ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1090-1104

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.7+537.876

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ

НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛАХ

Рассмотрено приложение метода граничных интегральных уравнений к задаче рассея-

ния на системе идеально проводящих объектов электромагнитного поля, подчиняющегося

нестационарным уравнениям Максвелла. Использовано интегральное представление элек-

тромагнитного поля через поверхностные токи. Основной результат статьи состоит в том,

что доказано существование краевых значений у электрического поля, определяемого та-

ким интегральным представлением, которые выражаются через гиперсингулярный инте-

грал, понимаемый в смысле конечной части по Адамару. Это позволило свести задачу к

интегро-дифференциальному уравнению эволюционного типа с запаздыванием, содержа-

щему гиперсингулярный поверхностный интеграл. Также доказано, что если это уравне-

ние имеет решение в определённом классе функций, то электрическое и магнитное поля,

определяемые соответствующими интегральными представлениями, являются решением

исходной задачи рассеяния для уравнений Максвелла.

DOI: 10.31857/S037406412208009X, EDN: CGFSFT

Введение. Метод граничных интегральных уравнений имеет широкое применение при

решении задач рассеяния электромагнитных волн в монохроматическом случае, когда возни-

кает краевая задача относительно составляющих электрического и магнитного полей, завися-

щих только от пространственных координат. В случае однородной среды, в которую помеще-

ны идеально проводящие или однородные диэлектрические объекты, известны интегральные

представления для электромагнитного поля через поверхностные токи, что позволяет свести

задачу рассеяния к решению интегральных уравнений, записанных на поверхности объекта,

относительно этих токов [1, c. 262-342; 2, c. 25-26, 167; 3, c. 23; 4, c. 177-306].

Такой подход имеет целый ряд достоинств при численном моделировании электромагнит-

ных процессов по сравнению с методами, основанными на непосредственном решении исходной

краевой задачи в пространственной области. Здесь снижается размерность задачи: неизвест-

ные функции ищутся только на граничной поверхности. При этом автоматически выполня-

ются условия на бесконечности, что снимает проблему необходимости построения расчётной

сетки в пространственной области больших размеров, актуальную при применении различных

сеточных методов к исходной краевой задаче.

Значительный интерес представляет распространение метода граничных интегральных

уравнений на нестационарные задачи для уравнений Максвелла во временной области. Од-

нако это направление электродинамики значительно менее исследовано. В настоящей работе

рассматривается задача рассеяния заданного первичного электромагнитного поля на систе-

ме идеально проводящих объектов (тел или экранов), помещённых в однородную внешнюю

среду в нестационарной постановке. Распространение электромагнитного поля в окружающей

среде описывается уравнениями Максвелла. Для такой задачи известен подход, основанный

на применении интегрального представления электромагнитного поля через поверхностные

токи (касательное векторное поле) и заряды (скалярная функция, заданная на поверхности)

с использованием запаздывающих потенциалов. При этом задача сводится к системе из эво-

люционного интегро-дифференциального уравнения со слабо сингулярными поверхностными

интегралами и дифференциального уравнения, связывающего токи и заряды [4, c. 200-203].

Также отметим, что для задачи рассеяния электромагнитной волны на неоднородном диэлек-

трическом теле интегро-дифференциальное уравнение эволюционного типа с запаздыванием

и с интегралами по объёму получено в [5].

1090

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1091

В настоящей работе нестационарные уравнения Максвелла для электромагнитного поля

вне системы идеально проводящих тел и экранов сведены к граничному интегральному урав-

нению с применением интегрального представления только через поверхностные токи. При

этом ядро интегрального уравнения имеет сильную особенность.

1. Постановка задачи для уравнений Максвелла. Рассматривается трёхмерная зада-

ча рассеяния электромагнитной волны, порождённой заданным первичным полем, на систе-

ме идеально проводящих объектов. Предполагается, что облучаемая система объектов может

включать в себя идеально проводящие тела, каждое из которых ограничено замкнутой поверх-

ностью, и идеально проводящие экраны, каждый из которых моделируется как незамкнутая

поверхность с краем. Предположим, что поверхности тел образуют заданную суммарную по-

верхность Σ, которая может быть замкнутой (поверхность телесного объекта), незамкнутой

(экраном), или состоять из нескольких замкнутых и незамкнутых ограниченных компонент.

Обозначим также через Σⁱⁿ множество точек гладкости поверхности Σ, не лежащих на краю

поверхности. Пусть Ω - область вне идеально проводящих объектов (область, образованная

точками пространства, не лежащими на поверхности Σ и в областях, ограниченных замкну-

тыми компонентами этой поверхности).

Пусть окружающая среда является изотропной и однородной без проводимости, вне ис-

точников первичного поля отсутствуют токи и заряды. При этом электромагнитное поле вне

облучаемых объектов и источников излучения описывается уравнениями Максвелла для на-

пряжённостей электрического и магнитного полей [6, с. 17]

E =^E(x,t) и

H =^H(x,t), t -

время, x = (x₁, x₂, x₃) - точки пространства:

div^E = 0, div^H = 0,

(1)

rot^E = -μ∂H,

rot^H = ε∂E,

(2)

∂t

где ε и μ - диэлектрическая и магнитная проницаемости внешней среды, которые предпола-

гаются константами.

