^∗ и Ker A(= C) - двумерные подпространства пространств L₂(□; C) и

W¹²(□;C) соответственно (напомним, что наши пространства - пространства над полем

R), причём один из базисов {p₁,p₂} ядра Ker A^∗ обладает свойствами

〈p₁(x, · )〉_y = 1,

〈p₂(x, · )〉_y = i.

(13)

В случае оператора Бельтрами (ν = 0) имеем p₂ = ip₁.

Пусть w = w(y), w = w₁ + iw₂ ∈ W¹²(□; C), тогда имеют место равенства

∑

〈|

w|²〉_y = 〈|∂_ξw|²〉_y = 4-1

〈|∇w_j |²〉_y.

(14)

j=1

Справедливость равенств (14) достаточно проверить для гладких периодических w = w₁ +

+ iw₂ ∈ C²(□; C). Легко видеть, что имеет место равенство

∑

〈|

w|²〉_y = 4-1

〈|∇w_j|²〉_y +

j=1

∫

+ 2-1|□|-1 (Dy2w₁Dy1w₂ - Dy1w₁Dy2w₂)dy, w ∈ C²(□;C).

(15)

□

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

781

(Аналогичное равенство, со знаком минус перед вторым слагаемым справа, имеет место и для

〈|∂_ξ w|²〉_y.) Второе слагаемое справа в (15) равно нулю, в чем можно убедиться, перебросив про-

изводные с w₁ на w₂ с учётом периодичности. (При этом граничный интеграл равен нулю, так

как нормали к противоположным сторонам ячейки периодов противоположно направлены.)

Отсюда вытекают равенства (14).

1.4. Задача на ячейке периодов. Для применения асимптотических методов при полу-

чении оценок погрешности усреднения уравнения (7) нам потребуются периодические решения

следующей задачи на ячейке периодов:

AN_j ≡

N_j(x,y) + μ(x,y)∂_ξN_j(x,y) + ν(x,y)

N_j(x,y) = χ_j(x,y),

N_j(x,·) ∈ W¹²(□;C),

〈N_j (x, · )〉_y = 0, j = 1; 2,

(16)

где x ∈ Q выступает в роли параметра, □ - квадрат периодов со стороной T,

χ₁(x,y) = 2-1(μ⁰(x) + ν⁰(x) - μ(x,y) - ν(x,y)),

(17)

χ₂(x,y) = 2-1i(μ⁰(x) - ν⁰(x) - μ(x,y) + ν(x,y)).

Здесь и всюду далее μ⁰(x), ν⁰(x) - функции, определённые формулами

μ⁰(x) = 〈μ(x,·)Q(x,·) + ν(x,·)P(x,·)〉_y, ν⁰(x) = 〈μ(x,·)P(x,·) + ν(x,·)Q(x,·)〉_y,

(18)

где

P(x, y) = 2-1(p₁(x, y) + ip₂(x, y)), Q(x, y) = 2-1(p₁(x, y) + ip₂(x, y))

(p₁, p₂ - базисные векторы из теоремы 3, p₁, p₂ - комплексно-сопряжённые функции p₁, p₂).

В случае уравнения Бельтрами (ν = 0) имеем μ⁰(x) = 〈μ(x, · )p₁(x, · )〉_y, ν⁰ = 0.

Теорема 4. Для каждого x ∈ Q задача (16) однозначно разрешима.

Действительно, согласно теореме 3 для разрешимости задачи необходимо и достаточно,

чтобы для каждого x ∈ Q функции χ₁(x, y), χ₂(x, y) как функции y были ортогональны

базисным векторам p₁ и p₂ из ядра оператора Ker A^∗. Это легко проверить, использовав

равенства (13). Единственность решения следует из неравенства острого угла (11) ввиду нера-

венства Пуанкаре.

В случае уравнения Бельтрами имеем ν = 0, ν⁰ = 0, следовательно, χ₂ = iχ₁. Значит,

N₂ = iN₁.

1.5. Свойства решений задачи на ячейке.

Свойство 1. Пусть N_j, j = 1, 2, - решение задачи (16), тогда отображение Q ∋ x →

→ N_j(x,·) ∈ W¹²(□;C) ограничено, причём имеет место оценка

∥N_j (x, · )∥_W 1

(□;C)

≤ c, x ∈ Q, j = 1, 2,

(19)

где c > 0 - постоянная, определяемая только по постоянной эллиптичности k₀.

Следствие 1. Функции μ⁰(x), ν⁰(x), x ∈ Q, определённые формулами (18), ограничены

постоянной, зависящей только от постоянной эллиптичности k₀.

Свойство 2. Найдётся число q > 2 (показатель повышенной суммируемости), завися-

щее только от постоянной эллиптичности k₀, такое, что решения N_j , j = 1, 2, принад-

лежат W1q(□; C) и имеют место неравенства

∥N_j (x, · )∥_W 1

(20)

∥N_j (x, · )∥Cα (□;C)≤c,

(□;C) ≤ c, j = 1, 2, для всех x ∈ Q,

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀,

2 < r ≤ q,

α = (r - 2)/r.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

782

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

Свойство 3. Пусть N_j, j = 1, 2, - решение задачи (16), тогда отображение Q ∋ x →

→ N_j(x,·) ∈ W¹²(□;C) липшицево, т.е. справедлива оценка

∥N_j (x, · ) - N_j(x^′, · )∥_W 1

(□;C)

≤ c|x - x^′|, x, x^′ ∈ Q,

(21)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀ и постоянной

Липшица L.

Следствие 2. Функции μ⁰(x) и ν⁰(x), определённые формулами (18), равномерно непре-

рывны по Липшицу в замыкании Q, т.е.

|ϕ(x) - ϕ(x^′)| ≤ L₁|x - x^′|, x, x^′ ∈ Q, ϕ ∈ {μ⁰, ν⁰},

где L₁ > 0 - постоянная, зависящая только от k₀ и L.

Свойство 4. Пусть q > 2 - показатель повышенной суммируемости из свойства 2 и

пусть 2 < r ≤ q. Тогда отображение Q ∋ x → N_j(x,·) ∈ W1r(□;C), j = 1,2, липшицево:

∥N_j (x, · ) - N_j(x^′, · )∥_W 1

(22)

r (□;C) ≤c|x-x′|,x,x′ ∈Q,j=1,2,

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀ и постоянной

Липшица L.

Следствие 3. Решение N_j = N_j(x, y), j = 1, 2, задачи (16) непрерывно в Q × □, лип-

шицево по x в Q и гёльдерово по y в □ с показателем α = (r - 2)/r (2 < r ≤ q, q > 2 -

показатель повышенной суммируемости), т.е. для любых x,x^′ ∈ Q, y,y^′ ∈ □ имеем

|N_j (x, y) - N_j(x^′, y^′)| ≤ c₀|x - x^′| + c₁|y - y^′|^α, j = 1, 2,

(23)

где c₀, c₁ > 0 - постоянные, зависящие только от k₀ и L.

