ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.846-849

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.925.42

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЯКОБИАНА

В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ

ИЗОХРОННЫЕ ЦЕНТРЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Доказано, что с точностью до невырожденного линейного преобразования вещественная

гамильтонова система x = -y - P(x),

y = x + (y + P(x))P^′(x), где P(x) - произвольный

полином степени k ≥ 2, является единственной среди вещественных полиномиальных га-

мильтоновых систем общего вида

x = -y - P(x,y),

y = x + Q(x,y), P′x(x,y) ≡ Q′y(x,y),

где полиномы P (x, y) и Q(x, y) не содержат свободных и линейных членов, которая имеет

в особой точке O(0, 0) изохронный глобальный центр. Полученный результат даёт отри-

цательный ответ на вопрос, поставленный М. Сабатини: существуют ли полиномиальные

гамильтоновы дифференциальные системы с парой Якоби, имеющие изохронные негло-

бальные центры? На основе этих двух утверждений доказано, что гипотеза якобиана верна

в двумерном случае. Именно, все невырожденные полиномиальные отображения C² → C²

с постоянным якобианом исчерпываются отображениями, представимыми конечным чис-

лом композиций линейных преобразований и пар Якоби вида (x, y + P(x)), где P(x) -

произвольный многочлен степени не меньшей двух.

DOI: 10.31857/S0374064122060103, EDN: CDPPMQ

Введение. Основные понятия, определения. Следующая гипотеза, называемая гипо-

тезой якобиана, сформулирована в 1939 г. О.Н. Келлером [1]: каждое полиномиальное отобра-

жение Cⁿ → Cⁿ с не обращающимся в нуль постоянным определителем Якоби является

глобально обратимым и имеет полиномиальное обратное отображение.

Эта гипотеза первоначально была сформулирована для комплексных отображений. Но как

отмечено, например, в работах [2, 3], решение указанной гипотезы равносильно её решению

или в Rⁿ, или в Cⁿ.

Не останавливаясь на обзоре частных результатов, связанных с этой гипотезой, отметим ра-

боту [4] (и приведённую в ней библиографию), касающуюся вещественного двумерного случая.

Напомним, в частности, что пара (f(x, y), g(x, y)) вещественных полиномов таких, что

f (0, 0) = g(0, 0) = 0, а определитель их матрицы Якоби является ненулевой константой, на-

зывается парой Якоби.

Рассмотрим вещественную двумерную автономную дифференциальную систему

x = -y - P(x,y),

y = x + Q(x,y),

(1)

где P и Q - голоморфные в некоторой окрестности точки O(0, 0) функции, не содержащие

в своих разложениях в степенные ряды по переменным x и y свободных и линейных членов.

Как известно, особая точка O(0, 0) системы (1) является либо центром, либо негрубым

фокусом. Будем считать, что точка O(0, 0) системы (1) является центром. Областью центра

(обозначают N₀) называют максимальное инвариантное открытое связное множество, состо-

ящее из циклов, окружающих особую точку O(0, 0) системы (1). Говорят, что центр O(0, 0)

системы (1) является глобальным, если N₀ = R², т.е. если каждое решение системы (1) явля-

ется периодическим.

Напомним также, что центр O(0, 0) системы (1) называется изохронным, если период об-

хода изображающей точкой каждого цикла из области этого центра равен 2 π.

Пусть далее y⁺ и y^- - соответственно положительная и отрицательная полуоси оси Oy

прямоугольной декартовой системы координат Oxy. Изохронный центр O(0, 0) системы (1)

846

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЯКОБИАНА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ

847

называется сильно изохронным, если, дополнительно, изображающая точка, выходящая из

точки полуоси y⁺, пересечёт полуось y^- в первый раз через время π.

В работе [4] (см. также [5]) указано на связь изохронных центров полиномиальных систем

вида (1) с гипотезой якобиана в двумерном случае и приведён класс полиномиальных систем

с глобальными изохронными центрами. Таким классом являются гамильтоновы системы вида

x = -y - P(x),

y = x + (y + P(x))P^′(x),

(2)

где P (x) - произвольный полином степени k ≥ 2.

Замечание. Заметим, что класс систем вида (2) ранее получен в работах [6, 7].

Отметим и один из основных результатов, касающихся проблемы изохронности центра,

который состоит в следующем (см., например, [8, теорема 2]): для того чтобы система (1)

имела в особой точке O(0,0) изохронный центр, необходимо и достаточно существование

голоморфного в окрестности точки x = y = 0 преобразования

∑

u=x+

α_ijxⁱy^j = x + α(x,y), v = y +

β_ijxⁱy^j = y + β(x,y),

(3)

i+j=2

приводящего систему (1) к виду

u = -v,

v = u.

