ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 7, с.912-920
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.633.2
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2022 г. П. Н. Вабищевич
В конечномерном гильбертовом пространстве рассматривается задача Коши для эволюци-
онного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с памятью, подынтеграль-
ное выражение в котором представляет собой произведение разностного ядра и линейного
оператора от производной решения по времени. Основные трудности в нахождении при-
ближённого значения решения таких нелокальных задач в данный момент времени обу-
словлены необходимостью работы с приближёнными значениями решения для всех преды-
дущих моментов времени. Предложена трансформация рассматриваемого интегро-диффе-
ренциального уравнения к системе эволюционных слабо связанных между собой локаль-
ных уравнений. Она основывается на аппроксимации разностного ядра суммой экспонент.
Формулируется локальная задача для слабо связанной системы уравнений с дополнитель-
ными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для решения соответствующей
задачи Коши приведены оценки устойчивости решения по начальным данным и правой
части. Основное внимание уделяется построению и исследованию устойчивости трёхслой-
ных разностных схем и их вычислительной реализации.
DOI: 10.31857/S0374064122070044, EDN: CEFRSC
Введение. При математическом моделировании нестационарных процессов наиболее ча-
сто используются параболические и гиперболические уравнения второго порядка [1, гл. I; 2,
гл. 2]. В последнее время всё возрастающее внимание уделяется уравнениям, которые частич-
но наследуют свойства как параболических, так и гиперболических уравнений. Характерным
примером могут служить эволюционные интегро-дифференциальные уравнения [3, гл. 3; 4,
гл. 1]. Наиболее важной особенностью таких уравнений является их нелокальность: решение
в текущий момент времени зависит от всей предыстории процесса.
Мы выделяем два класса эволюционных интегро-дифференциальных уравнений с памя-
тью. Первый из них характеризуется нелокальностью решения, а второй - нелокальностью
производной решения по времени, т.е. когда подынтегральное выражение в уравнении зависит
только соответственно от решения или от производной решения по времени. Эти классы урав-
нений называются уравнениями с памятью решений и уравнениями с памятью производной
решения по времени соответственно. При рассмотрении динамических процессов вязкоупру-
гости [5, гл. I; 6, гл. 2] типичными являются эволюционные интегро-дифференциальные урав-
нения второго порядка с памятью производной решения по времени. Отметим также, что для
задач с разностным ядром мы имеем возможность перейти от одного из указанных классов
к другому при помощи введения другого разностного ядра. В силу этой возможности те же
уравнения вязкоупругости могут (см., например, [1, гл. I]) записываться как интегро-диффе-
ренциальные уравнения с памятью решения, а не с памятью производной решения по времени.
Приближённое решение краевых задач для уравнений с памятью проводится с использова-
нием стандартных конечно-элементных или конечно-объёмных аппроксимаций по пространст-
ву [7, гл. 3, 6; 8, гл. 3]. Мы приходим к задаче Коши для операторных уравнений с памятью в
соответствующем конечномерном гильбертовом пространстве. Основное внимание необходимо
уделить проблемам выбора аппроксимаций по времени. При численном решении задач для
эволюционных уравнений первого порядка с памятью решения естественно ориентировать-
ся [9, гл. 4] на использование тех или иных квадратур для интегрального члена и обычных
двухслойных аппроксимаций производной по времени. Такие исследования неявной схемы Эй-
лера и схемы Кранка-Николсон выполнены, например, в работах [10, 11]. Соответствующие
912
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
913
квадратурные формулы для интегрального члена используются и при рассмотрении интегро-
дифференциальных уравнений с памятью производной решения по времени.
Стандартные вычислительные алгоритмы приближённого решения задачи Коши для ин-
тегро-дифференциальных уравнений с памятью связаны с необходимостью работать со значе-
ниями решения для предшествующих моментов времени. Наиболее интересные возможности
уменьшения вычислительной работы представят подходы с переходом от нелокальной зада-
чи к локальной, тогда, в частности, требования к объёму используемой памяти существенно
уменьшаются.
