ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 6, с.850-864

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ∗)

Ниже публикуются∗∗) аннотации докладов, заслушанных в весеннем семестре 2022 г. (пре-

дыдущее сообщение о работе семинара см. в журнале “Дифференц. уравнения”. 2021. Т. 57.

№ 11).

DOI: 10.31857/S0374064122060115, EDN: CDVNQG

А. Н. Ветохин (Москва) “Бэровская классификация асимптотической топологической

энтропии семейств неавтономных динамических систем, непрерывно зависящих от параметра”

(25 февраля 2022 г.).

Пусть (X, d) - компактное метрическое пространство, а F ≡ (f₁, f₂, . . .) - последователь-

ность непрерывных отображений из X в X. Для каждого натурального n через F_n обозна-

чим подпоследовательность (f_n, fn+1, . . .) последовательности F. Наряду с исходной метри-

кой d определим на X дополнительную систему метрик

(x), f^◦in(y)), f◦0n ≡ id_X , f◦(i+1)n ≡ fn+i ◦ f^◦in, x, y ∈ X, k, n ∈ N.

dFnk(x,y)=max0≤i<n d⁽

Для каждых k, n ∈ N и ε > 0 обозначим через N_d(F_n, ε, k) максимальное число точек в

X, попарные dFnk-расстояниямеждукоторымибольше,чемε.Тогдатопологическаяэнтро-

пия и асимптотическая топологическая энтропия неавтономной динамической системы F

определяются формулами [1]

h_top(F) = lim

lim

ln N_d(F₁, ε, k),

(1)

ε→0

k→+∞ k

h∗top(F) = sup

lim

ln N_d(F_n, ε, k).

(2)

ε→0

k→+∞ k

n∈N

Отметим, что величины (1) и (2) не зависят от выбора метрики, порождающей на X ту же,

что и d, топологию; это и объясняет, почему энтропии (1) и (2) называются топологическими.

Непосредственно из формул (1) и (2) вытекает неравенство h_top(F) ≤ h∗top(F). Величины

(1) и (2) могут не совпадать. Кроме того, точную верхнюю грань в формуле (2) (по n ∈ N)

нельзя заменить максимумом, как показывает следующая

Лемма. Если X - канторово совершенное множество, то для некоторой динамической

системы F выполнены неравенства

lim

ln N(F_n, ε, k) < h∗top(F), n ∈ N.

ε→0

k→+∞ k

По метрическому пространству M и семейству последовательностей непрерывных отоб-

ражений

F (μ, · ) ≡ (f₁(μ, · ), f₂(μ, · ), . . .), μ ∈ M, f_i : M × X → X, i ∈ N,

(3)

∗) Семинар основан В.В. Степановым в 1930 г., впоследствии им руководили В.В. Немыцкий, Б.П. Демидо-

вич, В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов. В настоящее время руководители семинара - И.Н. Сер-

геев, И.В. Асташова, А.В. Боровских, учёный секретарь семинара - В.В. Быков, e-mail: vvbykov@gmail.com.

∗∗) Составитель хроники И.Н. Сергеев.

850

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

851

образуем функции

μ → h_top(F(μ,·)),

(4)

μ → h∗top(F(μ,·)).

(5)

Для произвольных метрических пространств M и X и семейства стационарных после-

довательностей (3) функция (4) принадлежит второму классу Бэра [2], а если M и X -

множества Кантора на отрезке [0, 1], то для некоторого семейства стационарных последова-

тельностей (3) функция (4) всюду разрывна и не принадлежит первому классу Бэра [3].

Для произвольных M и X и любого семейства (3) функция (4) принадлежит третьему

классу Бэра [4], а если X - отрезок прямой и M - множество иррациональных чисел на

отрезке [0, 1], то для некоторого семейства (3) функция (4) всюду разрывна и не принадлежит

второму классу Бэра [5]. Аналогичные результаты верны и для функции (5).

Теорема 1. Для любых метрических пространств M и X и семейства (3) функция (5)

принадлежит третьему классу Бэра на M.

Теорема 2. Если X - канторово совершенное множество, а M - множество ирраци-

ональных чисел на отрезке [0,1] со стандартной метрикой, то для некоторого семейства

(3) функция (5) всюду разрывна и не принадлежит второму классу Бэра на M.

Литература. 1. Kolyada S., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems

// Random & Comput. Dynamics. 1996. V. 4. № 2-3. P. 205-233. 2. Ветохин А.Н. Типичное свойство то-

пологической энтропии непрерывных отображений компактов // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53.

№ 4. С. 448-453. 3. Ветохин А.Н. Непринадлежность первому классу Бэра топологической энтропии на

пространстве гомеоморфизмов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2016. Т. 2. № 4.

С. 44-48. 4. Ветохин А.Н. Точный бэровский класс топологической энтропии неавтономных динами-

ческих систем // Мат. заметки. 2019. Т. 106. № 3. С. 341-348. 5. Ветохин А.Н. О непринадлежности

второму бэровскому классу одного семейства гладких неавтономных динамических систем на отрезке,

непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 133-136.

М. В. Шамолин (Москва) “Тензорные инварианты систем с переменной диссипацией на

касательном расслоении гладкого многообразия” (4 марта 2022 г.).

Известно [1-3], что знание достаточного количества не только первых интегралов, но и

других тензорных инвариантов системы дифференциальных уравнений позволяет полностью

её проинтегрировать. Например, наличие инвариантной дифференциальной формы фазово-

го объёма позволяет понизить порядок рассматриваемой системы. Для консервативных сис-

тем этот факт достаточно естественен. Для систем же, обладающих притягивающими или

отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и

коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря,

состоять из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций [4-6].

Задача о движении n-мерного маятника на обобщённом сферическом шарнире в некон-

сервативном поле сил, т.е. в потоке набегающей среды, заполняющей объемлющее n-мерное

пространство, приводит к системе на касательном расслоении к (n - 1)-мерной сфере, причём

метрика специального вида на ней индуцирована дополнительными группами симметрий [7].

Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной

диссипацией, а полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, пред-

ставимых с помощью алгебраических операций над конечными композициями элементарных

функций.

Разобраны задачи о движении точки по n-мерным поверхностям вращения, в пространстве

Лобачевского и т.д. Полученные результаты особенно важны по причине присутствия в системе

именно неконсервативного поля сил [5].

Предъявлены тензорные инварианты (в частности, дифференциальные формы) для од-

нородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким многообразиям. По-

казана связь данных инвариантов с полным набором первых интегралов, необходимых для

интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые

силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака

и обобщают системы, рассмотренные ранее.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

9^∗

852

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Литература. 1. Poincaré H. Calcul des probabilités. Paris, 1912. 2. Колмогоров А.Н. О динамиче-

ских системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 763-766.

