ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1020-1031

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.42

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ

ЦЕНТРА В МОНОДРОМНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ

ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЛЬЕНАРА

Рассматривается проблема различения центра и фокуса для полиномиальной системы Лье-

нара (полиномиального векторного поля (y-F (x))∂/∂x-g(x)∂/∂y) в монодромной особой

точке (0, 0). Получено описание полуалгебраического множества центров в пространстве

∫_x

коэффициентов полиномов (F (x) =

f (τ) dτ, G(x) =

g(τ) dτ), основанное на исклю-

чении параметров A, B, C из условия композиции F = B(A), G = C(A).

DOI: 10.31857/S0374064122080027, EDN: CETWWV

Введение. Проблема различения центра и фокуса для монодромной особой точки веще-

ственного векторного поля на плоскости занимает важное место в качественной теории диф-

ференциальных уравнений (см. монографии [1-5]). Для полиномиального векторного поля в

случае невырожденной особой точки условия существования центра сводятся к вычислению

фокусных величин Пуанкаре-Ляпунова [1, гл. 2; 2, гл. 1; 4, гл. 3]. Привлечение методов ком-

пьютерной алгебры дало новый импульс для реализации таких вычислений. Однако задача

оценки достаточного числа фокусных величин остаётся в общем случае открытой.

Альтернативой вычислению фокусных величин является предложенный И.С. Куклесом

подход обобщённой симметрии [6] (см. также [2, гл. 1; 4, гл. 3]). Для рациональных и поли-

номиальных векторных полей Льенара этот подход связывает проблему центра и фокуса с

разрешимостью специальных функциональных уравнений [6-17]. В частности, известно сле-

дующее параметрическое представление центров (см. [4, гл. 3; 8; 11]):

F = B(A), G = C(A)

(1)

в пространстве пар полиномов (F, G). Здесь параметры A, B, C - вещественные полино-

мы, при этом нижняя степень k^′ полинома A - чётное число. Данный результат доказан

Л.А. Черкасом в работе [8] в случае невырожденной особой точки (0, 0) при k^′ = 2 и К. Кри-

стофером [11] в общем случае монодромной особой точки.

В дальнейшем соотношения вида (1), называемые в зависимости от контекста условием

композиции или гипотезой композиции, оказались востребованными в теории центра для

дифференциальных уравнений Абеля. Обзор и новые направления исследований проблемы

центра и фокуса для различных классов уравнений Абеля представлены в работах [18, 19].

В статье [20] установлена связь гипотезы композиции с инфинитезимальной проблемой цен-

тра на нулевых циклах.

В настоящей работе представление (1) рассматривается в пространстве коэффициентов по-

линомов F, G и ставится задача исключения неизвестных полиномов A, B, C из системы

уравнений (1). Предложен алгоритм исключения, основанный на рекурсии, обнаруженной в

структуре вхождения коэффициентов полиномов A, B, C в систему (1). В результате полу-

чена система полиномиальных уравнений и неравенств, характеризующая вместе с условиями

монодромности особой точки (0, 0) полуалгебраическое множество центров в пространстве

коэффициентов полиномов F и G.

В п. 1 собраны известные [6-11] утверждения о необходимых и достаточных условиях су-

ществования центра для полиномиальной системы Льенара. Одним из таких утверждений

является уже упомянутый результат о параметрическом представлении пары (F, G).

1020

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1021

В п. 2 уточняется постановка задачи описания множества центров в пространстве пар

(F, G). Для фиксированных верхних n, m и нижних n^′, m^′ степеней полиномов F, G опре-

деляется конечное множество P (n, n^′, m, m^′) = {(k, k^′)} допустимых в силу (1) пар степеней

полиномов A. Если для монодромной особой точки множество P (n, n^′, m, m^′) - пустое, то осо-

бая точка является фокусом. Пара (k, k^′) из непустого множества P (n, n^′, m, m^′) называется

числовой характеристикой центров в пространстве пар (F, G), имеющих представление (1).

Таким образом, проблема различения центра и фокуса сводится к задаче описания центров с

числовыми характеристиками (k, k^′) из множества P (n, n^′, m, m^′).

Редукция системы (1) с заданной числовой характеристикой (k, k^′) к системе полиноми-

альных уравнений и неравенств для коэффициентов полиномов F, G представлена в п. 3.

Основной результат статьи, критерий существования центра в монодромной особой точ-

ке (0, 0) и описание полуалгебраического множества центров в пространстве коэффициентов

полиномов F, G приводятся в п. 4.

Вывод условий монодромности особой точки (0, 0) системы Льенара с использованием ре-

зультатов А.М. Ляпунова представлен в приложении 1. В приложении 2 даётся доказательство

результатов п. 1 об условиях центра полиномиальной системы Льенара.

1. Предварительные сведения. Рассмотрим проблему различения центра и фокуса для

системы Льенара

x(t) = y - F (x),

y(t) = -g(x), t ∈ R, x, y ∈ R,

(2)

где F (x),

g(x) - вещественные полиномы,

F (x) = f_nxⁿ + . . . + f_n′ xn′

(1 ≤ n^′ ≤ n),

(3)

∫x

G(x) =

g(τ) dτ = g_mx^m + . . . + g_m′ xm′

(2 ≤ m^′ ≤ m).

