ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1078-1089
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.96
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ
ОСОБЕННОСТЕЙ ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТОК
В ПРИЛОЖЕНИИ К ОДНОМЕРНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ С СИЛЬНОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ
© 2022 г. А. С. Ненашев
Построены формулы приближённого вычисления одномерных сингулярных и гиперсин-
гулярных интегралов на отрезке при произвольном разбиении. На основе построенных
квадратурных формул разработана численная схема решения характеристического гипер-
сингулярного уравнения на отрезке, доказана оценка скорости сходимости приближённого
решения к точному.
DOI: 10.31857/S0374064122080088, EDN: CGDVCE
Введение. Одномерные интегральные уравнения с сильной особенностью в ядре возника-
ют в ряде прикладных задач математической физики, например, при моделировании излуче-
ния проволочных антенн [1], в двумерной задаче бесциркуляционного обтекания [2, с. 153-154]
и др. Характеристическим уравнением, описывающим основные особенности решения таких
задач, является гиперсингулярное интегральное уравнение на интервале (a, b):
∫
b
g(x)
dx = f(x0), x0 ∈ (a, b),
(1)
(x - x0)2
a
где интеграл в левой части уравнения (1) понимается в смысле конечного значения по Адамару
(см. [3]):
∫
b
∫
∫
b
}
g(x)
g(x)
g(x)
g(x0 + ε) + g(x0 - ε)
dx ≡ lim
dx +
dx -
(x - x0)2
ε→0
(x - x0)2
(x - x0)2
ε
a
a
x0+ε
Рассмотрению метода дискретных особенностей как метода решения уравнения (1) посвя-
щён ряд работ [2, с. 353-355; 4, с. 84-86; 5]. В частности, И.К. Лифановым [2, с. 282-284]
доказана сходимость квадратурных формул типа прямоугольников к интегралу (1), при этом
принципиальное значение имеет характер разбиения отрезка [a, b] на равные части a = x1 <
< x2 < ... < xN < xN+1 = b и выбор точек коллокации, являющихся серединами частичных
отрезков x0i = (xi +xi+1)/2. В статье [5] представлены квадратурные формулы, позволяющие
отказаться от жёстких ограничений на характер разбиения отрезка:
b
∫
∑
g(x)
dx ≈
(aij g(x0i) + bijg′(x0i)),
(2)
2
(x - x0j)
i=1
a
где
∫
∫
dx
x-x0i
aji =
,
bji =
dx.
(x - x0j)2
(x - x0j )2
xi
xi
1078
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1079
Для применения квадратурной формулы (2) к решению интегрального уравнения (1) необ-
ходимо задать способ аппроксимации значения производной g′(x0) в точках коллокации. В ра-
боте [5] используется следующая аппроксимация:
g(x0i+1) - g(x0i-1)
g′(x0i) ≈
,
i = 2,N - 1.
(3)
x0i+1 - x0i-1
Там же приведена оценка скорости сходимости квадратурной формулы (3), однако отсутствует
оценка сходимости приближённого решения уравнения (1), полученного на основе соответству-
ющей численной схемы.
Метод коллокации, основанный на кусочно-линейной аппроксимации решения, предложен
в статье [6]. Отличительной особенностью предложенного подхода является выбор точек кол-
локации не внутри участков разбиения, а на их границе.
В настоящей работе предлагается альтернативный подход к построению квадратурных
формул для приближённого вычисления гиперсингулярного интеграла, использующий распо-
ложение точек коллокации в центрах отрезков разбиения. На основе квадратурных формул
построена численная схема решения характеристического уравнения (3), дана оценка скорости
сходимости его приближённого решения к точному.
1. Вычисление сингулярного интеграла на отрезке. Рассмотрим сначала форму-
лы приближённого вычисления сингулярного интеграла по интервалу (a, b), понимаемого в
смысле главного значения по Коши:
∫
b
∫
∫
b
}
g(x)
g(x)
g(x)
dx ≡ lim
dx +
dx
x-x0
ε→0
x-x0
x-x0
a
a
x0+ε
Предположим, что функция g(x) удовлетворяет условию Гёльдера.
Определение 1. Будем обозначать, что g(x) ∈ H(α), если существуют константы A > 0
и α ∈ (0,1] такие, что для любых x,x0 ∈ [a,b] выполняется неравенство
|g(x) - g(x0)| ≤ A|x - x0|α.
