ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.795-812

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА В ВЫПУКЛЫХ

ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ СИСТЕМАМИ ВОЛЬТЕРРОВА

ТИПА С ОПЕРАТОРНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Рассматривается итеративная регуляризация классических условий оптимальности - прин-

ципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального уп-

равления с операторным (т.е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) огра-

ничением-равенством и функциональными ограничениями-неравенствами. Управляемая

система задаётся линейным функционально-операторным уравнением второго рода обще-

го вида в пространстве Lm2, основной оператор правой части уравнения предполагается

квазинильпотентным. Целевой минимизируемый функционал задачи сильно выпуклый.

Получение регуляризованных условий оптимальности основано на использовании метода

итеративной двойственной регуляризации. Основное их предназначение - устойчивое ге-

нерирование в рассматриваемой оптимизационной задаче обобщённых минимизирующих

последовательностей из минималей регулярного функционала Лагранжа, двойственные

переменные для которого генерируются в соответствии с процедурой итеративной регу-

ляризации градиентного подъема в двойственной задаче. Как иллюстрирующий пример

рассматривается задача оптимизации для системы уравнений гиперболического типа, част-

ным случаем этой задачи является конкретная обратная задача финального наблюдения.

DOI: 10.31857/S0374064122060073, EDN: CDFMUX

Введение. Статья посвящена итеративной регуляризации принципа Лагранжа в выпук-

лых задачах оптимального управления распределенными системами вольтеррова типа с опе-

раторными ограничениями. Главное назначение предлагаемой регуляризации - “преодоление”

связанных с некорректностью классических условий оптимальности (КУО) проблем и устойчи-

вое генерирование обобщённых минимизирующих последовательностей (ОМП), состоящих из

минималей регулярного функционала Лагранжа в рассматриваемой оптимизационной задаче,

двойственные переменные для которого генерируются в соответствии с процедурой итератив-

ной регуляризации градиентного подъема в двойственной задаче. В работе показано, что “внут-

ренний потенциал” КУО такой, что при соответствующей конструктивной трансформации-

регуляризации они эффективно преобразуются в удобные средства решения некорректных

оптимизационных задач.

Потребность в регуляризации КУО объясняется свойствами их некорректности, под кото-

рыми понимаются их возможные невыполнимость и неустойчивость по возмущению исходных

данных. Эти свойства некорректности обусловлены самой природой задач условной оптимиза-

ции [1, 2]. Заметим, что о невыполнимости КУО естественно говорить как в случае, когда этот

факт строго доказывается (см. пример в [3, с. 260], а также соответствующие примеры в [1, 2]),

так и в случае, когда мы не знаем так это или нет (см. ниже обсуждение задачи (P )). Можно

утверждать, что проверка на корректность конкретных задач условной оптимизации и опти-

мального управления, их систем оптимальности представляет собою, как правило, сложную

самостоятельную математическую задачу. Поэтому, если мы хотим привлечь КУО непосред-

ственно к решению сложных задач оптимизации, то и “относиться” к ним необходимо как

к математическим объектам с заведомо возможными свойствами некорректности (см. работы

[4, 5]). Необходимость такого подхода к задачам условной оптимизации и оптимального управ-

ления связана ещё и с тем, что сама физическая суть подобных задач, часто возникающих в

современном естествознании, обуславливает приближённое задание исходных данных.

795

796

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

Идея регуляризации КУО в задачах условной оптимизации на основе теории двойственно-

сти как в неитеративном, так и в итеративном вариантах была относительно недавно пред-

ложена в статье [6] (см. также работы [1, 2]), аналогичные вопросы для задач оптимального

управления распределёнными системами рассматривались, в частности, в работах [2, 7] (см.

также библиографию в них). Отметим, что впервые принцип итеративной регуляризации был

предложен для решения монотонных вариационных неравенств в работе [8] (см. также кни-

гу [9] и библиографию в ней), его применение для обоснования процедуры регуляризации

метода проекции градиента для задачи математического программирования подробно изло-

жено в [5, гл. 9, § 8]. Об итеративной двойственной регуляризации [6] (см. также [2]) мы

говорим тогда, когда принцип итеративной регуляризации применяется для решения задачи,

двойственной по отношению к исходной задаче выпуклого программирования.

Данная статья продолжает линию исследований по регуляризации КУО в задачах опти-

мального управления линейными распределёнными системами работ [10, 11], в которых изуча-

лись оптимизационные задачи с функциональными ограничениями. В статье [10] рассматрива-

лась итеративная регуляризация КУО, в [11] - неитеративная. С общей точки зрения рассмат-

риваемая в статье задача оптимального управления представляет собою каноническую задачу

выпуклого программирования [3, п. 3.3.1] в гильбертовом пространстве с операторным ограни-

чением-равенством, также в гильбертовом пространстве, и функциональными ограничениями-

неравенствами (см. задачу (3) ниже). Главную трудность при работе с такими ограничениями

представляет, как известно, операторное равенство. Для пояснения содержательного смысла

результатов данной статьи вкратце рассмотрим классическую некорректную задачу поиска

нормального решения операторного уравнения первого рода [4, 5, 9], частным случаем кото-

рой становится наша базовая задача (3), если в ней отбросить функциональные ограничения

и упростить целевой функционал. Речь идет о задаче на условный экстремум

(P )

∥u∥² → inf, G[u] = h, u ∈ D ⊆ Z,

где G : Z → H - линейный ограниченный оператор, Z, H - гильбертовы пространства,

h ∈ H - заданный элемент, D - выпуклое замкнутое множество в Z.

Прежде чем говорить о регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) для более специальных

задач типа базовой задачи (3) данной статьи, естественно сначала выяснить как этот принцип

может быть записан в задаче (P ). Случай конечномерного ограничения-равенства, как из-

вестно, не вызывает затруднений. В общем случае на пути вывода для задачи (P ) принципа

Лагранжа возникают существенные трудности, связанные как раз с операторным ограниче-

нием-равенством. Так, например, известные подходы к выводу принципа Лагранжа (см. [3,

12]) требуют замкнутости образа оператора G∗). Это требование не выполняется, например, в

случае вполне непрерывного оператора G (см. [14, с. 225, теорема 1]), часто встречающемся в

распределённых задачах оптимизации. Подход к выводу для задачи (P ) принципа Лагранжа

с помощью метода возмущений (см., например, [3, п. 3.3.2]), использующий включение этой

задачи в семейство аналогичных задач, зависящих от параметра p ∈ H, вида

(P_p)

∥u∥² → inf, G[u] = h + p, u ∈ D ⊆ Z,

предполагает жёсткую связь соотношений принципа Лагранжа с субдифференциальными

свойствами функции значений задачи (P_p). Именно, как показано в [1, теорема 2.1; 14, теоре-

ма 1.1], этот подход позволяет формально получить невырожденный (регулярный или нере-

гулярный) принцип Лагранжа в задаче (P ) = (P₀) тогда и только тогда, когда имеет место

хотя бы одно из двух соотношений: ∂β(0) = ∅ или ∂^∞β(0) = {0}, где ∂β(0) и ∂^∞β(0) - суб-

дифференциал и асимптотический субдифференциал (в смысле выпуклого анализа) выпуклой

полунепрерывной снизу функции значений β(p) ≡ min

∥u∥², p ∈ H, в нуле. Однако, к со-

u∈D

G[u]=h+p

жалению, проверка выполнимости нужных субдифференциальных свойств функции значений

представляет собою трудную самостоятельную математическую задачу.

∗) Как отмечено в книге [3, п. 3.2.4, с. 260], невыполнение этого условия замкнутости может приводить к

тому, что ПЛ вовсе не выполняется, см. также соответствующие примеры в [1, 2].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

797

Наконец, если задача (P ) такова, что в ней все же “можно записать” принцип Лагранжа,

то “практическое” использование этого принципа (например, при нахождении приближений к

решению задачи) неизбежно наталкивается на проблему его неустойчивости [1, 2].

Сказанное выше означает, что регуляризация КУО в задачах условной оптимизации с опе-

раторными ограничениями, в известном смысле, гораздо более актуальна по сравнению с ре-

гуляризацией в случае функциональных ограничений. Заметим, что задачи с операторными

ограничениями-равенствами, например в форме задачи (P ), естественным образом возника-

ют при рассмотрении широкого класса представляющих большой интерес обратных задач для

распределённых систем (например, обратных задач наблюдения [2]). В то же время, как пока-

зано в данной статье, схема регуляризации КУО при операторных ограничениях может быть

аналогична схеме регуляризации при функциональных ограничениях.

Как и в [10, 11], в работе используется хорошо известное понятие ОМП - минимизирующего

приближённого решения (МПР) [15, гл. III], т.е. последовательности допустимых управлений,

значения функционала качества на которых стремятся к нижней грани задачи, а ограничения

при этом выполняются лишь “в пределе” (определение МПР см. ниже в пункте 1.3 и в пункте

2.2, определение 2). Центральным в работе и неразрывно связанным с понятием МПР явля-

ется введённое в [16] понятие МПР-образующего (регуляризирующего) алгоритма для задачи

условной оптимизации. Его можно квалифицировать как занимающее промежуточное положе-

ние между применяемыми в [5, гл. 9] понятиями регуляризирующих алгоритмов первого типа

(сходимость нижних граней [5, гл. 9, § 2, определение 1]) и второго типа (сходимость по аргу-

менту [5, гл. 9, § 6, определение 1]). Это понятие направлено прежде всего на устойчивое по-

строение МПР в задаче условной оптимизации и “жёстко привязано” именно к понятию МПР,

органично учитывающему как запросы строгой математической оптимизационной теории [15,

гл. IV-VIII], так и потребности инженерной практики [15, гл. III]. Понятие МПР-образующего

алгоритма в совокупности с двойственным подходом позволяет получать регуляризованные

КУО при весьма общих предположениях об исходных данных задачи. Одновременно с этим

оно естественным образом “встраивается” в формулировки регуляризованных КУО.

