ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1165-1185

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.25

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ

СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ,

ЗАВИСЯЩИМ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

Рассмотрена задача на собственные значения для обыкновенных дифференциальных урав-

нений четвёртого порядка со спектральным параметром, содержащимся в одном из гранич-

ных условий. Найдена общая характеристика расположения собственных значений на ве-

щественной оси (комплексной плоскости). Изучены структуры корневых подпространств,

осцилляционные свойства собственных функций, базисные свойства собственных функций

в пространстве L_p,

1 < p < ∞, и равномерная сходимость рядов Фурье по собственным

функциям этой задачи.

DOI: 10.31857/S0374064122090011, EDN: CHIYEC

Введение. В данной статье исследуется граничная задача

ℓ(y)(x) ≡ y⁽⁴⁾(x) - (q(x)y^′(x))^′ = λy(x),

0<x<l,

(1)

U₁(λ,y) ≡ y^′(0)cos α - y^′′(0)sin α = 0,

(2)

U₂(λ,y) ≡ y(0)cos β + Ty(0)sin β = 0,

(3)

U₃(λ,y) ≡ (aλ + b)y^′(l) + (cλ + d)y^′′(l) = 0,

(4)

U₄(λ,y) ≡ y(l)cos δ - Ty(l)sin δ = 0,

(5)

где λ ∈ C - спектральный параметр; T y ≡ y^′′′ - qy^′, q - положительная абсолютно непрерыв-

ная на отрезке [0, l] функция; α, β, δ, a, b, c, d - действительные постоянные, такие, что

0 ≤ α,β ≤ π/2, π/2 ≤ δ < π (за исключением случая β = δ = π/2), σ = bc - ad > 0.

Отметим, что задача (1)-(5) возникает при описании малых изгибных колебаний упругой

консольной однородной балки, в поперечных сечениях которой действует продольная сила,

а к свободному концу посредством невесомого стержня прикреплён груз, удерживающийся в

равновесии при помощи упругой пружины (см., например, [1, с. 152-154] и [2, с. 256-258]).

Целью настоящей работы является изучение базисных свойств собственных функций в

пространстве L_p(0, l),

1 < p < ∞, и равномерной сходимости спектральных разложений по

собственным функциям задачи (1)-(5).

Базисные свойства в L_p(0, l),

1 < p < ∞, и равномерная сходимость рядов Фурье по

корневым функциям задач Штурма-Лиувилля исследованы в работах [3-13], а в задачах для

обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка - в статьях [14-23].

Задача (1)-(5) в случае α = β = 0 исследована в [15], где, в частности, доказано, что

её собственные значения являются вещественными простыми и образуют неограниченно воз-

растающую последовательность. Кроме того, изучено расположение собственных значений на

вещественной оси, исследованы осцилляционные свойства собственных функций, получены

асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций, установлена

базисность в пространстве L_p(0, 1), 1 < p < ∞, системы собственных функций этой задачи с

одной произвольно удалённой функцией.

1165

1166

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

1. Операторная трактовка краевой задачи (1)-(5). Известно (см. [15, c. 386]), что

спектральная задача (1)-(5) сводится к задаче на собственные значения для линейного опера-

тора L в гильбертовом пространстве H = L₂(0, l)

⊕C со скалярным произведением

∫1

(ŷ, v)_H = ({y, m}, {v, s})_H = y(x)v(x) dx + σ-1ms,

где оператор

Lŷ = L{y,m} = {ℓ(y)(x),-(by^′(l) + dy^′′(l))}

определён в области

D(L) = {ŷ = {y(x), m} ∈ H : y ∈ W⁴²(0, l), ℓ(y) ∈ L₂(0, l), y^′(0) cos α - y^′′(0) sin α = 0,

y(0) cos β + T y(0) sin β = 0, y(l) cos δ - T y(l) sin δ = 0, m = ay^′(l) + cy^′′(l)},

которая всюду плотна в H. Очевидно, что оператор L корректно определён в H. При этом

задача (1)-(5) приобретает вид

Lŷ = λŷ,

ŷ ∈ D(L),

(6)

т.е. собственные значения λ_k, k ∈ N, задач (1)-(5) и (6) совпадают между собой с учётом их

кратности, а между корневыми функциями имеется взаимнооднозначное соответствие

y_k(x) ↔ {y_k(x),m_k}, m_k = ay^′k(l) + cy^′′k(l).

Теорема 1 [15, с. 386]. Оператор L является дискретным самосопряжённым полуогра-

ниченным снизу в пространстве H. Cистема {y_k}∞k=1,

ŷk = {yk, mk}, mk = ay^k(l) + cy^k′(l),

собственных векторов этого оператора образует ортогональный базис в H.

2. Некоторые вспомогательные утверждения. Введём краевое условие

y^′(l)cos γ + y^′′(l)sin γ = 0,

(7)

где γ ∈ [0, π/2].

Краевая задача (1)-(3), (5), (7) при δ ∈ [0, π) исследована в работах [24, 25], где установлен

следующий результат.

Теорема 2 [24, теоремы 5.4 и 5.5; 25, теорема А, замечание 1 и теорема 2]. Собствен-

ные значения спектральной задачи (1)-(3), (5), (7) при α,β,γ ∈ [0,π/2] и δ ∈ [0,π) явля-

ются вещественными простыми и образуют неограниченно возрастающую последователь-

ность {λ_k(α,β,δ,γ)}∞k=1 такую, что λ_k(α,β,γ,δ) > 0 при k ≥ 2, причём для каждых α,

β, γ существует δ₀(α,β,γ) ∈ [π/2,π) такое, что λ₁(α,β,γ,δ) > 0, если δ ∈ [0,δ₀(α,β,γ)),

λ₁(α,β,γ,δ) = 0, если δ = δ₀(α,β,γ) и λ₁(α,β,γ,δ) < 0, если δ ∈ (δ₀(α,β),π). Кроме того,

собственная функция y_{k,α,β,γ,δ}(x), соответствующая собственному значению λ_k(α,β,γ,δ),

при k ≥ 2 имеет в точности k - 1 простых нулей; при k = 1 не имеет нулей, если δ ∈

∈ [0, δ₀(α, β, γ)], имеет произвольное число нулей, если δ ∈ (δ₀(α, β, γ), π).

Для исследования спектральных свойств задачи (1)-(5) изучим свойства решения началь-

но-краевой задачи (1)-(3), (5) при α, β ∈ [0, π/2] и δ ∈ [π/2, π).

Имеет место следующая

Лемма 1. При каждом фиксированном λ ∈ C существует единственное с точностью

до постоянного множителя нетривиальное решение y(x,λ) задачи (1)-(3), (5).

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2.3 в [15].

Пусть y(x, λ) - решение задачи (1)-(3), (5), нормированное условием

|y(0)| + |T y(0)| = 1

при λ > 0 и условием

|y^′(l)| + |y^′′(l)| = 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1167

при λ ≤ 0. Заметим, что если λ > 0 и y(0, λ) = T y(0, λ) = 0, то в силу условия (2) из первой

части леммы 2.1 работы [24] следует, что y(l, λ)T y(l, λ) > 0, что противоречит условию (5).

Пусть теперь λ ≤ 0 и y^′(l, λ) = y^′′(l, λ) = 0. Тогда λ является собственным значением задачи

(1)-(3), (5), (7) как при γ = 0, так и при γ = π/2, что противоречит свойству 1 в [24, с. 64].

Поскольку уравнение (1) линейно зависит от λ, из общей теории линейных дифферен-

циальных уравнений (см., например, [26, гл. 1]) следует, что для каждого фиксированного

x ∈ [0,l] функция y(x,λ) является целой функцией параметра λ.

Пусть α, β ∈ [0, π/2], δ ∈ [π/2, π) - произвольные и фиксированные числа. При этом для

упрощения изложения обозначим μ_k = λ_k(α, β, 0, δ) и ν_k = λ_k(α, β, π/2, δ).

Пусть B_k = (μk-1, μ_k), k = 1, 2, . . . , где μ₀ = -∞.

Собственные значения μ_k и ν_k, k ∈ N, спектральной задачи (1)-(3), (5), (7) при γ = 0

и γ = π/2 являются нулями целых функции y^′(l,λ) и y^′′(l,λ) соответственно. Заметим, что

функция

y^′′(l,λ)

F (λ) =

y^′(l,λ)

⋃_∞

определена для значений λ ∈ B ≡ (

B_k)

^⋃ (C\R) и является мероморфной функцией

k=1

конечного порядка, собственные значения ν_k и μ_k, k ∈ N, краевой задачи (1)-(3), (5), (7)

при γ = π/2 и γ = 0 являются нулями и полюсами этой функции соответственно.

Лемма 2. Имеет место следующая формула:

∫

dF (λ)

y²(x,λ)dx, λ ∈ B.

(8)

dλ

y′2(l,λ)

Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство формулы (30) работы [15].

Лемма 3. Справедливо соотношение

lim F (λ) = +∞.

(9)

λ→-∞

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2.8 в [15].

В силу [24, свойство 1] и формул (8), (9) имеет место соотношение

ν₁ < μ₁ < ν₂ < μ₂ < ... < ν_k < μ_k < ...

(10)

Пусть m(λ) = ay^′(l, λ) + cy^′′(l, λ).

Лемма 4. Еслиλ - собственное значение задачи (1)-(5), то m(^λ) = 0.