3. Козлов В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений // Успехи

мат. наук. 2019. Т. 74. Вып. 1. С. 117-148. 4. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендент-

ных функциях // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209-210. 5. Шамолин М.В. Новые случаи

интегрируемости геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении

конечномерного многообразия // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021.

Т. 500. № 1. С. 78-86. 6. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем нечётного порядка с дис-

сипацией // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 491. № 1. С. 95-101.

7. Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твёрдого тела в неконсер-

вативном поле при учете линейного демпфирования // Докл. РАН. 2012. Т. 444. № 5. С. 506-509.

И. Н. Сергеев (Москва) “Особенности почти массивных свойств устойчивости и неустой-

чивости одномерных и автономных дифференциальных систем” (11 марта 2022 г.).

Для заданной окрестности нуля G ⊂ Rⁿ рассмотрим систему

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G).

(1)

Через S_∗ и S_δ будем обозначать множества всех непродолжаемых ненулевых решений x

системы (1) и, соответственно, тех из них, для начального условия x(0) которых выполняется

неравенство |x(0)| < δ.

Определение 1 [1, 2]. Будем говорить, что система (1) обладает верхнепредельной:

1) устойчивостью, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что любое решение

x ∈ S_δ удовлетворяет требованию

lim |x(t)| ≤ ε,

(2)

t→+∞

молчаливо предполагающему, что решение x определено на всей полуоси R⁺;

2) полной или глобальной неустойчивостью, если для некоторых ε > 0 и δ > 0 любое

решение x ∈ S_δ или, соответственно, x ∈ S_∗ не удовлетворяет требованию (2);

3) асимптотической или глобальной устойчивостью, если при ε = 0 для некоторого

δ > 0 любое решение x ∈ S_δ или, соответственно, x ∈ S_∗ удовлетворяет требованию (2).

Для определения аналогичных перроновских свойств системы (1) нужно:

4) в пп. 1)-3) заменить требование (2) требованием

lim |x(t)| ≤ ε,

(3)

t→+∞

а для определения аналогичных ляпуновских свойств [3, гл. II, § 1] нужно:

5) в пп. 1) и 2) заменить требование (2) требованием

sup |x(t)| ≤ ε,

(4)

t∈R⁺

а в п. 3) в дополнение к соответствующему верхнепредельному свойству потребовать наличие

у системы (1) ляпуновской устойчивости.

Определение 2 [4]. Все перечисленные в определении 1 ляпуновские, перроновские и

верхне-предельные свойства системы (1) назовём массивными - при их описании сразу на все

решения x ∈ S, где S = S_δ, S_∗ (допускается даже S = S_∗ \ S_δ [5]), накладывается определён-

ное условие - требование (2)-(4) или его отрицание. Массивным свойствам из определения 1

поставим в соответствие их почти массивные аналоги, а именно: почти устойчивость, по-

чти полную или почти глобальную неустойчивость и почти асимптотическую или почти

глобальную устойчивость, в описании которых соответствующее условие накладывается уже

не на все решения x ∈ S, а только на те, начальные значения которых не принадлежат неко-

торому множеству (назовём его множеством вырождения) нулевой меры Лебега и первой

категории Бэра (представимому в виде счётного объединения нигде не плотных множеств).

Добавка “почти” из определения 2 применительно к ляпуновской устойчивости роли не

играет [4]: если система (1) ляпуновски почти устойчива, то и устойчива. В одномерном же

случае эта добавка не работает вообще, как показывает

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

853

Теорема 1. Если при n = 1 система (1) обладает каким-либо почти массивным свой-

ством из определения 2, то она обладает и соответствующим массивным свойством.

Любая глобальная устойчивость чувствительна к сужению фазовой области, причём даже

к самому незначительному, о чём свидетельствует

Теорема 2. Любая система (1), обладающая какой-либо глобальной устойчивостью, пе-

рестаёт быть таковой при удалении из её фазовой области любой ненулевой точки.

В автономном же случае теорема 2 распространяется и на почти глобальную устойчивость -

в том смысле, который подразумевает

Теорема 3. Любая автономная система (1), обладающая какой-либо почти глобальной

устойчивостью, перестаёт быть таковой при удалении из её фазовой области любой гипер-

поверхности, трансверсальной к векторному полю этой системы хотя бы в одной точке.

Из полной ляпуновской неустойчивости автономной системы вытекает её полная, и даже

глобальная, перроновская неустойчивость [6]. Однако для тех же свойств с добавкой “почти”

аналогичная импликация уже места не имеет, о чём и говорит

Теорема 4 [6]. При n = 2 существует автономная система (1), обладающая перронов-

ской устойчивостью, даже почти глобальной, но ляпуновской и верхнепредельной неустой-

чивостью, даже почти глобальной, причём множество вырождения всех её почти массив-

ных свойств представляет собой луч, выходящий из нуля и заполненный неподвижными

точками, а для любого решения x ∈ S_∗, начинающегося не на этом луче, выполнены соот-

ношения

0 = lim

|x(t)| < lim |x(t)| = +∞.

(5)

t→+∞

Если в формулировке теоремы 4 отменить последнее из требований (5), то в этом примере

можно ещё и снять добавку “почти” с перроновской глобальной устойчивости, т.е. верна

Теорема 5. При n = 2 существует автономная система (1), обладающая перроновской

глобальной устойчивостью, но ляпуновской и верхнепредельной неустойчивостью, даже по-

чти глобальной, причём множество её вырождения представляет собой окружность, про-

ходящую через нуль.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчивостью

по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856. 2. Сергеев И.Н. Определение

верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону

// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557. 3. Демидович Б.П. Лекции по математи-

ческой теории устойчивости. М., 1967. 4. Сергеев И.Н. Массивные и почти массивные свойства устой-

чивости и неустойчивости дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11.

С. 1576-1578. 5. Бондарев А.А. Существование вполне неустойчивой по Ляпунову дифференциальной

системы, обладающей перроновской и верхнепредельной массивной частной устойчивостью // Диф-

ференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 858-859. 6. Сергеев И.Н. Некоторые особенности перроновских

и ляпуновских свойств устойчивости автономных систем // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6.

С. 830-831.

Е. А. Барабанов (Минск), В. В. Быков (Москва) “Описание показателя Перрона линей-

ной дифференциальной системы с неограниченными коэффициентами как функции началь-

ного вектора решения” (18 марта 2022 г.).

Для заданного n ∈ N через

M_n обозначим класс линейных дифференциальных систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с кусочно-непрерывными коэффициентами, через M_n - его подкласс, состоящий из систем

с ограниченными на полуоси коэффициентами, а через x( · , ξ) - решение системы (1) с на-

чальным вектором x(0, ξ) = ξ ∈ R^n∗ ≡ Rⁿ \ {0}. Обозначим через R расширенную числовую

прямую R

^⊔{-∞, +∞} с естественным порядком и порядковой топологией.