(4)

Отметим, что если n = n^′, то F (x) = f_nxⁿ = f_n′ xn′ . Степени полинома F определим,

положив, что если F = 0, то f_n = 0, f_n′ = 0, где n - верхняя степень, n^′ - нижняя степень

F. Если же F = 0, то считаем, что n^′ = ∞.

Поскольку наличие центра или фокуса в особой точке (0, 0) является локальным свой-

ством, то система (2)-(4) рассматривается в некоторой окрестности точки (0, 0). Согласно [11,

21] начало координат (0, 0) будет особой точкой типа центр либо фокус тогда и только тогда,

когда выполняются условия монодромности

′

m^′ ∈ 2Z⁺, n^′ ≥

8g_m′ > f2m′/2.

(5)

Здесь 2Z⁺ = {2, 4, . . .} - множество чётных положительных чисел.

Отметим, что определение нижней степени нулевого полинома F = 0 согласуется как с

асимптотическим при n^′ → ∞ поведением полинома в окрестности нуля, так и с неравенством

n^′ ≥ m^′/2 в (5).

Если выполняется строгое неравенство n^′ > m^′/2, то f_m′/2 = 0, и тогда последнее нера-

венство в (5) приобретает вид g_m′ > 0. В приложении 1 приводится вывод условий (5) из

результатов А.М. Ляпунова [22, с. 440] о принадлежности особой точки ко второй группе осо-

бых точек.

В случае m^′ = 2 центр в особой точке (0, 0) называется невырожденным, в случае m^′ > 2 -

вырожденным. Следующая теорема 1 является основной в теории центра и фокуса для по-

линомиальной системы Льенара. Для невырожденного центра она вытекает из результатов

Л.А. Черкаса [7, 8] и К. Кристофера [11]. В общем случае монодромной особой точки теоре-

ма доказана (за исключением утверждения (iii)) в работе [11]. Утверждение (iii) вытекает из

результатов статей [9, 10].

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5) монодромности особой точки (0, 0) системы

Льенара (2)-(4). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1022

БОРУХОВ

(i) особая точка (0,0) является центром;

(ii) в окрестности точки u = 0 справедливо равенство

F (x(u)) = F (x(-u)),

(6)

где x(u) - функция, обратная к функции

u(x) = sign (x)(m^′G(x))1/m′ ;

(iii) полиномы F, G связаны равенством

F (x) = Φ(G2/m′ (x)), Φ(0) = 0,

где Φ(z) - аналитическая в окрестности точки z = 0 функция;

(iv) в окрестности точки x = 0 система уравнений

F (x) = F (z), G(x) = G(z)

(7)

имеет единственное вещественное аналитическое решение z = z(x), удовлетворяющее усло-

виям z(0) = 0,

Ż(0) = -1;

(v) полиномы F, G допускают представление (1), где A, B, C - вещественные поли-

номы, и нижняя степень полинома A является чётным числом.

Общий случай монодромной точки кратко изложен в работе [11]. Полное доказательство

теоремы 1 приводится в приложении 2. Отметим также, что в работах [4, гл. 3; 9; 11] система

уравнений (7) используется для доказательства алгебраических условий центра в терминах

теории результантов.

2. Постановка задачи. Будем рассматривать параметрическое представление (1) поли-

номов F, G как систему уравнений относительно неизвестных полиномов

A(x) = a_kx^k + . . . + a_k′ xk′ , B(x) = b_lx^l + . . . + b_l′ xl′ , C(x) = c_sx^s + . . . + c_s′ xs′ ,

(8)

где k ≥ k^′, l ≥ l^′, s ≥ s^′.

Нетрудно заметить, что равенства (1) эквивалентны равенствам

F = B_d(dA), G = G_d(dA),

где d ∈ R, d = 0, B_d(x) = B(d-1x), C_d(x) = C(d-1x). Отсюда следует, что полином A

допускает нормировки вида a_k′ = 1 и a_k = 1. Традиционно в литературе используется нор-

мировка a_k′ = 1. Однако, как следует далее из теоремы 2, принципиальное значение имеет

нормировка a_k = 1, поскольку именно её применение позволяет получить явный критерий

центра.

Из утверждения (v) теоремы 1 следует важное теоретико-числовое свойство композиции (1).

Следствие 1. Если особая точка (0, 0) - центр системы (2)-(4), то степени полиномов

F, G допускают мультипликативное представление

n = kl, n^′ = k^′l^′, m = ks, m^′ = k^′s^′,

где степени k, k^′ полинома A удовлетворяют условиям

′

m^′

k^′ ∈ 2Z⁺, k ≥ k^′, k | (n,m), k^′ | (n^′,m^′),

≥

(9)

k^′

Здесь условие k | (n, m) означает, что k > 1 и k является делителем n и m. В частности,

k^′∞ = ∞, поэтому если n^′ = ∞, то k^′ - делитель n^′.

Отметим, что неравенства n/k ≥ n^′/k^′, m/k ≥ m^′/k^′ равносильны неравенствам l ≥ l^′,

s≥s^′.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1023

Определение. Пару (k,k^′) натуральных чисел, удовлетворяющих условиям (9), назовём

числовой характеристикой центров, определяемых условием композиции (1).