Доказательство. Предположим, что^λ - собственное значение задачи (1)-(5) такое, что

m(^λ) = ay^′(l,λ) + cy^′′(l,λ) = 0. Если c = 0, то отсюда следует, что y^′′(l,λ) = -ay^′(l,λ)/c.

Тогда в силу (4) имеем

(

)

(aλ + b)y^′(l,λ) + (cλ + d) -

y^′(l,λ) =σy′(l,λ) = 0.

Так как σ = 0 и c = 0, то из последнего соотношения получим y^′(l,λ) = 0. Если же c = 0,

то σ = -ad = 0. Следовательно, из равенства m(^λ) = ay^′(l,λ) = 0 получим y^′(l,λ) = 0.

Тогда в обоих случаях из граничного условия (4) следует, что y^′′(l,λ) = 0, что противоречит

соотношению (10). Лемма доказана.

3. Осцилляционные свойства решения y(x, λ) задачи (1)-(3), (5). Рассмотрим

уравнение

y(x, λ) = 0, x ∈ [0, l], λ ∈ R.

(11)

Очевидно, что корни этого уравнения являются функциями параметра λ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1168

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

Лемма 5. Каждый корень x(λ) ∈ (0, l) уравнения (11) является простой и непрерывно-

дифференцируемой функцией параметра λ.

Доказательство. Пусть существуют x₀ ∈ (0, l) и λ₀ > 0 такие, что y(x₀, λ₀) = y^′(x₀, λ₀) =

= 0. Тогда очевидно, что |y^′′(x₀, λ₀)| + |T y(x₀, λ₀)| > 0. Если y^′′(x₀, λ₀)T y(x₀, λ₀) ≥ 0, то в

силу первой части леммы 2.1 в [24] получим y(l, λ₀)T y(l, λ₀) > 0, что противоречит условию

(5), поскольку δ ∈ [π/2, π), а если y^′′(x₀, λ₀)T y(x₀, λ₀) < 0, то в силу второй части леммы 2.1

в [24] получим y^′(0, λ₀)y^′′(0, λ₀) < 0, что противоречит условию (2), поскольку α ∈ [0, π/2].

Пусть теперь существуют x∗0 ∈ (0, l) и λ∗0 ≤ 0 такие, что y(x∗0, λ∗0) = y^′(x∗0, λ∗0) = 0. Тогда,

умножив обе части равенства

y⁽⁴⁾(x,λ∗0) - (q(x)y^′(x,λ∗0))^′ = λ∗0y(x,λ∗0),

0<x<x∗0,

на y(x, λ∗0) и проинтегрировав полученное равенство в пределах от 0 до x∗0, используя форму-

лу интегрирования по частям, принимая во внимание граничные условия (2), (3) и y(x∗0, λ∗0) =

= y^′(x∗0,λ∗0) = 0, получим

x∗0

∫

y′′2(x,λ∗0)dx+ q(x)y²(x,λ∗0)dx +^Ń[y(x,λ∗0)] =λ^∗

y²(x,λ∗0)dx,

где

⎧

⎪y′2(0,λ∗0)ctg α + y2(0,λ∗0)ctg β, если α,β ∈ (0,π/2],

⎨

y′2(0,λ∗0)ctg α,

если α ∈ (0, π/2], β = 0,

^Ń [y(x, λ∗0)] =

⎪y2(0,λ∗0)ctg β,

если α = 0, β ∈ (0, π/2],

⎩

если α = 0, β = 0.

Так как q(x) > 0 при x ∈ [0, l] и α, β ∈ [0, π/2], то из последнего соотношения следует, что

λ∗0 > 0, что противоречит условию λ∗0 ≤ 0.

Далее, непрерывная дифференцируемость функции x(λ) следует из хорошо известной тео-

ремы о неявной функции. Лемма доказана.

Следствие 1. При изменении параметра λ, λ > 0 (λ ≤ 0), функция y(x, λ) может

потерять нуль или приобрести новый, если она окажется внутри интервала (0,l) или вне

его за краевой точкой x = l (x = 0).

Доказательство. При изменении λ, λ > 0, нули функции y(x, λ) не могут принадлежать

интервалу (0, l) или оказаться вне его за краевой точкой x = 0. Действительно, если это не

так, то при некотором λ₀ > 0 имеем y(0, λ₀) = y^′(0, λ₀) = y^′′(0, λ) = 0, если β = 0, y(0, λ₀) =

= Ty(0,λ₀) = 0, если β ∈ (0,π/2]. Тогда, на основании первой части леммы 2.1 работы [24],

получим y(l, λ₀)T y(l, λ₀) > 0, что противоречит условию (5).

Если λ ≤ 0, то при изменении λ нули функции y(x, λ) не могут лежать в интервале (0, l)

или лежать вне его за краевой точкой x = l. Действительно, в противном случае, в силу (5)

при некоторомλ0 ≤ 0 имеет место y(l,λ0) = T y(l,λ0) = 0. Определим угол γ₀ ∈ [0, π) из

равенства

⎧

⎨

y^′(l,λ0)

-arctg

если y^′′(l,λ0) = 0,

γ₀ =

y^′′(l,λ0)

⎩

если y^′′(l,λ0) = 0.

Тогдаλ0 является собственным значением задачи (1)-(3), (5), (7) как при γ = γ₀, δ = π/2,

так и при γ = γ₀, δ = 0, что противоречит свойству 1 в [24, с. 64] (поскольку в силу леммы 2

все собственные значения этих задач являются простыми). Лемма доказана.

Замечание 1. Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказатель-

ствах лемм 2.6, 2.9 и 2.10 из [15], убеждаемся, что их утверждения справедливы также и

для функции y(x, λ).

Через s(λ), λ ∈ R, обозначим число нулей функции y(x, λ), содержащихся в интерва-

ле (0, l).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1169

В силу леммы 5, следствия 1, замечания 1 и теоремы 2 имеет место следующая осцилля-

ционная теорема для функции y(x, λ) при λ > 0.

Теорема 3. Если λ ∈ (μk-1, ν_k) при k ≥ 3, то k-2 ≤ s(λ) ≤ k-1, а если λ ∈ [ν_k, μ_k] при

k ≥ 3, то s(λ) = k - 1. Кроме того, если δ ∈ [π/2,δ₀(α,β,0)], то s(λ) = 0 при λ ∈ [0,μ₁],

0 ≤ s(λ) ≤ 1 при λ ∈ (μ₁,ν₂) и s(λ) = 1 при λ ∈ [ν₂,μ₂]; если δ ∈ [δ₀(α,β,0),δ₀(α,β,π/2)),

то 0 ≤ s(λ) ≤ 1 при λ ∈ [0,ν₂), s(λ) = 1 при λ ∈ [ν₂,μ₂]; а если δ ∈ [δ₀(α,β,π/2,π)), то

s(λ) = 1 при λ ∈ [0, μ₂].

В силу следствия 1 при изменении λ, λ < 0, функция y(x, λ) может приобрести но-

вый нуль, если она окажется внутри интервала (0, l) через краевую точку x = 0, причём

если функция y(x, λ) приобретает новый нуль при некоторомλ < 0, то y(0,λ) = y^′(0,λ) =

= y^′′(0, λ) = 0 при β = 0, y(0, λ) = Ty(0, λ) = 0 при β ∈ (0,π/2].

Лемма 6. Пусть λ^∗ < λ^∗∗ < 0 такие, что s(λ^∗) = s(λ^∗∗). Тогда в интервале (λ^∗, λ^∗∗)

содержится собственное значение спектральной задачи, порождённой уравнением (1) с гра-

ничными условиями y(0) = y^′(0) = y^′′(0) = 0 и (5) при β = 0; и уравнением (1) с граничными

условиями y(0) = T y(0) = 0 и (5) при β ∈ (0, π/2].

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 5 в [27].

Пусть ϵ > 0 - достаточно малое фиксированное число, λ < 0 и μ - вещественное соб-

ственное значение уравнения (1) с граничными условиями y(0) = y^′(0) = y^′′(0) = 0 и (5),

если β = 0, (2), y(0) = T y(0) = 0 и (5), если β ∈ (0, π/2]. Индексом осцилляции собствен-

ного значения μ называется разность между числом нулей, содержащихся в интервале (0, l),

функции y(x, λ) при λ ∈ (μ - ϵ, μ) и числом таких же нулей при λ ∈ (μ, μ + ϵ) (см. [28, c. 51]).

Из этого определения видно, что число нулей функции y(x, λ), содержащихся в интервале

(0, l), равно сумме индексов осцилляции всех собственных значений, принадлежащих интер-

валу (λ, 0), задачи (1), y(0) = y^′(0) = y^′′(0) = 0, (5), если β = 0; (1), (2), y(0) = T y(0) = 0,

(5), если β ∈ (0, π/2].

Имеет место следующая

Лемма 7. Существует число ς < 0 такое, что все вещественные собственные значения

ρ_k, k = 1,2,... , краевой задачи (1), y(0) = y^′(0) = y^′′(0) = 0, (5), если β = 0, (1), (2),

y(0) = T y(0) = 0, (5), если β ∈ (0, π/2], лежат на интервале (-∞, ς), являются просты-

ми, образуют неограниченно убывающую последовательность и имеют индекс осцилляции,

равный единице.

Доказательство этой леммы аналогично доказательству теоремы 4.1 в [28].

