ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1039-1052

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.35

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОЙ

ГРАНИЧНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ И НЕЛИНЕЙНЫМ

ИСТОЧНИКОМ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА РОСТА

Исследована смешанная задача для систем одномерных полулинейных гиперболических

уравнений с переменным показателем роста нелинейности и нелинейными граничными

условиями. Доказаны теоремы о локальной разрешимости и разрушении решений за ко-

нечный промежуток времени.

DOI: 10.31857/S0374064122080040, EDN: CFGWLJ

1. Постановка задачи и основные результаты. Настоящая работа является продол-

жением работы авторов [1], в которой исследована начально-краевая задача для систем полу-

линейных гиперболических уравнений с нелинейными граничными условиями и нелинейным

источником, имеющим рост переменного порядка, приведены краткая история вопроса и обос-

нование актуальности темы исследования (см. также [2-7]).

В области [0, l] × [0, +∞) рассмотрим начально-краевую задачу

uitt - (a_i(x)uix )_x = f_i(x,u₁,u₂),

0 < x < l, t > 0,

(1)

u_i(0,t) = 0, t > 0,

(2)

a_i(l)uix (l,t) + |uit (l,t)|ri-¹uit(l,t) = 0, t > 0,

(3)

u_i(x,0) = ui0(x), uit(x,0) = ui1(x),

0<x<l,

(4)

где i = 1, 2, r₁ ≥ 1, r₂ ≥ 1, u₁ = u₁(x, t), u₂ = u₂(x, t), u₁₀(x), u₂₀(x), u₁₁(x), u₂₁(x),

a₁(x), a₂(x) - вещественнозначные функции,

a_i(x) ∈ C¹[0,l], a_i(x) ≥ ai0 > 0,

0 ≤ x ≤ l, i = 1,2,

(5)

f_i(x,u₁,u₂) = |u₁ + u₂|2p(x)(u₁ + u₂) + |u₁|p(x)+(-1)i |u₂|p(x)-(-1)i u_i, i = 1,2.

(6)

Предположим, что измеримая функция p(·) удовлетворяет условию логарифмической не-

прерывности Гёльдера, т.е. для любых x, y ∈ [0, l] таких, что |x-y| < δ, 0 < δ < 1, выполнено

неравенство

|p(x) - p(y)| ≤ -

(7)

log |x - y|

где C > 0. Допустим также, что

2 ≤ p₁ ≤ p(x) ≤ p₂ < +∞,

0≤x≤l,

(8)

где p₁ := ess inf p(x), p₂ := ess sup p(x).

x∈[0,l]

Заметим, что необходимые известные факты пространства Лебега переменного порядка

приведены в работах [1, 8-13].

Введём следующие обозначения:

H^m = H^m(0,l) = {v : v,v(m) ∈ L₂(0,l)},

0H¹ = {v : v ∈ H¹(0,l), v(0) = 0}.

1039

1040

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Определим функционал энергии

E(t) = E₀(t) - R(u₁( · , t), u₂( · , t)),

(9)

где

[∫ l

∫

]

∑

E₀(t) =

|uit (x, t)|² dx + a_i(x)|uix (x, t)|² dx

i=1

∫^l

R(u₁( · , t), u₂( · , t)) =

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

2(p(x) + 1)

∫l

|u₁(x, t) · u₂(x, t)|p(x)+1 dx.

p(x) + 1

Определение 1. Под строгим решением задачи (1)-(4) в области (0,l) × (0,T) будем

⋂

понимать пару функций (u₁(x, t), u₂(x, t)) таких, что u_i(·) ∈ L_∞(0, T ; H²

0H¹), uit(·)

∈

∈ L_∞(0,T;₀H¹), uitt(·) ∈ L_∞(0,T;L₂(0,l)), i = 1,2, удовлетворяющих системе (1) почти при

всех (x, t) ∈ (0, l) × (0, T ), а также граничным условиям (2), (3) и начальному условию (4).

Определение 2. Под слабым решением задачи (1)-(4) будем понимать пару функций

(u₁(x, t), u₂(x, t)) таких, что

a) u_i(·) ∈ C_w([0, T ];₀H¹), uit (·) ∈ C_w([0, T ]; L₂(0, l)), i = 1, 2;

b) след uit в {l} × (0, T ) принадлежит Lri+1 (0, T ), т.e. uit (l, t) ∈ Lri+1 (0, T ), i = 1, 2;

c) для всех η₁(·), η₂(·) ∈ C_w([0, T ];₀H¹)

^⋂C1w([0,T];L₂(0,l)), ηit(l,t) ∈ Lri+1(0,T), η_i(x,T) =

= 0, i = 1, 2, выполнены следующие равенства:

∫

[-uit (x, t)ηit (x, t) + uix (x, t)ηix (x, t)] dx dt +

|uit (l, t)|ri-¹uit (l, t)η_i(l, t) dt -

∫l

∫

− ui1(x)η_i(x,0)dt =

f_i(x,u₁,u₂)η_i(x,t)dxdt;

lim〈ui( · , t) - ui0(·), ηi(·)〉0H1 = 0.

t→0

Здесь через C_w([0, T ]; Y ) обозначено пространство слабо непрерывных функций со значения-

ми из банахова пространства Y.