Выделим основные свойства получаемых в статье результатов. Регуляризованные КУО:

1) формулируются как теоремы существования в исходной задаче МПР, состоящего из

минималей функционала Лагранжа, двойственные переменные для которого генерируются в

соответствии с процедурой итеративной регуляризации градиентного подъема в двойственной

задаче;

2) формулируются для любой задачи рассматриваемого в статье класса задач вне зави-

симости от свойств задающих ограничения операторов с бесконечномерными образами и суб-

дифференциальных свойств функций значений;

3) могут трактоваться как условия оптимальности, выраженные в секвенциальной форме;

4) выражаются в терминах регулярных классических функций Лагранжа и Гамильтона-

Понтрягина;

5) являются секвенциальными обобщениями классических аналогов - своих предельных

вариантов, сохраняя общую структуру последних;

6) “преодолевают” свойства некорректности КУО и представляют собою удобные регуля-

ризирующие алгоритмы решения задач оптимизации.

Отличительная черта рассматриваемых в статье линейных функциональных уравнений

второго рода - квазинильпотентность основного линейного оператора правой части. Подоб-

ным свойством обладают, прежде всего, различного рода вольтерровы операторы∗). Поэто-

му рассматриваемые уравнения можно назвать функциональными уравнениями вольтеррова

∗) Начиная с известных работ L. Tonelli (1929) и А.Н. Тихонова (1938), название “вольтерровы операторы”

(операторы типа Вольтерры) присваивалось разными авторами различным классам операторов со сходны-

ми свойствами (используются также названия: причинные операторы, наследственные операторы и др.); см.,

например, краткий обзор определений вольтерровых операторов [17, дополнение], а также [11, 18]. В случае

линейных операторов эти определения так или иначе связаны со свойством квазинильпотентности: либо это

свойство включено в само определение вольтеррова оператора (см., например, [19, с. 10]), либо при естественных

условиях следует из этого определения (см., например, определение функционального оператора, “вольтеррова

на системе множеств” [20], являющееся многомерным обобщением определения А.Н.Тихонова, и опирающийся

на это определение цепочечный признак квазинильпотентности [18, теорема 2]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

798

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

типа. К ним естественным образом (обращением главной части) сводятся самые разнообраз-

ные начально-краевые задачи для различных уравнений с частными производными (гипербо-

лических, параболических, интегро-дифференциальных систем таких уравнений уравнений с

запаздываниями разного рода и др., см., например, разнообразные конкретные примеры в [17,

гл. 2], обзоры в [17, 18]). Это позволило в данной статье получить регуляризованные принцип

Лагранжа и принцип максимума Понтрягина (ПМП) в итерационной форме единообразно для

широкого класса распределённых задач оптимизации. Как иллюстрирующий пример рассмат-

ривается задача оптимизации для гиперболической системы; частным случаем этой задачи

является конкретная обратная задача финального наблюдения. В работе существенным об-

разом используется предложенное нами ранее понятие равностепенной квазинильпотентности

семейства операторов (историю вопроса см. в [21]).

Примем следующие обозначения и соглашения: Rⁿ - пространство n-векторов-столбцов;

〈·,·〉_n и |·|n - евклидовы скалярное произведение и норма в Rn;

0n - нуль в Rⁿ; век-

торы, если не оговорено противное, считаются столбцами; col {a, . . . , b} - вектор-столбец с

последовательными частями a, . . . , b;

^∗ - знак сопряжения и транспонирования; Π ⊂ Rⁿ -

ограниченное и измеримое по Лебегу множество изменения независимых переменных, элемен-

ты которого обозначаем через t ≡ {t¹, . . . , tⁿ}; L_p(Π) - лебегово пространство со стандартной

нормой

≤ p ≤ ∞); L^mp ≡ L^mp(Π) ≡ (L_p(Π))^m

≤ p ≤ ∞);

∥ ·∥p,m - стандартная

норма прямого произведения в L^mp;

〈·,·〉2,m - стандартное скалярное произведение в Lm2;

L^m×lp ≡ L^m×lp(Π) - пространство (m × l)-матриц-функций с элементами из L_p(Π); ∥·∥p,m×l -

стандартная норма прямого произведения в L^m×lp; H - некоторое гильбертово пространство

со скалярным произведением 〈· , ·〉_H и нормой ∥ · ∥_H ; χ[α,β](ξ) ≡ {1, ξ ∈ [α, β]; 0, ξ ∈ [α, β]},

ξ ∈ R, - характеристическая функция отрезка [α,β] действительной прямой.

1. Постановка задачи оптимального управления.

1.1. Базовая оптимизационная задача. Пусть заданы: натуральные числа m, s; c(t),

t ∈ Π, - функция класса Lm2; A : Lm2 → Lm2 - линейный ограниченный оператор (ЛОО) с

нулевым спектральным радиусом; ЛОО B : Ls2 → Lm2. Рассмотрим функциональное уравнение

z(t) = A[z](t) + B[u](t) + c(t), t ∈ Π, z ∈ Lm2, u ∈ Ls2,

(1)

где u - управление. Ввиду квазинильпотентности оператора A уравнение (1) имеет для каж-

дого u(·) ∈ Ls2 единственное в классе Lm2 решение z(t), t ∈ Π, и

z(t) = S[B[u] + c](t), t ∈ Π, u ∈ Ls2,

(2)

где S : Lm2 → Lm2 - ЛОО - сумма ряда Неймана:

∑

S[y] ≡

Aⁱ[y], y ∈ Lm2.

i=0

Отвечающее управлению u(·) ∈ Ls2 решение z(·) уравнения (1) обозначим через z_u(·).

Будем считать, что заданы ЛОО A : Lm2 → H, ЛОО B : Ls2 → H и элемент C ∈ H, а

на прямом произведении Lm2 × Ls2 определены некоторые функционалы J₀, J₁, . . . , J_k со

свойствами: J₀[z, u] ≡ K[z]+M[u], z ∈ Lm2, u ∈ Ls2, где K : Lm2 → R - выпуклый функционал,

а M : Ls2 → R - сильно выпуклый функционал с постоянной сильной выпуклостью κ; J_i[·, ·] :

Lm2 × Ls2 → R - выпуклый функционал (i = 1,k). Использовав (2) как формулу подстановки,

зададим на Ls2 функционалы J₀[u] ≡ J₀[z_u, u] ≡ K[z_u] + M[u], J_i[u] ≡ J_i[z_u, u] (i = 1, k)

и оператор G[u] ≡ A[z_u] + B[u], u ∈ Ls2. Функционалы J_i[ · ] (i = 1, k) - выпуклые, J₀[ · ] -

сильно выпуклый. Пусть D ⊂ Ls2 - непустое, выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.

Будем рассматривать задачи оптимизации системы (1) вида

J₀[u] → min, G[u] = C, J₁[u] ≤ 0,... ,J_k[u] ≤ 0, u ∈ D,

(3)

c операторным ограничением G[u] = C, функциональными ограничениями J_i[u] ≤ 0 (i = 1, k),

минимизируемым функционалом J₀[u], множеством допустимых управлений D.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

799

1.2. Точная и приближённые оптимизационные задачи. Задача (3) полностью опре-

деляется набором исходных данных f ≡ {A, B, c, A, B, C, K, M, J_i(i = 1, k)}. Предположим,

что точные данные f⁰ ≡ {A⁰, B⁰, c⁰, A⁰, B⁰, C⁰, K⁰, M⁰, J0i(i = 1, k)} не известны, но мож-

но оперировать с приближёнными данными f^δ ≡ {A^δ, B^δ, c^δ, A^δ, B^δ, C^δ, K^δ, M^δ, J^δi(i = 1, k)},

где δ ∈ (0, δ₀] - числовой параметр (δ₀ - фиксированное число), характеризующий близость

приближённых данных f^δ к точным f⁰ в указанном ниже условиями A₁) и A₂) смысле.

Итак, при каждом δ ∈ [0, δ₀] существуют квазинильпотентный ЛОО A^δ : Lm2 → Lm2; ЛОО

B^δ : Ls2 → Lm2; c^δ(·) ∈ Lm2; ЛОО A^δ : Lm2 → H, ЛОО B^δ : Ls2 → H, C^δ ∈ H; выпуклый

функционал K^δ[z] : Lm2 → R; сильно выпуклый функционал M^δ[u] : Ls2 → R с постоянной

сильной выпуклостью κ; выпуклые функционалы J^δi[z, u] : Lm2 × Ls2 → R (i = 0, k), причём

Jδ0[z,u] ≡ K^δ[z] + M^δ[u]. Предполагаем, что выполняется условие

Л) функционалы K^δ, M^δ и каждый из функционалов J^δi (i = 1, k), δ ∈ [0, δ₀], - липши-

цевы на каждом ограниченном множестве пространств Lm2, Ls2 и Lm2 × Ls2 соответственно,

причём липшицевость равномерна по параметру δ ∈ [0, δ₀], т.е. соответствующие постоянные

Липшица не зависят от δ ∈ [0, δ₀].

Считаем, что данные f^δ, δ ∈ (0, δ₀], и f⁰ связаны условиями:

A₁) Cуществует постоянная C > 0 такая, что при любом δ ∈ (0,δ₀] выполняются оценки

∥A^δ - A⁰∥ ≤ Cδ,

∥B^δ - B⁰∥ ≤ Cδ,

∥c^δ - c⁰∥2,m ≤ Cδ,

∥A^δ - A⁰∥ ≤ Cδ,

∥B^δ - B⁰∥ ≤ Cδ,

∥C^δ - C⁰∥_H ≤ Cδ,

|M^δ[u] - M⁰[u]| ≤ Cδ (u ∈ D).

A₂) Cуществует неубывающая функция N₁(·) : R₊ → R₊ такая, что для каждого l > 0

и любого δ ∈ (0, δ₀] при ∥z(·)∥2,m ≤ l, u ∈ D выполняются неравенства

|K^δ[z] - K⁰[z]| ≤ N₁(l)δ,

|J^δi[z, u] - J0i[z, u]| ≤ N₁(l)δ (i = 1, k).