Рассмотрим множество P (n, n^′, m, m^′) = {(k, k^′)} допустимых согласно (3)-(5), (9) число-

вых характеристик центров. Для заданных степеней n, n^′, m, m^′ множество P (n, n^′, m, m^′)

является конечным и непустым, если существует система (2)-(4), для которой особая точка

является центром. Отсюда следует

Утверждение 1. Если степени полиномов F, G таковы, что P (n, n^′, m, m^′) - пустое

множество, то монодромная особая точка (0,0) системы Льенара (2)-(4) является фо-

кусом.

Так, например, если m и n - взаимно простые числа либо число n^′ - нечётное, то мно-

жество P (n, n^′, m, m^′) - пустое. Особая монодромная точка (0, 0) в этом случае является фо-

кусом. Ещё один пример фокуса в монодромной особой точке (0,0) - нарушение, по крайней

мере, одного из неравенств n/k ≥ n^′/k^′, m/k ≥ m^′/k^′ для любой пары (k, k^′) из множества

P₀(n,n^′,m,m^′) = {(k,k^′) : k ∈ 2Z, k ≥ k^′, k | (n,m), k^′ | (n^′,m^′)}. Пусть, например, m -

простое число, n = ml, n^′ = 2l^′, m^′ = 2. Тогда если l < l^′ и выполняется вытекающее из тре-

бования n ≥ n^′ неравенство ml ≥ 2l^′, то P₀(n, n^′, m, m^′) = {k = m, k^′ = 2} и P (n, n^′, m, m^′) -

пустое множество. Следовательно, особая точка (0, 0) системы Льенара (1)-(3) с параметра-

ми g₂ > 0, n = ml, n^′ = 2l^′, m ∈ {3, 5, 7, . . .}, l < l^′, m^′ = 2, ml ≥ 2l^′ является фокусом.

Приведём для случая m^′ = 2, g₂ > 0 конкретные примеры фокусов:

1) m = 3, n = 6, n^′ ∈ {3, 5, 6};

2) m = 3, n = 9, n^′ ∈ {3, 5, 7};

3) m = 5, n = 10, n^′ ∈ {3, 5, 6, 7, 8, 9};

4) m = 7, n = 14, n^′ ∈ {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

Таким образом, проблема различения центра и фокуса для полиномиальной системы Лье-

нара сводится к задаче описания центров с числовыми характеристиками из конечного непу-

стого множества P (n, n^′, m, m^′).

3. Исключение параметров A, B, C. Введём векторные обозначения для коэффи-

циентов полиномов A, B, C, F, G (см. (8), (4), (3)):

a = (a_k,ak-1,... ,a_k′), b = (b_l,bl-1,...,b_l′), c = (c_s,cs-1,... ,c_s′),

f = (f_n,fn-1,... ,f_n′), g = (g_m,gm-1,...,g_m′).

Пары (n, n^′), (m, m^′), (k, k^′), (l, l^′), (s, s^′) удовлетворяют условиям (9), следовательно,

полиномы B(A), C(A) можно записать в виде

B(A) = ϕ^Bkl(a, b)x^kl + . . . + ϕ^Bk′_l′ (a, b)xk′l^′ ,

C(A) = ϕ^Cks(a, c)x^ks + . . . + ϕ^Ck′_s′ (a, c)xk′s^′ ,

где ϕ^Bi (a, b) (i ∈ {kl, . . . k^′l^′}), ϕ^Ci (a, c) (i ∈ {ks, . . . k^′s^′}) - полиномы от коэффициентов

полиномов A, B и A, C соответственно.

Полином A^j также запишем в виде

A^j = a_j,kj(a)x^kj + ... + a_j,k′_j(a)xk′j, j ∈ {1,2,... ,l}.

Его коэффициенты определяются по формуле

∑

a_j,q(a) =

′

(10)

−1

···a

α_k!αk-1!... α_k′!

(α_k ,αk-1,...,αk′ )∈L(j,q)

где q ∈ {kj, kj - 1, . . . , k^′j},

{

}

∑

L(j, q) = (α_k, . . . , α_k′ ) : α_i ∈ {0, 1, . . .},

α_k-i = j,

(k - i)α_k-i = q

0! = 1! = 1.

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1024

БОРУХОВ

Формула (10) следует из правила умножения полиномов. При этом для приведения подоб-

ных одночленов следует воспользоваться известной формулой

(

)(

)

(

)

j-α_k

j-α_k -...-α_k′₊₁

×...×

α_k

αk-1

α_k′

α_k!··· α_k′!

выражающей полиномиальные коэффициенты через биномиальные. Нам понадобятся коэф-

фициенты

a_j,kj(a), aj,kj-1(a), ... , aj,kj-(k-k′₎(a).

(11)

Вычислим первые четыре коэффициента из множества (11):

a_j,kj(a) = a^jk, aj,kj-1(a) =

aj-1kak-1 = jaj-1kak-1,

(j - 1)!1!

aj,kj-2(a) =

aj-1kak-2 +

aj-2ka2k-1 = jaj-1kak-2 +j(j-1)aj-2kak-1 =

(j - 1)!1!

(j - 2)!2!