Показателем Перрона, или нижним показателем, ненулевого решения x( · , ξ) системы (1)

называется [1] величина

π[x( · , ξ)] = lim

ln ∥x(t, ξ)∥,

(2)

t→+∞ t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

854

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

а функция начального вектора π_A : R^n∗ → R, определяемая равенством π_A(ξ) = π[x( · , ξ)], -

показателем Перрона системы (1). Показатели Перрона представляют собой один из мно-

гочисленных примеров асимптотических характеристик решений дифференциальных систем,

отражающих те или иные их качественные или асимптотические свойства. Важнейшая из

них - характеристический показатель Ляпунова (получаемый заменой в определении (2) ниж-

него предела верхним), от которого показатель Перрона по ряду свойств принципиально отли-

чается.

А.М. Ляпунов установил, что число различных показателей Ляпунова системы из M_n не

превосходит её размерности n, а О. Перрон обнаружил [1], что на нижние показатели это

утверждение не распространяется. Для диагональных систем из M_n количество различных

значений показателя Перрона не превосходит 2ⁿ - 1 [2], причём может быть любым таким

натуральным числом [3]. В общем случае множество P является множеством значений пока-

зателей Перрона некоторой системы из M_n тогда и только тогда, когда P - ограниченное

суслинское множество, содержащее свою точную верхнюю грань [4].

Ставится задача теоретико-множественного описания для каждого натурального n класса

функций

P_n = {π_A : A

M_n}. При n = 1 класс

P_n состоит из всех постоянных функций

R1∗ → R, а при n ≥ 2 - это подкласс второго, но не первого класса Бэра [5], заведомо содер-

жащий [6] все непрерывные функции f : R^n∗ → R, которые удовлетворяют условию

f (cξ) = f(ξ), ξ ∈ R^n∗, c ∈ R1∗.

(3)

Описание класса

P_n завершает

Теорема. Для каждого n ≥ 2 функция f : R^n∗ → R принадлежит классу

P_n, если и

только если она удовлетворяет условию (3) и при любом r ∈ R прообраз f-1([-∞, r]) явля-

ется G_δ-множеством.

Литература. 1. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Math. Zeitschr.

1930. Bd. 31. Hf. 5. S. 748-766. 2. Изобов Н.А. О множестве нижних показателей линейной дифференци-

альной системы // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 4. С. 469-477. 3. Барабанов Е.А. Достижимость

оценки числа нижних показателей линейной дифференциальной диагональной системы // Докл. АН

БССР. 1982. Т. 26. № 12. С. 1069-1072. 4. Барабанов Е.А. Структура множества нижних показателей

Перрона линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 11. С. 1843-

1853. 5. Барабанов Е.А. Точность некоторых утверждений о нижних показателях Перрона // Докл. АН

БССР. 1990. Т. 34. № 3. С. 200-203. 6. Гаргянц А.Г. К вопросу о распределении значений показателей

Перрона по решениям систем с неограниченными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017.

Т. 53. № 11. С. 1567.

И. В. Асташова, Д. А. Лашин, А. В. Филиновский (Москва) “Об управляющей

функции в параболической задаче управления с точечным наблюдением” (25 марта 2022 г.).

Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения

u_t = (a(x,t)u_x)_x + b(x,t)u_x + h(x,t)u, (x,t) ∈ Q_T = (0,1) × (0,T), T > 0,

(1)

u(0, t) = ϕ(t), u_x(1, t) = ψ(t),

0<t<T,

(2)

u(x, 0) = ξ(x),

0 < x < 1,

(3)

с гладкими в Q_T коэффициентами a, b, h, где 0 < a1 ≤ a(x,t) ≤ a2 < +∞, а также

граничными ϕ ∈ W¹²(0, T ), ψ ∈ W¹²(0, T ) и начальной ξ ∈ L₂(0, 1) функциями.

Ставим задачу управления с точечным наблюдением: управляя температурой ϕ на левом

конце отрезка (при фиксированных функциях ξ и ψ), стараемся сделать температуру u(x₀, t)

в некоторой точке x₀ ∈ (0, 1) близкой к заданной функции z(t) на всём интервале времени

(0, T ). Экстремальные задачи для параболических уравнений рассматривались в работах [1,

2], при этом наиболее изученными являются задачи с финальным или распределённым на-

блюдением. Продолжая исследования [3, 4], мы изучаем качественные свойства управляющей

функции и получаем оценки её нормы через значение функционала качества. В отличие от

[5], здесь мы рассматриваем начальные и граничные функции произвольного знака.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

855

Пусть V1,02(Q_T ) - банахово пространство таких функций u ∈ W1,02(Q_T ) с конечной нормой

∥u∥_V 1,0

= sup

∥u( · , t)∥L2 (0,1) + ∥ux∥L₂(Q_T ),

(Q_T )

0≤t≤T

для которых t → u( · , t) - непрерывное отображение [0, T ] → L₂(0, 1) [6, с. 15], аW12(Q_T ) -

множество функций η ∈ W¹²(Q_T ), удовлетворяющих условиям η(x, T ) = 0 = η(0, t). Слабым

решением задачи (1)-(3) будем называть функцию u ∈ V1,02(Q_T ), удовлетворяющую условию

u(0, · ) = ϕ и для всех η ∈W12(Q_T ) интегральному тождеству

∫

(a(x, t)u_x(x, t)η_x(x, t) - b(x, t)u_x(x, t)η(x, t) - h(x, t)u(x, t)η(x, t) - u(x, t)η_t(x, t)) dx dt =

Q_T

∫¹

∫

= ξ(x)η(x,0)dx + a(1,t)ψ(t)η(1,t)dt.

Теорема 1 [7]. Задача (1)-(3) имеет единственное слабое решение u ∈ V1,02(Q_T ), причём

для некоторой постоянной C₁ (не зависящей от ϕ, ψ, ξ) оно удовлетворяет неравенству

∥u∥_V 1,0

≤ C₁(∥ϕ∥_W1

+ ∥ψ∥_W 1

(Q_T )

(0,T )

+ ∥ξ∥L2(0,1)).