Кроме того, производные

Dxl N_j(x,y) = ∂N_j(x,y)/∂x_l, j,l = 1,2,

принадлежат пространству L_∞(Q × □;C) и имеют место оценки

∥N_j ∥L∞(Q×□;C) ≤ c0,

∥Dxl N_j (x, y)∥L∞(Q×□;C) ≤ c1,

(24)

где c₀, c₁ > 0 - постоянные: c₀ - зависит только от k₀, c₁ - от k₀ и L.

1.6. Вспомогательные утверждения. Пусть Q - ограниченная гладкая (класса C²)

область плоскости. Тогда справедлива следующая

Лемма 1. Пусть a = a(x, y) ∈ Lip (Q, L_r(□; C)),

1 < r < 2 (т.е. a периодична по

y и равномерно непрерывна по Липшицу как функция x ∈ Q со значениями в L_r(□;C)),

a(x, y) ≥ 0 (x ∈ Q, y ∈ □) и пусть a^ε(x) = a(x, ε-1x), x ∈ Q. Тогда для любого w ∈

∈ W¹²(Q;C) имеют место неравенства

∫

aε(x)|w|² dx ≤ c(∥w∥2L

+ ε²∥w∥2W1

(25)

2 (Q;C)

(Q;C)

∫

aε(x)|w|² dx ≤ cε∥w∥2W1

(26)

(Q;C)

⋂

Qε

для всех достаточно малых ε, ε ≤ ε₀(Q), где Q_ε - ε-окрестность границы ∂Q, постоянная

c > 0 зависит только от области Q и max∥a(x, · )∥Lr (□;C) .

x∈Q

Доказательство леммы 1 см. в п. 4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

783

Пусть Q ⊂ R² - ограниченная односвязная область с гладкой (класса C²) границей, коэф-

фициенты уравнения (7) - локально-периодические функции, удовлетворяющие соотношениям

(8), (9) и пусть w⁰ ∈ W²²(Q; C)

^⋂W₀(Q), f = A₀w⁰, где A₀w⁰ ≡ ∂_zw⁰ +μ⁰(x)∂_zw⁰ +ν⁰(x)∂_zw0

(коэффициенты μ⁰(x), ν⁰(x) определены формулами (18)),

wε1(x) = w⁰(x) + ε(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)), y = ε-1x,

(27)

где N(x, y) = N₁(x, y) - iN₂(x, y), M(x, y) = N₁(x, y) + iN₂(x, y), N₁ и N₂ - периодические

решения задачи на ячейке (см. теорему 4). Легко видеть, что имеет место равенство

A_εwε1 = f + εr_ε,

(28)

где

r_ε = N(x,y)(∂2¯zzw⁰(x) + μ(x,y)∂2zzw⁰(x)) + ν(x,y)N(x,y)∂2¯z¯zw⁰(x) +

+ M(x,y)(∂2¯z¯zw⁰(x) + μ(x,y)∂2z¯zw⁰(x)) + ν(x,y)M(x,y)∂2¯zzw⁰(x) +

+ ∂_zw⁰(x)(∂_zN(x,y) + μ(x,y)∂_zN(x,y)) + ν(x,y)∂_zN(x,y)∂_zw⁰(x) +

+ ∂_zw⁰(x)(∂_zM(x,y) + μ(x,y)∂_zM(x,y)) + ν(x,y)∂_zM(x,y)∂_zw⁰(x), y = ε-1x.

(29)

Справедлива

Лемма 2. Невязка (29) r_ε ограничена в L₂(Q; C), причём

(30)

∥r_ε∥L2(Q;C) ≤ c∥w⁰∥W 22(Q;C),

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀ и постоянной

Липшица L. А также имеют место следующие оценки:

∥A_εwε1 - A₀w⁰∥_L

∥A_εwε1 - A_εw_ε∥_L

(31)

2(Q;C) ≤cε∥w0∥W²²(Q;C)^,

∥wε1 - w⁰∥_L

(Q; C) при ε → 0,

(32)

2(Q;C) ≤cε∥w0∥W 22(Q;C),w1 ⇀w0 в

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k0 и L, wε - решение задачи Римана-

Гильберта (7), функция wε1 определена в формуле (27).

1.7. Усреднение и оценки погрешности усреднения. Справедлива следующая

Теорема 5 (об усреднении). Для семейства {A_ε} операторов краевой задачи Римана-

Гильберта (7) имеет место усреднение, причём коэффициенты усреднённого оператора A₀,

A₀w ≡ ∂_zw + μ⁰(x)∂_zw + ν⁰(x)∂_zw, w ∈ W₀(Q), - равномерно непрерывные по Липшицу в Q

функции и определяются равенствами (18).

Сформулируем основные утверждения работы. В качестве первого приближения к реше-

нию w_ε задачи Римана-Гильберта для обобщённого уравнения Бельтрами (7) с локально-

периодическими коэффициентами по аналогии с первым приближением к решению задачи

Римана-Гильберта для обобщённого уравнения Бельтрами (см. [15]) с периодическими коэф-

фициентами возьмём функцию (27):

wε1(x) = w⁰(x) + ε(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)),

где теперь w⁰ - решение усреднённой задачи

A₀w ≡ ∂_zw + μ⁰(x)∂_zw + ν⁰(x)∂_zw = f ∈ W¹²(Q;C), w ∈ W₀(Q).

Заметим, что w⁰ ∈ W²²(Q; C)

^⋂W₀(Q) ввиду теоремы 2, так как f ∈ W¹²(Q;C).

Теорема 6 (оценки погрешности усреднения). Пусть Q - ограниченная односвязная об-

ласть с гладкой (класса C²) границей и пусть правая часть f задачи Р-Г (7) принадлежит

пространству W¹²(Q;C), тогда для малых ε, ε ≤ ε(Q), имеют место оценки

∥w_ε - wε1∥_W 1

≤c

√ε∥f∥_W 1

∥w_ε - w⁰∥_L

√ε∥f∥_W 1

(33)

(Q;C)

2(Q;C) ≤^c

(Q;C)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

784

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀, постоянной

Липшица L и области Q.

Доказательство теоремы 6 см. в п. 5.2.

