ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1165-1185
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.927.25
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ,
ЗАВИСЯЩИМ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
© 2022 г. З. С. Алиев, К. Ф. Абдуллаева
Рассмотрена задача на собственные значения для обыкновенных дифференциальных урав-
нений четвёртого порядка со спектральным параметром, содержащимся в одном из гранич-
ных условий. Найдена общая характеристика расположения собственных значений на ве-
щественной оси (комплексной плоскости). Изучены структуры корневых подпространств,
осцилляционные свойства собственных функций, базисные свойства собственных функций
в пространстве Lp,
1 < p < ∞, и равномерная сходимость рядов Фурье по собственным
функциям этой задачи.
DOI: 10.31857/S0374064122090011, EDN: CHIYEC
Введение. В данной статье исследуется граничная задача
(y)(x) ≡ y(4)(x) - (q(x)y(x)) = λy(x),
0<x<l,
(1)
U1(λ,y) ≡ y(0)cos α - y′′(0)sin α = 0,
(2)
U2(λ,y) ≡ y(0)cos β + Ty(0)sin β = 0,
(3)
U3(λ,y) ( + b)y(l) + ( + d)y′′(l) = 0,
(4)
U4(λ,y) ≡ y(l)cos δ - Ty(l)sin δ = 0,
(5)
где λ ∈ C - спектральный параметр; T y ≡ y′′′ - qy, q - положительная абсолютно непрерыв-
ная на отрезке [0, l] функция; α, β, δ, a, b, c, d - действительные постоянные, такие, что
0 α,βπ/2, π/2 δ < π (за исключением случая β = δ = π/2), σ = bc - ad > 0.
Отметим, что задача (1)-(5) возникает при описании малых изгибных колебаний упругой
консольной однородной балки, в поперечных сечениях которой действует продольная сила,
а к свободному концу посредством невесомого стержня прикреплён груз, удерживающийся в
равновесии при помощи упругой пружины (см., например, [1, с. 152-154] и [2, с. 256-258]).
Целью настоящей работы является изучение базисных свойств собственных функций в
пространстве Lp(0, l),
1 < p < ∞, и равномерной сходимости спектральных разложений по
собственным функциям задачи (1)-(5).
Базисные свойства в Lp(0, l),
1 < p < ∞, и равномерная сходимость рядов Фурье по
корневым функциям задач Штурма-Лиувилля исследованы в работах [3-13], а в задачах для
обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка - в статьях [14-23].
Задача (1)-(5) в случае α = β = 0 исследована в [15], где, в частности, доказано, что
её собственные значения являются вещественными простыми и образуют неограниченно воз-
растающую последовательность. Кроме того, изучено расположение собственных значений на
вещественной оси, исследованы осцилляционные свойства собственных функций, получены
асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций, установлена
базисность в пространстве Lp(0, 1), 1 < p < ∞, системы собственных функций этой задачи с
одной произвольно удалённой функцией.
1165
1166
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
1. Операторная трактовка краевой задачи (1)-(5). Известно (см. [15, c. 386]), что
спектральная задача (1)-(5) сводится к задаче на собственные значения для линейного опера-
тора L в гильбертовом пространстве H = L2(0, l)
⊕C со скалярным произведением
1
(ŷ, v)H = ({y, m}, {v, s})H = y(x)v(x) dx + σ-1ms,
0
где оператор
= L{y,m} = {ℓ(y)(x),-(by(l) + dy′′(l))}
определён в области
D(L) = = {y(x), m} ∈ H : y ∈ W42(0, l), ℓ(y) ∈ L2(0, l), y(0) cos α - y′′(0) sin α = 0,
y(0) cos β + T y(0) sin β = 0, y(l) cos δ - T y(l) sin δ = 0, m = ay(l) + cy′′(l)},
которая всюду плотна в H. Очевидно, что оператор L корректно определён в H. При этом
задача (1)-(5) приобретает вид
= λŷ,
ŷ ∈ D(L),
(6)
т.е. собственные значения λk, k ∈ N, задач (1)-(5) и (6) совпадают между собой с учётом их
кратности, а между корневыми функциями имеется взаимнооднозначное соответствие
yk(x) ↔ {yk(x),mk}, mk = ay′k(l) + cy′′k(l).
Теорема 1 [15, с. 386]. Оператор L является дискретным самосопряжённым полуогра-
ниченным снизу в пространстве H. Cистема {yk}∞k=1,
ŷk = {yk, mk}, mk = ayk(l) + cyk′(l),
собственных векторов этого оператора образует ортогональный базис в H.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Введём краевое условие
y(l)cos γ + y′′(l)sin γ = 0,
(7)
где γ ∈ [0, π/2].
Краевая задача (1)-(3), (5), (7) при δ ∈ [0, π) исследована в работах [24, 25], где установлен
следующий результат.
Теорема 2 [24, теоремы 5.4 и 5.5; 25, теорема А, замечание 1 и теорема 2]. Собствен-
ные значения спектральной задачи (1)-(3), (5), (7) при α,β,γ ∈ [0,π/2] и δ ∈ [0) явля-
ются вещественными простыми и образуют неограниченно возрастающую последователь-
ность {λk(α,β,δ,γ)}∞k=1 такую, что λk(α,β,γ,δ) > 0 при k 2, причём для каждых α,
β, γ существует δ0(α,β,γ) [π/2) такое, что λ1(α,β,γ,δ) > 0, если δ ∈ [00(α,β,γ)),
λ1(α,β,γ,δ) = 0, если δ = δ0(α,β,γ) и λ1(α,β,γ,δ) < 0, если δ ∈ (δ0(α,β)). Кроме того,
собственная функция yk,α,β,γ,δ(x), соответствующая собственному значению λk(α,β,γ,δ),
при k 2 имеет в точности k - 1 простых нулей; при k = 1 не имеет нулей, если δ ∈
[0, δ0(α, β, γ)], имеет произвольное число нулей, если δ ∈ (δ0(α, β, γ), π).
Для исследования спектральных свойств задачи (1)-(5) изучим свойства решения началь-
но-краевой задачи (1)-(3), (5) при α, β ∈ [0, π/2] и δ ∈ [π/2, π).
Имеет место следующая
Лемма 1. При каждом фиксированном λ ∈ C существует единственное с точностью
до постоянного множителя нетривиальное решение y(x,λ) задачи (1)-(3), (5).
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2.3 в [15].
Пусть y(x, λ) - решение задачи (1)-(3), (5), нормированное условием
|y(0)| + |T y(0)| = 1
при λ > 0 и условием
|y(l)| + |y′′(l)| = 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1167
при λ 0. Заметим, что если λ > 0 и y(0, λ) = T y(0, λ) = 0, то в силу условия (2) из первой
части леммы 2.1 работы [24] следует, что y(l, λ)T y(l, λ) > 0, что противоречит условию (5).
Пусть теперь λ 0 и y(l, λ) = y′′(l, λ) = 0. Тогда λ является собственным значением задачи
(1)-(3), (5), (7) как при γ = 0, так и при γ = π/2, что противоречит свойству 1 в [24, с. 64].
Поскольку уравнение (1) линейно зависит от λ, из общей теории линейных дифферен-
циальных уравнений (см., например, [26, гл. 1]) следует, что для каждого фиксированного
x ∈ [0,l] функция y(x,λ) является целой функцией параметра λ.
Пусть α, β ∈ [0, π/2], δ ∈ [π/2, π) - произвольные и фиксированные числа. При этом для
упрощения изложения обозначим μk = λk(α, β, 0, δ) и νk = λk(α, β, π/2, δ).
Пусть Bk = (μk-1, μk), k = 1, 2, . . . , где μ0 = -∞.
Собственные значения μk и νk, k ∈ N, спектральной задачи (1)-(3), (5), (7) при γ = 0
и γ = π/2 являются нулями целых функции y(l,λ) и y′′(l,λ) соответственно. Заметим, что
функция
y′′(l,λ)
F (λ) =
y(l,λ)
определена для значений λ ∈ B ≡ (
Bk)
(C\R) и является мероморфной функцией
k=1
конечного порядка, собственные значения νk и μk, k ∈ N, краевой задачи (1)-(3), (5), (7)
при γ = π/2 и γ = 0 являются нулями и полюсами этой функции соответственно.
Лемма 2. Имеет место следующая формула:
l
dF (λ)
1
=-
y2(x,λ)dx, λ ∈ B.
(8)
y2(l,λ)
0
Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство формулы (30) работы [15].
Лемма 3. Справедливо соотношение
lim F (λ) = +∞.
(9)
λ→-∞
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2.8 в [15].
В силу [24, свойство 1] и формул (8), (9) имеет место соотношение
ν1 < μ1 < ν2 < μ2 < ... < νk < μk < ...
(10)
Пусть m(λ) = ay(l, λ) + cy′′(l, λ).
Лемма 4. Еслиλ - собственное значение задачи (1)-(5), то m(λ) = 0.