Для интегральных уравнений Вольтерры хорошо известный (см., например, [12, гл. 6])
переход к более простым в плане вычислительной реализации задачам обеспечивается вы-
бором специальных аппроксимаций разностного ядра. Выделим как наиболее перспективную
аппроксимацию разностного ядра суммой экспонент. При такой аппроксимации мы приходим
к системе локальных слабо связанных между собой эволюционных уравнений. Возможности
данного подхода при приближённом решении задачи Коши для интегро-дифференциального
уравнения первого порядка с памятью решения рассмотрены в работе [13]. Подобное исследо-
вание для задач с памятью производной решения по времени выполнено в работе [14].
В настоящей работе в вещественном конечномерном гильбертовом пространстве рассмот-
рена задача Коши для эволюционного интегро-дифференциального уравнения Вольтерры вто-
рого порядка с памятью производной с положительно определённым самосопряжённым опе-
ратором. При аппроксимации разностного ядра суммой экспонент выполнена трансформация
нелокальной задачи для уравнения с памятью в локальную систему уравнений. Получены со-
ответствующие априорные оценки для решения задачи Коши, гарантирующие устойчивость
решения по начальным данным и правой части. Предложены и исследованы на устойчивость
трёхслойные разностные схемы для системы уравнений, которые имеют удобную вычисли-
тельную реализацию.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения
второго порядка с памятью производной решения в вещественном конечномерном гильберто-
вом пространстве H. Функция u(t) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
с разностным ядром
∫
t
d2u
du
du
+B
+ k(t - s)C
(s) ds + Au = f(t), t > 0,
(1)
dt2
dt
ds
0
и начальным условиям
du
u(0) = u0,
(0) = w0.
(2)
dt
Линейные постоянные (не зависящие от t) операторы A, B, C являются самосопряжёнными
и положительно определёнными, т.е.
A = A∗ ≥ νAI, νA > 0, B = B∗ ≥ νBI, νB > 0, C = C∗ ≥ νCI, νC > 0,
(3)
где I - единичный оператор в H. Будем использовать обычные обозначения ( · , · ) и ∥ · ∥ для
скалярного произведения и нормы в H. Для самосопряжённого положительно определённого
оператора D определим гильбертово пространство HD, задав в векторном пространстве H
скалярное произведение и норму (u, v)D = (Du, v) и ∥u∥D = (u, v)1/2D.
Как и при рассмотрении эволюционных уравнений первого порядка с памятью решения [10,
11, 13] и памятью производной решения [14], считаем, что ядро k(t) положительно определено.
В этом случае для всех T > 0 ядро k(t) принадлежит пространству L1(0, T ) и имеет место
неравенство
T
t
∫
∫
ψ(t) k(t - s)ψ(s) ds dt ≥ 0 для любой ψ ∈ C[0, T ].
(4)
0
0
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
914
ВАБИЩЕВИЧ
Отметим также [15] достаточное условие положительной определённости ядра k(t):
dk
d2k
k(t) ≥ 0,
(t) ≤ 0,
(t) ≥ 0, t > 0.
(5)
dt
dt2
В своем исследовании основное внимание мы уделяем получению системы локальных эво-
люционных уравнений, задача Коши для которой даёт приближённое решение задачи (1), (2).
При исследовании устойчивости разностных аппроксимаций по времени для нас ориентиром
является следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть операторы A, B, C удовлетворяют условиям (3) и k(t) - положи-
тельно определённое ядро. Тогда для решения задачи (1), (2) справедлива следующая оценка
устойчивости по начальным данным и правой части:
∫
t
du
2
1
t)
∥u(t)∥2A ≤ ∥w0∥2 + ∥u0∥2A +
∥f(s)∥2B-1 ds, t > 0.
(6)
+
dt (
2
0
Доказательство. Домножим уравнение (1) скалярно в H на du(t)/dt и с учётом поло-
жительной определённости операторов A, B, C придём к неравенству
(
) ∫ t
(
)
1 d
du
2
du
du
1
t)
∥u(t)∥2
+ k(t - s) C1/2
(s), C1/2
(t) ds ≤
∥f(t)∥2B-1 .
+
A
2 dt
dt (
ds
dt
4
0
Интегрируя его по (0, T ), получаем
(
)
1
du
2
du
2
T)
∥u(T )∥2A -
0)
∥u(0)∥2
+
+
-
A
2
dt (
dt (
∫T
∫
t
(
)
∫
T
du
du
1
+
k(t - s) C1/2
(s), C1/2
(t) ds dt ≤
∥f(t)∥2B-1 dt.
ds
dt
4
0
0
0
Принимая во внимание неравенство (4) и начальное условие (2), убеждаемся в справедливости
оценки (6). Теорема доказана.