Определим следующий класс функций:

C_T′ = {v : v ∈ C([0,T^′];₀H¹), v^′t(·) ∈ C¹([0,T^′];L₂(0,l)), v_t(l,·) ∈ Lri(0,T^′), i = 1,2}.

Справедливы следующие теоремы о локальной разрешимости задачи (1)-(4).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5)-(8). Тогда для начальных данных ui0 ∈₀H¹,

ui1 ∈ L₂(0,l), i = 1,2, существует такое T^′ ∈ (0,T], что задача (1)-(4) имеет локальное

по времени слабое решение (u₁(x,t),u₂(x,t)) в области (0, l) × (0, T′), причём ui(·) ∈ CT ′ ,

i = 1,2, и выполняется энергетическое равенство

∫

∑

E(t) +

|uiτ (l, τ)|ri+1 dτ = E(0),

0≤t≤T^′.

(10)

i=1 0

⋂

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5)-(8). Предположим также, что ui0 ∈ H²

0H¹,

ui1 ∈₀H¹ и a_i(l)ui0x (l) + |ui1(l)|ri-¹uit(l,t) = 0, i = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1041

Тогда существует такое T^′ ∈ (0, T ], что задача (1)-(4) имеет локальное по времени

строгое решение (u₁(x,t),u₂(x,t)) в области (0, l) × (0, T′ ) и выполняется энергетическое

равенство (10).

Схему доказательств этих теорем приведём в п. 3.

Далее исследуем вопрос отсутствия глобальных решений задачи (1)-(4), т.е. разрушения

локальных решений за конечное время в зависимости от отношений между r_i, i = 1, 2, и p(x).

Под термином решения будем подразумевать слабые решения рассматриваемой задачи.

В случае когда max{r₁, r₂} < p₁ + 1, получен следующий результат о разрушении локаль-

ных решений за конечный промежуток времени.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Предположим, что

max{r₁, r₂} < p₁ + 1, E(0) < 0.

Тогда решение задачи (1)-(4) разрушается за конечное время.

Случай, когда коэффициенты a_i(x) не зависят от x, исследован в статье [1]. Заметим, что

доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2 из [1] с небольшим техниче-

ским уточнением.

Введём следующие обозначения:

ϕ₀ = min ϕ(x), где ϕ(x) = |1 + x|2(p1+1) + 2|x|p1+1,

-1≤x≤0

ψ₀ = max{a₁(l),a₂(l)}.

Очевидно, что ϕ₀ > 0.

Основным результатом данной работы является следующая теорема об отсутствии гло-

бальных решений в случае min{r₁, r₂} ≥ p₁ + 1.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (5)-(8). Предположим, что справедливы нера-

венства

a^′i(x) ≥ 0, p^′(x) ≤ 0,

0 ≤ x ≤ l, i = 1,2,

(11)

min{r₁, r₂} ≥ p₁ + 1,

(12)

∫

|xp^′(x)|

E(0) < -

dx,

(13)

p²(x)

∕

{

}

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

2p₁ + 1

l > max

min ϕ0,

(14)

0≤x≤l

p(x)(p(x) + 1)

2(p₁ + 1)ψ₀

2(p₁ + 1)

Тогда решение задачи (1)-(4) разрушается за конечное время.

2. Разрушение решений за конечное время (доказательство теоремы 4). Через

c_k, k = 1,2,... , будем обозначать различные положительные константы.

Будем использовать следующие леммы, доказанные в [1].

Лемма 1. Пусть выполнены условия (8) и (9). Тогда существуют такие постоянные

0 < c₁ < c₂, что при любых u₁,u₂ ∈ ₀H¹ выполнено неравенство

∑

c₁

ρ2(p(·)+1)(u_i) ≤ F(u₁,u₂) ≤ c₂

ρ2(p(·)+1)(u_i).

i=1

Лемма 2. Пусть выполнены условия (8), (9) и 1/(p₁ + 1) < κ < 1, тогда существует

такая постоянная c₃ > 0, что при всех u₁, u₂ ∈₀H¹ выполнено неравенство

[

]_κ

∫l

}

∑

{₂∑

∑

ρ2(p(·)+1)(u_i)

≤c₃

|u_ix|² dx +

ρ2(p(·)+1)(u_i)

i=1

i=1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1042

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

В частности, справедливо также неравенство

∫

}_κ

∫

}

{₂∑

∑

|u_i|2(p1+1)

≤c₃

|u_ix|² dx +

ρ2(p(·)+1)(u_i)

i=1

i=1 0

Доказательство теоремы 4. Отметим, что в процессе доказательства теоремы 4 все опе-

рации проводятся для гладких начальных данных. Для слабых решений аналогичные утвер-

ждения получаются путём предельного перехода.

