ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 7, с.882-889

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.6

О КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ

Изучаются свойства собственных значений краевой задачи для дифференциального урав-

нения четвёртого порядка на геометрическом графе, моделирующей упругие деформации

стержневой системы с условиями упругошарнирного соединения в узлах. Устанавлива-

ются условия простоты точек спектра соответствующего дифференциального оператора.

Выводятся оценки кратности собственных значений. Эти оценки даются в терминах то-

пологических характеристик графа. В рамках этих понятий полученные оценки являются

точными.

DOI: 10.31857/S0374064122070020, EDN: CEADRF

Введение. В настоящей работе рассматривается краевая задача для дифференциального

уравнения четвёртого порядка на геометрическом графе (пространственной сети) Γ:

(

)

d²u

L_λu ≡

p(x)

= λρ(x)u, u|∂Γ = u^′|∂Γ = 0,

(1)

dΓ²

где ∂Γ - множество граничных вершин Γ. Задача (1) представляет собой модель балочной

конструкции [1-7]. Во внутренних точках рёбер производная du/dΓ имеет классическую фор-

му u^′, а в узлах сети оператор L_λ задаётся наборами условий для упругого шарнирного

соединения балок. Мы изучаем вопрос о кратности собственных значений задачи (1) и даём

точную оценку кратности собственных значений этой задачи.

Давно замечено, что оценка кратности собственных значений краевых задач на графах

существенно зависит от топологии графа. На сегодняшний день хорошо изучены спектральные

свойства задачи Штурма-Лиувилля на графе с различными условиями стыковки в узловых

вершинах графа (см. работы [8-12]).

Стоит сразу отметить, что изучение свойств решений дифференциальных уравнений чет-

вёртого порядка на сети является существенно более сложной задачей, по сравнению с ана-

логичной задачей для уравнения Штурма-Лиувилля. Даже модели физического происхож-

дения оказываются очень трудными для анализа (см., например, [4, 5, 13-15]). Наибольшие

продвижения в изучении качественных свойств краевых задач четвёртого порядка на графах

имеются для уравнения с условиями упругошарнирного сочленения стержней. Для такой кра-

евой задачи в статьях [4, 5] получены условия разрешимости, установлен принцип максимума,

на основе которого доказана положительная обратимость краевой задачи и положительность

её функции Грина. В [16, 17] изучались свойства решений уравнения (1) (положительность,

колеблемость, распределение нулей, неосцилляция). Как показывают результаты этих работ,

дифференциальный оператор L_λ задачи (1), порождаемый условиями упругошарнирного со-

членения, наследует основные качественные свойства оператора Штурма-Лиувилля на сети.

В связи с этим естественным становится вопрос об исследованиях осцилляционных свойств

спектра оператора L_λ. Одним из первых шагов на этом пути является изучение вопроса о

кратности собственных значений. Ниже устанавливаются условия, обеспечивающие просто-

ту собственных значений оператора L_λ, а также оценки кратностей собственных значений.

В частности, показывается, что для точек спектра оператора L_λ имеют место оценки их крат-

ностей, аналогичные оценкам для собственных значений задачи Штурма-Лиувилля (см. [12]).

При этом получаемые оценки являются неулучшаемыми.

882

О КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

883

1. Постановка задачи. Далее используем терминологию и обозначения работ [2, 5]. На

протяжении всей статьи Γ ⊂ R^N обозначает связный и конечный геометрический граф без

петель с множеством вершин V (Γ) и множеством точек рёбер графа E(Γ). Ребро графа -

это интервал конечной длины, а вершина графа - это концевая точка одного или нескольких

ребер. Ребра графа обозначаются γ_i, вершины - a, b и т.д. Для любой вершины a ∈ V (Γ)

через I(a) обозначим множество индексов ребер, инцидентных вершине a, через |I(a)| - ко-

личество элементов множества I(a). Элементы множеств J(Γ) = {a ∈ V (Γ) : |I(a)| ≥ 2}

и ∂Γ = {a ∈ V (Γ) : |I(a)| = 1} называются внутренними и граничными вершинами соот-

ветственно. Через |∂Γ| обозначаем число граничных вершин графа Γ. Предполагаем, что

Γ = E(Γ)

^⋃J(Γ). Обратим внимание, что граничные вершины не включены в граф. Под-

графом графа Γ называется любое непустое связное подмножество Γ, которое попадает под

определение графа. Граф, не имеющий циклов, называется деревом. Граф-дерево Γ называем

цепочкой, если |I(a)| = 2 для любой вершины a ∈ J(Γ).

