ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1186-1192

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА

НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследованы целые решения (решения, являющиеся целыми функциями) для алгебраиче-

ских дифференциальных уравнений вида P (y, y(n)) + Q(z, y, y^′, . . . , y(n)) = 0 (где P, Q -

многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень Q меньше, чем степень

P ). Показано, что (при некоторых ограничениях на многочлен P ) все целые трансцен-

дентные решения таких уравнений являются квазимногочленами.

DOI: 10.31857/S0374064122090023, EDN: CHOUZA

1. Исторический обзор. Формулировка основной теоремы. Одной из задач теории

алгебраических дифференциальных уравнений в комплексной области является задача опи-

сания их целых решений. Получено довольно много результатов для линейных (по y, y^′,

..., y(n)) уравнений. Что же касается нелинейного случая, то почти все полученные результа-

ты относятся к конкретным уравнениям, например, хорошо изучены уравнения Пенлеве (см. [1,

с. 78]). Имеющиеся к настоящему времени результаты, относящиеся к более или менее общим

классам нелинейных алгебраических дифференциальных уравнений (помимо классических

теорем Брио-Буке-Эрмита и Пикара, описывающих, в частности, целые решения уравнений

вида P (y, y^′) = 0 и P (y, y^′′) = 0), рассматривают в основном достаточно специфические це-

лые решения таких уравнений - многочлены или целые функции, имеющие конечное число

нулей (с такими результатами можно ознакомиться, например, в монографии [2]).

В последние годы автором данной статьи разработана некоторая техника, с помощью кото-

рой удалось получить для некоторого класса нелинейных алгебраических дифференциальных

уравнений (т.н. уравнений с выделенной линейной частью) описание их целых решений конеч-

ного порядка [3, 4].

В данной работе использование этой техники совместно с применением теории максималь-

ного члена Вимана-Валерона позволило описать все целые решения уже другого общего класса

нелинейных уравнений, при этом на возможные целые решения изначально не накладывается

условие конечности их порядка.

Через C[ω₁, . . . , ω_n] будем обозначать кольцо многочленов от переменных ω₁, . . . , ω_n над

полем комплексных чисел C. Если f : C → C - целая функция, то положим (при всяком

R > 0) M_f(R) = max |f(z)|; порядок ρ целой функции f(z) определяется равенством

|z|=R

ln ln M_f (R)

ρ = lim

R→+∞

ln R

при этом если ρ < +∞, то говорят, что f(z) - функция конечного порядка. Если целая функ-

∑_∞

ция f(z) =

a_kz^k, то при всяком R > 0 максимальный член m_f (R) определяется равен-

k=0

ством m_f (R) = max|ak|Rk; центральный индекс νf (R) определяется как наибольшее значе-

ние k₀, при котором m_f (R) = |ak0 |Rk0 (см., например, [5, с. 11; 6, с. 10]).

Основной результат работы - установление справедливости следующей теоремы.

∑_d

Теорема. Пусть n, d - натуральные числа и P ∈ C[z, ω₀, . . . , ω_n], P =

P_l, где

l=0

при всяком l = 0,d P_l - однородный многочлен (по совокупности переменных ω₀, ..., ω_n)

∏_d

степени l. При этом P_d =

(ω_n -α_jω₀), где α₁, . . . , α_d - различные комплексные числа.

j=1

1186

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА

1187

Пусть y = f(z) - целая функция, являющаяся решением дифференциального уравнения

P (z, y, y^′, . . . , y(n)) = 0. Тогда найдутся натуральное N, комплексные числа β₁, . . . , β_N и

многочлены q₁(z),... ,q_N(z) ∈ C[z] такие, что

∑

f (z) =

q_j(z)eβjz.

j=1

Несложно привести примеры дифференциальных уравнений, описанных в теореме. Таким

является уравнение

(y⁽⁴⁾)² - y² - zy⁽³⁾ - zy = 0

(с целым решением y = e^z - z).

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть f(z) - целая функция. Тогда существует измеримое множество E_f ⊂

⊂ [0; +∫) такое, что:

а)

(1/r) dr < +∞;

E_f

б) для любого ε > 0 найдётся число R₀ ≡ R₀(ε) > 0 такое, что при всех R > R₀,

R ∈ E_f, справедливы оценки

M_f (R) < m_f(R)(ln m_f(R))ε+1/2, ν_f (R) < ln(m_f(R))1+ε.

