ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.834-845

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.63

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

В РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения краевых за-

дач математической физики. Основные предположения состоят в том, что система диффе-

ренциальных уравнений в частных производных краевой задачи разрешима в приближении

метода Галёркина и граница области анализа является кусочно-линейной. Отличительная

особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной сис-

темы базисных функций для области анализа через барицентрические координаты. Зада-

ны решения по определению барицентрических координат. Выполнено сравнение скорости

сходимости барицентрического метода и сеточных методов при решении некоторых харак-

терных краевых задач математической физики.

DOI: 10.31857/S0374064122060097, EDN: CDJGXU

Введение. Значительная часть исследований различных физических процессов тесно свя-

зана с краевыми задачами математической физики, большинство из которых сводится к ре-

шению дифференциальных уравнений в частных производных. С учётом универсальности от-

носительно возможного применения к несамосопряжённым системам для решения подобных

задач широкое распространение получили проекционные методы - метод Б.Г. Галёркина и его

модификации. Первый шаг эффективной вычислительной реализации проекционных методов

состоит в формировании набора базисных функций, которые должны удовлетворять гранич-

ным условиям и образовывать полную систему. Большинство современных исследований пред-

полагает выбор базисных функций с использованием сеточных схем аппроксимации искомой

в области анализа функции или дифференциального оператора. Несомненным достоинством

подобного выбора является универсальность численных схем, а недостатком - низкая вычисли-

тельная эффективность. Для повышения вычислительной эффективности в работах [1-10] для

численного решения различных типов задач электродинамики [1, 11] и частной задачи теории

упругости [2] предложен барицентрический метод (БМ), который по своей сути является полу-

аналитическим методом. Преимущество БМ заключается в формировании глобальной системы

базисных функций (без разбиения области анализа на элементарные подобласти). Основное

допущение БМ состоит в том, что граница области анализа является кусочно-линейной.

Цель настоящей статьи заключается в расширении применимости барицентрического ме-

тода на решение произвольных краевых задач математической физики при исходном пред-

положении разрешимости системы дифференциальных уравнений в частных производных в

приближении метода Галёркина.

1. Постановка задачи. Введём обозначения: F - поле действительных чисел, Ω - огра-

ниченная односвязная область в E^d, d ≥ 2. Граница ∂Ω области Ω представляет собой

⋃_P

полиэдральную поверхность, т.е. ∂Ω =

B_p, где B_p - (d - 1)-мерный симплекс и лю-

p=1

бые два симплекса B_p′ и B_p′′ , p^′, p^′′ ∈ 1, P , p^′ = p^′′, правильно расположены [12]. Через

= {v₁, v₂, . . . , v_N } обозначим множество вершин этой полиэдральной поверхности, через

E = {e₁,e₂,...,e_M} - рёбра (e_m = {v_n, v_n′}, m = 1,M, v_n = v_n′, n = n^′ ∈ {1,N}). Если e_m,

B_p содержат вершину v_n, то в ряде случаев будем обозначать их e^nm, B^np. Также обозначим

через M_n и P_n число рёбер и симплексов соответственно, которые содержат вершину v_n.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (ДУ) в частных производных

(

)

∂u

∂²u

∂^lu

Lu = F x₁,x₂,... ,x_d,u,

,...,

(1)

∂x₁

∂x₂

∂x_d

∂x²¹

∂x₁∂x₂

∂x²²

∂x^l

834

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

835

с краевым условием

[

]

∂u

αu + β

= g,

(2)

∂ν

∂Ω

где L - линейный ограниченный в пространстве функций C(Ω) дифференциальный опера-

тор, который имеет ограниченный обратный L-1; l ∈ N определяет порядок (1); u ∈ C_L(Ω) -

искомая функция в Ω; f ∈ C(Ω) - известная в Ω функция, удовлетворяющая условию Лип-

шица |f(x) - f(y)| < L⁰|x - y|, x, y ∈ Ω, L⁰ - константа Липшица; g ∈ C(∂Ω) - заданная

функция; ν - внешняя нормаль к ∂Ω; α, β ∈ C(∂Ω), α(x) ≥ 0, β(x) ≥ 0, α(x) + β(x) > 0;

x = {x₁,x₂,...,x_d}.

Решение краевой задачи (1), (2) предлагается определять численно в приближении метода

Галёркина при разложении по базису [13, с. 279]

∑

u^M(x) = c_iψ_i(x)

(3)

i=0

с последующим сведением (1) к системе уравнений относительно неопределённых коэффи-

циентов разложения c_i (i = 0, M) при выдвижении требования ортогональности невязки

∑_M

N (x) = L[

c_iψ_i(x)] - f(x) к базисным функциям ψ_i(x) [13, с. 279]:

i=0

∫

N (x)ψ_i(x) dx = 0.