В дальнейших рассуждениях будем использовать следующее неравенство из монографии
[7, с. 21], справедливое для любых σ1 > 0, σ2 > 0 и θ ∈ (0, 1]:
|σθ1 - σθ2| ≤ |σ1 - σ2|θ.
Справедлива следующая
Теорема 1. Для любого разбиения отрезка [a, b] на N произвольных частей последова-
тельностью точек a = x1 < x2 < . . . < xN < xN+1 = b, удовлетворяющего условию
hmax ≤ γhmin,
(4)
где γ ≥ 1 не зависит от N, hmax = max
{hi}, hmin = min
{hi}, hi = xi+1 - xi, и g(x) ∈
1≤i≤N
1≤i≤N
∈ H(α), справедлива следующая оценка:
∫b
∫
g(x) dx
∑
g(x0i) dx
( ln N)
-
O
,
j = 1,N,
(5)
≤
x-x0j
x-x0j
Nα
i=1
a
xi
i=j
где точки коллокации x0j являются серединами отрезков [xj , xj+1]:
xj + xj+1
x0j =
(6)
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1080
НЕНАШЕВ
Доказательство. В первую очередь заметим, что с учётом условия (4) справедливы нера-
венства
γ(b - a)
hj ≤ hmax ≤ γhmin ≤
= O(1/N),
1≤j≤N.
N
Далее, представим левую часть соотношения (5) в следующем виде:
∫
b
∫
∫
∑
g(x) dx
g(x0i) dx
(g(x) - g(x0j )) dx
-
≤
+
x-x0j
x-x0j
x-x0j
i=1
a
xi
xj
i=j
∫
∫
∑
g(x0j ) dx
(g(x) - g(x0i)) dx
+
I1 + I2 + I3.
+
=
x-x0j
x-x0j
i=1
xj
xi
i=j
Рассмотрим интегралы I1, I2 и I3 :
∫
dx
2A
(hj)α
I1 ≤ A
=
≤ O(1/Nα),
|x - x0j|1-α
α
2
xj
∫
g(x0j ) dx
xj+1 - x0j
I2 =
(x0j ) ln
0,
=
g
=
x-x0j
xj -x0j
xj
∫
∫
b
)
(hmax
dx
dx
I3 ≤ A
+
=
2
x0j
-x
x-x0j
a
xj+1
(
)α(
)
hmax
( ln N)
=A
ln(b - x0j) + ln(x0j - a) - 2 ln(hj /2)
≤O
2
Nα
Объединяя результаты для I1, I2 и I3, получаем утверждение теоремы.
Следствие (обобщение теоремы 1). Будем обозначать, что G(x, x0) ∈ H(α, ρ(x0)), если
существует функция ρ(x0) > 0, заданная на интервале (a, b), и константы A > 0 и α ∈ (0, 1],
не зависящие от x0, такие, что для функции G( · , · ) выполняется неравенство
|G(x, x0) - G(y, x0)| ≤ Aρ(x0)|x - y|α.
Тогда справедлива следующая оценка:
∫
b
∫
∑
G(x, x0j )
G(x0i, x0j )
( ln N)
dx -
dx
ρ(x0j )O
,
j = 1,N.
≤
x-x0j
x-x0j
Nα
i=1
a
xi
i=j
Рассмотрим теперь применимость предложенного подхода приближённого вычисления син-
гулярного интеграла для более широкого класса функций, имеющих интегрируемую особен-
ность на концах интервала (a, b).
Определение 2. Будем обозначать, что g(x) ∈ H∗λ,μ(α), если существуют константы
λ, μ ∈ (0, 1) такие, что имеет место представление
ψ(x)
g(x) =
,
(x - a)λ(b - x)μ
где ψ(x) ∈ H(α) на отрезке [a, b].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1081
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для любого разбиения отрезка [a, b] на N произвольных частей последова-
тельностью точек a = x1 < x2 < . . . < xN < xN+1 = b, удовлетворяющего условию (4), и
для функции g(x) ∈ H∗λ,μ(α), справедлива следующая оценка:
∫
b
∫
g(x) dx
∑
g(x0i) dx
1
( ln N)
-
O
,
j = 1,N,
(7)
≤
x-x0j
x-x0j
(x0j - a)(b - x0j )
Nβ
i=1
a
xi
i=j
где β = min{α, 1 - μ, 1 - λ}, а точки коллокации x0j выбираются в соответствии с услови-
ем (6).