Теорема 2 (принцип неотрицательности). Если u - решение задачи (1)-(3) при условиях

ess inf

ϕ(t) ≥ 0, ess inf

ψ(t) ≥ 0 и ess inf

ξ(x) ≥ 0, то ess inf u(x, t) ≥ 0.

t∈(0,T )

x∈(0,1)

(x,t)∈Q_T

С использованием теоремы 2 получена следующая

Теорема 3. Если a_t(x, t) ≥ 0 и b_x(x, t) - h(x, t) ≥ 0 при (x, t) ∈ Q_T , а также b(x, t) ≥ 0

при (x,t) ∈ [0,x₀] × [0,T], где x₀ ∈ (0,1] - некоторое число, и при этом b(1,t) ≤ 0 при

t ∈ [0,T], то решение u задачи (1)-(3) удовлетворяет неравенству

x₀

∥u(x₀, · )∥L1(0,T ) ≤ ∥ϕ∥L₁(0,T ) +

(a₂∥ψ∥L1(0,T ) + ∥ξ∥L₁(0,1)).

a₁

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 3 и ψ = 0 = ξ, то решение u задачи

(1)-(3) удовлетворяет неравенству

∥u(x₀, · )∥L1(0,T ) ≤ ∥ϕ∥L₁(0,T ).

Пусть Φ ⊂ W¹²(0, T ) - множество управляющих функций ϕ, а Z ⊂ L₂(0, T ) - множе-

ство целевых функций z. Считая далее множество Φ непустым, замкнутым, выпуклым и

ограниченным, рассмотрим квадратичный функционал

∫T

J [z, ρ, ϕ] = (u_ϕ(x₀, t) - z(t))²ρ(t)dt, ϕ ∈ Φ, z ∈ Z,

где u_ϕ - решение задачи (1)-(3) с заданной управляющей функцией ϕ, а ρ ∈ L_∞(0, T ) -

весовая функция и ess inf ρ(t) = ρ₁ > 0. Фиксируя функции z и ρ, рассмотрим задачу

t∈(0,T )

минимизации

m[z, ρ, Φ] = inf J[z, ρ, ϕ].

ϕ∈Φ

Теорема 4 [5, 7]. Для любой функции z ∈ L₂(0, T ) существует единственная функция

ϕ₀ ∈ Φ, для которой

m[z, ρ, Φ] = J[z, ρ, ϕ₀].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

856

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Оценку снизу нормы управляющей функции через значение функционала качества даёт

Теорема 5. В условиях теоремы 3 имеет место неравенство

)1/2

⁽TJ[ϕ,ρ,z]

x₀

∥ϕ∥L1(0,T ) ≥ |z∥L₁(0,T ) -

(a₂∥ψ∥L1(0,T ) + ∥ξ∥L₁(0,1)).

ρ₁

a₁

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 3 и ψ = 0 = ξ, то имеет место нера-

венство

1/2

⁽TJ[ϕ,ρ,z]⁾

∥ϕ∥L1(0,T ) ≥ ∥z∥L₁(0,T ) -

ρ₁

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Российского научного фон-

да (проект 20-11-20272).

Литература. 1. Troltzsch F. Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and

Applications. Graduate Studies in Mathematics. V. 112. Providence, 2010. 2. Lurie K.A. Applied Optimal

Control Theory of Distributed Systems. Berlin, 2013. 3. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On the dense

controllability for the parabolic problem with time-distributed functional // Tatra Mt. Math. Publ. 2018.

V. 71. P. 9-25. 4. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On properties of minimizers of a control problem with

time-distributed functional related to parabolic equations // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 5. P. 595-

609. 5. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On the estimates in various spaces to the control function

of the extremum problem for parabolic equation // WSEAS. J. Appl. Theor. Mech. 2021. V. 16. P. 187-

192. 6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения

параболического типа. М., 1967. 7. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об управлении с

точечным наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80.

№ 2. С. 258-274.

И. Н. Сергеев (Москва) “О некоторых затруднениях при исследовании по первому при-

ближению сферических и шаровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости”

(1 апреля 2022 г.).

Для области G евклидова пространства Rⁿ (n > 1) рассмотрим дифференциальную

(вообще говоря, нелинейную) систему вида

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G).

(1)

С системой (1) свяжем линейную однородную систему её первого приближения

x = A(t)x ≡ f_′(t,x), A(t) ≡ f^′x(t,0), t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ,

(2)

причём на нелинейную добавку h(t, x) ≡ f(t, x) - A(t)x = o(x) (x → 0) обычное требование

её равномерной малости по t ∈ R₊ мы здесь не накладываем. Через x_f ( · , x₀) обозначаем

непродолжаемое решение системы (1) с начальным условием x_f (0, x₀) = x₀, а через S(f) и

S_∗(f) - множество всех и, соответственно, всех ненулевых решений системы (1).

Ниже в определении 1 вводятся [1] три основных разновидности функционала K, по ко-

торым затем в определении 2 строятся соответствующие им показатели κ.

Определение 1. Функционалы K(t,u), определённые на парах t ∈ R₊ и u : [0,t] → Rⁿ,

принимающие значение +∞ всякий раз, когда функция определена не на всём отрезке [0, t],

отвечают показателям

κ = ν,θ,ρ, при K = N,Θ,P соответственно

(3)

и описывают следующие свойства решений:

1) колеблемость (κ = ν), если K(t, u) = N(t, u) - умноженное на π число нулей на про-

межутке [0, t] функции P₁u, где P₁ - ортогональный проектор на фиксированную прямую,

причём если хотя бы один из этих нулей кратен (т.е. является нулём ещё и производной

(P₁u)^·), то считаем N(t, u) = +∞;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

857

2) вращаемость (ориентированная, κ = θ), если K(t, u) = Θ(t, u) ≡ |ϕ(t, P₂u)| - модуль

ориентированного угла ϕ(t,P₂u) (непрерывного по t, с начальным условием ϕ(0,P₂u) = 0)

между вектором P₂u(t) и начальным вектором P₂u(0), где P₂ - ортогональный проектор на

фиксированную плоскость, причём если P₂u(τ) = 0 хотя бы при одном τ ∈ [0, t], то считаем

Θ(t, u) = +∞;

3) блуждаемость (κ = ρ), если

∫t

K(t, u) = P(t, u) ≡

|(u(τ)/|u(τ)|)^· | dτ, u(τ) = 0, τ ∈ [0, t].

Известны и другие функционалы, отвечающие за неориентированную и частотную вра-

щаемость [1], поворачиваемость k-го ранга [2], а также плоскую вращаемость [3].