Доказательство. Предположим, чтоλ - собственное значение задачи (1)-(5) такое, что
m(λ) = ay(l,λ) + cy′′(l,λ) = 0. Если c = 0, то отсюда следует, что y′′(l,λ) = -ay(l,λ)/c.
Тогда в силу (4) имеем
(
)
a
( + b)y(l,λ) + ( + d) -
y(l,λ) =σy(l,λ) = 0.
c
c
Так как σ = 0 и c = 0, то из последнего соотношения получим y(l,λ) = 0. Если же c = 0,
то σ = -ad = 0. Следовательно, из равенства m(λ) = ay(l,λ) = 0 получим y(l,λ) = 0.
Тогда в обоих случаях из граничного условия (4) следует, что y′′(l,λ) = 0, что противоречит
соотношению (10). Лемма доказана.
3. Осцилляционные свойства решения y(x, λ) задачи (1)-(3), (5). Рассмотрим
уравнение
y(x, λ) = 0, x ∈ [0, l], λ ∈ R.
(11)
Очевидно, что корни этого уравнения являются функциями параметра λ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1168
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
Лемма 5. Каждый корень x(λ) (0, l) уравнения (11) является простой и непрерывно-
дифференцируемой функцией параметра λ.
Доказательство. Пусть существуют x0 (0, l) и λ0 > 0 такие, что y(x0, λ0) = y(x0, λ0) =
= 0. Тогда очевидно, что |y′′(x0, λ0)| + |T y(x0, λ0)| > 0. Если y′′(x0, λ0)T y(x0, λ0) 0, то в
силу первой части леммы 2.1 в [24] получим y(l, λ0)T y(l, λ0) > 0, что противоречит условию
(5), поскольку δ ∈ [π/2, π), а если y′′(x0, λ0)T y(x0, λ0) < 0, то в силу второй части леммы 2.1
в [24] получим y(0, λ0)y′′(0, λ0) < 0, что противоречит условию (2), поскольку α ∈ [0, π/2].
Пусть теперь существуют x0 (0, l) и λ0 0 такие, что y(x0, λ0) = y(x0, λ0) = 0. Тогда,
умножив обе части равенства
y(4)(x,λ0) - (q(x)y(x,λ0)) = λ0y(x,λ0),
0<x<x0,
на y(x, λ0) и проинтегрировав полученное равенство в пределах от 0 до x0, используя форму-
лу интегрирования по частям, принимая во внимание граничные условия (2), (3) и y(x0, λ0) =
= y(x00) = 0, получим
x0
x0
x0
y′′2(x,λ0)dx+ q(x)y2(x,λ0)dx +Ń[y(x,λ0)] =λ
0
y2(x,λ0)dx,
0
0
0
где
y2(00)ctg α + y2(00)ctg β, если α,β ∈ (0,π/2],
y2(00)ctg α,
если α ∈ (0, π/2], β = 0,
Ń [y(x, λ0)] =
y2(00)ctg β,
если α = 0, β ∈ (0, π/2],
0,
если α = 0, β = 0.
Так как q(x) > 0 при x ∈ [0, l] и α, β ∈ [0, π/2], то из последнего соотношения следует, что
λ0 > 0, что противоречит условию λ0 0.
Далее, непрерывная дифференцируемость функции x(λ) следует из хорошо известной тео-
ремы о неявной функции. Лемма доказана.
Следствие 1. При изменении параметра λ, λ > 0 (λ 0), функция y(x, λ) может
потерять нуль или приобрести новый, если она окажется внутри интервала (0,l) или вне
его за краевой точкой x = l (x = 0).
Доказательство. При изменении λ, λ > 0, нули функции y(x, λ) не могут принадлежать
интервалу (0, l) или оказаться вне его за краевой точкой x = 0. Действительно, если это не
так, то при некотором λ0 > 0 имеем y(0, λ0) = y(0, λ0) = y′′(0, λ) = 0, если β = 0, y(0, λ0) =
= Ty(00) = 0, если β ∈ (0,π/2]. Тогда, на основании первой части леммы 2.1 работы [24],
получим y(l, λ0)T y(l, λ0) > 0, что противоречит условию (5).
Если λ 0, то при изменении λ нули функции y(x, λ) не могут лежать в интервале (0, l)
или лежать вне его за краевой точкой x = l. Действительно, в противном случае, в силу (5)
при некоторомλ0 0 имеет место y(l,λ0) = T y(l,λ0) = 0. Определим угол γ0 [0, π) из
равенства
y(l,λ0)
-arctg
,
если y′′(l,λ0) = 0,
γ0 =
y′′(l,λ0)
0,
если y′′(l,λ0) = 0.
Тогдаλ0 является собственным значением задачи (1)-(3), (5), (7) как при γ = γ0, δ = π/2,
так и при γ = γ0, δ = 0, что противоречит свойству 1 в [24, с. 64] (поскольку в силу леммы 2
все собственные значения этих задач являются простыми). Лемма доказана.
Замечание 1. Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказатель-
ствах лемм 2.6, 2.9 и 2.10 из [15], убеждаемся, что их утверждения справедливы также и
для функции y(x, λ).
Через s(λ), λ ∈ R, обозначим число нулей функции y(x, λ), содержащихся в интерва-
ле (0, l).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1169
В силу леммы 5, следствия 1, замечания 1 и теоремы 2 имеет место следующая осцилля-
ционная теорема для функции y(x, λ) при λ > 0.
Теорема 3. Если λ ∈ (μk-1, νk) при k 3, то k-2 s(λ) k-1, а если λ ∈ [νk, μk] при
k3, то s(λ) = k - 1. Кроме того, если δ ∈ [π/20(α,β,0)], то s(λ) = 0 при λ ∈ [01],
0s(λ) 1 при λ ∈ (μ12) и s(λ) = 1 при λ ∈ [ν22]; если δ ∈ [δ0(α,β,0)0(α,β,π/2)),
то 0 s(λ) 1 при λ ∈ [02), s(λ) = 1 при λ ∈ [ν22]; а если δ ∈ [δ0(α,β,π/2)), то
s(λ) = 1 при λ ∈ [0, μ2].
В силу следствия 1 при изменении λ, λ < 0, функция y(x, λ) может приобрести но-
вый нуль, если она окажется внутри интервала (0, l) через краевую точку x = 0, причём
если функция y(x, λ) приобретает новый нуль при некоторомλ < 0, то y(0) = y(0) =
= y′′(0, λ) = 0 при β = 0, y(0, λ) = Ty(0, λ) = 0 при β ∈ (0,π/2].
Лемма 6. Пусть λ < λ∗∗ < 0 такие, что s(λ) = s(λ∗∗). Тогда в интервале (λ, λ∗∗)
содержится собственное значение спектральной задачи, порождённой уравнением (1) с гра-
ничными условиями y(0) = y(0) = y′′(0) = 0 и (5) при β = 0; и уравнением (1) с граничными
условиями y(0) = T y(0) = 0 и (5) при β ∈ (0, π/2].
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 5 в [27].
Пусть ϵ > 0 - достаточно малое фиксированное число, λ < 0 и μ - вещественное соб-
ственное значение уравнения (1) с граничными условиями y(0) = y(0) = y′′(0) = 0 и (5),
если β = 0, (2), y(0) = T y(0) = 0 и (5), если β ∈ (0, π/2]. Индексом осцилляции собствен-
ного значения μ называется разность между числом нулей, содержащихся в интервале (0, l),
функции y(x, λ) при λ ∈ (μ - ϵ, μ) и числом таких же нулей при λ ∈ (μ, μ + ϵ) (см. [28, c. 51]).
Из этого определения видно, что число нулей функции y(x, λ), содержащихся в интервале
(0, l), равно сумме индексов осцилляции всех собственных значений, принадлежащих интер-
валу (λ, 0), задачи (1), y(0) = y(0) = y′′(0) = 0, (5), если β = 0; (1), (2), y(0) = T y(0) = 0,
(5), если β ∈ (0, π/2].
Имеет место следующая
Лемма 7. Существует число ς < 0 такое, что все вещественные собственные значения
ρk, k = 1,2,... , краевой задачи (1), y(0) = y(0) = y′′(0) = 0, (5), если β = 0, (1), (2),
y(0) = T y(0) = 0, (5), если β ∈ (0, π/2], лежат на интервале (-∞, ς), являются просты-
ми, образуют неограниченно убывающую последовательность и имеют индекс осцилляции,
равный единице.
Доказательство этой леммы аналогично доказательству теоремы 4.1 в [28].
Пусть i(ρk) - индекс осцилляции собственного значения ρk, k ∈ N, задачи (1), y(0) =
= y(0) = y′′(0) = 0, (5), если β = 0; (1), (2), y(0) = Ty(0) = 0, (5), если β ∈ (0,π/2]. Тогда из
сказанного выше следует, что число нулей, содержащихся в интервале (0, l), функции y(x, λ)
при λ < 0 определяется формулой
s(λ) =
i(ρk).