(4)

С учётом введённых представлений и заданной постановке задачи (1), (2) эффективность

решения (3) будет существенным образом зависеть от рациональности выбора набора базисных

функций ψ_i(x) (i = 0, M) для Ω, которые удовлетворяют краевому условию (2).

2. Порядок выбора набора базисных функций. Решение проблемы рационального

выбора набора базисных функций в методе Галёркина сводится к заданию глобальной [14,

с. 98] для Ω полной системы ψ_i(x) ∈ C(Ω). Её формирование может быть выполнено [13,

с. 294] путём построения для Ω набора^ζ = (ζ_n)_N некоторых функции формы ζ_n(x) ∈ C¹(Ω):

ζ_n(x) > 0, x ∈ Ω. Определение ζ_n(x) при использовании классических интерполяционных

методов (см. работу [15]) в соответствии с теоремой Вейерштрасса [16, с. 100] и её обобщением

(теорема Вейерштрасса-Стоуна) позволяет установить полный набор базисных функций.

С учётом построения Ω в E^d и указанной возможности определения ψ_i(x) через ζ_n(x),

следуя статье [7], введём следующие представления.

Обозначим через A = (E^d, E^d, +) аффинное пространство над полем F. Заданную область

∑_N

Ω в A определим в виде Ω = {

ζ_nv_n}, где ζ_n - барицентрические координаты.

n=1

Определение. Барицентрическими координатами ζ_n назовём набор^ζ = (ζ_n)_N функции

ζ_n(x) ∈ [0,1] (x ∈ Ω), они удовлетворяют условиям

Δζ_n(x) = 0, x ∈ int Ω,

|v_n′ - x|

ζ_n(x) =

x,v_n′ ∈ e^nm,

|v_n′ - v_n|

ζ_n(x) = 0, x ∈ ∂Ω\{Bn1,... ,B^nP

(5)

Замечание. Данное определение является обобщением стандартного определения бари-

∑_N

центрических координат 0 ≤ ζ_n ≤ 1,

ζ_n = 1 (см. работы [17-19]), в случаях, когда V -

n=1

точечный базис; Ω - невырожденный симплекс в A.

Введём множество мультииндексов

{

}

∑

M_s = i = (i₁,i₂,... ,i_n,... ,i_N ) : i_n ∈ Z₊,

i_n = s

n∈[1,N]

)

⁽N + s - 1

⁽N + s - 1⁾

где s ∈ N, ∥Ms∥ =

= M, Z₊ = N

^⋃ {0}.

N-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

8^∗

836

ИЛЬИНСКИЙ, ПОЛЯНСКИЙ

Теорема. Пусть коэффициенты c_i (i ∈ M_s) разложения (3) удовлетворяют однородной

системе уравнений (4), а базисные функции ψ_i(x) определяются по правилу

∏

∑

ψ_i(x) =

[ai˜i(ζ_n(x))i],

(6)

n=1

i=0

тогда ψ_i(x) формируют полную систему в функциональном пространстве решений задачи

(1), (2).

Предполагается, что в выражении (6) ai˜i - коэффициенты, удовлетворяющие уравнению

)

∫ (_N∏

∑

∏

∑

∂ζ_n′

i-1

[ai˜iζ

]+β

i[ai˜iζ

]

[ai˜iζ

] - g dx = 0

(7)

n^′

∂ν

n=1

n^′=1

n=1

∂Ω

i=0

n=n^′

∑

∑in

и такие, что lim

|ai˜i| < ∞.

i∈Ms

i=0

s→∞

Доказательство. Полноту системы (6) в функциональном пространстве решений задачи

(1), (2) определяет для любого ε > 0 существование такого M_ε ∈ N, что для всех M ≥ M_ε

и любого x ∈ Ω выполняется условие

|u(x) - u^M(x)| < ε.

(8)

Из определения оператора L в (1) и удовлетворения базисными функциями (6) граничных

условий (2) при (7), согласно [20], зададим оценку

∥u - u^M∥_C = sup |u(x) - u^M(x)| правой

x∈Ω

части неравенства (8) в виде

∥u - u^M∥_C = ∥L-1(f - Lu^M)∥_C ≤ ∥L-1∥_C ∥f - Lu^M∥_C ≤ δ∥f - P_Mf∥_C ≤

≤ δ(1 + ∥P_M∥_C) inf

|f - f^M|,

(9)

f^M∈H(M)

где P_M - проекционный оператор; H(M) ⊂ H; H - гильбертово пространство; δ - незави-_∑

сящая от M константа; f^M(x) =i∈Ms f_iψ_i(x) - наилучшее приближение функции f(x)

коэффициентами f_i.