Доказательство. Представим функцию g(x) следующим образом:
)
1-μ
ψ(x)
( (b - x)
(x - a)1-λ
ψ1(x)
ψ2(x)
g(x) =
+
=
+
= g1(x) + g2(x),
b - a (x - a)λ
(b - x)μ
(x - a)λ
(b - x)μ
где ψ1(x) ∈ H(β1), ψ2(x) ∈ H(β2), β1 = min{α, 1 - μ}, β2 = min{α, 1 - λ}.
Левая часть неравенства (7) представима в виде
∫
b
∫
∫
b
∫
∑
∑
g(x) dx
g(x0i) dx
g1(x)dx
g1(x0i)dx
-
-
≤
+
x-x0j
x-x0j
x-x0j
x-x0j
i=1
i=1
a
xi
a
xi
i=j
i=j
∫
b
∫
∑
g2(x)dx
g2(x0i)dx
+
-
I1 + I2.
=
x-x0j
x-x0j
i=1
a
xi
i=j
Оценим интеграл
∫
∫
g1(x)dx
∑
g1(x) - g1(x0i)
I1 ≤
dx
I1,1 + I1,2
(8)
+
=
x-x0j
x-x0j
i=1
xj
xi
i=j
и слагаемое
∫
∫
ψ1(x)dx
ψ1(x)(x - a)1-λ dx
I1,1 =
=
≤
(x - a)λ(x - x0j )
(x - a)(x - x0j )
xj
xj
(
∫
1
ψ1(x)(x - a)1-λ - ψ1(x0j)(x0j - a)1-λ
≤
dx
+
x0j - a
x-x0j
xj
∫
∫
)
ψ1(x0j)(x0j - a)1-λ dx
ψ1(x)(x - a)1-λ dx
+
=
+
x-x0j
x-a
xj
xj
1
=
(I1,1,1 + I1,1,2 + I1,1,3).
x0j - a
С учётом выбора точек x0j справедливо, что I1,1,2 = 0. Далее, так как ψ1(x) ∈ H(β1) и
(x - a)1-λ ∈ H(1 - λ), то ψ1(x)(x - a)1-λ ∈ H(β), где β = min{α, 1 - λ, 1 - μ}. Поэтому
существует константа B1 > 0 такая, что выполняется условие
|ψ1(x)(x - a)1-λ - ψ1(x0j )(x0j - a)1-λ| ≤ B1|x - x0j |β.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1082
НЕНАШЕВ
Тогда
∫
2B1
(hj)β
I1,1,1 ≤ B1
|x - x0j |β-1 dx =
= O(1/Nβ).
β
2
xj
Так как функция ψ1(x) ∈ H(β1), то она ограничена на отрезке [a, b], поэтому существует
константа B2 > 0 такая, что |ψ1(x)| ≤ B2. Отсюда следует, что
∫
dx
B2
B2
I1,1,3 ≤ B2
=
((xj+1 - a)1-λ - (xj - a)1-λ) ≤
h1-λj = O(1/N1-λ).
|x - a|λ
1-λ
1-λ
xj
Объединив результаты для интегралов I1,1,1, I1,1,2 и I1,1,3, получим оценку
1
I1,1 ≤
O(1/Nβ ).
(9)
x0j - a
Далее,
∫ (
)
∑
ψ(x)
ψ(x0i)
dx
I1,2 =
-
≤
(x - a)λ
(x0i - a)λ x - x0j
i=1
xi
i=j
∫
(
)
∑
1
1
dx
≤
ψ(x0i)
-
+
(x - a)λ
(x0i - a)λ x - x0j
i=1
xi
i=j
∫
∑
ψ(x) - ψ(x0i) dx
+
I1,2,1 + I1,2,2,
=
(x - a)λ x - x0j
i=1
xi
i=j
∫
(
)
∑
x-a
dx
I1,2,1 ≤ B2
(x - a)1-λ -
≤
(x0i - a)λ (x - a)(x - x0j)
i=1
xi
i=j
∫
∑
B2
x-a
dx
≤
x - a)1-λ -
(
x0j - a
(x0i - a)λ |x - x0j |+
i=1
xi
i=j
∫
∑
B2
x-a
dx
+
x - a)1-λ -
(
x0j - a
(x0i - a)λx-a+
i=2
xi
i=j
∫
x2
B2
1
1
+
x=I1,2,1,1 +I1,2,1,2 +I1,2,1,3.