(12)
ρk(λ,0)
4. Структуры корневых подпространств, расположение собственных значений
на вещественной оси (комплексной плоскости) и осцилляционные свойства соб-
ственных функций задачи (1)-(5). Введём следующее краевое условие:
ay(l) + cy′′(l) = 0.
(13)
Заметим, что краевое условие (13) в случае a = 0 (c = 0) совпадает с условием (7) при
γ = π/2
(γ = 0). В случае ac = 0 собственные значения краевой задачи (1)-(3), (5), (13)
совпадают с корнями уравнения F (λ) = -a/c. В силу формулы (8) это уравнение имеет
только простые корни и, следовательно, собственные значения спектральной задачи (1)-(3),
(5), (13) являются простыми. На основании (8) и (9) уравнение F (λ) = -a/c для каждого
k ∈ N в интервале Bk имеет единственное решение τk такое, что
ν1 < τ1 < μ1 < ν2 < τ2 < μ2 < ...
(14)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1170
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
при a/c > 0 и
τ1 < ν1 < μ1 < τ2 < ν2 < μ2 < ...
(15)
при a/c < 0.
В случае a = 0 (c = 0) определим число ka (kc) из неравенства
λka-1 -b/a < λka(λkc-1<-d/cλkc).
Замечание 2. Если ac = 0, то ka kc + 1 при ac > 0, ka kc при ac < 0.
Замечание 3. Очевидно, что μkc является собственным значением задачи (1)-(5) в случае
c = 0 и -d/c = μkc, а в случаях c = 0 и c = 0,
-d/c ∈ (μkc-1, μkc),всилулеммы4
собственные значения задачи (1)-(5) являются корнями уравнения
+ b
F (λ) = -
(16)
+ d
Теорема 4. Собственные значения задачи (1)-(5) являются вещественными простыми
и образуют неограниченно возрастающую последовательность {λk}∞k=1 такую, что λk >
> 0 при k 3 + sgn|c|. Кроме того, имеет место следующее расположение собственных
значений:
а) если c = 0, то
ν1 < λ1 < μ1 < ν2 < λ2 < μ2 < ... < μka-2 < νka-1λka-1ka-1kaka<
ka <...<μk-1kkk <...;
(17)
б) если a = 0, то
λ1 < ν1 < μ1 < λ2 < ν2 < μ2(0) < ... < μkc-1 < λkckckc+1νkc+1kc+2<
μkc < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < λk < μk-1 < ... ;
(18)
в) если ac = 0, то
в1) в случае ac > 0
ν1 < λ1 < τ1 < μ1 < ν2 < λ2 < τ2 < μ2 < ... < μkc-2 < νkc-1λkc-1kc-1<
< μkc-1 < λkc < νkc < τkc < λkc+1 μkc < νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... <
< μk-2 < νk-1 < τk-1 < λk < μk-1 < ... при ka = kc,
(19)
ν1 < λ1 < τ1 < μ1 < ν2 < λ2 < τ2 < μ2 < ... < μkc-1 < νkcλkckckc+1
μkc < νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < τk-1 <
< λk < μk-1 < ... при ka = kc + 1,
(20)
ν1 < λ1 < τ1 < μ1 < ν2 < λ2 < τ2 < μ2 < ... < μka-2 < νka-1λka-1ka-1<
< μka-1 < λka < νka < τka < μka < ... < μkc-1 < λkc < νkc < τkc < λkc+1 μkc <
< νkc+1 < τkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μk-2 < νk-1 < τk-1 < λk <
< μk-1 < ... при ka < kc,
(21)
в2) в случае ac < 0
λ1 < τ1 < ν1 < μ1 < λ2 < τ2 < ν2 < μ2 < .. < μkc-1 < λkckckc+1kc<
< μkc < τkc+1 < λkc+2 < νkc+1 < μkc+1 < ... < μk-2 < τk-1 < λk < νk-1 <
< μk-1 < ... при ka = kc,
(22)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1171
λ1 < τ1 < ν1 < μ1 < λ2 < τ2 < ν2 < μ2 < .. < μkc-1 < λkckckc
λkc+1 μkc << τkc+1 < λkc+2 < νkc+1 < μkc+1 < ... < μk-2 < τk-1 < λk <
< νk-1 < μk-1 < ... при ka = kc + 1,
(23)
λ1 < τ1 < ν1 < μ1 < λ2 < τ2 < ν2 < μ2 < ... < μkc-1 < λkckckc<
< λkc+1 μkc < τkc+1 < νkc+1 < λkc+2 < μkc+1 < ... < μka-2 < τka-1 < νka-1
λka < μka-1 < τka < λka+1 < νka < μka < ... < μk-2 < τk-1 < λk <
< νk-1 < μk-1 < ... при ka > kc + 1.
(24)
Доказательство. Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказатель-
стве леммы 2.4 работы [15], можно показать, что собственные значения задачи (1)-(5) являются
вещественными и простыми.
Из леммы 2 следует, что функция F (λ) является строго убывающей на каждом интервале
Bk = (μk-1k), k ∈ N. Кроме того, для функции H(λ) = -( + b)/( + d) имеем H(λ) =
= σ/( + d)2, откуда следует, что эта функция при c = 0 строго возрастает на интервале
(-∞, +), а при c = 0 строго возрастает на интервалах (-∞, -d/c) и (-d/c, +), причём
lim
H(λ) = +∞,
lim H(λ) = -∞.
(25)
λ→-d/c-0
λ→-d/c+0
Так как y(l, μk) = 0 для каждого k ∈ N, в силу лемм 2 и 3 (см. формулы (8) и(9)) имеем
lim
F (λ) = +∞, lim F (λ) = -∞.
λ→μk-1+0
λ→μk -0
Следовательно, в случае c = 0, либо c = 0, и -d/c ∈ (μk-1, μk) уравнение
F (λ) = H(λ)
(26)
в интервале (μk-1, μk) имеет единственное решение λ =λk и, следовательно, в силу заме-
чания 3λk является собственным значением задачи (1)-(5). Очевидно, что если c = 0, либо
c = 0,
-d/c = μkc и k kc, тоλk является k
-d/c ∈ (μkc-1, μkck<kc,либоc=0,
собственным значением спектральной задачи (1)-(5), т.е.
λk = λk. Кроме того, если c = 0,
−d/c = μkc , то μkc = λkc+1 иλk = λk+1 при k > kc.
Заметим, что в случае c = 0 и -d/c ∈ (μkc-1, μkc)уравнение(26)((16))вкаждомиз
интервалов (λkc-1, -d/c) и (-d/c, λkc)имеетединственноерешение:λkc = λkc иλkc = λkc+1
соответственно. В этом случае имеет место также соотношениеλk = λk+1 при k > kc.
Покажем, что λk > 0 при k 3 + sgn |c|. Действительно, если ac < 0, δ > δ0(α, β, 0) (при
этом ν1 < μ1 < 0 < ν2), ka = 1 и kc = 1, то из изложенного выше следует, что λ1, λ2
(-∞, μ1], λk (μk-2, μk-1) при k 3. Следовательно, λ1 < 0, λ2 < 0 и λk > 0 при k 4.
Кроме того, λ3 (μ1, 0), либо λ3 = 0, либо λ3 (0, ν2), так как H(λ) > 0 и G(λ) > 0 при
λ ∈ (μ12). Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом.
Теперь покажем, что выполняются соотношения (17)-(24). Рассмотрим случай ac < 0 (т.е.
случай в2) при ka = kc = 1. Так как lim H(λ) = -a/c, функция H(λ) возрастает на
λ→±∞
каждом из интервалов (-∞, -d/c),
(-d/c, +) и выполняются равенства (25), то имеют
место соотношения H(λ) > -a/c при λ < -d/c и H(λ) < -a/c при λ > -d/c. Так как ka =
= 1, то имеем -b/a < ν1 и, следовательно, H(λ) > 0 при λ > ν1. Кроме того, F (λ) > -a/c
при λ ∈ (μk-1, τk), F (λ) < -a/c при λ ∈ (τk, μk) и F (λ) > 0 при λ ∈ (μk-1, νk), F (λ) < 0
при λ ∈ (νk, μk), k ∈ N. Тогда в силу (10), (14) и (15) из изложенного выше следует, что
λ1 < τ1 < λ2 < ν1 < μ1 < τ2 < λ3 < ν2 < μ2 < τ3 < λ4 < ν3 < μ3 < ...
Остальные случаи рассматриваются совершенно аналогично. Теорема доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1172
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
Следствие 2. Пусть k1 = max{ka, kc} + 2. Тогда при k > k1 справедливы следующие
соотношения:
μk-1 < λk < νk < μk, если c = 0,
(27)
μk-2 < τk-1 = νk-1 < λk < μk-1, если a = 0,
(28)
μk-2 < νk-1 < τk-1 < λk < μk-1, если ac > 0,
(29)
μk-2 < τk-1 < λk < νk-1 < μk-1, если ac < 0.
