ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 8, с.1158-1162

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ

ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ МОСКОВСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА∗)

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в весеннем семестре 2022 г.

(предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференц. уравнения”. 2022.

Т. 58. № 2; за дополнительной информацией обращаться по адресу: nds@cs.msu.su)∗∗).

DOI: 10.31857/S0374064122080155, EDN: CHILHW

А. С. Фурсов, П. А. Крылов (МГУ ВМК, Москва, Россия) “Об устойчивости переклю-

чаемой аффинной системы для некоторого класса переключающих сигналов” (14.02.2022).

В настоящее время теория кусочно-линейных систем является динамично развивающим-

ся направлением в рамках современной теории автоматического управления. И, в первую

очередь, это объясняется эффективностью использования таких систем для аппроксимации

нелинейных аффинных систем управления [1]. Алгоритмы управления, разработанные для

кусочно-линейных аппроксимаций, позволяют успешно применять их и для исходных нелиней-

ных систем [2, с. 97; 3]. Если для нелинейной системы рассматривается некоторое семейство

аппроксимирующих кусочно-линейных систем, то такое семейство фактически представляет

собой переключаемую аффинную систему с заданным множеством переключающих сигналов.

Исследование свойств таких систем, в частности, устойчивости, является одной из актуальных

задач в рамках современной теории стабилизации динамических систем.

Прежде чем перейти к постановке задачи, введём некоторые необходимые понятия. Рас-

смотрим разбиение евклидова пространства Rⁿ на m замкнутых выпуклых многогранников

M_i (i = 1,m). При этом считаем, что 0 ∈ M₁ (через M_i обозначаем множество внутренних

точек многогранника M_i). Так как пара выпуклых многогранников, не имеющих общих внут-

ренних точек, может иметь не более одной общей грани, то в описанном разбиении каждый

многогранник имеет не более m - 1 граней. Обозначим через P_ij (i = j) плоскость, разде-

ляющую соприкасающиеся многогранники M_i и M_j . Тогда P_ij = {x ∈ Rⁿ : 〈n_ij , x〉 = d_ij},

где n_ij - нормаль к плоскости P_ij , направленная в сторону многогранника M_j , d_ij ∈ R.

Для определённости будем полагать, что n_ij = 0, d_ij = 1, если многогранники M_i и M_j не

пересекаются. Таким образом, M_i = {x ∈ Rⁿ : 〈n_ij , x〉 ≤ d_ij, j = 1, m}. Определим общую

для многогранников M_i, M_j грань Γ_ij и её внутренность Γ_ij следующим образом: Γ_ij =

⋂

⋃

[

]_n

=M_i

M_j, Γ_ij = Γ_ij \k=i,jM_k. Пусть Γ(Z,D) =_i,jΓ_ij. Обозначим через Z =

n_ij

i,j=1

×m

массив размера m × m, состоящий из векторов n_ij ∈ Rⁿ, через D =

⁽d_ij) - матрицу из R^m

(при этом для удобства полагаем, что n_ii = 0, d_ii = 1) и, наконец, через F - множество все-

возможных пар (Z, D), задающих различные разбиения пространства Rⁿ на m выпуклых

многогранников.

Теперь рассмотрим переключаемую скалярную по входу аффинную систему

x = A_σx + v_σ + b_σu, σ ∈ S(F),

(1)

где σ(x; Z, D) : Rⁿ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал),

принимающая постоянное значение i на каждом открытом выпуклом многограннике M_i,

∗) Семинар основан академиками РАН С.В. Емельяновым и С.К. Коровиным.

∗∗) Составитель хроники А.В. Ильин.

1158

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1159

задаваемом парой (Z, D); x ∈ Rⁿ - вектор состояния; u ∈ R - управляющий вход; A_σ =

= A ◦ σ - композиция отображения A : I → {A₁,...,A_m} и переключающего сигнала σ;

b_σ = b ◦ σ и v_σ = v ◦ σ - аналогичные композиции для отображений b : I → {b₁,... ,b_m},

v : I → {v₁,...,v_m}, причём считаем, что v₁ = 0.

Значение функции σ(x; Z, D) в каждой точке x определяет активный режим (подсистему)

функционирования (A_i, b_i, v_i) переключаемой системы (1), описываемый аффинной системой

x = A_ix + v_i + b_iu.

Замкнём систему (1) обратной связью u = -kx:

x = A_σx + v_σ - b_σkx, σ ∈ S(F).