Будем считать, что первичное поле, описываемое напряжённостями

E_inc,

H_inc, является

заданным, это поле определено и удовлетворяет уравнениям (1), (2) в области вне источников

поля (либо во всем пространстве), причём эта область включает в себя облучаемые объекты

вместе с некоторой их окрестностью. Задача состоит в отыскании напряжённостей вторичных

(отражённых) электрического и магнитного полей

E и

H, которые должны быть опреде-

лены в области Ω вне облучаемых объектов. На поверхности облучаемых объектов должно

выполняться граничное условие

n × Etot = 0,

(3)

где

E_tot =

E_inc +^E - полное электрическое поле, n - орт вектора нормали на поверхности

Σ. На каждой замкнутой компоненте поверхности Σ вектор n выбирается как вектор внеш-

ней нормали, условие (3) задаётся с внешней стороны поверхности. На каждой незамкнутой

компоненте поверхности Σ вектор нормали выбирается на одной из сторон поверхности, при

этом граничное условие должно выполняться для краевых значений электрического поля на

обеих сторонах поверхности. Условие (3) должно быть выполнено в каждой точке x ∈ Σⁱⁿ.

Также на вторичное полеE,

H ставятся: условие конечности энергии поля в любой огра-

ниченной области, условия стремления к нулю на бесконечности и условие отсутствия волн,

приходящих из бесконечности. Последнее условие можно записать в форме Мюллера [6, c. 45]

(с учётом проведённого в [6, c. 18] обезразмеривания):

(

√

)

E→ 0,

H→ 0,

|x|E +

[x ×H]

→ 0,

(√

)

|x|H - [x ×E]

→0

при

|x| → 0.

(4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

6^∗

1092

САМОХИН, СЕТУХА

2. Преобразование Фурье и некоторые его свойства. Для сведения задачи к неста-

ционарному граничному интегро-дифференциальному уравнению будем использовать прямое

и обратное преобразования Фурье

+^∞

∫

f (ω) ≡ F [f](ω) =

f (t)e^iωt dt, f(t) ≡ F-1

f ](t) =

f (ω)e^-iωt dω.

(5)

2π

−∞

-∞

При этом имеют место следующие свойства преобразования Фурье [7, с. 441, 445-447]:

df(t)

F-1[-i

f (ω)] =

F-1[-ω²fˆ(ω)] =d2f(t),

(6)

dt²

F-1[eiωΔfˆ(ω)] = f(t - Δ).

(7)

Заметим, что если f ∈ L₂(R), то существует функция

f = F[f] ∈ L₂(R) и f = F-1

f ],

интегралы в формуле (5) существуют в смысле главного значения. Формулы (6) выполнены

при условии f^′ ∈ L₂(R) (для первой формулы) и f^′′ ∈ L₂(R) (для второй формулы) [7, с. 441,

455-458].

Рассмотрим функцию f(x, t), x ∈ D, где D - область в Rⁿ, скалярную или векторную:

f : D ×R → R^m, m ∈ N. Пусть функция f ∈ C[D ×R] и удовлетворяет условию: существует

функция ϕ ∈ L₁(R) такая, что

|f(x, t)| ≤ ϕ(t) для всех x ∈ D, t ∈ R.

(8)

Тогда функция

f (x, ω) ≡ F [f] есть функция, которая при каждом ω ∈ R непрерывна

по параметру x в области D. Если существует производная f^′i(x, t) = ∂f(x, t)/∂x_i такая,

что f^′i ∈ C[D × R], и функции f и f^′i удовлетворяют условию (8), то при каждом ω ∈ R

существует производная

f^′i(x,ω) =

f (x, ω)/∂x_i, причём

f^′i = F[f^′i] и

f^′i ∈ C[D × R].

Для доказательства этих свойств достаточно заметить, что при выполнении условия (8)

для любых точек x, y ∈ D имеем

 ∫



f (y, ω)

f (x, ω)| =^ (f(y, t) - f(x, t))e^iωt dt

I₁ + I₂ + I₃,

(9)

≤

−∞

где

∫

I₁ =

|f(x, t)|e^iωt dt, I₂ =

|f(y, t)|e^iωt dt, I₃ =

|f(y, t) - f(x, t)|e^iωt dt,

|t|>R

|t|<R

R - некоторая константа. Для любого R найдётся окрестность U(x) точки x такая, что

функция f(y, t) равномерно непрерывна как функция аргументов (y, t) ∈ U(x) × [-R, R].

Тогда в силу условия (8) для любого ε > 0 найдётся константа R такая, что I₁ + I₂ < ε/2

при y ∈ U(x), и для найденного R найдётся число δ > 0 такое, что I₃ < ε/2 при |x - y| < δ.

Тогда

f (y, ω)

f (x, ω) при y → x, причём равномерно по переменной ω ∈ R.

Если функции f и f^′i удовлетворяют условию (8), то при x ∈ D имеем

∫

f (x + ξe_i, t) - f(x, t)

f^′i(x,ω) = lim

e^iωt dt,

ε→0

-∞

e_i, i = 1,2,3, - орты декартовой системы координат.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1093

Заметим, что

f (x + ξe_i, t) - f(x, t)

= f^′i(x^∗,t),

где x^∗ = x^∗(ξ, t),

|x^∗ - x| ≤ ξ. Тогда

∫

f (x + ξe_i, t) - f(x, t)

e^iωt dt =

f^′i(x,t)e^iωt dt +

(f^′i(x^∗, t) - f^′i(x, t))e^iωt dt.

−∞

-∞

Оценивая второй интеграл так же, как интеграл в формуле (9), получаем, что

f^′i = F[f^′i].

Непрерывность функции

f^′ следует из выполнения условия (8) для функции f^′.

3. Уравнения Максвелла в частотной области. Вернёмся к рассматриваемой задаче

для уравнений Максвелла (1), (2). Предположим, что^E =^E(x, t) и^H =^H(x, t) есть решение

поставленной задачи на множестве (x, t) ∈ Ω × R, дважды непрерывно дифференцируемое на

этом множестве, и такое, что сами поля^E и^H и все их первые производные по пространствен-

ным координатам и времени удовлетворяют условию (8). Тогда определены функции

E_ω(x)

H_ω(x), (x,ω) ∈ Ω × R, - преобразования фурье-функций

^E(x, t) и

^H(x, t), для которых

возникают уравнения, называемые уравнениями Максвелла в частотной области [6, с. 17]:

rotEω = iωμHω, rotHω = -iωεEω.

