ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1062-1072
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.35
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА
ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ
С ОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
© 2022 г. И. А. Рудаков
Доказано существование бесконечного числа периодических решений квазилинейного
уравнения колебаний балки, если нелинейное слагаемое является однородной нечётной
функцией, имеющей степенной рост. Граничные условия соответствуют случаям шарнирно
опирающимся и упруго закреплённым концам.
DOI: 10.31857/S0374064122080064, EDN: CFUKPN
Введение. Рассмотрим задачу о периодических решениях квазилинейного уравнения
utt + uxxxx - auxx + s(x,t)|u|r-2u = 0,
0 < x < π, t ∈ R,
(1)
u(x, t + T ) = u(x, t),
0 < x < π, t ∈ R.
(2)
Допустим, что выполнено одно из двух граничных условий
u(0, t) = uxx(0, t) = u(π, t) = uxx(π, t) = 0, t ∈ R,
(3)
u(0, t) = uxx(0, t) = u(π, t) = uxx(π, t) + hux(π, t) = 0, t ∈ R.
(4)
Константы h, a являются положительными, функция s(x, t) в уравнении (1) T -перио-
дична по времени. Константа r в показателе степени нелинейного слагаемого уравнения (1)
удовлетворяет условию r > 2.
Уравнение (1) есть математическая модель колебаний проводов и балки [1, с. 439]. Гра-
ничные условия (3) соответствуют случаю шарнирно опирающихся концов, граничное условие
(4) соответствует случаю, когда правый конец балки удерживается специальным пружинным
устройством (см. [2]). При a = 0 (что соответствует условию отсутствия растяжения вдоль
горизонтальной оси) задача о периодических и квазипериодических решениях уравнения (1)
исследовалась во многих работах, например, [2-9]. В статье [10] при a > 0 доказано суще-
ствование периодического решения малой амплитуды в случае граничных условий (3), когда
нелинейное слагаемое удовлетворяет условию Липшица. В работе [11] также исследовалась за-
дача о периодических решениях уравнения (1) при a > 0 с граничными условиями (3). Здесь
при выполнении условий M. Yamaguchi [10] для константы a доказано существование беско-
нечного числа периодических решений в случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной
рост. В [12] рассмотрено уравнение (1) также со значениями a > 0 и граничными условиями
u(0, t) = uxx(0, t) = u(π, t) = ux(π, t) = 0,
(5)
соответствующими случаю жёстко закреплённого правого конца. Получены условия существо-
вания периодического решения в случае резонанса на произвольном собственном значении
дифференциального оператора.
При исследовании задач (1)-(3); (1), (2), (4) возникает так называемая проблема “малых
знаменателей”. В связи с этим для собственных значений соответствующей задачи Штурма-
Лиувилля удобно представление (7.2) из работы [13]:
λn = (n + m0 + κ + O(1/n))4, m0 ∈ Z, n → ∞.
1062
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1063
Для граничных условий (3)-(5) константа κ (“спектральный сдвиг”) согласно [13] прини-
мает соответственно значения 0, 0, 1/4. Для обоснования возможности обращения дифферен-
циального оператора D = ∂tt + ∂xxxx - a∂xx на дополнении к ядру потребовался первый член
асимптотики (вывод см. в п. 1) слагаемого O(1/n) в формуле (7.2) из работы [13]:
(a
h
)1
O(1/n) =
+
+ o(1/n)
4
2π n
для граничных условий (4). Следствием формул (2.10), (2.12) из статьи [12] является тот факт,
что при выполнении граничных условий (5) справедливо равенство
a
O(1/n) =
+ o(1/n).