Нелокальный член в уравнении (1) становится локальным в двух важных случаях: когда
ядро k(t) постоянно и когда ядро является δ-функцией. Мы можем выделить такие условия
отдельно, заменяя k(t) выражением
k(t) → γ1 + γ2δ(t) + k(t), γ1 > 0, γ2 > 0.
(7)
Это соответствует заменам
B → B + γ2C, A → A + γ1C, f(t) → f(t) + γ1Cu0
(8)
в уравнении (1). Таким образом, мы остаёмся в классе рассматриваемых задач (1)-(3).
2. Локальная система уравнений. В вычислительном плане наибольший интерес вызы-
вают подходы к построению приближённого решения нелокальной задачи (1), (2) с памятью
производной решения по времени с помощью решений некоторых локальных эволюционных
задач. Они могут строиться на основе аппроксимации ядра суммой экспонент.
Ядро k(t) аппроксимируется функциейk(t), которая имеет вид
∑
k(t) =
ai exp(-bit), t ≥ 0.
(9)
i=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
915
Будем считать, что для коэффициентов ai, bi, i = 1, 2, . . . , m, выполнены предположения
об их положительности:
ai > 0, bi > 0, i = 1,2,... ,m.
(10)
С учётом условий (5) при ограничениях (10) ядроk(t) положительно определено.
Приближённое решение задачи (1), (2) обозначим через v(t). Оно определяется как реше-
ние задачи Коши
∫
t
d2v
dv
+B
+
k(t - s)Cdv(s) ds + Av = f(t), t > 0,
(11)
dt2
dt
ds
0
dv
v(0) = u0,
(0) = w0.
(12)
dt
Для перехода от нелокальной задачи (11), (12) к локальной введём [12-14] функции
∫t
dv
vi(t) = exp(-bi(t - s))
(s) ds, i = 1, 2, . . . , m.
ds
0
С учётом представления (9) уравнение (11) записывается в виде
∑
d2v
dv
+B
+ aiCvi + Av = f(t).
(13)
dt2
dt
i=1
Для вспомогательных функций vi(t), i = 1, 2, . . . , m, имеем уравнения
dvi
dv
+bivi -
= 0, i = 1, 2, . . . , m.
(14)
dt
dt
Система уравнений (13), (14) дополняется начальными условиями
dv
v(0) = u0,
(0) = w0, vi(0) = 0, i = 1, 2, . . . , m.
(15)
dt
Уравнение (13) удобно записать в несколько другой форме. Подстановка
1 dv
1 dvi
vi =
-
,
i = 1,2,...,m,
bi dt
bi dt
в (13) даёт
)
∑
∑
d2v
ai
dv
ai
dvi
+ B+
C
-
C
+ Av = f(t).
(16)
dt2
bi
dt
bi
dt
i=1
i=1
Теорема 2. Пусть операторы A, B, C удовлетворяют условиям (3). Тогда для решения
задачи (14)-(16) при выполнении условия (10) справедлива следующая оценка устойчивости
по начальным данным и правой части:
∫
t
dv
2
∑
1
t)
∥v(t)∥2A +
ai∥vi(t)∥2C ≤ ∥w0∥2 + ∥u0∥2A +
∥f(s)∥2B-1 ds, t > 0.
(17)
+
dt(
2
i=1
0
Доказательство. Домножим уравнение (16) на dv(t)/dt, а отдельное уравнение (14) для
i = 1,2,... ,m на aib-1iCdvi(t)/dt. Это даёт равенства
(
(
(
) (
)
dv2
dv
2
∑
∑
1 d
ai
dv
dv
ai
dvi
dv
dv
+
t)
∥v∥2
+
C
,
-
C
,
= f,
,
+
A
dt
2 dt
dt(
bi
dt
dt
bi
dt
dt
dt
B
i=1
i=1
(
)
(
)
ai
dvi
dvi
ai
dv
dvi
1 d
C
,
-
C
,
+ai
∥vi∥2C = 0, i = 1, 2, . . . , m.
bi
dt
dt
bi
dt
dt
2 dt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
4∗
916
ВАБИЩЕВИЧ
Складывая их, получаем
(
(
)
dv2
dv
2
∑
∑
dv
2
1 d
ai
dvi
dv
+
t)
∥v∥2A + ai∥vi∥2
+
= f,
,
+
C
dt
2 dt
dt(
bi dt-
dt
dt
B
i=1
i=1
C
откуда вытекает неравенство
(
)
dv
2
∑
d
1
t)
∥v∥2A + ai∥vi∥2
≤
∥f(t)∥2B-1
+
C
dt
dt(
2
i=1
и доказываемая оценка (17). Теорема доказана.
