ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1053-1061
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.952.5
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ЛИУВИЛЛЯ
© 2022 г. А. В. Псху
Рассматривается уравнение в частных производных первого порядка с дробной производ-
ной по одной из двух независимых переменных. Дробное дифференцирование задано опе-
ратором Лиувилля, определённым на бесконечном интервале и имеющим начало в минус
бесконечности. Для рассматриваемого уравнения исследуется краевая задача в бесконеч-
ной полуполосе. Построено представление решения, найдены достаточные условия суще-
ствования регулярных решений и доказана теорема единственности. Также показано, что
решение однородного уравнения как функции одной из переменных является аналитиче-
ским.
DOI: 10.31857/S0374064122080052, EDN: CFTIVW
Введение. Рассмотрим уравнение
(
)
∂
∂α
+
u(x, y) = f(x, y),
(1)
∂x
∂yα
где ∂α/∂yα - дробная производная по y порядка α ∈ (0, 1).
Исследование уравнений в частных производных дробного порядка, не выше первого, на-
чалось относительно недавно, но тем не менее имеет достаточно широкую библиографию. По
всей видимости, первыми работами, посвящёнными таким уравнениям, были статьи [1] и [2]
(см. также [3]). В последствии для таких уравнений, а также их обобщений, рассматривались
различные начальные и краевые задачи, включая задачи в многомерных областях [4, 5] и об-
ластях с криволинейной границей [6], нелокальные краевые задачи [7, 8], изучались уравнения
с переменными [9, 10] и матричными [11, 12] коэффициентами, а также задачи для уравнений
с операторами дробного дискретно распределённого дифференцирования [13] и операторами
Джрбашяна-Нерсесяна [14, 15] и т.д.
Отметим также, что необходимость изучения уравнений вида (1) возникает при решении
методом факторизации диффузионных и диффузионно-волновых уравнений дробного поряд-
ка [16]. Кроме того, такие уравнения появляются при математическом моделировании дина-
мики численности популяций [17].
Заметим, что уравнение (1) представляет собой пример одного из самых простых уравнений
в частных производных дробного порядка. В предельном случае (при α = 1) это уравнение
превращается в гиперболическое уравнение первого порядка
(
)
∂
∂
+
u(x, y) = f(x, y).
(2)
∂x
∂y
Эти простота и наглядность также могут служить хорошей мотивацией к изучению уравнений
вида (1), проведению сравнительного анализа свойств уравнений с частными производными
целого порядка с их дробными аналогами, и способствовать тем самым лучшему пониманию
того, что может привнести присутствие в уравнении оператора дробного дифференцирования.
Во всех работах, указанных выше, рассматривались операторы дробного дифференцирова-
ния, определённые на конечном интервале (имеющие начало в конечных точках). В уравнении
(1) рассматривается дробная производная, определённая на бесконечном интервале и имеющая
начало в минус бесконечности (см. ниже).
1053
1054
ПСХУ
Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка, имеющими начало в
бесконечно удалённой точке, изучались сравнительно мало. В связи с этим следует упомянуть
работы [18, 19].
Как известно, начальные данные для уравнений с производными дробного порядка зада-
ются именно в начальных точках (на линии начал). Для уравнений, содержащих операторы
дробного дифференцирования, определённые на бесконечных промежутках (т.е. с началом
в плюс или минус бесконечности), это приводит к необходимости вместо начального усло-
вия задавать асимптотическое поведение искомого решения, т.е. такие операторы индуцируют
асимптотические задачи (задачи без начальных условий).
В данной работе рассматривается именно такая задача для уравнения (1) в бесконечной
(вертикальной) полуполосе, для которой построено представление регулярного решения, най-
дены достаточные условия его существования и единственности. Показано, что, в отличие от
соответствующих уравнений целого порядка (2) с началом в конечной точке, решение одно-
родного уравнения (1) является аналитической функцией переменной x.