Теорема 7 (операторные оценки усреднения). Справедливы следующие операторные оцен-

ки усреднения задачи Римана-Гильберта (7):

∥(A-1ε - A-10)∂-1z∥_L

√ε,

∥A-1ε - A-10∥_W

√ε,

(34)

2(Q;C)→L2(Q;C) ≤^c

0(Q)→L2(Q;C) ≤^c

∥(A-1ε - A-10)∂-1z - ε(N^ε∂_zA-10∂-1z + M^ε∂_zA-10∂-1z)∥_L

≤c√ε,

(35)

2(Q;C)→

(Q;C)

∥A-1ε - A-10 - ε(N^ε∂_zA-10 + M^ε∂_zA-10)∥_W 1

√ε,

(36)

(Q;C)→W¹²(Q;C) ≤^c

где c > 0 - постоянная из (33); ∂-1z - оператор, обратный к оператору краевой задачи (7)

для уравнения Коши-Римана; A-10∂-1z - оператор, определённый равенством

A-10∂-1zv = A-10∂-1zv,

аналогичный смысл имеет и оператор A-10. Здесь

N^ε =N₁(x,ε-1x) - iN₂(x,ε-1x), M^ε = N₁(x,ε-1x) + iN₂(x,ε-1x),

N₁(x,y), N₂(x,y) - решения задачи на ячейке (см. теорему 4); A-1ε, A-10 - операторы, об-

ратные к операторам соответствующих задач Римана-Гильберта.

В случае оператора Бельтрами (ν = 0) ввиду теоремы 4 имеем N^ε = 2Nε1, M^ε = 0.

Следовательно, корректоры в (35), (36) упрощаются и мы имеем более простые оценки.

2. Доказательство теоремы 2. Пусть в уравнении (1)

w = u + iv, μ = a + ib, ν = c + id, f = f₁ + if₂.

Тогда уравнение (1), выделив действительную и мнимую части, легко представить в виде

системы двух действительных уравнений:

-Dx2v + J-1(|1 + μ|² - |ν|²)Dx1 u + 2J-1(b - d)Dx2 u = F₁,

Dx1 v + 2J-1(b + d)Dx1 u + J-1(|1 - μ|² - |ν|²)Dx2 u = F₂,

(37)

где

J = |1 - ν|2 - |μ|², F₁ = 2J-1((1 +a - c)f1 + (b - d)f₂), F₂ = 2J-1((b + d)f1 + (1 -a - c)f₂).

Система (37) - равномерно эллиптическая система. (Действительно, записав её в матричной

форме с искомым вектором (u, v)^т, получим, что условием эллиптичности будет положитель-

ная определённость следующей квадратичной (относительно ξ = (ξ₁, ξ₂)) формы:

K(x, ξ) = J-1(|1 + μ|² - |ν|²)ξ²¹ + 4J-1bξ₁ξ₂ + J-1(|1 - μ|² - |ν|²)ξ²².

(38)

Заметим, что имеют место неравенства

)₂

⁽1-k₀

|ξ|² ≤ K(x, ξ) ≤

⁽1 + k₀)²|ξ|2, п.в. x ∈ Q,

1+k₀

1-k₀

где k₀ > 0 - постоянная эллиптичности. Это и означает, что система (37) равномерно эллип-

тическая.) По условию u = Re w принадлежит пространству W¹²(Q; C), и из системы (37)

вытекает, что u удовлетворяет эллиптическому уравнению второго порядка

div (a(x)∇u) - 2Dx1 dDx2 u + 2Dx2 dDx1 u = g,

(39)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

785

где a(x) - матрица квадратичной формы (38),

g = Dx1F1 + Dx2F₂ = 2Dx1(J-1((1 + a - c)f1 + (b - d)f₂)) + 2Dx2(J-1((b +d)f1 +(1 - a -c)f₂)).

Коэффициенты μ и ν уравнения (1) - ограниченные липшицевы функции, поэтому из

свойств таких функций следует липшицевость коэффициентов матрицы a(x) = {a_jl(x)} и

коэффициентов при f₁ и f₂ в (37), причём коэффициенты Липшица зависят только от k₀

и L. Кроме того, коэффициенты Dx1 d, Dx2 d по теореме Радемахера-Степанова ограничены

постоянной L. Функции f₁, f₂ принадлежат пространству W¹²(Q), поэтому с учётом теоремы

Радемахера-Степанова получим

∥g∥L2(Q) ≤ c(∥f1∥W 12(Q)+∥f2^∥W 12(Q)),

где постоянная c > 0 зависит только от k₀ и L. Отсюда, согласно [16, гл. 8, теорема 8.8],

имеем: для любой компактной подобласти Q₁ ⋐ Q функция u принадлежит пространству

W²²(Q₁) и справедлива оценка

∥u∥_W 2

(40)

(Q₁)

≤ c(∥g∥L2(Q) + ∥u∥W¹²(Q)),

где c > 0 - постоянная, определяемая только по L, k₀ и dist (Q₁, ∂Q). Отсюда, ввиду g =

= Dx1F₁ + Dx2F₂ (см. (39)), получим

∥u∥_W 2

≤ c(∥f∥_W 1

+ ∥u∥_W 1

) ≤ c₁(∥f∥_W1

+ ∥w∥_W 1

(41)

(Q₁)

(Q;C)

(Q)

(Q;C)

где c, c₁ > 0 - постоянные, аналогичные постоянной в (40).

Перейдём теперь к оценке v = Im w. По доказанному u ∈ W²²(Q₁), следовательно, из

равенств (37) ввиду (41) получим оценки вторых производных v :

∥Dxj Dxl v∥_W 2

≤ c(∥f∥_W 1

+ ∥u∥_W 1

j, l = 1, 2,

(42)

(Q₁)

(Q;C)

(Q)

где c > 0 - постоянная, такая же, как и выше. Отсюда вытекает оценка

∥v∥_W 2

(Q₁)

≤ c(∥f∥_W 1

(Q;C)

+ ∥u∥_W 1

(Q)

+ ∥v∥_W 1

(Q)

) ≤ c₁(∥f∥_W1

(Q;C)

+ ∥w∥_W 1

(Q;C)

Из этой оценки и оценки (41) получим (5). Первая часть теоремы 2 доказана.

Перейдём к доказательству второй части. Теперь w ∈ W₀(Q), следовательно, u ∈W12(Q; C)

и u является решением задачи Дирихле для уравнения (39). Тогда, как известно (см. [16, гл. 8,

теорема 8.12]), имеет место оценка (40) с Q₁ = Q. Отсюда, рассуждая как и выше, получаем

∥u∥_W 2

≤ c(∥f∥_W 1

+ ∥w∥_W 1

(Q)

(Q;C)

Здесь второе слагаемое справа можно опустить ввиду (4). Следовательно, имеет место (6).

Теорема 2 доказана.

3. Доказательства свойств решения задачи на ячейке.

