ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1105-1111

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассматривается проблема построения субоптимальных фильтров (оптимальных фильтров

пониженного порядка, т.е. фильтров для линейных векторных функционалов от фазово-

го вектора системы) для стохастических многосвязных объектов управления. Способ по-

строения таких фильтров представлен в каноническом базисе Люенбергера. На численном

примере системы седьмого порядка показано, что с помощью предложенного подхода

повышается оптимальность фильтров по сравнению с фильтрами на основе скалярных

наблюдателей.

DOI: 10.31857/S0374064122080106, EDN: CGZDBG

Введение. Рассмотрена задача о построении субоптимальных фильтров, восстанавлива-

ющих по измеряемому векторному выходу несмещённую и оптимальную оценку векторного

линейного функционала от фазового вектора состояния объектов управления со стохастиче-

скими возмущениями. Возмущения в системе представляют некоррелированные между собой

в разные моменты времени белые аддитивные шумы с априорно известными вероятностными

характеристиками, некоррелированные с начальным состоянием системы и воздействующие

как на объект, так и на канал измерений. В качестве критерия оптимальности выбрана средне-

квадратичная ошибка в установившемся режиме. Для вычисление критерия применён метод

интегральных квадратичных оценок качества.

Ранее для решения задачи о построении минимального функционального наблюдателя для

детерминированных линейных стационарных систем был предложен метод, основанный на

скалярных наблюдателях [1, с. 80] для различных случаев: скалярный и векторных выход,

скалярный и векторный функционал. Кроме того, были предложены использующие канони-

ческие представления методы синтеза субоптимальных фильтров для стохастических систем

со скалярным выходом и скалярным функционалом как в непрерывном [2], так и в дискретном

времени [3, 4].

Для стохастических многосвязных систем (векторный выход и векторный функционал) в

настоящей работе предлагается подход для синтеза субоптимальных фильтров в каноническом

базисе Люенбергера (см. [5]). Предложенный подход позволяет улучшить оптимальность филь-

тров по сравнению с фильтрами на основе скалярных наблюдателей. В отличие от существу-

ющих подходов [6, 7] к построению функциональных наблюдателей, динамический порядок

субоптимальных фильтров не обязательно совпадает с размерностью векторного функциона-

ла от фазового вектора состояния. Кроме того, в работе представлена формула для нахож-

дения общего количества неизвестных параметров субоптимальных фильтров в канонической

форме и предложено левое матричное дробное описание передаточной функции для системы

в отклонениях.

1. Постановка задачи. Ставится задача субоптимальной фильтрации для многосвязной

динамической системы, заданной системой разностных уравнений

xi+1 = Ax_i + w_i, y_i = Cx_i + v_i; i = 0,1,2,... ;

(1)

где x_i ∈ Rⁿ - фазовый вектор состояния, y_i ∈ R^l - известный вектор измерений; A ∈ R^n×n

и C ∈ R^l×n - постоянные матрицы; w_i и v_i - некоррелированные между собой случайные

процессы, которые имеют следующие вероятностные характеристики: E[w_i] = 0, E[v_i] = 0,

E[w_iwтj] = Qδ_ij , E[v_ivтj] = Rδ_ij , δ_ij - символ Кронекера; начальное условие x₀ - случайная

величина, некоррелированная со случайными процессами w_i и v_i и имеющая следующие

вероятностные характеристики: E[x₀] = x₀, E[(x₀ -

x₀)(x₀ - x₀)^т] = P₀; здесь Q, P₀ -

положительно полуопределённые матрицы, R - положительно определённая матрица.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1106

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

Требуется на основе наблюдения выхода y_i определить несмещённую оценку σ_i вектор-

ного линейного функционала от неизвестного фазового вектора

σ_i = Fx_i, F ∈ R^p×n, σ_i ∈ R^p, i = 0,1,2,... ,

(2)

обеспечивающую минимум установившегося среднего значения квадрата ошибки наблюдения:

J = lim

E[(σ_i - σ_i)^т(σ_i - σ_i)].