Согласно (11) p^′(x) ≤ 0, поэтому p₁ = min

p(x) = p(l) и p₂ = max p(x) = p(0).

0≤x≤l

Введём функционал y(t) = -E(t) + εky₁(t) + εy₂(t), где ε > 0, k > 0,

∫

∑

y₁(t) =

u_i(x,t)uit (x,t)dx, y₂(t) =

xuit(x,t)uix (x,t)dx.

i=1 0

В силу неравенства (14) существует такое число k, что

{

}

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

2p₁ + 1

max

< k < lmin ϕ₀,

(15)

0≤x≤l p(x)(p(x) + 1)

2(p₁ + 1)ψ₀

2(p₁ + 1)

Из (1)-(4) находим

∫

∑

y′1(t) =

|uit (x, t)|² dx -

a_i(x)|uix (x,t)|² dx +

a_i(l)uix (l,t)u_i(l,t) +

i=1

i=1 0

∫l

∫

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx + 2

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx

∫l

∑

y′2(t) =

|uit (l, t)|² -

|uit (x, t)|² dx +

i=1

i=1 0

∫l

∑

a_i(l)|uix (l,t)|² -

a_i(x)|uix (x,t)|² dx +

xa^′i(x)|uix (x,t)|² dx -

i=1

i=1 0

∫l

p(x) + 1 - xp^′(x)

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

|u₁(l, t) + u₂(l, t)|2(p1+1) -

2(p(x) + 1)²

2(p₁ + 1)

∫^l

xp^′(x)

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx -

p(x) + 1

∫^l

p(x) + 1 - xp^′(x)

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx +

|u₁(l, t)u₂(l, t)|p1+1 -

(p(x) + 1)²

p₁ + 1

∫^l

xp^′(x)

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 ln |u₁(x, t)u₂(x, t)| dx.

p(x) + 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1043

С учётом этих соотношений, прибавив и отняв ε(1 + 2k)E(t), получим

∫l

∫

∑

y^′(t) =

|uit (l, t)|ri+1 - ε(1 + 2k)E(t) + 2εk

|uit (x, t)|² dx +

xa^′i(x)|uix (x, t)|² dx +

i=1

i=1 0

∫l

{

}

p(x)

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

+ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx -

p(x) + 1

2(p(x) + 1)²

∫l

{

}

p(x)

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx -

p(x) + 1

(p(x) + 1)²

∫l

xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx -

p(x) + 1

∫l

xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 ln |u₁(x, t)u₂(x, t)| dx +

p(x) + 1

∑

lε

|uit (l, t)|² +

|uit (l, t)|2ri +

|u₁(l, t) + u₂(l, t)|2(p1+1) +

a_i(l)

2(p₁ + 1)

i=1

∑

lε

|u₁(l, t)u₂(l, t)|p1+1 + εk

|uit (l, t)|ri-¹uit (l, t)u_i(l, t).

p₁ + 1

i=1

Использовав неравенство Юнга с показателями θ = 2(p₁ + 1), θ^′ = 2(p₁ + 1)/(2p₁ + 1),

имеем

2p₁ + 1

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)| ≤

|uit (l, t)|2(p1+1)ri/(2p1+1) +

|u_i(l, t)|2(p1+1), i = 1, 2.

(16)

2(p₁ + 1)

В силу неравенств (8), (12) запишем

2(p₁ + 1)

r_i

≤ 2r_i

2p₁ + 1

2(p₁ + 1)

r_i

- 2 ≥ (p₁ + 1)

- 2 = 2p²¹ > 0, i = 1,2,

2p₁ + 1

откуда следует

(17)

Использовав определение ϕ₀, можно доказать, что

∑

|u₁(l, t) + u₂(l, t)|2(p1+1) + 2|u₁(l, t) · u₂(l, t)|p1+1 ≥ ϕ₀

|u_i(l, t)|2(p1+1).

i=1

С учётом данного неравенства из (15)-(17) получим

∫

∑

y^′(t) ≥

|uit (l, t)|ri+1 - ε(1 + 2k)E(t) + 2εk

|uit (x, t)|² dx +

i=1

i=1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

3^∗

1044

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

∫l

{

}

p(x)

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

+ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx -

p(x) + 1

2(p(x) + 1)²

∫l

{

}

p(x)

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx -

p(x) + 1

(p(x) + 1)²

∫l

xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx -

p(x) + 1

∫l

xp^′(x)

-ε

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 ln |u₁(x, t)u₂(x, t)| dx +

p(x) + 1

(

)₂∑

⁽l

2p₁ + 1

+ε

-k

|uit (l, t)|² + ε

-k

|uit (l, t)|2ri +

2(p₁ + 1)

2ψ₀

2(p₁ + 1)

i=1

∑

(lϕ₀ - k)

|u_i(l, t)|2(p1+1).