Определение 2. Для каждого функционала из числа описанных в определении 1 и соот-

ветствующего ему свойства колеблемости, вращаемости или блуждаемости зададим:

а) [1] слабый и сильный нижние линейные показатели (3) решения x ∈ S_∗(f), определён-

ного на всей полуоси R₊, - по формулам

κ^◦(x) ≡ lim

inf

t-1K(t,Lx),

κ^•(x) ≡ inf

lim t-1K(t, Lx);

(4)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

L∈Aut Rⁿ t→+∞

б) [4] слабый и сильный нижние сферические показатели (3) задачи Коши системы (1) с

начальным значением x₀ ∈ G - по формулам

κ^◦s(f,x₀) ≡ lim

inf

K_s(f,x₀,t,L),

κ^•s(f,x₀) ≡ inf

lim

K_s(f,x₀,t,L),

(5)

t→∞ t

L∈Aut Rⁿ

L∈Aut Rⁿ t→∞ t

где для t ∈ R₊, L ∈ Aut Rⁿ и ортогонального проектора P^⊥x на гиперплоскость, ортогональ-

ную вектору x ∈ Rⁿ, обозначено

K_s(f,x₀,t,L) = K(t,Lxfs (·,x₀)), f_s(t,x) ≡ P^⊥x · f(t,x),

причём сферической называем и систему с правой частью f_s (без радиальной составляющей);

в) [5] слабый и сильный нижние шаровые показатели (3) системы (1) - по формулам

κ^◦b(f) ≡ lim

inf

t-1 Ǩ_b(f,t,L),

κ^•b(f) ≡ inf

lim t-1 Ǩ_b(f, t, L),

(6)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

L∈Aut Rⁿ t→+∞

где для t ∈ R₊ и L ∈ Aut Rⁿ обозначено

(

)

Ǩ_b(f,t,L) ≡ lim

K(t, Lx_f ( · , x₀))

K_b(f,t,L) ≡ lim

K(t, Lx_f ( · , x₀))

;

x₀→0

г) слабый и сильный верхние линейные κ◦(x),

κ^•(x), сферические κ◦s(f,x0),

κ^•s(f,x₀) и

шаровые κ^◦b(f), κ•b(f) показатели - по тем же формулам (4)-(6) соответственно, но с заменой

в них нижних пределов при t → +∞ верхними, а функционаловǨb - функционаламиKb;

д) точные или абсолютные разновидности тех же показателей, которые возникают при

совпадении значений нижнего и верхнего показателей или соответственно слабого и сильного

показателей: в первом случае будем опускать в их обозначении галочку и крышечку, а во

втором - пустой и заполненный кружок.

Необходимость введения сферических и шаровых, а также радиальных [6] показателей обу-

словлена тем, что решения нелинейной системы (1) не всегда определены на всей временной

полуоси. Некоторые свойства всех этих показателей описаны в работе [7]. Ниже приводятся

случаи отсутствия связи между сферическими или шаровыми показателями нелинейной сис-

темы (1) и системы её первого приближения (2). В докладе [8] исследована аналогичная связь

для радиальных показателей.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

858

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Никакие сферические показатели из перечня (3), вообще говоря, не оцениваются ни с ка-

кой определённой стороны соответствующими показателями системы первого приближения,

причём уже в двумерном автономном случае, что и подтверждают следующие теоремы.

Теорема 1. При n = 2 и G = R² существует такая автономная система (1), что

значения всех её сферических показателей (3) и всех линейных показателей системы её пер-

вого приближения (2) точны, абсолютны и для любого решения x ∈ S_∗(f_′) удовлетворяют

соотношениям

+∞ > κ_s(f,x(0)) > κ(x) = κ_s(f_′,x(0)) = 0.

Теорема 2. При n = 2 и G = R² существует такая автономная система (1), что

значения всех её сферических показателей (3) и всех линейных показателей системы её пер-

вого приближения (2) точны, абсолютны и для любого решения x ∈ S_∗(f_′) удовлетворяют

соотношениям

0 < κ_s(f,x(0)) < κ(x) = κ_s(f_′,x(0)) = 1.

Шаровые показатели колеблемости могут отличаться от соответствующих показателей сис-

темы первого приближения уже в двумерном случае, а в трёхмерном и даже автономном слу-

чае наблюдается также несовпадение шаровых показателей вращаемости с соответствующими

показателями системы первого приближения, как показывают следующие теоремы.

Теорема 3. При n = 2 и G = R² существует такая система (1), что значения всех её

шаровых показателей колеблемости и всех линейных показателей колеблемости системы её

первого приближения (2) точны, абсолютны и для любого решения x ∈ S_∗(f_′) удовлетворя-

ют соотношениям

0 = ν_b(f) < ν(x) = ν_b(f_′) = 1.

Теорема 4. При n = 3 и G = R³ существует такая автономная система (1), что зна-

чения всех её шаровых показателей вращаемости и всех линейных показателей вращаемости

системы её первого приближения (2) точны, абсолютны и для любого решения x ∈ S_∗(f_′) и

некоторого двумерного подпространства S ⊂ S(f_′) удовлетворяют соотношениям

{

f_′) = 1, x ∈ S \ {0};

0 = θ_b(f) ≤ θ(x) =^b(

θb(f′) = 0, x ∈ S∗(f′) \ S.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блужда-

емости решений дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.

2. Сергеев И.Н. Характеристики поворачиваемости решений дифференциальных систем // Диффе-

ренц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1353-1361. 3. Сергеев И.Н. Показатели плоской вращаемости

линейной дифференциальной системы // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2019. Вып. 32. С. 325-348.

4. Сергеев И.Н. Определение сферических показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости

дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 839-840. 5. Сергеев И.Н.

Определение шаровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной

системы // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 859-861. 6. Сергеев И.Н. Определение радиаль-

ных показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы // Диффе-

ренц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1560-1562. 7. Сергеев И.Н. Определение показателей колебле-

мости, вращаемости и блуждаемости нелинейных дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та.

Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 3. С. 41-46. 8. Сергеев И.Н. Исследование по первому приближе-

нию радиальных показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 11. С. 1574-1576.

А. Х. Сташ (Майкоп) “О множествах значений показателей вращаемости решений авто-

номных дифференциальных систем” (8 апреля 2022 г.).

Для заданного n ∈ N обозначим через Mⁿ множество линейных систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

с ограниченными непрерывными оператор-функциями A: R₊ → End Rⁿ (каждую из которых

будем отождествлять с соответствующей системой). Подмножество множества Mⁿ, состоящее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

859

из автономных систем, обозначим через Cⁿ. Линейное пространство решений системы A ∈

∈ Mⁿ обозначим через S(A), а подмножество всех ненулевых решений - через S_∗(A). Далее,

звёздочкой снизу помечаем любое линейное пространство, в котором выколот нуль. Положим

⋃

S^n∗ =

S_∗(A).