(30)
Имеет место следующая осцилляционная теорема для задачи (1)-(5).
Теорема 5. Собственная функция yk(x), k ∈ N, соответствующая собственному зна-
чению λk, обладает следующими осцилляционными свойствами:
а) если c = 0, то функция yk(x) (k 1 при δ δ0(α, β, π/2) и ka 2; k 2 при
δδ0(α,β,π/2) и ka = 1, при δ0(α,β,π/2) < δδ0(α,β,0), и при δ > δ0(α,β,0) и ka3;
k 3 при δ > δ0(α,β,0) и ka 2) имеет в точности k - 1 простых нулей при k < ka,
имеет либо k - 2, либо k - 1 простых нулей при k ka; функция y1(x) при δ < δ0(α,β,0)
либо не имеет
либо имеет s(λ2) =ρk(λ2,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либоимеетодин
простой нуль в интервале (0,l);
б) если a = 0, то функция yk(x) (при k 2 в случаях δ < δ0(α,β,0) и δ = δ0(α,β,0),
kc 2, при k 3 в случаях δ = δ0(α,β,0), kc = 1 и δ > δ0(α,β,0)) имеет либо k - 2, либо
k-1 простых нулей при k kc, имеет в точности k-2 простых нулей при k > kc; в случае
δ < δ0(α,β,0) функция y1(x) либо имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)ростыхнулей,либоне
имеет нулей, в случае δ δ0(α,β,0) функция y1(x) имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)(ρk)простых
нулей; в случае δ = δ0(α, β, 0) и kc = 1 функция y2(x) либо имеет s(λ2) =ρk(λ2,0)i(ρk)
простых нулей, либо не имеет нулей, а в случае δ > δ0(α,β,0) функция y2(x) либо имеет
s(λ2) =ρk(λ2,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либоимеетодинпростойнуль
в интервале (0,l);
в) если ac = 0, то:
в1) при ac > 0 функция yk(x) (при k 2 в случаях δ < δ0(α,β,0); δ = δ0(α,β,0) и
kc 2; δ > δ0(α,β,0), kc 2 и ka 3; при k 3 в случаях δ δ0(α,β,0), kc = 1;
δ > δ0(α,β,0), kc2 и ka2) имеет в точности k-1 простых нулей при k < ka, имеет
либо k - 2, либо k - 1 простых нулей при ka k kc, имеет в точности k - 2 простых
нулей при k > kc; в случае δ < δ0(α,β,0) функция y1(x) либо имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)
простых нулей, либо не имеет нулей, в случае δ δ0(α,β,0) функция y1(x) имеет s(λ1) =
s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)простынулей,либонеимеетнулей,вслучаеδ>δ0(α,β,0),kc=1
функция y2(x) имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)ростыхнулей,вслучаеδ>δ0(α,β,0),kc=2
и ka2 функция y2(x) либо имеет s(λ1) =ρk(λ1,0) i(ρk)простых нулей, либо не имеет
нулей, либо имеет один простой нуль в интервале (0,l);
в2) при ac < 0 функция yk(x) (k 2 при δ < δ0(α,β,0) в случаях kc = 1, ka 2 и
kc 2, при δ = δ0(α,β,0) в случае kc 2; k 3 при δ < δ0(α,β,0) в случае kc = ka = 1,
при δ = δ0(α,β,0) в случае kc = 1 и при δ > δ0(α,β,0) в случаях kc 2, ka 3 и kc 3;
k 4 при δ > δ0(α,β,0) в случае kc ka 2) при k kc имеет либо k - 2, либо k - 1
простых нулей, при k > ka имеет либо k-3, либо k-2 простых нулей, при kc < k ka
случае kc < ka) имеет в точности k - 2 простых нулей; функция y1(x) при δ < δ0(α, β, 0)
имеет либо s(λ1 =ρk(λ1,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,априδδ0(α,β,0)
имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)простыхнулей;функцияy2(x)пр
kc = ka = 1 и при δ = δ0(α,β,0) в случае kc = 1 имеет либо s(λ1) =ρk(λ1,0)(ρk)простых
нулей, либо не имеет нулей, при δ > δ0(α,β,0) в случае c = 1 имеет s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)
простых нулей, в случае kc 2 имеет либо s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)простыхнулей,либо
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1173
не имеет нулей, либо имеет один простой нуль, функция y3(x) при δ > δ0(α,β,0) в случае
kc ka 2 имеет либо s(λ1) =ρk(λ1,0)i(ρk)простыхнулей,либонеимеетнулей,либо
имеет один простой нуль в интервале (0,l).
Доказательство. Рассмотрим случай а), т.е. пусть c = 0. В силу (17) имеем
λk (νkk) при k < ka, λk (μk-1k) при k ka.
(31)
Тогда из теоремы 4 следует, что λk > 0 при k 3.
Если δ δ0(α, β, π/2), то в силу теоремы 2 и соотношения (10) имеем 0 ν1 < μ1. Тогда
из (31) следует, что λ1 0 при ka 2; λ1 < 0 при ka = 1 и -b/d > F (0); λ1 = 0 при
ka = 1 и -b/d = F(0) и λ1 > 0 при ka = 1 и -b/d < F(0).
Пусть δ0(α, β, π/2) < δ δ0(α, β, 0). Из теоремы 2 следует, что ν1 < 0 μ1. Тогда из (31)
получаем, что λ2 > 0. При этом λ1 < 0 при δ = δ0(α, β, 0) и при δ0(α, β, π/2) < δ < δ0(α, β, 0)
в случаях ka = 1 и ka 2, -b/d > F (0); λ1 = 0 при δ0(α, β, π/2) < δ < δ0(α, β, 0), ka 2 и
−b/d = F (0); λ1 > 0 при δ0(α, β, π/2) < δ < δ0(α, β, 0), ka 2 и -b/d < F (0).
Если δ > δ0(α, β, 0), то на основании теоремы 2 имеем ν1 < μ1 < 0 < ν2. Тогда из (31)
следует, что λ1 < 0 и λ3 > 0, причём λ2 < 0 при ka 2 и -b/d > F (0); λ2 = 0 при ka 2
и -b/d = F(0); λ2 (02) при ka 2 и -b/d < F(0), λ2 [ν22) при ka 3.
Теперь утверждение теоремы в случае п. а) следует из теоремы 3 и формулы (12) на ос-
новании приведённых выше рассуждений. Остальные утверждения теоремы доказываются
аналогичным образом. Доказательство теоремы завершено.
5. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функ-
ций краевых задач (1)-(3), (5), (13) при q(x) 0 и (1)-(5).
Теорема 6. Пусть q(x) 0 в уравнении (1). Тогда справедливы следующие асимптоти-
ческие формулы для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(3), (5), (13):
(
1 + 3sgnβ
)π
4
√τ
k = k-
+ O(k-2)x, если α = 0, c = 0,
(32)
4
l
(
2 + 3sgnβ
)π
(1 + sgn β) ctg α
4
√τ
k = k-
+
+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,
(33)
4
l
2
(
2 + 3sgnβ
)π
a/c
4
√τ
k = k-
+
+ O(k-2), если α = 0, c = 0,
(34)
4
l
(
3(1 + sgn β)
)π
2a/c + (1 + sgn β) ctg α
4
√τ
k = k-
+
+
4
l
2
+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,
(35)
1 + sgnβ
vk(x) =
{(1 - sgn β) sin(4
√τkx) +
l
+ (1 - sgn β)e- 4
√τkx + O(k-2)}, если α = 0, c = 0,
(36)
{
2 - sgnβ
vk(x) =
sin(4
√τkx +
l
ctg α
+ sgn β
√τkx) - (1 + sgn β)c√α
cos(4
√τkx) + (1 + sgnβ)c√αe-4
√τkx +
(2 - sgn β)4
√τk sin( 4
24
τk
24
τk
}
+ O(k-2) ,
если α ∈ (0, π/2], c = 0,
(37)
{
1 + sgnβ
vk(x) =
(1 - sgn β) sin(4
√τkx +
l
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1174
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
)sgn β
(2
(2)sgnβ a/c
√τk (x-l)+(-1)k+1
√τk (x-l)+
+ (-1)k+1
e4
e4
2
2
ρk
}
+ O(k-2) ,
если α = 0, c = 0,
(38)
{
2 - sgnβ
vk(x) =
sin(4
√τkx +
l
)1-sgnβ
(2
ctg α
√τk (x-l)-sgnβctgα
+ (-1)k+1-sgnβ
e4
sin(4
√τkx) -
cos(4
√τkx) +
2
ρk
(2 - sgn β)ρk
ctg α
(2)1-sgnβ a/c
√τk(x-l)+
+
e-4
√τkx + (-1)k+sgnβ
e4
(2 - sgn β)ρk
2
ρk
}
+ O(k-2) ,
если α ∈ (0, π/2], c = 0,
(39)
причём соотношения (36)-(39) выполняются равномерно по x ∈ [0,l].