(10)

Также считаем, что существует функция

E_ω,inc(x), являющаяся преобразованием фурье-

функцииEinc(x, t).

Заметим, что уравнения (10) равносильны уравнениям (1), (2) для функций^E =Eω(x)e^-iωt

H₌ H_ω(x)e^-iωt. При этом на поверхности Σ возникает условие

n × (Eω + E_ω,inc) = 0,

(11)

и должно быть выполнено условие (4) на бесконечности для полей

E_ω и

H_ω.

4. Интегральное представление для электрического поля во временной области.

Электрическое поле в задаче (10), (11), удовлетворяющее условию на бесконечности (4), можно

искать в виде [6, c. 115-116; 1, c. 262-263]

∫

E_ω(x) =^K[Σ,⃗jω](x) ≡

{grad_x div_x[jω(y)F(x - y)] + k2⃗jω(y)F(x - y)}dσy,

(12)

где

ikR

1 e

F (x - y) =

R = |x - y|,

4π R

√

ω²εμ = ω/c - волновое число, c = 1/√εμ - скорость света,

j_ω - неизвестное касательное

векторное поле на поверхности Σ.

Полеjω определено в точках x ∈ Σin и пустьjω ∈ L1(Σ), а функции⃗jω(y) являются

фурье-образом некоторой функции⃗j(y, t), y ∈ Σin, t ∈ R, для которой выполнено условие: у

функцииj =⃗j(y, t) существуют производные

∂⃗j(y, t)

∂²⃗j(y, t)

⃗j^′t(y,t) =

⃗j^′′tt(y,t) =

∂t

∂t²

причём при каждом y ∈ Σⁱⁿ функцииj,

j^′t,

⃗j^′′tt являются непрерывными функциями от t,

лежащими в классе L₁(R)

^⋂L₂(R).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1094

САМОХИН, СЕТУХА

Осуществим обратное преобразование Фурье для интегрального представления (12).

Пусть x ∈ Σ. Формулу (12) запишем в виде

∫

E_ω(x) =

G(x - y)⃗jω(y)dy,

4π

где G(x) - оператор: R³ → R³ с матрицей (G_nm(x))3×3, коэффициенты которой имеют вид

e^iωR/c

∂²

⁽e^iωR/c)

Gn m(x, y) =

δ^nm +

R = |x - y|,

c²

∂x_n∂x_m R

δ^nm - символ Кронекера (δ^nm = 1 при m = n, δ^nm = 0 при m = n).

Матрицу G_nm можно записать в виде

iω

Gn m(x) = e^iωR/cG^nm(x) -

e^iωR/cG2nm(x) -

e^iωR/cG1nm(x),

c²

где

(

)

∂R

δ^mn

x_nx_m

G1nm(x) =

-δ^mn +

(13)

∂x_n ∂x_m

R³

]

∂

^[1 ∂R

∂R

∂

δ^mn

x_mx_n

G2nm(x) = -

(14)

∂x_n R ∂x_m

∂x_n ∂x_m R

R²

R⁴

[

]

∂

δ^mn

x_mx_n

G3nm(x) =

(15)

∂x_n

∂x_m R

R³

R⁵

Тогда функцияEω(x) представима в виде

E_ω(x) =

(S1,ω(x) +S2,ω(x) +S3,ω(x)),

(16)

4π

где

∫

S1,ω(x) =^-ω

G₁(x - y)

⃗j_ω(y)e^iωR/c dy,

S2,ω(x) =^-iω

G₂(x - y)

⃗j_ω(y)e^iωR/c dy,

c²

∫

S3,ω(x) = G₃(x - y)⃗jω(y)eiωR/c dy,

G_k(x - y) = (G^knm(x - y)) - матрица размера (k × k), G_k(x - y)⃗jω(y) - результат умножения

матрицы G_k(x - y) на вектор⃗jω(y), k = 1,2,3.

Применим обратное преобразование Фурье к правой части и интегралам, входящим в выра-

жение (16). Здесь также предположим, что функция ω²⃗jω(y), как функция переменных (y,ω),

лежит в классе L₁(Σ × R). Тогда функцииjω(y) и ω⃗jω(y) также лежат в классе L1(Σ × R),

и для любой матрицы A(y) = (a_ij (y))3×3 с коэффициентами a_ij(y) ∈ (Σ) справедливы соот-

ношения

[∫

]

∫

∞

(∫

)

∫

F-1

A(y)g(y, ω) dy (t) =

e^-iωt

A(y)⃗g(y, ω) dy dω = A(y)F-1[g](y, t) dy

-∞

для g(y, ω) =jω(y), ωjω(y), ω2⃗jω(y).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1095

Тогда, используя свойства (5)-(7), получим, что электрическое поле

^E(x, t) имеет вид

^E(x, t) =

^S[Σ,⃗j](x, t),

^S[Σ,j]=S1[Σ,j](x, t) +S2[Σ,j](x, t) +S3[Σ,⃗j](x, t),

(17)

4π

где

∫

∂²⃗j(y, t - R/c)

S₁[Σ,⃗j](x, t) =

G₁(x - y)

dy,

c²

∂t²

∫

∂⃗j(y, t - R/c)

S₂[Σ,⃗j](x, t) =

G₂(x - y)

dy,

∂t

∫

S₃[Σ,j](x, t) = G3(x - y)⃗j(y, t - R/c) dy, R = |x - y|.

5. Краевые значения электрического поля. Рассмотрим вопрос о краевых значениях

векторного поля

^E(x, t), определяемого выражением (17), в котором функция

⃗j предполага-

ется заданной и достаточно гладкой.