Чтобы сформулировать условие A₃), воспользуемся следующим предложенным нами ра-

нее (историю вопроса см. в [21]) понятием равностепенной квазинильпотентности. Пусть B -

банахово пространство, Ξ - некоторое множество, {G(ξ)[ · ] : B → B}ξ∈Ξ - семейство за-

висящих от параметра ξ ∈ Ξ квазинильпотентных ЛОО (напомним, квазинильпотентность

√

ЛОО G(ξ)[ · ] : B → B означает, что^k

∥{G(ξ)}^k ∥ → 0 при k → ∞). Семейство операторов

√

{G(ξ)}ξ∈Ξ называем равностепенно квазинильпотентным, если sup^k

∥{G(ξ)}^k ∥ → 0 при

ξ∈Ξ

k → ∞.

A₃) Семейство операторов {A^δ : Lm2 → Lm2}δ∈[0,δ0] равностепенно квазинильпотентно.

При любом δ ∈ [0, δ₀] управляемое функциональное уравнение

z(t) = A^δ[z](t) + B^δ[u](t) + c^δ(t), t ∈ Π, z ∈ Lm2, u ∈ Ls2,

(4)

имеет для каждого u ∈ Ls2 единственное в Lm2 решение z(t), t ∈ Π, причём

z(t) = S^δ[B^δ[u] + c^δ](t), t ∈ Π, u ∈ Ls2,

(5)

∑_∞

где S^δ[y] ≡

(A^δ)ⁱ[y], y ∈ Lm2. Отвечающее управлению u ∈ Ls2 и задаваемое формулой

i=0

(5) решение z(·) уравнения (4) обозначаем z^δu(·), δ ∈ [0, δ₀]. При любом δ ∈ [0, δ₀] имеется

задача оптимизации системы (4):

(OC^δ)

Jδ0[u] → min, G^δ[u] = C^δ, Jδ1[u] ≤ 0, ... , J^δk[u] ≤ 0, u ∈ D,

где

G^δ[u] ≡ A^δ[z^δu] + B^δ[u], J^δi[u] ≡ J^δi[z^δu,u] (i = 0,k), u ∈ Ls2.

(6)

Задачу (OC⁰) (т.е. задачу (OC^δ) при δ = 0) называем точной задачей, а задачи (OC^δ),

δ ∈ (0,δ₀], - приближёнными задачами оптимального управления.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

800

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

1.3. МПР и МПР-образующий оператор. Для компактности записи введём обозначе-

ние J^δ[u] ≡ {Jδ1[u], . . . , J^δk[u]}. Положим

D^δ,ϵ ≡ {u ∈ D : ∥G^δ[u] - C^δ∥_H ≤ ϵ, J^δi[u] ≤ ϵ (i = 1,k)}, где δ ∈ [0,δ₀], ϵ ≥ 0,

и пусть D⁰ ≡ D0,0. Определим обобщённую нижнюю грань β задачи (OC⁰) как предел β ≡

≡ β₊₀ ≡ lim

β_ϵ, где β_ϵ ≡ inf

J⁰⁰[u], если D0,ϵ = ∅, и β_ϵ ≡ +∞, если D0,ϵ = ∅. Очевидно,

ϵ→+0

u∈D0,ϵ

что β ≤ β₀, где β₀ ≡ inf

J⁰⁰[u] - классическая нижняя грань задачи (OC⁰). Так как (OC⁰) -

u∈D⁰

выпуклая задача с сильно выпуклым функционалом цели, то она может иметь не более одного

оптимального элемента, а β = β₀. Если задача (OC⁰) имеет оптимальный элемент (будем

обозначать его u⁰), то на нём и достигаются грани β и β₀.

Напомним, что последовательность u^k(·) ∈ D, k ∈ N, называется МПР задачи (OC⁰),

если J⁰⁰[u^k(·)] → β при k → ∞, причём u^k ∈ D0,ϵk для некоторой сходящейся к нулю после-

довательности положительных чисел ϵ^k, k ∈ N.

Определение 1. Пусть δ^k ∈ (0,δ₀), k ∈ N, - сходящаяся к нулю последовательность.

Зависящий от δ^k, k ∈ N, оператор R( · , δ^k ), ставящий в соответствие каждому набору исход-

ных данных fδk элемент R(fδk , δ^k) ≡ uδk ∈ D, называем МПР-образующим в задаче (OC⁰),

если последовательность uδk , k ∈ N, есть МПР в этой задаче.

2. Эквивалентная задача выпуклого программирования и регуляризация прин-

ципа Лагранжа.

2.1. Задача выпуклого программирования. Задача (OC^δ) при любом δ ∈ [0,δ₀] -

это задача выпуклого программирования в Ls2. Запишем её в виде, позволяющем напрямую

воспользоваться результатами работ [1, 16] о регуляризации КУО в задачах выпуклого про-

граммирования в гильбертовом пространстве. Определим ЛОО G^δ[ · ] : Ls2 → H следующей

формулой: G^δ[u] ≡ A^δ[S^δB^δ[u]]+B^δ[u], u ∈ Ls2, δ ∈ [0, δ₀]. Для единообразия записи положим

Jδ0[u] ≡ Jδ0[u], J^δi[u] ≡ J^δi[u] (i = 1,k), u ∈ Ls2. Пусть e^δ ≡ C^δ - A^δS^δ[c^δ], δ ∈ [0,δ₀]. При

каждом δ ∈ [0, δ₀] задача выпуклого программирования в Ls2

(P^δ)

Jδ0[u] → min, G^δ[u] = e^δ, J^δi[u] ≤ 0 (i = 1,k), u ∈ D,

эквивалентна задаче (OC^δ), т.е. совпадают множества решений и значения задач. Задачи

(P^δ), δ ∈ [0, δ₀], принадлежат классу задач выпуклого программирования в гильбертовом

пространстве с сильно выпуклыми функционалами цели, изучавшемуся в [1, 16].

Условие Л) влечёт за собой равномерную по δ ∈ [0, δ₀] липшицевость функционалов J^δi

(i = 0, k) на любом ограниченном множестве в Ls2 : существует неубывающая функция N₂(·) :

R₊ → R₊ такая, что при каждом δ ∈ [0,δ₀] и для любого l > 0 выполняются оценки

|J^δi[u₁] - J^δi[u₂]| ≤ N₂(l)∥u₁ - u₂∥2,s, u₁, u₂ ∈ Ls2,

∥u₁∥2,s, ∥u₂∥2,s ≤ l (i = 0, k).

Из условий A₁) и A₃) следует свойство семейства операторов {A^δ}0≤δ≤δ0 .

Лемма 1. Существует число K такое, что ∥S^δ - S⁰∥ ≤ K∥A^δ - A⁰∥ при 0 < δ ≤ δ₀.

Доказательство. Из условия A₁) следует существование постоянной C₁ такой, что

∥A^δ∥ ≤ C₁, 0 ≤ δ ≤ δ₀. Фиксируем любое ϵ ∈ (0, 1). В силу условия A₃) найдётся натуральное

N (ϵ) такое, что ∥(A^δ)ⁱ∥ ≤ ϵⁱ при i ≥ N(ϵ), 0 ≤ δ ≤ δ0, т.е. при любом δ ∈ (0,δ0] выполняется

∑N(ϵ)-1

∑_∞

∥S^δ∥ ≤

(C₁)ⁱ +

ϵⁱ. Зависящее от ϵ число, стоящее в правой части последнего

i=0

i=N(ϵ)

неравенства, обозначим через C₂. Произвольно выберем z ∈ Lm2. Так как S^δ[z] = A^δ[S^δ[z]]+z,

δ ∈ (0,δ₀], то S⁰[z]-S^δ[z] = A⁰[S⁰[z]-S^δ[z]]+(A⁰-A^δ)[S^δ[z]], и поэтому S⁰[z]-S^δ[z] = S⁰[(A⁰-

- A^δ)[S^δ[z]]]. Следовательно, при любом δ ∈ (0,δ₀] имеем ∥S^δ - S⁰∥ ≤ C₂∥S⁰∥∥A^δ - A⁰∥ и

можно выбрать K = C₂∥S⁰∥. Лемма доказана.

Из условий A₁)-A₃) простыми выкладками, использовав лемму 1, получаем следующую

связь входных данных задачи (P⁰) с входными данными задач (P^δ), δ ∈ (0, δ₀]:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

801

Лемма 2. Существует постоянная Γ, зависящая лишь от операторов A⁰, B⁰, A⁰,

B⁰, функционалов K⁰, J0i (i = 1,k), функций c⁰, N₁, чисел C, K, δ₀ и множества D,

такая, что для каждого δ ∈ (0, δ₀] выполняются неравенства

∥G^δ - G⁰∥ ≤ Γδ,

∥e^δ - e⁰∥_H ≤ Γδ;

|J^δi[u] - J0i[u]| ≤ Γδ, u ∈ D (i = 0, k).

(7)

2.2. МПР и МПР-образующий оператор в задаче выпуклого программирования.

Имеем D^δ,ϵ = {u ∈ D : ∥G^δ[u] - e^δ∥_H ≤ ϵ, J^δi[u] ≤ ϵ (i = 1, k)}, 0 ≤ δ ≤ δ0, ϵ ≥ 0. Так как

обобщённая нижняя грань задачи (P⁰) определяется фактически той же формулой, что и

обобщённая нижняя грань задачи (OC⁰), и эти грани совпадают, то мы сохраним за ней

обозначение β. Имеем β ≡ β₊₀ ≡ lim

β_ϵ, β_ϵ ≡ inf

J⁰⁰[u], если D0,ϵ = ∅; β_ϵ ≡ +∞, если

ϵ→+0

u∈D0,ϵ

D0,ϵ = ∅. Как уже отмечалось, β ≤ β₀, где β₀ ≡ inf

J⁰⁰[u] - классическая нижняя грань

u∈D⁰

задачи (P⁰). Так как (P⁰) - выпуклая задача с сильно выпуклым целевым функционалом,

то она может иметь не более одного оптимального элемента, а β = β₀. Если (P⁰) имеет

оптимальный элемент (будем обозначать его u⁰), то на нём и достигаются грани β и β₀.