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что τk > 0 при k 2.
В уравнении (1) положим q ≡ 0 и λ = ρ4, ρ > 0. Очевидно, что это уравнение имеет
четыре линейно независимых решения
ϕj (x, ρ) = eρωj x, j = 1, 4,
(40)
где ω1 = -1, ω2 = -i, ω3 = i, ω4 = 1.
В силу (40) имеем
U1(λ,ϕj) ≡ ϕ′j(0) = ρωj, если α = 0,
(41)
(
)
ctg α
U1(λ,ϕj) ≡ ϕ′j(0)cos α - ϕ′′j(0)sin α =2ω2j sin α 1-
,
если α ∈ (0, π/2],
(42)
ρωj
U2(λ,ϕj) ≡ ϕj(0) = 1, если β = 0,
(43)
U2(λ,ϕj) ≡ ϕj(0)cos β +j(0)sin β = ρ3ω3j sin β(1 + O(ρ-2)), если β ∈ (0,π/2],
(44)
U13(λ,ϕj) ≡ ϕ′j(l,ρ) = ρωjeρωjl, если c = 0,
(45)
(
)
a/c
U13(λ,ϕj) ≡ aϕ′j(l,ρ) +′′j(l,ρ) =2ω2jeρωjl 1+
,
если c = 0,
(46)
ρωj
U4(λ,ϕj) ≡ ϕj(l,ρ)cos δ - Tϕj(l,ρ)sin δ =3ω3jeρωjl sin δ(1 + O(ρ-2)).
(47)
Очевидно, что λ = ρ4 является собственным значением задачи (1)-(3), (5), (13), если ρ
является нулём характеристического определителя
U1(λ,ϕ1) U1(λ,ϕ2) U1(λ,ϕ3) U1(λ,ϕ4)
U2(λ,ϕ1) U2(λ,ϕ2) U2(λ,ϕ3) U2(λ,ϕ4)
Δ0(λ) =
(48)
U13(λ,ϕ1) U13(λ,ϕ2) U13(λ,ϕ3) U13(λ,ϕ4)
U4(λ,ϕ1) U4(λ,ϕ2) U4(λ,ϕ3) U4(λ,ϕ4)
Пусть α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) в граничных условиях (2), (3), (5), (13).
Тогда в силу (41)-(47) из (48) имеем
Δ0(λ) =7 sinα sin δ ×
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1175
⎧
(
)
(
)
ctg α
ctg α
ctg α
ctg α
1+
- 1+
- 1-
1-
⎪
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
+ O(ρ-2)
=
a/c
a/c
a/c
a/c
×⎪⎪
⎪e-ρl
1-
-e-iρl
1-
-eiρl
1+
eρl
1+
ρ
ρ
-e-ρl
ie-iρl
-ieiρl
eρl
= -27eρl sin αsin δ ×
{
(
)
(
)
}
2a/c + ctg α
2a/c + ctg α
×
(1 - i)
1+
(1 + i) eiρl - (1 + i) 1-
(1 - i) e-iρl + O(ρ-2)
2
2
Отсюда следует, что нули определителя Δ(λ) являются корнями уравнения
4a/c + 2ctg α
e2iρl = i -
+ O(ρ-2).
(49)
2ρ
Учитывая замечание 1, из теоремы 3.1 работы [14] получим асимптотическую формулу
(
)π
ρk =4
√τk = k -3
+ϵk,
(50)
4
l
где ϵk = O(k-1) при k → ∞. Согласно (50) из (49) находим
4a/c + 2ctg α
e2kl = ie2kl = i -
+ O(k-2),
2kπ/l
откуда получаем
4a/c + 2ctg α
ϵk =
+ O(k-2).
(51)
4
Асимптотическое равенство (35) при β = 0 следует из соотношений (50) и (51).
Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (41)-(47).
В силу (35) при β = 0 имеем
(
)
(
)
ctg α
ctg α
ekl = -i(-1)k 1-
+ O(k-2) ,
e-iρkl = i(-1)k 1+
+ O(k-2)
(52)
2k
2k
Собственная функция vk(x) = v(x, τk) задачи (1)-(3), (5), (13) при q(x) 0, соответству-
ющая собственному значению τk = ρ4k, может быть представлена в виде
ϕ1(x,ρk) ϕ2(x,ρk) ϕ3(x,ρk) ϕ4(x,ρk)
U2(λ,ϕ1) U2(λ,ϕ2) U2(λ,ϕ3) U2(λ,ϕ4)
vk(x) = Cρk
,
(53)
U13(λ,ϕ1) U13(λ,ϕ2) U13(λ,ϕ3) U13(λ,ϕ4)
U4(λ,ψ1) U4(λ,ψ2) U4(λ,ψ3) U4(λ,ψ4)
где Cρk = 0 - некоторая постоянная, зависящая от ρk.
В случае α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) на основании формулы (35) при β = 0 и
равенств (43), (46), (47), (52) из (53) получим
vk(x) = v(x,ρk) = -cρ5k sin δCρ
×
k
⎧
ekx
e-iρkx
ekx
eρkx
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
a
a
a
a
+ O(ρ-2k)
=
×⎪⎪
-ekl
1-
-ie-iρkl
1-
iek l
1+
eρkl
1+
⎪
k
k
icρk
k
⎩
ekl
ie-iρk l
-iek
eρkl
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1176
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
= -cρ5keρkl sin δ ×
⎧
ekx
e-iρkx
ekx
eρk(x-l)
1
1
1
0
(
)
(
)
×Cρk
a
a
a
+ O(ρ-2k)
=
⎪
0
-ie-iρkl
1-
iek l
1+
1+
icρk
icρk
k
0
i
e-iρkl - iek
1
= 2i
2(-1)k+15keρkl sin δ ×
{
}
2
a
ctg α
ctg α
× Cρk sinρk + (-1)k+1
eρk(x-l) +
sin ρkx -
cos ρkx +
ekx + O(ρ-2k)
2
k
2ρk
2ρk
Выберем постоянную Cρk следующим образом:
(
)
-5
i(-1)kek lρ
a/c
k
Cρk =
1-
2
2lc sin δ
ρk
Тогда из последнего соотношения получим асимптотическую формулу (39) при β = 0.
Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (32)-(35) и (41)-
(47). Теорема доказана.
В силу (32)-(35) из (36)-(39) непосредственными вычислениями получим
∥vk22 = 1 + O(k-2),
где ∥ · ∥2 - норма в пространстве L2(0, l).
Замечание 4. Обозначим через Ψk(x), k ∈ N, нормированную собственную функцию
задачи (1)-(3), (5), (13) при q ≡ 0, соответствующую собственному значению τk, т.е. Ψk(x) =
vk(x)
=
. Тогда для Ψk(x) имеют место асимптотические формулы (36)-(39).
∥vk2
Функцию q0(x), x ∈ [0, l], и число q0 определим следующим образом:
x
l
q0(x) = q(t)dt,q0 = q(t)dt.
0
0
Теорема 7. Для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(5) справед-
ливы следующие асимптотические формулы:
(
4
5 + 3sgnβ
)π
q0
λk = k -
+
+ O(k-2), если α = 0, c = 0,
(54)
4
l
4
(
6 + 3sgnβ
)π
q0 + 2(1 + sgn β)ctg α
4
λk = k -
+
+O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0, (55)
4
l
4
(
4
6 + 3sgnβ
)π
q0 + 4a/c
λk = k -
+
+ O(k-2), если α = 0, c = 0,
(56)
4
l
4
(
7 + 3sgnβ
)π
q0 + 4a/c + 2(1 + sgn β)ctg α
4
λk = k -
+
+
4
l
4
+ O(k-2), если α ∈ (0,π/2], c = 0,
(57)
{
1 + sgnβ
√λk x+
yk(x) =
(1 - sgn β) sin(4
λkx) + (-1)sgnβ cos(4
λkx) + (1 - sgn β)e-4
l
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1177
(1 - sgn β)q0 - q0(x)
q0 + (1 - sgn β)q0(x)
+ (-1)sgnβ
sin(4
λkx) - (-1)sgnβ
cos(4
λkx) +
4ϱk
4ϱk
}
q0 - q0(x)
+ (1 - sgn β)
e4
λkx + O(k-2) ,
если α = 0, c = 0,
(58)
4ϱk
{
2 - sgnβ
yk(x) =
sin(4
λkx) - sgn β cos(4
λkx) - sgn βe-4
√λkx -
l
q0(x) + 4ctg α
q0(x) + 2(1 + sgn β)ctg α
sgn β
sin(4
λkx) -
cos(4
λkx) +
4ρk
4ρk
}
sgn βq0(x) + 2(1 + sgn β) ctg α
+
e-4
λkx + O(k-2) ,
если α ∈ (0, π/2], c = 0,
(59)
4ρk
{
1 + sgnβ
√λk x+
yk(x) =
(1 - sgn β) sin(4
λkx) - (-1)sgnβ cos(4
λkx) + (1 - sgn β)e-4
l
)sgn β
(2
+ (-1)k+sgnβ
e4
λkx) -
2
4ϱk
q0 + 4a/c + (1 - sgn β)q0(x)
q0 + 4a/c - q0(x)
(-1)sgnβ
cos(4
λkx) + (1 - sgn β)
e-4
√λkx +
4ϱk
4ϱk
}
(2)sgnβ q0(x)
√λk(x-l)+O(k-2)
+ (-1)k+sgnβ
e4
,
если α = 0, c = 0,
(60)
2
4ϱk
{
2 - sgnβ
yk(x) =
sin(4
λkx) - sgn β cos(4
λkx) - sgn βe-4
√λkx +
l
)sgn β
(2
+ (-1)k+sgnβ
e4
λkx) -
2
4ϱk
q0(x) + 2(1 + sgn β)ctg α
sgn βq0(x) + 4 ctg α
cos(4
λkx) +
e-4
√λkx +
4ϱk
4ϱk
}
q0(x) - q0 + 4a/c
√λk(x-l)+O(k-2)
+ (-1)k+sgnβ
e4
,
если α ∈ (0, π/2], c = 0,
(61)
4ϱk
причём соотношения (58)-(61) выполняются равномерно по x ∈ [0,l].