Теорема 1. Пусть Σ - гладкая простая поверхность класса C², замкнутая или неза-

мкнутая с краем,⃗j(x, t) ∈ C2(Σ × R) - касательное векторное поле на поверхности Σ (в

каждой точке x ∈ Σ вектор⃗j(x, t) лежит в касательной плоскости), электрическое поле

определяется по формуле

^E(x, t) =^S[Σ,⃗j](x, t).

(18)

Тогда в каждой точке x ∈ Σ, не являющейся точкой края, для каждого t ∈ R существу-

ют краевые значения поля

^E(x, t):

E^±(x,t) =^S[Σ,j](x, t) ∓ 2πn(x) Div⃗j(x, t),

(19)

где n(x) - орт вектора нормали к поверхности Σ в точке x,

E⁺ иE- - краевое значение

поля

E на поверхности Σ со стороны вектора n и с противоположной стороны, Divj -

поверхностная дивергенция поляj,

S[Σ,j](x, t) - значение, определяемое в смысле конечной

части по Адамару:

{

}

π⃗j(x, t)

^S[Σ,⃗j](x, t) = lim

^S[Σ_ε,⃗j](x, t) -

(20)

ε→0

где Σ_ε = Σ\U_ε(x), U_ε(x) = {y ∈ R³ : |y - x| < ε} - окрестность точки x радиуса ε, величина

^S[Σ_ε,⃗j](x, t) определяется формулой (17).

Замечание 1. В записи⃗j(x, t) ∈ C2(Σ × R) в случае, когда Σ есть поверхность с краем,

предполагается, что край является частью поверхности и, таким образом, поверхность Σ как

множество точек в пространстве R³ является компактом.

Замечание 2. В формуле (20) предел вычисляется от всей суммы^S , определяемой вто-

рым равенством в (17). При этом, как будет видно ниже из доказательства теоремы 1, при

x ∈ Σ интегралS1 существует как несобственный и может быть рассмотрен отдельно. Сум-

S₂

ма слагаемых

и S3 существует как интеграл в смысле конечной части по Адамару при

условии, что эти два слагаемых рассматриваются совместно.

Для доказательства теоремы 1 сначала докажем лемму.

Лемма 1. Пусть Σ - поверхность из теоремы 1, функция K(x, y) определена и непре-

рывна при x,y ∈ R³, x = y, и подчинена оценке

|K(x, y)| ≤

x,y ∈ R³, x = y,

|x - y|^β

β ∈ (0,2) и C - некоторые константы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1096

САМОХИН, СЕТУХА

Тогда функция

∫

u(x) = K(x, y) dy

(21)

определена при всех x ∈ R³ и непрерывна в каждой точке x ∈ Σ.

Доказательство. При всех x ∈ R³ интеграл в правой части выражения (21) существует,

и значит значение функции u(x) определено. Далее докажем непрерывность этой функции

на поверхности.

Возьмём число α такое, что β < α < 2, и представим ядро K(x, y) в виде

K^∗(x,y)

|K(x, y)| ≤

|x - y|^α

где K^∗(x, y) = K(x, y)|x - y|^α. Функция K^∗(x, y) непрерывна при всех x, y ∈ R³, если до-

определить её значение K^∗(x, y) нулём при x = y.

Пусть x ∈ Σ и z ∈ R³. Рассмотрим разность Δ = u(x) - u(z), которую представим в виде

∫

{

}

K^∗(x,y) - K^∗(z, y)

Δ=Δ₁ +Δ₂, Δ₁ =

dy, Δ₂ = K^∗(z, y)

dy.

|x - y|^α

|z - y|^α

Пусть U(x) - некоторая окрестность точки x. Функция K^∗(z, y) равномерно непрерывна на

множестве аргументов (z, y) ∈ U(x) × Σ, поэтому найдётся функция ω(δ), стремящаяся к

нулю при δ → 0, такая, что |K^∗(x, y) - K^∗(z, y)| ≤ ω(|x - z|) при всех (z, y) ∈ U(x) × Σ.

Тогда

∫

|Δ₁| ≤ ω(|x - z|)I(x), I(x) =

|x - y|^α

При этом найдётся константа C, зависящая от поверхности Σ и параметра α, такая, что

|I(x)| ≤ C (см., например, [8, c. 52, теорема 2.6]). Тогда |Δ₁| → 0 при z → x.

Далее, разность Δ₂ представим в виде

Δ₂ = A[ψ_z](x) - A[ψ_z](z),

(22)

где A[ψ] - оператор, ставящий в соответствие функции ψ ∈ C(Σ) функцию

∫

w(z) ≡ A[ψ](z) = A(x, y)ψ(y) dy, A(x, y) =

|x - y|^α

В формуле (22) ψ_z(y) = K^∗(z, y). Для ядра A(x, y) легко доказать оценку

M |x - z|

|A(x, y) - A(z, y)| ≤

|x - y|α+ε

справедливую при всех y ∈ Σ, |x - z| < |x - y|/2, где ε - число, удовлетворяющее условиям

α < α + ε < 2, M - некоторая константа, зависящая только от α и ε. Тогда из [8, c. 52-53,

теорема 2.7] следует, что при каждом z ∈ U(x) функция w(z^′) = A[ψ_z](z^′), порождаемая

функцией ψ_z, непрерывна по Гёльдеру в окрестности U(x) с некоторым показателем γ и

некоторой константой C_γ, зависящей от γ, т.е. справедливо неравенство

|w(z^′) - w(z^′′)| ≤ C_γ∥ψ_z∥_∞|z^′ - z^′′|^γ , z^′, z^′′ ∈ U(x),

∥ψ∥_∞ = max |ψ(y)|.

y∈Σ

Остаётся заметить, что при любом z ∈ U(x) выполнена оценка ∥ψ_z∥_∞ ≤ C₁, в которой

C₁ = sup

|K^∗(z^′, y)|. Тогда |Δ2| ≤ CγC1|x - z|γ и

|Δ₁| → 0 при z → x, а значит,

z^′∈U(x),y∈Σ

u(z) → u(x) при z → x. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1097

Замечание 3. В теоремах 2.6 и 2.7 из работы [8] рассматривается случай, когда поверх-

ность, обозначенная нами как Σ, есть граница некоторой ограниченной области D, т.е. эта

поверхность является замкнутой. Однако несложно увидеть, что при доказательстве этих тео-

рем в [8] свойство замкнутости поверхности не используется, и для незамкнутой поверхности

эти теоремы применимы.

