ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1073-1077

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 519.635.4

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНИКА РАССЕЯНИЯ

В РАМКАХ ИНТЕГРОФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЕТОДА

ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Получено аналитическое выражение для полного сечения рассеяния в методе дискретных

источников, использующем представление диаграммы направленности рассеянного поля

через неортогональные на единичной сфере функции. Последнее обстоятельство позво-

ляет при численной реализации на порядок сократить время вычисления интегрального

поперечника рассеяния. Кроме того, использование оптической теоремы и аналитических

выражений для сечения экстинкции даёт возможность вычислять сечение поглощения из-

лучения без процедуры интегрирования ближнего поля по поверхности рассеивателя.

DOI: 10.31857/S0374064122080076, EDN: CGAYAK

Введение. Интегрофункциональные методы, такие, например, как метод фундаменталь-

ных решений [1] и др., используются в многочисленных практических приложениях. Они объ-

единяют целое семейство методов анализа задач рассеяния, которые ориентируются на пред-

ставления полей через распределённые мультипольные источники (фундаментальные реше-

ния), локализованные внутри рассеивателя, среди которых можно выделить метод T -матриц

[2], метод вспомогательных источников [3], метод дискретных источников (МДИ) [4] и метод

множественных мультиполей [5], а также их модификации. Дело в том, что при использовании

обобщений теории Ми (см. [6]) для решения задач рассеяния на проницаемых телах сталкива-

ются с серьёзными проблемами в случае анализа рассеивателей несферической геометрией в

связи с несправедливостью гипотезы Рэлея [7]. В этих случаях приходится использовать пред-

ставления для полей через распределённые мультиполи, локализованные в различных точках

внутри рассеивателя. Вследствие последнего обстоятельства поле на бесконечности и диа-

грамма рассеяния представляются через неортогональные на единичной сфере функции, что

требует выполнения численного интегрирования для вычисления интегрального поперечника

рассеяния [4]. Однако процедура интегрирования по единичной сфере отнимает много ресур-

сов при рассмотрении атмосферных частиц или при исследовании эритроцитов, особенно если

необходимо решать задачи рассеяния для набора углов падения плоской электромагнитной

волны [8, 9]. Это обстоятельство существенно отличается от случая использования векторных

сферических гармоник, ортогональных на единичной сфере, и позволяет вычислять полное

сечение рассеяния в аналитическом виде, используя лишь амплитуды мультиполей, локализо-

ванных в одной единственной точке.

В настоящей работе показано, что аналогичное выражение можно получить и в случае

использования неортогональных функций, т.е. распределённых мультипольных источников.

Полученное аналитическое выражение для поперечника рассеяния позволяет не только на по-

рядки снижать затраты на его вычисление, но и, использовав оптическую теорему (см. рабо-

ты [10, 11]), вычислять такую важную характеристику ближнего поля, как сечение поглощения

без интегрирования ближнего поля по поверхности рассеивателя.

1. Постановка граничной задачи. Рассмотрим постановку задачи дифракции плоской

электромагнитной волны на однородной осесимметричной проницаемой частице с внутренней

областью D_i в пространстве R³, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью ∂D_i ∈ C(2,ν),

и внешней неограниченной областью D_e. Будем полагать, что плоская волна {E⁰, H⁰} рас-

пространяется под углом π - θ₀ по отношению к оси симметрии Oz. Тогда математическая

постановка граничной задачи может быть записана в виде

rot E_i = -jk₀H_i, rot H_i,e = jk₀ε_i,eE_i,e, M ∈ D_i,e, D_e = R³ \ D_i,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1074

ЕРЕМИН, ЗАХАРОВ

n_i × (E_i - E_e) = n_i × E⁰,

n_i × (H_i - H_e) = n_i × H⁰, Q ∈ ∂D_i,

)

lim

r·

⁽√ε_eE_e ×r

-H_e

= 0, r = |M|.

(1)

r→∞

Здесь {E_i, H_i} - полное поле в области D_i, {Ee, He} - рассеянное поле в De,

n_i - единичная

внешняя нормаль к поверхности ∂D_i, ε_i,e - диэлектрические проницаемости сред в областях

D_i,e соответственно, при этом Imε_i ≤ 0, Im ε_e = 0, k₀ = ω/c, ω - частота, c - скорость света,

r - радиус-вектор в точку M из начала координат, временная зависимость выбрана в виде

exp(jωt). Как известно, поставленная граничная задача (1) имеет единственное классическое

решение [12].