Определение 2. Последовательность {u^j}∞j=1 ⊂ D, для которой существует стремящаяся

к нулю последовательность положительных чисел {ϵ^j }∞j=1, такая, что u^j ∈ D0,ϵj (j = 1, 2, . . .)

и J⁰⁰[u^j] → β = inf

J⁰⁰[u] при j → ∞, называется МПР задачи (P⁰).

u∈D⁰

Лемма 3. В силу ограниченности D существование МПР в задаче (P⁰) равносильно

неравенству β < +∞. Если β < +∞ и сильно выпуклый функционал J⁰⁰ является субдиф-

ференцируемым (в смысле выпуклого анализа) в точках D, то для любого МПР u^k, k ∈ N,

в разрешимой единственным образом в этом случае задаче (P⁰) справедливо предельное со-

отношение u^k → u⁰, k → ∞.

Доказательство. Пусть β < +∞. Так как J⁰⁰ - непрерывный и сильно выпуклый, то

упомянутая последовательность u^k, k ∈ N, ограничена. Благодаря единственности решения

задачи (P⁰), слабой полунепрерывности снизу функционалов J⁰⁰[u], J0i[u] (i = 1, k), u ∈ D,

а также свойствам ЛОО G⁰, элементы u^k при k → ∞ сходятся слабо к решению u⁰. Так

как J⁰⁰[u^k] → J⁰⁰[u⁰], k → ∞, то при субдифференцируемости J⁰⁰ в точках D имеем сильную

сходимость u^k к u⁰ при k → ∞. Лемма доказана.

Положим J^δ[u] ≡ {Jδ1[u], . . . , J^δk[u]}. Введём для задачи (P⁰) понятие МПР-образующего

(регуляризирующего) оператора [16], согласованное с понятием МПР. Набором исходных дан-

ных задачи (P^δ) является набор

^δ ≡ {Jδ0,J^δ,G^δ,e^δ}.

Определение 3. Пусть δ^k ∈ (0,δ₀), k ∈ N, - сходящаяся к нулю последовательность поло-

жительных чисел. Зависящий от δ^k, k ∈ N, оператор R( · , · , · , · , δ^k ), ставящий в соответствие

каждому набору исходных данных {Jδk0 , Jδk , Gδk , eδk } элемент R(J0k , Jδk , Gδk , eδk , δ^k) = uδk ∈

∈ D, называется МПР-образующим в задаче (P⁰), если последовательность uδk , k ∈ N, есть

МПР в этой задаче.

2.3. Двойственная задача. Регулярная функция Лагранжа задачи (P^δ)

L^δ(u,λ,μ) ≡ Jδ0[u] + 〈λ,G^δ[u] - e^δ〉_H + 〈μ,J^δ[u]〉_k, u ∈ Ls2, λ ∈ H, μ ∈ Rk+,

(8)

при любых λ ∈ H, μ ∈ Rk+, δ ∈ (0, δ₀] сильно выпукла и непрерывна как функция переменной

u в Ls2, а следовательно, достигает минимума на ограниченном выпуклом и замкнутом в Ls2

множестве D, причём в единственной точке

u^δ[λ,μ] ≡ argmin L^δ(u,λ,μ), λ ∈ H, μ ∈ Rk+

u∈D

(см., например, [5, гл. 8, § 2, теорема 10]). Двойственной к задаче выпуклого программирования

(P^δ) является задача

V δ(λ,μ) ≡ minLδ(u,λ,μ) → sup, λ ∈ H, μ ∈ Rk+.

u∈D

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

802

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

Следующая лемма доказывается так же, как и оценка (2.32) в работе [16].

Лемма 4. Существует число K > 0, зависящее лишь от sup ∥u∥2,s, такое, что выпол-

u∈D

няется неравенство

|V^δ(λ, μ) - V⁰(λ, μ)| ≤ Kδ(1 + ∥λ∥_H + ∥μ∥_k), λ ∈ H, μ ∈ Rk+, δ ∈ (0, δ₀].

(9)

2.4. Итеративная двойственная регуляризация. Пусть задача (P⁰) имеет решение.

Через

∂V^δ(λ,μ) обозначим супердифференциал (в смысле выпуклого анализа) вогнутого

(

функционала V^δ : H × Rk+ → R. Вектор

∂

V δ(λ,μ) ≡ {G^δ[u^δ[λ,μ]] - e^δ,J^δ[u^δ[λ,μ]]} лежит

в ∂V^δ(λ,μ). Пусть последовательность {λj, μ^j}, j = 0,1,2,... , конструируется по итераци-

онному правилу

{λj+1, μj+1} = Pr_Λ({λj, μ^j} + β^j∂

V δ^j(λj, μ^j) - 2β^jα^j{λj, μ^j}), j = 0,1,2,... ,

{λ0, μ⁰} ∈ Λ ≡ H × Rk+,

(10)

где последовательности δ^j , α^j , β^j, j ∈ N, удовлетворяют условиям согласования

δ^j ≥ 0, α^j > 0, β^j > 0, lim (δ^j + α^j + β^j) = 0,

j→∞

∑

α^j

|αj+1 - α^j |

β^j

δ^j

≤C₀,

≤

α^jβ^j = +∞

(11)

αj+1

(α^j )³β^j

(α^j )³

(α^j )⁶

j=1

при некоторых положительных

C, C₀. Такие последовательности существуют. Можно взять,

например, значения α^j = j-1/6, β^j = j-1/(5/3), δ^j = j-1. Справедлива следующая теорема

сходимости метода итеративной двойственной регуляризации [6, теорема 2].

Теорема 1 (итеративная двойственная регуляризация). Пусть u⁰ - решение задачи (P⁰)

и выполняются условия согласования (11). Тогда

α^j∥{λj, μ^j}∥ → 0, J⁰⁰[uδj [λj, μ^j]] → J⁰⁰[u⁰], G⁰[uδj [λj, μ^j]] → e⁰ при j → ∞

и существует стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {κ^j}∞j=1 та-

кая, что J0i[uδj [λj , μ^j ]] ≤ κ^j (i = 1, k), j ∈ N. При дополнительном условии субдифференци-

руемости J⁰⁰ (в смысле выпуклого анализа) в точках D справедливо

∥uδj [λj , μ^j ] - u⁰∥2,s → 0 при j → ∞.

(12)

Другими словами, вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (P⁰) зада-

ча, алгоритм R( · , δ^j ), задаваемый равенством R(Jδj0 , Jδj , Gδj , eδj , δ^j ) = uδj [λj , μ^j ] для каж-

дого набора исходных данных {Jδj0 ,Jδj ,Gδj ,eδj }, удовлетворяющих оценкам (7) при δ = δ^j,

является МПР-образующим в смысле определения 3, причём в случае субдифференцируемости

J00 в точках D имеет место и сильная сходимость (12); если такой субдифференцируемо-

сти нет, то, строго говоря, можно гарантировать лишь слабую сходимость uδj [λj, μ^j] к

u⁰ при δ^j → 0, j → ∞. Кроме того, справедливы соотношения

〈μ^j,Jδj[uδj[λj, μ^j]]〉_k + 〈λj,Gδj[uδj[λj, μ^j]] - eδj〉_H → 0 при j → ∞,

V⁰(λj, μ^j) →

sup

V⁰(λ,μ) = J⁰⁰[u⁰] при j → ∞.

{λ,μ}∈H×R^k

Сформулированная теорема может быть дополнена и регуляризирующим правилом остано-

ва итерационного процесса (10) в случае, когда ошибка задания исходных данных δ является

конечной и не стремится к нулю (см., например, теорему 3 из [6]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

803

2.5. Регуляризованный итерационный принцип Лагранжа. Теперь сформулируем

и докажем регуляризованный принцип Лагранжа в итерационной форме в задаче (P⁰).

Теорема 2 (регуляризованный итерационный принцип Лагранжа). Для существования в

задаче (P⁰) МПР необходимо и достаточно, чтобы для последовательности {λj , μ^j } ∈ H ×

× Rk+, j = 0,1,... , порождаемой итерационным процессом (10) с условиями согласования

(11), выполнялось предельное соотношение

〈λj,Gδj [uδj [λj, μ^j,]] - eδj 〉_H + 〈μ^j,Jδj [uδj [λj, μ^j]]〉_k → 0 при j → ∞

(13)

и нашлась такая стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {ϵ^j}∞j=1,

чтобы имело место включение

uδj [λj, μ^j] ∈ Dδj,ϵj , j = 0,1,...

(14)

В этом случае последовательность uδj [λj, μ^j], j = 0,1,... , есть МПР задачи (P⁰) и вне

зависимости от того, разрешима двойственная к (P⁰) задача или нет, при субдифференци-

руемости J⁰⁰ на D имеет место сильная сходимость в Ls2 :

uδj [λj, μ^j] → u⁰ при j → ∞.

(15)

Одновременно выполняется и предельное соотношение

V⁰(λj, μ^j) →

sup

V⁰(λ,μ) = J⁰⁰[u⁰] при j → ∞.

(16)

(λ,μ)∈H×R^k

Другими словами, вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (P⁰) зада-

ча, алгоритм R( · , δ^j ), задаваемый равенством R(Jδj0 , Jδj , Gδj , eδj , δ^j ) = uδj [λj , μ^j ] для каж-

дого набора исходных данных {Jδj0 ,Jδj ,Gδj ,eδj }, удовлетворяющих оценкам (7) леммы 2 при

δ = δ^j, является МПР-образующим в смысле определения 3, а в случае субдифференцируемо-

сти J⁰⁰ в точках D имеет место и сильная сходимость (15). Если же этой субдифферен-

цируемости нет, то, строго говоря, гарантирована лишь слабая сходимость uδj [λj, μ^j] к u⁰

при δ^j → 0, j → ∞.