(18)

2(p₁ + 1)

i=1

Для t > 0, обозначив R1t = {x : |u₁(x, t) + u₂(x, t)| ≥ 1, 0 ≤ x ≤ l} и R2t = {x : |u1(x,t)+

+ u₂(x,t)| < 1, 0 ≤ x ≤ l}, запишем

∫l

xp^′(x)

I_t = -ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx = I(R1t) + I(R2t),

p(x) + 1

где

∫

xp^′(x)

I(R1t) = -ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx

p(x) + 1

x∈R1t

∫

xp^′(x)

I(R2t) = -ε

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) ln |u₁(x, t) + u₂(x, t)| dx.

p(x) + 1

x∈R2t

С учётом (11) имеем

I(R1t) ≥ 0,

(19)

а с другой стороны |α|2(p(x)+1) ln|α| ≥ -0.5(p(x) + 1)-1e-1, если |α| < 1, поэтому

I(R2t) ≥ -εM₁,

(20)

где

∫

|xp^′(x)|

M₁ =

dx.

(p(x) + 1)²

Из неравенств (19) и (20) следует, что

I_t ≥ -εM₁.

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1045

Аналогичным образом можно получить

∫l

xp^′(x)

J_t = -ε

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 ln |u₁(x, t)u₂(x, t)| dx ≥ -εM₂,

p(x) + 1

где

∫

|xp^′(x)|

M₂ =

dx.

(p(x) + 1)²

Кроме того, из (13), (15) и (21) следует, что выполняются неравенства

p(x)

2(p(x) + 1) - xp^′(x)

≥ 0,

(22)

p(x) + 1

(p(x) + 1)²

−ε(1 + 2k)E(t) + I_t + J_t ≥ -ε{(1 + 2k)E(0) - M₁ - M₂} ≥ 0.

(23)

С другой стороны, из (15) имеем

{

}

2p₁ + 1

β = εmin lϕ₀ - k,

-k

> 0.

2(p₁ + 1)

2ψ₀

2(p₁ + 1)

В силу (19)-(23) из (18) находим

}

{₂∑

∑

y^′(t) ≥ β

|uit (l, t)|² +

|uit (l, t)|2ri +

|u_i(l, t)|2(p1+1)

(24)

i=1

Зафиксируем k и выберем ε достаточно малым, чтобы

∫

∑

y(0) = -E(0) + εk

ui0(x)ui1(x)dx + ε

xu0x(x)u1x(x)dx > 0.

(25)

i=1 0

Из (24) и (25) получим

y(t) ≥ y(0) > 0.

Применив неравенство Гёльдера, имеем

[

∫

]

∑

y(t) ≤ -E(t) +

(k + 1)l

|uix (x, t)|² dx +

|uit (x, t)|² dx

i=1 0

Отсюда в силу (10) и (13) для достаточно малых ε > 0 получим

y(t) ≤ c₄R(u₁, u₂).

(26)

Из лемм 1 и 2 следует

[

∫

]

∑

[R(u₁, u₂)]1-α ≤ c₅

|uix (x, t)|² dx + R(u₁, u₂) ,

(27)

i=1 0

где 0 < α < p₁/(p₁ + 1). Тогда с учётом (10) и (26) из (27) получим следующее неравенство:

∫

y1-α(t) ≤ c₆

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1)

dx + c₆

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx.

p(x) + 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1046

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Выбрав α = 0.5p₁/(p₁ + 1) и значение θ достаточно малым, определим функцию

∫

∑

z(t) = y1-α(t) + θ

u_i(x,t)uit (x,t)dx,

i=1 0

где z(0) > 0. Продифференцировав z(t) и использовав (1)-(4), находим

∫

∑

z^′(t) = (1 - α)y^-α(t)y^′(t) - 2θE(t) + 2θ

|uit (x, t)|² dx +

i=1 0

∫l

p(x)

+θ

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

p(x) + 1

∫l

∑

p(x)

+ 2θ

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx - θ

|uit (l, t)|ri-¹uit (l, t)u_i(l, t).

p(x) + 1

i=1

Применив неравенство Юнга с показателями ρ = 1/α, ρ^′ = 1/(1 - α), имеем

]

∑

^[1

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)| =

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)| δ ≤

i=1

[

]1/(1-α)

∑

≤ (1 - α)δ-1/(1-α)