(4)

Приведём и используемое ниже такое утверждение [9, теорема 2]: для того чтобы систе-

ма (1) имела в особой точке O(0,0) изохронный центр и была гамильтоновой системой,

необходимо и достаточно, чтобы существовали функции вида (3) такие, что справедливы

тождества

1 ∂

y + P(x,y) ≡

(u² + v²), x + Q(x, y) ≡

(u² + v²)

2 ∂y

2 ∂x

∂u ∂v

≡ 1.

(5)

∂x ∂y

∂y ∂x

Наконец, сформулируем ещё одно утверждение [4, теорема 2.3], на которое будем ссылаться

в дальнейшем: пусть Φ - полиномиальное отображение с не обращающимся в нуль опреде-

лителем Якоби такое, что Φ(0, 0) = (0, 0). Тогда следующие свойства эквивалентны:

(i) особая точка O(0,0) является глобальным центром для гамильтоновой дифференци-

альной системы (1^′), т.е. системы (1) с условием P^′x(x, y) ≡ Q^′y(x, y);

(ii) отображение Φ является глобальным диффеоморфизмом плоскости R² на себя.

Основные результаты. Адаптируя отмеченные выше утверждения из работ [8, 9] к по-

линомиальному случаю, докажем, что верна следующая

Теорема 1. Для того чтобы полиномиальная система (1^′) имела в особой точке O(0, 0)

глобальный изохронный центр, необходимо и достаточно, чтобы она с точностью до невы-

рожденного линейного преобразования имела вид (2).

Доказательство. Необходимость. Пусть с точностью до невырожденного линейного

преобразования полиномиальная система (1^′) имеет в особой точке O(0, 0) глобальный изо-

хронный центр. Тогда, считая, что в формулах (3) голоморфные функции α и β определяются

степенными рядами с сопряжёнными радиусами сходимости r₁ = r₂ = +∞ (т.е. рассматривая

случай общего положения) и имея в виду систему (4), получаем такие соотношения:

∂u

(y + P (x, y))

- (x + Q(x, y))

= v,

∂x

∂y

∂v

− (y + P (x, y))

+ (x + Q(x, y))

= u,

(6)

∂x

∂y

где P (x, y) и Q(x, y) - произвольные полиномы степени k ≥ 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

848

АМЕЛЬКИН

Из тождеств (6) следует, что

(x + Q(x, y))u^′y

(x + Q(x, y))α^′y (x, y) + (y + β(x, y))

y + P(x,y) =

≡

u^′x

1 + α^′x(x,y)

(y + P (x, y))v^′x + u

(y + P (x, y))β^′x(x, y) + (x + α(x, y))

x + Q(x,y) =

≡

(7)

v^′y

1 + β^′y(x,y)

Так как P (x, y) и Q(x, y) - полиномы, то

u = x + α(y), v = y + β(x).

(8)

Но из представлений (7) и (8) вытекают равенства

u = x, v = y + β(x),

(9)

где β(x) - полином. Соотношения (9) означают, что выполняется тождество (5), а

(y + P (x, y)) ≡ (y + β(x)), x + Q(x, y) ≡ x + (y + P (x))P^′(x),

т.е. получаем правые части системы (2).

Отметим, в частности, что система (2) всегда имеет нечётную степень 2k - 1.

Достаточность. Пусть с точностью до невырожденного линейного преобразования по-

линомиальная система (1^′) имеет вид (2). Отображение u = x, v = y + P (x), где P (x) -

произвольный полином степени k ≥ 2, имеет определитель Якоби, тождественно равный еди-

нице, и определяет биголоморфизм плоскости на себя. При этом, как показано, например, в

[4], любое решение соответствующей системы (2), отличное от тривиального, является 2π-

периодическим решением, а значит, рассматриваемая система имеет глобальный изохронный

центр. Теорема доказана.

Далее, приведём уже ставшие очевидными такие утверждения:

1) пара Якоби (x, y + P (x)) является полиномиальным автоморфизмом плоскости R²,

где соответствующая система Гамильтона - это система (2);

2) гамильтониан системы (2) имеет вид

H(x, y) =

(x² + (y + P (x))²)

(в этом случае говорят, что центр O(0,0) системы (2) является тривиальным);

3) дифференцирование по t первого уравнения системы (2) в силу самой системы приво-

дит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка x + x = 0, а значит, как

это следует, например, из работы [10], система (2) имеет в особой точке O(0,0) сильно

изохронный центр.