4n
Такое же представление для O(1/n) имеет место и в случае граничных условий (3), что
позволило получить значительно менее жёсткое условие (8) на константу a, чем условия
M. Yamaguchi [10, 11].
Основным результатом данной работы является теорема о существовании счётного числа
решений задач (1)-(3); (1), (2), (4). Статья организована следующим образом. В п. 1 иссле-
дуется соответствующая задача Штурма-Лиувилля на собственные функции и собственные
значения и строится ортонормированная в пространстве L2 система функций. Решения задач
(1)-(3); (1), (2), (4) будут представлены в виде ряда Фурье по этой системе. В п. 2 рассматрива-
ются свойства дифференциального оператора D с соответствующими граничными условиями.
В п. 3 приведено доказательство основной те∫ремы, опирающееся на вариационный метод.
Обозначим Ω = [0, π] × R/(T Z); (u, v) =Ω u(x, t)v(x, t) dx dt, если u ∈ Lp(Ω), v ∈ Lq(Ω),
p > 1, q = p/(p - 1); ∥u∥p = ∥u∥Lp(Ω), ∥u∥ = ∥u∥2.
Будем предполагать выполнение следующих условий:
b
T = 2π
,
b, c ∈ N, НОД (b, c) = 1,
(6)
c
функция s(x, t) ∈ C1(Ω) является T -периодичной по t,
(7)
s(x, t) > 0 для всех (x, t) ∈ Ω.
(8)
При исследовании граничных условий (3) потребуем выполнения неравенств
1
a > 0,
ab ∈ N;
(9)
2
в случае граничных условий (4) - выполнения условий
)
(1
h
a > 0, b
a+
∈ N.
(10)
2
π
Пусть H1(Ω) = W12(Ω), H2(Ω) = W22(Ω) есть пространства Соболева. Обозначим
W1 = {ϕ ∈ C∞(Ω) : ϕ(0,t) = ϕxx(0,t) = 0, ϕ(π,t) = ϕxx(π,t) = 0 для любого t},
W2 = {ϕ ∈ C∞(Ω) : ϕ(0,t) = ϕxx(0,t) = 0, ϕ(π,t) = ϕxx(π,t) + hux(π,t) = 0 для любого t}.
Определение. Обобщённым решением задач (1)-(3) и (1), (2), (4) называется функция
u ∈ Lr(Ω), удовлетворяющая равенству
∫
(u(ψtt + ψxxxx - aψxx) + s(x, t)|u|r-2uψ) dx dt = 0
Ω
для любой функции ψ ∈ W1 и ψ ∈ W2 соответственно.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1064
РУДАКОВ
Основным результатом данной работы является следующая
Теорема. Предположим, что выполнены либо условия (6)-(9), либо условия (6)-(8), (10).
Тогда, соответственно, для любого d > 0 задачи (1)-(3) и (1), (2), (4) имеют обобщённое
решение
u ∈ H2(Ω)
⋂C1(Ω)
(11)
такое, что ∥u∥r ≥ d, uxx ∈ C(Ω), и граничные условия выполнены в классическом смысле.
1. Свойства решений линейного уравнения. При исследовании нелинейного уравне-
ния (1) будем использовать свойства дифференциального оператора этого уравнения. Для их
изучения рассмотрим соответствующее линейное уравнение
utt + uxxxx - auxx = f(x,t),
в котором функция u удовлетворяет либо условиям (2), (3), либо условиям (2), (4). Соот-
ветствующая уравнению (1) задача Штурма-Лиувилля на нахождение собственных значений
имеет вид
Y ′′′′ - aY ′′ = λY,
0<x<π,
(12)
где функция Y (x) удовлетворяет одному из граничных условий:
Y (0) = Y ′′(0) = Y (π) = Y ′′(π) = 0,
(13)
Y (0) = Y ′′(0) = Y (π) = Y ′′(π) + hY ′(π) = 0.
(14)
Собственные значения задачи (12), (13) имеют вид (см. [11]) λ1,n = n4 + an2, n ∈ N,
а соответствующие им нормированные в пространстве L2(0, π) функции определяются по
формуле
√
2
Yn =
sin(nx).