Для подтверждения сходимости (9) необходимо доказать полноту системы ψ₁(x),

..., ψ_M(x). Приняв во внимание приведённое выше определение барицентрических коорди-

нат ζ_n(x), которое с учётом соотношения (5) и теоремы о максимуме и минимуме гармониче-

ской функции [21, с. 211] обеспечивает для любого x ∈ Ω выполнение условий ζ_n(x) ∈ [0, 1],

∑_N

ζ_n(x) = 1, x =

ζ_n(x)P_n, неравенство Коши-Буняковского и справедливое для

n=1

липшицевой функции неравенство |f(x) - f(y)| < L⁰|x - y| (x, y ∈ Ω) при задании f_i = f(xⁱ)

(xⁱ ∈ Ω - узлы аппроксимации f^M(x)), определим оценку

∑

∏

∑

∏

∑

|f(x) - f^M(x)| ≤

|f(x) - f_i|

[|ai˜i|(ζ_n(x))i] ≤ L0

|x - xⁱ|

[|ai˜i|(ζ_n(x))i] =

i∈Ms

n=1

i=0

i∈Ms

n=1

i=0



∑

∏

∑

=L⁰



(ζ_n(x) - ζ_n(xⁱ))P_n

[|ai˜i|(ζ_n(x))i] ≤



i∈Ms n=1

n=1

i=0

∑

≤L⁰

max

|Pn1 - Pn2 | max

[|ai˜i|(ζ_n(x))i].

n₁,n₂∈[1,N]

n∈[1,N]

i∈Ms

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

837

∑

∑in

С учётом предположения lim

|ai˜i| < ∞, свойств барицентрических координат

i∈Ms

i=0

s→∞

и определения Ω окончательно установим справедливость неравенства

lim |f(x) - f^M(x)| < ∞,

s→∞

из которого следует, что система базисных функций ψ_i(x) полна. Тогда оценка (9) ограничена

при s → ∞ и неравенство (8) выполняется, что и требовалось доказать.

3. Определение барицентрических координат. В общем виде для Ω БК могут быть

определены непосредственным решением задачи Дирихле (5) методом Фредгольма при пред-

ставлений функций ζ_n логарифмическим потенциалом двойного слоя

∫

∂Υ(x,y)

ζ_n(x) = Φ_n(y)

dS_y,

(10)

∂ν_y

∂Ω

где

{

-Γ(d/2)

ln(|x - y|), d = 2,

Υ(x, y) =

2πd/2

|x - y|2-d, d ≥ 3,

– функция Грина для оператора Лапласа в E^d; ν_y - внешняя нормаль к ∂Ω в точке y; dS_y -

элемент (d - 1)-мерной полиэдральной поверхности ∂Ω; Φ_n(y) - неизвестная плотность на

границе y ∈ ∂Ω, однозначно определяемая из решения интегрального уравнения Фредгольма

второго рода:

∫

∂Υ(x,y)

Φ_n(x) + Φ_n(y)

dS_y = 2ζ_n(x), x ∈ ∂Ω.

(11)

∂ν_y

∂Ω

∑_N

Другой способ определения БК состоит в нормировке ζ_n(x) = ω_n(x)/

ω_n(x) весовых

n=1

функций ω_n(x), которые задаются как показано в работе [5]:

1) проецированием xⁿ ∈B^np точки x∈Ω на составляющие ∂Ω элементы {Bn1, . . . , Bⁿ }⊂B;_P

2) проецированием {Bn1, . . . , BnPn } на сегменты {B′n1, . . . , B^′n } единичной (d - 1)-сферы_P

∂θ0x, ограничивающей единичный шар θ0x при x ∈ θ0x;

3) взвешенным определением

∑

〈rⁿ, νⁿ〉

ω_n(x) =

ζ^pn(x^np)

|x - x_p||rⁿ|

p=1

чере

ζⁿ(x^np) - БК B^np точки x^np проекции x ∈ Ω на B^np в направлении внешней нормали rⁿ

сегмента B^′np, νⁿ - орт внутренней нормали к B^np.

Выбор положения θ0x ⊂ Ω выполняется при решении задачи конформного отображе-

ния [22, 23] точек v_n на ∂θ0x и x на θ0x при расположении θ0x в Ω для x ∈ θ0x [3-5].

Отображение может быть квазиконформным, при этом получаемые БК являются псевдогар-

моническими (см. [3, 4]).

Нахождение Б

ζⁿ(x) для x ∈ B^np выполняется по изложенному выше способу при (Ω =

=B^np) ⊂ Ed-1 с последующим рекуррентным определение

ζ^kn(x) для x ∈ B^nk в Ed-2.