Доказательство. Для доказательства необходимости заметим, что выпуклая задача (P⁰),

все функционалы которой непрерывны, разрешима в силу существования МПР и ограничен-

ности D. Поэтому соотношения (13), (14), (16) следуют из теоремы 1.

Для доказательства достаточности заметим, что выпуклая задача (P⁰), все функциона-

лы которой непрерывны, разрешима благодаря включениям (14) и ограниченности последо-

вательности uδj [λj , μ^j ], j = 0, 1, . . . Следовательно, в силу теоремы 1 последовательность

{λj, μ^j}, j = 0,1,... , итерационного процесса (10) с условиями согласования (11) удовлетво-

ряет помимо предельных соотношений (13) и включений (14) ещё и предельному соотноше-

нию J⁰⁰(uδj [λj , μ^j ]) → J⁰⁰(u⁰), j → ∞. Поэтому последовательность uδj [λj , μ^j], j = 0, 1, . . . ,

является МПР в задаче (P⁰), а значит в случае субдифференцируемости J⁰⁰ на D она схо-

дится к u⁰ в норме Ls2. Одновременно, ввиду ограниченности D, предельного соотношения

α^j∥{λj, μ^j}∥ → 0, j → ∞, теоремы 1, условий согласования (11) и оценки (9), получаем

предельное соотношение Vδj (λj , μ^j) - V⁰(λj , μ^j ) → 0, j → ∞. Так как при этом, в силу дока-

занной сходимости J⁰⁰(uδj [λj , μ^j ]) → J⁰⁰(u⁰), j → ∞ и условия (13), имеет место сходимость

V δ^j(λj, μ^j) → J⁰⁰(u⁰), j → ∞, то справедливо предельное соотношение (16). Теорема доказана.

3. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптимального

управления распределёнными системами.

3.1. Переформулировка теорем о регуляризации в терминах исходной задачи

оптимального управления. Функция Лагранжа задачи (OC^δ) равна функции Лагранжа

задачи (P^δ) и имеет вид

L^δ(u,λ,μ) ≡ Jδ0[u] + 〈λ,G^δ[u] - C^δ〉_H + 〈μ,J^δ[u]〉_k, u ∈ Ls2, λ ∈ H, μ ∈ Rk+,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

6^∗

804

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

где J^δ[u] ≡ {Jδ1[u], . . . , J^δk[u]}. Соответственно двойственная к (OC^δ) задача имеет вид

V δ(λ,μ) ≡ minLδ(u,λ,μ) → sup, λ ∈ H, μ ∈ Rk+

u∈D

(при любых δ ∈ (0, δ₀], λ ∈ H, μ ∈ Rk+ функция L^δ( · , λ, μ) достигает минимума на D в

единственной точке u^δ[λ, μ]). “Расшифровка” теорем 1 и 2 в терминах задачи оптимального

управления (OC⁰) приводит соответственно к алгоритму итеративной двойственной регуля-

ризации и регуляризованному принципу Лагранжа в итерационной форме для этой задачи.

Пусть последовательность {λj , μ^j }, j = 0, 1, 2, . . . , конструируется по итерационному правилу

(

(10) с

∂

V δ(λ,μ) ≡ {G^δ[u^δ[λ,μ]] - C^δ,J^δ[u^δ[λ,μ]]} и с условиями согласования (11).

Теорема 3 (итеративная двойственная регуляризация в задаче оптимального управления

(OC⁰)). Пусть u⁰ - решение задачи (OC⁰) и выполняются условия (11). Тогда

α^j∥{λj, μ^j}∥ → 0, J⁰⁰[uδj [λj, μ^j]] → J⁰⁰[u⁰], G⁰[uδj [λj, μ^j]] → C⁰ при j → ∞,

и существует стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {κ^j}∞j=1 та-

кая, что J0i[uδj [λj, μ^j ]] ≤ κ^j (i = 1, k), j = 1, 2, . . . При дополнительном условии субдиф-

ференцируемости J⁰⁰ (в смысле выпуклого анализа) в точках D выполняется предельное

соотношение

∥uδj [λj , μ^j ] - u⁰∥2,s → 0 при j → ∞.

(17)

Другими словами, вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (OC⁰) за-

дача, алгоритм R( · , δ^j ), задаваемый равенством R(fδj , δ^j ) = uδj [λj , μ^j ] для каждого набора

исходных данных fδj , является МПР-образующим в смысле определения 1, причём в случае

субдифференцируемости J⁰⁰ в точках D имеет место и сильная сходимость (17); если та-

кой субдифференцируемости нет, то, вообще говоря, гарантирована лишь слабая сходимость

uδj [λj, μ^j] к u⁰ при δ^j → 0, j → ∞. Кроме того, справедливы предельные соотношения

〈μ^j,Jδj[uδj[λj, μ^j]]〉_k + 〈λj,Gδj[uδj[λj, μ^j]] - Cδj〉_H → 0 при j → ∞,

V⁰(λj, μ^j) →

sup

V⁰(λ,μ) = J⁰⁰[u⁰] при j → ∞.

{λ,μ}∈H×R^k

Теорема 4 (регуляризованный принцип Лагранжа в итерационной форме для задачи

(OC⁰)). Для существования МПР в задаче (OC⁰) необходимо и достаточно, чтобы для по-

следовательности {λj , μ^j} ∈ H × Rk+, j = 0, 1, . . . , порождаемой итерационным процессом

(

(10) с

∂

V δ(λ,μ) ≡ {G^δ[u^δ[λ,μ]]-C^δ,J^δ[u^δ[λ,μ]]} и с условиями согласования (11), выполнялось

предельное соотношение

〈λj,Gδj [uδj [λj, μ^j]] - Cδj 〉_H + 〈μ^j,Jδj [uδj [λj, μ^j]]〉_k → 0 при j → ∞,

и нашлась стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {ϵ^j}∞j=1 такая,

что uδj [λj, μ^j ] ∈ Dδj ,ϵj , j

= 0, 1, . . . В этом случае последовательность uδj [λj , μ^j], j =

= 0, 1, . . . , есть МПР задачи (OC⁰) и независимо от того, разрешима двойственная к (OC⁰)

задача или нет, при субдифференцируемости J⁰⁰ на D имеет место сходимость в Ls2 :

uδj [λj, μ^j] → u⁰ при j → ∞.

(18)

Одновременно и V⁰(λj, μ^j) →

sup

V⁰(λ,μ) = J⁰⁰[u⁰] при j → ∞. Другими сло-

{λ,μ}∈H×R^k

вами, вне зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (OC⁰) задача, алго-

ритм R(·,δ^j), задаваемый равенством R(fδj ,δ^j) = uδj [λj, μ^j] для каждого набора исходных

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

805

данных fδj , является МПР-образующим в смысле определения 1, причём в случае субдиффе-

ренцируемости J⁰⁰ в точках D имеет место и сильная сходимость (18). Если же такой

субдифференцируемости нет, то можно говорить лишь о слабой сходимости uδj [λj, μ^j] к

u⁰ при δ^j → 0, j → ∞.

3.2. О минимизации функции Лагранжа. Ключевой задачей процедуры двойственной

регуляризации процесса приближённого решения задачи (OC⁰), а также возможного примене-

ния регуляризованных КУО для практического решения задач оптимизации является задача

минимизации функции (функционала) Лагранжа L^δ(u, λ, μ), {λ, μ} ∈ H × Rk+, задачи (OC^δ)

L^δ(u,λ,μ) → min, u ∈ D,

(19)

решение которой мы обозначили через u^δ[λ, μ]. От “качества” решения этой “простейшей” зада-

чи напрямую зависит и “качество” решения исходной задачи (OC⁰) на основе регуляризован-

ных КУО. Предположим для упрощения изложения, что при каждом δ ∈ (0, δ₀] функционалы

K^δ[z] : Lm2 → R, M^δ[u] : Ls2 → R, J^δi[z,u] : Lm2 × Ls2 → R (i = 1,k) дифференцируемы по

Фреше. Тогда при каждом δ ∈ (0, δ₀] дифференцируемы по Фреше функционалы J^δi[u] : Ls2 →

→ R (i = 0,k) и функционал Лагранжа L^δ(u,λ,μ). В этом случае решение u^δ[λ,μ] выпуклой

задачи на минимум (19) удовлетворяет критерию минимума

L^δ′u(u^δ[λ,μ],λ,μ)[u - u^δ[λ,μ]] ≥ 0, u ∈ D,

(20)

где L^δ′u(u, λ, μ)[ · ] - производная Фреше функционала L^δ(u, λ, μ) по переменной u в точке

u ∈ Ls2 при фиксированных λ, μ. Пусть Ψδ[u, λ, μ](·) ∈ Ls2 - функция Рисса линейного

непрерывного функционала L^δ′u(u, λ, μ)[ · ] ∈ (Ls2)^∗. Критерий (20) можно записать как

〈Ψ^δ[u^δ[λ, μ], λ, μ], u - u^δ[λ, μ]〉2,s ≥ 0, u ∈ D.

(21)

Найдём представление функции Ψ^δ[u, λ, μ](t), t ∈ Π, в терминах задачи (OC^δ), δ > 0, а

точнее - в терминах уравнения (4), операторов A^δ, B^δ и функционалов K^δ, M^δ, J^δi (i =

= 1, k), δ > 0. Непосредственно из (5), (6) и (8) следует, что

L^δ′u(u,λ,μ)[v] = K^δ′z(S^δB^δ u + S^δc^δ)S^δB^δ[v] + M^δ′u(u)[v] +

∑

+ μ_iJ^δ′iz(S^δB^δ u + S^δc^δ, u)S^δB^δ[v] +

μ_iJ^δ′iu(S^δB^δ u + S^δc^δ, u)[v] +

i=1

+ 〈λ, A^δS^δB^δ[v] + B^δ[v]〉_H , v ∈ Ls2,

u∈Ls2.

(22)

Последнее слагаемое в правой части равенства (22) равно 〈(A^δ)^∗[λ], S^δB^δ[v]〉2,m+〈(B^δ)^∗[λ], v〉2,s.