(15)
π
Легко видеть, что имеет место равенство
√
a
(4
n4 + an2 - n)n =
(1 + O(1/n2)),
4
поэтому для собственных значений будем иметь представление
(
)4
a
λ1,n = n +
+ O(1/n3)
(16)
4n
Рассмотрим задачу (12), (14) с положительной константой h в условии (14). Умножив
уравнение (12) на Y (x) и проинтегрировав полученное соотношение по отрезку [0, π], выведем
равенство
∫π
∫
π
h(Y′(π))2 +
((y′′(x))2(x) + a(Y′(x))2) dx = λ Y2(x) dx.
0
0
Отсюда следует, что λ ≥ 0. Если предположить, что λ = 0, то из полученного тождества
вытекает Y′(x) ≡ 0. Тогда с учётом граничных условий (12) получим λ > 0. При λ > 0
общее решение дифференциального уравнения (12) имеет вид
Y = C1 sin(px) + C2 cos(px) + C3 sh(qx) + C4 ch(qx),
где
((
)1/2
)1/2
)1/2
)1/2
2
a
a
((a2
a
p=
+λ
-
,
q=
+λ
+
4
2
4
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1065
и числа ±pi, ±q являются корнями характеристического уравнения. Использовав граничные
условия (14), запишем уравнение, которому удовлетворяет собственное значение λ:
ctg (pπ) = f(p).
(17)
Здесь
(
)
1
a
q
f (p) =
2p +
+
cth (qπ).
h
p
p
Так как q2 = p2 + a, то
√
2
a
a
π
f′(p) =
-
-
√
cth (π
p2 + a) +
√
h
hp2
p2
p2 + a
sh2(π
p2 + a)
Отсюда следует, что при достаточно большом p0 > 0 функция f(p) возрастает на промежутке
[p0, +∞). Обозначим F (p) = ctg (pπ) - f(p). Поскольку для любого числа n ∈ Z+ ≡ N
⋃ {0}
имеем F (n + 1/2) = -f(n + 1/2) < 0, lim
F (n + ε) = +∞, то на интервалах In ≡ (n, n + 1/2)
ε→0+0
уравнение (17) имеет решение. Легко видеть, что при p > 0 вне интервалов In функция F
принимает отрицательные значения и уравнение (17) не имеет решений. При p > p0 на ин-
тервале In функция f(p) возрастает, а ctg (pπ) убывает, поэтому на интервале In уравнение
(17) имеет единственное решение pn. Если положить pn = n + τn (τn ∈ (0, 1/2)), то из (17)
получим соотношение
(
√
)-1
√
a
(n + τn)2 + a
tg (πτn) = h
2(n + τn) +
+h
cth (π
(n + τn)2 + a)
,
n+τn
n+τn
из которого и из (17) выведем равенства
h
h 1
lim
nτn =
,
τn =
+ o(1/n).
n→∞
2π
2π n
Обозначим n0 = [p0] + 1. Таким образом, при n ≥ n0, n ∈ N, на каждом интервале In =
= (n, n + 1/2) существует единственный корень pn уравнения (17), которому соответствует
собственное значение λn задачи (12), (14):
(
)4
(
)2
h 1
h 1
λn = n +
+ o(1/n)
+a n+
+ o(1/n)
(18)
2π n
2π n
Удобно будет также представление собственных значений λn по формуле (7.2) работы [13]:
λn = (n + O(1/n))4.
(19)
Использовав равенство (18), вычислим
(√
)
4
1
h
lim
λn - n n =
a+
,
n→∞
4
2π
откуда следует
(
)
)4
(1
h
1
λn = n +
a+
+ o(1/n)
(20)
4
2π n
В равенстве (20) записан первый член асимптотики слагаемого O(1/n) в формуле (19).