3.1. Доказательство свойства 1. Очевидно, что

〈μ⁰∂¯_ξNj〉y = 〈ν⁰

N_j〉_y = 0, j = 1,2,

так как μ⁰ и ν⁰ зависят только от x и среднее от производных по y равно нулю. Поэтому,

согласно неравенству острого угла (11), равенствам (16), (17) и условию эллиптичности (9),

получим

(1 - k₀)〈|

N_j|²〉_y ≤ Re〈χ_j∂¯_ξ

N_j〉_y = Re 〈-(μ + δν)

N_j〉_y ≤ k₀〈|

N_j|²〉1/2y,

ξ_j

где δ = 1 при j = 1, δ = -1 при j = 2. Следовательно, 〈|

N_j|²〉y/2 ≤ k₀/(1 - k₀). Значит,

ввиду неравенства Пуанкаре и (14) получим (19). Свойство 1 доказано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

786

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

3.1. Доказательство следствия 1. Согласно (17) имеем

χ₁ - iχ₂ = μ⁰(x) - μ(x,y).

Следовательно, ввиду уравнения (16) имеем

AN₁(x,y) - iAN₂(x,y) + μ(x,y) = μ⁰(x), (x,y) ∈ Q × □.

Отсюда и из очевидного равенства |μ⁰(x)| = 〈|μ⁰(x)|²〉y/2 ввиду условия эллиптичности (9),

неравенства (19) и равенств (14) имеем

|μ⁰(x)| ≤ 2(1 + k₀)〈|∂¯_ξN(x, · )|²〉y/2 + k0 ≤ 2(1 + k0)c + k0, x ∈ Q.

Значит, |μ⁰(x)| ≤ c₁, x ∈ Q, где c₁ > 0 - постоянная, зависящая только от k₀.

Аналогично, использовав χ₁ + iχ₂ = ν⁰(x) - ν(x, y), получим такую же оценку для ν⁰(x).

Следствие 1 доказано.

3.3. Доказательство свойства 2. Ввиду следствия 1 и условия эллиптичности (9) имеем

μ⁰(x) - μ(x,y) ∈ L_∞(Q × □;C). Отсюда, согласно [14, теорема 5], следует справедливость

утверждений свойства 2.

3.4. Доказательство свойства 3. Покажем справедливость (21) для N₁ (для N₂ доказа-

тельство аналогичное). Подставив N₁ в уравнение (16) с j = 1, получим равенство. Запишем

его для x и x^′ = x + h, принадлежащих Q, и отнимем из второго первое, тогда имеем

Δ_hN₁(x,y) + μ(x + h,y)∂_ξΔ_hN₁(x,y) + ν(x + h,y)

Δ_hN₁(x,y) = F_h(x,y),

(43)

где

Δ_hN₁(x,y) = N₁(x + h,y) - N₁(x,y), F_h(x,y) = -Δ_hμ(x,y)∂_ξN₁(x,y) - Δ_hν(x,y)

N₁(x,y) +

+ 2-1(Δ_hμ⁰(x) + Δ_hν⁰(x)) - 2-1(Δ_hμ(x,y) - Δ_hν(x,y)),

Δ_hμ⁰(x) = μ⁰(x + h) - μ⁰(x), Δ_hν⁰(x) = ν⁰(x + h) - ν⁰(x).

Применив неравенство острого угла к равенству (43), получим

(1 - k₀)〈|

Δ_hN₁(x,·)|²〉_y ≤ Re

Δ_hN₁(x,·)〉_y ≤ 〈

Δ_hN₁(x,·)|〉_y,

(44)

Fh(x, · )

где

Fh есть Fh без третьего слагаемого (третье слагаемое в Fh, обозначим его через J, не

зависит от y, поэтому 〈J

Δ_hN₁(x,·)〉_y = 0). Воспользовавшись неравенством Гёльдера из

(44), получим

∥

Δ_hN₁(x,·)∥L2(□;C) ≤ (1 - k0)-1

Fh(x, ·∥L₂(□;C).

Отсюда, ввиду (8) и (19), вытекает ∥

Δ_hN(x,·)∥L2(□;C) ≤ c|h|, где c > 0 - постоянная, зави-

сящая только от k₀ и L. Отсюда и неравенства Пуанкаре следует (21). Свойство 3 доказано.

3.5. Доказательство следствия 2. Докажем липшицевость μ⁰(x) (доказательство для

ν0 аналогичное). Ввиду независимости μ0(x), ν0(x) от y и оценки (8) имеем

|Δ_hμ⁰(x)| = 〈|Δ_hμ⁰(x)|²〉1/2y ≤ 〈|Δ_hμ⁰(x) - Δ_hμ(x, · )|²〉1/2y + 〈|Δ_hμ(x, · )|²〉1/2y ≤ J(x) + L|h|,

где J(x) = 〈|Δ_hμ⁰(x) - Δ_hμ(x, · )|²〉y/2, x, x^′ = x + h ∈ Q. Поэтому достаточно доказать

липшицевость функции J(x). Согласно (17)

χ₁ - iχ₂ = μ⁰(x) - μ(x,y),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

787

значит с учётом уравнения (16) получим

Δ_h(μ⁰(x) - μ(x,y)) = Δ_hAN₁ - iΔ_hAN₂ =

Δ_hN₁(x,y) + μ(x + h,y)∂_ξΔ_hN₁(x,y) + ν(x + h,y)

Δ_hN₁(x,y) +

+Δ_hμ(x,y)∂_ξN₁(x,y) + Δ_hν(x,y)

N₁(x,y) -

− i

Δ_hN₂(x,y) - iμ(x + h,y)∂_ξΔ_hN₂(x,y) - iν(x + h,y)

Δ_hN₂(x,y) -

− iΔ_hμ(x, y)∂_ξN₂(x, y) - iΔ_hν(x, y)∂_aξN₂(x, y) ≡ J₂(x, y) + J₃(x, y) + J₄(x, y) + J₅(x, y),

(45)

где J_k(x, y), k = 2, . . . , 5, - k-я строка формулы (45), Δ_hg(x, y) = g(x + h, y) - g(x, y).

Оценим L₂(□; C)-норму J_k(x, y) как функции от y. Ввиду априорной оценки (12) и нера-

венства (21) для J₂ и J₄ имеем ∥J_k∥L2(□;C) ≤ c|h|, где c > 0 - постоянная, зависящая только

от k₀ и L. Аналогичные оценки получим и для J₃, J₅, при этом надо учесть липшицевость

коэффициентов μ, ν и оценку (19) из свойства 1. Из этих оценок и (45) следует J ≤ ch, где

постоянная c > 0 зависит только k₀, L. Следствие 2 доказано.

