ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1132-1147

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 517.958:582+517.968.23

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

С ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

В НЕОДНОРОДНОМ ПОРИСТОМ СЛОЕ

Исследуются первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения для комплексного по-

тенциала двумерного фильтрационного течения в пористом тонком слое, в общем случае

неоднородном (переменные толщина и проницаемость). Источники течения произвольные

дискретные и могут располагаться как на границах, так и вне границ области течения. Гра-

ницы моделируются произвольными, гладкими, замкнутыми кривыми линиями (контура-

ми), а источники - сингулярностями (изолированными особыми точками логарифмическо-

го типа и полюсами) комплексного потенциала. Наличие источников на границах приводит

к принципиально новому обобщению (усложнению) граничных условий, которые характе-

ризуются заданными сингулярными функциями. Решения поставленных задач представле-

ны в конечном виде для слоёв некоторых классов проводимостей, что продемонстрировано

на примере слоя с проводимостью, моделируемой степенной функцией координат. В случае

когда проводимость слоя моделируется произвольной гладкой функцией, а границы - про-

извольные гладкие замкнутые кривые, использован обобщённый интеграл типа Коши для

комплексного потенциала. Это позволило вторую краевую задачу и задачу сопряжения

(при наличии на границах стока особенности логарифмического типа и произвольных ис-

точников вне границ) редуцировать к граничным сингулярным интегральным уравнениям

со слабой сингулярностью. Исследованные задачи являются математическими моделями

двумерных фильтрационных процессов в слоистых пористых средах и представляют инте-

рес, например, для практики добычи нефти (воды) из природных пластов грунта сложной

геологической структуры.

DOI: 10.31857/S0374064122080131, EDN: CHCDYW

Введение. Известны граничные задачи аэродинамики и теории фильтрации, для которых

характерны сингулярные (негладкие) условия на границах. Плоские и трёхмерные задачи об-

текания непроницаемых поверхностей летательных аппаратов при наличии отсоса внешнего

потока исследуются в работах [1, с. 164; 2; 3]. Поставленная краевая задача Неймана для

уравнения Лапласа с обобщёнными краевыми условиями редуцируется к гиперсингулярному

интегральному уравнению, решение которого получено численным методом дискретных вих-

рей. В работах [4, c. 87; 5; 6] изучаются плоские задачи фильтрации в однородной пористой

среде (в грунте) с источниками на непроницаемых границах, моделируемых отрезком прямой

и окружностью.

Первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения плоского фильтрационного течения

в пористом слое постоянной толщины и проницаемости исследуются в статье [7], а трёхмер-

ного течения в неслоистой пористой среде при наличии источников на границе и вне их -

в [8]. Решения задач в случае канонических границ представлены в конечном виде, а в общем

случае произвольных гладких границ задачи редуцируются к граничным сингулярным (гипер-

сингулярным) интегральным уравнениям. Аналогичный подход используется в предлагаемой

статье для исследования двумерных граничных задач фильтрации с новыми (усложнёнными)

представлениями граничных условий, характеризуемых сингулярными (негладкими) функци-

ями координат; обобщаются исследования [7] на случай тонких и неоднородных (переменных

толщины и проницаемости) пористых слоёв. При этом источники течения располагаются про-

извольно как на границах, так и вне границ.

1132

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1133

1. Основные уравнения и граничные условия. Рассмотрим двумерное фильтраци-

онное течение в тонком неоднородном пористом слое переменной малой толщины H и про-

ницаемости K. Течение характеризуется обобщённым потенциалом ϕ и функцией тока ψ,

которые, как функции декартовых координат x, y точек плоскости основания слоя, опреде-

ляют скорость фильтрации v = (v_x, v_y) в области D течения [9, с. 274]:

∂ϕ

1 ∂ψ

∂ϕ

1 ∂ψ

v_x = K

v_y = K

(x, y) ∈ D.

(1.1)

∂x

H ∂y

∂y

H ∂x

Здесь ϕ = -(p+ρΠ)/μ, p - давление, ρ и μ - плотность и вязкость жидкости соответственно,

Π - потенциал массовых сил.

Равенства (1.1) записаны в безразмерных величинах [10, с. 10], из которых следует, что

функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) удовлетворяют всюду в области D течения, за исключением син-

гулярностей (изолированных особых точек) этих функций, эллиптической системе уравнений

∂ϕ

1 ∂ψ

∂ϕ

1 ∂ψ

(x, y) ∈ D,

(1.2)

∂x

P ∂y

∂y

P ∂x

где P = HK > 0 - проводимость слоя, которая моделируется гладкой (непрерывно диффе-

ренцируемой хотя бы один раз) функцией координат P = P (x, y).

Наряду с функциями ϕ(x, y) и ψ(x, y) для исследования течения используем также ком-

плексный потенциал

(

)

W +W

P (W - W )

W =ϕ+i

ϕ=

ψ=

(1.3)

Он характеризует в комплексной плоскости z = x + iy течение и удовлетворяет всюду в

области D плоскости z, за исключением его особых точек, следующему из системы (1.2)

уравнению

∂W

+ A(W - W ) = 0, z ∈ D.

(1.4)

∂z

√

∂ ln

∂

Здесь A =

∂z

∂x

∂y

Удовлетворяющий уравнению (1.4) комплексный потенциал W (z) течения в неоднородном

слое является обобщённой аналитической функцией (см. [11, с. 110]). В частности, для течения

в однородном слое, когда его толщина H и проницаемость K постоянные (проводимость

слоя P = const, следовательно, A = 0), комплексный потенциал W (z) есть аналитическая

функция (∂W /∂z = 0).

Течение, как правило, происходит в ограниченной части (области) слоя, причём в силу

слоистости пористой среды её коэффициент проницаемости (проницаемость) K может иметь

разрывы, в двумерном случае - на некоторых кривых. В связи с этим укажем основные гра-

ничные условия, характерные при исследовании фильтрационных процессов в пористых слоях.

Запишем условия согласно (1.3) в плоскости z для комплексного потенциала W (z) (функции

ϕ(z) и ψ(z)). Границы моделируем в плоскости z простыми (без самопересечений) гладкими

кривыми (контурами).

Пусть на границе σ₁ области D задан обобщённый потенциал ϕ (давление p и потенци-

ал Π). Тогда имеем условие

W⁺(z) + W⁺(z) = 2α₁(z), (ϕ⁺(z) = α₁(z)), z ∈ σ₁,

(1.5)

где α₁(z) - непрерывная, а в случае замкнутого контура σ₁ также и периодическая, функция.

Здесь и далее знаком “ + ” (знаком “- ”) отмечаются предельные значения функций на границе

при подходе к ней со стороны (противоположной стороны) орта n нормали границы, который

направлен внутрь области D.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1134

ПИВЕНЬ

В частности, для напорной фильтрации, когда массовые силы пренебрежимо малы

(ρ|∇Π| ≪ |∇p|) и давление на границе σ₁ постоянное, в условии можно принять α₁ = const.

Если область D имеет непроницаемую для жидкости границу σ₂, являющуюся линией

тока, то с учётом P⁺(z) = P (z), z ∈ σ₂, имеем условие

P (z)[W⁺(z) - W⁺(z)] = i2α₂ (ψ⁺(z) = const ≡ α₂), z ∈ σ₂.