(2)

Рассматриваемую обратную связь будем считать допустимой, если в каждой точке общей

границы любых двух соприкасающихся многогранников существует единственный способ вы-

брать режим i (соответствующий одному из этих многогранников) таким образом, чтобы

векторное поле выбранного режима в данной точке было направлено строго внутрь соответ-

ствующего многогранника M_i. Указанное ограничение на допустимые управления позволяет

доопределить переключающий сигнал σ(x; Z, D) (положив его равным i) на гиперплоскостях

переключения таким образом, что решение системы (2) существует и единственно для любых

начальных условий.

Будем говорить, что нулевое решение системы (2) глобально равномерно устойчиво, если

для любого σ ∈ S(F ) нулевое решение соответствующей системы глобально асимптотически

устойчиво.

Постановка задачи. Исследуем нулевое решение замкнутой системы (2) на глобальную

равномерную устойчивость.

Сопоставим системе (2) множество ориентированных графов G(σ), вершинами каждого

из которых (для данного σ) являются номера режимов этой системы, а наличие ребра i → j

будет означать существование траектории соответствующей системы (для данного σ), при

движении вдоль которой режим i сменяется режимом j.

Теорема. Пусть матрицы (A_i - b_ik) (i = 1, m) не имеют чисто мнимых собственных

значений и при всех σ ∈ S(F ) соответствующий ориентированный граф G(σ) является

слабо-связным и не содержит циклов. Пусть подсистема системы (2) с индексом единица

устойчива, а для остальных режимов (i = 2,m) и для любого σ ∈ S(F) выполнены следую-

щие условия:

1) либо матрица (A_i - b_ik) устойчива, либо область функционирования режима i (мно-

гогранник M_i) ограничена;

2) xi0 ∈ Γ(Z,D), где xi0 ≡ (Ai - bik)-1vi - стационарное решение аффинной системы,

являющейся i-м режимом переключаемой системы (2);

3) σ(xi0; Z, D) = i.

Тогда нулевое решение системы (2) глобально равномерно устойчиво.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00162) и Министерства науки и высшего образования Российский Федерации в рамках реализа-

ции программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики (соглашение

№ 075-15-2022-284).

Литература. 1. Rewienski M., White J. Model order reduction for nonlinear dynamical systems based

on trajectory piecewise-linear approximations // Linear Algebra and its Appl. 2006. V. 415. P. 426-454.

2. Johansson M. Piecewise Linear Control System. Berlin; Heidelberg, 2003. 3. Rodrigues L., How J. Synthesis

of piecewise-affine controllers for stabilization of nonlinear systems // Proc. of the IEEE Conf. on Decision

and Control. January, 2004. V. 3. P. 2071-2076.

В. В. Фомичев, Н. И. Денисова (МГУ ВМК, Московский центр фундаментальной и

прикладной математики, Москва, Россия) “Подходы к построению наблюдателей для неста-

ционарных систем при внешних возмущениях” (14.03.2022).

В современной теории управления хорошо известны подходы для построения наблюдателей

как для линейных стационарных систем [1], так и для нестационарных [2-4].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1160

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Куда интереснее обстоит вопрос о синтезе наблюдателей для систем с возмущениями. Для

нестационарного случая задача ещё недостаточно изучена.

В данной работе была предпринята попытка перенести некоторые результаты, полученные

для линейных стационарных систем с возмущением, на нестационарный случай. Итак, имеем

систему

x = A(t)x + B(t)u + Df, y = C(t)x,

где x ∈ Rⁿ, u ∈ R^k, f ∈ R^m, y ∈ R^l; известные матрицы A(t), C(t), D(t) имеют соответ-

ствующие порядки, непрерывны, а при необходимости - достаточно гладкие по переменной t;

возмущение f мажорируется известной константой.

Так как влияние известного управления всегда можно компенсировать в наблюдателе, то

далее для упрощения дальнейших выкладок будем полагать, что u ≡ 0.

Требуется по информации об известном выходе y(t) построить асимптотическую оценку

x(t) вектора состояния x(t).

Рассматривается гипервыходная система, т.е. система при условии l > m, когда число

известных выходов больше числа неизвестных входов. Кроме того, будем предполагать, что

rank (C(t)D) = m, rank D = m и rank C(t) = l (подразумевается равномерная полнота ранга,

т.е. в указанных матрицах можно выделить миноры максимального порядка, невырожденные

при всех t > 0). Более того, считаем что условие “равномерно по выходам”. Это означает, что

путём перенумерации можно разделить выход:

(

)

(

)

′

y^′

det (C^′(t)D(t)) ≡ 0 для любого t.