Введём функциональные пространства:

C[Γ] = {u : Γ → R : u равномерно непрерывна на каждом ребре γ_i ⊂ E(Γ)};

C[E(Γ)] = {u : E(Γ) → R : u равномерно непрерывна на каждом ребре γ_i ⊂ E(Γ)}.

Каждая функция u ∈ C[Γ] (или C[E(Γ)]) имеет предел lim

u_i(x), i ∈ I(a), в каждой

γ_i∋x→a

вершине a ∈ V (Γ); обозначим его через u_i(a). Обратим внимание, что u_k(a) не обязательно

равны u_i(a) или u(a), где k, i ∈ I(a) (k = i). Пространство непрерывных на Γ функций

определяется равенством

C(Γ) = {u ∈ C[Γ] : u_i(a) = u(a) для всех a ∈ J(Γ) и всех i ∈ I(a)}.

Теперь определим производную функции на графе. Для этого зададим функцию μ(x) ∈

∈ C[E(Γ)], линейно отображающую каждое ребро γ_i ⊂ E(Γ) на интервал (0,l_i) ⊂ R, где

l_i

- длина γ_i. Положим u^′i(x) := lim

(u_i(y) - u_i(x))/(μ_i(y) - μ_i(x)), x ∈ γ_i. Аналогично

γ_i∋y→x

определяются производные более высокого порядка.

Через Cⁿ[Γ] (или Cⁿ[E(Γ)]) мы обозначаем пространство функций u(x) ∈ C[Γ] (или

Cⁿ[E(Γ)]), производные которых до порядка n включительно существуют и принадлежат

пространству C[E(Γ)]. Для функции u(x) ∈ Cⁿ[Γ] (или Cⁿ[E(Γ)]) в любой вершине a ∈ V (Γ)

определено множество производных u(j)i(a), 1 ≤ j ≤ n, i ∈ I(a), вдоль ребер, смежных с a.

Производные нечётного порядка зависят от ориентации ребер. В дальнейшем при записи усло-

вий связи с производными в вершинах графа нам будет удобно использовать производные по

направлению “от вершины”, которые мы будем обозначать u(k)iν(a) (одномерный аналог про-

изводных по внутренней нормали). Для чётной производной ориентация не важна, и поэтому

для краткости вместо u^′′iν (a) пишем u^′′i(a).

Изучение вопроса о кратности точек спектра задачи (1) будет связано с исследованием

свойств решений следующего уравнения:

(

)

d²u

Lu ≡

p(x)

- r(x)u = 0, x ∈ Γ.

(2)

dΓ²

При этом под дифференциальным уравнением (2) (совпадающим с уравнением (1) при r = λρ)

подразумевается набор обыкновенных дифференциальных уравнений на ребрах графа

(p_i(x)u^′′i)^′′ - r_i(x)u = 0, x ∈ γ_i ⊂ E(Γ),

(3)

и набор условий согласования в каждой внутренней вершине a ∈ J(Γ)

u_i(a) = u(a), β_i(a)u^′′i(a) - ϑ_i(a)u^′iν(a) = 0, i ∈ I(a),

(4)

∑

(p_iu^′′i)^′ν (a) - r(a)u(a) = 0, a ∈ J(Γ).

(5)

i∈I(a)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022

2^∗

884

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

Задача (3)-(5) моделирует малые деформации стержневой системы с условиями упругошар-

нирного соединения (см. [2, 5] и [7, п. 4.2]). В этом случае равенства (3)-(5) можно трактовать

следующим образом: u(x) обозначает смещение балки при выходе из состояния равновесия;

условия (4) описывают классические локальные условия в узлах графа - перемещения всех

стержней системы являются непрерывными и имеется упругошарнирное сочленение в вершине

a (см. [18, раздел 5.18]. Последнее условие - это условие динамического равновесия.