3.6. Доказательство свойства 4. Для периодической задачи

Aw ≡ ∂_ξw + μ(x,y)∂_ξw + ν(x,y)∂_ξw = f ∈ L_r(□;C),

w(x, · ) ∈ W1r(□; C),

〈w(x, · )〉_y = 0

справедлива априорная оценка (см. [14], п. 3)

∑

(□; C),

(46)

∥Dyj w(x, · )∥Lr (□;C) ≤ ∥Aw∥Lr (□;C),w(x,·)∈

j=1

где c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀. Теперь, рассуждая

аналогично свойству 3, применив неравенство (46) вместо неравенства острого угла, с учётом

липшицевости коэффициентов μ⁰(x), ν⁰(x) получим (22). Свойство 4 доказано.

3.7. Доказательство следствия 3. Из ограниченности вложения W1r(□; C) ⊂ C^α(□; C),

ввиду свойства 2 (см. (20)), получим

|N_j (x, y^′) - N_j (x, y)| ≤ c₀|y^′ - y|^α, x ∈ Q, y^′, y ∈ □, j = 1, 2,

где c₀ > 0 - постоянная, зависящая только от k₀. Аналогично из свойства 4 (см. (22)) имеем

|N_j (x^′, y) - N_j(x, y)| ≤ c₁|x^′ - x|, x^′, x ∈ Q, y ∈ □,

(47)

где c₁ > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀ и постоянной

Липшица L. Из этих неравенств вытекает (23) и непрерывность функции N_j (x, y) в Q × □.

Докажем вторую часть следствия. Первая из оценок (24) следует из (20) согласно свой-

ству 4 ввиду вложения

W1r(□;C) ⊂ C^α(□;C), α = (r - 2)/r.

Из оценки (47) с учётом теоремы Радемахера-Степанова следует оценка производных

|Dxl N_j(x, y)| ≤ c₁,

п.в. x ∈ Q, y ∈ □, j, l = 1, 2, где c₁ > 0 - постоянная из (47). Ввиду равномерности этой

оценки относительно x и y получим

∥Dxl N_j ∥L∞(Q×□;C) ≤ c1, j, l = 1, 2.

Следствие 3 доказано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

5^∗

788

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

4. Доказательства лемм.

4.1. Доказательство леммы 1. Введём в рассмотрение вспомогательную область Q₀ ⊃

⊃ Q, Q₀ - гладкая (класса C²) ограниченная область, построенная следующим образом.

Из-за гладкости границы ∂Q найдётся достаточно малое положительное число δ такое, что

конец внешней нормали n(x) к границе ∂Q в точке x с длиной |n(x)| = δ при полном обходе

границы опишет гладкую кривую Γ без самопересечений. Объединение Q и области между

∂Q и Γ даёт нам Q₀.

Функцию a = a(x, y) продолжим в замыкание Q₀ по формуле

{

a(x, y) при x ∈ Q, y ∈ □,

a = a(x,y) =

(48)

a(t, y) при x ∈ Q₀ \ Q, y ∈ □,

где t ∈ ∂Q - начало внешней нормали, проходящей через точку x ∈ Q₀ \ Q. Легко видеть, что

a = a(x,y) ∈ Lip(Q₀,L_r(□;C)),

1 < r < 2, с той же постоянной Липшица, что и у функции

a = a(x,y).

Рассмотрим периодическую задачу

Δ_yb(x,y) ≡ div_y∇_yb(x,y) = a(x,y) - 〈a(x,·)〉_y ∈ L_r(□;C),

b ∈ W2r (□;C),

〈b(x, · )〉_y = 0,

(49)

∂

∂²

где x ∈ Q₀ играет роль параметра, Δ_y =

- оператор Лапласа. Эта задача одно-

∂y²¹

∂y²

значно разрешима согласно теории эллиптических операторов, так как среднее значение (по

y) правой части равно нулю. Следовательно, для любого x ∈ Q₀ вектор-функция B(x,y) =

= ∇_yb(x,y) принадлежит W1r (□;C), к тому же выполняется оценка

∥B(x, · )∥_W 1

(50)

(□;C) ≤ 2max∥a(x, · )∥Lr (□;C)^,

x∈Q₀

значит, по теореме вложения, B(x, y) принадлежит L_m(□; C), m = 2r/(2 - r). Ввиду того,

что 1 < r < 2, имеем m > 2. Отсюда и (49) получим разложение

a(x, y) = 〈a(x, · )〉_y + div_yB(x, y), x ∈ Q₀,

(51)

где B(x, y), как функция от y, принадлежит пространству L_m(□; C) для каждого x ∈ Q₀.

Отметим, что как b(x, y), так и B(x, y) периодические по y, равномерно непрерывные по

Липшицу по переменной x ∈ Q₀ функции со значениями в W2r(□; C) и L_m(□; C), соот-

ветственно, т.е.

b = b(x,y) ∈ Lip(Q₀,W2r (□;C)), B(x,y) ∈ Lip(Q₀,L_m(□;C)).

Доказывается это аналогично свойству 3 решения задачи на ячейке.

Сначала докажем неравенство (25) для функций из

(Q₀; C). Справедливость (25) до-

статочно проверить для функций из единичного шара

B = {w ∈ W12(Q₀;C) : ∥w∥_W1

≤ 1}.

(52)

(Q₀;C)

Из (51) следует

aε(x) = a(x, ε-1x) = 〈a(x, · )〉_y + ε div₂B(x, ε-1x) = 〈a(x, · )〉_y + ε div₂B^ε(x), x ∈ Q₀.

Здесь B(x, y) - функция двух групп переменных x₁, x₂ и y₁, y₂, поэтому div₂B(x, ε-1x) у

нас означает дивергенцию по иксам из второй группы переменных. Согласно этим равенствам

(интегрируя по частям) имеем

∫

∑

aε(x)|w(x)|² dx =

〈a(x, · )〉_y |w(x)|² dx + ε

(w_j (x))² div₂B^ε(x) dx =

j=1

Q₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

789

∫

∑

〈a(x, · )〉_y |w(x)|² dx - 2ε

w_j(x)B^ε(x) · ∇w_j(x)dx ≤

〈a(x, · )〉_y |w(x)|² dx +

j=1

Q₀

∫

|B^ε(x)|²|w(x)|² dx + ε²

(|∇w₁(x)|² + |∇w₂(x)|²) dx,

(53)

Q₀

где w₁ = Re w, w₂ = Im w.

Очевидно, что |B(x, y)|² ∈ Lip (Q₀, Lm/2(□; C)), поэтому по свойству среднего значения

имеем слабую сходимость |B(x, ε-1x)|² ⇀ 〈|B(x, · )|²〉_y в Lm/2(Q₀; C) при ε → 0, следова-

тельно,

∫

lim

|B^ε(x)|²|w(x)|² dx =

〈|B(x, · )|²〉_y|w(x)|² dx, w ∈ B.