Доказательство теоремы 1. Пусть поле

^E(x, t) определяется выражением (18) при

x ∈ Σ. Используя выражение (17) и учитывая соотношение

G₂(x - y) = RG₃(x - y), R = |x - y|,

представим поле

^E(x, t) в виде

^E(x, t) =E1(x, t) +E2(x, t) +E3(x, t),

где

∫

E₁(x,t) =S1[Σ,⃗j](x, t) =

G₁(x - y)⃗j′′tt(y,τ)dy,

(23)

c²

∫

{

}

E₂(x,t) = G₃(x - y)

j(y, τ) +

j^′t(y,τ) -⃗j(y, t) dy,

(24)

∫

E₃(x,t) = G₃(x - y)⃗j(y, t) dy,

∂⃗j(y, t)

∂²⃗j(y, t)

⃗j^′t(y,t) =

⃗j^′′tt(y,t) =

R = |x - y|, τ = t -

∂t

∂t²

Функции

K₁(x,y,t) = G₁(x - y)⃗j′′tt(y,τ)

{

}

K₂(x,y,t) = G₃(x - y)

j(y, τ) +

⃗j^′t(y,τ) -j(y,t)

при каждом t ∈ (t₁, t₂) являются непрерывными функциями от x, y ∈ R³ (при x = y) и

подчинены оценкам

|K1(x,y,t)| ≤ O(1/R),

|K2(x,y,t)| ≤ O(1/R).

Тогда по лемме 1 при каждом t ∈ (t₁, t₂) и в каждой точке x ∈ Σ функцииE1(x, t),

E₂(x,t),

определённые выражениями (23), (24), являются непрерывными в этой точке.

ФункциюE3(x, t) при x ∈ Σ можно записать в виде

∫

e^iωR/c

E₃(x,t) = grad div

j(y, t)F (x - y) dy, F (x - y) =

R = |x - y|.

Преобразуем последнее выражение:

E₃(x,t) =E31(x,t) +E32(x,t),

∫

E₃₁(x,t) = grad div

j(y, t)F₀(x - y) dy,

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1098

САМОХИН, СЕТУХА

∫

E₃₂(x,t) = grad div

j(y, t

F (x - y) dy,

(26)

e^iωR/c - 1

F₀(x - y) =

F (x - y) =

R = |x - y|.

При этом функция

K₃₂(x,y,t) = grad_xdiv_x[j(y, t

F (x - y)]

при каждом t ∈ (t₁, t₂) является непрерывной функцией от x, y ∈ R³ (при x = y) и подчинена

оценке

|K32(x,y,t)| ≤ O(1/R).

Поэтому по лемме 1 функция

E₃₂(x,t) при каждом t ∈ (t₁,t₂) и в каждой точке x ∈ Σ

определённая выражением (26), является непрерывной в этой точке.

Наконец, функцияE31(x, t), определяемая выражением (25), была рассмотрена в теореме 1

статьи [9], из которой следует, что при каждом значении параметра t в каждой точке x ∈ Σ,

не являющейся точкой края, существуют краевые значения поля

E₃₁(x,t):

E±

(x, t) =E31(x, t) ∓ 2πn(x) Divj(x),

гдеE31(x, t) - прямое значение, получаемое непосредственно из выражения (25), если интеграл

в нем понимать в смысле конечной части по Адамару:

{

∫

}

π⃗j(x, t)

E₃₁(x,t) = lim grad div

j(y, t)F₀(x - y) dy -

ε→0

Σε

поверхность Σ_ε определена в формуле (20). Теорема доказана.

6. Интегро-дифференциальное уравнение для поверхностных токов. Вернёмся к

исходной задаче (1)-(4) для уравнений Максвелла. Предположим, что суммарная поверхность

идеально проводящих тел Σ является кусочно-гладкой и состоит из конечного числа компо-

нент, каждая из которых есть гладкая поверхность класса C², замкнутая или незамкнутая с

краем. Предположим, что у каждой точки x ∈ Σⁱⁿ существует окрестность U(x) такая, что

множество

Σ_x = Σ

⋂ U(x),

(27)

где

^U (x) - замыкание окрестности U(x), есть простая гладкая поверхность с краем класса

C², состоящая только из точек гладкости поверхности Σ.

В дальнейших рассуждениях считаем, что поверхность Σ как множество точек в прост-

ранстве R³ замкнуто и ограничено, что означает, в частности, что точки края относятся к

поверхности Σ.

Решение задачи (1)-(4) на временном интервале t ∈ R ищем в виде (17), где⃗j(x, t) -

неизвестное касательное поле (поверхностные токи), которое ищется в классе функций, удо-

влетворяющих условиям:

i1) в каждый момент времени t ∈ R функция⃗j(x, t) интегрируема на поверхности Σ;

i2) для каждой точки x ∈ Σ, являющейся точкой гладкости поверхности Σ, поле⃗j удо-

влетворяет условию⃗j ∈ C2[Σx × R], Σx - участок поверхности Σ вида (27).