Решением дифференциального уравнения (2) будем называть всякую функцию u(x) ∈

∈ C⁴[Γ]

^⋂C(Γ), удовлетворяющую на каждом ребре графа соответствующему обыкновенному

дифференциальному уравнению (3), а в каждой внутренней вершине - условиям (4), (5).

Всюду далее полагаем

p ∈ C²[E(Γ)],

inf p(x) > 0 и r, ρ ∈ C[Γ], r(x) > 0, ρ(x) > 0 на Γ;

x∈E(Γ)

β_i(a) ≥ 0, ϑ_i(a) ≥ 0 и β_i(a) + ϑ_i(a) > 0 для любых a ∈ V (Γ), i ∈ I(a).

2. Вспомогательные утверждения. На протяжении всей статьи будем опираться на

следующие результаты.

Лемма 1 [19]. Пусть u(x) - нетривиальное решение уравнения

(p(x)u^′′)^′′ - r(x)u = 0, x ∈ [a, b] ⊂ R.

(6)

Если u, u^′, u^′′, (pu^′′)^′ неотрицательны в точке a, то все эти функции положительны на

промежутке (a, b].

Следствие 1. Пусть u(x) - нетривиальное решение уравнения (6), удовлетворяющее

граничным условиям

u(a)(β(a)u^′′(a) - ϑ(a)u^′(a)) = 0, u(b)(β(b)u^′′(b) + ϑ(b)u^′(b)) = 0.

(7)

Тогда u(x) не имеет кратных нулей на интервале (a, b), а в концевых точках a и b не

может иметь нуль кратности большей двух.

Определение 1. S-зоной функции u(x) ∈ C(Γ) назовём подграф Γ₀ ⊂ Γ такой, что

u(x) = 0 на Γ₀; u(x) = 0 на ∂Γ₀; u(x) имеет нуль на любом подграфе Γ₁ ⊃ Γ₀, Γ₁ = Γ₀.

Теорема 1 [16]. Пусть u(x) - решение краевой задачи

Lu = 0, x ∈ Γ, u|∂Γ = (βu^′′ - ϑu^′ν)|∂Γ = 0,

(8)

имеющее S-зону Γ₀ ⊂ Γ. Тогда любое решение задачи (8) либо пропорционально u(x) на Γ₀,

либо меняет знак в Γ₀.

3. Условия простоты собственных значений. Сначала опишем структуру спектра

краевой задачи (1).

Лемма 2. При λ < 0 краевая задача (1) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Пусть u - решение задачи (1). Умножим u на L_λu и проинтегрируем

дважды по частям. Использовав условия согласования (4), (5), получим

∫

∑

0 = u(x)L_λu(x)dx = p(x)(u^′′)²(x) - λρ(x)u²(x)dx -

λρ(a)u²(a) -

a∈V (Γ)

(∑

)

∑

p_i(a)ϑ_i(a)

−

u(a)

(p_iu^′′i)^′ν (a) - λρ(a)u

(u^′i)²(a) =

β_i(a)

a∈V (Γ)

i∈I(a)

a∈V (Γ) i∈I(a)

β_i(a)=0

∫

∑

p_i(a)ϑ_i(a)

= p(x)(u^′′)²(x) - λρ(x)u²(x)dx -

λρ(a)u²(a) +

(u^′i)²(a).

β_i(a)

a∈V (Γ)

a∈V (Γ) i∈I(a)

β_i(a)=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

2022

№7

О КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

885

С учётом неотрицательности всех функций p, ρ и β, ϑ, а также неравенства λ < 0, получим

∫

0 ≥ ρ(x)u²(x)dx ≥ 0.

Поскольку ρ(x) > 0 на E(Γ), то u ≡ 0 на E(Γ). Теперь для завершения доказательства

леммы остаётся сослаться на непрерывность функции u.

Путём стандартных рассуждений (см., например, [6, 13, 20]) можно доказать следующий

классический результат.