Пусть i(ρ_k) - индекс осцилляции собственного значения ρ_k, k ∈ N, задачи (1), y(0) =

= y^′(0) = y^′′(0) = 0, (5), если β = 0; (1), (2), y(0) = Ty(0) = 0, (5), если β ∈ (0,π/2]. Тогда из

сказанного выше следует, что число нулей, содержащихся в интервале (0, l), функции y(x, λ)

при λ < 0 определяется формулой

∑

s(λ) =

i(ρ_k).

(12)

ρ_k∈(λ,0)

4. Структуры корневых подпространств, расположение собственных значений

на вещественной оси (комплексной плоскости) и осцилляционные свойства соб-

ственных функций задачи (1)-(5). Введём следующее краевое условие:

ay^′(l) + cy^′′(l) = 0.

(13)

Заметим, что краевое условие (13) в случае a = 0 (c = 0) совпадает с условием (7) при

γ = π/2

(γ = 0). В случае ac = 0 собственные значения краевой задачи (1)-(3), (5), (13)

совпадают с корнями уравнения F (λ) = -a/c. В силу формулы (8) это уравнение имеет

только простые корни и, следовательно, собственные значения спектральной задачи (1)-(3),

(5), (13) являются простыми. На основании (8) и (9) уравнение F (λ) = -a/c для каждого

k ∈ N в интервале B_k имеет единственное решение τ_k такое, что

ν₁ < τ₁ < μ₁ < ν₂ < τ₂ < μ₂ < ...

(14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1170

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

при a/c > 0 и

τ₁ < ν₁ < μ₁ < τ₂ < ν₂ < μ₂ < ...

(15)

при a/c < 0.

В случае a = 0 (c = 0) определим число k_a (k_c) из неравенства

λka-1 ≤ -b/a < λka(λkc-1<-d/c≤λkc).

Замечание 2. Если ac = 0, то k_a ≤ k_c + 1 при ac > 0, k_a ≥ k_c при ac < 0.

Замечание 3. Очевидно, что μkc является собственным значением задачи (1)-(5) в случае

c = 0 и -d/c = μkc, а в случаях c = 0 и c = 0,

-d/c ∈ (μkc-1, μkc),всилулеммы4

собственные значения задачи (1)-(5) являются корнями уравнения

aλ + b

F (λ) = -

(16)

cλ + d

Теорема 4. Собственные значения задачи (1)-(5) являются вещественными простыми

и образуют неограниченно возрастающую последовательность {λ_k}∞k=1 такую, что λ_k >

> 0 при k ≥ 3 + sgn|c|. Кроме того, имеет место следующее расположение собственных

значений:

а) если c = 0, то

ν₁ < λ₁ < μ₁ < ν₂ < λ₂ < μ₂ < ... < μka-2 < νka-1≤λka-1^<μka-1^<λka^<νka^<

<μka <...<μk-1 <λ_k <ν_k <μ_k <...;

(17)

б) если a = 0, то

λ₁ < ν₁ < μ₁ < λ₂ < ν₂ < μ₂(0) < ... < μkc-1 < λkc^<νkc^<λkc+1≤νkc+1^<λkc+2^<

≤ μkc < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < λk < μk-1 < ... ;

(18)

в) если ac = 0, то

в₁) в случае ac > 0

ν₁ < λ₁ < τ₁ < μ₁ < ν₂ < λ₂ < τ₂ < μ₂ < ... < μkc-2 < νkc-1≤λkc-1^<τkc-1^<

< μkc-1 < λkc < νkc < τkc < λkc+1 ^≤μkc < νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... <

< μk-2 < νk-1 < τk-1 < λ_k < μk-1 < ... при k_a = k_c,

(19)

ν₁ < λ₁ < τ₁ < μ₁ < ν₂ < λ₂ < τ₂ < μ₂ < ... < μkc-1 < νkc≤λkc^<τkc^<λkc+1^≤

≤ μkc < νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < τk-1 ^<

< λ_k < μk-1 < ... при k_a = k_c + 1,

(20)

ν₁ < λ₁ < τ₁ < μ₁ < ν₂ < λ₂ < τ₂ < μ₂ < ... < μka-2 < νka-1≤λka-1^<τka-1^<

< μka-1 < λka < νka < τka < μka < ... < μkc-1 < λkc < νkc < τkc < λkc+1 ^≤μkc ^<

< νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < τk-1 < λk ^<

< μk-1 < ... при k_a < k_c,

(21)

в₂) в случае ac < 0

λ₁ < τ₁ < ν₁ < μ₁ < λ₂ < τ₂ < ν₂ < μ₂ < .. < μkc-1 < λkc^<τkc^<λkc+1^<νkc^<

< μkc < τkc+1 < λkc+2 < νkc+1 < μkc+1 < ... < μk-2 < τk-1 < λk < νk-1 ^<

< μk-1 < ... при k_a = k_c,

(22)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1171

λ₁ < τ₁ < ν₁ < μ₁ < λ₂ < τ₂ < ν₂ < μ₂ < .. < μkc-1 < λkc^<τkc^<νkc^≤

≤ λkc+1 ≤ μkc << τkc+1 < λkc+2 < νkc+1 < μkc+1 < ... < μk-2 < τk-1 < λk ^<

< νk-1 < μk-1 < ... при k_a = k_c + 1,

(23)

λ₁ < τ₁ < ν₁ < μ₁ < λ₂ < τ₂ < ν₂ < μ₂ < ... < μkc-1 < λkc^<τkc^<νkc^<

< λkc+1 ≤ μkc < τkc+1 < νkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μka-2 < τka-1 < νka-1 ^≤

≤ λka < μka-1 < τka < λka+1 < νka < μka < ... < μk-2 < τk-1 < λk ^<

< νk-1 < μk-1 < ... при k_a > k_c + 1.

(24)

Доказательство. Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказатель-

стве леммы 2.4 работы [15], можно показать, что собственные значения задачи (1)-(5) являются

вещественными и простыми.

Из леммы 2 следует, что функция F (λ) является строго убывающей на каждом интервале

B_k = (μk-1,μ_k), k ∈ N. Кроме того, для функции H(λ) = -(aλ + b)/(cλ + d) имеем H^′(λ) =

= σ/(cλ + d)², откуда следует, что эта функция при c = 0 строго возрастает на интервале

(-∞, +∞), а при c = 0 строго возрастает на интервалах (-∞, -d/c) и (-d/c, +∞), причём

lim

H(λ) = +∞,

lim H(λ) = -∞.

(25)

λ→-d/c-0

λ→-d/c+0

Так как y^′(l, μ_k) = 0 для каждого k ∈ N, в силу лемм 2 и 3 (см. формулы (8) и(9)) имеем

lim

F (λ) = +∞, lim F (λ) = -∞.

λ→μk-1+0

λ→μ_k -0

Следовательно, в случае c = 0, либо c = 0, и -d/c ∈ (μk-1, μ_k) уравнение

F (λ) = H(λ)

(26)

в интервале (μk-1, μ_k) имеет единственное решение λ =λk и, следовательно, в силу заме-

чания 3λk является собственным значением задачи (1)-(5). Очевидно, что если c = 0, либо

c = 0,

-d/c = μkc и k ≤ k_c, тоλk является k-м

-d/c ∈ (μkc-1, μkc)иk<kc,либоc=0,

собственным значением спектральной задачи (1)-(5), т.е.

λ_k = λ_k. Кроме того, если c = 0,

−d/c = μkc , то μkc = λkc+1 и^λk = λk+1 при k > kc.

Заметим, что в случае c = 0 и -d/c ∈ (μkc-1, μkc^{)уравнение(26)((16))вкаждомиз}

интервалов (λkc-1, -d/c) и (-d/c, λkc)имеетединственноерешение:λkc = λkc иλkc = λkc+1

соответственно. В этом случае имеет место также соотношениеλk = λk+1 при k > k_c.

Покажем, что λ_k > 0 при k ≥ 3 + sgn |c|. Действительно, если ac < 0, δ > δ₀(α, β, 0) (при

этом ν₁ < μ₁ < 0 < ν₂), k_a = 1 и k_c = 1, то из изложенного выше следует, что λ₁, λ₂ ∈

∈ (-∞, μ₁], λ_k ∈ (μk-2, μk-1) при k ≥ 3. Следовательно, λ₁ < 0, λ₂ < 0 и λ_k > 0 при k ≥ 4.

Кроме того, λ₃ ∈ (μ₁, 0), либо λ₃ = 0, либо λ₃ ∈ (0, ν₂), так как H(λ) > 0 и G(λ) > 0 при

λ ∈ (μ₁,ν₂). Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом.

Теперь покажем, что выполняются соотношения (17)-(24). Рассмотрим случай ac < 0 (т.е.

случай в₂) при k_a = k_c = 1. Так как lim H(λ) = -a/c, функция H(λ) возрастает на

λ→±∞

каждом из интервалов (-∞, -d/c),

(-d/c, +∞) и выполняются равенства (25), то имеют

место соотношения H(λ) > -a/c при λ < -d/c и H(λ) < -a/c при λ > -d/c. Так как k_a =

= 1, то имеем -b/a < ν₁ и, следовательно, H(λ) > 0 при λ > ν₁. Кроме того, F (λ) > -a/c

при λ ∈ (μk-1, τ_k), F (λ) < -a/c при λ ∈ (τ_k, μ_k) и F (λ) > 0 при λ ∈ (μk-1, ν_k), F (λ) < 0

при λ ∈ (ν_k, μ_k), k ∈ N. Тогда в силу (10), (14) и (15) из изложенного выше следует, что

λ₁ < τ₁ < λ₂ < ν₁ < μ₁ < τ₂ < λ₃ < ν₂ < μ₂ < τ₃ < λ₄ < ν₃ < μ₃ < ...