Если касательное поле⃗j(x, t) удовлетворяет условиям i1), i2), то формула (17) определяет

поле

E, определённое при x ∈ Ω, t ∈ R. При этом в каждой точке x ∈ Σ, являющейся

точкой гладкости, это поле имеет краевые значения на обеих сторонах поверхности Σ, для

которых справедливы формулы (19), (20). Это следует из теоремы 1, если учесть, что поле

имеет вид

E₌ S[Σx,j]+S[Σ\Σx,⃗j], где к первому слагаемому применима теорема 1, второе

слагаемое - непрерывная в окрестности точки x функция.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1099

Тогда выполнение граничного условия (3) равносильно уравнению относительно поверх-

ностных токов

n(x) ×

^S[Σ,⃗j](x, t) = -n(x) ×Einc(x, t), x ∈ Σin, t ∈ R,

4π

которое можно записать в виде

∫

[

]

n(x) ×

G₁(x - y)⃗j′′tt(y,τ) +

G₂(x - y)j′t(y,τ) + G1(x - y)j(y, τ ) dy

f (x, t),

(28)

c²

f (x, t) = -4πn(x) ×Einc(x, t),

интеграл в уравнении (28) понимается в смысле конечной части по Адамару, уравнение (28)

должно выполняться при всех t ∈ T и для всех точек x ∈ Σⁱⁿ.

Формула (17) даёт выражение через поверхностные токи для электрического поля

^E(x, t).

Получим соответствующее выражение для магнитного поля

^H(x, t).

ПустьHω(x), x ∈ Ω, ω ∈ R, - преобразование фурье-поля

^H(x, t). Из первого уравнения

в системе (10) и формулы (12) следует

∫

H_ω(x) = -i

rot^K[Σ,⃗jω](x) = -iωεrot

j_ω(y)F(x - y)dσ_y.

(29)

ωμ

Последнее выражение запишем в виде

∫

H_ω(x) = iωε

j_ω(y) × grad_xF(x - y)dσ_y,

(

)

iωR/c

ω 1

grad_xF (x - y) = (x - y)

R = |x - y|.

4π

c R²

R³

Тогда

∫

x-y

ω² ε

x-y

H_ω(x) = -iωε

j_ω(y) ×

e^iωR/c dσ_y -

j_ω(y) ×

e^iωR/c dσ_y.

(30)

4π

R³

c 4π

R²

Применяя обратное преобразование Фурье и используя формулы (5)-(7), получаем

∫

x-y

H(x,t)=ε

⃗j^′t(y,τ) ×

dσ_y +

⃗j^′′t(y,τ) ×

dσ_y, τ = t-

R = |x-y|. (31)

4π

R³

4πc

R²

Теперь докажем, что если касательное поле⃗j является решением уравнения (28), то поля

^E(x, t) и

^H(x, t), определяемые выражениями (17) и (31) соответственно, являются решением

исходной электродинамической задачи.

Лемма 2. Пусть⃗j(y, t), y ∈ Σ, t ∈ R, - касательное векторное поле, удовлетворяющее

условиям:

l1)⃗j ∈ L1[Σ × R]

^⋂C[Σⁱⁿ × R];

l2) существует функция g(t), g ∈ C(R)

^⋂L₁(R)^⋂ L₂(R), такая, что для каждого t ∈ R

существует интеграл

∫

|⃗j(y, t)| dσy ≤ g(t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1100

САМОХИН, СЕТУХА

Пусть

∫

^E(x, t) = K(x, y)⃗j(y, τ) dσy, τ = t -

R = |x - y|,

(32)

где K(x, y) - оператор, определяемый матрицей (K_ij (x, y))3×3, x ∈ Ω, y ∈ Σ, Ω - область

в R³, причём K_ij(x,y) ∈ C(Ω × Σ), C - заданная константа.

Тогда:

1) для любого y ∈ Σ существует функцияjω(y) = F[⃗j] (как функция от ω ∈ R), при

каждом ω ∈ R выполнено условие⃗jω ∈ L1[Σ] (как функции от y ∈ Σ) и

∫

|⃗jω(y)|dσy ≤

|⃗j(y, t)| dσy dt;

Σ×(-∞,∞)

2) функция

^E(x, t), определённая выражением (32) для x ∈ Ω, t ∈ R, удовлетворяет

условиюE(x, t) ∈ C(Ω, R). Для любого x ∈ Ω существует функцияEω(x) = F [^E] аргумента

ω ∈ R. При каждом ω ∈ R функцияEω(x) удовлетворяет условиюEω ∈ C(Ω) и справедлива

формула

∫

E_ω(x) = K(x,y)⃗jω(y)eiωR/c dσy, R = |x - y|.

(33)

Кроме того, справедлива формула

E₌ F-1[Eω].

(34)

Доказательство. Из условия l2) следует, что при каждом y ∈ Σ функцияjω(y) = F[j]

определена. По условию l1) существует интеграл

∫

I =

⃗j(y, t)e^iωt dσ_y dt.

Σ×(-∞,∞)

Пусть T_m = [-m, m], m ∈ N. Используя условие l2) и теорему Фубини для интеграла по

произведению множеств ограниченной меры [7, с. 335], имеем

∫

[

∫

]

I = lim

⃗j(y, t)e^iωt dσ_y dt =

⃗j(y, t)e^iωt dt dσ_y =

m→∞

Σ×Tm

(-∞,∞)

∫

[

∫

]

∫

lim

j(y, t) dt dσ_y

j_ω(y)dσ_y.

m→∞

Тогда⃗jω ∈ L1[Σ] и справедливы неравенства

∫

|⃗jω(y)|dσy ≤

|⃗j(y, t)eiωt| dσy dt ≤

|⃗j(y, t)| dσy dt.

Σ×(-∞,∞)

Тем самым утверждение 1) доказано.