= jaj-1kak-2 + ãj,kj-2(a_k,ak-1),

aj,kj-3(a) = jj-1kak-3 + j(j - 1)aj-2kak-1ak-2 +j(j-1)(j-2)aj-3ka3k-1 =

= jaj-1kak-3 + ãj,kj-3(a_k,ak-1,ak-2).

Далее по индукции имеем

aj,kj-(k-k′₎(a) = jaj-1ka_k′ + ãj,kj-(k-k′₎(a_k,... ,a_k′₊₁).

Положив a_k = 1, получим

Утверждение 2. Пусть a_k = 1, тогда справедливы равенства

a_j,kj(a) = 1, aj,kj-1(a) = jak-1, aj,kj-2(a) = jak-2 + ãj,kj-2(1,ak-1),

aj,kj-3(a) = jak-3 + ãj,kj-3(1,ak-1,ak-2),

...,

aj,kj-(k-k′₎(a) = ja_k′ + ãj,kj-(k-k′₎(1,ak-1,... ,a_k′₊₁).

В следующих двух леммах указаны коэффициенты полиномов B(A), C(A), определяю-

щие рекурсивную структуру системы уравнений (1).

Лемма 1. Пусть a_k = 1, тогда справедливы равенства:

1) ϕ^Bkl(a, b) = b_l, ϕBkl-1(a, b) = lb_lak-1, ϕ^Bkl-i(a, b) = lb_la_k-i +

ϕBkl-i(b_l, ak-1, . . . , ak-i+1) для

любого i ∈ {2, . . . , k - k^′};

2) ϕBk(l-j)(a, b) = b_l-j +

ϕBk(l-j)(b_l, . . . , bl-j+1, a) для любого j ∈ {1, . . . , l - l^′}.

Доказательство. Поскольку k^′ ≥ 2, то kl - (k - k^′) = k(l - 1) + k^′ > k(l - 1). Отсюда

и из равенства B(A) = b_lA^l + bl-1Al-1 + . . . + b_l′ Al′ вытекает, что ϕ^Bkl-i(a, b) = b_la_l,kl-i(a)

для любого i ∈ {0, 1, . . . , k - k^′}. Таким образом, первая серия равенств в лемме 1 следует из

утверждения 2 при j = l. Далее,

ϕBk(l-j)(a, b) = b_l-jal-j,k(l-j)(a) + bl-j+1al-j+1,k(l-j)(a) + . . . + b_lal,k(l-j)(a),

(12)

где bl-j+i = 0 при i > j. Последовательно полагая в (12) j = 1, l - l^′ с учётом утверждения 2,

получаем вторую серию равенств леммы 1. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть a_k = 1, тогда справедливы равенства:

1) ϕ^Cks(a, c) = c_s, ϕCks-1(a, c) = sc_sak-1, ϕ^Cks-i(a, c) = sc_sa_k-i +

ϕCks-i(c_s, ak-1, . . . , ak-i+1)

для любого i ∈ {2, . . . , k - k^′};

2) ϕCk(s-j)(a, c) = c_s-j +

ϕCk(s-j)(c_s, . . . , cs-j+1, a) для любого j ∈ {1, . . . , s - s^′}.

Доказательство. Лемма 2 - следствие леммы 1 в силу формальной замены b на c.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1025

Приступим к решению системы уравнений (1). Для заданной числовой характеристики

центра (k, k^′) ∈ P (n, n^′, m, m^′) система (1) эквивалентна полиномиальной системе уравнений

ϕBkl-i(a, b) = f_n-i для любых i ∈ {0, 1, . . . , n - n^′},

(13)

ϕCks-i(a, c) = g_m-i для любых i ∈ {0, 1, . . . , m - m^′}

(14)

относительно искомых векторов a, b, c. Напомним, что l = n/k. Применив первую серию

равенств леммы 1 к системе (13), получим равенство b_l = f_n и в предположении, что f_n = 0,

равенства

a_k = 1, ak-1 =

fn-1,

nf_n

kf_n-i

a_k-i =

ϕBkl-i(f_n, a_k, ak-1, . . . , ak-i+1) для всех i ∈ {2, . . . , k - k^′}.

(15)

nf_n

f_n

В векторных обозначениях имеем

a = α_F(f),

(16)

где компоненты вектора α_F (f) последовательно определяются рекурсией (15).

Применив вторую серию равенств леммы 1 к (13), получим

b_l = f_n, b_l-j = f_n-kj -

ϕBk(l-j)(b_l, . . . , bl-j+1, a) для каждого j ∈ {1, . . . , l - l^′},

(17)

или в векторной форме

b = β_F(f),

(18)

где компоненты вектора β_F (f) последовательно определяются рекурсией (17).

Подставив векторы (16), (17) в ещё неиспользованные уравнения системы (13), получим

условия её разрешимости:

ϕBkl-i(α_F (f), β_F (f)) = f_n-i,

(19)

где i ∈ {k - k^′ + 1, . . . , n - n^′}\{k, 2k, . . . , kl^′}.