1. Дробное дифференцирование. Интеграл и производная Римана-Лиувилля порядка
ζ по переменной t с началом в точке t = s определяются равенствами [20, с. 11]
∫t
Dζstg(t) = sign (t - s) g(η)|t-η|-ζ-1
dη (ζ < 0), D0stg(t) = g(t),
(3)
Γ(-ζ)
s
и
Dζstg(t) = signp(t - s)∂p
Dζ-pstg(t) (p - 1 < ζ ≤ p, p ∈ N).
(4)
∂tp
При s = ±∞ операторы (3) и (4) принято называть, соответственно, (дробными) интегралом
и производной Лиувилля [21, с. 85].
В уравнении (1) дробное дифференцирование понимается как дробная производная Ли-
увилля с началом в минус бесконечности, т.е.
y
∫
∂α
∂
(y - t)-α
u(x, y) = Dα-∞yu(x, y) =
u(x, t) dt.
∂yα
∂t
Γ(1 - α)
-∞
В работе также понадобятся производные Капуто (которые в последнее время все чаще
называют производными Герасимова-Капуто), определяемые равенством [20, с. 11]
p
∂ζstg(t) = signp(t - s)Dζ-p ∂st
g(t) (p - 1 < ζ ≤ p, p ∈ N).
∂tp
2. Постановка задачи. Будем рассматривать уравнение
(
)
∂
+Dα
-∞y
u(x, y) = f(x, y)
(5)
∂x
в области
Ω = (r,a) × (-∞,b) = {(x,y) : x ∈ (r,a), y ∈ (-∞,b)} (r < a).
Также будем использовать обозначения
Ωr = Ω
⋃ {(x, y) : x = r, y < b}, Ωε = (r, a - ε) × (-∞, b - ε).
Определение. Будем называть функцию u(x,y) регулярным решением уравнения (5) в
области Ω, если: u(x, y) ∈ C(Ωr); функция u(x, y) непрерывно дифференцируема по пере-
менной x, а функция Dα-1-∞yu(x, y) - по переменной y для всех (x, y) ∈ Ω; (R - y)-αu(x, y),
как функция переменной y, интегрируема на множестве (-∞, R) для любых x ∈ (r, a) и
R < b; u(x,y) удовлетворяет уравнению (5) в Ω.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1055
Задача. Найти регулярное решение u(x, y) уравнения (5) в области Ω, удовлетворяющее
условию
u(r, y) = ϕ(y) (y < b).
(6)
3. Специальное решение. Рассмотрим функцию
wμ(x,y) = yμ-1φ(-α,μ;-x/yα) (x,y > 0),
(7)
где
∑
zk
φ(ξ, η; z) =
(ξ > -1)
k!Γ(ξk + η)
k=0
- функция Райта (см. работы [22, 23]).
Для функции Райта известны формулы дифференцирования (и интегрирования, во втором
случае) [22]
d
φ(ξ, η; z) = φ(ξ, η + ξ; z)
(8)
dz
и [3]
Dβ0y[yμ-1φ(-α,μ;-λy-α)] = yμ-β-1φ(-α,μ - β;-λy-α) (β,μ ∈ R, λ > 0).
Из этих формул с учётом (7) для функции wμ(x, y) справедливы соотношения
∂
wμ(x,y) = -wμ-α(x,y),
(9)
∂x
Dβ0ywμ(x,y) = ∂β0ywμ(x,y) = wμ-β(x,y) (β ∈ R).
(10)
В силу обобщённой формулы Ньютона-Лейбница для операторов дробного интегрирования и
дифференцирования (см., например, [20, § 1.19]) имеем
∂
∂
xν-1 yμ-1
D-ν0xwμ(x,y) = D-ν
wμ(x,y) +
∂x
0x ∂x
Γ(ν) Γ(μ)
Отсюда с учётом (9) и (10) получим
(
)
∂
xν-1 yμ-1
+Dα
0y
D-ν0xwμ(x,y) =
(11)
∂x
Γ(ν) Γ(μ)
Кроме того, из свойств функции Райта следуют неравенства (см. [23])
|wμ(x, y)| < Cyμ-1 exp(-ρx1/(1-α)y-α/(1-α)) (C = C(α, μ), ρ < (1 - α)αα/(1-α))
(12)
и [24]
wμ(x,y) > 0 (μ ≥ 0).