d
x0j - a
(x - a)λ -
(x01 - a)λ
a
Заметим, что
x-a
x0i - a
x-x0i
x - a)1-λ -
x - a)1-λ -
+
(
=
(
≤
(x0i - a)λ
(x0i - a)λ
(x0i - a)λ
x-x0i
≤ |(x - a)1-λ - (x0i - a)1-λ| +
2(hi/2)1-λ,
≤
(x0i - a)λ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1083
поэтому
∫
1-λ
∑
2B2(hmax/2)
dx
I1,2,1,1 ≤
=
x0j - a
|x - x0j |
i=1
xi
i=j
(∫xj
∫
b
)
1-λ
2B2(hmax/2)
dx
dx
=
+
=
x0j - a
x0j
-x
x-x0j
a
xj+1
1-λ
2B2(hmax/2)
1
( ln N)
=
(ln((b - x0j)(x0j - a)) - 2 ln(hj /2)) =
O
,
x0j - a
x0j - a
N1-λ
∫
1-λ
∑
2B2(hmax/2)
dx
I1,2,1,2 ≤
≤
x0j - a
x-a
i=2
xi
i=j
b
∫
∫
1-λ
∑
2B2(hmax/2)
dx
2B2(hmax/2)1-λ
dx
≤
=
=
x0j - a
x-a
x0j
-a
x-a
i=2 xi
x2
1-λ
2B2(hmax/2)
1
( ln N)
=
(ln(b - a) - ln h1) =
O
,
x0j - a
x0j - a
N1-λ
(∫x2
∫
x2
)
B2
dx
dx
I1,2,1,3 ≤
+
=
x0j
- a (x - a)λ
(x01 - a)λ
a
a
)
(
)
B2
(h1-λ1
h1
1
1
=
+
=
O
x0j - a
1-λ
(h1/2)λ
x0j -a
N1-λ
Объединив оценки для интегралов I1,2,1,1, I1,2,1,2 и I1,2,1,3, имеем
)
1
( ln N
I1,2,1 ≤
O
x0j - a
N1-λ
Далее, так как ψ1(x) ∈ H(β1), то существует константа B3 > 0 такая, что
|ψ1(x) - ψ1(y)| ≤ B3|x - y|β1 ,
поэтому
∫
∑
(ψ(x) - ψ(x0i))(x - a)1-λ
I1,2,2 =
dx
≤
(x - a)(x - x0j )
i=1
xi
i=j
(
∫
∫
)
∑
∑
1
(ψ(x)-ψ(x0i))(x-a)1-λ
(ψ(x)-ψ(x0i))(x-a)1-λ
≤
dx
dx
≤
+
x0j -a
x-x0j
x-a
i=1
xi
i=1
xi
i=j
i=j
(
(∫xj
∫
b
)
∫
b
)
1
dx
dx
dx
1
≤
B3(hi/2)α(b - a)1-λ
+
+ B3(hi/2)β
=
x0j - a
x0j
-x
x-x0j
(x - a)λ
a
xj+1
a
(
)
β1
B3(hi/2)
(b - a)1-λ
1
( ln N).
=
(b - a)1-λ(ln((x0j - a)(b - x0j )) - 2 ln(hj /2)) +
=
O
x0j - a
1-λ
x0j - a
Nβ1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1084
НЕНАШЕВ
Объединив результаты для интегралов I1,2,1 и I1,2,2, запишем
(
))
1
( ln N)
( ln N
1
( ln N)
I1,2 ≤
O
+O
≤
O
x0j - a
N1-λ
Nβ1
x0j - a
Nβ
Отсюда и из оценок (8), (9) следует, что
)
1
( ln N
I1 ≤
O
x0j - a
Nβ
С помощью аналогичных выкладок для оценки интеграла I2 получим
)
1
( ln N
I2 ≤
O
,
b-x0j
Nβ
поэтому
)
1
( ln N
1
( ln N)
1
( ln N)
I1 + I2 ≤
O
+
O
≤
O
,
x0j - a
Nβ
b-x0j
Nβ
(x0j - a)(b - x0j )
Nβ
что завершает доказательство теоремы.