Пусть Γ^δ[u](·) ∈ Lm2, Υ^δ[u](·) ∈ Ls2, Θ^δi[u](·) ∈ Lm2, Ξ^δi[u](·) ∈ Ls2, Λ^δ[λ](·) ∈ Lm2 - функ-

ции Рисса, соответственно, функционалов K^δ′z(S^δB^δ u + S^δc^δ)S^δ

∈ (Lm2)^∗, M^δ′u(u) ∈ (Ls2)∗,

J^δ′iz(S^δB^δ u + S^δc^δ, u)S^δ

∈ (Lm2)^∗, J^δ′iu(S^δB^δ u + S^δc^δ, u) ∈ (Ls2)^∗, 〈(Aδ)∗[λ], Sδ[ · ]〉2,m ∈ (Lm2)∗

(i = 1, k). Формулу (22) запишем следующим образом:

L^δ′u(u,λ,μ)[v] = -〈ψ^δ[u,λ,μ],B^δ[v]〉2,m + 〈φ^δ[u,λ,μ],v〉2,s, v ∈ Ls2,

(23)

∑

ψ^δ[u,λ,μ] ≡ -Γ^δ[u] -

μ_iΘ^δi[u] - Λ^δ[λ],

(24)

i=1

∑

φ^δ[u,λ,μ] ≡ Υ^δ[u] +

μ_iΞ^δi[u] + (B^δ)^∗[λ].

(25)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

806

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

Пусть Φ^δ[u](·) ∈ Lm2 и Ω^δi[u](·) ∈ Lm2 - функции Рисса, соответственно, функционалов

K^δ′z(S^δB^δ u + S^δc^δ) ∈ (Lm2)^∗ и J^δ′iz(S^δB^δ u + S^δc^δ, u) ∈ (Lm2)^∗ (i = 1,k).

По определению сопряжённого оператора имеем

Γ^δ[u] = (S^δ)^∗Φ^δ[u], Θ^δi[u] = (S^δ)^∗Ω^δi[u] (i = 1,k), Λ^δ[λ] = (S^δ)^∗[(A^δ)^∗[λ]].

Так как (S^δ)^∗ ≡ ((E -A^δ)-1)^∗ = ((E -A^δ)^∗)-1 = (E -(A^δ)^∗)-1, где E - единичный оператор в

Lm2, то определяемая формулой (24) функция ψ^δ[u,λ,μ] есть (единственное в Lm2) решение

уравнения

∑

ψ(t) - (A^δ)^∗[ψ](t) = -Φ^δ[u](t) -

μ_iΩ^δi[u](t) - (A^δ)^∗[λ](t), t ∈ Π, ψ ∈ Lm2,

(26)

i=1

правая часть которого записана в терминах задачи (OC^δ). Таким образом, из (23) получаем

следующее представление производной L^δ′u(u, λ, μ) в терминах этой задачи:

L^δ′u(u,λ,μ)[v] = 〈-(B^δ)^∗[ψ^δ[u,λ,μ]] + φ^δ[u,λ,μ],v〉2,s, v ∈ Ls2.

(27)

Первый сомножитель правой части (27) и даёт искомое представление

Ψ^δ[u,λ,μ](t) = -(B^δ)^∗[ψ^δ[u,λ,μ]](t) + φ^δ[u,λ,μ](t), t ∈ Π,

(28)

где ψ^δ[u, λ, μ] - Lm2-решение (26), φ^δ[u, λ, μ] задаётся формулой (25), u∈Ls2.

3.3. Случай ограниченных управлений. Пусть D ≡ {u(·) ∈ L^s∞ : u(t) ∈ U, t ∈ Π},

где U ⊂ R^s - ограниченное замкнутое и выпуклое множество. В этом случае критерий (21)

эквивалентен следующему линеаризованному поточечному принципу максимума.

Лемма 5. Функция u ∈ D будет решением задачи (19) тогда и только тогда, когда

〈Ψ^δ[u, λ, μ](t), u(t)〉_s = max〈Ψδ[u, λ, μ](t), w〉s при почти всех t ∈ Π,

(29)

w∈U

где Ψ^δ[u, λ, μ] задаётся формулой (28), в которой ψ^δ[u, λ, μ] - решение сопряжённого урав-

нения (26).

Доказательство. Необходимость доказывается простейшим игольчатым варьированием,

а достаточность - стандартным применением теоремы А.А. Ляпунова (см. [22, § 2.4, § 8.2]).

Благодаря сильной выпуклости целевого функционала, множество управлений u(·) из D,

удовлетворяющих (при сформулированных выше дополнительных предположениях диффе-

ренцируемости) условию (29), состоит ровно из одного элемента, обозначим его u^δm[λ, μ], и

u^δm[λ,μ] = u^δ[λ,μ], т.е. непосредственно из теоремы 4 и леммы 5 получаем следующий регуля-

ризованный ПМП в итерационной форме для задачи (OC⁰).

Теорема 5 (регуляризованный ПМП в итерационной форме для задачи оптимального

управления (OC⁰)). При сформулированных выше дополнительных условиях дифференциру-

емости все утверждения теоремы 4 останутся справедливыми, если в них заменить везде

uδj [λj, μ^j] на uδjm[λj, μ^j].

4. Иллюстративный пример: регуляризация условий оптимальности в задаче

оптимизации для гиперболической системы. Естественный переход от начально-крае-

вой задачи к эквивалентному ей функциональному уравнению второго рода вольтеррова типа

осуществляется с помощью обращения главной части задачи. Разнообразные конкретные при-

меры начально-краевых задач (для параболических, гиперболических, интегро-дифференци-

альных уравнений с частными производными и систем таких уравнений, различных уравнений

с запаздывающим аргументом и др.), которые допускают эквивалентное описание с помощью

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

807

функциональных уравнений вольтеррова типа можно найти, например, в [17] (см. также обзо-

ры и библиографию в [17, 21]). Из огромного множества самых различных соответствующих

оптимизационных задач для иллюстрации изложенной выше теории выбрана задача опти-

мального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений

первого порядка (частным случаем этой задачи является некоторая обратная задача финаль-

ного наблюдения). Запишем для этой задачи те основные конструкции, которые и участвуют

в формулировке регуляризованных КУО (формирующая критерий минимума функционала

Лагранжа функция, сопряжённое уравнение, . . . ). Сформулировать с их помощью соответ-

ствующие регуляризованные КУО - конкретные реализации теорем 3, 4, 5 - будет совсем не

трудно.

Пусть n = 2, Π = [0, 1] × [0, 1]; ξⁱ > 0 (i = 1, m) - заданные числа; α(·) ∈ L^m×m∞, γ(·) ∈

∈ L^m×s∞, θ_j(·) ∈ Lm2[0,1] (j = 1,2) - фиксированные функции. Рассмотрим краевую задачу

для управляемой линейной гиперболической системы первого порядка

∑

∂xⁱ

+ξⁱ

= α_ij(t)x^j(t) + γ_ij(t)u^j(t), t ∈ Π, i = 1,m,

(30)

∂t¹

∂t²

j=1

x(t¹, 0) = θ₁(t¹),

0 ≤ t¹ ≤ 1; x(0,t²) = θ₂(t²),

0 ≤ t² ≤ 1,

(31)

где u(·) ∈ Ls2 - управление. Левую часть i-го уравнения (30) понимаем как полную произ-

водную функции xⁱ(·) по t¹ вдоль характеристики l_i дифференциального выражения этой

левой части (уравнение характеристики l_i = l_i(t), проходящей через точку t = {t¹, t²} плос-

кости t = {t¹, t²}, имеет вид t² = ηⁱ(t; t¹) ≡ ξⁱ(t¹ - t¹) + t²); такую производную обозначаем

∂xⁱ(·)/∂l_i (i = 1,m). Пусть W - класс функций x(·) из Lm2, у которых при любом i = 1,m

компонента xⁱ(·) абсолютно непрерывна вдоль почти каждой в Π характеристики l_i, причём

функция ∂xⁱ(t)/∂l_i, t ∈ Π, принадлежит L₂.

Назовём решением задачи (30), (31) при данном u(·) функцию x(·) из W, удовлетворя-

ющую почти всюду граничным условиям (31), i-я компонента которой удовлетворяет i-му

уравнению (30) почти всюду (по линейной мере) вдоль почти каждой в Π характеристики

l_i, i = 1, m. Приведём задачу (30), (31) к эквивалентному уравнению вида (1), показав тем

самым, что каждому u(·) ∈ Ls2 отвечает единственное решение этой задачи. Введём обозначе-

ния: a_i(t) (соответственно b_i(t)) - точка из l_i(t)

^⋂ Π, имеющая минимальную (соответственно

максимальную) координату t¹; Θⁱ(t) ≡ {θi2(a2i(t)), если t² ≥ ξⁱt¹; θi1(a1i(t)), если t² < ξⁱt¹},

i=1,

∫

до t;_l

y(·,·)dl - криволинейный интеграл от функции двух переменных y(·,·), равный

i[c,t]

∫t¹

определённому интегралу

y(ξ, ηⁱ(t; ξ)) dξ. Формула

c¹

∫

xⁱ(t) = Θⁱ(t) +

zⁱ(·,·)dl, t ∈ Π, i = 1,m,

(32)

l_i[a_i(t),t]

устанавливает взаимно-однозначное соответствие между классом Lm2 функций z(·) и классом

удовлетворяющих граничным условиям (31) функций x(·) из W. Cделав в задаче (30), (31)

замену (32) (это и есть процедура обращения главной части задачи (30), (31)), получим

∑

zⁱ(t) =

α_ij(t)Σ_j[z^j](t) +

γ_ij(t)u^j(t) +

α_ij(t)Θ^j(t), t ∈ Π, i = 1,m,

j=1

∫

где Σ_j[y](t) ≡

y(·) dl, t ∈ Π, j = 1, m. Или, в более компактной форме,

l_j[a_j(t),t]

z(t) = α(t)Σ[z](t) + γ(t)u(t) + α(t)Θ(t), t ∈ Π,

(33)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

808

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

где Σ[z](t) ≡ col {Σ₁[z¹](t), . . . , Σ_m[z^m](t)}. Запишем и формулу (32) более компактно:

x(t) = Θ(t) + Σ[z](t), t ∈ Π.