Остальные случаи рассматриваются совершенно аналогично. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1172

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

Следствие 2. Пусть k₁ = max{k_a, k_c} + 2. Тогда при k > k₁ справедливы следующие

соотношения:

μk-1 < λ_k < ν_k < μ_k, если c = 0,

(27)

μk-2 < τk-1 = νk-1 < λ_k < μk-1, если a = 0,

(28)

μk-2 < νk-1 < τk-1 < λ_k < μk-1, если ac > 0,

(29)

μk-2 < τk-1 < λ_k < νk-1 < μk-1, если ac < 0.

(30)

Имеет место следующая осцилляционная теорема для задачи (1)-(5).

Теорема 5. Собственная функция y_k(x), k ∈ N, соответствующая собственному зна-

чению λ_k, обладает следующими осцилляционными свойствами:

а) если c = 0, то функция y_k(x) (k ≥ 1 при δ ≤ δ₀(α, β, π/2) и k_a ≥ 2; k ≥ 2 при

δ ≤ δ₀(α,β,π/2) и k_a = 1, при δ₀(α,β,π/2) < δ ≤ δ₀(α,β,0), и при δ > δ₀(α,β,0) и k_a ≥ 3;

k ≥ 3 при δ > δ₀(α,β,0) и k_a ≤ 2) имеет в точности k - 1 простых нулей при k < k_a,

имеет либо k - 2, либо k - 1 простых нулей при k ≥ k_a; функция y₁(x) при δ < δ₀(α,β,0)_∑

либо не имеет

∑

либо имеет s(λ₂) =ρk∈(λ₂,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либоимеетодин

простой нуль в интервале (0,l);

б) если a = 0, то функция y_k(x) (при k ≥ 2 в случаях δ < δ₀(α,β,0) и δ = δ₀(α,β,0),

k_c ≥ 2, при k ≥ 3 в случаях δ = δ₀(α,β,0), k_c = 1 и δ > δ₀(α,β,0)) имеет либо k - 2, либо

k-1 простых нулей при k ≤ k_c, имеет в точности k-2 простых нулей при k > k_c; в случае_∑

δ < δ₀(α,β,0) функция y₁(x) либо имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)∑ростыхнулей,либоне

имеет нулей, в случае δ ≥ δ₀(α,β,0) функция y₁(x) имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)∑(ρk)простых

нулей; в случае δ = δ₀(α, β, 0) и k_c = 1 функция y₂(x) либо имеет s(λ₂) =ρk ∈(λ₂,0)i(ρk⁾

простых нулей, либо не имеет нулей, а в случае δ > δ₀(α,β,0) функция y₂(x) либо имеет_∑

s(λ₂) =ρk ∈(λ₂,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либоимеетодинпростойнуль

в интервале (0,l);

в) если ac = 0, то:

в₁) при ac > 0 функция y_k(x) (при k ≥ 2 в случаях δ < δ₀(α,β,0); δ = δ₀(α,β,0) и

k_c ≥ 2; δ > δ₀(α,β,0), k_c ≥ 2 и k_a ≥ 3; при k ≥ 3 в случаях δ ≥ δ₀(α,β,0), k_c = 1;

δ > δ₀(α,β,0), k_c ≥ 2 и k_a ≤ 2) имеет в точности k-1 простых нулей при k < k_a, имеет

либо k - 2, либо k - 1 простых нулей при k_a ≤ k ≤ k_c, имеет в точности k - 2 простых_∑

нулей при k > k_c; в случае δ < δ₀(α,β,0) функция y₁(x) либо имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk⁾

простых нулей, либо не имеет нулей, в случае δ ≥ δ₀(α,β,0) функция y₁(x) имеет s(λ₁) =_∑

∑

s(λ₁) =ρk ∈(λ₁,0)i(ρk)просты∑нулей,либонеимеетнулей,вслучаеδ>δ0(α,β,0),kc⁼¹

функция y₂(x) имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)∑ростыхнулей,вслучаеδ>δ0(α,β,0),kc⁼²

и k_a ≤ 2 функция y₂(x) либо имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0) i(ρk)простых нулей, либо не имеет

нулей, либо имеет один простой нуль в интервале (0,l);

в₂) при ac < 0 функция y_k(x) (k ≥ 2 при δ < δ₀(α,β,0) в случаях k_c = 1, k_a ≥ 2 и

k_c ≥ 2, при δ = δ₀(α,β,0) в случае k_c ≥ 2; k ≥ 3 при δ < δ₀(α,β,0) в случае k_c = k_a = 1,

при δ = δ₀(α,β,0) в случае k_c = 1 и при δ > δ₀(α,β,0) в случаях k_c ≤ 2, k_a ≥ 3 и k_c ≥ 3;

k ≥ 4 при δ > δ₀(α,β,0) в случае k_c ≤ k_a ≤ 2) при k ≤ k_c имеет либо k - 2, либо k - 1

простых нулей, при k > k_a имеет либо k-3, либо k-2 простых нулей, при k_c < k ≤ k_a (в

случае k_c < k_a) имеет в точности k - 2 простых нулей; функция y₁(x) при δ < δ₀(α, β, 0)_∑

имеет либо s(λ₁∑ =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,априδ≥δ0(α,β,0)

имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)простыхнулей;функцияy2(x)пр

∑

k_c = k_a = 1 и при δ = δ₀(α,β,0) в случае k_c = 1 имеет либо s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)∑(ρk)простых

нулей, либо не имеет нулей, при δ > δ₀(α,β,0) в случае ∑_c = 1 имеет s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk⁾

простых нулей, в случае k_c ≥ 2 имеет либо s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)простыхнулей,либо

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1173

не имеет нулей, либо имеет один простой нуль, функция y₃(x) при δ > δ₀(α,β,0) в случае_∑

k_c ≤ k_a ≤ 2 имеет либо s(λ₁) =ρk∈(λ₁,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либо

имеет один простой нуль в интервале (0,l).

Доказательство. Рассмотрим случай а), т.е. пусть c = 0. В силу (17) имеем

λ_k ∈ (ν_k,μ_k) при k < k_a, λ_k ∈ (μk-1,ν_k) при k ≥ k_a.

(31)

Тогда из теоремы 4 следует, что λ_k > 0 при k ≥ 3.

Если δ ≤ δ₀(α, β, π/2), то в силу теоремы 2 и соотношения (10) имеем 0 ≤ ν₁ < μ₁. Тогда

из (31) следует, что λ₁ ≥ 0 при k_a ≥ 2; λ₁ < 0 при k_a = 1 и -b/d > F (0); λ₁ = 0 при

k_a = 1 и -b/d = F(0) и λ₁ > 0 при k_a = 1 и -b/d < F(0).

Пусть δ₀(α, β, π/2) < δ ≤ δ₀(α, β, 0). Из теоремы 2 следует, что ν₁ < 0 ≤ μ₁. Тогда из (31)

получаем, что λ₂ > 0. При этом λ₁ < 0 при δ = δ₀(α, β, 0) и при δ₀(α, β, π/2) < δ < δ₀(α, β, 0)

в случаях k_a = 1 и k_a ≥ 2, -b/d > F (0); λ1 = 0 при δ0(α, β, π/2) < δ < δ0(α, β, 0), ka ≥ 2 и

−b/d = F (0); λ₁ > 0 при δ₀(α, β, π/2) < δ < δ₀(α, β, 0), k_a ≥ 2 и -b/d < F (0).

Если δ > δ₀(α, β, 0), то на основании теоремы 2 имеем ν₁ < μ₁ < 0 < ν₂. Тогда из (31)

следует, что λ₁ < 0 и λ₃ > 0, причём λ₂ < 0 при k_a ≤ 2 и -b/d > F (0); λ₂ = 0 при k_a ≤ 2

и -b/d = F(0); λ₂ ∈ (0,ν₂) при k_a ≤ 2 и -b/d < F(0), λ₂ ∈ [ν₂,μ₂) при k_a ≥ 3.

Теперь утверждение теоремы в случае п. а) следует из теоремы 3 и формулы (12) на ос-

новании приведённых выше рассуждений. Остальные утверждения теоремы доказываются

аналогичным образом. Доказательство теоремы завершено.

5. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функ-

ций краевых задач (1)-(3), (5), (13) при q(x) ≡ 0 и (1)-(5).