На промежутке (0, n0] задача (12), (14) имеет конечное число собственных значений [14,
с. 78]. Пусть на промежутке (0, n0] имеется m (m ∈ Z+ ≡ N
⋃ {0}) собственных значений за-
дачи (12), (14) с учётом их кратностей. Обозначим через {λ2,n}n∈N и {Yn}n∈N соответственно
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1066
РУДАКОВ
множества всех собственных значений задачи (12), (14), пронумерованных в порядке возрас-
тания, и соответствующих им собственных функций. Система функций {Yn}n∈N является
полной (см. [14, с. 91]) в L2(0, π). Из формулы (20) следует, что при n ≥ m + 1 имеет место
следующее представление:
(
)
)4
(1
h
1
λ2,n = n + n0 - m - 1 +
a+
+ o(1/n)
(21)
4
2π n
Соответствующие {λ2,n} собственные функции при n ≥ m + 1 имеют вид
(
)
sh (qnx)
Yn = An sin(pnx) - sin(pnπ)
(22)
sh (qnπ)
√
Здесь pn = n + τn, qn =
p2n + a, n = n + n0 - m- 1. Если выбрать множители An с учётом
условия нормировки ∥Yn∥ = 1, то будем иметь представление
(√
)-1
π
An =
+ O(1/n)
2
Решения задач (1)-(3); (1), (2), (4) представим в виде ряда Фурье по следующей полной и
ортонормированной в L2(Ω) системе функций:
(
)
(
)
√
}
{√ c
c
√ c
c
c
Yn(x)cos
kt
,
Yn(x)sin
kt
,
Yn(x)
,
(23)
πb
b
πb
b
2πb
n,k∈N
в которой функции Yn(x) выражаются либо формулой (15), либо формулой (22), в соответ-
ствии с рассматриваемой задачей.
2. Исследование дифференциального оператора уравнения (1). Обозначим через
Li : L2(Ω) → L2(Ω), i ∈ {1,2}, дифференциальные операторы, областью определения которых
являются множества Wi соответственно, и Liv = vtt + vxxxx - avxx при v ∈ Wi. Пусть Li
есть сопряжённые к Li в L2(Ω) операторы (Li = L∗i). Операторы Li, i ∈ {1, 2}, являются
самосопряжёнными в L2(Ω). Обозначим через N(Li), R(Li) ядро и образ операторов Li
соответственно.
Функции системы (23) являются собственными функциями операторов Li, Li. Соответ-
ствующие им собственные значения имеют вид
2
c
μi,nk = λi,n -
k2, n ∈ N, k ∈ Z+.
b2
Лемма. Предположим, что выполнено либо условие (9), либо условие (10). Тогда ядра
N (Li) соответствующих операторов Li являются конечномерными, и операторы L-1i :
R(Li) → R(Li) вполне непрерывны.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточно проверить, что
имеется не более конечного числа собственных значений μi,nk, равных нулю. Обозначим
√
Qink = |b
λi,n - ck|, i ∈ {1,2}. Из формул (16), (20) выведем
Qink = |ji,nk + Ri(a,b) + γi,n|,
где
j1,nk = bn2 - ck, j2,nk = b(n + n0 - m + 1)2 - ck, γi,n = o(1),
)
1
(1
h
R1(a,b) =
ab, R2(a, b) = b
a+
2
2
π
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1067
Из условий (9), (10) следует существование натуральных чисел li, i ∈ {1, 2} таких, что
Ri(a,b) ∈ (li - 1,li). Обозначим
(
)
(
)
))
1
1
(1
h
(1
h
ε1,0 = min
ab - l1 + 1, l1 -
ab
,
ε2,0 = min b
a+
- l2 + 1,l2 - b
a+
2
2
2
π
2
π
Поскольку ji,nk ∈ Z, γi,n = o(1), то найдутся натуральные числа ni,o такие, что |γi,n| < εi,0/2
при n ≥ ni,0. Следовательно, при n ≥ ni,0 будут иметь место неравенства
1
1
√
|Qink| ≥
εi,0,
|μi,nk| ≥
εi,0(b
λi,n + ck), i ∈ {1,2}.