Нам удобно записать систему (14), (16) в форме одного векторного эволюционного урав-
нения второго порядка. Определим векторы v = {v, v1, . . . , vm} и f = {f, 0, . . . , 0} и запишем
задачу (14)-(16) в следующем виде:
d2v
dv
C
+B
+ Av = f,
(18)
dt2
dt
dv
v(0) = v0, C
(0) = w0,
(19)
dt
где v0 = {u0, 0, . . . , 0} и w0 = {w0, 0, . . . , 0}, а операторные матрицы C, B и A имеют
представления
C = diag(I,0,...,0), A = diag(A,a1C,...,amC),
⎛
⎞
∑
ai
a1
⎜B+
C
-
C
···
-
am C⎟
⎜
bi
b1
bm
⎟
⎜
i=1
⎟
⎜
⎟
a1
⎜
⎟
B=
−
C
a1 C
···
0
(20)
⎜
⎟
⎜
b1
b1
⎟
⎜
···
···
···
···
⎟
⎝
⎠
am
−
C
0
···
am C
bm
bm
Задачу Коши (18), (19) мы рассматриваем на прямой сумме пространств H =H
⊕...⊕H,
на которой скалярное произведение и норма определяются выражениями
∑
(v, w) = (v, w) + (vi, wi),
∥v∥ = (v, v)1/2,
i=1
где v, w ∈ H. Принимая во внимание условия (3) и (10), получаем
C = C∗ ≥ 0, B = B∗ ≥ 0, A = A∗ > 0.
(21)
Для доказательства оценки (17) домножим скалярно в H уравнение (18) на dv/dt. С
учётом условий (21) и того, что C2 = C, это даёт соотношение
(
)
(
) (
)
dv
dv
1 d
dv2
dv
B
,
+
∥v∥2
= f,
C
+
A
dt
dt
2 dt
dt
dt
Принимая во внимание неравенства
(
) (
) (
) (
)
dv
dv
dv
dv
dv
dv
dv
1
B
,
≥ B
,
,
f,
≤ B
,
+
(B-1f, f),
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
917
имеем
∫
t
dv
2
1
(t)
∥v(t)∥2A ≤ ∥Cw0∥2 + ∥v0∥2A +
∥f(s)∥B-1 ds.
(22)
C
+
dt
2
0
В нашем случае
2
dv
2
∑
dv
(t)
=
t)
∥v(t)∥2A = ∥v(t)∥2A +
ai∥vi(t)∥2C,
C
,
dt
dt(
i=1
∥Cw0∥2 = ∥w0∥2,
∥v0∥2A = ∥u0∥2A,
поэтому из неравенства (22) вытекает оценка (17).
Вместо аппроксимации (9) может рассматриваться несколько более общий случай, как
следует из (7),
∑
k(t) = γ1 + γ2δ(t) +
ai exp(-bit), t ≥ 0.
i=1
Переход к рассмотренному случаю обеспечивается согласно (8).
3. Аппроксимация по времени. При приближённом решении задачи Коши (18), (19)
будем ориентироваться на безусловно устойчивые разностные схемы. Используем равномер-
ную сетку по времени с шагом τ и пусть yn = y(tn), tn = nτ, n = 0, 1, . . . Трёхслойная
разностная схема с весом σ = const > 0 имеет вид
n-1
yn+1 - 2yn + y
yn+1 - yn-1
C
+B
+ Ayn+σ = fn, n = 1, 2, . . . ,
(23)
τ2
2τ
y0 = v0, y1 = v1
(24)
при использовании обозначений
yn+σ = σyn+1 + (1 - 2σ)yn + σyn-1, yn = {yn,yn1,... ,ynm}.