C^′′ x⁼

y^′′

Применяя сначала стационарное преобразование координат произвольной стационарной

матрицей F такой, что F D = 0 и

(

)

(

)

x^′

T =

: det(T) = 0 при всех t, Tx =

⇔ x=T^′x^′ +T^′′y^′,

C^′

y^′

получаем систему

x′ = A11(t)x′ + A12(t)y′,

y′ = A21(t)x′ + A22(t)y′ + C′(t)Df.

Рассмотрим “запасные” выходы, которые после преобразований принимают вид

y^′′ = C^′′(t) = C^′′(t)T^′(t)x^′ + C^′′(t)T^′′(t)y^′

⇒ y = C^′′(t)T^′(t)x^′ = y^′′ - C^′′(t)T^′′(t)y^′.

Переобозначив

C(t) = C^′′(t)T^′(t), получаем полностью определённую систему

x^′ = A₁₁(t)x^′ + A₁₂(t)y^′,

C(t)x^′,

для которой в случае наблюдаемости пары {A₁₁(t)

C(t)} можно строить асимптотический

наблюдатель.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российский Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики (соглашение № 075-15-2022-284).

Литература. 1. Fomichev V.V., Vysotskii A.O. Algorithm for designing a cascade asymptotic observer

for a system of maximal relative order // Differ. Equat. 2019. V. 67. № 3. P. 553-560. 2. Куок Дат Во,

Бобцов А.А. Адаптивный наблюдатель переменных состояния линейных нестационарных систем с па-

раметрами, заданными не точно // Автоматика и телемеханика. 2020. Т. 12. С. 100-110. 3. Гайшун И.В.

Об асимптотическом оценивании состояний линейных нестационарных систем со скалярным выходом

// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 2. С. 45-51. 4. Андриевский Б.Р.,

Фуртат И.Б. Наблюдатели возмущений: методы и приложения. Ч. 1. Методы // Автоматика и теле-

механика. 2020. Т. 9. С. 3-61.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

1161

А. К. Деменчук (ИМ НАН Беларуси, Минск) “Управление асинхронным спектром ли-

нейных периодических систем с вырожденным блоком усреднения матрицы коэффициентов”

(16.05.2022).

Будем рассматривать линейную систему управления

x = A(t)x + Bu, t ∈ R, x ∈ Rⁿ, n ≥ 2,

(1)

в которой A(t)- непрерывная ω-периодическая n × n-матрица, B- постоянная n × r-матрица

(r ≤ n), u(t) - управление. Вопросы управляемости линейных систем изучались во многих

работах (см., например [1]), при этом в периодическом случае, как правило, множества частот

решения и самой системы предполагались совпадающими.

Вместе с тем, как показали Х. Массера [2], Я. Курцвейль и О. Вейвода [3], и др., система

обыкновенных дифференциальных периодических (почти периодических) уравнений может

допускать решения, пересечение частотного модуля которых с модулем частот системы три-

виально. Такого рода решения позднее были названы сильно нерегулярными, их частотный

спектр - асинхронным, а описываемые ими колебания - асинхронными. Отметим, что случае

периодических систем нерегулярность означает несоизмеримость периодов решения и системы.

Задача синтеза периодических дифференциальных систем, обладающих сильно нерегуляр-

ными решениями, была сформулирована в работе [4] как задача управления асинхронным

спектром. В монографии [5, гл. III] исследована разрешимость такой задачи для некоторых

классов линейных периодических систем с линейной по фазовым переменным периодической

обратной связью.

В дальнейшем в качестве управляющего воздействия u(·) в системе (1) будем использовать

непрерывные на вещественной оси периодические r-вектор-функции, множество показателей

Фурье которых содержится в модуле частот матрицы коэффициентов A(t). Тогда примени-

тельно к системе (1) задача управления асинхронным спектром с целевым множеством L сос-

тоит в следующем: выбрать такое программное управление u(t) из указанного допустимого

множества, чтобы система (1) имела сильно нерегулярное периодическое решение с заданным

спектром частот L (целевым множеством).