Доказательство. Из теоремы 4 следует, что λk > 0 при k 2. Поэтому в уравнении (1)
положим λ = ϱ4, где ϱ > 0. Известно (см. [26, с. 63-64]), что уравнение (1) во всякой области
T комплексной ϱ-плоскости имеет четыре линейно независимых решения ψj (x, ϱ), j = 1, 4,
регулярных относительно ϱ (при достаточно большом ϱ), удовлетворяющих соотношениям
{
}
q0(x)
ψ(s)j(x,ϱ) = (ϱωj)seϱωjx 1+
+ O(ϱ-2) ,
j = 1,4, s = 0,3,
(62)
4ϱωj
где ω1 =4 = -1, ω2 =3 = -i.
В силу (62) имеем
U1(λ,ψj) = ψ′j(0) = ϱωj(1 + O(ϱ-2)), если α = 0,
(63)
U1(λ,ψj) = ψ′j(0)cos α - ψ′′j(0)sin α =
(
)
ctg α
=2ω2j sin α 1-
+ O(ϱ-2) ,
если α ∈ (0, π/2],
(64)
ϱωj
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1178
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
U2(λ,ψj) = ψj(0) = 1 + O(ρ-2), если β = 0,
(65)
U2(λ,ψj) = ψj(0)cos β +j(0)sin β = ϱ3 sin βω3j(1 + O(ρ-2)), если β ∈ (0,π/2],
(66)
(
)
q0
U3(λ,ψj) = ( + b)ψ′j(l,ϱ) +′′j(l,ϱ) =5ωjeϱωjl 1+
+ O(ρ-2) ,
если c = 0,
(67)
4ϱωj
U3(λ,ψj) = ( + b)ψ′j(l,ϱ) + ( + d)ψ′′j(l,ϱ) =
(
)
q0 + 4a/c
=6ω2jeϱωj l 1+
+ O(ρ-2) ,
если c = 0,
(68)
4ϱωj
U4(λ,ψj) ≡ ψj(l,ϱ)cos δ - Tψj(l,ϱ)sin δ =
(
)
q0
=3ω3jeϱωjl sinδ 1+
+ O(ρ-2) ,
если δ ∈ [π/2, π).
(69)
4ϱωj
Пусть λ = ϱ4 - собственное значение краевой задачи (1)-(5). Тогда ϱ является корнем
характеристического определителя
U1(λ,ψ1) U1(λ,ψ2) U1(λ,ψ3) U1(λ,ψ4)
U2(λ,ψ1) U2(λ,ψ2) U2(λ,ψ3) U2(λ,ψ4)
Δ(λ) =
(70)
U3(λ,ψ1) U3(λ,ψ2) U3(λ,ψ3) U3(λ,ψ4)
U4(λ, ψ1) U4(λ, ψ2) U4(λ, ψ3) U4(λ, ψ4)
Если α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) в граничных условиях (2)-(5), то в силу
соотношений (64), (65), (68) и (69) из (70) находим
Δ(λ) =11 sin α sin δ ×
⎧
(
)
(
)
ctg α
ctg α
ctg α
ctg α
⎪
1+
- 1+
- 1-
1-
⎪
ϱ
ϱ
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
×
q0+4a/c
q0+4a/c
q0+4a/c
q0+4a/c
+ O(ϱ-2)
=
⎪e-ρl 1-
-e-iϱl 1-
-eiρl 1+
eϱl 1+
⎪
4ϱ
4
4
4ϱ
⎪
(
)
(
)
(
)
(
)
⎪
q0
q
0
q0
q0
⎩
-e-ϱl
1-
ie-iϱl
1-
-ieiϱl
1+
eϱl
1+
4ϱ
4
4
4ϱ
(
)(
)
q0 + 4a/c
q
0
=11eϱl sin α sin δ 1+
1+
×
4ϱ
4ϱ
⎧
(
)
(
)
ctg α
ctg α
ctg α
1+
1+
- 1-
0
ϱ
1
1
1
0
(
)
(
)
q0 + 4a/c
q0 + 4a/c
+ O(ϱ-2)
= -211eϱl ×
×⎪⎪
0
-e-iϱl
1-
-eiρl
1+
1
⎪
4
4
⎪
(
)
(
)
⎪
q0
q
0
⎩
0
ie-iϱl
1-
-ieiϱl
1+
1
4
4
(
)(
)
{
(
)
q0 + 4a/c
q
0
(1 - i)q0 + 4a/c + 2(1 + i)ctg α
× 1+
1+
sin α sin δ
(1 - i)
1+
eiϱl -
4ρ
4ϱ
4
(
)
}
(1 + i)q0 + 4a/c + 2(1 - i)ctg α
- (1 + i)
1-
e-iϱl + O(ϱ-2)
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1179
Из последнего равенства следует, что нули определителя Δ(λ) являются корнями уравнения
(
)
q0 + 4a/c + 2ctg α
e2iϱl = i 1-
+ O(ϱ-2)
(71)
2
Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказательствтеоремы 2 в
[26, гл. 2, c. 77-79], убеждаемся, что из уравнения e2iρl = i + O(ρ-1) для ϱk =4
λk вытекает
асимптотическая формула
(
1
)π
ϱk+m0 = k +
+εk,
(72)
4
l
где m0 - некоторое фиксированное целое число, εk = O(k-1) при k → ∞. В силу теоремы 3.1
работы [2] для собственных значений задачи (1)-(3), (5), (7) при α ∈ (0, π/2], β = 0, γ = 0 и
δ ∈ [π/2) имеет место асимптотическая формула
(
1
)π
4
√μ
k = k-
+ O(k-1).
(73)
2
l
На основании (27)-(30) и (73) из (72) получаем, что m0 = 2 и, следовательно, справедливо
асимптотическое равенство
(
7
)π
ϱk = k -
+εk,
(74)
4
l
согласно которому из уравнения (71) находим
(
)
q0 + 4a/c + 2ctg α
e2kl = ie2kl = i(1 + 2kl + O(ϵ2k)) = i 1-
+ O(ϱ-2k)
=
2k
(
)
q0 + 4a/c + 2ctg α
=i
1-
+ O(k-2)
2ikπ/l
Отсюда получаем, что
q0 + 4a/c + 2ctg α
q0 + 4a/c + 2ctg α
ϵk =
+ O(ϱ-2k) =
+ O(k-2).
(75)
4ϱkl
4
Асимптотическая формула (57) при β = 0 следует из соотношений (74) и (75).
Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом с учётом равенств (63)-(69). В
силу формулы (57) при β = 0 имеем
(
)
2
q0 + 4a/c + 2ctg α
ekl = (-1)k
(1 + i)
1-
+ O(k-2) ,
(76)
2
4ikπ
(
)
2
q0 + 4a/c + 2ctg α
e-iϱkl = (-1)k
(1 - i)
1+
+ O(k-2)
(77)
2
4ikπ
Собственную функцию y(x, λk) задачи (1)-(5), соответствующую собственному значению
λk = ϱ4k, можем представить в виде
ψ1(x,ϱk) ψ2(x,ϱk) ψ3(x,ϱk) ψ4(x,ϱk)
U2(λ,ψ1) U2(λ,ψ2) U2(λ,ψ3) U2(λ,ψ4)
y(x, λk) = Dϱk
,
(78)
U3(λ,ψ1) U3(λ,ψ2) U3(λ,ψ3) U3(λ,ψ4)
U4(λ, ψ1) U4(λ, ψ2) U4(λ, ψ3) U4(λ, ψ4)
где Dϱk = 0 - некоторая постоянная, зависящая от ϱk.