Для приведённого рекуррентного способа определения БК начальные условия задают ба-

рицентрические координаты для E¹ и E². В случае E¹ решение является тривиальным.

Для E² предполагается задавать БК, рассматривая задачи (10), (11) [7].

Решение интегрального уравнения (11) в E² выполняется для построения Ω на C при

⋃_N

параметризации ∂Ω =

∂Ω_n (P = M = N) и вырождении B_n → ∂Ω_n в прямолинейные

n=1

отрезки:

∂Ω_n = {x_n = x_n(t) = e_nt + v_n, t ∈ [0,1]},

где e_n = vn+1 - v_n.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

838

ИЛЬИНСКИЙ, ПОЛЯНСКИЙ

С учётом введённой параметризации ∂Ω интеграл (10) зададим в виде [7]

∫1

[

]

∑

e_n′

ζ_n(x) =

ϕnn′ (t) Im

dt,

(12)

2π

e_n′ t + P_n′ - x

n^′=1 0

где функция плотности ϕnn′ (t) для n-й БК ζ_n на ∂Ω_n′ определяется решением интегрального

уравнения (11), представленного соотношением [7]

∫

∑

ϕnn′ (t) +

ϕnn′′ (s)K_n′_n′′ (t, τ)dτ = ςⁿⁿ′ (t).

(13)

n^′′=0 0

В выражении (13)

⎧

⎨t,

n^′ = n - 1,

ςⁿⁿ′(t) = 2

1 - t,

n^′ = n,

^⎩0,

n^′ = n - 1, n^′ = n,

K_n′n′′ (t,τ) - ядро интегрального уравнения, определяемое по формуле

⎧

[

]

⎨

e_n′′

n^′ = n^′′,

K_n′n′′(t,τ) =_⎩

e_n′t + v_n′ - e_n′′ τ - v_n′′

n^′ = n^′′.

Решение интегрального уравнения (13) выполняется приближённо-аналитическим мето-

дом (см. статью [7]) при разложении ядра:

∑

K_n′n′′(t,τ) =

(2j + 1)λn′n^′′j(t)Lj (2τ - 1),

j=0

⎧

[

(

)]

e_n′ t + v_n′ - v_n′′

⎨

Im Q_j

-1

n^′ = n^′′,

e_n′′

(14)

λn′n^′′j(t) =_⎩

n^′ = n^′′,

где L_j (τ) и Q_j(z) - многочлены Лежандра первого и второго рода соответственно [24]:

2j - 1

j-1

L₀(τ) = 1, L₁(τ) = τ, L_j(τ) =

τLj-1(τ) -

Lj-2(τ),

Q₀(z) = arcth (z), Q₁(z) = z arcth(z) - 1,

2j - 1

j-1

Q_j(z) =

zQj-1(z) -

Qj-2(z), τ ∈ [-1,1], z ∈ C.

Определение ядра K_n′_n′′ (t, τ) соотношением (14) с учётом (12), (13) позволяет приближён-

но задать БК в E² выражением (см. [7, 10])

[

(

)]

∑

∑√

x - v_n′

ζ^Jn(x) =

2j + 1 Im Q_j

-1

(15)

Xⁿⁿ′j,

2π

n^′

n^′=1 j=0

обладающим экспоненциальной скоростью сходимости [7]:

-J

const × J2

∥ζ_n(x)

ζ^Jn(x)∥L2 ≤

√

(2J + 1)

2J + 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

839

Здесь const - не зависящая от J положительная постоянная;

X ⁿ = (E + T)-1U ⁿ - блочный

вектор размера

Ń = N(J + 1), составленный из элементов Xnn′j; E - единичная матрица

размера

Ń×N˜;

Uⁿ - блочный вектор размера

Ń, составленный из элементов

⎧

⎪1,

(n = n^′ ∨ n = n^′ - 1) ∧ j = 0,

⎨

−1/3,

n = n^′ ∧ j = 1,

Uⁿⁿ′j =_⎪

⎪1/3,

n = n^′ - 1 ∧ j = 1,

^⎩0,

в противном случае,

T - блочная матрица размера

Ń×N˜,состоящаяизэлементов

∫

[

)]

-1

⁽e_n

e_n + 2(v_n - v_n′ )

Im Q_j′

τ+

-1

L_j(τ)dτ.

(16)

j^′

e_n′

−1

Интеграл (16) может быть вычислен аналитически по правилам, представленным в [7,

10], или численно по квадратурному методу Гаусса-Лежандра с адаптивным выбором числа

J узлов интегрирования в зависимости от порядков многочленов j и j^′ при определении

погрешности ρ_J аппроксимации [25, с. 15]:



[

)]



22J+1(J !)