Перейдём к доказательству утверждения 2). Можно построить систему измеримых поверх-

ностей Σ_m ⊂ Σⁱⁿ, m ∈ N, такую, что каждая поверхность Σ_m есть замкнутое множество в

пространстве R³ и μ(Σ\Σ_m) → 0 при m → ∞, где μ - площадь поверхности. Пусть

∫

^E(x, t) = lim

E_m(x,t),

E_m(x,t) = K(x,y)⃗j(y, τ) dσy .

m→∞

Σm

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1101

При каждом m выполнено условиеEm(x, t) ∈ C(Ω × R), так как для любых x₀ ∈ Ω и t₀ ∈

∈ R найдутся окрестности U(x₀) ⊂ Ω и U(t₀) ⊂ R такие, что функция K(x,y)⃗j(y, τ) есть

равномерно непрерывная функция аргументов x, y, t на множестве U(x₀) × Σ_m × U(t₀).

Тогда в силу условия l1) интеграл в правой части выражения (32) существует при каждых

(x, t) ∈ U(x₀) × U(t₀), причём

^E(x, t) = lim

E_m(x,t),

m→∞

и выполнено условие

^E(x, t) ∈ C(U(x₀) × U(t₀)), так как последний предел существует на

данном множестве аргументов (x, t) в смысле равномерной сходимости.

Таким образом, функция^E(x, t) определена и

^E(x, t) ∈ C(Ω, t).

Рассмотрим для произвольного x ∈ Ω интеграл

∫

J (x) =

K(x, y)⃗j(y, τ)eiω(τ+R/c) dσy dτ .

Σ×(-∞,∞)

Этот интеграл существует в силу условия l1). Опять обозначив T_m = [-m, m], m ∈ N, и

применив теорему Фубини, можем записать

∫

[∫

]

J (x) = lim

K(x, y)⃗j(y, t) dσy eiω(τ+R/c) dt =Eω(x).

m→∞

Tm Σ

С другой стороны,

∫

[∫

]

∫

J (x) = lim

K(x, y)

j(y, τ)eiω(τ+R/c) dτ dσ_y = K(x, y)

⃗j_ω(y)e^iωR/c dσ_y.

m→∞

При этом непрерывность функции

E_ω(x) по переменной x следует из представления этой

функции в виде последнего интеграла и условия⃗jω ∈ L1[Σ].

Докажем теперь, что при каждом x ∈ Ω выполнено условие^E(x, t) ∈ L₂(R) как функция

от аргумента t. Для этого заметим, что для рассматриваемой точки x ∈ Ω и для каждого

отрезка T_m = [-m, m], m ∈ N, существует интеграл

∫

∫



²



|E(x,t)|² dt =

(x, y)

 K

 d

Tm Σ

Для рассматриваемой точки x найдётся константа M = M(x) такая, что |K(x, y)| ≤ M

для всех y ∈ Σ. Тогда

∫

(∫

)

|E(x,t)|² dt ≤ M²

|⃗j(y, τ)|2 dσydt ≤ M2

|⃗j(y, τ)|2 dt dσy ≤

Tm Σ

Σ Tm

∫

(

∫

)

≤M²

|g(t)|² dt dσ_y.

(-∞,∞)

Значит, существует интеграл

∫

|E(x,t)|² dt = lim

|E(x,t)|² dt.

m→∞

(-∞,∞)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1102

САМОХИН, СЕТУХА

Тем самым условие

^E(x, t) ∈ L₂(R) для каждой точки x выполнено, и тогда справедлива

формула (34). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть⃗j(y, t), y ∈ Σ, t ∈ R, - касательное векторное поле такое, что при всех

y ∈ Σ, t ∈ R существует производнаяj′t(y,t) и для функций⃗j(y, t) и

⃗j^′t(y,t) выполнены

условия l1) и l2) из леммы 2.

Рассмотрим полеE(x, t), определяемое формулой (32), где K_ij(x, y) ∈ C(Ω × Σ) и суще-

ствуют частные производные ∂K_ij(x,y)/∂x_m ∈ C(Ω × Σ), m = 1,2,3.

Тогда существуют производные ∂E(x, t)/∂t ∈ C(Ω, R) и ∂E(x, t)/∂x_m ∈ C(Ω, R), m =

= 1, 2, 3. Для каждого x ∈ Ω существуют образы фурье-функций ∂ E(x, t)/∂t и ∂ E(x, t)/∂x_n,

n = 1,2,3, причём справедливы формулы

]

^[∂E

∂E

= -iωEω,

= -iωF-1[Eω],

(35)

∂t

∫

∂

F[^E](x) = ∂Eω (x) =

(K(x, y)e^iωR/c)⃗jω(y)dσy,

(36)

∂x_n

∂E

^[∂E_ω]

=F-1

(37)

∂x_n

где

E_ω(x) = F[E] - функция, определяемая выражением (33).

Доказательство. А) Рассмотрим производную ∂E(x, t)/∂t. Введём, как и при доказа-

тельстве леммы 1, систему поверхностей Σ_m ⊂ Σⁱⁿ, m ∈ N, исчерпывающую поверхность Σ,

и в результате получим

∫

∂E(x,t)/∂t = lim

K(x, y)j′t(y,τ)dσy = K(x,y)⃗j′t(y,τ)dσy.

m→∞

Σm

Тогда выполнение формул (35) сразу следует из леммы 2.

Б) Рассмотрим производные ∂E(x, t)/∂x_n, n = 1, 2, 3. Продифференцируем под знаком

интеграла и запишем

∫

∂E(x, t)

∂K(x,y)_⃗

x_n - y_n

j(y, τ) dσ_y +

K(x, y)⃗j′t(y,τ)

dσ_y

(38)

∂x_n

(существование интегралов в правой части и возможность внесения производной под знак ин-

теграла можно доказать, заменив интегралы по поверхности Σ на интегралы по поверхностям

Σ_m ⊂ Σⁱⁿ, исчерпывающим поверхность Σ, с помощью перехода к пределу при m → ∞).