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)|

+ αδ1/α.

i=1

Выбрав δ = K-1yα(1-α)(t), получим

∫

∑

z^′(t) ≥ (1 - α)y^-α(t)y^′(t) - 2θE(t) + 2θ

|uit (x, t)|² dx +

i=1 0

∫l

∫

p(x)

+θ

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx + 2θ

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx -

p(x) + 1

[

]1/(1-α)

∑

− θ(1 - α)K1/(1-α)y^-α(t)

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)|

- θK-1/αy1-α(t).

i=1

В силу (24) отсюда будем иметь

}

{₂∑

∑

z^′(t) ≥ β(1 - α)y^-α(t)

|uit (l, t)|² +

|uit (l, t)|2ri +

|u_i(l, t)|2(p1+1)

- 2θE(t) +

i=1

∫

∑

p(x)

+ 2θ

|uit (x, t)|² dx + θ

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

p(x) + 1

i=1 0

∫l

p(x)

+ 2θ

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx -

p(x) + 1

[

]1/(1-α)

∑

− θ(1 - α)K1/(1-α)y^-α(t)

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)|

- θK-1/αy1-α(t).

(28)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1047

Далее используем неравенство Юнга с показателями λ = 2(1 - α), λ^′ = 2(1 - α)/(1 - 2α),

в результате имеем

[

]1/(1-α)

[

]

∑

|uit (l, t)|ri |u_i(l, t)|

≤22/(1-α)

|uit (l, t)|ri/(1-α)|u_i

(l, t)|1/(1-α)

≤

i=1

[

]

∑

1 - 2α

≤22/(1-α)

|uit (l, t)|2ri +

|u_i(l, t)|2(p1+1)

2(1 - α)

i=1

С учётом этих неравенств из (28) получим

{

(

∑

)₂∑

22/(1-α)

z^′(t) ≥ (1 - α)y^-α(t) β

|uit (l, t)|² + β - θ

K1/(1-α)

|uit (l, t)|2ri +

2(1 - α)

i=1

(

}

∫

)₂∑

∑

1 - 2α

+ β-θ22/(1-α)

K1/(1-α)

|u_i(l, t)|2(p1+1)

+ 2θ

|uit (x, t)|² dx +

2(1 - α)

i=1

i=1 0

∫l

{

}

p(x)

+θ

-c₆K-1/α

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

p(x) + 1

∫l

{

}

p(x)

+ 2θ

-c₆K-1/α

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx.

p(x) + 1

Далее выбираем достаточно большое K > 0 и достаточно малое θ > 0 таким образом,

чтобы выполнялись неравенства

p(x)

22/(1-α)

- c₆K-1/α ≥ θ₀ > 0, β - θ

K1/(1-α) ≥ θ₀ > 0.

p(x) + 1

2(1 - α)

С учётом этих неравенств и леммы 1 из (28) находим

∫

}

{₂∑

z^′(t) ≥ θ₀

|uit (x, t)|² dx +

|u₁(x, t) + u₂(x, t)|2(p(x)+1) dx +

|u₁(x, t)u₂(x, t)|p(x)+1 dx

≥

i=1 0

∫

}

{₂∑

∑

≥θ₁

|uit (x, t)|² dx +

|u_i(x, t)|2(p(x)+1) dx ,

(29)

i=1 0

где θ₁ = θ₀ min{c₁, 1}. С другой стороны,

{

[

∫

]1/(1-α)}

∑

z1/(1-α)(t) ≤ c₇

y(t) + θ1/(1-α)

uit(x,t)u_i(x,t)dx

≤

i=1 0

{

[

∫

]1/(2(1-α))}

∑

]1/(2(1-α)(p1+1))^[

∑

≤c₈

y(t) +

|u_i(x, t)|2(p1+1) dx

|uit (x, t)|² dx

i=1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1048

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

Применив неравенство Гёльдера с показателями μ₁ = 2(1 - α)/(1 - 2α), μ₂ = 2(1 - α),

имеем

{

∫

}

∑

z1/(1-α)(t) ≤ c₉ y(t) +

|uit (x, t)|² dx +

|u_i(x, t)|2(p1+1) dx

i=1 0

Далее, с учётом неравенства (26), лемм 1 и 2 получим

∫

}

{₂∑

∑

z1/(1-α)(t) ≤ c₁₀

|uit (x, t)|² dx +

|u_i(x, t)|2(p(x)+1) dx

(30)

i=1 0

Из (29) и (30) имеем z^′(t) ≥ c₁₁z1/(1-α)(t), следовательно,

[

](α-1)/α

z(t) ≥ z₀ zα/(1-α)0 -c11α

1-α

откуда lim z(t)

= +∞, где T^′ =

zα/(1-α)0.