Теорема 6. Пусть q(x) ≡ 0 в уравнении (1). Тогда справедливы следующие асимптоти-

ческие формулы для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(3), (5), (13):

(

1 + 3sgnβ

⁾π

√τ

k = k-

+ O(k-2)x, если α = 0, c = 0,

(32)

(

2 + 3sgnβ

⁾π

(1 + sgn β) ctg α

√τ

k = k-

+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,

(33)

2kπ

(

2 + 3sgnβ

⁾π

a/c

√τ

k = k-

+ O(k-2), если α = 0, c = 0,

(34)

kπ

(

3(1 + sgn β)

⁾π

2a/c + (1 + sgn β) ctg α

√τ

k = k-

2kπ

+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,

(35)

√

1 + sgnβ

v_k(x) =

{(1 - sgn β) sin(⁴

√τ_kx) +

+ (1 - sgn β)e^-4

√τ_kx + O(k-2)}, если α = 0, c = 0,

(36)

√

{

2 - sgnβ

v_k(x) =

sin(⁴

√τ_kx +

ctg α

+ sgn β

√τ_kx) - (1 + sgn β)c√α

cos(⁴

√τ_kx) + (1 + sgnβ)c√αe-4

√τ_kx +

(2 - sgn β)⁴

√τ_k sin( 4

2⁴

τ_k

2⁴

τ_k

}

+ O(k-2) ,

если α ∈ (0, π/2], c = 0,

(37)

√

{

1 + sgnβ

v_k(x) =

(1 - sgn β) sin(⁴

√τ_kx +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1174

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

)sgn β

(√2

(√2)sgnβ a/c

√τ_k (x-l)+(-1)k+1

√τ_k (x-l)₊

+ (-1)k+1

e⁴

ρ_k

}

+ O(k-2) ,

если α = 0, c = 0,

(38)

√

{

2 - sgnβ

v_k(x) =

sin(⁴

√τ_kx +

)1-sgnβ

( √2

ctg α

√τ_k (x-l)-sgnβctgα

+ (-1)k+1-sgnβ

e⁴

sin(⁴

√τ_kx) -

cos(⁴

√τ_kx) +

ρ_k

(2 - sgn β)ρ_k

ctg α

(√2)1-sgnβ a/c

√τ_k(x-l)₊

e-4

√τ_kx + (-1)k+sgnβ

e⁴

(2 - sgn β)ρ_k

ρ_k

}

+ O(k-2) ,

если α ∈ (0, π/2], c = 0,

(39)

причём соотношения (36)-(39) выполняются равномерно по x ∈ [0,l].

Доказательство. Из теоремы 2 следует, что τ_k > 0 при k ≥ 2.

В уравнении (1) положим q ≡ 0 и λ = ρ⁴, ρ > 0. Очевидно, что это уравнение имеет

четыре линейно независимых решения

ϕj (x, ρ) = eρωj x, j = 1, 4,

(40)

где ω₁ = -1, ω₂ = -i, ω₃ = i, ω₄ = 1.

В силу (40) имеем

U₁(λ,ϕ_j) ≡ ϕ^′j(0,ρ) = ρω_j, если α = 0,

(41)

(

)

ctg α

U₁(λ,ϕ_j) ≡ ϕ^′j(0,ρ)cos α - ϕ^′′j(0,ρ)sin α = -ρ²ω2j sin α 1-

если α ∈ (0, π/2],

(42)

ρω_j

U₂(λ,ϕ_j) ≡ ϕ_j(0,ρ) = 1, если β = 0,

(43)

U₂(λ,ϕ_j) ≡ ϕ_j(0,ρ)cos β + Tϕ_j(0,ρ)sin β = ρ³ω3j sin β(1 + O(ρ-2)), если β ∈ (0,π/2],

(44)

U¹³(λ,ϕ_j) ≡ ϕ^′j(l,ρ) = ρω_jeρωjl, если c = 0,

(45)

(

)

a/c

U¹³(λ,ϕ_j) ≡ aϕ^′j(l,ρ) + cϕ^′′j(l,ρ) = cρ²ω2jeρωjl 1+

если c = 0,

(46)

ρω_j

U₄(λ,ϕ_j) ≡ ϕ_j(l,ρ)cos δ - Tϕ_j(l,ρ)sin δ = -ρ³ω3jeρωjl sin δ(1 + O(ρ-2)).

(47)

Очевидно, что λ = ρ⁴ является собственным значением задачи (1)-(3), (5), (13), если ρ

является нулём характеристического определителя



U1(λ,ϕ1) U1(λ,ϕ2) U1(λ,ϕ3) U1(λ,ϕ4)



U₂(λ,ϕ₁) U₂(λ,ϕ₂) U₂(λ,ϕ₃) U₂(λ,ϕ₄)



Δ₀(λ) =



(48)

U13(λ,ϕ1) U13(λ,ϕ2) U13(λ,ϕ3) U13(λ,ϕ4)



^U₄(λ,ϕ₁) U₄(λ,ϕ₂) U₄(λ,ϕ₃) U₄(λ,ϕ₄)

Пусть α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) в граничных условиях (2), (3), (5), (13).

Тогда в силу (41)-(47) из (48) имеем

Δ₀(λ) = cρ⁷ sinα sin δ ×

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1175

⎧

(

)

(

)



⎫



ctg α



⎪



- 1+

- 1-



⎪

⎪

iρ



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)

(

)

(

)

+ O(ρ-2)



a/c



^×⎪⎪

⎪

⎪e-ρl

-e^-iρl

-e^iρl

e^ρl



⎪



⎪

iρ

⎪



⎩

⎭



-e^-ρl

ie^-iρl

-ie^iρl

e^ρl

= -2cϱ⁷e^ρl sin αsin δ ×

{

(

)

(

)

}

2a/c + ctg α

(1 - i)

(1 + i) e^iρl - (1 + i) 1-

(1 - i) e^-iρl + O(ρ-2)

2iρ

Отсюда следует, что нули определителя Δ(λ) являются корнями уравнения

4a/c + 2ctg α

e2iρl = i -

+ O(ρ-2).

(49)

2ρ

Учитывая замечание 1, из теоремы 3.1 работы [14] получим асимптотическую формулу

(

⁾π

ρ_k =⁴

√τ_k = k -³

+ϵ_k,

(50)

где ϵ_k = O(k-1) при k → ∞. Согласно (50) из (49) находим

4a/c + 2ctg α

e2iρkl = ie2iϵkl = i -

+ O(k-2),

2kπ/l

откуда получаем

4a/c + 2ctg α

ϵ_k =

+ O(k-2).

(51)

4kπ

Асимптотическое равенство (35) при β = 0 следует из соотношений (50) и (51).

Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (41)-(47).

В силу (35) при β = 0 имеем

(

)

(

)

ctg α

eiρkl = -i(-1)k 1-

+ O(k-2) ,

e-iρkl = i(-1)k 1+

+ O(k-2)

(52)

2iρ_k

Собственная функция v_k(x) = v(x, τ_k) задачи (1)-(3), (5), (13) при q(x) ≡ 0, соответству-

ющая собственному значению τ_k = ρ4k, может быть представлена в виде



ϕ1(x,ρk) ϕ2(x,ρk) ϕ3(x,ρk) ϕ4(x,ρk)



U₂(λ,ϕ₁) U₂(λ,ϕ₂) U₂(λ,ϕ₃) U₂(λ,ϕ₄)



v_k(x) = Cρk



,

(53)

U13(λ,ϕ1) U13(λ,ϕ2) U13(λ,ϕ3) U13(λ,ϕ4)



^U₄(λ,ψ₁) U₄(λ,ψ₂) U₄(λ,ψ₃) U₄(λ,ψ₄)

где Cρk = 0 - некоторая постоянная, зависящая от ρ_k.

В случае α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) на основании формулы (35) при β = 0 и

равенств (43), (46), (47), (52) из (53) получим

v_k(x) = v(x,ρ_k) = -cρ5k sin δC_ρ

⎧



⎫



e-ρkx

e-iρkx

eiρkx

eρkx



⎪



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)

(

)

(

)



+ O(ρ-2k)

^×⎪⎪



⎪

-e-ρkl

-ie-iρkl

ieiρk l

eρkl

⎪



⎪

cρ_k

iρ_k

icρ_k

cρ_k

⎩



⎭



e-ρkl

ie-iρk l

-ieiρk

eρkl

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1176

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

= -cρ5keρkl sin δ ×

⎧



⎫



⎪

e-ρkx

e-iρkx

eiρkx

eρk(x-l)

⎪



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)



×Cρk



+ O(ρ-2k)

⎪

-ie-iρkl

ieiρk l



⎪



⎪

icρ_k

cρ_k

⎪



⎩

⎭



e-iρkl - ieiρk

√

= 2i

2(-1)k+1cρ5keρkl sin δ ×

{

√

}

ctg α

× Cρk sinρ_k + (-1)k+1

eρk(x-l) +

sin ρ_kx -

cos ρ_kx +

e-ρkx + O(ρ-2k)

cρ_k

2ρ_k

Выберем постоянную Cρk следующим образом:

(

)

-5

i(-1)^ke-ρk lρ

a/c

Cρk =

√

2lc sin δ

ρ_k

Тогда из последнего соотношения получим асимптотическую формулу (39) при β = 0.

Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (32)-(35) и (41)-

(47). Теорема доказана.

В силу (32)-(35) из (36)-(39) непосредственными вычислениями получим

∥v_k∥²² = 1 + O(k-2),

где ∥ · ∥₂ - норма в пространстве L₂(0, l).

Замечание 4. Обозначим через Ψ_k(x), k ∈ N, нормированную собственную функцию

задачи (1)-(3), (5), (13) при q ≡ 0, соответствующую собственному значению τ_k, т.е. Ψ_k(x) =

v_k(x)

. Тогда для Ψ_k(x) имеют место асимптотические формулы (36)-(39).

∥v_k∥₂

Функцию q₀(x), x ∈ [0, l], и число q₀ определим следующим образом:

∫x

∫

q₀(x) = q(t)dt,q₀ = q(t)dt.