(24)
2
2b2
Из (24) следует, что равенства μi,nk = 0 могут выполняться не более чем для конечного числа
пар (n, k) ∈ N × Z+. Поэтому dim ker Li < ∞.
Для доказательства второго утверждения достаточно доказать сходимость рядов
∑
∑
1
Si =
μ2i,nk
n=ni k=0
√
Обозначим zi,n = b
λi,n/c, ki,n = [zi,n], δi,n = {zi,n}. Из (24) следует оценка
1
1
|m - zi,n| ≥
εi,0,
δi,n ≥
εi,0
для любых n ∈ N, m ∈ Z+.
(25)
2c
2c
Следовательно,
)
∑
∑
∑
(∞∑
1
1
1
1
Si =
√
√
≤
2
(b
λi,n - ck)2(b
λi,n + ck)2
b2c
λi,n
(k - zi,n)2
n=n1 k=0
n=n1
k=0
Использовав (25), выведем неравенство
∑
∑
∑
1
1
1
<
+
<
2
(k - zi,n)
(k - (1 - δi,n))2
(k - δi,n)2
k=0
k=1
k=1
∞
∞
∫
∫
1
1
1
1
εi,0 + 1
<
+
dx +
+
dx ≤ 4c
(1 - δi,n)2
(x - (1 - δi,n))2
δ2
(x - δi,n)2
ε2
i,n
i,0
1
1
Отсюда и из формул (16), (21) следует Si < ∞. Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы. Рассмотрим функционал
∫
)
(1
a
1
1
J (u) =
u2xx +
u2x -
u2t +
s(x, t)|u|r dx dt,
2
2
2
r
Ω
определённый на подпространствах Si,k (k ∈ N) пространства L2(Ω), имеющих базис
{
(
)
(
)
}
c
c
Yl(x)cos
jt
,Yl(x)sin
jt
,Yl(x) : 1 ≤ j,l ≤ k
b
b
Докажем существование критических точек функционалов J на Si,k с помощью метода
работы [3]. Представим подпространства Si,k в виде прямой суммы подпространств Sdi,l, Sdi,g,
базисами в которых являются соответственно следующие системы функций:
{
(
)
(
)
}
c
c
Yl(x)cos
jt
,Yl(x)sin
jt
,Yl(x) : μi,lj ≤ d,
1 ≤ j,l ≤ k
,
b
b
{
(
)
(
)
}
c
c
Yl(x)cos
jt
,Yl(x)sin
jt
,Yl(x) : μi,lj > d,
1 ≤ j,l ≤ k
b
b
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1068
РУДАКОВ
Через alj, blj обозначим коэффициенты разложения функции u ∈ L2(Ω) в ряд Фурье по
системе (23). C помощью неравенств Хаусдорфа-Юнга и Гёльдера стандартно доказывается
существование констант z0 ∈ (0, 1), C0 ∈ (0, ∞), не зависящих от k, i ∈ {0, 1}, таких, что
∑∑
∥u∥2r ≤ C0
|μi,lj|z0 (a2lj + b2lj) для всех u ∈ Si,k
⋂R(Li).
(26)
l=1 j=0
Введём обозначения:
s0 = maxs(x, t), s1 = min s(x, t),
Ω
Ω
{ ∑k
(
(
)
(
}
∑
))k∑∑
c
c
Uk = v =
Yl alj cos
jt
+ blj sin
jt
:
|μi,lj|z0 (a2lj + b2lj ) = 1
b
b
l=1 j=0
i=1 j=0
Использовав (26), оценим значения функционала J на множествах Uk
⋂S-di,l, d > 0:
∑∑
1
s0
1
s0
J (u) ≤ -
|μi,lj|(a2lj + b2lj) +
∥u∥rr ≤ -
d1-z0 +
Cr/20
2
r
2
r
l=1 j=0
для каждой
(
)
(
))
∑∑ (
c
c
u=
Yl aij cos
jt
+ bij sin
jt
∈Uk
⋂S-di,l.
b
b
l=1 j=0
Если ввести обозначение d(R) = (2(R + s0r-1Cr/20))1/(1-z0 ) при R > 0, то для любой
функции u ∈ Uk
⋂S-d(R)i,l будет иметь место неравенство
J (u) ≤ -R.