(54)

ε→0

Q₀

Как известно, вложение W¹²(Q₀; C) ⊂ L_q(Q₀; C) компактно для любого q ≥ 1. Отсюда, ввиду

(52) и произвольности q, вытекает, что множество

B = {ϕ = w² : w ∈ B} компактно в

L_m′ (Q₀;C), где m^′ = m/(m - 2) - сопряжённый показатель для m/2. Сходимость (54) на

компакте

B равномерная. Равномерность легко получить привлечением конечных ϵ-сетей

для компакта

B. Тогда из (50) и (54) получим оценку

∫

(

)∫

|B^ε(x)|²|w(x)|² dx ≤ max〈|B(x, · )|2〉y + 1

|w(x)|² dx, w ∈ B,

(55)

x∈Q₀

Q₀

для достаточно малых ε, ε ≤ ε₀(Q₀). Ввиду ограниченности вложений L_m(□; C) ⊂ L₂(□; C)

и W1r(□;C) ⊂ L_m(□;C), с учётом (50) имеем

〈|B(x, · )|²〉1/2y ≤ 〈|B(x, · )|^m〉1/my ≤ c∥B(x, · )∥_W 1

r (□;C) ≤cmax∥a(x,·)∥Lr (□;C)^,x∈Q0^,

x∈Q₀

где c > 0 - постоянная. Отсюда и формул (53), (55) получим

∫

(∫

∫

)

∑

aε|w(x)|² dx ≤ C

|w(x)|² dx + ε²

(|w_j (x)|² + |∇w_j (x)|²) dx ,

(56)

j=1

Q₀

где C > 0 - постоянная, C = (c + 1) max ∥a(x, · )∥Lr (□;C). Следовательно, неравенство (25) для

x∈Q₀

функций изW12(Q₀; C) доказано.

Как известно (см. [16, гл. 7, теорема 7.25]), существует оператор продолжения

J : W¹²(Q;C) → W12(Q₀;C)

такой, что

∥Jw∥˚W1

≤ c∥w∥_W 1

(Q₀;C)

(Q;C)

∥Jw∥L2 (Q₀;C) ≤ c∥w∥L₂(Q;C),

где c > 0 - постоянная, зависящая только от Q и Q₀. Этих неравенств продолжения доста-

точно для получения (25) из (56) для любого w ∈ W¹²(Q; C), при этом надо учесть, что из

построения (48) продолжения a следует

max

∥a∥Lr (□;C) = max∥a∥Lr (□;C).

x∈Q₀

x∈Q

Теперь перейдём к доказательству неравенства (26). Введём в рассмотрение семейство

{ϑ^ε(x)} вещественных гладких срезающих функций, удовлетворяющих условиям

1◦) 0 ≤ ϑ^ε ≤ 1;

2◦) ϑ^ε|_Q

= 1;

3◦) ϑ^ε = 0 вне Q_ε;

4◦) ε|∇ϑ^ε| ≤ M,

(57)

ε/2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

790

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

где M > 0 - постоянная, Q_h, h = ε/2, - h-окрестность границы ∂Q. Использовав свойства

срезающих функций {ϑ2ε(x)} и оценку (25), получим

∫

(

∫

aε|w|² dx ≤

aε(ϑ2ε|w|)² dx ≤ c

(ϑ2ε|w|)² dx + ε²

(ϑ2ε|w|)² dx +

⋂

Q2ε

Qε Q

∫

)

(ε|∇(ϑ2εw₁)|)² dx +

(ε|∇(ϑ2εw₂)|)² dx

Q2ε

^⋂Q

Q2ε

^⋂Q

где w₁ + iw₂ = w. Отсюда, так как

(ε|∇(ϑ2εv)|)² = ((ε|∇ϑ2ε|)|v| + εϑ2ε|∇v|)² ≤ 2(((ε|∇ϑ2ε|)v)² + (εϑ2ε|∇v|)²),

имеем

∫

aε|w|² dx ≤ c(1 + ε² + 2M²)

|w|² dx + ε²

(|∇w₁|² + |∇w₂|²) dx ≤

⋂

Q2ε

Qε Q

∫

≤ 2c(1 + M²)

|w|² dx + cε

(|∇w₁|² + |∇w₂|²) dx.

⋂

Q2ε

Применим к первому интегралу справа известное неравенство для следа (см. [17; гл. 1, § 1,

п. 2])

∫

|w|² dx ≤ cε∥w∥2W1

(58)

(Q;C)

⋂

Q2ε

где c > 0 - постоянная, не зависящая от w и ε, в результате получим неравенство (26).

Лемма 1 доказана.

4.2. Доказательство леммы 2. Ввиду f = A₀w⁰, равенств (27) и (28) имеем

A_ε(wε1 - w_ε) = εr_ε,

(59)

где невязка r_ε определена в (29). Согласно следствию 3 N(x, y) и ∂zN(x,y) ограничены

постоянной, зависящей только от постоянной эллиптичности k₀ и постоянной Липшица L,

поэтому для невязки имеет место оценка (30). Отсюда и из (28), (59) с учётом A_εw_ε = f =

= A₀w⁰ получим оба неравенства (31). Докажем соотношения (32). Первое из них следует из

(27), ввиду ограниченности N_j, j = 1, 2:

∥wε1 - w⁰∥_L

(60)

2(Q;C) ≤^εc∥∂zw0∥L2(Q;C)≤εc∥w0∥W 22(Q;C)^,

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀ и L. Теперь рассмотрим разность

Dxl wε1(x) - D_x

w⁰(x) = D_y

N (x, y)∂_z w⁰(x) + D_y

M (x, y)∂_zw⁰(x) +

+ εDxl N(x, y)∂_z w⁰(x) + εD_x

M (x, y)∂_zw⁰(x) + εN(x, y)∂_z Dxl w⁰(x) + εM(x, y)D_x

∂_zw⁰(x),

где l = 1, 2, N = N₁-iN₂, M = N₁+iN₂, N₁, N₂ - решения задачи на ячейке (см. теорему 4).

Здесь последние четыре слагаемых справа оцениваются, как и выше, с учётом ограниченности

N_j(x,y), j = 1,2, и их производных (следствие 3). Оценки первых двух слагаемых получим

применив формулу (25) из леммы 1, где a(x, y) = |Dyl N_j(x, y)|² ∈ Lip (Q, Lq/2(□; C)), q > 2, -

показатель повышенной суммируемости, w = ∂_zw⁰. В результате

∥Dxj wε1 - Dxj w⁰(x)∥_L

2(Q;C) ≤c∥w0∥W²²(Q;C)^,

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀ и L. Отсюда и из формулы (60) следует

слабая сходимость wε1 ⇀ w⁰ при ε → 0. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

791

5. Доказательства теорем 5, 6 и 7.