2. Вычисление гиперсингулярного интеграла на отрезке. Рассмотрим теперь задачу
приближённого вычисления гиперсингулярного интеграла (1). Будем исследовать квадратур-
ную формулу
∫
b
∫
b
∫
∑
g(x) dx
dx
g(x0i) - g(x0j )
dx
≈ g(x0j)
+
(x - x0j)2
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
i=1
a
a
xi
i=j
Нам потребуется следующий вспомогательный результат.
Лемма 1. Пусть функция g(x) имеет производную g′(x)∈H(α) на интервале (a, b), т.е.
|g′(x) - g′(y)| ≤ A|x - y|α для всех x, y ∈ (a, b).
Тогда для любых x, y ∈ (a, b) справедлива оценка
A
|G(x, x0) - G(y, x0)| ≤
|x - y|α,
(10)
1+α
т.е. G(x,x0) ∈ H(α,1), где
g(x) - g(x0)
G(x, x0) =
(11)
x-x0
Доказательство. Воспользуемся соотношением, основанным на формуле производной
сложной функции
1
∫
g(x) - g(x0)
=
g′(x0 + (x - x0)θ)dθ,
x-x0
0
тогда
∫1
|G(x, x0) - G(y, x0)| ≤
|g′(x0 + (x - x0)θ) - g′(x0 + (y - x0)θ)| dθ ≤
0
∫1
A
≤A
|((x - y)θ)|α dθ =
|x - y|α,
1+α
0
что доказывает утверждение леммы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1085
Справедлива следующая
Теорема 3. Для любого разбиения отрезка [a, b] на N произвольных частей последова-
тельностью точек a = x1 < x2 < . . . < xN < xN+1 = b, удовлетворяющего условию (4), и
для функции g′(x) ∈ H(α) справедлива следующая оценка:
∫
b
∫
∑
g(x) dx
g(x0i) - g(x0j )
dx
-
-
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
i=1
a
xi
i=j
∫b
dx
( ln N)
- g(x0j)
O
,
j = 1,N,
(12)
≤
(x - x0j )2
Nα
a
где точки коллокации x0j выбираются в соответствии с условием (6).
Доказательство. Представим левую часть соотношения (12) следующим образом:
∫
b
∫
∫
b
∑
g(x) dx
g(x0i) - g(x0j )
dx
dx
-
- g(x0j)
=
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
(x - x0j )2
i=1
a
xi
a
i=j
∫
b
∫
∑
g(x) - g(x0j )
g(x0i) - g(x0j )
dx
=
dx -
=
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
a
i=1
xi
i=j
∫
b
∫
∑
G(x, x0j ) dx
dx
=
-
G(x0i, x0j )
(13)
,
x-x0j
x-x0j
i=1
a
xi
i=j
где функция G(x, x0) определяется по формуле (11).
Согласно лемме 1 функция G(x, x0) удовлетворяет условию Гёльдера по первому аргумен-
ту (10), откуда с учётом сформулированного выше следствия получаем утверждение теоремы.
Рассмотрим теперь применимость предложенного подхода приближённого вычисления ги-
персингулярного интеграла для более широкого класса функций, имеющих интегрируемую
особенность производных на концах интервала (a, b).
Теорема 4. Для любого разбиения отрезка [a, b] на N произвольных частей последова-
тельностью точек a = x1 < x2 < . . . < xN < xN+1 = b, удовлетворяющего условию (4), и
функции g(x) такой, что её производная представима в виде
ψ(x)
g′(x) =
,
ψ(x) ∈ H(α),
0 < λ, μ ≤ 1,
(x - a)1-λ(b - x)1-μ
справедлива следующая оценка:
∫
b
∫
∑
g(x) dx
g(x0i) - g(x0j )
dx
-
-
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
i=1
a
xi
i=j
∫b
dx
1
( ln N)
- g(x0j)
O
,
j = 1,N,
≤
(x - x0j )2
(x0j - a)(b - x0j)
Nβ
a
где β = min{α, μ, λ}, а точки коллокации x0j выбираются в соответствии с условием (6).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1086
НЕНАШЕВ
Доказательство. Для доказательства исследуем свойства функции G(x, x0), определяе-
мой формулой (11). Представим производную функции g(x) следующим образом:
)
μ
1
(ψ(x)(b - x)
ψ(x)(x - a)λ
ψ1(x)
ψ2(x)
g′(x) =
+
=
+
= g′1(x) + g′2(x),
b - a (x - a)1-λ
(b - x)1-μ
(x - a)1-λ
(b - x)1-μ
где ψ1(x) ∈ H(β1), β1 = min{α, μ}, и ψ2(x) ∈ H(β2), β2 = min{α, λ}.