t→T^′-0

c₁₁α

3. Доказательство существования и единственности локальных решений. Пусть

K > 0. Определим срезанную функцию

⎧

⎪fi(x,u1,u2),

∥u₁∥₀H1 ≤ K,

∥u₂∥₀H1 ≤ K,

⎪

(

)

⎪

u₁

⎪fi x,K

,u₂

∥u₁∥₀H1 > K,

∥u₂∥₀H1 ≤ K,

⎨

∥u₁∥₀H1

(

)

f_iK(x,u₁,u₂) =

u₂

⎪fi x,u1,K

⎪

∥u₁∥₀H1 ≤ K,

∥u₂∥₀H1 > K,

⎪

∥u₂∥₀H1

(

)

⎪

u₁

u₂

⎩fi x, K

∥u₁∥₀H1 > K,

∥u₂∥₀H1 > K,

∥u₁∥₀H1

∥u₂∥₀H1

и рассмотрим начально-краевую задачу

uitt - (a_i(x)uix )_x = f_iK(x,u₁,u₂),

0 < x < l, t > 0,

u_i(0,t) = 0, t > 0,

a_i(l)uix(l,t) + χ_i(uit (l,t)) = 0, t > 0,

u_i(x,0) = ui0(x), uit(x,0) = ui1(x),

0<x<l,

где χ_i(η) = |η|ri-¹η, i = 1, 2 (см. работы [14-18]).

В пространстве H = [₀H¹ × L₂(0, l)]² введём скалярное произведение следующим образом:

[∫ l

∫

]

∑

〈w¹, w²〉 =

a_i(x)u1i

(x)u2i

(x) dx + v1i(x)v2i(x) dx .

i=1

В пространстве L₂(0, l) определим линейный операторi0Δ:

D(i0Δ) = {f : f ∈ H²(0,l), f(0) = 0, f^′(l) = 0},

Δf(x) = -(a_i(x)f_x)_x(x), x ∈ (0,l), i = 1,2.

Определим также линейный оператор

N_i : R → H² : α ∈ R, α → h_i = N_iα,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1049

где (a_i(x)hix (x))_x = 0, 0 < x < l, hi(0) = 0, hix(l) = α/ai(l), т.е.

∫x

h_i(x) = α

i = 1,2.

a_i(s)

Отсюда получим, что

(N_iα)_x = α

0 ≤ x ≤ l, i = 1,2.

a_i(x)

Использовав определение сопряжённого оператора, имеем

∫l

∫

u)_R = αN^∗iu, где N^∗iu = u(x)

dx, i = 1, 2.

〈N_iα, u〉L2(0,l) = (α,

a_i(s)

Пусть z ∈ D(i0Δ), α ∈ R, тогда справедливы равенства

(

∫

)

N∗ii0Δz · α = (i0Δz,N_iα)_L

= z(l) · α.

2(0,l) =⁰Δ^z,α

a_i(s)L2(0,l)

В пространстве H определим оператор A_K (·) следующим образом:

D(A_K ) = {w : w = (u₁, v₁, u₂, v₂) ∈ H, u_i, v_i ∈₀H¹, u_i + N_iχ_i(γv_i) ∈ D(i0Δ), i = 1, 2},

A_K(w) = {-v₁,¹⁰Δ(u₁ + N₁χ₁(γv₁)),-v₂,²⁰Δ(u₂ + N₂χ₂(γv₂))},

где γ - оператор следа из₀H¹ в точке x = l (см. [19, гл. I, с. 32-34]).

Определим также нелинейный оператор F_K (·):

D(F_K ) = H, F_K (w) = (0, -f1K (x, u₁, u₂), 0, -f2K (x, u₁, u₂)).

Лемма 3. Нелинейный оператор w → F_K (w): H → H удовлетворяет условию Липшица,

т.е. для любых w₁,w₂ ∈ H выполнено неравенство

∥F_K (w₂) - F_K (w₁)∥_H ≤ c_F (K)∥w₂ - w₁∥_H,

где c_F (K) ≥ 0.

Доказательство леммы 3 проводится аналогично доказательствам работы [14].

Лемма 4. A_K (·) - максимально аккретивный оператор.

Доказательство. Пусть wⁱ = (ui1, vi1, ui2, vi2) ∈ D(A_K ), i = 1, 2. Тогда

∫

∑

〈A_K (w²) - A_K (w¹), w² - w¹〉_H =

[χ_i(v2i(l)) - χ_i(v1i(l))](v2i(l) - v1i(l))_x dx =

i=1 0

∑

[χ_i(v2i(l)) - χ_i(v1i(l))](v2i(l) - v1i(l)) ≥ 0.

i=1

Таким образом, A_K (·) является аккретивным оператором.