(34)

Уравнение (33) есть уравнение вида (1), эквивалентное краевой задаче (30), (31). Здесь

A[z](t) ≡ α(t)Σ[z](t), z ∈ Lm2, t ∈ Π (квазинильпотентность ЛОО A : Lm2 → Lm2 легко следует

из признака [18, теорема 2]); B[u](t) ≡ γ(t)u(t), u ∈ Ls2, t ∈ Π; c(t) ≡ α(t)Θ(t), t ∈ Π. Если

x(·) ∈ W - решение задачи (30), (31) при некотором u(·) ∈ Ls2, то связанная с x(·) формулой

(34) функция z(·) ∈ Lm2 есть решение уравнения (33) при том же u(·). И наоборот, если

z(·) ∈ Lm2 есть решение уравнения (33) при данном u(·) ∈ Ls2, то функция x(·), связанная с

z(·) формулой (34), есть решение задачи (30), (31) при этом u(·). Отвечающие управлению

u(·) ∈ Ls2 решения задачи (30), (31) и уравнения (33) обозначим x_u и z_u соответственно.

Пусть заданы выпуклые функции G₀(y) : R^m → R, G_i(y, w) : R^m × R^s → R, i = 1, k;

функции P (·) ∈ L^l×m∞[0, 1], π(·) ∈ Ll2[0, 1], Q( · , · ) ∈ Lq×s2(Π × Π), ν(·) ∈ Lq2(Π). Формулами

(∫

)

(∫

∫

)

F₀[x,u] ≡ G₀

x(t) dt

+ ∥u∥²

2,s

Fi[x, u] ≡ Gi

x(t) dt, u(t) dt

при i = 1, k для x ∈ W, u ∈ Ls2 определены функционалы. Пусть D - выпуклое ограничен-

ное и замкнутое множество пространства Ls2. Рассмотрим задачу оптимального управления

системой (30), (31) c минимизируемым функционалом цели F₀[x, u] при ограничениях

∫

P (t²)x(1, t²) = π(t²) (t² ∈ [0, 1]),

Q(t, ζ)u(ζ) dζ = ν(t) (t ∈ Π),

Fi[x, u] ≤ 0 (i = 1, k)

(35)

и множестве допустимых управлений D (при G₀ ≡ 0 задача является обратной задачей

финального наблюдения, см., например, [2]). Эту задачу символически запишем в виде

F₀[x_u,u] → min, P(t²)x_u(1,t²) = π(t²) (t² ∈ [0,1]),

∫

Q(t, ζ)u(ζ) dζ = ν(t) (t ∈ Π), F_i[x_u, u] ≤ 0 (i = 1, k), u ∈ D.

(36)

Сделав в задаче (36) замену (34), получим эквивалентную задачу оптимизации управляе-

мой системы (33). При этом минимизируемый функционал принимает вид

W₀[z_u,u] ≡ F₀[Θ + Σ[z_u],u], u ∈ Ls2,

а ограничения (35) преобразуются в ограничения

P[z](t²) = π(t²)- P (t²)Θ(1, t²) (t² ∈ [0, 1]), Q[u](t) = ν(t) (t ∈ Π), W_i[z, u] ≤ 0 (i = 1, k),

где

∫

P[z](t²) ≡ P (t²)Σ[z](1, t²) (z ∈ Lm2, t² ∈ [0, 1]), Q[u](t) ≡ Q(t, ζ)u(ζ) dζ (u ∈ Ls2, t ∈ Π),

W_i[z,u] ≡ F_i[Θ + Σ[z],u] (z ∈ Lm2, u ∈ Ls2, i = 1,k).

Полученная задача оптимизации управляемой системы (33), эквивалентная задаче (36), это

задача вида (3), здесь

(∫

)

J_i[u] ≡ J_i[z_u,u] ≡ W_i[z_u,u] (i = 0,k), K[z] ≡ G₀

(Θ(t) + Σ[z](t)) dt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

809

M [u] ≡ ∥u∥22,s, H ≡ Ll2[0, 1] × Lq2(Π), A[z](t) ≡ col {P[z](t²), 0_q} (z ∈ Lm2, t ∈ Π),

B[u](t) ≡ col {0_l, Q[u](t)} (u ∈ Ls2, t ∈ Π), C ≡ col {π(t²) - P (t²)Θ(1, t²), ν(t)} (t ∈ Π).

Пусть f ≡ {α, γ, θ₁, θ₂, P, π, Q, ν, G_i(i = 0, k)} - входные данные задачи (36), которые под-

вергаются возмущению, и точный набор f⁰ ≡ {α⁰, γ⁰, θ⁰¹, θ⁰², P⁰, π⁰, Q⁰, ν⁰, G0i(i = 0, k)} нам не

известен, но можно оперировать с приближёнными наборами

f^δ ≡ {α^δ,γ^δ,θδ1,θδ2,P^δ,π^δ,Q^δ,ν^δ,G^δi(i = 0,k)} (δ ∈ (0,δ₀])

(δ₀ > 0 фиксировано), которые связаны с набором f⁰ следующими условиями:

Γ₁) Функции Gδ0(y) : R^m → R, G^δi(y,w) : R^m × R^s → R (i = 1,k) выпуклы при любом

δ ∈ [0,δ₀] и равномерно по δ ∈ [0,δ₀] липшицевы на любом ограниченном множестве ^∗.

Γ₂) Существует постоянная C > 0 такая, что величины ∥α^δ -α⁰∥_∞,m×m, ∥γ^δ -γ⁰∥_∞,m×s,

∥θ^δi - θ0i∥_Lm

∥P^δ - P⁰∥_Ll×m

∥π^δ - π⁰∥_Ll

∥Q^δ - Q⁰∥2,q×s,

∥ν^δ - ν⁰∥2,q

[0,1] (i = 1, m),

[0,1]

∞ [0,1]

при любом δ ∈ (0, δ₀] не превосходят величины Cδ.

Γ₃) Существует неубывающая функция N₁(·) : R₊ → R₊ такая, что каковы бы ни были

l > 0 и δ ∈ (0,δ₀] величины |Gδ0(y)-G⁰⁰(y)|, |Gδi(y, w)-G0i(y, w)| (i = 1, k) при ∥y∥m, ∥w∥s ≤ l

не превосходят величины N₁(l)δ.

При любом δ ∈ [0, δ₀] имеем управляемую краевую задачу

∑

∂xⁱ

+ξⁱ

= α^δij(t)x^j(t) + γ^δij(t)u^j(t), t ∈ Π, i = 1,m,

(37)

∂t¹

∂t²

j=1

x(t¹, 0) = θδ1(t¹),

0 ≤ t¹ ≤ 1, x(0,t²) = θδ2(t²),

0 ≤ t² ≤ 1,

(38)

∫

минимизируемый функционал Fδ0[x, u] ≡ Gδ0(_Π x(t) dt) + ∥u∥22,s, набор ограничений

∫

P^δ(t²)x(1,t²) = π^δ(t²) (t² ∈ [0,1]),

Q^δ(t,ζ)u(ζ)dζ = ν^δ(t) (t ∈ Π),

F^δi[x,u] ≤ 0 (i = 1,k),

(39)

∫

где F^δi[x, u] ≡ G^δi(_Π x(t) dt,_Π u(t) dt) (i = 1, k), и задачу оптимального управления

Fδ0[x^δu,u] → min, P^δ(t²)x^δu(1,t²) = π^δ(t²) (t² ∈ [0,1]),

∫

Q^δ(t,ζ)u(ζ)dζ = ν^δ(t) (t ∈ Π), F^δi[x^δu,u] ≤ 0 (i = 1,k), u ∈ D,

(40)

где x^δu(·) - отвечающее управлению u(·) решение граничной задачи (37), (38).

Положим Θ^δi(t) ≡ {θδi2(a2i(t)), t² ≥ ξⁱt¹; θδi1(a1i(t)), t² < ξⁱt¹}, t ∈ Π, i = 1, m. Сделав в

задаче (40) замену x(t) = Θ^δ(t) + Σ[z](t), Θ^δ(t) ≡ col {Θδ1(t), . . . , Θ^δm(t)}, t ∈ Π, получим

эквивалентную задачу оптимизации управляемой системы

z(t) = α^δ(t)Σ[z](t) + γ^δ(t)u(t) + α^δ(t)Θ^δ(t), t ∈ Π.

(41)

При этом ограничения (39) преобразуются в ограничения

P^δ[z](t²) = π^δ(t²) - P^δ(t²)Θ^δ(1,t²) (t² ∈ [0,1]), Q^δ[u](t) = ν^δ(t) (t ∈ Π),

^∗Условие Γ1 выполняется, в частности, если при каждом i = 0, k функции Gⁱ (δ ∈ [0, δ0]) выпуклы и

равномерно по δ ∈ [0, δ0] ограничены на любом ограниченном множестве (см., например, [23, теорема 8.2]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

810

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

W^δi[z,u] ≤ 0 (i = 1,k),

∫

где P^δ[z](t²) ≡ P^δ(t²)Σ[z](1, t²) (z ∈ Lm2, t² ∈ [0, 1]), Q^δ[u](t) ≡_Π Q^δ(t, ζ)u(ζ) dζ (u ∈ Ls2,

t ∈ Π), Wδi[z, u] ≡ Fδi[Θδ + Σ[z], u] (z ∈ Lm2, u ∈ Ls2, i = 1, k). Эту задачу оптимизации

системы (41) запишем в виде (z^δu - решение уравнения (41), отвечающее управлению u)

Wδ0[z^δu,u] → min, P^δ[z^δu](t²) = π^δ(t²) - P^δ(t²)Θ^δ(1,t²) (t² ∈ [0,1]),

Q^δ[u](t) = ν^δ(t) (t ∈ Π), W^δi[z^δu,u] ≤ 0 (i = 1,k), u ∈ D,

(42)

где Wδ0[z, u] ≡ Fδ0[Θ^δ + Σ[z], u]. Приняв A^δ[z](t) ≡ α^δ(t)Σ[z](t), t ∈ Π, z ∈ Lm2; B^δ[u](t) ≡

≡ γ^δ(t)u(t), t ∈ Π, u ∈ Ls2; c^δ(t) ≡ α^δ(t)Θ^δ(t), t ∈ Π, записываем (41) в форме (4).