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1180
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
В случае α ∈ (0, π/2], β = 0, c = 0, δ ∈ [π/2, π) на основании (57) при β = 0, (65), (68),
(69), (76) и (77) из (78) получим
y(x, λk) = -cϱ9keϱk Dϱ
×
k
⎧
(
)
(
)
(
)
(
)
q0(x)
q0(x)
q0(x)
q0(x)
ekx 1-
e-iϱkx 1-
ekx 1+
eϱk(x-l)
1+
⎪
4
4ikπ
4ikπ
4
1
1
1
0
(
)
(
)
q0+4a/c
q0+4a/c
q0 + 4a/c
+ O(ϱ-2k)
=
×⎪⎪
0
-e-iϱkl 1-
-ekl 1+
1+
⎪
4k
4k
4ϱk
⎪
(
)
(
)
⎪
q0
q0
q0
⎩
0
ie-iϱk l
1-
-ie-iϱkl
1+
1+
4k
4k
4ϱk
{
2
q0 + 4a/c
=2
2(-1)kicϱ9keϱk lDϱ
sin(ϱkx) + (-1)k
eϱk(x-l) +
sin(ϱkx) -
k
2
4ϱk
}
q0(x) + 2ctg α
ctg α
2 q0(x)
q0(x)
-
cos(ϱkx) +
ekx + (-1)k
eϱk(x-l)
+ O(ϱ-2k)
4ϱk
2ϱk
2
4ϱk
4ϱk
Постоянную Dϱk выберем следующим образом:
(
)
-9
(-1)k+1
ekl
q0 + 4a/c
k
Dϱk =
1-
2
2c
4ρk
Тогда из последней формулы получим равенство (61) при β = 0.
Остальные случаи рассматриваются аналогично с учётом соотношений (54)-(57) и (62)-
(69). Теорема доказана.
6. О базисности в Lp(0,1), 1 < p < ∞, подсистем собственных функций краевой
задачи (1)-(5). Введём обозначение
δk = ∥yk2H = (yk, yk)H = ∥yk2L
+σ-1m2k.
(79)
2
Поскольку σ > 0 и mk = 0 (см. лемма 4), из (79) имеем
δk > 0, k ∈ N.
Замечание 5. В силу теоремы 1 системаk}∞k=1,
ϑk = δk-1/2yk, собственных векторов
оператора L образует ортонормальный базис в пространстве H.
Замечание 6. Пустьk}∞k=1, υk =k(x), sk}, - система, сопряжённая к системе {yk}∞k=1.
Тогда каждый элемент υk, k ∈ N, этой системы определяется следующим соотношением:
υk = δk1 yk.
(80)
Теорема 8. Пусть r - произвольное фиксированное натуральное число. Тогда система
{yk(x)}∞k=1,k=r собственных функций задачи (1)-(5) образует базис в пространстве Lp(0, l),
1 < p < ∞, который при p = 2 является базисом Рисса. Кроме того, система {uk(x)}∞k=1, k=r,
сопряжённая к системе {yk(x)}∞k=1,k=r, определяется равенством
uk(x) = υk(x) - sks-1rυr(x) = δ-1k{yk(x) - mkm-1ryr(x)}, k ∈ N, k = r.
(81)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 6.2 в [16].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1181
7. Равномерная сходимость разложений по системе собственных функций за-
дачи (1)-(5). Пусть r - произвольное фиксированное натуральное число. В силу теоремы 8
разложение в ряд Фурье
f (x) =
(f, uk)yk(x)
(82)
k=1
k=r
любой функции f(x) ∈ C[0, l] по системе {yk(x)}∞k=1,k=r собственных функций спектральной
задачи (1)-(5) сходится в Lp(0, l), 1 < p < ∞, причём в L2(0, l) этот ряд сходится безусловно.
Теорема 9. Пусть r - произвольное фиксированное натуральные число, f(x) - непрерыв-
ная на отрезке [0, l] функция, которая имеет равномерно сходящийся ряд Фурье по системе
функций {Ψk(x)}∞k=1 на отрезке [0, l]. Тогда ряд (82) сходится равномерно на отрезке [0, l].
Доказательство. Пусть α ∈ (0, π/2], β = 0 и c = 0 в граничных условиях (2)-(4) и
(13). В силу замечания 4 из (35) и (39) следует, что для собственных значений и собствен-
ных функций задачи (1)-(3), (5), (13) при q ≡ 0 справедливы следующие асимптотические
формулы:
(
(
3
)π
2a/c + ctg α
3
)π
2a/c + ctg α
4
√τ
k = k-
+
+ O(k-2) = k -
+
+ O(k-2),
(83)
4
l
2ρkl
4
l
2
{
2
2
ctg α
ctg α
Ψk(x) =
sin ρkx - (-1)k
eρk(x-l) -
cos ρkx +
ekx +
l
2
2ρk
2ρk
}
2 a/c
+ (-1)k
eρk(x-l) + O(ρ-2k) ,
(84)
2
ρk
причём равенство (84) выполняется равномерно по x ∈ [0, l]. Далее, на основании (83) из (84)
получим
{ (
((
)
)
2
3
)π
2
3
π
Ψk(x) =
sin k -
x - (-1)k
exp k -
(x - l)
+
l
4
l
2
4
l
(
)
( (
)
)
(2a/c + ctg α)x - l ctg α
3
π
l ctg α
3
π
+
cos k -
x+
exp - k -
x
-
2
4
l
2
4
l
((
)
)}
2 (2a/c + ctg α)(x - l) - 2la/c
3
π
(-1)k
exp k -
(x - l)
+ O(k-2).
(85)
2
2
4
l
Из (57) и (61) для собственных значений и собственных функций задачи (1)-(5) при
α∈
(0, π/2], β = 0 и c = 0 имеем асимптотические формулы
(
7
)π
q0 + 4a/c + 2ctg α
ϱk =4
λk = k -
+
+ O(k-2),
4
l
4
{
2
2
q0(x) + 2ctg α
ctg α
yk(x) =
sin ϱkx + (-1)k
eϱk(x-l) -
cos ϱkx +
ekx +
l
2
4ϱk
2ϱk
}
2 q0(x) - q0 - 4a/c
+ (-1)k
eϱk(x-l) + O(ϱ-2k)
=
2
4ϱk
{
(
((
)
)
2
7
)π
2
7
π
=
sin k -
x + (-1)k
exp k -
(x - l)
+
l
4
l
2
4
l
(
)
( (
)
)
(q0 + 4a/c + 2ctg α)x - (q0(x) + 2ctg α)l
7
π
ctg α
7
π
+
cos k -
x+
exp - k -
x
+
4
4
l
2
4
l
((
)
)
}
2 (q0 + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q1(x) + 4a/c)l
7
π
+(-1)k
exp k -
(x-l)
+O(k-2) ,
(86)
2
4
4
l
причём соотношение (86) выполняется равномерно по x ∈ [0, l].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
2
1182
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
Из формул (85) и (86) следует, что при k 2 справедливо равенство
{
(
2
q0x - q0(x)l
7
)π
yk(x) = Ψk-1(x) +
cos k -
x+
l
4
4
l
((
)
)}
2 q0(x - l) - q1(x)l
7
π
+ (-1)k
exp k -
(x - l)
+ O(k-2).
(87)
2
4
4
l
Следуя соответствующим рассуждениям, проведённым при доказательстве теоремы 7,
убеждаемся, что справедливы следующие асимптотические представления:
(
(
((
)
)
2
7
)π{
7
)π
2
7
π
y′k(x) =
k-
cos k -
x + (-1)k
exp k -
(x - l)
-
l
4
l
4
l
2
4
l
(
)
( (
)
)
(q0 + 4a/c + 2ctg α)x - (q0(x) + 2ctg α)l
7
π
ctg α
7
π
-
sin k -
x-
exp - k -
x
+
4
4
l
2
4
l
((
)
)
}
2 (q0 + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q1(x) + 4a/c)l
7
π
+ (-1)k
exp k -
(x - l)
+O(k-2) ,
(88)
2
4
4
l
(
)2(
)2{
(
((
)
)
2
7
π
7
)π
2
7
π
y′′k(x) =
k-
- sin k -
x + (-1)k
exp k -
(x - l)
-
l
4
l
4
l
2
4
l
(
)
( (
)
)
(q0 + 4a/c + 2ctg α)x - (q0(x) + 2ctg α)l
7
π
ctg α
7
π
-
cos k -
x+
exp - k -
x
+
4
4
l
2
4
l
((
)
)
}
2 (q0 + 4a/c + 2ctg α)(x - l) - (q1(x) + 4a/c)l
7
π
+ (-1)k
exp k -
(x - l)
+O(k-2)
(89)
2
4
4
l
Из (88) и (89) следует, что
(
)
2
7
)π(
a
y′k(l) = (-1)k
2
k-
1-
+ O(k-2) ,
l
4
l
ckπ
(
)
2
7
)π(
a
y′′k(l) = (-1)k
2
k-
-
+ O(k-1)
l
4
l
c
Тогда в силу (4) имеем
by′k(l) + dy′′k(l)
by′k(l) + dy′′k(l)
mk = ay′k(l) + cy′′k(l) = -
=-
=
λk
ϱ4
k
((
))((
)4(
)4
)-1
2
7
)π(σ
7
π
= (-1)k
2
k-
+ O(k-1)
k-
(1 + O(k-2))
= O(k-3).