(13)
Из (12), в частности, следует, что
{
-1,
(-μ) ∈ N
⋃ {0},
|wμ(x, y)| < Cx-θyμ+αθ-1, θ ≥
(14)
0,
(-μ) ∈ N
⋃ {0},C=C(α,μ,θ).
Здесь и далее буквой C обозначаются положительные постоянные (вообще говоря, различ-
ные). При этом в скобках, в случае необходимости, указываются параметры, от которых за-
висит их выбор, например, C = C(α, β, . . .).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1056
ПСХУ
4. Представление решения. Сначала докажем теорему о представлении регулярных
решений уравнения (5).
Теорема 1. Пусть f(x, y) ∈ L(Ωε), ϕ(y) ∈ L(-∞, b - ε) и
lim
sup
|u(x, y)| = 0
(15)
R→-∞x∈(r,a-ε)
y<R
для любого достаточно малого числа ε > 0.
Если u(x, y) - регулярное решение задачи (5) и (6), то оно представимо в виде
y
x
y
∫
∫
∫
u(x, y) =
ϕ(t)w0(x - r, y - t) dt +
f (s, t)w0(x - s, y - t) dt ds.
(16)
−∞
r
-∞
Доказательство. Рассмотрим функцию
v(x, y; s, t) = D-1xsw1(x - s, y - t) (s ≤ x, t ≤ y).
Из (10) и (11) следует, что
(
)
∂
-
+∂α
v(x, y; s, t) = 1
(17)
yt
∂s
и
v(x, y; x, t) = 0 (t ≤ y), v(x, y; s, y) = 0 (s ≤ x).
(18)
Пусть u(x, y) - регулярное решение уравнения (5), R < y. Рассмотрим выражение
x
y
x
y
∫
∫
∫
∫
[
]
∂
v(x, y; s, t)f(s, t) dt ds =
v(x, y; s, t)
+Dα
u(s, t) dt ds.
-∞t
∂s
r R
r R
В силу (18) имеем
∫
x
∫
y
∫
y
∫
x
∫
y
∂
∂
v(x, y; s, t)
u(s, t) dt ds = - v(x, y; r, t)u(r, t) dt -
u(s, t)
v(x, y; s, t) dt ds
∂s
∂s
r R
R
r R
и
x
y
x
y
∫
∫
∫
∫
v(x, y; s, t)Dα-∞tu(s, t) dt ds =
v(x, y; s, t)[DαRt + JR]u(s, t) dt ds =
r R
r R
∫x
∫
y
∫
x
∫
y
∂
=
v(x, y; s, t)JRu(s, t) dt ds -
Dα-1Rtu(s,t)
v(x, y; s, t) dt ds,
∂t
r R
r R
где
∫
R
∫
R
1
∂
u(s, η) dη
1
u(s, η) dη
JRu(s,t) =
=
(t > R).
(19)
Γ(1 - α) ∂t
(t - η)α
Γ(-α)
(t - η)α+1
−∞
-∞
Здесь было использовано равенство
lim
Dα-1Rtu(s,t) = 0,
t→R
которое является следствием непрерывности функции u(s, t) на линии t = R, r ≤ s ≤ x.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1057
Теперь, использовав формулу дробного интегрирования по частям (см., например, [20,
§ 1.2]), получим
x
y
x
y
∫
∫
∫
∫
[
]
∂
v(x, y; s, t)f(s, t) dt ds =
u(s, t)
-
+∂α
yt
v(x, y; s, t) dt ds +
∂s
r R
r R
y
y
∫x
∫
∫
+
v(x, y; s, t)JRu(s, t) dt ds - v(x, y; r, t)u(r, t) dt.
r R
R
Продифференцировав это выражение по x и по y, с учётом (6), (10), (17) и (18) запишем
равенство
y
y
∫x
∫
∫
u(x, y) =
w0(x - s,y - t)f(s,t)dtds + w0(x - r,y - t)ϕ(t)dt + I,
r R
R
где
y
∫x
∫
I =-
w0(x - s,y - t)JRu(s,t)dtds.
r R
Оценим интеграл I. Введём обозначение
CR = sup
|u(s, t)|.
s∈(r,x)
t<R
С учётом (10), (13) и (19) получим
x
y
x
∫
∫
∫
CR
|I| ≤
w0(x - s,y - t)(t - R)-α
dt ds = CR w1-α(x - s, y - R) ds,
Γ(1 - α)
r R
r
откуда в силу условия (15) следует, что lim I = 0. Тем самым представление (16) доказано.