A∈Mⁿ

Определение 1 [1]. Для функции x ∈ C¹(R₊,R²) определим функционал Θ(x,t) как

взятую по абсолютной величине непрерывную по t ∈ R₊ ветвь ориентированного угла между

векторами x(t) и x(0), для которой Θ(x, 0) = 0, причём если для некоторого τ ∈ [0, t]

имеет место равенство x(τ) = 0, то по определению считаем, что Θ(x, t) = +∞. Нижние

(верхние) сильный и слабый показатели ориентированной вращаемости вектор-функции x ∈

∈ S^n∗ зададим соответственно формулами

(

)

θ^•(x) = inf

lim

Θ(Lx, t)

θ^•(x) = inf

lim

Θ(Lx, t)

L∈End₂Rⁿ t→+∞ t

L∈End₂Rⁿ

t→+∞

(

)

θ^◦(x) = lim

inf

Θ(Lx, t)

θ^◦(x) = lim

inf

Θ(Lx, t)

L∈End₂Rⁿ t

t→+∞

L∈End₂Rⁿ

t→+∞

где End₂Rⁿ - подмножество векторного пространства End Rⁿ, состоящее из линейных опе-

раторов ранга 2. В случае совпадения верхнего и нижнего значений ω(x) = ω(x) какого-либо

из перечисленных показателей ω будем называть показатель ω(x) точным, а в случае сов-

падения слабого и сильного значений ω^◦(x) = ω^•(x) - абсолютным.

У автономной системы спектр (множество всех значений на ненулевых решениях) любого

из показателей ориентированной вращаемости содержит множество модулей мнимых частей

собственных значений матрицы системы, но, вообще говоря, не совпадает с ним [2]. В докла-

де [2] поставлен вопрос о типичных значениях показателя ориентированной вращаемости и о

структуре его возможного спектра. В [3] показано, что для широкого класса автономных сис-

тем (имеющих действительные собственные значения или два комплексных с несоизмеримыми

мнимыми частями) нуль является типичным значением этого показателя, и найден спектр для

систем с простыми чисто мнимыми собственными значениями. Тем самым, задача нахожде-

ния спектров для автономных систем была решена лишь частично. Приводим здесь полное

решение этой задачи.

Определение 2 [3]. Введём наибольший нечётно-общий делитель gcd^∗(S) множества

S чисел s₁, . . . , s_r ≥ 0 : если существует такое α, что множество S/α = {s₁/α, . . . , s_r/α}

состоит из нечётных целых чисел, то в качестве gcd^∗(S) возьмём наибольшее из таких α, а

в противном случае положим gcd^∗(S) = 0.

Теорема 1. Для любой системы A ∈ Cⁿ показатель θ(x) любого решения x ∈ S_∗(A)

является точным и абсолютным, а его спектр имеет вид

Spec_θ(A) = {gcd^∗(S) : ∅ = S ⊂ {|Im λ₁(A)|,... ,|Im λ_n(A)|}},

где λ₁(A), . . . , λ_n(A) - корни характеристического многочлена системы A, упорядоченные

по нестрогому возрастанию модулей их мнимых частей.

Следствие 1. Для произвольной системы A ∈ Cⁿ спектр показателя θ является дис-

кретным, причём его мощность не превосходит 2n/2 - 1.

Следствие 2. Спектры всех показателей ориентированной вращаемости любой авто-

номной системы с симметричной матрицей состоят из одного нулевого значения.

Определение 3 [4]. Для каждого ω =θ•,θ•,θ◦,θ◦ назовём i-м верхним ω_i(A) и нижним

ω_i(A) главными (регуляризованными по Миллионщикову) значениями соответствующего по-

казателя системы A ∈ Mⁿ величины, задаваемые равенствами

ω_i(A) ≡ inf sup

ω(x), ω_i(A) ≡

sup

inf ω(x), i = 1, n,

V ∈Gⁱ(A)x∈V∗

x∈V

V ∈Gn-i+1(A)

где Gⁱ(A) - множество i-мерных подпространств пространства S(A).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

860

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Теорема 2. Для каждой системы A ∈ Cⁿ и любого ω =θ•,θ•,θ◦,θ◦ выполнены соотно-

шения

ω₁(A) = ω₁(A) = ω₂(A) = ω₂(A) = ... = ωn-1(A) = ωn-1(A) ≤ ω_n(A) = ω_n(A) = |Im λ_n(A)|.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение характеристик вращаемости решений дифференциаль-

ных систем и уравнений // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 11. С. 1501-1503. 2. Сергеев И.Н.

Вопросы о спектрах показателей вращаемости и блуждаемости автономных систем // Дифференц.

уравнения. 2014. Т. 50. № 6. С. 844-845. 3. Бурлаков Д.С. Спектры показателей вращения и вращаемо-

сти автономных систем с простыми чисто мнимыми собственными числами // Дифференц. уравнения.

2014. Т. 50. № 6. С. 845. 4. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного

уравнения // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

А. А. Бондарев (Москва) “Пример глобально неустойчивой по Ляпунову системы с пер-

роновской и верхнепредельной глобальной устойчивостью” (15 апреля 2022 г.).

В пространстве R² (с евклидовой нормой | · | ) рассматривается система вида

x = f(t,x), t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), x ∈ R²,

(1)

с правой частью, удовлетворяющей условиям

f,f^′x ∈ C(R₊ × R²), f(t,0) = 0, t ∈ R₊.

Настоящий доклад посвящён недавно введённому [1, 2] понятию устойчивости по Перро-

ну и развивает результаты работ [2-5], окончательным итогом которых явилось построение

системы, имеющей нулевое линейное приближение вдоль нулевого решения (в теореме 1 [2]

приближение было неограниченным) и обладающей одновременно как перроновской, так и

верхнепредельной (см. выше определения из доклада И.Н. Сергеева от 11 марта):

- полной неустойчивостью, а значит, и ляпуновской глобальной неустойчивостью;

- массивной частной устойчивостью (в примерах [2-4] она была лишь точечной).

Ниже утверждается существование системы, имеющей нулевое линейное приближение и

обладающей одновременно следующими двумя свойствами (которые, на первый взгляд, могут

показаться противоречащими друг другу):

- ляпуновской глобальной неустойчивостью (присущей примерам из работ [2-5]);

- перроновской и верхнепредельной глобальной устойчивостью (в отличие от всех преды-

дущих примеров).

Теорема. Существует такая система (1), что её правая часть удовлетворяет условию

f^′x(t,0) = 0, t ∈ R₊,

и верны следующие два утверждения:

1) для каждого решения x системы (1) справедливо равенство

lim x(t) = 0;

t→+∞

2) для каждого ненулевого решения x системы (1) выполняется неравенство

sup |x(t)| > 1.

t∈R₊

Таким образом, абсолютно все решения системы, существование которой утверждается в

теореме, сходятся к нулю при неограниченном росте времени, но при этом фазовая кривая

каждого ненулевого решения хотя бы однажды покидает 1-окрестность начала координат.