(3)

i→∞

Не ограничивая общности рассуждений, считаем, что rank C = l и пара {C, A} наблюда-

ема и задана в каноническом базисе Люенбергера [1, с. 31; 8, с. 44]:

⎛

⎞

⎛

⎞

A₁₁

C₁

⎜

A₂₂

⎟

C₂

⎟

⎝

⎠∈R^n×n, C =^⎝

⎠∈R^l×n,

... A_ll

... C_l

⎛

⎞

-α

θj-1+1

)

⎜1

-αθj-1+2

⎟

A_jj =

⎝

⎠ ∈ Rνj×νj, Cj =

⁽0

∈ R1×νj, j = 1,l,

(4)

-αθj-1+ν_j

∑_j

где ν_j ≥ 1 - индексы наблюдаемости пары {C_j , A_jj}; θ₀ = 0, θ_j =

ν_i, j = 1,l, - суммы

i=1

индексов наблюдаемости, причём θ_l = n; αθj-1+η_j , ηj = 1, νj , - коэффициенты характерис-

тического полинома матрицы A_jj, т.е.

α_j(z) = det(zIνj - A_jj) = zνj + α_θ

j-1+νj zνj -¹ + . . . + αθj-1+1.

Характеристический полином матрицы A при этом равен

∏

α(z) = det (zI_n - A) = α_j(z) = det (zIνj - A_jj).

j=1

2. Построение фильтров. Пусть при некотором k для матрицы F имеет место разло-

жение

F =PT +VC,

где P ∈ R^p×k, T ∈ R^k×n, V ∈ R^p×l - неизвестные постоянные матрицы, подлежащие даль-

нейшему нахождению. Тогда для восстановления неизвестного вектора q_i = T x_i ∈ R^k исполь-

зуется субоптимальный фильтр порядка k вида

qi+1 = N qi + Myi,

q₀ = T x₀, i = 0,1,2,... ,

(5)

где q_i ∈ R^k - фазовый вектор состояния фильтра; M ∈ R^k×l, N ∈ R^k×k - неизвестные посто-

янные матрицы, также подлежащие дальнейшему нахождению. При этом в качестве оценки

σ_i = Fx_i = PTx_i + V Cx_i = Pq_i + V y_i - V v_i

используется выход фильтра

σi = P qi + V yi, i = 0, 1, 2, . . .

(6)

Для минимизации числа ненулевых элементов неизвестные матрицы P и N фильтра

ищутся в каноническом представлении Люенбергера [1, с. 31; 8, с. 44]:

⎛

⎞

⎛

⎞

N₁₁

P₁

⎜

N₂₂

⎟

P₂

⎟

N =

⎝

⎠∈R^k×k, P =^⎝

⎠∈R^p×k,

... N_pp

... P_p

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1107

⎛

⎞

-lκi-1+1

⎜1

⎟

)

-lκi-1+2

N_ii =

⎝

⎠ ∈ Rki×ki, Pi =

⁽0

∈ R1×ki, i = 1,p,

(7)

-lκi-1+k_i

∑_i

где k_i ≥ 1 - индексы наблюдаемости пары {P_i, N_ii}; κ₀ = 0, κ_i =

k_j, i = 1,p, - суммы

j=1

индексов наблюдаемости, причём κ_p = k; lκi-1+μ_i , μi = 1, ki, - коэффициенты характерис-

тического полинома матрицы N_ii, т.е.

β_i(z) = det (zIki - N_ii) = zki + l_κ

i-1+ki zki-¹ + . . . + lκi-1+1.

Характеристический полином матрицы N при этом равен

∏

β(z) = det (zI_k - N) = β_i(z) = det (zIki - N_ii).

i=1

Пусть матрицы F = (f_i,j), T = (t_i,j), M = (m_i,j ), V = (v_i,j ) в позициях (i, j) содержат

элементы f_i,j, t_i,j, m_i,j, v_i,j соответственно.

Использовав стохастические разностные уравнения системы (1) и уравнения фильтра (5),

(6), нетрудно получить, что ошибка ε_i = q_i - q_i описывается уравнением

εi+1 = qi+1 - qi+1 = Txi+1 - Nq_i - My_i = TAx_i - N(q_i - ε_i) - MCx_i + Tw_i - Mv_i =

= Nε_i + (TA - MC - NT)x_i + Tw_i - Mv_i; ε₀ = T(x₀ - x₀); i = 0,1,2,...