R→-∞
5. Единственность решения. Утверждение теоремы 1 позволяет доказать единствен-
ность решения рассматриваемой задачи.
Теорема 2. Существует не более одного регулярного решения задачи (5) и (6) в классе
функций, удовлетворяющих условию (15).
Доказательство. Пусть u1(x, t) и u2(x, t) - два решения задачи (5), (6) (соответствующие
одной и той же правой части f(x, y) и граничной функции ϕ(y)). Тогда функция v(x, y) =
= u1(x,y) - u2(x,y) является регулярным решением однородной задачи
(
)
∂
+Dα
-∞y
v(x, y) = 0, v(r, y) = 0,
∂x
удовлетворяющим предельному соотношению (15). В силу теоремы 1 это означает, что
v(x, y) ≡ 0, т.е. u1(x, y) ≡ u2(x, y).
6. Теорема существования решения. Из теоремы 1, вообще говоря, не следует, что
любая функция вида (16) априори является решением задачи (5) и (6). Для того чтобы это
имело место, необходимы дополнительные условия на правую часть f(x, y) и граничную функ-
цию ϕ(y).
Теорема 3. Пусть ϕ(y) ∈ C(-∞, b)
⋂L(-∞,b - ε), f(x,y) ∈ C(Ωr)⋂ L(Ωε),
lim (-y)δϕ(y) = 0 (δ > 1 - α)
(20)
y→-∞
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1058
ПСХУ
и функция f(x, y) представима в виде
f (x, y) = D-ξrxD-η-∞yg(x, y) (ξ > 0, η > 0),
(21)
где g(x, y) ∈ L(Ωε), (x - r)μg(x, y) ∈ C(Ωr) и
sup{(x - r)μ(b - y)ν|g(x,y)| : (x,y) ∈ Ωε} ≤ C (C = C(ε))
(22)
для некоторых μ < ξ, ν > η + 1 и любого достаточно малого ε > 0.
Тогда функция u(x, y), определённая равенством (16), является регулярным решением
задачи (5) и (6).
Доказательство. Введём следующие обозначения:
y
x
y
∫
∫
∫
Φ(x, y) =
ϕ(t)w0(x - r, y - t) dt, F (x, y) =
f (s, t)w0(x - s, y - t) dt ds.
−∞
r
-∞
Прежде всего отметим, что из неравенства (14) следует оценка
|D-ξxswη(x - s, y - t)| ≤ C(x - s)ξ-θ(y - t)η+αθ-1
для любого θ ∈ [0, 1). Отсюда в силу (21) и (22) получим
∫x
∫
y
∫
x
|F (x, y)| ≤
|g(s, t)D-ξxs wη(x - s, y - t)| dt ds ≤ C (s - r)-μ(x - s)ξ-θ ds ×
r -∞
r
y
∫
× (b - t)-ν (y - t)η+αθ-1 dt ≤ C(x - r)ξ-μ-θ+1(b - y)η+αθ-ν .
(23)
-∞
Кроме того, с учётом условия (20) нетрудно заметить, что
y
∞
∫
∫
|Φ(x, y)| ≤ C (b - t)-δw0(x - r, y - t) dt = C (b - y + t)-δw0(x - r, t) dt ≤ C(b - y)-δ.
-∞
0
Из (23) и последнего неравенства следует, что (R - y)-αu(x, y) ∈ L(-∞, R) (как функция y)
для любых x ∈ (r, a) и R < b.