⁽e_n

e_n + 2(v_n - v_n′ )



ρ_J ≤

m Q(2J)

τ+

-1

L_j(τ) +

I

j^′

(2J + 1)[(2J )!]³

e_n′

[ (

)]



e_n

e_n + 2(v_n - v_n′)



+ Im Q_j′

τ +

-1

L(2J)j(τ)



e_n′

C[0,1]

где Q(l)j′(z) =∂lQj′ (z), L(l)j′(z) =∂lLj′(z)

∂z^l

4. Тестовые примеры и оценка точности метода. С целью определения предпочти-

тельности барицентрического метода рассмотрим сравнительное с сеточными методами при-

менение БМ к решению некоторых характерных краевых задач математической физики типа

(1), (2) для Ω ⊂ E² с возрастающей степенью сложности. При этом для расширения области

применимости метода в направлении решения уравнений с гладкими операторами также рас-

смотрим его реализацию в методе Ньютона-Канторовича [26, c. 136] при условии, что L - диф-

ференцируемый по Фреше нелинейный оператор, относительно которого линейный оператор

L^′ имеет ограниченный обратный. Зададим Ω вогнутым шестиугольником с координатами

вершин на C: v₁ = -1.3 - 0√5i, v2 = 0.2 - i, v3 = 1.4 - 0.6i, v4 = 0.35 - 0.1i, v5 = 1.4 + 1.3i,

v₆ = -0.5+0.75i, здесь i =

-1. Группу примеров дифференциальных уравнений в частных

производных составим из:

1) линейного ДУ второго порядка

∂²u

+a⁰u = f₁;

∂x²¹

∂x²

2) линейного ДУ второго порядка

∂²u

x²

-x₁

+a⁰u = f₂;

²∂x²¹

∂x²

3) нелинейного ДУ второго порядка

∂u

∂²u

-a⁰u

=f₁;

∂x₁

∂x₂

∂x²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

840

ИЛЬИНСКИЙ, ПОЛЯНСКИЙ

4) бигармонического ДУ

∂⁴u

+a⁰u = f₁.

∂x⁴¹

∂x²¹∂x²²

∂x⁴

В рассматриваемых уравнениях a⁰ = 0.1 - постоянный коэффициент,

f₁(x₁,x₂) = 0.25(x² + y²), f₂(x₁,x₂) = sin(π(x² + y²)).

Граничные условия (2) для примеров 1-4 определим вариантами:

а) [∂u/∂ν]∂Ω = 0;

б) [u]∂Ω = 0.

С учётом свойств БК в качестве ψ_i(x) для удовлетворения вариантам граничных усло-

вий а) выберем многочлены Лагранжевого типа:

∏

Γ(sx + 1)

ψ_i(x) =

(sζ_n(x) -i) =

(17)

i_n!

i_n!Γ(sx + 1 - i_n)

n=1

i=0

для варианта б) выберем многочлены типа полиномов Лежандра:

∏

^[Lin+1(2ζn(x) - 1) - Lin-1(2ζn(x) - 1)^]

ψ_i(x) =

(18)

2i_n + 1

n=1

Пример 1. Симметричный оператор Lu задачи (1) при подстановке аппроксимации (3)

в ДУ

∂²u

+a⁰u = f

∂x²¹

∂x²

с учётом формулы Остроградского-Гаусса позволяет определить невязку (4) в слабой форме

гладкости:

∫

∑ ∫

∑

∂ψ_i ∂ψ_i′

c_i′

dx + a⁰

c_i′

ψ_iψ_i′ dx = f₁ψ_i dx.

(19)

∂x₁ ∂x₁

∂x₂ ∂x₂

i^′∈Ms_Ω

Обозначив

∫

∂ψ_i ∂ψ_i′

C= (c_i)_M,

W= (Wii′ )_M×M,

Wii′ =

dx,

∂x₁ ∂x₁

∂x₂ ∂x₂

∫

W = (W_ii′)_M×M, W_ii′ = ψ_iψ_i′ dx,

F = (F_i)_M, F_i = f₁ψi dx

при представлении (19) в матричной форме, определим коэффициенты (3) соотношением

C= (W + a⁰W)-1

(20)

При формировании элементов матриц W,

W интегралы по Ω вычисляется численно, а

частные производные базисной функции ψ_i по переменным x₁, x₂ с учётом (15), (17), (18)

задаются выражениями

∑

∂ψ_i

∂ψ_i ∂ζ_n

∂x1,2

∂ζ_n ∂x1,2

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

841

где

[

(

))]

∑

∑√

∂ζ_n

∂

x - v_n′

2j + 1 Im

Q_j

-1

Xⁿⁿ′j,

∂x1,2

2π

∂x1,2

e_n

′

n^′=1 j=0

( (

))