Теорема 2. Дифференциальный оператор L_λ, порождённый соотношениями (1), (4) и

(5), является самосопряжённым. Спектр Λ оператора L_λ дискретен, т.е. существует

неограниченная последовательность положительных собственных значений Λ = {λ_k}∞k=0

такая, что

0≤λ₀ ≤λ₁ ≤...≤λ_k...

Поскольку дифференциальный оператор L_λ является самосопряжённым, то кратность его

собственных значений совпадает с размерностью соответствующего собственного подпростран-

ства. Поэтому вопрос о кратности точки спектра оператора L_λ удобно обсуждать в форме

вопроса о размерности пространства всех решений краевой задачи (8). Обозначим это прост-

ранство через S(L). Очевидно, что dim S(L) ≤ 4n, где n - число рёбер графа Γ. В контексте

последующего изучения осцилляционных свойств спектра дифференциального оператора L_λ

мы интересуемся условиями, обеспечивающими равенство

dim S(L) = 1,

(9)

что означает простоту соответствующей точки спектра Λ.

Лемма 3. Пусть u ∈ S(L) и a ∈ V (Γ). Если для некоторого индекса i ∈ I(a) выполнены

равенства u(a) = (p_iu^′′i)^′(a) = 0, то функция u(x) равна тождественно нулю на соответ-

ствующем ребре γ_i.

Доказательство. Пусть γ_i = (a, b). Тогда из условий (4) в вершине a и условий леммы

следует, что значения u_i(a), u^′iν (a), u^′′i(a) и (p_iu^′′i)^′ν (a) либо все неотрицательны, либо все

неположительны, а из условий (4) в вершине b следует, что u^′iν (b)u^′′i(b) ≥ 0. В силу леммы 1

u_i ≡ 0. Лемма доказана.

Следствие 2. Если dim S(L) ≥ 2, то для всякой граничной вершины a ∈ ∂Γ существует

нетривиальное решение задачи (8), тождественно равное нулю на примыкающем к a ребре.

Следствие 3. Если всякое нетривиальное решение задачи (8) имеет в Γ только изоли-

рованные нули, то справедливо равенство (9).

Лемма 4. Пусть u ∈ S(L) и для некоторой вершины a ∈ J(Γ) выполнены равенства

u(a) = 0, (p_iu^′′i)^′ν (a) = 0, i ∈ I(a) \ i₀, i₀ ∈ I(a).

(10)

Тогда u(x) равна тождественно нулю на всех ребрах графа, примыкающих к вершине a.

Доказательство. Из леммы 3 следует, что u_i ≡ 0 для всех i ∈ I(a) \ i₀. Тогда из усло-

вия (5) в вершине a ∈ J(Γ) получаем

∑

(p_iu^′′i)^′ν (a) = (pi0 u^′′i

)^′ν(a) = 0.

i∈I(a)

Из леммы 3 имеем ui0 ≡ 0. Лемма доказана.

Следствие 4. Пусть Γ является графом-цепочкой. Тогда dim S(L) = 1.

Доказательство. Пусть a ∈ ∂Γ. Тогда для любого нетривиального решения u ∈ S(L)

выполнено неравенство (pv^′′)^′ν (a) = 0, иначе в противном случае из лемм 3 и 4 будет следовать

тождество u ≡ 0 на всей цепочке Γ.

Возьмём теперь два произвольных ненулевых решения u, v ∈ S(L) и рассмотрим нетриви-

альную линейную комбинацию

w(x) = (pv^′′)^′ν (a)u(x) - (pu^′′)^′ν (a)v(x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022

886

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

Очевидно, что w ∈ S(L) и w(a) = 0, (pw^′′)^′(a) = 0. Опять же, ввиду лемм 3 и 4, имеем w ≡ 0

на Γ. Следствие доказано.

Определение 2. Точку x₀ ∈ Γ назовём нетривиальным нулём функции u ∈ C(Γ), если

u(x₀) = 0, а в любой окрестности точки x₀ функция u не тождественна нулю.

Следствие 5. Пусть u ∈ S(L). Если вершина a ∈ J(Γ) является нетривиальным ну-

лём функции u(x), то u(x) не равна тождественно нулю по крайней мере на двух ребрах,

примыкающих к вершине a.