2. Метод дискретных источников. Будем строить приближённое решение граничной

задачи (1) на основе метода дискретных источников [4]. Разделим поле падающей линейно по-

ляризованной плоской волны {E⁰, H⁰} на поля P - и S-поляризации, тогда соответствующие

поля могут быть записаны как

E0,P (M) = (cos θ₀ e_x + sin θ₀ e_z)ψ(x,z), H0,P (M) = -√εeeyψ(x,z),

(2)

E0,S(M) = e_yψ(x,z), H0,S(M) =

√ε_e(cos θ₀e_x + sin θ₀e_z)ψ(x, z),

(3)

где ψ(x, z) = e-jke(xsinθ0-zcosθ0), k_e = k₀

√ε_e, (ex,

ey,

ez) - базис декартовой системы ко-

ординат. Будем строить поля в областях D_i,e на основе векторных потенциалов следующего

вида [4]:

A1αmn(M) = Y^αm(ζ,z^αn)cos[(m + 1)ϕ]e_ρ - Y^αm(ζ,z^αn)sin[(m + 1)ϕ]e_ϕ, α = i,e,

A2αmn(M) = Y^αm(ζ,z^αn)sin[(m + 1)ϕ]e_ρ + Y^αm(ζ,z^αn)cos[(m + 1)ϕ]e_ϕ,

(4)

A3αn(M) = Yα0(ζ,z^αn)e_z.

Здесь Y^em(ζ, z^en) = hm2)(k_e,lR_ze)(ρ/Rze)m, Yim(ζ,zin) = jm(kiRzi

)(ρ/R_zi

)^m, где hm2) - сфериче-

√

ские функции Ханкеля, j_m - сферические функции Бесселя, k_i = k₀

ε_i, ζ = (ρ,z), ρ² = x² +

+ y², R2zn = ρ² + (z - z_n)²,

- координаты дискретных источников, распределённых

вдоль оси вращения Oz,

(e_ρ, e_ϕ, e_z) - базис цилиндрической системы координат. Отметим,

что векторные потенциалы (4) удовлетворяют уравнениям Гельмгольца в соответствующих

областях D_i,e.

Решение задачи дифракции (1) будем строить раздельно для P - и S-поляризаций. Тогда

конкретные представления для полей в случае P -поляризации принимают вид (см. [4])

N^mα

{

∑

} N0α∑

E^Nα(M) =

p^α

rot rot A1αmn + q^α

rot A2α

r^α

rot rot A3αn,

^mn k₀ε_α

k₀ε_α

m=0 n=1

n=1

H^Nα(M) =

rot E^Nα (M), α = i, e.

(5)

k₀

Аналогично для случая S-поляризации представления для полей могут быть записаны как

N^mα

{

∑

} N0α∑

E^Nα(M) =

p^α

rot rot A2αmn + q^α

rot A1α

r^α

rot A3αn,

^mn k₀ε_α

ε_α

m=0 n=1

n=1

H^Nα(M) =

rot E^Nα (M), α = i, e.

(6)

k₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНИКА

1075

Легко убедиться в том, что построенные поля (5) и (6) для P - и S-поляризаций удовле-

творяют системе уравнений Максвелла (1) и условиям излучения на бесконечности, а усло-

вия сопряжения на поверхности ∂D_i выполняются приближённо посредством выбора неиз-

вестных амплитуд дискретных источников для фурье-гармоник по ϕ : m = 0, 1, . . . ,

p_m =

= {p^imn, q^imn, p^emn, q^emn}, а также вектора независящей от ϕ гармоники r = {rⁱⁿ, r^en} (см. [4]).

После определения амплитуд дискретных источников вычисляются ближние поля (5), (6)

и компоненты диаграммы направленности рассеянного поля F(θ, ϕ), которая определяется на

единичной сфере {0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} следующим образом [13, с. 131]:

E(M)

eiker

F(θ, ϕ) + o(r-1), r → ∞.

|E⁰(M)|

В силу представления (5) выражения для компонент диаграммы направленности для P -по-

ляризации имеют вид

N^me

N0e

∑

F^Pθ (θ,ϕ)=jk_e (j sin θ)^m cos[(m+1)ϕ] (p^emn cos θ+q^emn)e-jkezⁿ cosθ-jk_e sinθ

r^ene-jkezⁿ cosθ,

m=0

n=1

N^me

∑

F^Pϕ (θ,ϕ) = -jk_e

(j sin θ)^m sin[(m + 1)ϕ]

(p^emn + q^emn cos θ)e-jkezⁿ cosθ.