(

)

∂

x - v_n′

Q_j

-1

= -4

Q^′

-1 ,

∂x₁

e_n′

( (

))

(

)

∂

x - v_n′

√-1

x - v_n′

Q_j

-1

= -4

Q^′

-1 ,

∂x₂

e_n′

а ∂ψ_i/∂ζ_n для (17), (18) задаётся соответствующими соотношениями

∂ψ_i

sΓ(sx + 1)[Ψ(sx + 1) - Ψ(sx + 1 - i_n)]

∂ζ_n

i_n!Γ(sx + 1 - i_n)

]

∂ψ_i

∏

^[L_i

n′ +1(2ζn^′ -1)-Lin′ -1(2ζn^′ -¹⁾

= 2Lin (ζ_n)

∂ζ_n

2i_n′ + 1

n′=1

n=n^′

Ψ(x) - дигамма-функция.

Пример 2. Подставив аппроксимацию (3) в ДУ

∂²u

x²

-x₁

+a⁰u = f₂,

²∂x²¹

∂x²

определим невязку (4) в виде

(

)

∫

∑ ∫

∂²ψ_i′

c_i′

ψ_i x²

-x₁

dx + a⁰

c_i′

ψ_iψ_i′ dx = f₂ψ_i dx.

(21)

² ∂x²¹

∂x²

i^′∈Ms_Ω

Обозначив

∫

(

)

∂²ψ_i′

C= (c_i)_M,

W= (Wii′ )_M×M,

Wii′ =

ψ_i x²

-x₁

dx,

² ∂x²¹

∂x²

∫

W = (W_ii′)_M×M, W_ii′ = ψ_iψ_i′ dx,

F = (F_i)_M, F_i = f₂ψi dx

при представлении (21) в матричной форме, определим коэффициенты (3) аналогичным (20)

соотношением.

При вычислении элементов матрицы

W частные производные второго порядка базисной

функции ψ_i по x₁, x₂ с учётом (15), (17), (18) определяются выражениями

]

∑

∂²ψi

^[∂ψ_i ∂²ζ_n

∂²ψ_i

∂ζ_n′

∂x²

∂ζ_n ∂x21,2

∂x1,2

∂ζ_n∂ζ_n′ ∂x1,2

1,2

n=1

n^′=1

где

[

(

))]

∑

∑√

∂²ζ_n

∂²

x - v_n′

2j + 1 Im

Q_j

-1

Xⁿⁿ′j,

∂x²¹

2π

∂x²¹

e_n

′

n^′=1 j=0

[

(

))]

∑

∑√

∂²ζ_n

∂²

x - v_n′

2j + 1 Re

Q_j

-1

Xⁿⁿ′j,

∂x²²

2π

∂x²²

e_n

′

n^′=1 j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

842

ИЛЬИНСКИЙ, ПОЛЯНСКИЙ

∂²ψ_i

для (15), (16) задаётся соответствующими соотношениями

∂ζ_n∂ζ_n′

∂²ψ_i

s²Γ(sx + 1)

[(Ψ(sx + 1) - Ψ(sx + 1 - i_n))² + Ψ⁽¹⁾(sx + 1) - Ψ⁽¹⁾(sx + 1 - i_n)],

∂ζ_n∂ζ_n′

i_n!Γ(sx + 1 - i_n)

]

∂²ψi

∏

^[L_i

n′ +1(2ζn^′ -1)-Lin′ -1(2ζn^′ -¹⁾

∂ζ_n∂ζ_n′

2i_n′ + 1

n′′=1

n=n′′

n^′=n^′′

⎧

⎨4Lin (2ζn - 1)Lin′ (2ζn′ - 1),

если n = n^′,

i_n

^×⎩

(Lin-1(2ζn - 1) - (2ζn - 1)Lin (2ζn - 1)), в противном случае,

ζ_n - ζ2n

Ψ⁽¹⁾ - полигамма-функция первого порядка (тригамма-функция).

Пример 3. Подставив аппроксимацию (3) в ДУ

∂u

∂²u

-a⁰u

=f₁,

∂x₁

∂x₂

∂x²

определим невязку (4) в виде

)

∫

∑ ∫

∑

⁽∂ψ_i′

∂²ψ_i′

∂ψ_i′

c_i′

ψ_i

dx - a⁰

c_i′′ c_i′

ψ_iψ_i′′

dx =

f₁ψ_i dx.