5.1. Доказательство теоремы 5 об усреднении. Напомним, что класс A(k₀;Q) G-ком-

пактен и семейство {A_ε} - подмножество A(k₀; Q). Пусть

A - произвольная G-предельная

точка семейства

→

A в области Q при ε_k → 0, где {ε_k} - подпоследо-

вательность {ε}. И пусть w0 - произвольный элемент из W22(Q; C)

^⋂W₀(Q). Тогда, ввиду

ограниченности и липшицевости коэффициентов μ⁰ и ν⁰, получим f = A₀w⁰ ∈ W¹²(Q; C).

Рассмотрим функцию (27):

wε1(x) = w⁰(x) + ε(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)), y = ε-1x,

(Q; C) и fεk = A₀w⁰ +

где N(x, y), M(x, y) те же, что и в лемме 2. По лемме 2 wεk1 ⇀ w⁰ в

+ ε_krεk → A₀w⁰ в L₂(Q;C) при ε_k → 0. Отсюда в силу свойства сходимости произвольных

решений (см. п. 1.2) при ε_k → 0 получим

Aw⁰ = A₀w⁰ для любого w⁰ ∈ W²²(Q; C)

^⋂W₀(Q).

Значит, A₀

A ∈ A(k₀;Q), так как множество W²²(Q;C)

^⋂W₀(Q) всюду плотно в W₀(Q).

Следовательно, ввиду произвольности G-предельной точки

A, отсюда вытекает G-сходи-

→ A₀ при ε → 0. Теорема 5 доказана.

5.2. Доказательство теоремы 6. Теперь приступим к доказательству оценки разности

между точным решением w_ε задачи Римана-Гильберта (7) и первым приближением (27) - wε1.

Пусть w⁰ - решение усреднённой задачи Римана-Гильберта для усреднённого уравнения

из теоремы 5, и пусть w⁰ ∈ W²²(Q; C)

^⋂W₀(Q). Для того чтобы обеспечить такую гладкость

w0 (см. теорему 2), нам достаточно взять в задаче Римана-Гильберта правую часть f из

пространства W¹²(Q; C).

Первое приближение (27): wε1 не принадлежит пространству W₀(Q) из-за того, что коррек-

тор ε(N(x, y)∂_z w⁰(x) + M(x, y)∂_zw⁰(x)) (N(x, y) = N₁(x, y) - iN₂(x, y), M(x, y) = N₁(x, y) +

+iN₂(x, y), N₁ и N₂ - периодические решения задачи на ячейке) не удовлетворяет граничному

условию. Это вызывает некоторые затруднения при оценке разности w_ε - wε1, поэтому введём

в рассмотрение подправленное первое приближение ωε1(x):

ωε1(x) = w⁰(x) + ε(1 - ϑ^ε(x))(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)) - iε|Q|-1c_ε, y = ε-1x,

(61)

где {ϑε(x)} - семейство, определённое формулой (57), |Q| - площадь области Q, cε ∈ R -

действительное число, определённое формулой

∫

c_ε =

(1 - ϑ^ε(x)) Im (N(x, y)∂_z w⁰(x) + M(x, y)∂_zw⁰(x)) dx, y = ε-1x.

Очевидно, что семейство {c_ε} равномерно ограничено и ввиду (24) имеем |c_ε| ≤ c∥w⁰∥_W 2

(Q;C)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀ и L. Так как w⁰ ∈ W²²(Q; C)

^⋂W

0(Q),

согласно (61) и свойству 2^◦) семейства (57) получим ωε1(x) ∈ W₀(Q).

Подправленное первое приближение (61), ввиду (27), можно представить в следующем

виде:

ωε1 = wε1(x) - εϑ^ε(x)(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)) - iε|Q|-1c_ε.

Оценим разность двух приближений

wε1(x) - ωε1(x) = εϑ^ε(x)(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)) + iε|Q|-1c_ε.

(62)

Имеем

Dxj (wε1(x) - ωε1(x)) = εDxj ϑ^ε(x)(N(x,y)∂_zw⁰(x) + M(x,y)∂_zw⁰(x)) +

+ ϑ^ε(x)(DyjN(x,y)∂_zw⁰(x) + DyjM(x,y)∂_zw⁰(x)) +

+ εϑ^ε(x)(N(x, y)Dxj ∂_zw⁰(x) + M(x, y)Dxj ∂_zw⁰(x)) +

+ εϑ^ε(x)(Dxj N(x, y)∂_z w⁰(x) + Dxj M(x, y)∂_zw⁰(x)) ≡ Uε1 + Uε2 + Uε3 + Uε4,

(63)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

792

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

где Dxj = ∂/∂x_j , Dyj = ∂/∂y_j , j = 1, 2. Здесь каждое слагаемое справа согласно свойству

3◦) семейства (57) ϑ^ε равно нулю вне ε-окрестности границы. С учётом свойств 1◦),

4◦)

функций ϑ^ε, ограниченности их решений и производных задачи на ячейке (24), свойств (58)

следов, легко получим

(∫

)1/2

∥Uε1∥_L

|∂_zw⁰(x)|² dx

≤c

√ε∥w⁰∥_W2

2(Q;C) ≤^c

(Q;C)

Qε

∥Uε3∥_L

∥Uε4∥_L

(64)

2(Q;C) ≤cε∥w0∥W²²(Q;C)^,

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и Q.

Аналогично, применив вместо (58) неравенство (26), где a(x, y) = |Dyj N_l(x, y)|², j, l = 1, 2,

ввиду свойства 4 принадлежит пространству Lip (Q, L_r(□, C)), r = q/2, q > 2, - показатель

повышенной суммируемости из свойства 2, а w(x) = ∂_zw⁰(x), получим

∥Uε2∥_L

√ε∥w⁰∥_W 2

(65)

2(Q,C) ≤^c

(Q,C)

где c > 0 - постоянная, c = const(k₀, L, Q).

Из оценок (64), (65) в силу (63) следует

∥Dxj (wε1(x) - ωε1(x))∥_L

√ε∥w⁰∥_W2

j = 1,2,

(66)

2(Q,C) ≤^c

(Q,C)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и Q. Кроме того, из (62), свойства 1^◦)

семейства {ϑ^ε} и (24) следует оценка

∥wε1(x) - ωε1(x)∥_L

(67)

2(Q) ≤cε∥w0∥W²²(Q,C)^.

Из соотношений (66), (67) имеем

∥wε1(x) - ωε1(x)∥_W 1

(Q)

≤c

√ε∥w⁰∥_W 2

(Q,C)

(68)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и Q.

Теперь найдём L₂-оценку функции f_ε := A_ε(w_ε - ωε1). Согласно (28) запишем

f_ε = A_ε(w_ε - ωε1) + A_ε(wε1 - ωε1) = -εr_ε + ∂_z(wε1 - ωε1) + μ(y)∂_z(wε1 - ωε1) + ν(y)∂_z(wε1 - ωε1).