(27)
Через C1, C2, . . . будем обозначать константы, не зависящие от k. Для произвольного
положительного числа y и любой функции u ∈ S-yi,g выведем оценку
1
s1
1
J (u) ≥ -
y∥u∥2 +
∥u∥rr ≥ C1∥u∥r -
y∥u∥2 ≥ -C2yr/(r-2) для всех u ∈ S-yi,g,
2
r
2
где C2 = (r - 2)/(2rr/(r-2)C2/(r-2)).
Обозначим l(y) = -C2yr/(r-2) - 1 и зафиксируем произвольное действительное число
является собственным под-
,l
пространством S-d(R)i,l. Тогда найдётся собственная функция u0(x, t) ∈ Uk оператора Li с соб-
ственным значением μ0 ∈ (-R1, -d(R)]. Следовательно, l(R1) < J(u0) ≤ -R и l(R1) < -R.
Докажем, что отрезок [l(R1), -R] содержит значение функционала J(u) в некоторой его
критической точке. Если предположить противное, то из деформационной леммы работы [15]
следует существование нечётного непрерывного отображения F : Si,k → Si,k такого, что
F ({u ∈ Si,k : J(u) ≤ -R}) ⊂ {u ∈ Si,k : J(u) ≤ l(R1)}.
, ug
,l
,g
такой, что P u = ul для любых
,l
функций u = ul + ug ∈ Si,k. Рассмотрим нечётное непрерывное отображение P F : Si,k →
, то из теоремы Борсук вытекает существование
,l
,l
v0 ∈ Uk
⋂S-d(R)i,l такого, что
PF(v0) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1069
, и значит,
,g
J (F (v0)) > l(R1).
(28)
Из (27) и включения (28) следует
J (v0) < -R, J(F (v0)) ≤ l(R1).
Последнее неравенство противоречит (28). Противоречие получено в связи с предположением о
том, что не существует критического значения функционала J на отрезке [l(R1), -R]. Таким
образом, доказано существование последовательности функций uk ∈ Si,k (индекс i в записи
uk опущен для упрощения) такой, что
J′(uk) = 0,
(29)
l(R1) < J(uk) ≤ -R.
(30)
Осуществим предельный переход при k → ∞. Для этого выведем оценку нормы ∥uk∥r,
не зависящую от k. Из (29) и (30) следуют соотношения
∫
((uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx, ψ) + s(x, t)|uk|r-2ukψ dx dt = 0 для любой ψ ∈ Si,k,
(31)
Ω
∫
1
1
l(R1) ≤
((uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx, uk) +
s(x, t)|uk|r dx dt ≤ -R.
2
r
Ω
Если в (30) положить ψ = uk, то из последнего неравенства и (30) получим оценки
C4 ≥ ∥uk∥r ≥ C3,
(32)
где
(
)
(
)1/r
1/r
2r R
2r l(R1)
C3 =
,
C4 =
r-2s0
2-r s1
Из оценок (32) вытекает также ограниченность последовательности ∥s(x, t)|uk|r-2uk∥r. От-
сюда и из (32) следует существование слабо сходящейся в Lr(Ω) подпоследовательности по-
следовательности uk, для которой сходится слабо в Lr(Ω) также соответствующая подпосле-
довательность последовательности {s(x, t)|uk|r-2uk}. Чтобы не вводить новый индекс, будем
считать, что uk → u слабо в Lr(Ω) и s(x, t)|uk|r-2uk → v0 слабо в Lr(Ω).
Докажем, что v0 = s(x, t)|u|r-2u и что функция u является обобщённым решением соот-
ветствующих задач (1)-(3); (1), (2), (4). Разложим функции uk, u в ряд Фурье по системе (23)
и обозначим через {aklj, bklj }, {alj , blj} коэффициенты Фурье функций uk и u соответственно.