(22)

∂x₁

∂x²

∂x₂

i^′∈Ms_Ω

i^′′∈Ms i^′∈Ms

Обозначив

∫

)

⁽∂ψ_i′

∂²ψ_i′

C= (c_i)_M,

W= (Wii′ )_M×M,

Wii′ =

ψ_i

dx,

∂x₁

∂x²

∫

∂ψ_i′

ψ_iψ_i′′

dx,

F = (F_i)_M, F_i =

f₁ψ_i dx

Wi′′ = (Wi′′i)M×M,

ii^′

∂x₂

при представлении (22) в матричной форме, определим коэффициенты (3) методом Ньютона-

Канторовича [26, с. 136] при итерационном решении

[

]

∑

C[k+1]₌ C[k]-(H[k]₎-1

WC[k] - a0

c^ki′′ Wi′′ C[k]

F ,

i^′′∈Ms

где

C[k] = (c^ki)_M, k ∈ N, H[k] = (Hkii′)_M×M,

⎧

∑

⎨

ckˆWi′′,

если i^′′ = i,

∑

H^kii′ =

Wii′ -

c^ki′′ Wi′′

i∈Ms

⁺⎩

i^′′∈Ms

в противном случае,

начальное приближение при k = 1 определяется соотношением

C¹ =(W-a⁰ Ŵ)^-

F для

∫

∂ψ_i′

Ŵ= (Ŵii′ )_M×M,

Ŵii′ =

ψ_i

dx.

∂x₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

843

Пример 4. Симметричный оператор Lu задачи 4 при подстановке аппроксимации (3)

в ДУ

∂⁴u

+a⁰u = f₁

∂x⁴¹

∂x²¹∂x²²

∂x⁴

позволяет определить невязку (4) в слабой форме гладкости:

∑ ∫

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

c_i′

dx +

∂x²

∂x²¹

∂x₁∂x₂ ∂x₁∂x₂

∂x²

i^′∈Ms_Ω

∫

∑ ∫

+a⁰

c_i′

ψ_iψ_i′ dx = f₁ψ_i dx.

(23)

i^′∈Ms_Ω

Обозначив

∫

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

∂²ψ_i

∂²ψ_i′

C= (c_i)_M,

W= (Wii′)_M×M,

Wii′ =

dx,

∂x²

∂x²¹

∂x₁∂x₂ ∂x₁∂x₂

∂x²

∫

W = (W_ii′)_M×M, W_ii′ = ψ_iψ_i′ dx,

F = (F_i)_M, F_i = f₁ψi dx

при представлении (22) в матричной форме, определим коэффициенты (3) аналогичным (20)

соотношением.

В указанных примерах частные производные первого и второго порядков для БК ζ_n опре-

деляются через производные по многочленам Лежандра второго рода, которые при рекур-

рентном обозначении

(l-1)

(z)

Q(0)j(z) = Q_j(z), Q(l)j(z) =

могут быть определены непосредственным дифференцированием и индукцией по l для j ∈

∈ {0, 1}:

[

]

Q(l)0(z) =(-1)ll^!

(z - 1)^l

(z + 1)^l

⎧

⎪

+ arcth (z),

l = 1,

⎨

1-z²

Q(l)1(z) =

[

]

⎪

(-1)^ll!

l+z

l-z

⎩

l > 1,

2l(l - 1) (z + 1)^l

(z - 1)^l

и обобщением для j ∈ N:

(l)

(2j - 1)zQ_j

(z) - (j - 1 + l)Q(l)j-2(z)

−1

Q(l)j(z) =

j-l

Сравнительные результаты оценки скорости сходимости барицентрического метода и ме-

тода конечных элементов (МКЭ) для вариантов а) и б) приведены в таблице.

На этапах формирования расчётных сеток для численного интегрирования в БМ применя-

лись решения (см. [27]) с программной реализацией алгоритма генерации адаптивной неструк-

турированной сетки из библиотеки Ani2D. Для решения ДУ в частных производных МКЭ ис-

пользовалось программное обеспечение FreeFem++v3.61-1-win64. Апостериорная оценка ско-

рости сходимости вычислялась с использованием неравенств типа (9) при определении нормы

в L₂(Ω).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

844

ИЛЬИНСКИЙ, ПОЛЯНСКИЙ

Таблица. Результаты оценки сходимости

МКЭ

БМ

б)