(7)

m=0

n=1

Аналогично для S-поляризации:

N^me

∑

F^Sθ(θ,ϕ) = jk_e

(j sin θ)^m sin[(m + 1)ϕ]

(p^emn cos θ - q^emn)e-jkezⁿ cosθ,

m=0

n=1

N^me

∑

F^Sϕ(θ,ϕ) = jk_e

(j sin θ)^m cos[(m + 1)ϕ]

(p^emn cos θ - q^emn)e-jkezⁿ cosθ +

m=0

n=1

N0e

∑

+ jke sin θ

r^ene-jkezⁿ cosθ.

(8)

n=1

Компоненты диаграммы определяются на единичной сфере.

3. Интегральный поперечник рассеяния. Определим интегральный поперечник рассе-

яния, который определяется через компоненты диаграммы направленности (7), (8) следующим

образом:

∫2π∫

σP,Sscs =

σ^P,S(θ,ϕ)sin θ dθ dϕ,

(9)

где σ^P,S (θ, ϕ) = |F^P,Sθ(θ, ϕ)|² + |

ϕ (θ, ϕ)|².

Далее ограничимся случаем P -поляризации, так как компоненты диаграммы (7) и (8)

содержат одинаковые выражения, если поменять местами их компоненты θ и ϕ. Прежде

всего заметим, что

2π

∫

N^me

∑

σ^P (θ,ϕ)dϕ = σ(θ) = 2πk²

(sin² θ)

(p^emn cos θ + q^emn)(p^e∗ml cos θ + q^e∗ml) exp(jβ_nl cos θ) +

m=0

n,l=1

N0e

∑

+ 2πk2e sin² θ

r^enr^e∗l exp(jβ_nl cos θ),

n,l=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

5^∗

1076

ЕРЕМИН, ЗАХАРОВ

где введено обозначение β_nl = -k_e(z^en - z^el). Тогда для вычисления интеграла

∫

σ(θ) sin θ dθ = σ(x) dx

-1

достаточно вычислить интегралы вида

∫1

I(k)m(β) =

(1 - x²)^mx^k exp(jβx) dx, m = 0, 1, . . . , k = 0, 1, 2.

(10)

−1

Рассмотрим сначала базовый интеграл вида Im0)(β), значение которого приведено в таб-

лице в [14, с. 335, № 3.387.2]:

∫1

⁽2)m

I(0)m(β) =

(1 - x²)^m exp(jβx) dx = 2m!

j_m(β).

(11)

−1

Выражение в правой части формулы (11) справедливо при всех β, отличных от нуля, в случае

β = 0 для вычисления достаточно использовать асимптотику сферической функции Бесселя

для малых аргументов [15, с. 256, № 10.1.4], т.е. j_m(x) = x^m/(2m + 1)!! + o(x^m), x → 0. Тогда

интеграл (11) будет равен Im0)(0) = 2(2m)!!/(2m + 1)!!. Легко видеть, что интегралы вида (10)

для значений индекса k = 1, 2 получаются из Im0)(β) следующим образом:

∂

I(1)m =

I(0)m, I(2)m = -

I(0)m.

(12)

j∂β

∂β²

В результате получен следующий основной результат.

Теорема. Аналитическое представление для интегрального поперечника рассеяния (9)

граничной задачи дифракции (1) в рамках метода дискретных источников принимает следу-

ющий вид:

N^me

∑

σ_scs = 2πk2e

(p^emnp^e∗mlI(2)m(β_nl) + 2 Re (p^emnq^e∗ml)I(1)m(β_nl) + q^emnq^e∗mlI(0)m(β_nl)) +

m=0 n,l=1

N0e

∑

+ 2πk2e

r^enr^e∗lI⁽⁰⁾¹(β_nl),

(13)

n,l=1

где значения Imk)(β), k = 0,1,2, задаются соотношениями (10)-(12), а коэффициенты p^e∗ml,

q^e∗ml и r^e∗l - комплексно сопряжённые по отношению к p^eml, q^eml и r^el соответственно.