Таким образом, задача (42) имеет вид (OC^δ), здесь

(∫

)

J^δi[u] ≡ J^δi[z^δu,u] ≡ W^δi[z^δu,u] (i = 0,k), K^δ[z] ≡ Gδ0

(Θ^δ(t) + Σ[z](t)) dt

M^δ ≡ M, H ≡ Ll2[0,1] × Lq2, A^δ[z](t) ≡ col {P^δ[z](t²),0_q} (z ∈ Lm2, t ∈ Π),

B^δ[u](t) ≡ col {0_l,Q^δ[u](t)} (u ∈ Ls2, t ∈ Π), C^δ ≡ col {π^δ(t²)-P^δ(t²)Θ^δ(1,t²),ν^δ(t)} (t ∈ Π).

При сделанных относительно семейства задач (40), δ ∈ [0, δ₀], предположениях семейство

задач (42), δ ∈ [0, δ₀], обладает свойствами Л), A₁), A₂), A₃). Действительно, свойство Л) -

прямое следствие предположений Γ₁)-Γ₃), а неравенства A₁) получаются элементарными

выкладками из Γ₂). Чтобы доказать A₂), оценим величину

|J^δi[z, u] - J0i[z, u]| ≡ |W^δi[z, u] - W0i[z, u]|

при произвольных u ∈ D, l > 0 и z ∈ Lm2 таких, что ∥z∥2,m ≤ l, для i ∈ {1, 2, . . . , k},

δ ∈ (0,δ₀]. Она не превосходит суммы

|F^δi[Θ^δ + Σ[z], u] - F0i[Θ^δ + Σ[z], u]| + |F0i[Θ^δ + Σ[z], u] - F0i[Θ + Σ[z], u]|.

(43)

Вследствие Γ₂) справедлива оценка

∫



(Θ^δ + Σ[z])dt

≤ ϱ · (2Cδ₀ + ∥θ⁰¹∥_Lm[0,1] + ∥θ2∥Lm2[0,1]) + l · ∥Σ∥,

(44)



где ∥Σ∥ - норма ЛОО Σ : Lm2 → Lm2, ϱ ≡ ϱ(ξ1, . . . , ξm) - постоянная, зависящая от чисел

ξⁱ(i = 1, m). Из (44) и Γ3) следует, что первое слагаемое в (43) не превосходит величины

δ · N₁(max{σ,max∥u∥2,s}), где σ ≡ σ(ξ1, . . . , ξm, C, δ0, θ01, θ02, l) - правая часть (44). Так как

u∈D

функция G0i липшицева на любом ограниченном множестве, то существует неубывающая

функция μ(·) : R₊ → R₊ такая, что выполняется неравенство

|G0i(y₁, w₁) - G0i(y₂, w₂)| ≤ μ(l)(∥y₁ - y₂∥_m + ∥w₁ - w₂∥_s),

если ∥y₁∥_m ≤ l,

∥y₂∥_m ≤ l,

∥w₁∥_s ≤ l,

∥w₂∥_s ≤ l (i = 1, k). Ввиду (44) второе слагаемое

∫

правой части (43) не больше произведения μ(max{σ, max∥u∥2,s}) · ∥Π(Θδ - Θ0) dt∥m, второй

u∈D

сомножитель которого не превосходит числа 2Cδ · ϱ(ξ¹, . . . , ξ^m). Таким образом, неравенства

условия A₂) для функционалов Jδ1, . . . , J^δk, 0 < δ ≤ δ0, выполняются с функцией

N₁(l) ≡ 2C · ϱ(ξ¹,... ,ξ^m) · μ(max{σ(ξ₁,... ,ξ_m,C,δ₀,θ⁰¹,θ⁰²,l),l}), l > 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ОБ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

811

Аналогичные выкладки можно провести и для K^δ,

0 < δ ≤ δ₀. Выполнение условия A₃)

легко проверить, пользуясь цепочечным признаком равностепенной квазинильпотентности [21,

теорема 2].

Предположив дополнительно, что функции G^δi, i = 0, k, 0 < δ ≤ δ0, непрерывно диф-

ференцируемы, можем выписать для данного примера критерий решения задачи (19). Сопря-

жённый к оператору Σ : Lm2 → Lm2 оператор Σ^∗ : Lm2 → Lm2 имеет вид

Σ^∗[z] ≡ col {Σ∗1[z¹],... ,Σ^∗m[z^m]},

где

∫

Σ^∗j[y](t) ≡

y(·) dl, t ∈ Π, j = 1, m.

l_j[t,b_j(t)]

∫

Положим κ_δ(u) ≡_Π xδ¯u(ζ) dζ, κ(u) ≡_Π u(ζ) dζ. Непосредственным вычислением получим

Φ^δ[u](t) ≡ Σ^∗[{Gδ0′(κ_δ(u))}^∗](t), Υ^δ[u](t) ≡ 2u(t),

Ω^δi[u](t) ≡ Σ^∗[{G^δiy′(κ_δ(u),κ(u))}^∗](t) (i = 1,k),

Ξ^δi[u](t) ≡ {G^δiw′(κ_δ(u),κ(u))}^∗ (i = 1,k), t ∈ Π.

Приняв для λ ∈ H ≡ Ll2[0, 1] × Lq2 двухкомпонентное обозначение λ ≡ col {ω, ϖ}, ω ∈ Ll2[0, 1],

ϖ ∈ Lq2, находим

(A^δ)^∗[λ](t) = {χ[(1/ξi)(t2+ξi-1),1](t¹)M_i[(P^δ(·))^∗ω(·)](t)}mi=1 (λ ∈ H, t ∈ Π),

∫

(B^δ)^∗[λ](t) = (Q^δ(ζ, t))^∗ϖ(ζ) dζ (λ ∈ H, t ∈ Π),

где M_i[y] - оператор преобразования функции (одной переменной) y(·) в функцию (двух

переменных)

M_i[y](t) ≡ y(t² - ξⁱ(t¹ - 1)), t ∈ Π, i = 1,m.

Уравнение (26) имеет вид

[{

}_∗]

∑

ψ(t) - Σ^∗[α^δ∗ψ](t) = -Σ^∗ Gδ0′(κ_δ(u)) +

μ_jG^δjy′(κ_δ(u),κ(u))

(t) - (A^δ)^∗[λ](t), t ∈ Π,

j=1

его решение принадлежит классу W. Это уравнение эквивалентно краевой задаче

∑

∂ψⁱ

+ξⁱ

= α^δji(t)ψ^j(t) + G

^′(κ_δ(u)) +

μ_jGδjyi ′(κ_δ(u),κ(u)), t ∈ Π, i = 1,m;

0yⁱ

∂t¹

∂t²

j=1

ψ(t¹, 1) = 0_m,

0 ≤ t¹ ≤ 1; ψ(1,t²) = -(P^δ(t²))^∗ω(t²),

0 ≤ t² ≤ 1,

основные уравнения которой получаются из него дифференцированием вдоль характеристик,

краевые условия - соответствующими подстановками независимых переменных.

Заключение. Предложен регуляризованный принцип Лагранжа в итерационной форме

в выпуклой задаче оптимального управления с операторными ограничениями для управля-

емой системы, задаваемой линейным функционально-операторным уравнением второго рода

общего вида в пространстве Lm2, основной оператор правой части уравнения предполагается

квазинильпотентным.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 20-01-00199_a).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

812

СУМИН В.И., СУМИН М.И.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом простран-

стве // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594-1615.

2. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптималь-

ном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25.

№ 1. C. 279-296.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., 1979.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.

5. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М., 2011.

6. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на

основе теории двойственности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2007. Т. 47. № 4.

С. 602-625.

7. Сумин М.И. Регуляризация принципа максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального

граничного управления для параболического уравнения с операторным ограничением-равенством

// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27. № 2. C. 221-237.

8. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на прин-

ципе итеративной регуляризации // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1977. Т. 17. № 6.

С. 1350-1362.

9. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М., 1989.

10. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризованные классические условия оптимальности в итерацион-

ной форме для выпуклых задач оптимизации распределённых систем вольтеррова типа // Вестн.

Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2021. Т. 31. Вып. 2. С. 265-284.

11. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптималь-

ного управления линейными распределёнными системами вольтеррова типа // Журн. вычислит.

математики и мат. физики. 2022. Т. 62. № 1. С. 45-70.

12. Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум

при наличии ограничений // Успехи мат. наук. 2013. Т. 68. Вып. 3(411). С. 5-38.

13. Сумин М.И. Недифференциальные теоремы Куна-Таккера в задачах на условный экстремум и

субдифференциалы негладкого анализа // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2020. Т. 25. Вып. 131.

С. 307-330.

14. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.

15. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптималь-

ного управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. C. 252-269.

16. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.,

1977.

17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и её при-

ложения. М., 1967.

18. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управле-

ния распределёнными системами // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. № 5. C. 1056-1059.

19. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и ква-

зинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

20. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распре-

делёнными системами. Нижний Новгород, 1992.

21. Сумин В.И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отоб-

ражений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 262-278.

22. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974.

23. Дмитрук А.В. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс: учеб. пособие. М., 2012.

Тамбовский государственный университет

Поступила в редакцию 27.12.2021 г.

имени Г.Р. Державина

После доработки 27.12.2021 г.

Нижегородский государственный университет

Принята к публикации 25.05.2022 г.

имени Н.И. Лобачевского

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022