(1.6)

Пусть Γ - граница сопряжения областей D₁ и D₂ течения, проводимость слоя в которых

P1 и P2, причём Pν = HKν = kνHK = kνP (P = HK, kν = const > 0, ν = 1,2), а

течение характеризуют комплексные потенциалы W₁ и W₂ (т.е. обобщённые потенциалы ϕ_ν

и функции тока ψ_ν ):

(

)

ψ_ν

W_ν + W_ν

P (W_ν - W_ν )

W_ν = k_νϕ_ν + i

ϕν =

ψ_ν =

ν = 1,2.

(1.7)

2k_ν

На границе Γ имеют место условия непрерывности давления и расхода жидкости (условия

сопряжения):

ϕ+1(z) = ϕ-2(z), ψ⁺¹(z) = ψ-2(z), z ∈ Γ,

которые, учитывая P^±ν(z) = k_ν P (z), ν = 1, 2, z ∈ Γ, запишем для комплексных потенциа-

лов (1.7):

W⁺¹(z) + W⁺¹(z)

W-2(z) + W-2(z)

W⁺¹(z) - W⁺¹(z) = W-2(z) - W-2(z), z ∈ Γ.

k₁

k₂

Исключим отсюда W⁺¹(z) и получим условия сопряжения в виде

(1 - λ)W⁺¹(z) = W-2(z) + λW-2(z), z ∈ Γ,

(1.8)

где орт нормали n ∈ Γ направлен внутрь области D₁, а λ = (k₁ - k₂)/(k₁ + k₂), λ ∈ (-1, 1).

Так как слой в общем неоднородный, его проводимость P = P (z) = P (x, y), то в слое

может быть сингулярная линия σ₀ = σ₀₁

^⋃σ₀₂, на которой P(z) = ∞ (проницаемость слоя

K = ∞, его толщина H конечная), z ∈ σ₀₁ и P(z) = 0 (K = 0 или H = 0), z ∈ σ₀₂.

Поэтому на линии σ₀ должны выполняться условия

[W (z) + W (z)]⁺

= const (ϕ⁺(z) = const), z ∈ σ₀₁,

[P (z)(W (z) - W (z))]⁺

= const (ψ⁺(z) = const), z ∈ σ₀₂.

(1.9)

Отметим, что если имеются дискретные источники на границах, то заданные на них усло-

вия справедливы всюду на границах за исключением точек расположения источников.

Итак, исследование фильтрационного процесса в неоднородном пористом слое сводится к

отысканию комплексного потенциала W (z), удовлетворяющего уравнению (1.4) и указанным

граничным условиям. Сформулируем конкретные математические модели (граничные зада-

чи) процесса с учётом заданных источников процесса и граничных условий, в которых он

протекает.

2. Постановка граничных задач. Пусть заданы источники течения в слое проводимо-

сти P, которые моделируем в плоскости z сингулярными (изолированными) особыми точками

логарифмического типа и полюсами комплексного потенциала W₀ (обобщённого потенциала

ϕ₀ и функции тока ψ₀):

(

)

ψ₀

W₀ + W₀

P (W₀ - W₀)

W₀(z) = ϕ₀ + i

ϕ₀ =

ψ₀ =

(2.1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1135

Представим W₀(z) в виде

W₀(z) = f₀(z) + f(z),

(2.2)

где сингулярности функции f₀(z) расположены на заданных в плоскости z кривых σ₁, σ₂

и Γ, а сингулярности функции f(z) - вне кривых.

Учтём источники течения. Когда область D течения ограничена кривой σ₁ или σ₂, пред-

ставим комплексный потенциал (1.3) в виде

W (z) = W₀(z) + W_∗(z) = f₀(z) + f(z) + W_∗(z), z ∈ D.

(2.3)

Если кривая Γ - граница сопряжения областей D₁ и D₂, то комплексный потенциал (1.7)

запишем как

W_ν(z) = W₀(z) + W_∗(z) = f₀(z) + f(z) + W_∗(z), z ∈ D_ν, ν = 1,2.

(2.4)

Здесь

(

)

ψ_∗

W_∗ + W_∗

P (W_∗ - W_∗)

W_∗(z) = ϕ_∗ + i

ϕ∗ =

ψ_∗ =

(2.5)

W_∗(z) - комплексный потенциал (ϕ_∗ - обобщённый потенциал, ψ_∗ - функция тока) возмуще-

ний, обусловленных наличием каждой из границ σ₁, σ₂ и Γ.

Уравнению (1.4) удовлетворяет комплексный потенциал W₀(z) на всей плоскости z за

исключением особых точек функций f₀(z) и f(z), а комплексный потенциал W_∗(z) удовле-

творяет всюду в области D течения плоскости z за исключением границ.

С учётом представлений (2.1)-(2.5) запишем для комплексного потенциала W_∗(z) воз-

мущений условия на границах, а также в бесконечности. Полагаем, что для заданного ком-

плексного потенциала W₀(z) предельное значение W⁺⁰(z) со стороны орта нормали грани-

цы (противоположной стороны W-0(z)) равны W₀(z) : W±0(z) = W₀(z) и, следовательно,

f±0(z) = f₀(z), f^±(z) = f(z). Условия (1.5) и (1.6) принимают вид

W+∗(z) + W+∗(z) = 2α₁(z) - [f₀(z) + f₀(z) + f(z) + f(z)]

(ϕ+∗(z) = α₁(z) - Re f₀(z) - Re f(z)), z ∈ σ₁,

(2.6)

P (z)[W+∗(z) - W+∗(z)] = i2α₂ - P (z)[f₀(z) + f₀(z) + f(z) + f(z)]

(ψ+∗(z) = α₂ - P (z)[Im f₀(z) + Im f(z)]), z ∈ σ₂.

(2.7)

На границе Γ условия сопряжения (1.8) запишем как

(1 - λ)W+∗(z) - W^-∗(z) - λW^-∗(z) = λ[f₀(z) + f₀(z) + f(z) + f(z)], z ∈ Γ

((1 - λ)ϕ+∗(z) - (1 + λ)ϕ^-∗(z) = 2λ[Re f₀(z) + Re f(z)], ψ+∗(z) = ψ^-∗(z)).

(2.8)

На границе Γ функция тока ψ_∗(z) непрерывна, а обобщённый потенциал ϕ_∗(z) имеет

разрыв, определяемый функциями f₀(z), f(z), z ∈ Γ, и параметром λ ∈ (-1, 1). Заметим,

что условия (2.6)-(2.8) принципиально усложнены: комплексный потенциал W_∗(z) характе-

ризуется на границах сингулярностями заданной функции f₀(z), т.е. заданными на границах

источниками течения. Условия справедливы всюду на границах за исключением изолирован-

ных особых точек функции f₀(z).

Пусть функции f₀(z) и f(z) удовлетворяют условиям (1.9), тогда находим

[W_∗(z) + W_∗(z)]⁺ = 0 (ϕ+∗(z) = 0), z ∈ σ₀₁,

[P (z)(W_∗(z) - W_∗(z))]⁺ = 0 (ψ+∗(z) = 0), z ∈ σ₀₂.