Для правой части и начального условия имеем
fn = {fn,0,... ,0}, v0 = {u0,0,... ,0}.
В схеме (23), (24) второе начальное условие (24) должно быть предварительно рассчитано.
Для сохранения второго порядка на решениях задачи (14)-(16) положим, например,
y1i - y0i
y1i + y0i
y1 - y0
+bi
-
= 0, i = 1, 2, . . . , m,
τ
2
τ
)
∑
∑
0
y1 - y0
τ
(f1 +f0
ai
)y1 -y0
ai
y1i - y
y1 - y0
i
=w0 +
- B+
C
+
C
-A
τ
2
2
bi
τ
bi
τ
2
i=1
i=1
Разностная схема (23), (24) аппроксимирует задачу (18), (19) со вторым порядком по τ при
достаточной гладкости решения v(t). При изучении устойчивости рассматриваемых трёхслой-
ных разностных схем используем результаты теории устойчивости (корректности) операторно-
разностных схем [16, гл. 6; 17, гл. 4].
Теорема 3. Трёхслойная разностная схема (3), (20), (23), (24) является безусловно
устойчивой при σ ≥ 0.25. При этих ограничениях априорная оценка для приближённого
решения задачи (18), (19) имеет вид
(
)
yn+1-yn
2
1
yn+1-yn
2
yn+1+yn
2
σ-
τ2
+
≤
+
τ
4
τ
2
A
A
(
)
v1-v0
2
1
v1-v0
2
v1+v0
2
1
∑
≤
σ-
τ2
+
+
τ ∥fk∥2B-1 , n = 1, 2, . . .
(25)
+
τ
4
τ
2
2
A
A
k=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
918
ВАБИЩЕВИЧ
Доказательство. С учётом тождества
1
1
yn =
(yn+1 + 2yn + yn-1) -
(yn+1 - 2yn + yn-1)
4
4
запишем схему (23) в виде
( (
)
1
)yn+1 - 2yn + yn-1
yn+1 - yn-1
yn+1 + 2yn + yn-1
C+ σ-
τ2A
+B
+A
=fn.
(26)
4
τ2
2τ
4
При использовании новых переменных
n-1
1
yn - y
zn =
(yn + yn-1), wn =
(27)
2
τ
из (26) следует равенство
( (
)
1
)wn+1 -wn
wn+1 + wn
zn+1 + zn
C+ σ-
τ2A
+B
+A
=fn,
4
τ
2
2
умножая которое на
2(zn+1 - zn) = τ(wn+1 + wn),
получаем
(( (
)
)
)
(( (
)
)
)
1
1
C+ σ-
τ2A wn+1,wn+1
- C+ σ-
τ2A wn,wn
+
4
4
τ
+
(B(wn+1 + wn), wn+1 + wn) + ∥zn+1∥2A - ∥zn∥2A = τ(fn, (wn+1 + wn)).
(28)
2
Так как
(Cwn+1, wn+1) = ∥wn+1∥2,
(B(wn+1 + wn), wn+1 + wn) ≥ (B(wn+1 + wn), wn+1 + wn),
1
1
(fn, (wn+1 + wn)) ≤
(B(wn+1 + wn), wn+1 + wn) +
(B-1fn, fn),
2
2
то из (28) следует оценка
(
)
1
1
∥wn+1∥2 - ∥wn∥2 + σ -
τ2(∥wn+1∥2A - ∥wn∥2A) + ∥zn+1∥2A - ∥zn∥2A ≤
τ ∥fn∥2B-1 .
4
2
С учётом введённых обозначений (27) это неравенство приводит нас к оценке (25). Теорема
доказана.
Запишем рассматриваемую трёхслойную векторную схему с весами (23), (24) для отдель-
ных компонент. В наиболее интересном случае σ = 0.25 для приближённого решения задачи
(14)-(16) имеем
∑
yn+1 - 2yn + yn-1
ai
)yn+1 -yn-1
+ B+
C
-
τ2
bi
2τ
i=1
∑
ai
yn+1i - yn-1i
yn+1 + 2yn + yn-1
-
C
+A
=fn,
(29)
bi
2τ
4
i=1
yn+1i - yn-1i
yn+1i + 2yni + yn-1i
yn+1 - yn-1
+bi
-
= 0, i = 1, 2, . . . , m, n = 1, 2, . . . ,
(30)
2τ
4
2τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
919
при заданных начальных условиях
y0 = u0, y1 = v1, y0i = 0, y1i =
vi1, i = 1,2,... ,m.