Таким образом, как только вычислены амплитуды дискретных источников p_m и r, се-

чение рассеяния вычисляется в аналитическом виде простым суммированием аплитуд, без

интегрирования компонент диаграммы по единичной сфере.

Во многих практических приложениях возникает необходимость вычисления сечения по-

глощения электромагнитной энергии проницаемым рассеивателем с комплексным индексом

рефракции, которое представляется в виде интеграла по внешней поверхности рассеивателя:

∫

σ_abs = - Re

[(E^Ne + E⁰) × (H^Ne + H⁰)^∗] · n_j dS.

(14)

∂De

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНИКА

1077

Вычислить сечение (14) можно с помощью либо интегрирования ближнего поля {E^Ne , H^Ne }

(5), (6), либо оптической теоремы [10], которая имеет вид

σ_ext(λ,θ₀) = σ_abs(λ,θ₀) + σ_scs(λ,θ₀),

(15)

здесь σ_ext - сечение экстинкции (см. [10, 11]), которое показывает сколько энергии данный

рассеиватель извлекает из поля плоской волны. В нашем случае сечение экстинкции для P -,

S-поляризаций в рамках метода дискретного рассеяния может быть представлено в аналити-

ческом виде [4]:

4π

σPext = -

Im[F^Pθ (π - θ₀,π)], σSext =

Im[F^Sϕ(π - θ₀,π)],

(16)

k_e

где F^P,Sθ,ϕ(θ, ϕ) - соответствующие компоненты диаграммы направленности в направлении рас-

пространения плоской волны.

Таким образом, использовав оптическую теорему (15), представления для сечения экс-

тинкции (16) и аналитическую формулу для сечения рассеяния (13), можно легко вычислить

сечение поглощения (14) без интегрирования ближнего поля по поверхности рассеивателя.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Еремин Ю.А., Захаров Е.В., Несмеянова Н.И. Метод фундаментальных решений в задачах ди-

фракции электромагнитных волн на телах вращения // Вычислит. методы и программирование.

1980. Т. 32. С. 28-44.

2. Doicu A. Null-field method with discrete sources // Generalized Multipole Techniques for Electromag-

netic and Light Scattering / Ed. T. Wriedt. Amsterdam, 1999. P. 229-255.

3. Tsitsas N.L., Zouros G.P., Fikioris G., Leviatan Y. On methods employing auxiliary sources for 2-d

electromagnetic scattering by non-circular shapes // IEEE Trans. AP. 2018. V. 66. № 10. P. 5443-5452.

4. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Квазиклассические модели квантовой наноплазмоники на основе

метода дискретных источников (обзор) // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2021. Т. 61.

№ 4. С. 34-62.

5. Smajic J., Hafner C., Raguin L., et al. Comparison of numerical methods for the analysis of plasmonic

structures // J. Comput. Theor. Nanosci. 2009. V. 6. № 3. P. 763-774.

6. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения волновых полей // Успехи

физ. наук. 1996. Т. 166. № 12. С. 1285-1308.

7. Farafonov V.G., Il’in V.B., Vinokurov A.A. Near- and far field light scattering by nonspherical particles:

applicability of methods that involve a spherical basis // Opt. Spectr. 2010. V. 109. № 3. P. 432-443.

8. Doicu A., Eremin Yu.A., Efremenko D., Trautmann T. Methods with discrete sources for electromagnetic

scattering by large axisymmetric particles with extreme geometries // J. Quantitat. Spectr. Radiative

Transfer. 2015. V. 164. P. 137-146.

9. Eremina E., Hellmers J., Eremin Yu.A., Wriedt T. Different shape models for erythrocyte: light scattering

analysis based on the discrete sources method // J. Quantitat. Spectr. Radiative Transfer. 2006. V. 102.

№ 1. P. 3-10.

10. Newton R.G. Optical theorem and beyond // Amer. J. Phys. 1976. V. 44. P. 639-642.

11. Еремин Ю.А. Обобщение оптической теоремы для мультиполя на основе интегральных преобразо-

ваний // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 9. С. 1156-1161.

12. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи мат. наук. 1967.

Т. 22. Вып. 2. С. 59-107.

13. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.

15. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 20.03.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 20.03.2022 г.

Принята к публикации 25.05.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022