Введём обозначение J₃₊(Γ) = {a ∈ J(Γ) : |I(a)| ≥ 3}.

Лемма 5. Пусть u(x) - нетривиальное решение (8), равное тождественно нулю на неко-

тором ребре. Если |∂Γ| ≥ 3, то найдётся вершина a ∈ J₃₊(Γ) такая, что u(a) = 0.

Доказательство. Пусть u ≡ 0 на ребре γ₁. Так как u ≡ 0 на Γ, то найдётся ребро

γ_j ⊂ E(Γ) такое, что u_j(x) ≡ 0. Рассмотрим произвольную цепочку Γ(γ₁,γ_j) графа Γ, со-

единяющую ребра γ₁ и γ_j . Без ограничения общности можно считать, что ребра и вершины

графа занумерованы так, что цепочка Γ(γ₁, γ_j ) состоит из рёбер γ_i = (a_i, ai+1), a_i ∈ V (Γ), с

индексами 1 ≤ i ≤ j. Если a₂ ∈ J₃₊(Γ), то лемма доказана. В противном случае |I(a₂)| = 2

и тождество u₁ ≡ 0 вместе со следствием 5 дают u₂ ≡ 0. Поскольку u_j ≡ 0, то найдётся

ребро γ_i ⊂ Γ(γ₁, γ_j ) такое, что соответствующая концевая точка a_i этого ребра принадлежит

множеству J₃₊(Γ). Лемма доказана.

Определение 3. Назовём точку x₀ ∈ Γ простой, если x₀ ∈ J₃₊(Γ) и множество Γ \ {x₀}

не связно.

Отметим, что если Γ является деревом, то любая точка x ∈ Γ \ J₃₊(Γ) является простой.

Определение 4. Будем говорить, что задача (8) простая, если у некоторого её решения

все нули в Γ являются простыми. В частности, если существует решение задачи (8) без нулей

в Γ, то такая задача также называется простой.

Теорема 3. Если задача (8) простая, то выполнено равенство (9).

Доказательство. С учётом следствия 4 нужно рассмотреть случай |∂Γ| ≥ 3. Пусть v ∈

∈ S(L) и v имеет нули только в простых точках Γ, либо вообще не имеет нулей в Γ. Число

нулей v конечно. Действительно, иначе vi0 ≡ 0 на некотором ребре γi0 = (a₁, a₂) и, как сле-

дует из леммы 5, существует вершина a ∈ J₃₊(Γ) такая, что v(a) = 0. Получим противоречие.

Через {Γ_i}ki=1 обозначим множество всех S-зон функции v. Будем говорить, что S-зоны

Γ_i и Γ_j (i = j) смежны, если ∂Γ_i

^⋂∂Γ_j = ∅. Поскольку все нули функции v в Γ простые,

то для каждой пары смежных S-зон пересечение ∂Γ_i

^⋂∂Γ_j является одноточечным. Отно-

шение смежности на множестве {Γ_i}ki=1 позволяет рассматривать это объединение S-зон как

алгебраический граф: S-зоны являются вершинами, нули v являются рёбрами. Обозначим

этот граф через SΓ. При этом мы допускаем, что SΓ является нуль-графом, т.е. не содержит

рёбер (в случае, когда v не имеет нулей в Γ). Легко видеть, что SΓ является связным и не

имеет циклов.

Для дальнейшего доказательства теоремы введём следующую терминологию. Граничные

вершины графа SΓ назовём вершинами нулевого порядка. Обозначим через S₁Γ алгебраи-

ческий граф, полученный из SΓ удалением всех вершин степени 1 вместе с инцидентными

рёбрами. Тогда граничные вершины подграфа S₁Γ назовём вершинами первого порядка. Обо-

значим через S₂Γ граф, полученный из S₁Γ удалением всех его вершин степени 1 вместе с

инцидентными рёбрами. Граничные вершины подграфа S₂Γ называем вершинами второго

порядка и т.д.

Пусть u(x) - произвольная нетривиальная функция из S(L), а Γi0 -произвольная вершина

нулевого порядка графа SΓ. Тогда ∂Γi0 \ ∂Γ = x₁, где x₁ - нуль функции v. Поэтому

u(x) = β(x)u^′′(x) - ϑ(x)u^′ν (x) = 0, x ∈ ∂Γi0 \ x₁.