(8)

Уравнение для ошибки e_i = σ_i - σ_i имеет вид

e_i = σ_i - σ_i = Pq_i + V y_i - V v_i - (P q_i + V y_i) = Pε_i - V v_i; i = 0,1,2,...

(9)

На основании известных результатов [8, с. 55] можно сделать вывод, что для того чтобы

оценки q_i и σ_i являлись несмещёнными для q_i и σ_i соответственно, необходимо и достаточно,

чтобы были выполнены следующие условия:

F = PT + V C, TA - MC - NT = 0, N - шуровская матрица.

(10)

Более того, если матрица N - шуровская, то (см. [9, с. 537]) ошибка ε_i в установившемся

режиме является стационарным в широком смысле случайным процессом, в котором матема-

тическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит от одной переменной.

Условия (10) в предположениях о канонических представлениях исходной системы (4) и

искомого фильтра (7) могут быть сформулированы в виде следующего утверждения.

Теорема. Пусть система (1) наблюдаема, rank C = l, и пара {C, A} находится в кано-

ническом представлении Люенбергера (4). Векторный функционал (2), в котором в канониче-

ском базисе матрица F = (f_i,j) ∈ R^p×n, может быть восстановлен субоптимальным филь-

тром (5), (6) порядка k, искомым в канонической форме Люенбергера (7), тогда и только

тогда, когда относительно неизвестных элементов матриц T = (t_i,j) ∈ R^k×n, M = (m_i,j) ∈

∈ R^k×l, V = (v_i,j) ∈ R^p×l выполняются следующие условия:

tκi,θj-1+η_j = fi,θj-1+η_j , tκi-1+1,θj-1+η_j+1 = -lκi-1+1tκ_i,θj-1+η_j для νj > 1;

tκi-1+μ_i+1,θj-1+η_j+1 = tκi-1+μ_i,θj-1+η_j - lκi-1+μ_i+1tκ_i,θj-1+η_j для νj > 1, ki > 1;

ν_j

∑

mκi-1+μ_i+1,j = -

αθj-1+ηtκi-1+μ_i+1,θj-1+η - tκi-1+μ_i,θ_j + lκi-1+μ_i+1tκ_i,θ_j для ki > 1;

η=1

ν_j

∑

mκi-1+1,j = -

αθj-1+ηtκi-1+1,θj-1+η + lκi-1+1tκ_i,θ_j , vi,j = fi,θ_j - tκ_i,θ_j ,

η=1

где μ_i = 1, k_i - 1, η_j = 1, ν_j - 1, i = 1, p, j = 1, l; β(z) - дискретно устойчивый полином.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

7^∗

1108

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

Следствие 1. Пусть Δ_i,j = max(ν_j - k_i - 1, 0), i = 1, p, j = 1, l, тогда количество

неизвестных параметров субоптимального фильтра (5), (6) порядка k в канонической форме

Люенбергера (7) равно

(

)

∑

χ=

k_i - r_i +

max(k_i - ν_j + 1, 0)

(11)

i=1

j=1

где r_i - количество базисных строк в системе линейных алгебраических уравнений

⎛

⎞

⎛

⎞

fi,1

fi,ki

fi,ki+1

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

fi,Δi,1

fi,Δi,1+k_i-1

⎟

lκi-1+1

⎜

fi,ki+Δi,1

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎝

⎠=-⎜

⎟

(12)

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

fi,θl-1+1

fi,θl-1+k_i

⎟

lκi-1+k_i

⎜

fi,θl-1+k_i+1

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

fi,θl-1+Δ_i,l ... f

i,θl-1+Δ_i,l+k_i-1

fi,θl-1+k_i+Δi,1

причём r_i = rank[A_i] = rank[A_i|B_i], где A_i и B_i - матрица и столбец свободных членов

системы (12), при этом блоки матриц A_i имеют ганкелеву структуру. Если Δ_i,j = 0, то

соответствующие строки в системе (12) отсутствуют. Если Δ_i,j = 0, i = 1,p, j = 1,l,

то r_i = 0. Кроме того, если rank[A_i] = rank[A_i|B_i], то условия теоремы несовместны.