Обозначим
∑
DkN =
|μi,lj |((aklj )2 + (bklj )2).
|μi,lj|≥N
Покажем, что DkN → 0 при N → ∞ равномерно по k. Обозначим
{
1,
t > 0,
θ(t) =
−1,
t≤0
и подставим в (30) функцию
(
(
)
(
))
∑
c
c
ψk =
θ(μi,lj)Yl(x) aklj cos
jt
+ bklj sin
jt
∈Si,k.
b
b
|μi,lj|≥N
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1070
РУДАКОВ
Если к полученному соотношению применить неравенство Гёльдера и воспользоваться оценкой
(26), то получим
∫
(∫
)(r-1)/r(∫
)1/r
DkN ≤ s0
|uk|r-1
|ψ0| dx dt ≤ s0
|uk|r
|ψk|r
≤
Ω
Ω
Ω
(
)1/2
∑
1
≤s0Cr-1
C0
|μi,lj|z0 ((aklj )2 + (bklj)2)
≤s0Cr-14C1/2
(Dkn)1/2.
4
0
N(1-z0)/2
|μi,lj|≥N
Поэтому DkN ≤ s20C2(r-1)4C0/N1-z0 и, следовательно, существует предел
∑∑
lim
((uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx, uk) =
μi,lj(a2lj + b2lj).
(33)
k→∞
l=1 j=0
Зафиксируем k0 ∈ N, ψ ∈ Si,k0 и перейдём в равенстве (31) к пределу при k → ∞:
∫
(u, ψtt + ψxxxx - aψxx) + v0ψ dx dt = 0.
(34)
Ω
Докажем, что имеет место равенство
v0 = s(x,t)|u|r-2u.
(35)
Подставим в равенство (31) ψ = uk и, использовав (33), перейдём к пределу при k → ∞:
∫
∑∑
lim
s(x, t)|uk|r dx dt = - lim
((uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx, uk) = -
μi,lj(a2lj + b2lj).
(36)
k→∞
k→∞
l=1 j=0
Ω
Покажем, что существует предел
∑∑
lim
(u, (uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx) =
μi,lj(a2lj + b2lj).
(37)
k→∞
l=1 j=0
Обозначим
∑
r
GKL =
|μi,lj|((alj )2 + (blj )2), K, L ∈ N, K > L, r′ =
r-1
|μi,lj|≥L
l,j≤K
Подставим в равенство (34) функцию
(
(
)
(
))
∑
c
c
ψ0 =
θ(μi,lj)Yl(x) alj cos
jt
+ blj sin
jt
b
b
|μi,lj|≥L
l,j≤K
Воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим
∫
GKL = - v0ψ0 dx dt ≤ ∥v0∥r′∥ψ0∥r ≤
Ω
)1/2
√
( ∑
∥v0∥r′
√C0 √
≤ ∥v0∥r′
C0
|μi,lj|z0 ((alj )2 + (blj )2)
≤
GKL .
L(1-z0)/2
|μi,lj|≥L
l,j≤K
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЧЁТНОГО ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1071
Отсюда вытекает неравенство GKL ≤ C0∥v0∥2r′ /L1-z0 . Таким образом, существует предел
∑
lim
GKL =
|μi,lj|((alj )2 + (blj )2) ≡ GL
K→∞
|μi,lj|≥L
и GL ≤ C0∥v0∥2r′/L1-z0. Отсюда и из (36) следует равенство (37). Положим в (34) ψ = uk и,
использовав (37), перейдём к пределу при k → ∞:
∫
∫
∑∑
lim
(u, (uk)tt + (uk)xxxx - a(uk)xx) + v0u dx dt =
μi,lj(a2lj + b2lj) +
v0udxdt = 0.
k→∞
l=1 j=0
Ω
Ω
Из последнего равенства и из (36) получаем
∫
∫
lim
s(x, t)|uk|r dx dt = v0u dx dt.