Точно также с помощью леммы 2 получим условия разрешимости системы (14):

ϕCks-i(α_G(g), β_G(g)) = g_m-i для любого i ∈ {k - k^′ + 1, . . . , m - m^′}\{k, 2k, . . . , ks^′},

(20)

где вектор

a = α_G(g)

(21)

задаётся рекурсией

a_k = 1, ak-1 =

gm-1,

mg_m

a_k-i =

g_m-i -

ϕCkl-i(g_m, a_k, ak-1, . . . , ak-i+1) для любых i ∈ {2, . . . , k - k^′},

mg_m

g_m

а вектор

c = β_G(g)

(22)

– рекурсией

c_s = g_m, c_s-j = g_m-kj -

ϕCk(s-j)(c_s, . . . , cs-j+1, a) для всех j ∈ {1, . . . , s - s^′}.

Осталось заметить, что для разрешимости совместной системы уравнений (13), (14) усло-

вия (19), (20) следует дополнить условием

α_F (f) = α_G(g)

(23)

совместимости уравнений (13), (14).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1026

БОРУХОВ

Отдельно рассмотрим случай f_n = 0. Согласно определению степеней полинома F, из

равенства f_n = 0 следует равенство F = 0. Поскольку множество решений уравнения 0 =

= B(A) имеет вид B = 0, A(x) = x^k + ak-1xk-1 + ... , где ak-1, ak-2, ... - произвольные

числа, то условия (22), (23) выполняются при f_n = 0 автоматически.

Таким образом, доказана

Теорема 2. 1. Для заданной пары (k, k^′) ∈ P (n, n^′, m, m^′) система (13), (14) разрешима

тогда и только тогда, когда выполняются условия (19), (20), (23).

2. Пусть a_k = 1. Если решение системы (13), (14) существует, то оно единственное и

задаётся формулами (18), (21), (22).

4. Полуалгебраическое множество центров. Из теоремы 2 вытекает алгебраический

критерий центра.

Теорема 3. Для наличия центра в монодромной особой точке (0, 0) системы Льенара

(2)-(4) необходимо и достаточно существование пары (k,k^′) ∈ P(n,n^′,m,m^′), для которой

выполняются условия (19), (20), (23).

Отметим, что в случае равенства F = 0 система уравнений (1) имеет решение

G, B = 0, C(x) = g_mx.

g_m

Следовательно, необходимые и достаточные условия центра сводятся к требованиям m^′ ∈ 2Z⁺,

g_m′ > 0.

Рассмотрим векторное пространство R^N = {(f, g)} (N = n-n^′+m-m^′+2) коэффициентов

полиномов F, G. Напомним, что полуалгебраическое множество в векторном пространстве

определяется как конечное объединение подмножеств, каждое из которых задаётся конечной

системой полиномиальных уравнений и неравенств.

Обозначим через Q(k,k′₎ множество векторов {(f, g)}, удовлетворяющих для пары (k, k^′) ∈

∈ P(n,n^′,m,m^′) условиям (19), (20), (23) и условиям (5) монодромности особой точки (0,0).

Поскольку f_n = 0, g_m = 0, то система уравнений (19), (20), (23) приводится к полиномиаль-

ной системе уравнений. Следовательно, Q(k,k′₎ - полуалгебраическое множество в простран-

стве R^N . Из теорем 2, 3 вытекает

Следствие 2. Полуалгебраическое множество Q(n, n^′, m, m^′) ⊂ R^N коэффициентов по-

линомов F, G, для которых системы Льенара (2)-(4) имеют центр в монодромной особой

точке (0,0), задаётся формулой

⋃

Q(n, n^′, m, m^′) =

Q(k,k′₎.

(k,k^′)∈P (n,n^′,m,m^′)

Для иллюстрации теоремы 3 и следствия 2 приведём описание множества Q(8, 2, 8, 2).

Отметим вначале, что задача явного описания множества центров в пространстве коэффици-

ентов для малых степеней полиномов

f (x) = dF (x)/dx и g(x) = dG(x)/dx рассматривалась

в работах [13, 14]. В работе [13] предлагается алгоритм вычисления множества центров, ис-

пользующий программу вычисления базиса Грёбнера для полиномиальных идеалов. Явные

условия центра получены для случая n, m ≤ 6, m^′ = 2. В [14] применялся комплексный

подход, основанный на вычислении фокусных величин Пуанкаре-Ляпунова, явном описании

общих интегралов для некоторых классов уравнений Льенара и вычислении результантов, со-

гласно следствию утверждения (iv) теоремы 1. Явные условия центра получены в статье [14]

для случая n, m ≤ 7, m^′ = 2.

Пример. Пусть n = m = 8, n^′ = m^′ = 2, тогда N = 14, P (8, 2, 8, 2) = {(8, 2), (4, 2), (2, 2)}.

Рассмотрим случай, когда (k, k^′) = (8, 2). Имеем

A(x) = x⁸ + a₇x⁷ + . . . + a₂x², B(x) = b₁x, C(x) = c₁x,

B(A) = b₁(x⁸ + a₇x⁷ + . . . + a₂x²) = f₈x⁸ + . . . + f₂x².

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1027

Следовательно,

f₇

b₁ = f₈, a₇ =

...,

a₂ =

f₂ .

f₈

Точно также из равенства C(A) = G получим

g₇

c₁ = g₈, a₇ =

...,

a₂ =

g₂ .

g₈

Таким образом, на основании равенства (23) заключаем, что множество Q(8,2) имеет вид

Q(8,2) = {(f₈,... ,f₂,g₈,... ,g₂) : g₈f₇ - f₈g₇ = 0, g₈f₆ = f₈g₆ = 0,

..., g₈f₂ - f₈g₂ = 0, g₂ > 0, g₈ = 0, f₂ = 0, f₈ = 0}.