Относительно матричных передаточных функций от шумов w_i, v_i к ошибке e_i

W_ew(z) = P(zI_k - N)-1T, W_ev(z) = -P(zI_k - N)-1M - V

для теоремы имеет место

Следствие 2. Для системы в отклонениях (8), (9) левое матричное дробное описание

передаточной функции от шумов w_i, v_i к ошибке фильтрации e_i в каноническом базисе

Люенбергера (7) имеет вид

⁽W_ew(z) W_ev(z)⁾ = D-1(z)⁽N_ew(z) N_ev(z)⁾,

(13)

⎛

⎞

β₁(z) ...

⎠_,

D(z) =^⎝

... β_p(z)

⎛

⎞

⎛

⎞

ew (z) ...

(z)

ev (z) ...

ev (z)

N_ew(z) =^⎝

⎠, N_ev(z) = ⎝

⎠_,

ew (z) ...

ew(z)

ev (z) ...

ev (z)

)

∑

N^i,jew(z) =

tκi-1+μ_i,θj-1+1zμi-¹ . . .

tκi-1+μ_i,θj-1+ν_j

zμi-¹

μi=1

)

∑

N^i,jev(z) = -

mκi-1+μ_i,jzμi-¹ + vi,jβi(z)

i = 1,p, j = 1,l.

μi=1

)

Причём если пара {N,

⁽T -M

} управляема, то передаточная матрица (13) имеет поря-

док k.

3. Вычисление критерия оптимальности. Так как шумы w_i и v_i не коррелированы

между собой, то (см. [10, с. 22])

∫

(

)(

)

(

)

Wтew(e^-jω)

J = lim

E[eтie_i] =

trace

W_ew(e^jω) W_ev(e^jω)

dω,

(14)

i→∞

2π

Wтev(e^-jω)

−π

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1109

если передаточные матричные функции W_ew(z) и W_ev(z) устойчивы. По следствию 2 из

теоремы это условие устойчивости выполняется, если полином β(z) дискретно устойчив.

Вычисление J можно свести к вычислению интегралов вида

∫



b₀e^jωk + b₁ejω(k-1) + ... + b_k

²

J_k =



ω,

(15)



 d

2π

a₀e^jωk + a₁ejω(k-1) + ... + a_k

−π

где коэффициенты a_i, b_i зависят согласно следствию 2 от неизвестных параметров филь-

тра (5), (6), количество которых указано в следствии 1. При этом для расчёта интегралов (15)

существует специальная формула [11, с. 204]. Для случаев k = 1 и k = 2 значения интегра-

ла (15) имеют вид

a₀b²⁰ - 2a₁b₀b₁ + a₀b²¹

J₁ =

(16)

a₀(a²⁰ - a²¹)

a₀(b²⁰ + b²¹ + b²²)(a₀ + a₂) - 2(b₀b₁ + b₁b₂)a₀a₁ + 2b₀b₂(a²¹ - a₂(a₀ + a₂))

J₂ =

(17)

a₀[(a²⁰ - a²²)(a₀ + a₂) - (a₀a₁ - a₁a₂)a₁]

Таким образом, из вида (13) матричной передаточной функции следует, что функционал (14)

в задаче оптимизации является рациональной функцией, т.е. отношением двух полиномов от

переменных параметров.

4. Пример. Для сравнения между собой предложенного способа построения субоптималь-

ных фильтров с методом скалярных наблюдателей проведём численный эксперимент на при-

мере системы (1), (2) седьмого порядка (n = 7) с выходом третьего порядка (l = 3), заданной

в каноническом представлении (4), в котором

⎡

⎤

[

]

[

]

-1

-3

-1

A₁₁ =^⎣1

-12⎦,A22 =

A₃₃ =

-6

индексы наблюдаемости ν₁ = 3, ν₂ = 2, ν₃ = 2,

]_т

x₀ =

^[1

Q=P₀ =I₇, R=I₃.