(38)
k→∞
Ω
Ω
Для доказательства (35) воспользуемся неравенством
∫
s(x, t)(|v|r-2v - |uk|r-2uk)(v - uk) dx dt ≥ 0,
Ω
справедливым для произвольной функции v ∈ Lr(Ω), и перейдём в этом неравенстве к пре-
делу, использовав равенство (38):
∫
(s(x, t)|v|r-2v - v0)(v - u) dx dt ≥ 0 для любой v ∈ Lr(Ω).
Ω
Отсюда выводится соотношение (35). Из (34) и (35) вытекает, что u является обобщённым
решением. Из (32), (35) и (38) следует оценка
)1/r
( 2rs0 R
∥u∥r ≥
r-2s2
1
Аналогично доказательству леммы 2 в работе [16] обосновывается сходимость следующих
рядов:
∑
∑
l
j2
(|alj | + |blj |),
(|alj | + |blj |).
|μi,lj|
|μi,lj|
μi,lj =0
μi,lj =0
Отсюда, из (16), (21) и из конечномерности ядра ker Li вытекают включения (11) и условие
uxx ∈ C(Ω). Теорема доказана.
Заключение. Для квазилинейного уравнения (1) доказано существование бесконечной
неограниченной последовательности периодических решений на отрезке при выполнении гра-
ничных условий, соответствующих шарнирно опирающимся и упруго закреплённым концам.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант 0705-
2020-0047).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М., 1968.
2. Ji S., Wei H. Periodic solutions of a semilinear Euler-Bernoulli beam equation with variable coefficients
// London J. Math. 2020. V. 53. P. 71-94.
3. Feireisl E. Time periodic solutions to a semilinear beam equations // Nonlin. Anal. 1988. V. 12. P. 279-
290.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1072
РУДАКОВ
4. Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogeneous elastically restrained
vibrating beams // J. Sound Vibration. 2006. V. 298. № 1-2. P. 439-445.
5. Eliasson L.H., Grebert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation // Geom. Funct. Anal.
2016. V. 26. № 6. P. 1588-1715.
6. Wang Y., Ji S. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic
forcing term // Z. Angew. Math. Phys. 2012. V. 63. № 1. P. 189-190.
7. Chen B., Gao Y., Li Y. Periodic solutions to nonlinear Euler-Bernoulli beam equations // Dynam.
Systems (Math. DS). 2018. № 1. P. 23-49.
8. Wang Y. Quasi-periodic solutions of a quasi-periodically forced nonlinear beam equation // Commun.
Nonlin. Sci. Numer. Simul. 2012. V. 17. P. 2682-2700.
9. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения вынужденных колебаний балки
// Изв. РАН. Сер. мат. 2015. Т. 79. № 5. С. 215-238.
10. Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and
applications // Funkc. Ekvacioj. 1995. V. 38. P. 519-538.
11. Рудаков И.А. О периодических решениях одного уравнения колебаний балки // Дифференц. урав-
нения. 2018. Т. 54. № 5. С. 691-700.
12. Рудаков И.А. Задача о периодических колебаниях двутавровой балки с закреплённым концом в
случае резонанса // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 3. С. 343-352.
13. Nazarov A.I., Nikitin Y.Y. Exact L2-small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral
asymptotics of boundary value problems // Prob. Theory and Related Fields. 2004. V. 129. № 4. P. 469-
494.
14. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 2010.
15. Nirenberg L. Variational and topological methods in nonlinear problems // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.).
1981. V. 4. № 3. P. 267-302.
16. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными
граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 6. С. 811-825.
Московский государственный технический
Поступила в редакцию 22.03.2022 г.
университет имени Н.Э. Баумана
После доработки 09.06.2022 г.
(национальный исследовательский университет),
Принята к публикации 05.07.2022 г.
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