Пример 1

0.030005

0.225204

0.097861

0.240479

0.012048

0.219874

0.020587

0.13862

0.007277

0.205374

0.002131

0.079493

0.003588

0.186133

0.0007

0.041673

0.002271

0.174849

0.000085

0.023849

Пример 2

0.535657

0.901163

0.831472

1.062828

0.440127

0.76477

0.450632

0.544063

0.243675

0.642444

0.148648

0.197396

0.095659

0.624934

0.036305

0.069926

0.082526

0.544636

0.005211

0.028436

Пример 3

0.454646

0.823735

0.281374

0.961592

0.386519

0.746559

0.028806

0.49224

0.247586

0.62136

0.003795

0.178594

0.16764

0.534667

0.000861

0.061265

0.114395

0.372022

0.000208

0.026728

Пример 4

0.345262

0.91015

0.294567

1.075723

0.120197

0.901707

0.0352986

0.619888

0.0644248

0.896582

0.004955

0.2747493

0.0303

0.8383921

0.001206

0.10643

0.014358

0.746785

0.000322

0.045374

Заключение. Полученные результаты свидетельствуют о предпочтительном применении

по отношению к сеточным методам барицентрического метода в решении краевых задач мате-

матической физики. При одинаковом порядке аппроксимации M БМ позволяет существенно

(в среднем от 2,5 до 5 раз) повысить точность численного решения. Относительный выиг-

рыш возрастает с увеличением l - порядка ДУ в частных производных (1). Последующее

развитие барицентрического метода в направлении повышения вычислительной эффективно-

сти состоит в решении задачи рационального выбора коэффициентов интерполяции базис-

ных функций вида (6) при учёте граничных условий и особенностей представления известной

функции f. Основная сложность БМ заключается в определении гармонических барицентри-

ческих координат для Ω ⊂ E^d при d > 2. Авторы статьи надеются, что представление БМ и

сформулированные направления модификации вызовут интерес читателей и приведут к раз-

витию барицентрического метода как эффективного дополнения сеточных методов в решении

краевых задач математической физики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полянский И.С. Барицентрический метод в вычислительной электродинамике. Орёл, 2017.

2. Полянский И.С. Барицентрический метод в задаче оптимального управления формой отражающей

поверхности зеркальной антенны // Мат. моделирование. 2017. Т. 29. № 11. С. 140-150.

3. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации ска-

лярного потенциала внутри произвольной области (Часть 1) // Вестн. Саратовского гос. тех. ун-та.

2015. Т. 78. № 1. С. 30-36.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

845

4. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скаляр-

ного потенциала внутри произвольной области (Часть 2) /// Вестн. Саратовского гос. тех. ун-та.

2015. Т. 78. № 1. С. 36-42.

5. Полянский И.С. Барицентрические координаты Пуассона-Римана // Информатика и автоматиза-

ция. 2016. Т. 49. № 6. С. 32-48.

6. Полянский И.С., Пехов Ю.С. Барицентрический метод в решении сингулярных интегральных урав-

нений электродинамической теории зеркальных антенн // Информатика и автоматизация. 2017.

Т. 54. № 5. С. 244-262.

7. Ильинский А.С., Полянский И.С. Приближённый метод определения гармонических барицентри-

ческих координат для произвольных многоугольников // Журн. вычислит. математики и мат. фи-

зики. 2019. Т. 59. № 3. С. 38-55.

8. Архипов Н.С., Полянский И.С., Степанов Д.Е. Барицентрический метод в задачах анализа поля в

регулярном волноводе с произвольным поперечным сечением // Антенны. 2015. Т. 212. № 1. С. 32-

40.

9. Полянский И.С. Векторный барицентрический метод в вычислительной электродинамике // Ин-

форматика и автоматизация. 2017. Т. 51. № 2. С. 206-222.

10. Полянский И.С. О применении барицентрического метода в численном решении внутренней задачи

электродинамики // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2018. Т. 21. № 3.

С. 36-42.

11. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экра-

нах. М., 1996.

12. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. М., 1986.

13. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М., 1950.

14. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М., 1988.

15. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., 1954.

16. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

17. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М., 1986.

18. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. М., 1987.

19. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологиче-

ских пространств и общую теорию размерности. М., 1973.

20. Даугавет И.К. Теория приближённых методов. Линейные уравнения. СПб., 2006.

21. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразо-

вание Лапласа. М., 1980.

22. Радыгин В.М., Полянский И.С. Модифицированный метод последовательных конформных отоб-

ражений наперед заданных многоугольных областей // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и

механика. 2016. Т. 39. № 1. С. 25-35.

23. Радыгин В.М., Полянский И.С. Методы конформных отображений многогранников в R³ // Вестн.

Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. № 1. С. 60-68.

24. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функ-

ция Лежандра. М., 1965.

25. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Тбилиси, 1983.

26. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближен-

ное решение операторных уравнений. М., 1969.

27. Василевский Ю.В., Данилов А.А., Липников К.Н., Чугунов В.Н. Автоматизированные технологии

построения неструктурированных расчётных сеток. М., 2016.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 26.09.2019 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 26.03.2020 г.

Академия Федеральной службы охраны

Принята к публикации 09.03.2022 г.

Российской Федерации, г. Орёл

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022