Отсюда и из L₂-оценок производных (66) с учётом (3), (27), (30) получим следующие оценки:

∥f_ε∥L2(Q,C) ≤ ∥Aε(wε - ω¹)∥L₂(Q,C) + ∥Aε(w¹ - ω¹)∥L₂(Q,C) ≤ c

√ε∥w⁰∥_W 2

(69)

(Q,C)

где c > 0 - постоянная, зависящая только от k₀, L и Q.

Заметим, что разность w = w_ε - ωε1 является решением задачи Римана-Гильберта

∂_zw + μ^ε∂_zw + ν^ε∂_zw = f_ε, w ∈ W₀(Q),

которое принадлежит пространству W₀(Q). Поэтому из (3) и (69) вытекает неравенство

∥w_ε - ωε1∥_W 1

≤c

√ε∥w⁰∥_W 2

(70)

(Q,C)

Из оценок (68), (70) следует оценка разности w_ε - ωε1 между точным решением и первым

приближением

∥w_ε - wε1∥_W 1

≤c

√ε∥w⁰∥_W2

(71)

(Q,C)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОЦЕНКИ ЛОКАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО УСРЕДНЕНИЯ

793

с постоянной c > 0, зависящей только от k₀, L и Q. Отсюда, из оценки (60) и из леммы 2

получим следующую оценку:

∥w_ε - w⁰∥_L

√ε∥w⁰∥_W2

(72)

2(Q,C) ≤^c

(Q,C)

с постоянной c > 0, зависящей только от k₀, L и Q.

Заметим, что w⁰ - решение усреднённой эллиптической задачи, поэтому, согласно теоре-

ме 2, получим

∥w⁰∥_W 2

≤ c∥f∥_W 1

(Q,C)

с постоянной c > 0, зависящей только от k₀, L и Q. Следовательно, из оценок (71), (72)

вытекают оценки (33). Теорема 6 доказана.

5.3. Доказательство теоремы 7. Пусть правая часть уравнения (7) f принадлежит

пространству W₀(Q) ⊂ W¹²(Q, C), тогда, ввиду того что ∥f∥W0(Q) = ∥∂zf∥L₂(Q,C) задаёт в

W₀(Q) норму, эквивалентную норме пространства W¹²(Q,C), из оценок (33) получим

∥w_ε - w⁰∥_L

√ε∥∂_zf∥_L

(73)

2(Q;C) ≤^c

2(Q;C),

∥w_ε - wε1∥_W 1

≤c√ε∥∂zf∥L

(74)

(Q;C)

2(Q;C).

(Здесь и ниже c > 0 - постоянная, зависящая только от постоянной эллиптичности k₀, по-

стоянной Липшица L и области Q. )

Так как w_ε, w⁰ - решения краевых задач Римана-Гильберта, имеем

w_ε = A-1εf, w⁰ = A-10f.

Следовательно, ввиду (73), получим

∥(A-1ε - A-10)f∥_L

√ε∥∂_z f∥_L

2(Q,C) ≤^c

2(Q,C),f∈W0(Q).

Отсюда, так как отображение ∂_z : W₀(Q) → L₂(Q, C) есть изоморфизм, имеем

∥(A-1ε - A-10)∂-1zg∥_L

√ε∥g∥_L

2(Q,C) ≤^c

2(Q,C),g∈L2(Q,C).

Следовательно,

∥(A-1ε - A-10)∂-1z∥_L

√ε.

2(Q,C)→L2(Q,C) ≤^c

Значит первая из оценок (34) доказана.

В силу того, что имеет место вложение W₀(Q) ⊂ L₂(Q, C), операторы A-1ε, A-10 мож-

но рассматривать как операторы, действующие из W₀(Q) в L₂(Q, C), тогда из оценки (73)

получим вторую из оценок (34).

Аналогично, использовав (74), получим оценки (35) и (36). Теорема 7 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жиков В.В, Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М., 1993.

2. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об операторных оценках в теории усреднения // Успехи мат. наук.

2016. Т. 71. № 3. С. 27-122.

3. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. По-

роговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. № 5. С. 1-108.

4. Борисов Д.И. Асимптотики решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффици-

ентами // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20. № 2. С. 19-42.

5. Сеник Н.Н. Об усреднении несамосопряжённых локально-периодических эллиптических операто-

ров // Функц. анализ и его прил. 2017. Т. 51. № 2. С. 92-96.

6. Пастухова C.Е., Тихомиров Р.Н. Операторные оценки повторного и локально-периодического

усреднения // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 3. С. 304-309.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

794

СИРАЖУДИНОВ, ДЖАМАЛУДИНОВА

7. Жиков В.В. Об операторных оценках в теории усреднения // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 3. С. 305-

308.

8. Сиражудинов М.М. Асимптотический метод усреднения обобщенных операторов Бельтрами

// Мат. сб. 2017. Т. 208. № 4. С. 87-110.

9. Сиражудинов М.М. Операторные оценки усреднения обобщенных уравнений Бельтрами // Даге-

станск. электрон. мат. изв. 2017. Вып. 7. С. 40-46.

10. Сиражудинов М.М., Тихомирова С.В. Оценки погрешности усреднения периодической задачи для

обобщённого уравнения Бельтрами // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1651-1659.

11. Сиражудинов М.М., Джамалудинова С.П. Оценки погрешности усреднения задачи Римана-

Гильберта для уравнения Бельтрами с локально-периодическим коэффициентом // Вестн. Даге-

станск. гос. ун-та. Сер. 1. Естеств. науки. 2021. Т. 36. № 4. С. 23-38.

12. Сиражудинов М.М. О G-сходимости и усреднении обобщённых операторов Бельтрами // Мат. сб.

2008. Т. 199. № 5. С. 124-155.

13. Сиражудинов М.М. О краевой задаче Римана-Гильберта (L₂-теория) // Дифференц. уравнения.

1988. Т. 24. № 1. С. 64-73.

14. Сиражудинов М.М. О периодических решениях одной эллиптической системы первого порядка

// Мат. заметки. 1990. Т. 48. № 5. С. 153-155.

15. Сиражудинов М.М. Асимптотический метод усреднения обобщенных операторов Бельтрами

// Мат. сб. 2017. Т. 208. № 4. С. 87-110.

16. Гильбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производны-

ми второго порядка. М., 1989.

17. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений

с обобщенными решениями. М., 1987.

Дагестанский федеральный исследовательский

Поступила в редакцию 12.01.2022 г.

центр РАН, г. Махачкала,

После доработки 12.01.2022 г.

Дагестанский государственный университет,

Принята к публикации 25.05.2022 г.

г. Махачкала

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022