(2.9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1136

ПИВЕНЬ

Комплексный потенциал возмущений W_∗(z) не имеет сингулярностей на бесконечности,

так как все заданные сингулярности содержат комплексный потенциал W₀(z). Потребуем для

W_∗(z) условий в бесконечно удалённой точке

W_∗(z) = O(|z|-1), P(z)|∇Re W_∗(z)| = O(|z|-2) при

|z| → ∞,

(2.10)

которые означают затухание возмущений. При |z| → ∞ комплексный потенциал W_∗(z) стре-

мится к нулю и поток скорости v_∗ = K∇ϕ_∗ через замкнутый контур L удовлетворяет условию

∫

Hv_∗ · dl= P∇ϕ∗ ·d⃗l → 0,

где ∇ - оператор Гамильтона.

Выполнение условий (2.10) обеспечивает единственность решения исследуемых далее задач

(см. [10, с. 33]).

Поставим граничные задачи для комплексного потенциала возмущений W_∗(z). Заданы

источники течения (в плоскости z задан комплексный потенциал W₀(z)) и проводимость P

(проводимости P_ν = k_ν P, k_ν = const > 0, ν = 1, 2) слоя. Найти W_∗(z), удовлетворяющий

уравнению (1.4) и одному из условий: (2.6) (первая краевая задача), (2.7) (вторая краевая

задача) или (2.8) (задача сопряжения). Если область D течения ограничена сингулярной

линией σ₀ или/и содержит бесконечно удалённую точку, то W_∗(z) должен удовлетворять

также условиям (2.9) или/и (2.10).

Тогда по найденному W_∗(z) можно найти, использовав представления (2.3) и (2.4), ис-

комые комплексные потенциалы W (z), W_ν (z), ν = 1, 2, и соответствующие им согласно

формулам (1.3) и (1.7) обобщённые потенциалы и функции тока течения.

Отметим, что для разрешимости второй внутренней краевой задачи согласно уравнению

неразрывности суммарный поток жидкости от всех заданных источников течения, располо-

женных внутри и на замкнутом непроницаемом контуре границы σ₂, должен быть равен нулю.

Это означает, что характеризующий заданные источники комплексный потенциал W₀(z) =

= f₀(z) + f(z) должен удовлетворять условию

∫

∂Re W₀(z)

∂

Hv₀ · d⃗l= P

dl = P

[Re f₀(z) + Re f(z)]dl = 0,

(2.11)

∂n

σ₂

которое выражает отсутствие потока скорости v₀ = K∇ϕ₀ = K∇(Re W₀) через границу σ₂.

3. Некоторые граничные задачи о течениях в степенном слое. Решения постав-

ленных граничных задач удаётся представить в конечном виде для слоёв некоторых классов

проводимостей P. Такие представления решений получены в случае однородного слоя (P =

= const) (см. [7]). Найдём представления решений задач в конечном виде, когда проводимость

слоя моделируется степенной функцией

P = y^s (s = const)

(3.1)

при s > 0 или s < 0.

Течение в слое проводимости (3.1), называемом степенным слоем, подробно изучено в мо-

нографии [10, с. 201]. Характерной особенностью слоя является наличие сингулярной линии

σ₀ = {(x,y) : y = 0, x ∈ (-∞,∞)}, на которой проводимость P = ∞ (проницаемость слоя

K = ∞, его толщина H конечная) при s < 0 либо P = 0 (проницаемость K = 0 или/и

толщина H = 0) при s > 0. Течение исследуется в комплексной полуплоскости Im z ≥ 0.

Изучение течения в слое проводимости (3.1) имеет принципиальное значение, так как на

примере простейшего вида сингулярной линии σ₀ = {(x, y) : y = 0, x ∈ (-∞, ∞)} уда-

ётся развить метод исследования двумерных граничных задач фильтрационных процессов в

неоднородных слоях, содержащих сингулярные линии. Кроме того, интересен частный случай,

когда s = 1, отвечающий осесимметричному процессу в пространстве.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1137

Рассмотрим случай, когда полупрямая линия x = 0, y ≥ 0 (полуось Oy), ортогональная

сингулярной линии σ₀ = {(x, y) : y = 0, x ∈ (-∞, ∞)}, моделирует каждую из границ σ₁,

σ2 и Γ. Предположим сначала, что Γ = {(x,y) : x = 0, y ∈ [0,∞)} - граница сопряжения

областей D₁(x > 0) и D₂(x < 0), проводимости слоя в которых равны P₁ и P₂ (P_ν = k_ν P,

k_ν = const > 0, ν = 1,2).

Пусть полуось Oy, y ≥ 0, моделирует границу Γ. Справедлива

Теорема 1 (сопряжения на полупрямой линии). Пусть в слое проводимости P = y^s

(s = const) источники течения располагаются произвольно и характеризуются в полуплос-

кости Imz > 0 комплексным потенциалом W₀(z) = f₀(z) + f₁(z) + f₂(z), в котором син-

гулярности (изолированные особые точки) функции f₀(z) лежат на полуоси Oy, y > 0, а

функций f₁(z) и f₂(z) - соответственно в области x > 0, y > 0 и в области x < 0, y > 0

полуплоскости Im z > 0. Причём W₀(z) удовлетворяет условиям (2.9) и (2.10). Тогда тече-

ния в областях D₁ = {(x,y) : x > 0, y > 0} и D₂ = {(x,y) : x < 0, y > 0}, проводимости

слоя в которых равны P₁ и P₂ (P_ν = k_ν y^s, k_ν = const > 0, ν = 1, 2), характеризуют

комплексные потенциалы

W₁(z) = W₀(z) + λ[f₀(-z) + f₁(-z) + f₂(z)], z ∈ D₁,

W₂(z) = W₀(z) - λ[f₀(z) + f₁(z) + f₂(-z)], z ∈ D₂,

(3.2)

где λ = (k₁ - k₂)/(k₁ + k₂), λ ∈ (-1, 1), а точки z = x + iy и -z = -x + iy полуплоскости

Imz ≥ 0 симметричны относительно полуоси Oy, y > 0.

Доказательство. Представим комплексные потенциалы (3.2) формулой (2.4), в которой

{

AU₁(z), z ∈ D₁,

W_∗(z) =

BU₂(z), z ∈ D₂.

Здесь U₁(z) = f₀(-z)+f₁(-z)+f₂(z), U₂(z) = f₀(z)+f₁(z)+f₂(-z), A и B - в общем случае

комплексные постоянные.

Функция f₀(-z) также как и заданная функция f₀(z) имеет сингулярности только на

границе Γ = {(x, y) : x = 0, y ∈ (0, ∞)}. Поэтому f₀(-z) - обобщённая аналитическая

функция, удовлетворяющая уравнению (1.4) всюду в полуплоскости Im z > 0.

Функции f₁(z) и f₂(z) имеют заданные сингулярности в областях D₁ = {(x, y) : x > 0,

y > 0} и D₂ = {(x,y) : x < 0, y > 0} соответственно. Поэтому функции f₁(-z), z ∈

∈ D₂, и f₂(-z), z ∈ D₁, имеют сингулярности в областях D₂ и D₁, так как они являются

аналитическими продолжениями в эти области функций f₁(z), z ∈ D₁, и f₂(z), z ∈ D₂,

соответственно. Следовательно, f₁(-z) и f₂(-z) - обобщённые аналитические функции со-

ответственно в областях D₁ и D₂. Тогда U₁(z), z ∈ D₁, и U₂(z), z ∈ D₂, - обобщённые

аналитические функции, удовлетворяющие в областях D₁ и D₂ уравнению (1.4).