Исследуем отдельно свойства функций g1(x) и g2(x). Для функции g1(x) справедлива
оценка
∫x
ψ1(t)dt
B1
B1
|g1(x) - g1(y)| =
|(x - a)λ - (y - a)λ| ≤
|x - y|λ,
≤
(t - a)1-λ
λ
λ
y
где B1 = max {|ψ1(x)|}, поэтому g1(x) ∈ H(λ).
x∈[a,b]
Далее рассмотрим функцию
1
∫1
∫
g1(x) - g1(x0)
ψ1(x0 + (x - x0)θ)
G1(x,x0) =
=
g′1(x0 + (x - x0)θ)dθ =
dθ =
x-x0
(x0 + (x - x0)θ - a)1-λ
0
0
(∫1
1
=
ψ1(x0 + (x - x0)θ)(x0 + (x - x0)θ - a)λ dθ -
x0 - a
0
∫1
)
ψ1(x0 + (x - x0)θ)(x - x0)θ
1
-
dθ
=
(F1,1(x, x0) - F1,2(x, x0)).
(x0 + (x - x0)θ - a)1-λ
x0 - a
0
Согласно свойству гёльдеровский функций (см. [7, с. 22]) справедливо, что ψ1(x)(x - a)λ ∈
∈ H(β), т.е.
|ψ1(x)(x - a)λ - ψ1(y)(y - a)λ| ≤ C1|x - y|β,
поэтому
∫1
C1
|F1,1(x, x0) - F1,1(y, x0)| ≤ C1
|(x - y)θ|β dθ =
|x - y|β.
1+β
0
Далее преобразуем функцию F1,2 :
∫1
F1,2(x,x0) = g′1(x0 + (x - x0)θ)(x - x0)θ dθ =
0
∫1
∫
1
dg1(x0 + (x - x0)θ)
=
θ dθ = g1(x) - g1(x0 + (x - x0)θ) dθ.
dθ
0
0
Используя тот факт, что g1(x) ∈ H(λ), имеем
∫1
|F1,2(x, x0) - F1,2(y, x0)| ≤ |g1(x) - g1(y)| +
|g1(x0 + (x - x0)θ) - g1(x0 + (y - x0)θ)| dθ ≤
0
∫
1
(
)
B1
B1
B1
1
≤
|x - y|λ +
|(x - y)θ|λ dθ =
|x - y|λ 1+
λ
λ
λ
1+λ
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1087
Объединяя полученные оценки гёльдеровости функций F1,1 и F1,2, запишем неравенство
β
A1|x - y|
|G1(x, x0) - G1(y, x0)| ≤
(14)
x0 - a
Рассуждая аналогичным образом относительно функции g2(x), получаем, что для
g2(x) - g2(x0)
G2(x,x0) =
x-x0
справедлива оценка
β
A2|x - y|
|G2(x, x0) - G2(y, x0)| ≤
(15)
b-x0
Так как
G(x, x0) = G1(x, x0) + G2(x, x0),
то из оценок (14) и (15) следует
β
A|x - y|
|G(x, x0) - G(y, x0)| ≤
(x0 - a)(b - x0)
Из разложения аналогичного (13) и следствия получим утверждение теоремы.
3. Численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке.
Рассмотрим вопрос численного решения интегрального уравнения (1). Запишем уравнение в
операторной форме
Ag = f.
(16)
Пусть задано разбиение отрезка [a, b] на N произвольных частей последовательностью точек
a = x1 < x2 < ... < xN < xN+1 = b,
которое будем обозначать как EN . С ним связана последовательность точек коллокации
EN0 = (x01,... ,x0N ), где x0i = (xi + xi+1)/2, i = 1,N.