Теперь докажем, что A_K (·) - максимально аккретивный оператор. Рассмотрим уравнение

A_K(w) + λw = h,

(31)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1050

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

где λ > 0, h = (h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂) ∈ H - заданный элемент, w = (u₁, v₁, u₂, v₂) ∈ D(A_K ).

Очевидно, что (31) эквивалентно краевой задаче

-v_i + λu_i = hi1,

Δ(u_i + N_iχ_i(γv_i)) + λv_i = hi2,

u_i(0) = 0, v_i(0) = 0,

u^′i(l) + χ_i(v_i(l)) = 0, i = 1,2.

Отсюда имеем

u_i =

v_i +

hi1,i0Δ(u_i + N_iχ_i(γv_i)) + λ²u_i = λhi1 + hi2, i = 1,2.

Легко заметить, что функции

z_i = u_i + N_iχ_i(γv_i), i = 1,2,

(32)

являются решением краевой задачи

z^′′i - λ²z_i = η_i(x),

(33)

z_i(0) = 0, z^′i(l) = 0,

(34)

где

η_i(x) = -λhi1(x) - hi2(x) - λ²N_iα_i, α_i = χ_i(γv_i), i = 1,2.

(35)

Отметим, что

∫x

∫

1 sh(λx)

z_i(x) =

sh (λ(x - τ))η_i(τ)dτ -

ch (λ(x - τ))η_i(τ) dτ, i = 1, 2,

λ ch (λl)

являются решением задачи (33), (34). Отсюда получим

{∫ l

∫

}

ch (λτ)

z_i(l) = α_i

dτ

+ B_i(λ,l),

(36)

a_i(x)

ch (λl)

a_i(τ)

где

∫

B_i(λ,l) = -

sh (λ(l - τ))η1i(τ)dτ +

th (λl) ch (λ(l - τ))η1i(τ) dτ, i = 1, 2.

С другой стороны, из (32) следует, что

∫l

∫

z_i(l) = u_i(l) + α_i

v_i(l) +

hi1(l) + α_i

i = 1,2.

(37)

a_i(x)

Сравнив (36) и (37), найдём

χ_i(v_i(l)) + X_i(λ)v_i(l) = C_i(λ,l),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1051

где

(∫l

)-1

{

}

ch (λτ)

X_i(λ) =

ch (λl)

dτ

> 0, C_i(λ, l) = X_i(λ) B_i(λ, l) +

hi1(l)

i = 1,2.

a_i(τ)

Для отображения Φ(ξ) = (χ₁(ξ₁)+X₁(λ)ξ₁, χ₂(ξ₂)+X₂(λ)ξ₂), где ξ = (ξ₁, ξ₂), имеем оценку

∑

〈Φ(ξ²) - Φ(ξ¹), ξ² - ξ¹〉_R2 =

[χ_i(ξ2i) - χ_i(ξ1i)](ξ2i - ξ1i) +

[X_i(λ)ξ2i - X_i(λ)ξ1i](ξ2i - ξ1i) ≥

i=1

∑

≥v₀

|ξ2i - ξ1i|² = v₀∥ξ² - ξ¹∥2R2 ,

i=1

где ξ¹ = (ξ¹¹, ξ¹²), ξ² = (ξ²¹, ξ²²), v₀ = min{X₁(λ), X₂(λ)}.

Таким образом, Φ(·) - максимально аккретивный оператор (см. [20, гл. IV, с. 155-158; 21,

гл. II, с. 33-48]. Отсюда следует, что при λ > 0 уравнение

F (ξ) = M(λ, l)

(38)

имеет решение, где M(λ, l) = (C₁(λ, l), C₂(λ, l)). Пусть ξ⁰ = (ξ⁰¹, ξ⁰²) ∈ R² - решение уравнения

(38). Тогда, положив v_i(l) = ξ0i, u_i(l) = ξ0i +hi1(l), i = 1, 2, получим, что α_i = χ_i(ξ0i), i = 1, 2.

С учётом этого в равенствах (35) находим z_i(x), а из (32) имеем u_i(x) = z_i(x)-N_iα_i, i = 1,2.

Таким образом, A_K (·) - максимально аккретивный оператор. Лемма доказана.

Задачу (1)-(4) можем записать как задачу Коши в пространстве H :

w^′ + A_K(w) + F_K(w) = 0, w(0) = w₀,

(39)

где w₀ = (u₁₀(x), u₁₁(x), u₂₀(x), u₂₁(x)), 0≤x≤l.

В силу теоремы 4.1 из [20] при любом w₀ ∈ D(A_K ) и K > 0 задача (39) имеет единственное

решение w(·) ∈ C¹([0, T ]; H)

^⋂C([0,T];D(A_K)), а в силу теоремы 4.1А из [20] задача (39) имеет

слабое решение w(·) ∈ C([0, T ]; H), если w₀ ∈ H.