В силу теоремы 1 получаем u(x) = Ci0 v(x) при x ∈ Γi0 . Действительно, если решения u и

v не пропорциональны на подграфе Γi0 , то согласно теореме 1 решение u ∈ S(L) имеет в

Γ_i

подграфе Γi0 S-зону

⊂ Γi0, причёмΓi0 = Γi0. Но тогда, опять же в силу теоремы 1,

функция v должна иметь нули вΓi0 . Получим противоречие.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022

О КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

887

Таким образом, если Γi0 - произвольная вершина нулевого порядка алгебраического гра-

фа SΓ, то u(x) = 0 на ∂Γi0 .

Возьмём произвольную вершину первого порядка Γi1 графа SΓ. Легко видеть, что u(x) =

= 0 для каждого x ∈ ∂Γi1 \ x₂, где x₂ = ∂Γi1

^⋂E(S₁Γ). В силу теоремы 1 получаем u(x) =

= Ci1v(x) на ∂Γi1 и так далее. Таким образом, мы можем заключить, что на любой зоне

знакопостоянства функции v решения v и u пропорциональны.

Поскольку u ≡ 0, то существует S-зона Γ₀ функции v такая, что u = C₀v на Γ₀ и

C₀ = 0. Если других S-зон функция v не имеет, то теорема доказана. В противном случае

рассмотрим функцию w(x) = u(x) - C₀v(x) и произвольную точку x₀ ∈ ∂Γ₀

^⋂Γ. Очевидно,

что w(x) ≡ 0 на Γ₀, а точка x₀ является простой. Из определения 3 и следствия 5 получаем

w(x) ≡ 0 в некоторой окрестности x₀. Отсюда следует, что w(x) ≡ 0 на всех S-зонах функции

v, смежных с Γ₀. Этот факт позволяет рассмотреть функцию w на каждой смежной с Γ₀

зоной знакопостоянства функции v и провести те же рассуждения, что и на Γ₀.

Поскольку SΓ - конечный граф, мы заключаем, что w(x) ≡ 0 на Γ. Теорема доказана.

Следствие 6. Пусть граф Γ является деревом. Если существует функция из S(L), не

имеющая нулей в Γ, то dim S(L) = 1.

4. Оценки кратности собственных значений. ПустьΓ - подграф графа Γ. Множество

функций из S(L), обращающихся в нуль на Γ \^Γ, обозначим через S(L̃Γ). Нетрудно видеть,

что для любой функции u ∈ S(L) её сужение наΓ является решением краевой задачи

Lu = 0, x ∈^Γ, u|∂̃Γ = (βu^′′ - ϑu^′ν)|∂̃Γ = 0.

Теорема 4. Пусть граф Γ является деревом. Тогда dim S(L) ≤ d - 1, где d - число

граничных вершин графа Γ.

Доказательство. При d = 2 доказываемое утверждение следует из следствия 4.

Пусть d ≥ 3 и a₁, a₂, . . . , a_d - все граничные вершины графа Γ. Предположив противное,

можно фиксировать линейно независимый набор {uⁱ(x)}di=1 функций из S(L). Рассмотрим

вершину a₁ ∈ ∂Γ. Поскольку d ≥ 3, то в силу леммы 5 вершина a₁ обязательно является

концевой вершиной некоторой цепочки Γ(a₁, b₁) (возможно, состоящей из одного ребра), про-

межуточные вершины которой имеют кратность два в исходном графе Γ, соединяющей a₁ с

некоторой вершиной b₁ ∈ J₃₊(Γ). Рассуждая как и в доказательстве следствия 4, линейными

комбинациями из функций {uⁱ(x)}di=1 можно построить d - 1 линейно независимых решений

{vⁱ(x)}d-1i=1, обращающихся в нуль на цепочке Γ(a₁, b₁).