Найдём константы A и B, подставив комплексный потенциал W_∗(z) в условие (2.8).

В результате получим равенство

(1 - λ)AU₁(0, y) - BU₂(0, y) - λBU₂(0, y) = λ[W₀(0, y) + W₀(0, y)], y > 0,

в котором W₀(0, y) = f₀(0, y) + f₁(0, y) + f₂(0, y), W₀(0, y)

f₀(0,y)

f₁(0,y)

f₂(0,y). Так

как U₁(0, y) = U₂(0, y) и W₀(0, y) + W₀(0, y) = U₁(0, y) + U₂(0, y), то имеем выражение

[(1 - λ)A - λ(1 +^B)]U₁(0, y) - (B + λ)U₂(0, y) = 0, y > 0,

которое обращается в тождество при A = λ и B = -λ. Следовательно, W_∗(z) - обобщённая

аналитическая функция в областях D₁ и D₂ :

{

λU₁(z) = λ[f₀(-z) + f₁(-z) + f₂(z)],

z∈D₁,

W_∗(z) =

−λU₂(z) = -λ[f₀(z) + f₁(z) + f₂(-z)],

z∈D₂,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1138

ПИВЕНЬ

удовлетворяющая условиям (2.9) и (2.10), которым в силу предположений теоремы удовле-

творяет заданный комплексный потенциал W₀(z). С учётом вида функции W_∗(z) согласно

представлению (2.4) имеем искомые комплексные потенциалы (3.2) течения. Теорема доказана.

Из комплексных потенциалов (3.2) найдём обобщённые потенциалы и функции тока тече-

ния. Для этого представим функции в виде

(

)

v_j

f_j

P (f_j

f_j)

f_j = u_j + i

u_j =

v_j =

j = 0,1,2,

(3.3)

где P - проводимость слоя (3.1).

Тогда, использовав комплексные потенциалы (1.7) и (2.1), имеем

k₁ϕ₁(x,y) = ϕ₀(x,y) + λ[u₀(-x,y) + u₁(-x,y) + u₂(x,y)],

ψ₁(x,y) = ψ₀(x,y) - λ[v₀(-x,y) + v₁(-x,y) - v₂(x,y)], (x,y) ∈ D₁,

k₂ϕ₂(x,y) = ϕ₀(x,y) - λ[u₀(x,y) + u₁(x,y) + u₂(-x,y)],

ψ₂(x,y) = ψ₀(x,y) - λ[v₀(x,y) + v₁(x,y) - v₂(-x,y)], (x,y) ∈ D₂,

(3.4)

где ϕ₀(x, y) = u₀(x, y) + u₁(x, y) + u₂(x, y), ψ₀(x, y) = v₀(x, y) + v₁(x, y) + v₂(x, y).

Рассмотрим частные случаи задания источников течения и запишем для них комплексные

потенциалы (3.2). Если источники течения на границе Γ отсутствуют (f₀(z) = 0), то имеем

(см. [10, с. 275])

W₁(z) = f₁(z) + (1 + λ)f₂(z) + λf₁(-z), z ∈ D₁,

W₂(z) = (1 - λ)f₁(z) + f₂(z) - λf₂(-z), z ∈ D₂.

Когда источники располагаются только на границе Γ, а вне Γ источников нет (f₁(z) = 0 и

f₂(z) = 0), то

W₁(z) = f₀(z) + λf₀(-z), z ∈ D₁,

W₂(z) = (1 - λ)f₀(z), z ∈ D₂.

Для этих частных случаев обобщённые потенциалы и функции тока течений нетрудно найти

из комплексных потенциалов (3.4).

Полагаем теперь, что полуось Oy, y ≥ 0, моделирует границу σ₁ или σ₂.

Теорема 2. Пусть течение в слое проводимости P = y^s (s = const) характеризует в

полуплоскости Im z > 0 комплексный потенциал W₀(z) = f₀(z) + f₁(z), в котором моде-

лирующие источники течения сингулярности функции f₀(z) расположены на полуоси Oy,

y > 0, а функции f₁(z) - в области x > 0, y > 0 полуплоскости Imz ≥ 0. Причём W₀(z),

а значит и функции f₀(z) и f₁(z), удовлетворяют условиям (2.9) и (2.10). Тогда течение

в области D = {(x,y) : x ∈ (0,∞), y ∈ (0,∞)} с границей σ₁ = {(x,y) : x = 0, y ≥ 0}

определяет комплексный потенциал

W (z) = W₀(z) - W₀(-z), z ∈ D,

(3.5)

а с границей σ₂ = {(x,y) : x = 0, y ≥ 0} - комплексный потенциал

W (z) = W₀(z) + W₀(-z), z ∈ D.

(3.6)

Здесь W₀(-z) = f₀(-z) + f₁(-z); z = x + iy и -z = -x + iy - симметричные точки

относительно полуоси Oy, y > 0.

Доказательство. Сингулярности функции W₀(-z) (функций f₀(-z) и f₁(-z)) распо-

ложены в области x ≤ 0, y > 0 полуплоскости Im z > 0. Поэтому комплексные потенциалы

возмущений W_∗(z) = -W₀(-z) и W_∗(z) = W₀(-z) - обобщённые аналитические функции,

удовлетворяющие уравнению (1.4) в области D = {(x, y) : x ∈ (0, ∞), y ∈ (0, ∞)}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1139

Так как на полуоси Oy при x = 0, y > 0 справедливы равенства

W₀(z) = W₀(-z) (f₀(z) = f₀(-z), f₁(z) = f₁(-z)),

то условие (2.6) при α₁(z) = 0 и условие (2.7) при α₂ = 0 тождественно выполняются.

Комплексные потенциалы W_∗(z) = -W₀(-z) и W_∗(z) = W₀(-z) удовлетворяют условиям

(2.9), (2.10), так как им по условию теоремы удовлетворяет заданный комплексный потенци-

ал W₀(z). Тогда выражения (3.5) и (3.6) - действительно искомые комплексные потенциалы

течений. Теорема доказана.

Отметим, что комплексные потенциалы (3.5) и (3.6) можно рассматривать как предельные

случаи комплексного потенциала W₁(z) из представления (3.2) при λ → -1 и λ → 1, когда

k₁ = 1 и W₀(z) = f₀(z) + f₁(z) (f₂(z) = 0).

Из вида комплексных потенциалов (3.5) и (3.6) следуют их частные выражения в зави-

симости от задания источников течения: если на границах σ₁ и σ₂ источники отсутствуют

(f₀(z) = 0), то в комплексных потенциалах (3.5) и (3.6) W₀(z) = f₁(z) [10, с. 277]; когда

источники располагаются только на этих границах, вне их источников нет (f₁(z) = 0), то

W₀(z) = f₀(z).

Использовав представления (1.3), (2.1) и (3.3), находим из комплексных потенциалов (3.5)

и (3.6) обобщённые потенциалы и функции тока

ϕ(x, y) = u₀(x, y) - u₀(-x, y) + u₁(x, y) - u₁(-x, y),

ψ(x, y) = v₀(x, y) + v₀(-x, y) + v₁(x, y) + v₁(-x, y), (x, y) ∈ D,

(3.7)

ϕ(x, y) = u₀(x, y) + u₀(-x, y) + u₁(x, y) + u₁(-x, y),

ψ(x, y) = v₀(x, y) - v₀(-x, y) + v₁(x, y) - v₁(-x, y), (x, y) ∈ D.