(90)
l
4
l
c
4
l
Пользуясь формулами, приведёнными в работе [22, с. 296-297], убеждаемся, что справед-
лива формула
∥yk22 = 1 + O(k-2).
(91)
Тогда в силу (90) и (91) из (79) находим
δk = ∥yk22 + σ-1m2k = 1 + O(k-2).
(92)
Пусть r - произвольное фиксированное натуральное числа. В силу (90)-(92) и (80) из (81)
получим
uk(x) = δ-1k{yk(x) - mkmr-1yr(x)} = yk(x) + O(k-2).
(93)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1183
Заметим, что для равномерной сходимости ряда (82) необходима и достаточна равномерная
сходимость ряда
(f, uk)yk(x).
(94)
k=r+1
На основании (93) имеем
(f, uk)yk(x) =
(f, yk)yk(x) +
O(k-2).
k=r+1
k=r+1
k=r+1
Асимптотическая формула (87) показывает, что справедливо соотношение
yk(x) = Ψk-1(x) + O(k-1),
согласно которому имеем
(f, yk)yk(x) =
(f, ykk-1(x) +
(f, yk)O(k-1).
k=r+1
k=r+1
k=r+1
Так как система {yk(x)}∞k=1,k=r является базисом Рисса в пространстве L2(0, l), то имеет
место оценка
}
1
|(f, uk)O(k-1)| const
|(f, uk)|2 +
< +∞.
k2
k=l+1
k=l+1
k=l+1
Следовательно, для равномерной сходимости ряда (94) достаточно исследовать на равномер-
ную сходимость ряд
(f, ykk-1(x).
(95)
k=r+1
Введём обозначения
2 q0x - q0(x)l
2
2 q0(x - l) - q1(x)l
P1(x) =
,
P2(x) = (-1)k
,
l
4π
l
2
4π
(
)
((
)
)
7
π
7
π
ek,1(x) = cos k -
x, ek,2(x) = exp k -
(x - l)
,
x ∈ [0,l].
4
l
4
l
Тогда в силу (87) запишем
yk(x) = Ψk-1(x) + k-1P1(x)ek,1(x) + k-1P2(x)ek,2(x) + O(k-2),
откуда следует, что
(f, ykk-1(x) =
(f, Ψk-1k-1(x) +
k-1(fP1,ek,1k-1(x) +
k=r+1
k=r+1
k=r+1
+
k-1(fP2,ek,2k-1(x) +
O(k-2k-1(x).
k=r+1
k=r+1
В силу [29, лемма 5] каждая из систем {ek,j}∞k=1, j = 1, 2, является бесселевой. Следова-
тельно, имеют место оценки
)
(fPj,ek,j)
1
+
|(fPj , ek,j)|2
const(1 + ∥f∥22), j = 1, 2.
≤const
k
k2
k=l+1
k=l+1
k=l+1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1184
АЛИЕВ, АБДУЛЛАЕВА
Таким образом, ряд (95) сходится равномерно на отрезке [0, l], поскольку в силу условия
теоремы ряд
(f, Ψk-1k-1(x) сходится равномерно на этом же отрезке.
k=r+1
Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом. Теорема доказана.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензенту за ценные замечания и коммен-
тарии, способствовавшие значительному улучшению текста статьи и пониманию полученных
в ней результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.,
1978.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.; Л., 1951.
3. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, от-
вечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-
нения. 2000. T. 36. № 10. C. 1357-1360.
4. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной клас-
сической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.
2001. T. 37. № 12. C. 1599-1604.
5. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об особенностях корневого пространства одной спектральной зада-
чи со спектральным параметром в граничном условии // Докл. РАН. 2002. T. 385. № 1. C. 20-24.
6. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом
спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. C. 1504-
1507.
7. Капустин Н.Ю. О спектральной задаче из математической модели процесса крутильных колебаний
стержня со шкивами на концах // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1143-1145.
8. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости в классе C1 ряда Фурье для спектральной задачи с
квадратом спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.
№ 10. С. 1394-1399.
9. Алиев З.С., Дуньямалиева A.A. Дефектная базисность системы корневых функций задачи Штур-
ма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях // Дифференц. уравнения. 2015.
Т. 51. № 10. С. 1249-1266.
10. Kerimov N.B., Goktas S., Maris E.A. Uniform convergence of the spectral expansions in terms of root
functions for a spectral problem // Electron. J. Differ. Equat. 2016. № 80. P. 1-14.
11. Kerimov N.B., Maris E.A. On the uniform convergence of the Fourier series for one spectral problem
with a spectral parameter in a boundary condition // Math. Methods Appl. Sci. 2016. V. 39. № 9.
P. 2298-2309.
12. Kerimov N.B., Maris E.A. On the uniform convergence of Fourier series expansions for Sturm-Liouville
problems with a spectral parameter in the boundary conditions // Results Math. 2018. V. 73. № 3.
P. 1-16.
13. Керимов Н.Б. О базисных свойствах в Lp оператора Штурма-Лиувилля со спектральным пара-
метром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2. С. 148-157.
14. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базисности системы собственных функций одной спектральной задачи
со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2007. T. 43. № 7.
C. 886-895.
15. Aliyev Z.S. Basis properties of a fourth order differential operator with spectral parameter in the boundary
condition // Cent. Eur. J. Math. 2010. V. 8. № 2. P. 378-388.
16. Алиев З.С. Базисные свойства в пространстве Lp систем корневых функций одной спектральной
задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.
№ 6. С. 766-777.
17. Aliyev Z.S., Guliyeva S.B. Properties of natural frequencies and harmonic bending vibrations of a rod at
one end of which is concentrated inertial load // J. Differ. Equat. 2017. V. 263. № 9. P. 5830-5845.
18. Aliyev Z.S., Mamedova G.T. Some properties of eigenfunctions for the equation of vibrating beam with
a spectral parameter in the boundary conditions // J. Differ. Equat. 2020. V. 269. № 2. P. 1383-1400.
19. Курбанов В.М. Условия абсолютной и равномерной сходимости биортогонального ряда, отвечаю-
щего дифференциальному оператору // Докл. РАН. 2008. Т. 422. № 5. С. 594-596.
20. Kurbanov V.M., Huseynova Y.I. On convergence of spectral expansion of absolutely continuous vector-
function in eigenvector-functions of fourth order differential operator // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser.
Phys.-Tech. Math. Sci. 2014. V. 34. № 1. P. 83-90.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
1185
21. Алиев З.С., Керимов Н.Б., Мехрабов В.А. О сходимости разложений по собственным функциям
одной краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях. I // Дифференц. урав-
нения. 2020. Т. 56. № 2. С. 147-161.
22. Алиев З.С., Керимов Н.Б., Мехрабов В.А. О сходимости разложений по собственным функциям
одной краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях. II // Дифференц. урав-
нения. 2020. Т. 56. № 3. С. 291-302.
23. Namazov F.M. Uniform convergence of Fourier series expansions for a fourth-order spectral problem
with boundary conditions depending on the eigenparameter // Bull. Iran. Math. Soc. 2021. V. 47. № 2.
P. 225-235.
24. Banks D.O., Kurowski G.J. A Prüfer transformation for the equation of a vibrating beam subject to
axial forces // J. Differ. Equat. 1977. V. 24. № 1. P. 57-74.
25. Kerimov N.B., Aliyev Z.S. On oscillation properties of the eigenfunctions of a fourth order differential
operator // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. Math. 2005. V. 25. № 4. P. 63-76.
26. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.
27. Aliyev Z.S. Structure of root subspaces and oscillation properties of eigenfunctions of one fourth order
boundary value problem // Azerbaijan J. Math. 2014. V. 4. № 2. P. 108-121.
28. Амара Ж. Бен, Владимиров А.А. Об осцилляции собственных функций задачи четвёртого порядка
со спектральным параметром в граничном условии // Фунд. и прикл. математика. 2006. Т. 12. № 4.
С. 41-52.
29. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых диф-
ференциальных операторов // Изв. вузов. Математика. 1964. № 2. С. 82-93.
Бакинский государственный университет,
Поступила в редакцию 04.05.2022 г.
Азербайджан,
После доработки 04.08.2022 г.
Институт математики и механики НАН Азербайджана,
Принята к публикации 15.08.2022 г.
г. Баку,
Сумгаитский государственный университет,
Азербайджан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022