Далее, приняв во внимание (10), (11), (12) и (14), можно непосредственно проверить, что
(
)
∂
+Dα
Φ(x, y) = 0.
(24)
-∞y
∂x
Аналогично с учётом равенств (10), (11), (22) и формулы дробного интегрирования по
частям имеем
(
)
(
)∫x
∫
y
∂
∂
+Dα
-∞y
F (x, y) =
+Dα
-∞y
g(s, t)D-ξxs wη(x - s, y - t) dt ds =
∂x
∂x
r
-∞
y
x
y
∫x
∫
(
)
∫
∫
∂
(x - s)ξ-1(y - t)η-1
=
g(s, t)
-
+Dα
D-ξxswη(x - s,y - t)dtds =
g(s, t)
dt ds.
yt
∂s
Γ(ξ)Γ(η)
r -∞
r
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1059
Отсюда в силу (21) получаем
(
)
∂
+Dα
-∞y
F (x, y) = f(x, y)
∂x
Это равенство вместе с (24) доказывает, что функция u(x, y), определённая формулой (16),
является решением уравнения (5).
Проверим выполнение условия (6). Из неравенства (23) следует предельное соотношение
lim F (x, y) = 0 (y < b).
x→r
Поэтому для завершения доказательства теоремы необходимо показать, что
lim Φ(x, y) = ϕ(y).
(25)
x→r
Для доказательства предельного равенства (25) рассмотрим выражение
y
y
∫
∫
)
∫
Φ(x, y) =
+
[ϕ(t) - ϕ(y)]w0(x - r, y - t) dt + ϕ(y)
w0(x-r,y -t)dt = I1 +I2 +ϕ(y)I3.
−∞ y-ε
-∞
Из оценки (12) следует, что lim
I1 = 0. Для интеграла I2 имеем |I2| ≤ C sup
|ϕ(t) - ϕ(y)|.
x→r
t∈(y-ε,y)
Из произвольности выбора ε и непрерывности функции ϕ(y) следует, что lim
I2 = 0. И, на-
x→r
конец, из соотношения (10) получим
∫
y
∫
∞
∫
z
w0(x - r,y - t)dt = w0(x - r,t)dt = lim
w0(x - r,t)dt = lim
w1(x - r, z) = 1.
z→∞
z→∞
−∞
0
0
Это подтверждает справедливость (25) и завершает доказательство теоремы.
7. Аналитичность решений. Докажем аналитичность по x решения однородного урав-
нения (5).
Лемма. Пусть ϕ(y) ∈ L(-∞, b - ε). Всякое регулярное в области Ω решение уравнения
(
)
∂
+Dα
-∞y
u(x, y) = 0,
(26)
∂x
удовлетворяющее условиям (6) и (15), может быть представлено в виде
∑
u(x, y) =
dk(y)(x - x0)k (r < x0 < a),
(27)
k=0
где
∞
∫
k
(-1)
dk(y) =
ϕ(y - t)w-αk(x0 - r, t) dt,
k!
0
причём
|dk(y)| ≤ Cξk
(28)
для некоторых ξ > 0 и C = C(α, x0).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
4∗
1060
ПСХУ
Доказательство. С учётом равенств (7) и (8) запишем разложение в ряд Тейлора функции
wμ(x - r,t) по степеням (x - x0):
∑
(-1)k
wμ(x - r,t) =
(x - x0)kwμ-αk(x0 - r, t) (t > 0).
(29)
k!
k=0
Из свойств функции Райта (см. [25, формула (2.2.85)]) следует, что
(
)
1-μ
|wμ-αk(x0 - r, t)| ≤ CξkΓ
+ k w1(x1 - r,t) (μ < 1),
α
где x1 ∈ (r, x0), а C = C(α, μ) и ξ = ξ(α, μ, x1) - положительные константы, не зависящие от
x и t. Из этой оценки следует, что по крайней мере при μ < 1 ряд (29) имеет положительный
радиус сходимости, причём в силу неравенства (12) ряд сходится равномерно на множестве
t ∈ [0,∞).