(3.8)

Применим теоремы 1 и 2 для исследования конкретных двумерных течений в слое прово-

димости P = y^s (s = const) с границами Γ, σ₁, σ₂, моделируемых прямой линией x = 0,

y ≥ 0. Ряд течений с источниками вне границ изучен в монографии [10, с. 286]. Исследуем

некоторые течения с источниками, заданными на границах. Пусть течение в слое проводимо-

сти P = y^s (s = const) вызвано расположенным в точке (x₀, y₀) стоком полной мощности

Π₀ > 0 (для источника Π₀ < 0) и характеризуется обобщёнными потенциалами [10, с. 209]:

Π₀

u₀(x,y) =

Qs/2-1(ω), s > 0,

(3.9)

2π(yy₀)s/2

|s|/2

Π₀(yy₀)

u₀(x,y) =

Q|s|/2(ω), s < 0.

(3.10)

2π

Здесь Q_ν (ω) - функция Лежандра второго рода степени ν (где ν принимает одно из значений:

s/2,

|s|/2 или s/2 - 1) аргумента ω = 1 + R2/(2yy0), R2 = (x - x0)2 + (y - y0)2. С учётом

известных свойств функции Q_ν (ω) при ω → 1 (см. [12, с. 165]) в малой окрестности точки

(x₀, y₀) запишем

Q_ν(ω) = ln

- γ + ψ(ν + 1), ν = -1,-2,..., при R → 0,

а также при ω → ∞ асимптотическое приближение

)ν+1

√πΓ(ν + 1)⁽yy₀

Q_ν(ω) ∼

при R²/(2yy₀) → ∞.

(3.11)

Γ(ν + 3/2) R²

Здесь γ - постоянная Эйлера-Маскерони, ψ(ν + 1) - логарифмическая производная гамма-

функции Γ(ν + 1). Видно, что обобщённые потенциалы (3.9) и (3.10) имеют в точке (x₀, y₀)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

9^∗

1140

ПИВЕНЬ

сингулярность логарифмического типа и удовлетворяют на сингулярных линиях σ₀₁ и σ₀₂

условиям (см. [10, с. 108])

[

]

∂u₀(x,y)

lim

y^s

= 0, s > 0 на σ₀₂; lim

u₀(x,y) = 0, s < 0 на σ₀₁,

(3.12)

y→0

∂y

y→0

а также при s > 0 и s < 0 условию на бесконечности

√

u₀(x,y) = O(1/r²) при r =

x² + y² → ∞.

(3.13)

В силу условий (3.12) и (3.13) будут выполняться требования (2.9) и (2.10), при которых спра-

ведливы теоремы 1 и 2.

В случае задачи сопряжения имеем согласно представлению (3.4) и с учётом u₁(x, y) = 0,

u₂(x,y) = 0 выражения для обобщённых потенциалов течения к стоку, расположенному в

точке (0, y₀) границы Γ = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0}:

k₁ϕ₁(x,y) = u₀(x,y) + λu₀(-x,y), x ∈ (0,∞), y ∈ (0,∞),

k₂ϕ₂(x,y) = (1 - λ)u₀(x,y), x ∈ (-∞,0), y ∈ (0,∞).

Здесь обобщённый потенциал u₀(x, y) представлен формулами (3.9) и (3.10), в которых аргу-

мент функции Лежандра ω = 1+R²/(2yy₀) = 1+[x² +(y-y₀)²]/(2yy₀) симметричен: ω(x, y) =

= ω(-x,y) и, следовательно, u₀(x,y) = u₀(-x,y). Поэтому ϕ₁(x,y) = ϕ₂(x,y) = ϕ(x,y),

Π₀

ϕ(x, y) =

Qs/2-1(ω), s > 0,

π(k₁ + k₂)(yy₀)s/2

|s|/2

Π₀(yy₀)

ϕ(x, y) =

Q|s|/2(ω), s < 0, x ∈ (-∞,∞), y ∈ (0,∞).

(3.14)

π(k₁ + k₂)

Обобщённые потенциалы (3.14) характеризуют течение к стоку (Π₀ > 0) (от источника, Π₀ <

< 0) мощности 2Π₀/(k₁ + k₂).

Пусть теперь сток расположен в точке (0, y₀) границ σ₁ или σ₂, моделируемых прямой

x = 0, y ≥ 0. Тогда согласно представлениям (3.7) и (3.8), в которых u₁(x,y) = 0, а функция

u₀(x,y) имеет вид (3.9) и (3.10), получаем

ϕ(x, y) = u₀(x, y) - u₀(-x, y) и ϕ(x, y) = u₀(x, y) + u₀(x, y), x, y ∈ (0, ∞).

В силу симметрии u₀(x, y) = u₀(-x, y) находим в случае границы σ₁ обобщённый потен-

циал ϕ(x, y) = 0 (течение отсутствует) и границы σ₂ -

Π₀

ϕ(x, y) =

Qs/2-1, s > 0,

π(yy₀)s/2

|s|/2

Π₀(yy₀)

ϕ(x, y) =

Q|s|/2(ω), s < 0, x,y ∈ (0,∞).

(3.15)

Обобщённые потенциалы (3.15) характеризуют течение к стоку (Π₀ > 0) (от источника, Π₀ <

< 0) мощности 2Π₀. Заметим, что эти потенциалы следуют из выражений (3.14) при k₁ = 1

и k₂ → 0.

Найдём предельные выражения обобщённых потенциалов (3.14) и (3.15), s > 0, когда

√

y₀ → 0 (R → r =

x² + y²). Использовав асимптотическое приближение функции Лежандра

(3.11), имеем

Π₀Γ(s/2)

ϕ(x, y) =

x ∈ (-∞,∞), y ∈ (0,∞),

(3.16)

π(k₁ + k₂)((s + 1)/2)r^s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1141

Π₀Γ(s/2)

ϕ(x, y) =

x,y ∈ (0,∞),

(3.17)

π((s + 1)/2)r^s

√

где r =

x² + y².

Обобщённые потенциалы (3.16) и (3.17) описывают течения к стоку (от источника), рас-

положенному в начале координат, на пересечении сингулярной линии σ₀₂ = {(x, y) : x ∈

∈ (-∞, ∞), y = 0} с границами Γ и σ₂ соответственно, моделируемыми прямой линией

x = 0, y ≥ 0.

Решения (3.14)-(3.17) при s = 1 характеризуются гармоническими функциями ϕ(x, y) -

потенциалами пространственных осесимметричных течений, когда стоки (источники) распо-

ложены на границах Γ и σ₂, моделируемых плоскостью x = 0. А именно, при s = 1 потен-

циалы (3.14) и (3.15) описывают кольцевые стоки (источники) радиуса y₀ с центром в начале

координат, а потенциалы (3.16) и (3.17) - точечные стоки (источники), находящиеся в начале

координат.

Рассмотренные примеры не исчерпывают возможностей использования теорем 1 и 2 для

нахождения в конечном виде обобщённых потенциалов течений от других источников в слое

проводимости (3.1). В слое такой проводимости имеют место другие представления решений в

конечном виде граничных задач [10, с. 290], допускающих обобщения на случай, когда стоки

(источники) течения располагаются на границах.