Теорема 1 и приведённые утверждения позволяют сделать следующие выводы.

Теорема 2. С точностью до невырожденного линейного преобразования система (2)

является единственной среди полиномиальных систем вида (1^′), имеющей в особой точке

O(0, 0) глобальный изохронный центр, который оказывается глобальным сильно изохронным

центром.

Из теорем 1 и 2, утверждения 1) настоящей работы и теоремы 2.3 работы [4], сформули-

рованной выше, следует, что гипотеза якобиана в двумерном случае равносильна уже дока-

занному факту, что система (2) с точностью до невырожденного линейного преобразования

является единственной среди полиномиальных систем вида (1^′), которая имеет в особой точке

O(0, 0) глобальный изохронный (глобальный сильно изохронный) центр.

Таким образом, имеет место следующий принципиальный результат.

Теорема 3. Гипотеза якобиана верна в двумерном случае. Все невырожденные полиноми-

альные отображения C² → C² с постоянным якобианом исчерпываются отображениями,

представимыми конечным числом композиций линейных преобразований и пар Якоби вида

(x, y + P (x)), где P (x) - произвольный многочлен степени не меньшей двух.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЯКОБИАНА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ

849

Отметим, что указанная в теореме 3 пара Якоби использовалась и при решении другой ги-

потезы (см. работу [11]) из теории полиномиальных изохронных (сильно изохронных) центров

систем Льенара

x = -y,

y = x + A(x) - yB(x),

(10)

исследуемых во всей фазовой плоскости (т.е. глобально). Следует, однако, отметить, что об-

ласть единственного изохронного (сильно изохронного) центра O(0, 0) систем Льенара (10),

будучи областью неограниченной, глобальной не является.

Указанная пара Якоби использовалась автором и в работе [12] при исследовании изохрон-

ных (сильно изохронных) фокусов систем Льенара (10).

В заключение рассмотрим гамильтонову систему [5]

x = -y - x² - 3x²y - x⁴ - 3x⁴y - x⁶y,

y = x + 2xy + 3xy² + 4x³y + 6x³y² + 3x⁵y².

(11)

Эта система линеаризуется локальной голоморфной в окрестности особой точки O(0, 0)

заменой

x² + (1 + x²)

√

(12)

1+x²

Особо подчеркнём, что якобиан J матрицы Якоби преобразования (12) единичный, т.е.

J = u^′xv^′y - u^′yv^′x ≡ 1. Приведённая система (11) имеет неглобальный нетривиальный изохрон-

ный центр O(0, 0). Гамильтонианом системы (11) является

H(x, y) =

+ x²(1 + x²)y +

(1 + x²)³y²,

а линия уровня H(x, y) = 1/2 представляет собой неограниченную кривую.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Keller O.H. Ganze Cremona-Transformationen // Monats. Math. Physik. 1939. V. 47. P. 299-306.

2. Chavarriga J.A, Sabatini M. A survey of isochronous centers // Qual. Th. Dynam. Systems. 1999. V. 1.

№ 1. P. 1-70.

3. Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of

the inverse // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 7. P. 287-330.

4. Sabatini M. A connection between isochronous Hamiltonian centres and the Jacobian Conjecture // Nonl.

Anal. 1998. V. 34. P. 829-838.

5. Cima A., Manosas F., Villadelprat J. Isochronicity for several classes of Hamiltonian systems // J. Differ.

Equat. 1999. V. 157. P. 373-413.

6. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А. О периодах решений некоторых автономных систем // Диффе-

ренц. уравнения. 1970. Т. 6. № 12. С. 2115-2120.

7. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А. Признаки существования центра и его изохронность // Диффе-

ренц. уравнения. 1974. Т. 10. № 4. С. 585-590.

8. Воробьев А.П. Об изохронных системах двух дифференциальных уравнений // Докл. АН БССР.

1963. Т. 7. № 3. С. 155-156.

9. Воробьев А.П. Построение изохронных систем двух дифференциальных уравнений // Докл. АН

БССР. 1963. Т. 7. № 8. С. 513-515.

10. Руденок А.Е. Сильная изохронность центра. О периодах предельных циклов системы Льенара

// Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 5. С. 811-819.

11. Амелькин В.В. Положительное решение одной гипотезы в теории полиномиальных изохронных

центров систем Льенара // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 147-152.

12. Амелькин В.В. Изохронные и сильно изохронные фокусы полиномиальных систем Льенара // Диф-

ференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 3-10.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 10.01.2022 г.

г. Минск

После доработки 10.01.2022 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022