Вопросы разрешимости сформулированной задачи для системы (1) с программным управ-

лением и нулевым средним значением матрицы коэффициентов исследованы в статье [6]. В на-

стоящем докладе приведём решение задачи управления асинхронным спектром для систе-

мы (1), среднее значение матрицы коэффициентов которой имеет вырожденный ненулевой

левый верхний диагональный блок, а остальные её блоки являются нулевыми.

Пусть P = (p_ij ), i = 1, n, j = 1, m, - некоторая матрица и 1 ≤ k₁ < . . . < k_s ≤ n, 1≤l1 <

< ... < l_q ≤ m - две упорядоченные последовательности натуральных чисел. Через Pl1...kqk₁s

обозначим s × q-матрицу, образованную из элементов матрицы P, стоящих на пересечении

строк с номерами k₁, . . . , k_s и столбцов с номерами l₁, . . . , l_q.

Для непрерывной на всей числовой оси ω-периодической вещественнозначной матрицы

∫_ω

F (t) определим её среднее значение

F = ω-1

F (t) dt и осциллирующую часть

F (t) =

=F(t)

F. Через rankcol F обозначим столбцовый ранг матрицы F(t), т.е. наибольшее число

её линейно независимых столбцов. Подобным образом можно определить и строчный ранг мат-

рицы. Отметим, что в общем случае строчный и столбцовый ранги матрицы F (t) не обязаны

совпадать.

Далее считаем, что ранг постоянной матрицы B при управлении не является максималь-

ным и строки с номерами k₁, . . . , k_d, 1 ≤ k1 < ... < kd ≤ n - нулевые:

rank B = r₁ < r, B1...rk

(d = n - r₁).

(2)

1...kd

Последнее ограничение не является потерей общности рассуждений, так как этого можно до-

биться с помощью линейного неособенного преобразования системы (1), используя алгоритмы

элементарных преобразований строк матрицы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022

1162

О СЕМИНАРЕ ПО ПРОБЛЕМАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Будем также предполагать, что среднее значение матрицы коэффициентов в результате

перестановки её строк и столбцов представимо в виде

(

)

Ak1...kdk1d

...k_d

Ak1...kd

k₁...k

(3)

Ak1...kdk1d =diag(âk1 k1^,...,âkd kd),

Akd+1...kn

...kn

kd+1...kn

причём âk1 k₁ · · · âk_d k_d = 0. Последнее условие означает, что среди диагональных элементов

блока

Ak1...kd имеются нулевые. Для определённости можно считать, что они расположены_k

1...kd

âk1+i-1k

= 0, i = 1, m,

1 ≤ m < d,

(4)

1+i-1

а остальные элементы ненулевые. В противном случае этого можно добиться с помощью ли-

нейного невырожденного преобразования системы (1), равносильного перестановке первых d

её уравнений в требуемом порядке.

Пусть kd+1, . . . , k_n,

1 ≤ kd+1 < ... < k_n ≤ n - номера ненулевых строк матрицы B.

С учётом нумерации нулевых и ненулевых строк этой матрицы для упрощения записи введём

(t),

A⁽¹⁾¹¹(t) - d × m-матрица,

...k_d

составленная из первых m столбцов d × d-блока A₁₁(t). Построим d × (m + r₁)-матрицу

A_∗(t) =

A⁽¹⁾¹¹(t),A₁₂(t)].

Справедлива

Теорема. Для линейных систем (1)-(4) задача управления асинхронным спектром с це-

левым множеством L разрешима тогда и только тогда, когда L = {0} и выполняется

неравенство rank_col A˜_∗(t) < r₁ + m.

Литература. 1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975. 2. Massera J.L. Observaciones

sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales // Bol. de la Facultad de Ingenieria. 1950. V. 4.

№ 1. P. 37-45. 3. Курцвейль Я., Вейвода О. О периодических и почти периодических решениях систем

обыкновенных дифференциальных уравнений // Чехосл. мат. журн. 1955. Т. 5. № 3. С. 362-370. 4. Де-

менчук А.К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний // Докл.

НАН Беларуси. 2009. Т. 53. № 4. С. 37-42. 5. Деменчук А.К. Асинхронные колебания в дифференци-

альных системах. Saarbrücken, 2012. 6. Деменчук А.К. Управление асинхронным спектром линейных

систем с нулевым средним значением матрицы коэффициентов // Тр. Ин-та математики НАН Бела-

руси. 2018. Т. 26. № 1. С. 31-34.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№8

2022