Введём оператор дискретизации TN , формирующий вектор-столбец значений функции g :
TNg = (g(x01),... ,g(x0N ))т.
Будем искать приближённое решение уравнения (16) в виде системы линейных алгебраи-
ческих уравнений
AN gN = TN f,
(17)
где
gN = (g1, . . . , gN )т,
AN = {aji}, i,j = 1,N,
∫b
∫
∑
dx
1
dx
ajj =
-
aji, aji =
,
j = i.
(x - x0j)2
x0i - x0j
x-x0j
i=1
a
xi
i=j
Обозначим через XN и YN конечномерные пространства, в которых действует оператор
AN
AN , т.е. XN
--→ YN . Введём следующие нормы в пространствах XN и YN :
∥gN ∥XN = max
{|gi|},
fN∥YN = max
{(x0i - a)(b - x0i)|fi|}.
1≤i≤N
1≤i≤N
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
1088
НЕНАШЕВ
Лемма 2. Для нормы оператора
AN справедлива оценка
AN gN ∥YN ≥ (b - a)∥gN ∥XN .
Доказательство. Заметим, что справедливы следующие неравенства:
∫
b
dx
< 0, j = 1, N ,
(x - x0j)2
a
∫
1
dx
> 0, j = i,
x0i - x0j
x-x0j
xi
поэтому
∫
b
∑
dx
ajj < 0, aji > 0, j = i, ajj +
aji =
< 0.
(x - x0j)2
i=1
a
i=j
Выберем такой индекс j, что |gj | принимает максимальное значение. Тогда
(
)
∑
∑
AN gN ∥YN ≥ (x0j - a)(b - x0j) giaji
∥gN ∥XN (x0j - a)(b - x0j)
|ajj | -
|aji|
=
≥
i=1
i=1
i=j
∫
b
dx
= ∥gN ∥XN(x0j - a)(b - x0j)
(b - a)∥gN ∥XN ,
=
(x - x0j )2
a
что доказывает утверждение леммы.
Теперь можем сформулировать теорему относительно оценки точности приближённого ре-
шения уравнения (16).
Теорема 5. Пусть задано точное решение g(x) уравнения (16), производная которого
имеет представление
ψ(x)
g′(x) =
,
ψ(x) ∈ H(α),
0 < λ, μ ≤ 1.
(x - a)1-λ(b - x)1-μ
Тогда справедлива следующая оценка точности приближённого решения, полученного из урав-
нения (17):
( ln N)
∥gN - TNg∥XN ≤ O
,
Nβ
где β = min{α, μ, λ}.
Доказательство. Из леммы 2 и оценки теоремы 4 следует
AN gN
ANTN g∥YN
∥TN Ag
AN TNg∥YN
∥gN - TNg∥XN ≤
=
≤
b-a
b-a
{
)}
(x0j - a)(b - x0j)
1
( ln N
( ln N)
≤ max
O
≤O
,
1≤j≤N
b-a
(x0j - a)(b - x0j)
Nβ
Nβ
что доказывает утверждение теоремы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
1089
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лифанов И.К., Ненашев А.С. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных
антенн // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 121-137.
2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.
3. Сетуха А.В. Метод граничных интегральных уравнений с гиперсингулярными интегралами в кра-
евых задачах // Итоги науки и техн. Сер. Совр. математика и её прил. Темат. обз. 2019. Т. 160.
С. 114-125.
4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях
и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М., 1985.
5. Дворак А.В., Ивенина С.В., Филимонов С.В. Модифицированный метод дискретных вихрей для
решения сингулярных интегральных уравнений на отрезке // Науч. вестн. Московского гос. техн.
ун-та гражданской авиации. 2011. С. 103-106.
6. Сетуха А.В. Сходимость численного метода решения гиперсингулярного интегрального уравнения
на отрезке с применением кусочно-линейных аппроксимаций на неравномерной сетке // Диффе-
ренц. уравнения. 2017. Т. 53. № 2. С. 237-249.
7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.
Научно-технологический университет
Поступила в редакцию 03.04.2022 г.
“Сириус”, пгт. Сириус, Краснодарский край
После доработки 21.04.2022 г.
Принята к публикации 25.05.2022 г.
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№8
2022