Положим Γ₁ = Γ \ (Γ(a₁, b₁)

^⋃a₁). Очевидно, что ∂Γ₁ = {a₂,a₃,... ,a_d}, а все функции

vⁱ принадлежат S(LΓ1 ). Теперь можно рассмотреть вершину a₂ и повторить предыдущие

рассуждения. Продолжая этот процесс, мы придём к графу-цепочке Γd-1 ⊂ Γ, соединяющему

ad-1 с ad, и двум решениям w1,w2 ∈ S(LΓd-1). Из следствия 4 легко следует, что функции

w¹ и w² линейно зависимы, что противоречит сделанному выше предположению о линейной

независимости набора {uⁱ(x)}di=1. Теорема доказана.

Следующий пример показывает, что полученная оценка является точной.

Пример. Рассмотрим граф Γ, состоящий из трёх рёбер γ_i = (a_i, b), i ∈ {1, 2, 3}, с од-

ним общим концом b (внутренняя вершина графа). Предполагая, что ребра γ_i направлены в

сторону от граничных вершин a_i, мы рассмотрим спектральную краевую задачу на Γ:

u^IVi - λu_i = 0, x ∈ γ_i,

u ∈ C(Γ)

^⋂C⁴[Γ], u^′′i(b) = 0, u′′′1ν(b) + u′′′2ν(b) + u′′′3ν(b) = 0;

u(a_i) = u^′(a_i) = 0, a_i ∈ ∂Γ.

Пусть все три ребра графа имеют единичную длину. Используя метрическую функцию μ =

= μ(x), построим характеристический определитель краевой задачи:

√

Δ(λ) = 8(1 + cos⁴

λ ch⁴

λ) sin24

λsh24

λ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022

888

КУЛАЕВ, УРТАЕВА

Нули Δ(λ) являются собственными значениями краевой задачи. Мы имеем две последова-

тельности собственных значений:

(

)₄

λ(1)k = πk -π

+ o(k-1)

λ(2)k = (πk)⁴, k ∈ N.

Кратность каждого собственного значения λ(1)k равна единице, а каждое из λ(2)k имеет крат-

ность два.

Лемма 6. Пусть x₀ ∈ Γ и существует функция из S(L), не равная нулю в точке x₀.

Тогда размерность пространства решений из S(L), которые обращаются в нуль в точке x₀

равна dim S(L) - 1.

Доказательство леммы 6 следует из того факта, что множество {u ∈ S(L) : u(x₀) = 0}

является гиперплоскостью, порождаемой линейным функционалом l(u) = u(x₀) на конечно-

мерном пространстве S(L).

Лемма 7. Для любой вершины a ∈ J(Γ) размерность пространства решений из S(L),

которые обращаются в нуль на всех ребрах, примыкающих к a, не меньше dim S(L) - |I(a)|.

Доказательство. Содержательную часть утверждения леммы несет случай dim S(L) >

> |I(a)|. Обозначая m = dim S(L) и привлекая лемму 6, мы всегда можем выбрать m - 1

линейно независимых решений из S(L), каждое из которых равно нулю в вершине a. Далее,

переходя, как обычно, к линейным комбинациям, из этих функций можно построить m-|I(a)|

линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям (10), с последующим привлечени-

ем леммы 4. Для этого опять можно применить рассуждение из следствия 4. Лемма доказана.

Лемма 7 позволяет перенести основной результат работы [12, теорема 3], относящийся к

задаче Штурма-Лиувилля на сети, на краевую задачу четвёртого порядка (1). Прежде чем

сформулировать соответствующий результат, напомним некоторые определения из [12].

Пусть теперь Γ - произвольный граф. Вершину a ∈ J(Γ), лежащую на каком-либо цикле,

назовём разбивающей, если Γ \ a не связно. Пусть Γ_i(a) - одна из компонент связности мно-

жества Γ \ a. Множество Γ_i = Γ_i(a)

^⋃a является подграфом графа Γ, который также может

иметь циклы. Он также может разбиваться на связные компоненты некоторыми вершинами,

лежащими на его циклах. Во избежание недоразумений подчеркнём, что выбрасываются толь-

ко вершины, лежащие на циклах. После такого разбиения снова образуем подграфы типа Γ_i,

присоединяя к ним вершины, с помощью которых они разбивались. Продолжая этот процесс

и далее, мы получаем некоторое количество подграфов. Каждый из них является либо дере-

вом, либо связным объединением циклов, не допускающим дальнейшего разбиения описанного

выше типа. Такое объединение циклов назовём гнездом.