Заметим, что описанная система неавтономна, неодномерна и нелинейна, и не случайно:

- автономной такой системы не существует [6], поскольку в автономном случае уже ляпу-

новская полная (а тем более глобальная) неустойчивость влечёт за собой сразу и перронов-

скую, и верхнепредельную глобальную неустойчивость;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

861

– ни одномерной, ни линейной такой системы не существует [7], поскольку для них верхне-

предельная глобальная устойчивость влечёт за собой и ляпуновскую глобальную устойчивость.

Работа выполнена при поддержке Фонда развития теоретической физики и математики

“БАЗИС” (проект 21-8-2-4-1).

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчивостью

по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856. 2. Сергеев И.Н. Определение

и некоторые свойства устойчивости по Перрону // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 636-

646. 3. Бондарев А.А. Один пример неустойчивой системы // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6.

С. 899. 4. Бондарев А.А. Пример полной, но не глобальной неустойчивости по Перрону // Вестн. Моск.

ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 2. С. 43-47. 5. Бондарев А.А. Пример дифференциальной

системы с перроновской и верхнепредельной полной неустойчивостью, но массивной частной устойчи-

востью // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 2. С. 147-152. 6. Сергеев И.Н. Ляпуновские, перро-

новские и верхнепредельные свойства устойчивости автономных дифференциальных систем // Изв.

Ин-та математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. 2020. Вып. 2 (56). С. 63-78. 7. Сергеев И.Н.

Определение верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью

по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557.

Н. А. Лобода, А. Х. Сташ (Майкоп) “Об отсутствии свойства остаточности у сильных

показателей колеблемости на множестве решений дифференциальных уравнений третьего по-

рядка” (22 апреля 2022 г.).

Для заданного натурального n рассмотрим множество Eⁿ линейных однородных уравне-

ний n-го порядка

y(n) + a₁(t)y(n-1) + ... + an-1(t) y + a_n(t)y = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

задаваемых ограниченными непрерывными вектор-функциями a ≡ (a₁, . . . , a_n): R₊ → Rⁿ, с

которыми в дальнейшем и будем отождествлять сами уравнения. Множество всех ненулевых

решений уравнения a ∈ Eⁿ обозначим через S_∗(a) и положим

⋃

S^n∗ =

S_∗(a).

a∈Eⁿ

Определение 1 [1-4]. Точку t > 0 назовём точкой строгой (нестрогой) смены знака

функции y : R₊ → R, если в любой проколотой окрестности этой точки функция y принимает

как положительные (неотрицательные), так и отрицательные (неположительные) значения.

Для момента t > 0, вектора m ∈ R^n∗ и функции y ∈ S^n∗ введём следующие обозначения:

ν^-(y,m,t) - число точек строгой смены знака функции 〈ψy(·),m〉 на промежутке (0,t];

ν^∼(y,m,t) - число точек нестрогой смены знака функции 〈ψy(·),m〉 на промежутке (0,t];

ν⁰(y,m,t) - число нулей функции 〈ψy(·),m〉 на промежутке (0,t];

ν⁺(y,m,t) - число корней (т.е. нулей с учётом их кратности) функции 〈ψy(·), m〉 на

промежутке (0, t];

ν^∗(y,m,t) - число гиперкратных корней функции 〈ψy(·),m〉 на промежутке (0,t] : при его

подсчёте каждый некратный корень берётся ровно один раз, а кратный - бесконечно много раз,

где ψy = (y, y, . . . , y(n-1)), а 〈 · , · 〉 - скалярное произведение.

Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемости знаков, нулей, корней и

гиперкорней функции y ∈ S^n∗ при α ∈ {-,∼,0,+,∗} соответственно зададим формулами

(

)

ν^α•(y) ≡ inf

lim

ν^α(y,m,t)

ν^α•(y) ≡ inf lim

ν^α(y,m,t) ,

m∈R^n∗

t→∞ t

m∈R^n∗ t→∞

(

)

ν^α◦(y) ≡ lim

inf

ν^α(y,m,t)

ν^α◦(y) ≡ lim

inf

ν^α(y,m,t)

t→∞

m∈R^n∗ t

t→∞

m∈R^n∗

Определение 2 [5]. Для множества F ⊂ {f : R₊ → Rⁿ} назовём функционал λ: F → R

остаточным, если для любых функций f,g ∈ F, удовлетворяющих хотя бы при одном t₀ ∈

∈ R₊ и всех t ≥ t₀ условию f(t) = g(t), имеет место равенство λ(f) = λ(g). Далее считаем

F =S^n∗.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

862

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Слабые показатели колеблемости любых решений, как оказалось [2], всегда совпадают с

их показателями блуждаемости, которые являются остаточными. Для решений линейных од-

нородных уравнений первого порядка все показатели колеблемости равны нулю, так как эти

решения не имеют нулей, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние

(равно как и все нижние) показатели равны между собой [4]. Следовательно, на множестве

решений уравнений первого и второго порядков все показатели колеблемости остаточны.

На множестве решений дифференциальных уравнений третьего порядка сильные пока-

затели колеблемости гиперкорней не являются остаточными [6]. Об остаточности остальных

сильных показателей колеблемости информации пока не было.

Теорема 1. Ни один из функционалов ν^-•, ν^-•, ν^∼•, ν^∼•, ν0•, ν0•, ν+•, ν+• : S3∗ → R не остаточен.

Теорема 2. Существует уравнение a ∈ E³, хотя бы одно решение x ∈ S_∗(a) которого

удовлетворяет соотношениям

ν^-•(x) = ν^∼•(x) = ν0•(x) = ν+•(x) > ν^-◦(x) = ν^∼◦(x) = ν0◦(x) = ν+◦(x).

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного урав-

нения // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294. 2. Сергеев И.Н. Замечательное

совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат.

сб. 2013. Т. 204. № 1. C. 119-138. 3. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного

уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 1577. 4. Сергеев И.Н. Характеристики ко-

леблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем.

2012. Т. 76. № 1. C. 149-172. 5. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем диф-

ференциальных уравнений // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166. 6. Сташ А.Х.

Об отсутствии свойства остаточности у полных гиперчастот решений дифференциальных уравнений

третьего порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 2. С. 65-68.

А. Е. Артисевич, А. Х. Сташ (Майкоп) “О множествах значений показателей колебле-

мости знаков решений дифференциальных уравнений третьего порядка” (22 апреля 2022 г.).

Для заданного натурального n рассмотрим множество Eⁿ линейных однородных уравне-

ний n-го порядка

y(n) + a₁(t)y(n-1) + ... + an-1(t) y + a_n(t)y = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

задаваемых ограниченными непрерывными вектор-функциями a ≡ (a₁, . . . , a_n): R₊ → Rⁿ, с

которыми в дальнейшем и будем отождествлять сами уравнения. Множество всех ненулевых

решений уравнения a ∈ Eⁿ обозначим через S_∗(a), а кроме того, используем все обозначения

из определения 1 представленного выше доклада (авторы Н.А. Лобода, А.Х. Сташ).