Теорема 7. Для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(5) справед-

ливы следующие асимптотические формулы:

(

√

5 + 3sgnβ

⁾π

q₀

λ_k = k -

+ O(k-2), если α = 0, c = 0,

(54)

4kπ

(

√

6 + 3sgnβ

⁾π

q₀ + 2(1 + sgn β)ctg α

λ_k = k -

+O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0, (55)

4kπ

(

√

6 + 3sgnβ

⁾π

q₀ + 4a/c

λ_k = k -

+ O(k-2), если α = 0, c = 0,

(56)

4kπ

(

√

7 + 3sgnβ

⁾π

q₀ + 4a/c + 2(1 + sgn β)ctg α

λ_k = k -

4kπ

+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,

(57)

√

{

1 + sgnβ

√

√λ_k x₊

y_k(x) =

(1 - sgn β) sin(⁴

λ_kx) + (-1)sgnβ cos(⁴

λ_kx) + (1 - sgn β)e-4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1177

(1 - sgn β)q₀ - q₀(x)

√

q₀ + (1 - sgn β)q₀(x)

√

+ (-1)sgnβ

sin(⁴

λ_kx) - (-1)sgnβ

cos(⁴

λ_kx) +

4ϱ_k

}

√

q₀ - q₀(x)

+ (1 - sgn β)

e⁴

λ_kx + O(k-2) ,

если α = 0, c = 0,

(58)

4ϱ_k

√

{

√

2 - sgnβ

y_k(x) =

sin(⁴

λ_kx) - sgn β cos(⁴

λ_kx) - sgn βe-4

√λ_kx -

q₀(x) + 4ctg α

√

q₀(x) + 2(1 + sgn β)ctg α

√

− sgn β

sin(⁴

λ_kx) -

cos(⁴

λ_kx) +

4ρ_k

}

√

sgn βq₀(x) + 2(1 + sgn β) ctg α

e-4

λ_kx + O(k-2) ,

если α ∈ (0, π/2], c = 0,

(59)

4ρ_k

√

{

√

1 + sgnβ

√λ_k x₊

y_k(x) =

(1 - sgn β) sin(⁴

λ_kx) - (-1)sgnβ cos(⁴

λ_kx) + (1 - sgn β)e-4

)sgn β

(√2

√

+ (-1)k+sgnβ

e⁴

λ_kx) -

4ϱ_k

√

q₀ + 4a/c + (1 - sgn β)q₀(x)

q₀ + 4a/c - q₀(x)

− (-1)sgnβ

cos(⁴

λ_kx) + (1 - sgn β)

e-4

√λ_kx +

4ϱ_k

}

(√2)sgnβ q₀(x)

√λ_k(x-l)+O(k-2₎

+ (-1)k+sgnβ

e⁴

если α = 0, c = 0,

(60)

4ϱ_k

√

{

√

2 - sgnβ

y_k(x) =

sin(⁴

λ_kx) - sgn β cos(⁴

λ_kx) - sgn βe-4

√λ_kx +

)sgn β

√

(√2

+ (-1)k+sgnβ

e⁴

λ_kx) -

4ϱ_k

√

q₀(x) + 2(1 + sgn β)ctg α

sgn βq₀(x) + 4 ctg α

−

cos(⁴

λ_kx) +

e-4

√λ_kx +

4ϱ_k

}

q₀(x) - q₀ + 4a/c

√λ_k(x-l)+O(k-2₎

+ (-1)k+sgnβ

e⁴

если α ∈ (0, π/2], c = 0,

(61)

4ϱ_k

причём соотношения (58)-(61) выполняются равномерно по x ∈ [0,l].

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что λ_k > 0 при k ≥ 2. Поэтому в уравнении (1)

положим λ = ϱ⁴, где ϱ > 0. Известно (см. [26, с. 63-64]), что уравнение (1) во всякой области

T комплексной ϱ-плоскости имеет четыре линейно независимых решения ψ_j (x, ϱ), j = 1, 4,

регулярных относительно ϱ (при достаточно большом ϱ), удовлетворяющих соотношениям

{

}

q₀(x)

ψ(s)j(x,ϱ) = (ϱω_j)^seϱωjx 1+

+ O(ϱ-2) ,

j = 1,4, s = 0,3,

(62)

4ϱω_j

где ω₁ = -ω₄ = -1, ω₂ = -ω₃ = -i.

В силу (62) имеем

U₁(λ,ψ_j) = ψ^′j(0,ϱ) = ϱω_j(1 + O(ϱ-2)), если α = 0,

(63)

U₁(λ,ψ_j) = ψ^′j(0,ϱ)cos α - ψ^′′j(0,ϱ)sin α =

(

)

ctg α

= -ϱ²ω2j sin α 1-

+ O(ϱ-2) ,

если α ∈ (0, π/2],

(64)

ϱω_j

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1178

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

U₂(λ,ψ_j) = ψ_j(0,ρ) = 1 + O(ρ-2), если β = 0,

(65)

U₂(λ,ψ_j) = ψ_j(0,ρ)cos β + Tψ_j(0,ρ)sin β = ϱ³ sin βω3j(1 + O(ρ-2)), если β ∈ (0,π/2],

(66)

(

)

q₀

U₃(λ,ψ_j) = (aλ + b)ψ^′j(l,ϱ) + dψ^′′j(l,ϱ) = aϱ⁵ω_jeϱωjl 1+

+ O(ρ-2) ,

если c = 0,

(67)

4ϱω_j

U₃(λ,ψ_j) = (aλ + b)ψ^′j(l,ϱ) + (cλ + d)ψ^′′j(l,ϱ) =

(

)

q₀ + 4a/c

= cϱ⁶ω2jeϱωj l 1+

+ O(ρ-2) ,

если c = 0,

(68)

4ϱω_j

U₄(λ,ψ_j) ≡ ψ_j(l,ϱ)cos δ - Tψ_j(l,ϱ)sin δ =

(

)

q₀

= -ρ³ω3jeϱωjl sinδ 1+

+ O(ρ-2) ,

если δ ∈ [π/2, π).

(69)

4ϱω_j

Пусть λ = ϱ⁴ - собственное значение краевой задачи (1)-(5). Тогда ϱ является корнем

характеристического определителя



U1(λ,ψ1) U1(λ,ψ2) U1(λ,ψ3) U1(λ,ψ4)



U₂(λ,ψ₁) U₂(λ,ψ₂) U₂(λ,ψ₃) U₂(λ,ψ₄)



Δ(λ) =



(70)

U3(λ,ψ1) U3(λ,ψ2) U3(λ,ψ3) U3(λ,ψ4)



^U₄(λ, ψ₁) U₄(λ, ψ₂) U₄(λ, ψ₃) U₄(λ, ψ₄)

Если α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) в граничных условиях (2)-(5), то в силу

соотношений (64), (65), (68) и (69) из (70) находим

Δ(λ) = cϱ¹¹ sin α sin δ ×

⎧

(

)

(

)



⎫



ctg α



⎪

⎪

- 1+

- 1-



⎪

⎪

iϱ



⎪



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)

(

)

(

)



q₀+4a/c

+ O(ϱ-2)

⎪e-ρl 1-

-e-iϱl 1-

-eiρl 1+

eϱl 1+



⎪

⎪

4ϱ

4iϱ

4ϱ



⎪

⎪

(

)

(

)

(

)

(

)



⎪

⎪



⎪

q₀

⎩



⎭

-e^-ϱl

ie^-iϱl

-ie^iϱl

e^ϱl



4ϱ

4iϱ

4ϱ

(

)(

)

q₀ + 4a/c

= cϱ¹¹e^ϱl sin α sin δ 1+

4ϱ

⎧

(

)

(

)



⎫



ctg α



⎪

1+

- 1-



⎪



⎪

iϱ

⎪



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)



q₀ + 4a/c



+ O(ϱ-2)

= -2cϱ¹¹e^ϱl ×

^×⎪⎪

-e^-iϱl

-e^iρl



⎪

⎪

4iϱ



⎪

⎪

(

)

(

)



⎪

⎪



⎪

q₀

⎩



⎭

ie^-iϱl

-ie^iϱl



4iϱ

(

)(

)

{

(

)

q₀ + 4a/c

(1 - i)q₀ + 4a/c + 2(1 + i)ctg α

× 1+

sin α sin δ

(1 - i)

e^iϱl -

4ρ

4ϱ

4iϱ

(

)

}

(1 + i)q₀ + 4a/c + 2(1 - i)ctg α

- (1 + i)

e^-iϱl + O(ϱ-2)

4iϱ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1179

Из последнего равенства следует, что нули определителя Δ(λ) являются корнями уравнения

(

)

q₀ + 4a/c + 2ctg α

e2iϱl = i 1-

+ O(ϱ-2)

(71)

2iϱ

Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказательств√теоремы 2 в

[26, гл. 2, c. 77-79], убеждаемся, что из уравнения e2iρl = i + O(ρ-1) для ϱ_k =⁴

λ_k вытекает

асимптотическая формула

(

⁾π

ϱk+m0 = k +

+ε_k,

(72)

где m₀ - некоторое фиксированное целое число, ε_k = O(k-1) при k → ∞. В силу теоремы 3.1

работы [2] для собственных значений задачи (1)-(3), (5), (7) при α ∈ (0, π/2], β = 0, γ = 0 и

δ ∈ [π/2,π) имеет место асимптотическая формула

(

⁾π

√μ

k = k-

+ O(k-1).