Обозначим через ζ(Γ) количество гнёзд графа, содержащих ровно по одной разбивающей

вершине, а через η(Γ) - цикломатическое число графа Γ.

Теорема 5. Кратность любого собственного значения краевой задачи (1) не превосходит

величины |∂Γ| + ζ(Γ) + η(Γ) - 1.

Доказательство теоремы 5 почти дословно повторяет доказательство соответствующего

результата из работы [12], поскольку для рассматриваемой задачи (1) лемма 7 обеспечивает

выполнение условий теоремы 3 из статьи [12].

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (соглашение 075-02-2022-890).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об одном классе дифференци-

альных уравнений четвёртого порядка на пространственной сети // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 6.

С. 730-732.

2. Кулаев Р.Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке // Изв. вузов. Математика. 2013.

№ 2. С. 56-66.

3. Кулаев Р.Ч. Неосцилляция уравнения четвертого порядка на графе // Мат. сб. 2015. Т. 206. № 12.

С. 79-118.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022

О КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

889

4. Покорный Ю.В., Мустафокулов Р. О положительности функции Грина линейных краевых задач

для уравнений четвёртого порядка на графе // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 75-82.

5. Borovskikh A.V., Lazarev K.P. Fourth-order differential equations on geometric graphs // J. of Math.

Sci. 2004. V. 119. № 6. P. 719-738.

6. Mercier D., Régnier V. Control of a network of Euler-Bernoulli beams // J. Math. Anal. Appl. 2008.

V. 342. № 2. P. 874-894.

7. Xu Gen Qi, Mastorakis N.E. Differential Equations on Metric Graph. Boston, 2010.

8. Lubary J.A. On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs // Lect.

Not. in Pure and Appl. Math. V. 219. New York, 2001. P. 135-146.

9. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Диф-

ференциальные уравнения на геометрических графах. М., 2007.

10. Kuchment P. Quantum graphs. I. Some basic structures // Waves in Random Media. 2004. V. 14. № 1.

P. 107-128.

11. Kuchment P. Quantum graphs. II. Some spectral properties of quantum and combinatouial graphs // J.

Phys. A. 2005. V. 38. № 22. P. 4887-4900.

12. Диаб А.Т., Калдыбекова Б.К., Пенкин О.М. О кратности собственных значений в задаче Штурма-

Лиувилля на графах // Мат. заметки. 2016. Т. 99. № 4. С. 489-501.

13. Кулаев Р.Ч. Необходимое и достаточное условия положительности функции Грина для уравнения

четвёртого порядка на графе // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 3. С. 302-316.

14. Кулаев Р.Ч. О свойстве неосцилляции уравнения на графе // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 1.

С. 85-97.

15. Кулаев Р.Ч. К вопросу о неосцилляции уравнения на графе // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50.

№ 11. С. 1563-1565.

16. Кулаев Р.Ч., Уртаева А.А. Теоремы Штурма о распределении нулей для уравнения четвёртого

порядка на графе // Мат. заметки. 2022. Т. 111. № 6. С. 947-952.

17. Kulaev R.Ch. The qualitative theory of fourth-order differential equations on a graph // Mediterr. J.

Math. 2022. V. 19. № 73. P. 1-15.

18. Timoshenko S.P., Young D.H., Weaver Jr.W. Vibration Problems in Engineering. Chichester, 1990.

19. Leighton W., Nehari Z. On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equations of the

fourth order // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. V. 89. P. 325-377.

20. Castro C., Zuazua E. Exact boundary controllability of two Euler-Bernoulli beams connected by a point

mass // Math. Comput. Model. 2000. V. 32. P. 955-969.

Южный математический институт -

Поступила в редакцию 14.03.2022 г.

филиал Владикавказского научного центра РАН,

После доработки 14.03.2022 г.

Северо-Осетинский государственный университет

Принята к публикации 25.05.2022 г.

имени К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№7

2022