Так как A_K (·) - максимально аккретивный оператор, то из (39) получим, что ∥w(t)∥2H ≤

≤ ∥w₀∥2He2cF (K)t. Отсюда следует, что ∥w(t)∥2H < K², 0 ≤ t ≤ T′, если ∥w0∥H < K, где

T^′ = T(∥w₀∥_H) =

c_F (K)

∥w₀∥_H

Следовательно, f_iK (x, u₁(x, t), u₂(x, t)) = f_i(x, u₁(x, t), u₂(x, t)) при 0 ≤ t ≤ T^′.

Поэтому функция u(x, t) является решением задачи (1)-(4) в области (0, l) × (0, T^′).

Для строгих решений тождество (10) доказывается прямым дифференцированием, а для

слабых решений - путём аппроксимации и предельного перехода. Теоремы 1 и 2 доказаны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алиев А.Б., Шафиева Г.Х. Разрушение решений смешанной задачи для систем волновых уравне-

ний с граничной диссипацией и внутренним нелинейным фокусирующим источником переменного

порядка роста // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 3. С. 313-325.

2. Rauch J. Hyperbolic Partial Differential Equations and Geometric Optics. Graduate Studies in

Mathematics. V. 133. Providence, 2012.

3. Жиков В.В. Об эффекте Лаврентьева // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 1. С. 10-14.

4. Жиков B.B. О весовых соболевских пространствах // Мат. сб. 1998. Т. 189. № 8. С. 27-58.

5. Корпусов М.О. О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений с положительной

энергией // Журн. теор. и мат. физики. 2012. Т. 171. № 3. С. 355-369.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1052

АЛИЕВ, ШАФИЕВА

6. Hongyinping Fenga, Shengjia Li, Xia Zhi. Blow-up solutions for a nonlinear wave equation with boundary

damping and interior source // Nonlin. Anal. 2012. V. 75. P. 2273-2280.

7. Wenjun Liu, Yun Sun, Gang Li. Blow-up of solutions for a nonlinear wave equation with nonnegative

initial energy // Electronic J. of Differ. Equat. 2013. V. 15. P. 1-8.

8. Diening L., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents.

Lect. Notes Math. Heidelberg; Dordrecht; London; New York, 2017.

9. Almeida A., Samko S. Embeddings of variable Hajlasz-Sobolev spaces into Hölder spaces of variable

order // J. Math. Anal. Appl. 2009. V. 353. № 2. P. 489-496.

10. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and Wk,p(x) // Czechoslovak Math. J. 1991. V. 41. P. 592-618.

11. Antontsev S. Wave equation with p(x, t)-laplacian and damping term: blow-up of solutions // C.R.

Mecanique. 2011. V. 339. P. 751-755.

12. Messaoudi S.A., Talahmeh A.A. Blow-up in solutions of a quasilinear wave equation with variable-

exponent nonlinearities // Math. Meth. Appl. Sci. 2017. V. 40. № 18. P. 6976-6986.

13. Sun L., Ren Y., Gao W. Lower and upper bounds for the blow-up time for nonlinear wave equation with

variable sources // Comput. Math. Appl. 2016. V. 71. № 1. P. 267-277.

14. Chueshov I., Eller M., Lasiecka I. On the attractor for a semilinear wave equation with critical exponent

and nonlinear boundary dissipation // Comm. in Part. Differ. Equat. 2002. V. 27. № 2. P. 1901-1951.

15. Cavalcanti M., Domingos Cavalcanti V.N., Lasiecka I. Well-posedness and optimal decay rates for the

wave equation with nonlinear boundary damping-source interaction // J. Differ. Equat. 2007. V. 236.

P. 407-459.

16. Lasiecka I., Triggiani R., Zhang X. Nonhomogeneous boundary value problems for second order

hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. V. 65. № 2. P. 149-192.

17. Lasiecka I., Triggiani R., Zhang X. Nonconservative wave equations with unobserved Neumann B.C.:

global uniqueness and observability in one shot // Contemp. Math. 2000. V. 268. P. 227-327.

18. Lasiecka I., Tataru D. Uniform boundary stabilization of semilinear wave equation with nonlinear

boundary damping // Differ. and Integral Equat. 1993. V. 6. № 3. P. 507-533.

19. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.

20. Showalter R.E. Monotone Operators in Banach Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations.

Mathematical Surveys and Monographs. V. 49. Providence, 1997.

21. Barbu V. Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces. Noordhoff, 1976.

Институт математики и механики

Поступила в редакцию 22.12.2021 г.

НАН Азербайджана, г. Баку,

После доработки 25.06.2022 г.

Азербайджанский государственный университет

Принята к публикации 05.07.2022 г.

нефти и промышленности, г. Баку,

Бакинский государственный университет,

Азербайджан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022