Далее, если (k, k^′) = (4, 2), то

A(x) = x⁴ + a₃x³ + a₂x², B(x) = b₂x² + b₁x, C(x) = c₂x² + c₁x,

а значит,

B(A) = b₂x⁸ + 2b₂a₃x⁷ + (2b₂a₂ + b₂a²³)x⁶ + 2b₂a₃a₂x⁵ + (b₂a²² + b₁)x⁴ + b₁a₃x³ + b₁a₂x².

Полином C(A) имеет тот же вид, что и полином B(A) с заменой компонент вектора b на

компоненты вектора c. Таким образом, применив условия (19), (20), (23), получим описание

множества

Q(4,2) = {(f₈,... ,f₂,g₈,... ,g₂) : 2f₈af3af2 = f₅, f₈a2f2 + b₁ = f₄, b₁af3 = f₃, b₁af2 = f₂,

2g₈ag3ag2 = g₅, g₈a2g2 + c₁ = g₄, c₁ag3 = g₃, g₁ag2 = g₂, af3 = ag3, af2 = ag2, g₂ > 0, g₈ = 0,

f₂ = 0, f₈ = 0},

где

(

)

af3 =

f₇, af2 =

f₆ -

f²

b₁ = f₄ - f₈a2f2, ag3 =

g₇,

2f₈

4f₈

2g₈

(

)

ag2 =

g₆ -

g²

c₁ = g₄ - g₈a2g2.

2g₈

4g₈

Наконец, для случая (k, k^′) = (2, 2) имеем A(x) = x². Отсюда следует, что F, G - чётные

функции. Следовательно,

Q(2,2) ={(f₈,... ,f₂,g₈,... ,g₂) : f₇ = f₅ = f₃ = g₇ = g₅ = g₃ = 0, g₂ >0, g₈ =0, f₂ =0, f₈ =0}.

Таким образом, особая точка (0, 0) системы Льенара (2)-(4) с параметрами n = m = 8,

n^′ = m^′ = 2 является центром тогда и только тогда, когда вектор (f₈,... ,f₂,g₈,... ,g₂) при-

надлежит множеству Q(8, 2, 8, 2) = Q(8,2)

^⋃Q(4,2)⋃Q(2,2).

Приложение 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x(t) = y + X(x, y),

y = Y (x,y),

(24)

где X, Y - аналитические в окрестности точки (0, 0) функции, разложения которых в ряды

не содержат свободных и линейных членов. Согласно [22, с. 440; 2, с. 111] особая точка (0, 0)

системы (24) является монодромной тогда и только тогда, когда выполняются условия

Y (x

F (x)) = a2r-1x2r-1 + a2rx2r + . . . ,

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

2^∗

1028

БОРУХОВ

)

⁽∂X(x,y)

∂Y (x,y)



=Ar-1xr-1 + A_rx^r + ... ,

(26)



∂x

∂y

F (x))

A2r-1 + 4ra2r-1 < 0,

(27)

где

F (x)

F (0) = 0) - аналитическая в окрестности точки x = 0 функция, определяемая

уравнением

y = X(x,y).

(28)

Отметим, что в случае Ar-1 = 0 из (27) следует неравенство a2r-1 < 0.

Применим условия (25)-(28) к системе Льенара (2)-(4). Поскольку X(x, y) = -F (x), то

из (28) следует, что

F (x) = -F (x). Далее, на основании (26) получим

)

⁽∂(-F + y)

∂(-g(x))

∂F

= -rf_rxr-1 + O(x^r),

∂x

∂y

∂x

т.е. F = f_rx^r + O(xr+1). Здесь символ Ландау O(x) означает, что в некоторой окрестности

точки x = 0 выполняется неравенство |O(x)| ≤ K|x| с константой K, не зависящей от x.

Из (25) следует, что Y (x, F (x)) = -2rg_rx2r-1 + O(x2r), т.е.

G(x) = g_m′ xm′ + . . . + g_mx^m,

где m^′ = 2r. Согласно (27) имеем r²f2r - 8r²g2r < 0 или, в эквивалентной форме,

8g_m′ > f2m′/2.

Таким образом, доказаны условия монодромности (5) в случае вырожденной особой точки

(0, 0). Справедливость условий (5) для невырожденной особой точки следует из линейного

приближения

x(t) = y - F^′(0)x,

x = -2g₂x системы Льенара (2).

Приложение 2. Докажем эквивалентность утверждений (i), (ii). Поскольку

G(x) = xm′ (g_m′ + O(x)),

то

u(x) := (m^′G(x))1/m′ = x((m^′g_m′ )1/m′ + O(x))

(29)

– аналитическая в окрестности точки x = 0 функция, для которой существует обратная

функция x(u).