Применяя к каждому из полей, определяемых интегралами в правой части равенства (38),

лемму 2 и учитывая равенство

F[j′t] = -iωF[j],

заключаем, что

∫

∂K(x,y)_⃗

x_n - y_n

F [∂E/∂x_n] =

j_ω(y)e^iωR/c dσ_y + iω

K(x, y)jω(y)

e^iωR/c dσ_y =

∂x_n

∫

∂

(K(x, y)e^iωR/c)⃗jω(y)dσy.

∂x_n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ГРАНИЧНОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1103

В силу условия⃗jω ∈ L1[Σ], выполненного при каждом значении ω, приходим к равенствам

∫

∂

F [∂E/∂x_n] =

K(x, y)e^iωR/c⃗jω(y)dσy =

E_ω(x).

∂x_n

Последние равенства означают выполнение формул (36). Наконец, из леммы 2, применённой

к полю ∂E/∂x_n в виде (38), следует формула (37). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть касательное поле⃗j лежит в классе функций, удовлетворяющих усло-

виям i1) и i2), удовлетворяет уравнению (28) при t ∈ R, и дополнительно функция⃗j и её

производныеj(k)t = ∂k⃗j(y, t)/∂tk, k = 1, 4, определены и удовлетворяют условиям l1) и l2) из

леммы 2.

H(x,t),определяемыевыражениями(17)и(31)длявсехx∈Ω,t∈R,

Тогда поляE(x, t),

являются решением уравнений (1), (2), удовлетворяющим условиям (3), (4).

Доказательство. Пусть поле⃗j - решение уравнения (28) в указанном классе функций.

Построим поля

^E(x, t),

^H(x, t), определяемые выражениями (17) и (31) для любых x ∈ Ω,

t ∈ R. По теореме 1 выполнено граничное условие (3), а из лемм 2 и 3 следует, что поля^E(x,t)

^H(x, t) лежат в классе C²(Ω × R).

Докажем, что уравнения (1), (2) выполняются в области Ω.

По лемме 2, во-первых, существуют фурье-образы функцийj и⃗j(k)t, k= 1, 4, причём

еслиjω = F[j], то F [j(k)t] = (iω)kjω, и при каждом ω ∈ R выполнено условие⃗jω ∈ L1[Σ].

Далее, при каждом x ∈ Ω существуют фурье-образы функций^E(x, t) и^H(x, t):

E_ω(x) =

=F[^E] и

H_ω(x) = F[^H]. При этом функции

E_ω(x) и

H_ω(x) дважды дифференцируемы по

переменной x в области Ω, и из леммы 3 следует, что для функций

E_ω(x) и

H_ω(x) спра-

ведливы выражения (16) и (30) соответственно, гдеjω ∈ L1(Σ). Но тогда для этих полей

справедливы и выражения (12) и (29) соответственно. Значит, поля

E_ω(x) и

H_ω(x) удовле-

творяют уравнениям (10).

Из лемм 2 и 3 следует, что

E₌ F-1[Eω],

H₌ F-1[Hω],

∂E/∂x_i = F-1[∂Eω/∂x_i],

∂ H /∂x_i = F-1[∂ Hω/∂x_i],

∂E/∂t = -F-1[iωEω],

∂ H /∂t = -F-1[iω Hω].

Применяя обратное преобразование Фурье к уравнениям (10), доказываем выполнение

уравнений (1), (2).

Наконец, докажем выполнение условий (4) на бесконечности.

Из формул (17) и (31) с учётом выражений (13)-(15) следует, что

∫

(

)

j^′′(y, τ )

^E(x, t) =

(x,⃗j′′tt(y,τ)) dy + o(1/|x|2),

4πc²

|x|

|x|²

∫

^H(x, t) =^ε

⃗j^′′t(y,τ) ×

dσ_y + o(1/|x|²).

4πc

|x|²

√

Тогда, учитывая равенство 1/(εc) =

μ/ε, получаем

[

]

∫

(

)

^√μ

× E =-

×⃗j′′tt(y,τ) dy + o(1/|x|2) =

^H(x, t) + o(1/|x|²),

|x|

4πc²

|x|²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1104

САМОХИН, СЕТУХА

∫

× H (x,t) =^ε

x×[⃗j′′t(y,τ) × x]dσy + o(1/|x|2) =

|x|

4πc|x|³

∫

)

⁽j′′(y, τ)

(x,⃗j′′tt(y,τ)) dσy + o(1/|x|2),

4πc

|x|

|x|²

]

^√μ^[

× H(x,t)

= -E(x,t) + o(1/|x|²),

|x|

откуда следует, что условия (4) выполнены. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-

20087), а также при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Феде-

рации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной

математики по соглашению № 075-15-2022-286.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Volakis J.L., Sertel K. Integral Equation Methods for Electromagnetics. Raleigh, 2012.

2. Gibson W. The Method of Moments in Electromagnetics. Boca Raton, 2008.

3. Вычислительные методы в электродинамике / Под. ред. Р.М. Митра. М., 1977.

4. Смирнов Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза, 2009.

5. Самохин А.Б. Объемные сингулярные интегральные уравнения электродинамики. М., 2021.

6. Хёнл Х., Мауэ А., Веспфаль К. Теория дифракции. М., 1964.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 2004.

8. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

9. Захаров Е.В., Рыжаков Г.В., Сетуха А.В. Численное решение трёхмерных задач дифракции элек-

тромагнитных волн на системе идеально проводящих поверхностей методом гиперсингулярных ин-

тегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1253-1263.

МИРЭА - Российский технологический университет,

Поступила в редакцию 30.03.2022 г.

г. Москва,

После доработки 30.03.2022 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 25.05.2022 г.

имени М.В. Ломоносова,

Институт вычислительной математики

имени Г.И. Марчука РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022