(31)
Для решения задачи (29)-(31) из априорной оценки (25) следует
yn+1-yn
2
yn+1+yn
2
∑
2
yn+1i + yni
+
ai
≤
+
τ
2
2
A i=1
C
v1-v0
2
v1+v0
2
∑
∑
1
1
≤
+
ai∥v1i∥2C +
τ ∥fn∥2B-1 , n = 1, 2, . . .
(32)
+
τ
2
2
2
A
i=1
k=1
Оценка (32) является разностным аналогом оценки (17) для решения дифференциальной за-
дачи (14)-(16).
Отдельного внимания при решении нелокальных задач заслуживает проблема вычисли-
тельной реализации. В случае (30) имеем равенства
1
yn+1i =
yn+1 + χni,
1 + 0.5biτ
1
χni =
(yn-1i - yn-1 - 0.5biτ(2yni + yn-1i)), i = 1, 2, . . . , m.
(33)
1 + 0.5biτ
Их подстановка в (29) даёт для нахождения yn+1 уравнение
(
)
2
τ
I+B+
(μC + A) yn+1 = χn.
(34)
τ
2
Для коэффициента μ и правой части имеем
∑
ai
μ=
,
1 + 0.5biτ
i=1
∑
2
ai
τ
χn = 2τfn +
(2yn - yn-1) + Byn-1 +
C(yn-1 - yn-1i + χni) -
A(2yn + yn-1).
τ
bi
2
i=1
Тем самым переход на новый n + 1 слой по времени обеспечивается решением стандартной
задачи (34) для yn+1 и расчётом вспомогательных величин yn+1i, i = 1, 2, . . . , m, согласно
равенствам (33). Вычислительная сложность приближённого решения рассматриваемой нело-
кальной задачи (1), (2), (5) не намного выше, чем при решении локальной задачи. Необходимо
дополнительно оперировать с решениями m простых вспомогательных локальных эволюци-
онных задач при явных вычислениях их решения на новом слое по времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dautray R., Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology.
V. 1. Berlin, 2000.
2. Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence, 2010.
3. Gripenberg G., Londen S.-O., Staffans O. Volterra Integral and Functional Equations. Cambridge, 1990.
4. Prüss J. Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel, 1993.
5. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity: an Introduction. New York, 1982.
6. Marques S.P., Creus G.J. Computational Viscoelasticity. Berlin, 2012.
7. Knabner P., Angermann L. Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations.
New York, 2003.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
920
ВАБИЩЕВИЧ
8. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin, 1994.
9. Chen C., Shih T. Finite Element Methods for Integrodifferential Equations. Singapore, 1998.
10. McLean W., Thomee V. Numerical solution of an evolution equation with a positive-type memory term
// The ANZIAM J. 1993. V. 35. № 1. P. 23-70.
11. McLean W., Thomee V., Wahlbin L. B. Discretization with variable time steps of an evolution equation
with a positive-type memory term // J. of Comput. and Appl. Math. 1996. V. 69. № 1. P. 49-69.
12. Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. Philadelphia, 1985.
13. Vabishchevich P.N. Numerical solution of the Cauchy problem for Volterra integrodifferential equations
with difference kernels // Appl. Numer. Math. 2022. V. 174. P. 177-190.
14. Vabishchevich P.N. Approximate solution of the Cauchy problem for a first-order integrodifferential
equation with solution derivative memory // arXiv. 2021. № 2111.05121. P. 1-13.
15. Halanay A. On the asymptotic behavior of the solutions of an integro-differential equation // J. of Math.
Anal. and Appl. 1965. V. 10. № 2. P. 319-324.
16. Samarskii A.A. The Theory of Difference Schemes. New York, 2001.
17. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference Schemes with Operator Factors. Dordrecht,
2002.
Институт проблем безопасного развития
Поступила в редакцию 10.01.2022 г.
атомной энергетики РАН, г. Москва,
После доработки 10.01.2022 г.
Северо-Кавказский центр математических исследований,
Принята к публикации 25.05.2022 г.
Северо-Кавказский федеральный университет,
г. Ставрополь
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№7
2022