Обобщённая замена Конти (см. [10])

m^′-1

x = x(u), y = y,

g(u)

приводит систему (2)-(4) к системе

u(s) = y - F (x(u)),

y = -um′-¹,

(30)

имеющей тот же тип особой точки u = 0, y = 0, что и тип особой точки x = 0, y =

= 0 системы (2). В частности, условия монодромности для точки u = 0, y = 0 совпадают

с условиями (5). Поэтому достаточно доказать, что равенство (6) является необходимым и

достаточным условием центра для системы (30).

Координаты векторного поля системы (30) представимы в виде суммы

(y - F (x(u)), -um′-¹) = (y - F₊(x(u)), -um′-¹) + (-F_-(x(u)), 0)

(31)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1029

координат векторных полей системы

u = y - F₊(x(u)),

y = -um′-¹

(32)

и системы

u = -F_-(x(u)),

y = 0,

где F₊(x(u)) и F_-(x(u)) - соответственно чётная и нечётная части функции F (x(u)).

Пусть F_-(x(u)) ≡ 0. Поле направлений касательных к интегральным кривым системы (32)

симметрично относительно оси u = 0. Отсюда и в силу монодромности особой точки (0, 0)

системы (32) следует, что эта особая точка является центром. Тем самым доказана достаточ-

ность условия (6) для существования центра в точке (0, 0) системы (2).

Пусть F_-(x(u)) ≡ 0. Тогда из равенства (31) следует, что в некоторой окрестности точки

(0, 0) замкнутые интегральные кривые системы (32) пересекаются интегральными кривыми

системы (30) в одном направлении - наружу или внутрь, в зависимости от знака первого

отличного от нуля коэффициента в разложении функции F_-(x(u)) в ряд Тейлора (за исклю-

чением точек оси u = 0, в которых интегральные кривые систем (30), (32) касаются). Таким

образом, если F_-(x(u)) ≡ 0, то особая точка (0, 0) системы (30) является фокусом, что до-

казывает необходимость условия (6) существования центра в точке (0, 0) для системы (30).

Эквивалентность утверждений (i), (ii) доказана.

Согласно работе [10] эквивалентность утверждений (i), (iii) следует из равенств

F (x(u)) =Φ(u²(x)) =Φ((m^′G(x))2/m′ ) = Φ((G(x))2/m′ ),

где аналитическая функция Φ определена в силу чётности функции F (x(u)) из равенства

Φ(u) = F (u).

Докажем эквивалентность утверждений (ii), (iv). Пусть выполняется условие (6). Из (29)

следует равенство

x(u) = (m^′g_m′ )-1/m′ u + O(u²),

откуда имеем x(-u(x)) = -x + O(x²). Кроме того, поскольку um′ = sign (x)m^′G(x) и m^′ -

чётное число, то

m^′G(x(u)) = um′ = m^′G(x(-u)).

Таким образом, из (ii) следует (7), где z(x) = x(-u(x)), z(0) = 0, z^′(0) = -1.

Докажем, что функция z(x) = x(-u(x)) является единственной вещественной аналитиче-

ской функцией, удовлетворяющей системе (7) и условиям z(0) = 0, z^′(0) = -1. Функцию z(x)

будем искать в виде z(x) = xβ(x). После подстановки z(x) в (7) и сокращения на множитель

xm′ получим

g_m′ (β(x))m′ + ... + g_mxm-m′ (β(x))^m = g_m′ + g_m′₊₁x + ... + g_mxm-m′ .

Следовательно, g_m′ (β(0))m′ = g_m′ . Поскольку g_m′ = 0, то (β(0))m′ = 1. Уравнение (β(0))m′ =

= 1 имеет два действительных корня β₁ = 1 и β₂ = -1 и m^′ - 2 комплексных. Следова-

тельно, в силу теоремы о неявной функции уравнение G(xβ(x)) = G(x) имеет в окрестности

нулевой точки ровно m^′ различных аналитических решений, из которых выбираем функцию,

удовлетворяющую условию β(0) = -1. Тем самым доказано, что из (ii) следует (iv).

Обратно, пусть выполняется (iv). Тогда, поскольку z(x) = x(-u(x)) - единственное реше-

ние системы (7), удовлетворяющее условиям z(0) = 0, z^′(0) = -1, полагая z = x(-u(x)) в

F (x) = F (z), получаем (6). Следовательно, (ii) вытекает из (iv). Эквивалентность утвержде-

ний (ii) и (iv) доказана.

Докажем эквивалентность утверждений (iv) и (v). Напомним, что согласно теореме Лю-

рота [23, с. 31] если F - подполе поля рациональных функций R(x), содержащее поле R, то

F имеет вид R(h(x)), где h(x) - некоторая рациональная функция, называемая элементом

Люрота. Если при этом подполе F содержит полиномы, отличные от констант, то в качестве

элемента Люрота можно выбрать полином (теорема Э. Нётер [23, с. 42]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1030

БОРУХОВ

Для доказательства импликации (iv) ⇒ (v) рассмотрим, согласно [12], множество F всех

рациональных функций r(x), удовлетворяющих условию r(x) = r(z(x)), где z(x) - функция,

определённая в теореме 1 (утверждение (iv)). Нетрудно заметить, что (r(x))-1 ∈ F, R ∈ F,

G ∈ F, и, кроме того, сумма, произведение и частное двух элементов из F принадлежат F.