4. Задачи с произвольными замкнутыми гладкими границами. Рассмотрим общий

случай течения в слое проводимости P (z), когда сток или источник располагается на границе

Γ или σ₂, каждая из которых моделируется произвольной замкнутой гладкой кривой (конту-

ром) L. Для исследования граничных задач принципиальное значение имеют первое (k = 1)

и второе (k = 2) комплексные фундаментальные решения

Ψ_k(z,z₀)

Fk(z, z0) = Φk(z, z0) + i

k = 1,2,

P (z)

которые по координатам точки z = x + iy (z = z₀, z₀ = x₀ + iy₀ - точка-параметр) удовле-

творяют в области D течения уравнению (1.4) и имеют в точке z = z₀ согласно асимптотике

F₁(z,z₀) ∼

F₂(z,z₀) ∼

при z → z₀

(4.1)

2πP (z₀)

z-z₀

2πi

z-z₀

сингулярности логарифмического типа.

Полагаем, что согласно представлениям (2.9) решения F_k(z, z₀) (функции Φ_k(z, z₀) и

Ψ_k(z,z₀), k = 1,2) удовлетворяют на сингулярной линии σ₀ = σ₀₁

^⋃σ₀₂ условиям

[F_k(z, z₀) + F_k(z, z₀)]⁺ = 0 (Φ+k(z, z₀) = 0), k = 1, 2, z ∈ σ₀₁,

(4.2)

[P (z)(F_k(z, z₀) - F_k(z, z₀))]⁺ = 0 (Ψ+k(z, z₀) = 0), k = 1, 2, z ∈ σ₀₂.

Решения F₁(z, z₀) и F₂(z, z₀) - комплексные потенциалы течений, вызванные нормированным

стоком и вихрем соответственно, известны для слоёв широких классов проводимостей P (z)

[10, с. 94].

Пусть течение в слое проводимости P (z) обусловлено стоком суммарной мощности Π₀,

а также другими источниками. Сток расположен в точке z₀ контура L и характеризуется

комплексным потенциалом

(

)

Ψ₁(z,z₀)

f₀(z) = Π₀F₁(z,z₀) = Π₀ Φ₁(z,z₀) + i

P (z)

а другие источники течения заданы вне и внутри контура L. Начало координат выберем

внутри контура L. Течение описываем комплексным потенциалом

W₀(z) = Π₀F₁(z,z₀) + f(z),

(4.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1142

ПИВЕНЬ

в котором сингулярности (изолированные особые точки) функции f(z) характеризуют источ-

ники, расположенные вне и внутри контура L.

Искомый комплексный потенциал W (z) течения представим в виде (2.3), в котором ком-

плексный потенциал возмущения W_∗(z) выразим обобщённым интегралом типа Коши [10,

с. 166], а именно, когда на всём контуре L, за исключением точки z₀ ∈ L, функция тока

непрерывна (непрерывен расход жидкости):

∫

W_∗(z) = - P(ζ)w′2(z,ζ)[g(ζ) + A₀Φ₁(ζ,z₀)]dl_ζ, z ∈ L,

(4.4)

и если контур L - непроницаемый для жидкости (нет потока через L), то

∫

[

]

Ψ₁(ζ,z₀)

W_∗(z) = P(ζ)w^′

(z, ζ) h(ζ) + B₀

dl_ζ , z ∈ L.

(4.5)

P (ζ)

Здесь A₀ и B₀ - вещественные постоянные; g(ζ) и h(ζ) - непрерывные вещественные функ-

ции переменной ζ ∈ L; w′1(z, ζ) и w′2(z, ζ) - главные решения уравнения (1.4) по переменной

z (ζ - точка-параметр), которые связаны с фундаментальными решениями F_k(z, ζ), k = 1, 2,

равенствами

∂F₁(z,ζ)

∂F₂(z,ζ)

w′1 = (z,ζ) = -

∂l_ζ

P (ζ)

∂n_ζ

∂F₁(z,ζ)

∂F₂(z,ζ)

w′2 = (z,ζ) = -

∂n_ζ

P (ζ)

∂l_ζ

Рассмотрим подынтегральные выражения (4.4) и (4.5), содержащие функции Φ₁(ζ, z₀) и

Ψ₁(ζ,z₀), и убедимся, что при ζ → z0 они принимают ограниченные значения. Согласно

асимптотике (4.1) имеем

P (ζ)

Φ₁(ζ,z₀) ∼

Ψ₁(ζ,z₀) ∼ -

arg (ζ - z₀) при ζ → z₀.

2πP (z₀)

|ζ - z₀|

2πP (z₀)

Так как

lim [|ζ - z₀|^εΦ₁(ζ, z₀)] = 0, то Φ₁(ζ, z₀) = O(1/|ζ - z₀|^ε) при ζ → z₀,

(4.6)

ζ→z₀

где ε - сколь угодно малое положительное число (ε < 1). Функция Ψ₁(ζ, z₀) принимает при

ζ → z₀ конечные значения. Поэтому интегралы, содержащие Φ₁(ζ,z₀) и Ψ₁(ζ,z₀), сходятся

(существуют) и, следовательно, комплексные потенциалы (4.4) и (4.5) удовлетворяют уравне-

нию (1.4).

Комплексные потенциалы (4.4) и (4.5) удовлетворяют условиям (2.9), так как решения

Fk(z, ζ), k = 1, 2, удовлетворяют условиям (4.2). Поскольку эти комплексные потенциалы

представлены обобщёнными интегралами типа Коши, то согласно [11, с. 144] они удовлетво-

ряют на бесконечности условию

W_∗(z) = O(1/|z|) при

|z| → ∞.

(4.7)

Согласно монографии [10, с. 158] непрерывно продолжим комплексные потенциалы (4.4) и

(4.5) на контур L. Положив, что g(ζ) и h(ζ) - функции класса Гёльдера, находим предельные

значения во всех точках контура L, кроме точки z₀ ∈ L:

∫

g(z) + A₀Φ₁(z, z₀)

W^±∗(z) = - P(ζ)w′2(z,ζ)[g(ζ) + A₀Φ₁(ζ,z₀)]dl_ζ ±

z ∈ L, z = z₀, (4.8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1143

∫

[

]

[

]

Ψ₁(ζ,z₀)

B₀Ψ₁(z,z₀)

W^±∗(z)= P(ζ)w^′

(z, ζ) h(ζ)+B₀

dl_ζ ±

h(z)+

z ∈ L, z = z₀, (4.9)

P (ζ)

P (z)

где интегралы понимаются в смысле главных значений по Коши.

Применим представления (4.4) и (4.5) комплексных потенциалов возмущений для иссле-

дования задач с границами Γ и σ₂, которые моделируем гладкими замкнутыми кривыми

(контурами) класса Ляпунова.