Далее запишем решение уравнения (26) с учётом (16) в виде
∫∞
u(x, y) = ϕ(y - t)w0(x - r, t) dt.
0
Подставив в последнее равенство разложение (29) и приняв во внимание (12), после некоторых
преобразований получим (27) и (28). Лемма доказана.
Из леммы, в частности, следует, что решения уравнения (26) являются аналитическими
функциями переменной x для каждого y < b, и это никак не связано с гладкостью ϕ(y).
Отметим, что таким свойством решения уравнения
(
)
∂
+Dα
cy
u(x, y) = 0
∂x
(в случае конечного c), также как и решения уравнения (2), не обладают.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Clément Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives
// Trans. of the American Math. Soc. 2000. V. 352. № 5. P. 2239-2260.
2. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными
дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2000. Т. 5. № 1. С. 45-53.
3. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными
дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 1092-1099.
4. Псху А.В. Краевая задача для многомерного дифференциального уравнения дробного порядка
// Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 385-395.
5. Псху А.В. О продолжении решений дифференциального уравнения в частных производных дроб-
ного порядка // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 1. С. 133-136.
6. Псху А.В. О краевой задаче для уравнения в частных производных дробного порядка в области с
криволинейной границей // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1076-1082.
7. Богатырева Ф.Т. Краевая задача с интегральным условием Cамарского для уравнения в частных
производных первого порядка // Изв. Кабардино-Балкарского науч. центра РАН. 2017. № 6-1 (80).
С. 10-14.
8. Мамчуев М.О. Нелокальная краевая задача для системы уравнений с частными производными
дробного порядка // Мат. заметки Северо-Восточного федерал. ун-та. 2019. Т. 26. № 1. С. 23-31.
9. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного
порядка // Изв. Кабардино-Балкарского науч. центра РАН. 2002. № 1 (8). C. 76-78.
10. Мамчуев М.О. Краевая задача для уравнения первого порядка с частной производной дробного
порядка с переменными коэффициентами // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук.
2009. Т. 11. № 1. C. 32-35.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1061
11. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка
// Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 12. С. 1674-1686.
12. Мамчуев М.О. Краевая задача для многомерной системы уравнений с дробными производными
Римана-Лиувилля // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 732-747.
13. Псху А.В. Краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с оператором
дробного дискретно распределённого дифференцирования // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52.
№ 12. С. 1682-1694.
14. Богатырева Ф.Т. Краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с опера-
тором Джрбашяна-Нерсесяна // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2015. Т. 15.
№ 1. С. 9-16.
15. Богатырева Ф.Т. Краевые задачи для уравнения в частных производных первого порядка с опера-
торами Джрбашяна-Нерсесяна // Челябинский физ.-мат. журн. 2021. Т. 6. № 4. С. 403-416.
16. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Диффе-
ренц. уравнения. 2003. Т. 39. № 9. С. 1286-1289.
17. Лосанова Ф.М., Кенетова Р.О. Нелокальная задача для обобщённого уравнения Маккендрика фон
Фёрстера с оператором Капуто // Нелинейный мир. 2018. Т. 16. № 1. С. 49-53.
18. Kilbas A.A., Pierantozzi T., Trujillo J.J., V’azquez L. On the solution of fractional evolution equations
// J. Phys. A: Math. Gen. 2004. V. 37. P. 3271-3283.
19. Pskhu A.V., Rekhviashvili S.Sh. Fractional diffusion-wave equation with application in electrodynamics
// Mathematics. 2020. V. 8. № 11. P. 2086.
20. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.
21. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. Минск, 1987.
22. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc.
1933. V. s1-8. № 1. P. 71-79.
23. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser.
1940. V. 11. № 1. P. 36-48.
24. Stanković B. On the function of E.M. Wright // Publications de L’institut Mathématique. Beograde.
1970. V. 10. № 24. P. 113-124.
25. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., 2005.
Институт прикладной математики и автоматизации
Поступила в редакцию 28.04.2022 г.
Кабардино-Балкарского научного центра РАН,
После доработки 28.04.2022 г.
г. Нальчик
Принята к публикации 05.07.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