Для восстановления векторного функционала (2) второго порядка (p = 2) с матрицей

[

]

-1

F =

-1

будем искать фильтр третьего порядка (k = 3) с индексами наблюдаемости k₁ = 2, k₂ = 1.

Использовав метод, основанный на скалярных наблюдателях, получим следующие матри-

цы функционального фильтра (5), (6) третьего порядка:

⎛

⎞

(

)

λ₁

(

)

6+λ₁ +λ₂

-1 - λ₃

-1 - λ₂

N =^⎝0

λ₂

⎠, P =λ2 - λ₁ λ₁ - λ₂

V =

-1

-λ₃

λ₃

⎛

⎞

⎛

⎞

-α₁(λ₁)

λ₁

λ²¹

M =^⎝-α₁(λ₂)

(λ₂ -λ₁)α₃(λ₂)⎠,T=⎝1

λ₂

λ²²

λ₁-λ₂

(λ₁ -λ₂)λ₂⎠,

-α₂(λ₃)

λ₃

где λ₁, λ₂, λ₃ - различные вещественные собственные значения функционального фильтра;

α₁(z) = z³ + 6z² + 12z + 1, α₂(z) = z² + 3, α₃(z) = z² + 1. Передаточные матрицы имеют вид

⎡

⎤

-1

-z

λ₁λ₂ - (λ₁+λ₂)z

λ₃

λ₂

⎢(z-λ1)(z-λ2) (z-λ1)(z-λ2) (z-λ1)(z-λ2) z-λ3 z-λ3 z-λ2 z-λ2⎥

W_ew(z)=⎣

⎦,

λ₃

z-λ₃

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1110

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

⎤

^⎡ (-λ₁ - λ₂ - 6)z² + (λ₁λ₂ - 12)z - 1

(1 + λ₃)z - λ₃ + 3

(1 + λ₂)z - λ₂ + 1

⎢

(z - λ₁)(z - λ₂)

z-λ₃

z-λ₂

⎥

W_ev(z) =

⎣

⎦.

λ₃z + 3

z-λ₃

Использовав формулы (14), (16), (17), получим, что критерий оптимальности (3) является

рациональной функцией от параметров λ₁, λ₂, λ₃. Для поиска этих параметров решается

задача минимизации критерия оптимальности с ограничением устойчивости характеристи-

ческого полинома: |λ₁| < 1,

|λ₂| < 1,

|λ₃| < 1. Численные результаты, которые получены с

помощью метода последовательного квадратичного программирования [12, гл. 18], имеют вид

λ₁ ≈ -0.3296; λ₂ ≈ -0.2403; λ₃ ≈ -0.0277; J ≈ 159.2793.

Матрицы субоптимального фильтра третьего порядка, полученные предложенным в статье

методом, равны

⎛

⎞

(

)

(

)

-l₁

6-l₂

-1 + l₂ - t₁₄

-1 + l₂ - t₁₆

N =^⎝1 -l₂

⎠,P=

V =

-1

l₃

-l₃

⎛

⎞

1 - 6l₁ + l₁l₂

-3t₁₄ + l₁(t₁₄ - l₂)

-t₁₆ + l₁(t₁₆ - l₂)

M =^⎝12 - 6l₂ - l₁ + l²²

-3 + l₁ + l₂(t₁₄ - l₂)

-1 + l₁ + l₂(t₁₆ - l₂)⎠,

-3 - l²³

⎛

⎞

-1

l₁

t₁₄

-l₁

t₁₆

-l₁

T =^⎝ 0

-1

l₂

t₁₄ - l₂

t₁₆ - l₂⎠,

-l₃

где l₁, l₂, l₃, t₁₄, t₁₆ - пять (согласно формуле (11) количество параметров χ = 5) перемен-

ных параметров субоптимального фильтра, первые три из которых удовлетворяют условию

дискретной устойчивости полиномов β₁(z) = z² + l₂z + l₁ и β₂(z) = z + l₃, т.e.

1 + l₂ + l₁ > 0,

1 - l₂ + l₁ > 0, l₁ < 1;

|l₃| < 1.