Теорема 3 (сопряжения на произвольном гладком контуре). Пусть течение в слое про-

водимости P (z) характеризуется в плоскости z комплексным потенциалом (4.3), в кото-

ром Π₀ - мощность стока, расположенного в точке z₀ произвольного гладкого замкнутого

контура Γ. Другие источники течения расположены вне и внутри контура Γ и характери-

зуются сингулярностями функции f(z). Тогда течение в областях D₁ и D₂ (вне и внутри

контура Γ), проводимости слоя в которых равны P₁ и P₂ (P_ν = k_ν P (z), k_ν = const > 0,

ν = 1,2), описывают комплексные потенциалы W₁(z) и W₂(z):

∫

W_ν(z) = Π₀F₁(z,z₀)+f(z)- P(ζ)w′2(z,ζ)[g(ζ)+2λΠ₀Φ₁(ζ,z₀)]dl_ζ, z ∈ D_ν, ν = 1,2, (4.10)

если функция g(z) удовлетворяет интегральному уравнению

∫

g(z)+2λ K₁(z, ζ)g(ζ) dl_ζ +4λ²Π0

K₁(z,ζ)Φ₁(ζ,z₀)dl_ζ = 2λRe f(z), z ∈ Γ, z = z₀. (4.11)

Здесь

∂Φ₁(z,ζ)

∂Φ₂(z,ζ)

K₁(z,ζ) = P(ζ)Re w′2(z,ζ) = -P(ζ)

∂n_ζ

∂l_ζ

орт нормали n_ζ ∈ Γ направлен внутрь области D₁, λ = (k₁ - k₂)/(k₁ + k₂), λ ∈ (-1,1).

Доказательство. Согласно представлению (4.4) имеем в случае контура Γ комплексный

потенциал возмущений

∫

W_∗(z) = - P(ζ)w′2(z,ζ)[g(ζ) + A₀Φ₁(ζ,z₀)]dl_ζ, z ∈ Γ.

Комплексный потенциал W_∗(z) является решением уравнения (1.4), удовлетворяющим усло-

вию (2.9), а также условию (4.7), поскольку возможные на бесконечности источники течения

заданы сингулярностями комплексного потенциала W₀(z) из (4.3).

Найдём константу A₀, подставив комплексный потенциал W_∗(z) в условия (2.8). С учётом

его предельных значений (4.8) на контуре Γ получим равенство

∫

g(z) + 2λ P (ζ) Re w′2(z, ζ)[g(ζ) + A₀Φ₁(z, ζ)] dl_ζ + (A₀ - 2λΠ₀)Φ₁(z, z₀) =

= 2λ Re f(z), z ∈ Γ, z = z₀.

Это равенство тождественно выполняется, если A₀ = 2λΠ₀, а функция g(z) удовлетворяет

интегральному уравнению (4.11). Подставив A₀ = 2λΠ₀ в комплексный потенциал W_∗(z) и

учтя равенства (2.3), имеем искомые комплексные потенциалы (4.10). Теорема доказана.

Исследуем интегральное уравнение (4.11). Оценим его ядро

∂Φ₁(z,ζ)

K₁(z,ζ) = -P(ζ)

∂n_ζ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1144

ПИВЕНЬ

при условии, что функцию Φ₁(z, ζ) можно представить в виде [10, с. 111]

[

]

Φ₁(z,ζ) =

√

f₁(z,ζ)ln

+ g₁(z,ζ) .

2π

P (z)P (ζ)

|z - ζ|

Здесь P - проводимость слоя, f₁(z, ζ) и g₁(z, ζ) - гладкие (непрерывно дифференцируемые)

функции переменных z и ζ в областях D₁, D₂ и на контуре Γ, причём f₁(z, z) = 1. Так

как контур Γ моделируется кривой класса Ляпунова, то согласно монографии [10, с. 398] для

ядра K₁(z, ζ) справедлива оценка |K₁(z, ζ) = O(|z - ζ|1-μ)|, μ ∈ (0, 1], при ζ → z. Тогда с

учётом оценки (4.6) для функции Φ₁(ζ, z₀) находим

|K₁(z, ζ)Φ₁(ζ, z₀)| = O(|z - ζ|1-μ-ε) при ζ → z = z₀ ∈ Γ.

Поскольку g(ζ) - функция класса Гёльдера, то подынтегральное выражение в уравнении

(4.11) имеет согласно оценок слабые (интегрируемые) особенности и, следовательно, интегралы

сходятся (существуют).

Таким образом, исследование задачи сопряжения редуцируется к граничному неоднород-

ному интегральному уравнению второго рода со слабой сингулярностью (типа Фредгольма).

Представление (4.10) задачи сопряжения получено для произвольно заданных источников

течения. В частности, когда сток на границе Γ отсутствует (Π₀ = 0), то [10, с. 390]

∫

W_ν(z) = f(z) - P(ζ)w′2(z,ζ)g(ζ)dl_ζ, z ∈ D_ν, ν = 1,2,

если функция g(z) удовлетворяет интегральному уравнению

∫

g(z) + 2λ K₁(z, ζ)g(ζ) dl_ζ = 2λRe f(z), z ∈ Γ.

Когда имеется сток мощности Π₀ только на границе Γ, а другие источники вне границы Γ

отсутствуют (f(z) = 0), то

∫

W_ν(z) = Π₀F₁(z,z₀) - P(ζ)w′2(z,ζ)[g(ζ) + 2λΠ₀Φ₁(ζ,z₀)]dl_ζ, z ∈ D_ν, ν = 1,2,

если для функции g(z) справедливо интегральное уравнение

∫

g(z) + 2λ K₁(z, ζ)g(ζ) dl_ζ + 4λ²Π0

K₁(z,ζ)Φ₁(ζ,z₀)dl_ζ = 0, z ∈ Γ, z = z₀,

которое неоднородно в силу последнего слагаемого, стоящего слева.

Пусть теперь замкнутый контур L моделирует непроницаемую границу σ₂ (L = σ₂). Те-

чение в слое проводимости P (z) характеризуется комплексным потенциалом (4.3), в котором

Π₀ - мощность стока, расположенного в точке z₀ контура σ₂, а сингулярности функции f(z)

моделируют другие источники течения, лежащие вне либо внутри контура σ₂. В силу урав-

нения неразрывности комплексный потенциал (4.3) должен удовлетворять условию (2.11), т.е.

∫

∂

P (ζ)

[Π₀Φ₁(ζ, z₀) + Re f(ζ)] dl_ζ = 0,

(4.12)

∂n_ζ

σ₂

где функция f(ζ) имеет сингулярности внутри контура σ₂.

Теорема 4. Пусть течение в слое проводимости P (z) характеризует комплексный по-

тенциал (4.3), сингулярности которого моделируют сток мощности Π₀, расположенный

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1145

на контуре σ₂, а также другие источники, лежащие вне либо внутри контура (функция

f (z)). Причём этот комплексный потенциал удовлетворяет условию (4.12). Если контур

σ₂ - непроницаемый для жидкости, то течение в области D (вне или внутри контура σ₂)

описывает комплексный потенциал

∫

[

]

2Π₀Ψ₁(ζ, z₀)

W (z) = Π₀F₁(z, z₀) + f(z) + P (ζ)w′1(z, ζ) h(ζ) -

dl_ζ , z ∈ D,

(4.13)

P (ζ)

σ₂

если функция h(z) удовлетворяет интегральному уравнению

∫

Ψ₁(ζ,z₀)

h(z) + 2

K₂(z,ζ)h(ζ)dl_ζ - 4Π₀ K₂(z,ζ)

dl_ζ =

P (ζ)

σ₂

[

]

α₂

- Imf(z) , z ∈ σ₂, z = z₀.

(4.14)

P (z)

Здесь

P (ζ) ∂Ψ₁(z, ζ)

∂Ψ₂(z,ζ)

K₂(z,ζ) = P(ζ)Im w′1(z,ζ) = -

P (z)

∂l_ζ

P (z)

∂n_ζ

орт n_ζ ∈ σ₂ направлен внутрь области D.