(73)

На основании (27)-(30) и (73) из (72) получаем, что m₀ = 2 и, следовательно, справедливо

асимптотическое равенство

(

⁾π

ϱ_k = k -

+ε_k,

(74)

согласно которому из уравнения (71) находим

(

)

q₀ + 4a/c + 2ctg α

e2iϱkl = ie2iϵkl = i(1 + 2iϵ_kl + O(ϵ2k)) = i 1-

+ O(ϱ-2k)

2iϱ_k

(

)

q₀ + 4a/c + 2ctg α

+ O(k-2)

2ikπ/l

Отсюда получаем, что

q₀ + 4a/c + 2ctg α

ϵ_k =

+ O(ϱ-2k) =

+ O(k-2).

(75)

4ϱ_kl

4kπ

Асимптотическая формула (57) при β = 0 следует из соотношений (74) и (75).

Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом с учётом равенств (63)-(69). В

силу формулы (57) при β = 0 имеем

√

(

)

q₀ + 4a/c + 2ctg α

eiϱkl = (-1)^k

(1 + i)

+ O(k-2) ,

(76)

4ikπ

√

(

)

q₀ + 4a/c + 2ctg α

e-iϱkl = (-1)^k

(1 - i)

+ O(k-2)

(77)

4ikπ

Собственную функцию y(x, λ_k) задачи (1)-(5), соответствующую собственному значению

λ_k = ϱ4k, можем представить в виде



ψ1(x,ϱk) ψ2(x,ϱk) ψ3(x,ϱk) ψ4(x,ϱk)



U₂(λ,ψ₁) U₂(λ,ψ₂) U₂(λ,ψ₃) U₂(λ,ψ₄)



y(x, λ_k) = Dϱk



,

(78)

U3(λ,ψ1) U3(λ,ψ2) U3(λ,ψ3) U3(λ,ψ4)



^U₄(λ, ψ₁) U₄(λ, ψ₂) U₄(λ, ψ₃) U₄(λ, ψ₄)

где Dϱk = 0 - некоторая постоянная, зависящая от ϱ_k.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1180

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

В случае α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) на основании (57) при β = 0, (65), (68),

(69), (76) и (77) из (78) получим

y(x, λ_k) = -cϱ9keϱk D_ϱ

⎧

(

)

(

)

(

)

(

)

⎫



q₀(x)



⎪



e-ϱkx 1-

e-iϱkx 1-

eiϱkx 1+

eϱk(x-l)



⎪

⎪

4kπ

4ikπ

4kπ



⎪



⎪



⎨

⎬



(

)

(

)



q₀+4a/c

q₀ + 4a/c

+ O(ϱ-2k)

^×⎪⎪

-e-iϱkl 1-

-eiϱkl 1+



⎪

⎪

4iϱ_k

4ϱ_k



⎪

⎪

(

)

(

)



⎪

⎪



⎪

q₀

⎩



⎭



ie-iϱk l

-ie-iϱkl



4iϱ_k

4ϱ_k

{

√

q₀ + 4a/c

2(-1)^kicϱ9keϱk lD_ϱ

sin(ϱ_kx) + (-1)^k

eϱk(x-l) +

sin(ϱ_kx) -

4ϱ_k

√

}

q₀(x) + 2ctg α

ctg α

2 q₀(x)

q₀(x)

cos(ϱ_kx) +

e-ϱkx + (-1)^k

eϱk(x-l)

+ O(ϱ-2k)

4ϱ_k

2ϱ_k

4ϱ_k

Постоянную Dϱk выберем следующим образом:

(

)

-9

(-1)k+1iϱ

e-ϱkl

q₀ + 4a/c

Dϱk =

√

4ρ_k

Тогда из последней формулы получим равенство (61) при β = 0.

Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (54)-(57) и (62)-

(69). Теорема доказана.

6. О базисности в L_p(0,1), 1 < p < ∞, подсистем собственных функций краевой

задачи (1)-(5). Введём обозначение

δ_k = ∥y_k∥2H = (y_k, y_k)_H = ∥y_k∥2L

+σ-1m2k.

(79)

Поскольку σ > 0 и m_k = 0 (см. лемма 4), из (79) имеем

δ_k > 0, k ∈ N.

Замечание 5. В силу теоремы 1 система {ϑk}∞k=1,

ϑk = δk-1/2yk, собственных векторов

оператора L образует ортонормальный базис в пространстве H.

Замечание 6. Пусть {υ_k}∞k=1, υ_k ={υ_k(x), s_k}, - система, сопряжённая к системе {y_k}∞k=1.

Тогда каждый элемент υ_k, k ∈ N, этой системы определяется следующим соотношением:

υk = δk1 yk.

(80)

Теорема 8. Пусть r - произвольное фиксированное натуральное число. Тогда система

{y_k(x)}∞k=1,k=r собственных функций задачи (1)-(5) образует базис в пространстве L_p(0, l),

1 < p < ∞, который при p = 2 является базисом Рисса. Кроме того, система {u_k(x)}∞k=1, k=r,

сопряжённая к системе {y_k(x)}∞k=1,k=r, определяется равенством

u_k(x) = υ_k(x) - s_ks-1rυ_r(x) = δ-1k{y_k(x) - m_km-1ry_r(x)}, k ∈ N, k = r.

(81)

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 6.2 в [16].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1181

7. Равномерная сходимость разложений по системе собственных функций за-

дачи (1)-(5). Пусть r - произвольное фиксированное натуральное число. В силу теоремы 8

разложение в ряд Фурье

∑

f (x) =

(f, u_k)y_k(x)

(82)

k=1

k=r

любой функции f(x) ∈ C[0, l] по системе {y_k(x)}∞k=1,k=r собственных функций спектральной

задачи (1)-(5) сходится в L_p(0, l), 1 < p < ∞, причём в L₂(0, l) этот ряд сходится безусловно.

Теорема 9. Пусть r - произвольное фиксированное натуральные число, f(x) - непрерыв-

ная на отрезке [0, l] функция, которая имеет равномерно сходящийся ряд Фурье по системе

функций {Ψ_k(x)}∞k=1 на отрезке [0, l]. Тогда ряд (82) сходится равномерно на отрезке [0, l].

Доказательство. Пусть α ∈ (0, π/2], β = 0 и c = 0 в граничных условиях (2)-(4) и

(13). В силу замечания 4 из (35) и (39) следует, что для собственных значений и собствен-

ных функций задачи (1)-(3), (5), (13) при q ≡ 0 справедливы следующие асимптотические

формулы:

(

⁾π

2a/c + ctg α

⁾π

2a/c + ctg α

√τ

k = k-

+ O(k-2) = k -

+ O(k-2),

(83)

2ρ_kl

2kπ

√

{

√

ctg α

Ψ_k(x) =

sin ρ_kx - (-1)^k

eρk(x-l) -

cos ρ_kx +

e-ρkx +

2ρ_k

√

}

2 a/c

+ (-1)^k

eρk(x-l) + O(ρ-2k) ,

(84)

ρ_k

причём равенство (84) выполняется равномерно по x ∈ [0, l]. Далее, на основании (83) из (84)

получим

√

{ (

√

((

)

⁾π

Ψ_k(x) =

sin k -

x - (-1)^k

exp k -

(x - l)

(

)

( (

)

(2a/c + ctg α)x - l ctg α

l ctg α

cos k -

exp - k -

2kπ

√

((

)

)}

2 (2a/c + ctg α)(x - l) - 2la/c

− (-1)^k

exp k -

(x - l)

+ O(k-2).

(85)

2kπ

Из (57) и (61) для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(5) при

α∈

∈ (0, π/2], β = 0 и c = 0 имеем асимптотические формулы

(

√

⁾π

q₀ + 4a/c + 2ctg α

ϱ_k =⁴

λ_k = k -

+ O(k-2),

4kπ

√

{

√

q₀(x) + 2ctg α

ctg α

y_k(x) =

sin ϱ_kx + (-1)^k

eϱk(x-l) -

cos ϱ_kx +

e-ϱkx +

4ϱ_k

2ϱ_k

√

}

2 q₀(x) - q₀ - 4a/c

+ (-1)^k

eϱk(x-l) + O(ϱ-2k)

4ϱ_k

√

{

(

√

((

)

⁾π

sin k -

x + (-1)^k

exp k -

(x - l)

(

)

( (

)

(q₀ + 4a/c + 2ctg α)x - (q₀(x) + 2ctg α)l

ctg α

cos k -

exp - k -

4kπ

2kπ

√

((

)

}

2 (q₀ + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q₁(x) + 4a/c)l

+(-1)^k

exp k -

(x-l)

+O(k-2) ,

(86)

4kπ

причём соотношение (86) выполняется равномерно по x ∈ [0, l].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

2^∗

1182

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

Из формул (85) и (86) следует, что при k ≥ 2 справедливо равенство

√

{

(

q₀x - q₀(x)l

⁾π

y_k(x) = Ψk-1(x) +

cos k -

4kπ

√

((

)

)}

2 q₀(x - l) - q₁(x)l

+ (-1)^k

exp k -

(x - l)

+ O(k-2).