Для решений линейных однородных уравнений первого порядка все показатели колебле-

мости [1]

ν^α•(y), ν^α•(y), ν^α◦(y), ν^α◦(y), α ∈ {-,∼,0,+,∗},

равны нулю (так как эти решения не имеют нулей), а для всех решений любого уравнения

второго порядка все верхние (равно как и все нижние) показатели равны между собой [2].

В работе [3] для сколь угодно большого наперёд заданного числа N доказано существо-

вание уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры показателей

колеблемости которого содержат конечные наборы, состоящие из N чисел. Кроме того, по-

строено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными

ограниченными коэффициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат одно

и то же счётное множество значений. В [4] приводится линейное однородное дифференциаль-

ное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры показателей

колеблемости которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В работе [5] построены примеры двух линейных дифференциальных уравнений третьего

порядка с непрерывными на временной полуоси коэффициентами, спектры характеристичес-

ких частот нулей и знаков одного из которых состоят из множества рациональных чисел от-

резка [0, 1], а спектры другого - из множества иррациональных чисел отрезка [0, 1] и числа

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

863

нуль. В докладе показано, что такими же свойствами обладают и показатели колеблемости

знаков.

Теорема 1. Для любого не более чем счётного множества неотрицательных чисел X

существует дифференциальное уравнение a ∈ E³, обладающее свойством

ν-•(S_∗(a)) = ν^-•(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = X

^⋃ {0}.

Следствие. Существует дифференциальное уравнение a ∈ E³, обладающее свойством

ν^-•(S_∗(a)) = ν^-•(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = [0,1]

⋂ Q.

Теорема 2. Существует дифференциальное уравнение a ∈ E³, обладающее свойством

ν^-•(S_∗(a)) = ν^-•(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = [0,1).

Теорема 3. Существует дифференциальное уравнение a ∈ E³, обладающее свойством

ν^-•(S_∗(a)) = ν^-•(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = ν^-◦(S_∗(a)) = ([0,1] \ Q)

^⋃ {0}.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блужда-

емости решений дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной

системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76. № 1. C. 149-172. 3. Сташ А.Х. О существенных зна-

чениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего по-

рядка // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат. и техн. науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-22.

4. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с контину-

альными спектрами полной и векторной частот // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат.

и техн. науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17. 5. Войделевич А.С. Существование бесконечных всюду раз-

рывных спектров верхних характеристических частот нулей и знаков линейных дифференциальных

уравнений // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 3. С. 17-23.

Н. А. Изобов (Минск), А. В. Ильин (Москва) “Существование антиперроновского эф-

фекта смены положительных характеристических показателей на отрицательные при исчеза-

ющих на бесконечности линейных возмущениях” (29 апреля 2022 г.).

Рассматриваем линейные системы

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(1_n)

первого приближения с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и

характеристическими показателями λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A), а также возмущённые системы

y = A(t)y + Q(t)y, y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(2_n)

с аналогичными матрицами Q(t).

В двумерном случае О. Перроном [1; см. также 2, c. 50-51] построены система (12) с

отрицательными показателями и двумерное бесконечно дифференцируемое возмущение f(t, y)

второго порядка малости такие, что все нетривиальные решения возмущённой системы

y = A(t)y + f(t,y), y ∈ R², t ≥ t₀,

оказываются бесконечно продолжимыми вправо и принимающими лишь два значения показа-

телей: одно по-прежнему отрицательное, совпадающее со старшим показателем λ₂(A) исход-

ной системы (1₂), и второе - некоторое положительное число.

Исследованию этого эффекта Перрона смены отрицательных показателей системы линей-

ного приближения на положительные для решений возмущённой системы с возмущениями

высшего порядка малости посвящены наши предыдущие совместные работы, в том числе и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022

864

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

с С.К. Коровиным, завершившиеся [3, 4] полным описанием множеств как Λ₊(A, f) поло-

жительных, так и Λ_-(A, f) отрицательных показателей всех этих нетривиальных решений.

В частности, реализован и вариант mes Λ₊(A, f) > 0, Λ_-(A, f) = ∅.

Для возможных приложений больший интерес представляют противоположный (который

мы называем антиперроновским) эффект смены малыми возмущениями (линейными как ис-

чезающими на бесконечности, так и экспоненциально убывающими; нелинейными высшего

порядка малости) всех положительных характеристических показателей линейного прибли-

жения на отрицательные для решений возмущённой системы.

В работе [5] исследован этот эффект для экспоненциально убывающих линейных возмуще-

ний: доказано существование линейных систем (1_n) со всеми положительными показателями

и возмущённой (2_n) с матрицей Q(t) , удовлетворяющей условию

∥Q(t)∥ ≤ c_Qe^-σt, σ > 0, c_Q = const, t ≥ t₀,

(3)

и характеристическими показателями

λ₁(A + Q) ≤ ... ≤ λn-1(A + Q) < 0 < λ_n(A + Q).

При этом остаётся открытым вопрос о существовании системы (2n) с возмущением (3) и

отрицательным старшим показателем λ_n(A + Q) .

Нельзя ли при более общем возмущении Q(t) → 0, t → +∞ , одновременно реализовать

все необходимые неравенства

λ_i(A) > 0, λ_i(A + Q) < 0, i = 1,n?

Положительный ответ на этот вопрос содержит следующая

Теорема. Для любых параметров

λ_n ≥ ... ≥ λ₁ > 0, μ₁ ≤ ... ≤ μ_n < 0,

2 ≤ n ∈ N,

существуют:

1) линейная система (1_n) с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициен-

тами и характеристическими показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, n;

2) бесконечно дифференцируемая n × n-матрица Q(t) → 0 при t → +∞,

такие, что возмущённая система (2_n) имеет характеристические показатели λ_i(A + Q) =

= μ_i, i = 1,n.

Литература. 1. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930.

Bd. 32. Hf. 5. S. 703-728. 2. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости

движения. М.; Ижевск, 2006. 3. Изобов Н.А., Ильин А.В. О бэровской классификации положительных

характеристических показателей в эффекте Перрона смены их значений // Дифференц. уравнения.

2018. Т. 54. № 11. С. 1435-1439. 4. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение произвольного суслинского

множества положительных характеристических показателей в эффекте Перрона // Дифференц. урав-

нения. 2019. Т. 55. № 4. С. 464-472. 5. Изобов Н.А., Ильин А.В. О существовании линейных дифферен-

циальных систем со всеми положительными характеристическими показателями первого приближения

и экспоненциально убывающими возмущениями и решениями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57.

№ 11. С. 1450-1457.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№6

2022