Доказательство. Согласно представлению (4.5) комплексный потенциал возмущений

W_∗(z) запишем в виде

∫

[

]

Ψ₁(ζ,z₀)

W_∗(z) = P(ζ)w^′

(z, ζ) h(ζ) + B₀

dl_ζ , z ∈ D,

P (ζ)

σ₂

где контур σ₂ обходится по часовой стрелке для внешней задачи и против часовой стрелки

для внутренней задачи. Комплексный потенциал W_∗(z) есть решение уравнения (1.4), которое

удовлетворяет условию (2.9), а также условию (4.7) в случае внешней задачи.

Найдём константу B₀, подставив комплексный потенциал W_∗(z) в условие (2.7). С учётом

его предельных значений (4.9) на контуре σ₂ находим равенство

∫

[

]

Ψ₁(ζ,z₀)

Ψ₁(z,z₀)

h(z) + 2

P (ζ)Im w^′(z, ζ) h(ζ) + B0

dl_ζ + (B₀ + 2Π₀)

P (ζ)

P (z)

σ₂

[

]

α₂

- Imf(z) , z ∈ σ₂, z = z₀,

P (z)

которое обращается в тождество, если B₀ = -2Π₀, а функция h(z) удовлетворяет уравнению

(4.14). Подставив B₀ = -2Π₀ в комплексный потенциал W_∗(z), согласно представлению (2.3)

имеем искомый комплексный потенциал (4.13). Теорема доказана.

Интегральное уравнение (4.14) имеет слабую сингулярность. Действительно, оценим ядро

уравнения

∂Ψ₂(z,ζ)

K₂(z,ζ) = -

P (z)

∂n_ζ

исходя из представления функции [10, с. 111]

√

[

]

P (z)P (ζ)

Ψ₂(z,ζ) = -

f₂(z,ζ)ln

+ g₂(z,ζ) .

2π

|z - ζ|

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1146

ПИВЕНЬ

Здесь P - проводимость слоя, f₂(z, ζ) и g₂(z, ζ) - гладкие функции переменных z и ζ,

причём f₂(z, z) = 1. Тогда в случае контура σ₂ класса Ляпунова справедлива такого же

порядка сингулярности оценка

|K₂(z, ζ)| = O(|z - ζ|1-μ), μ ∈ (0, 1],

при ζ → z, что и для ядра K₁(z, ζ) уравнения (4.11). Так как функция Ψ₁(ζ, z₀) при ζ → z₀

ограничена, а h(ζ) - функция класса Гёльдера, то подынтегральные выражения в уравнении

(4.14) имеют слабую (интегрируемую) особенность и, следовательно, интегралы существуют.

Итак, исследование второй внешней и внутренней краевых задач редуцируется к гранич-

ному неоднородному интегральному уравнению второго рода со слабой сингулярностью.

Рассмотрим частные случаи представления (4.13) решения второй краевой задачи в зави-

симости от задания источников течения. Пусть на границе σ₂ сток отсутствует (Π₀ = 0).

Тогда [10, с. 392]

∫

W (z) = f(z) + P (ζ)w′2(z, ζ)h(ζ) dl_ζ , z ∈ D,

σ₂

если функция h(z) является решением интегрального уравнения

∫

[

]

α₂

h(z) + 2

K₂(z,ζ)h(ζ)dl_ζ = 2

- Im f(z) , z ∈ σ₂.

P (z)

σ₂

Когда имеется сток мощности Π₀ только на границе σ₂, а вне границы σ₂ нет источников

течения (f(z) = 0), то

∫

[

]

2Π₀Ψ₁(ζ, z₀)

W (z) = Π₀F₁(z, z₀) + P (ζ)w′2(z, ζ) h(ζ) -

dl_ζ , z ∈ D,

P (ζ)

σ₂

если функция h(z) удовлетворяет интегральному уравнению

∫

Ψ₁(ζ,z₀)

2α₂

h(z) + 2

K₂(z,ζ)h(ζ)dl_ζ - 4Π₀ K₂(z,ζ)

dl_ζ =

z∈σ₂, z=z₀.

P (ζ)

P (z)

σ₂

Задачу сопряжения и вторую краевую задачу нетрудно обобщить согласно принципу на-

ложения течений на случай, когда на границах Γ и σ₂ располагаются несколько дискретных

источников течения, характеризуемых сингулярностями логарифмического типа.

Заключение. Подводя итоги, отметим, что решения первой и второй краевых задач и за-

дачи сопряжения с произвольно расположенными дискретными источниками течения удаётся

представить в конечном виде для слоёв некоторых классов проводимостей. Это продемонстри-

ровано на примере слоя, проводимость которого моделируется степенной функцией координат,

а границы - прямолинейные. В общем случае, когда проводимость слоя моделируется произ-

вольной гладкой функцией координат, а границы - произвольными гладкими замкнутыми

кривыми, вторая краевая задача и задача сопряжения редуцированы к граничным сингуляр-

ным интегральным уравнениям. Эти уравнения могут быть решены, например, численным

методом дискретных особенностей [1, с. 433].

Исследованные задачи являются математическими моделями двумерных фильтрационных

процессов, имеющих место, например, при разработке водоносных (нефтеносных) неоднород-

ных пластов грунта. Они могут представлять интерес при изучении процессов теплопроводно-

сти, электропроводности, электро- и магнитостатики в слоистых структурах, характеризую-

щихся законами и граничными условиями, аналогичными законам (1.1) и указанным гранич-

ным условиям фильтрационных процессов.

Автор благодарит А.В. Сетуху за содержательное и полезное обсуждение результатов

статьи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

ДВУМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

1147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.

2. Dimitroglo M.G., Setukha A.V., Lifanov I.K. On numerical modeling of a three-dimensional flow past a

wing with external flow suction and on the effect of flow suction on trailing vortices // Rus. J. of Numer.

Anal. and Math. Model. 2004. V. 19. № 2. P. 109-129.

3. Лифанов И.К., Сетуха А.В. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных

интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 9. С. 1227-1241.

4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1977.

5. Пивень В.Ф., Костин О.В. Фильтрационные течения с источниками на непроницаемых канони-

ческих границах // Тр. Междунар. школ-семинаров “Методы дискретных особенностей в задачах

математической физики”. Вып. 8. Орёл, 2009. С. 92-98.

6. Деткова Ю.В., Никольский Д.Н. Исследование работы водозабора вблизи источника загрязнения,

расположенного на окружности // Тр. Междунар. школ-семинаров “Методы дискретных особенно-

стей в задачах математической физики”. Вып. 8. Орёл, 2009. С. 46-51.

7. Пивень В.Ф. Задачи о плоскопараллельных фильтрационных течениях с источниками на границах

// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1214-1225.

8. Пивень В.Ф. Исследование трёхмерных задач фильтрации жидкости с источниками на границах

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 9. С. 1238-1254.

9. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.

10. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных течений жидкости.

Орёл, 2006.

11. Вакуа И.А. Обобщенные аналитические функции. М., 1988.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1973.

Орловский государственный университет

Поступила в редакцию 02.03.2022 г.

имени И.С. Тургенева

После доработки 24.04.2022 г.

Принята к публикации 05.07.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022