Левое матричное дробное описание передаточных функций имеет вид (13), в котором

[

]

-1

-z l₁ + l₂z t₁₄ + z

-l₁ - (l₂ - t₁₄)z t₁₆ + z

-l₁ - (l₂ - t₁₆)z

N_ew(z) =

-l₃

[

]

[

]

ev (z)

β₁(z)

N_ev(z) =

;

D(z) =

;

β₂(z)

ev (z)

N1,1ev(z) = (l₂ - 6)z² + (l₁ - 12)z - 1, N1,2ev(z) = (t₁₄ - l₂ + 1)z² + (3 - l₁ + l₂)z + 3t₁₄ + l₁,

N1,3ev(z)=(t₁₆-l₂+1)z²+(1-l₁+l₂)z+t₁₆+l₁, N2,1ev(z)=z+l₃, N2,2ev(z)=-l₃z+3, N2,3ev(z)=0.

Найденные с помощью формул (14), (16), (17) и метода последовательного квадратичного

программирования [12, гл. 18], численные значения оптимальных параметров и критерия оп-

тимальности имеют вид

l₁ ≈ 0.135, l₂ ≈ 0.5882, l₃ = 0, t₁₄ ≈ 0.5488, t₁₆ ≈ 0.4385, J ≈ 158.3497.

При этом коэффициенты l₁, l₂, l₃ характеристического полинома соответствуют корням,

среди которых один вещественный и пара комплексно-сопряжённых.

Таким образом, предложенный подход позволяет снять ограничение на вещественность

спектра и увеличить оптимальность фильтра в сравнении с фильтром, полученным методом

скалярных наблюдателей.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1111

Заключение. В статье в каноническом базисе предложены необходимые и достаточные

условия существования дискретных субоптимальных фильтров. Предложена формула нахож-

дения количества неизвестных параметров субоптимальных фильтров для восстановления век-

торного фукнционала от состояния стохастической системы с векторным выходом. Дано ле-

вое матричное дробное описание передаточной функции для системы, описывающей ошибку

фильтрации. На численном примере системы седьмого порядка построены фильтры третье-

го порядка методом скалярных наблюдателей и методом канонической формы Люенбергера.

Показано, что по сравнению с фильтром на основе скалярных наблюдателей фильтр, исполь-

зующий фробениусову нормальную форму, может дать выигрыш по квадратичному критерию

оптимальности в установившемся режиме.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284 и при финансовой поддержке

Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 20-37-90065-Аспиранты, 20-08-

00073-А).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью.

М., 2007.

2. Фомичев В.В., Каменщиков М.А. Сравнительный анализ оптимальных фильтров второго и тре-

тьего порядков для непрерывных систем // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1546-1554.

3. Каменщиков М.А. Передаточные функции оптимальных фильтров различных динамических по-

рядков для дискретных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика.

2021. № 2. С. 19-28.

4. Kamenshchikov M. Conditions for existence of second-order and third-order filters for discrete systems

with additive noises // Math. 2022. V. 10. № 3.

5. Luenberger D. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. on Autom. Contr. 1967.

V. 12. № 3. P. 290-293.

6. Каменщиков М.А., Капалин И.В. Метод построения оптимального функционального фильтра для

линейных стационарных стохастических систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. матема-

тика и кибернетика. 2018. № 4. С. 19-26.

7. Darouach M., Fernando T. Functional detectability and asymptotic functional observer design // IEEE

Trans. on Autom. Contr. Early Access 16 February 2022.

8. O’Reilly J. Observers for Linear Systems. London, 1983.

9. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М., 1977.

10. Saberi A., Stoorvogel A.A., Sannuti P. Filtering Theory. With Applications to Fault Detection, Isolation,

and Estimation. Basel, 2007.

11. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М., 1963.

12. Nocedal J., Wright S. Numerical Optimization. New York, 2006.

Электротехнический университет,

Поступила в редакцию 25.05.2022 г.

г. Ханчжоу, Китай,

После доработки 25.05.2022 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 05.07.2022 г.

имени М.В. Ломоносова,

Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН, г. Москва,

Институт проблем управления

имени В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

Национальный исследовательский технологический

университет “МИСиС”, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022