(87)

4kπ

Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказательстве теоремы 7,

убеждаемся, что справедливы следующие асимптотические представления:

√

(

√

((

)

⁾π^{

⁾π

y^′k(x) =

cos k -

x + (-1)^k

exp k -

(x - l)

(

)

( (

)

(q₀ + 4a/c + 2ctg α)x - (q₀(x) + 2ctg α)l

ctg α

sin k -

exp - k -

4kπ

2kπ

√

((

)

}

2 (q₀ + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q₁(x) + 4a/c)l

+ (-1)^k

exp k -

(x - l)

+O(k-2) ,

(88)

4kπ

√

(

)₂(

)₂{

(

√

((

)

⁾π

y^′′k(x) =

- sin k -

x + (-1)^k

exp k -

(x - l)

(

)

( (

)

(q₀ + 4a/c + 2ctg α)x - (q₀(x) + 2ctg α)l

ctg α

cos k -

exp - k -

4kπ

2kπ

√

((

)

}

2 (q₀ + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q₁(x) + 4a/c)l

+ (-1)^k

exp k -

(x - l)

+O(k-2)

(89)

4kπ

Из (88) и (89) следует, что

√

(

)

√

⁾π⁽

y^′k(l) = (-1)^k

+ O(k-2) ,

ckπ

√

(

)

√

⁾π⁽

y^′′k(l) = (-1)^k

+ O(k-1)

Тогда в силу (4) имеем

by^′k(l) + dy^′′k(l)

m_k = ay^′k(l) + cy^′′k(l) = -

λ_k

ϱ⁴

√

((

))((

)₄(

)₄

)-1

√

⁾π⁽σ

= (-1)^k

+ O(k-1)

(1 + O(k-2))

= O(k-3).

(90)

Пользуясь формулами, приведёнными в работе [22, с. 296-297], убеждаемся, что справед-

лива формула

∥y_k∥²² = 1 + O(k-2).

(91)

Тогда в силу (90) и (91) из (79) находим

δ_k = ∥y_k∥²² + σ-1m2k = 1 + O(k-2).

(92)

Пусть r - произвольное фиксированное натуральное числа. В силу (90)-(92) и (80) из (81)

получим

u_k(x) = δ-1k{y_k(x) - m_kmr-1y_r(x)} = y_k(x) + O(k-2).

(93)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1183

Заметим, что для равномерной сходимости ряда (82) необходима и достаточна равномерная

сходимость ряда

∑

(f, u_k)y_k(x).

(94)

k=r+1

На основании (93) имеем

∑

(f, u_k)y_k(x) =

(f, y_k)y_k(x) +

O(k-2).

k=r+1

Асимптотическая формула (87) показывает, что справедливо соотношение

y_k(x) = Ψk-1(x) + O(k-1),

согласно которому имеем

∑

(f, y_k)y_k(x) =

(f, y_k)Ψk-1(x) +

(f, y_k)O(k-1).

k=r+1

Так как система {y_k(x)}∞k=1,k=r является базисом Рисса в пространстве L₂(0, l), то имеет

место оценка

}

∑

|(f, u_k)O(k-1)| ≤ const

|(f, u_k)|² +

< +∞.

k²

k=l+1

Следовательно, для равномерной сходимости ряда (94) достаточно исследовать на равномер-

ную сходимость ряд

∑

(f, y_k)Ψk-1(x).

(95)

k=r+1

Введём обозначения

√

2 q₀x - q₀(x)l

2 q₀(x - l) - q₁(x)l

P₁(x) =

P₂(x) = (-1)^k

4π

(

)

((

)

ek,1(x) = cos k -

x, ek,2(x) = exp k -

(x - l)

x ∈ [0,l].

Тогда в силу (87) запишем

y_k(x) = Ψk-1(x) + k-1P₁(x)ek,1(x) + k-1P₂(x)ek,2(x) + O(k-2),

откуда следует, что

∑

(f, y_k)Ψk-1(x) =

(f, Ψk-1)Ψk-1(x) +

k-1(fP₁,ek,1)Ψk-1(x) +

k=r+1

∑

k-1(fP₂,ek,2)Φk-1(x) +

O(k-2)Ψk-1(x).

k=r+1

В силу [29, лемма 5] каждая из систем {e_k,j}∞k=1, j = 1, 2, является бесселевой. Следова-

тельно, имеют место оценки



)

∑



∑

(fPj,e_k,j)



|(fP_j , e_k,j)|2

≤ const(1 + ∥f∥²²), j = 1, 2.



≤const

k²

k=l+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1184

АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА

Таким образом, ряд (95) сходится равномерно на отрезке [0, l], поскольку в силу условия

∑_∞

теоремы ряд

(f, Ψk-1)Ψk-1(x) сходится равномерно на этом же отрезке.

k=r+1

Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом. Теорема доказана.

Авторы выражают искреннюю признательность рецензенту за ценные замечания и коммен-

тарии, способствовавшие значительному улучшению текста статьи и пониманию полученных

в ней результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.,

1978.

2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.; Л., 1951.

3. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве L_p систем собственных функций, от-

вечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-

нения. 2000. T. 36. № 10. C. 1357-1360.

4. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной клас-

сической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.

2001. T. 37. № 12. C. 1599-1604.

5. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об особенностях корневого пространства одной спектральной зада-

чи со спектральным параметром в граничном условии // Докл. РАН. 2002. T. 385. № 1. C. 20-24.

6. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом

спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. C. 1504-

1507.

7. Капустин Н.Ю. О спектральной задаче из математической модели процесса крутильных колебаний

стержня со шкивами на концах // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1143-1145.

8. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости в классе C¹ ряда Фурье для спектральной задачи с

квадратом спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.

№ 10. С. 1394-1399.

9. Алиев З.С., Дуньямалиева A.A. Дефектная базисность системы корневых функций задачи Штур-

ма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях // Дифференц. уравнения. 2015.

Т. 51. № 10. С. 1249-1266.

10. Kerimov N.B., Goktas S., Maris E.A. Uniform convergence of the spectral expansions in terms of root

functions for a spectral problem // Electron. J. Differ. Equat. 2016. № 80. P. 1-14.

11. Kerimov N.B., Maris E.A. On the uniform convergence of the Fourier series for one spectral problem

with a spectral parameter in a boundary condition // Math. Methods Appl. Sci. 2016. V. 39. № 9.

P. 2298-2309.

12. Kerimov N.B., Maris E.A. On the uniform convergence of Fourier series expansions for Sturm-Liouville

problems with a spectral parameter in the boundary conditions // Results Math. 2018. V. 73. № 3.

P. 1-16.

13. Керимов Н.Б. О базисных свойствах в L_p оператора Штурма-Лиувилля со спектральным пара-

метром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2. С. 148-157.

14. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базисности системы собственных функций одной спектральной задачи

со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2007. T. 43. № 7.

C. 886-895.

15. Aliyev Z.S. Basis properties of a fourth order differential operator with spectral parameter in the boundary

condition // Cent. Eur. J. Math. 2010. V. 8. № 2. P. 378-388.

16. Алиев З.С. Базисные свойства в пространстве L_p систем корневых функций одной спектральной

задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.

№ 6. С. 766-777.

17. Aliyev Z.S., Guliyeva S.B. Properties of natural frequencies and harmonic bending vibrations of a rod at

one end of which is concentrated inertial load // J. Differ. Equat. 2017. V. 263. № 9. P. 5830-5845.

18. Aliyev Z.S., Mamedova G.T. Some properties of eigenfunctions for the equation of vibrating beam with

a spectral parameter in the boundary conditions // J. Differ. Equat. 2020. V. 269. № 2. P. 1383-1400.

19. Курбанов В.М. Условия абсолютной и равномерной сходимости биортогонального ряда, отвечаю-

щего дифференциальному оператору // Докл. РАН. 2008. Т. 422. № 5. С. 594-596.

20. Kurbanov V.M., Huseynova Y.I. On convergence of spectral expansion of absolutely continuous vector-

function in eigenvector-functions of fourth order differential operator // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser.

Phys.-Tech. Math. Sci. 2014. V. 34. № 1. P. 83-90.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

1185

21. Алиев З.С., Керимов Н.Б., Мехрабов В.А. О сходимости разложений по собственным функциям

одной краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях. I // Дифференц. урав-

нения. 2020. Т. 56. № 2. С. 147-161.

22. Алиев З.С., Керимов Н.Б., Мехрабов В.А. О сходимости разложений по собственным функциям

одной краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях. II // Дифференц. урав-

нения. 2020. Т. 56. № 3. С. 291-302.

23. Namazov F.M. Uniform convergence of Fourier series expansions for a fourth-order spectral problem

with boundary conditions depending on the eigenparameter // Bull. Iran. Math. Soc. 2021. V. 47. № 2.

P. 225-235.

24. Banks D.O., Kurowski G.J. A Prüfer transformation for the equation of a vibrating beam subject to

axial forces // J. Differ. Equat. 1977. V. 24. № 1. P. 57-74.

25. Kerimov N.B., Aliyev Z.S. On oscillation properties of the eigenfunctions of a fourth order differential

operator // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. Math. 2005. V. 25. № 4. P. 63-76.

26. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

27. Aliyev Z.S. Structure of root subspaces and oscillation properties of eigenfunctions of one fourth order

boundary value problem // Azerbaijan J. Math. 2014. V. 4. № 2. P. 108-121.

28. Амара Ж. Бен, Владимиров А.А. Об осцилляции собственных функций задачи четвёртого порядка

со спектральным параметром в граничном условии // Фунд. и прикл. математика. 2006. Т. 12. № 4.

С. 41-52.

29. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых диф-

ференциальных операторов // Изв. вузов. Математика. 1964. № 2. С. 82-93.

Бакинский государственный университет,

Поступила в редакцию 04.05.2022 г.

Азербайджан,

После доработки 04.08.2022 г.

Институт математики и механики НАН Азербайджана,

Принята к публикации 15.08.2022 г.

г. Баку,

Сумгаитский государственный университет,

Азербайджан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022