Таким образом, F является подполем поля R(x) и содержит полином G = const. Отсюда

на основании теорем Люрота, Э. Нётер и уравнений (7) заключаем, что существуют полином

A и рациональные функции B, C, для которых справедливы равенства вида (1). Нетрудно

заметить, что B, C также являются полиномами. Действительно, пусть, например, C =

= q₁/q₂, где q₁, q₂ - полиномы. Обозначим через s₁, s₂ верхние степени полиномов q₁, q₂

соответственно. Если s₁ ≤ s₂, то

lim C(A(x)) = const = ∞,

x→+∞

но lim

G(x) = ∞, т.е. G = C(A). Пусть теперь s₁ > s₂. Тогда

x→+∞

q₁(A(x))

p₁(A(x))

G(x) =

= p(A(x)) +

q₂(A(x))

где p - полином, а верхняя степень полинома p₁ строго меньше s₂. Отсюда следует, что

p₁ = 0 и можно положить C = p.

Далее, поскольку полином A генерирует поле F, то A ∈ F, а значит,

A(x) = A(z(x)).

(33)

Из равенства (33) вытекает, что нижняя степень k^′ полинома A - чётное число. Дейст-

вительно, положив z(x) = xβ(x) (β(0) = -1), приходим к уравнению (β(0))k′ = 1, которое

имеет корень β(0) = -1 только тогда, когда k^′ - чётное. Импликация (iv) ⇒ (v) доказана.

Обратно, пусть выполняется утверждение (v). Поскольку нижняя степень полинома A -

чётное число, то уравнение (33) имеет решение z(x), удовлетворяющее условиям z(0) = 0,

z^′(0) = -1. Подставив в (1) вместо A(x) функцию A(z(x)), получим утверждение (iv). Тео-

рема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., 1947.

2. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго по-

рядка. Минск, 1982.

3. Медведева Н.Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса // Тр.

Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2006. Т. 254. С. 11-100.

4. Romanovski V.G., Shafer D.S. The Center and Cyclicity Problems: a Computational Agebra Approach.

Basel, 2010.

5. Yirong Lin, Jibin Li, Wentao Huang. Planar Dynamical System. Selected Classical Problems. Berlin;

Boston, 2014.

6. Куклес И.С. Некоторые признаки отличия фокуса от центра // Тр. Узбекского ун-та им. А. Навои.

1951. Вып. 47. С. 29-98.

7. Черкас Л.А. Об условиях центра для некоторых уравнений вида yy^′ = P(x) + Q(x)y + R(x)y².

// Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 5. С. 1435-1439.

8. Черкас Л.А. Степень негрубости фокуса в уравнении Льенара // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23. № 8.

С. 681-683.

9. Садовский А.П. Решение проблем центра и фокуса для системы Льенара с полиномиальными ко-

эффициентами // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 11. С. 2102-2104.

10. Gasull A., Torregrosa J. Center problem for several differential equations via Cherkas’ method // J. of

Math. Anal. and Appl. 1998. V. 228 P. 322-343.

11. Chritopher C. An algebraic approach to the classification of centers in polynomial Lienard systems // J.

of Math. Anal. and Appl. 1999. V. 229 P. 319-329.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕНТРА

1031

12. Садовский А.П. Теорема Люрота и метод Черкаса // Тр. Пятой междунар. конф. “Аналитические

методы анализа и дифференциальных уравнений”. Минск, 2010. Т. 2. С. 120-122.

13. Yu Z.H., Zhang W.N. Condition for polynomial Lienard centers // Sci China Math. 2016. V. 59. № 3.

P. 411-424.

14. Giné J. Center conditions for polynomial Lienard systems // Qualit. Theory of Dynam. Syst. 2017. V. 16.

№ 1. P. 119-126.

15. Амелькин В.В., Руденок А.Е. Центры и изохронные центры систем Льенара // Дифференц. урав-

нения. 2019. Т. 55. № 3. С. 294-303.

16. Руденок А.Е. Обобщённая симметрия системы Льенара // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2.

С. 181-198.

17. Руденок А.Е. Рациональные системы Льенара с центром и изохронным центром // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 70-83.

18. Briskin M., Pakovich F., Yomdin Y. Algebraic geometry of the center focus problem for Abel differential

equation // Ergodic Theory and Dynam. Syst. 2016. V. 36. № 3. P. 714-744.

∑_n

19. Gavrilov L. On the center-focus problem for the equation dy/dx +

a_i(x)yⁱ = 0, 0 ≤ x ≤ 1, where

i=1

a_i are polynomials // Ann. Henri Lebesque. 2020. V. 3. P. 615-648.

20. A’lvarez A., Bravo J.L., Christopher C., Mardesić P. Infinitesimal center problem on zero cycles and the

composition conjecture // Func. Anal. and Its Appl. 2021. V. 55. P. 257-271.

21. Moussu R. Symétrie et forme normale des centers et foyers dégénérés // Ergodic Theory Dynam. Syst.

1982. V. 2. P. 241-251.

22. Ляпунов А.М. Собр. соч. Т. 2. М.; Л., 1956. С. 7-263.

23. Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций. М.; Л., 1948.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 17.01.2022 г.

г. Минск

После доработки 23.06.2022 г.

Принята к публикации 05.07.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022