Лемма 1 является следствием теоремы Вимана-Валерона [5, с. 22, оценки (5), (6)].

Замечание. Множество E_f из условий леммы 1 будем далее называть исключительным

множеством функции f.

Лемма 2. Пусть f(z) - целая функция, E_f - её исключительное множество. Пусть при

любом R > 0 ξ_r - такая точка, что |ξ_R| = R и |f(ξ_R)| = M_f (R). Пусть j - натуральное

число. Тогда для любого δ ∈ (0; 1/4) найдётся постоянная γ₁, не зависящая от R, такая,

что при каждом R > 0, R ∈ E_f , следует

)_j

⁽ν_f(R)

f(j)(ξ_R) =

f (ξ_R)(1 + η_j (ξ_R)),

ξ_R

где |η_j (ξ_R)| ≤ γ₁(ν_f (R))δ-1/4.

Лемма 2 доказывается, например, в [5, с. 25, соотношение (8)].

Лемма 3. Пусть f(z) - целая трансцендентная функция, E_f - её исключительное мно-

жество. Пусть существуют постоянные (не зависящие от R) γ₁, γ₂ > 0 такие, что при

всех R ∈ E_f справедлива оценка

ν_f(R) ≤ γ₁Rγ2 .

Тогда f(z) - целая функция конечного порядка.

∑_∞

Доказательство. Пусть f(z) =

C_kz^k. Так как f(z) - целая функция, то max|Ck| ≤ C

k=0

при некотором C ∈ R. Отсюда в силу определения m_f (R) имеем оценку m_f (R) ≤ CRνf (R).

Применим лемму 1, выбрав число ε = 1/2. Тогда найдётся R₀ > 0 такое, что при любом

R > R₀, R ∈ E_f, выполняются неравенства

M_f (R) ≤ (CRνf(R))ln(CRνf (R)) ≤ (CRνf (R))² ≤ C²R2γ1Rγ2 .

Поэтому найдутся постоянные γ₃, γ₄ > 0 такие, что при любом R ∈ E_f справедлива оценка

M_f(R) ≤ eγ3Rγ4 .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1188

ЯНЧЕНКО

Далее, из с∫ойств исключительного множества E_f следует, что найдётся постоянная γ₅ > 0

такая, что_E

(1/r) dr < γ₅. Пусть R > eγ5 + 1. Покажем, что существует хотя бы одна точка

A ∈ [R,R²], не лежащая в E_f. Если бы это было не так, то из оценок

∫

γ₅ ≥

≥

= ln R

E_f

получили бы противоречие с оценкой R > eγ5 + 1. Тогда справедливы неравенства

M_f (R) ≤ M_f(A) ≤ exp(γ₃Aγ4 ) ≤ exp(γ₃R2γ4 )

при любом R > eγ5 + 1, что означает конечность порядка функции f(z). Таким образом,

лемма 3 доказана.

∑_d

Лемма 4. Пусть n, d - натуральные числа, P ∈ C[z, ω₀, . . . , ω_n] и P =

P_l, где:

l=1

а) при всяком l P_l - однородный многочлен степени l по совокупности переменных ω₀,

..., ω_n;

∏_d

б) P_d =

(ω_n - α_jω₀),

{α_j } ∈ C.

j=1

Пусть y = f(z) - целая трансцендентная функция, удовлетворяющая уравнению

P (z, y, y^′, . . . , y(n)) = 0.

Тогда f(z) - функция конечного порядка.

Доказательство. При всяком R, не лежащем в исключительном множестве E_f , выберем

какую-либо точку ξ_R с условием M_f (R) = |f(ξ_R)|. Предположим, что существует бесконечная

числовая последовательность R_k ∈ E_f такая, что lim

R_k = +∞, и при любом k

k→+∞

ν_f(R_k) > R2k.

Применив лемму 2 (со значением δ = 1/8), найдём, что существует R₀ > 0 такое, что при

всяком R_k > R₀ и при любом j = 1, n справедливы оценки

)_j



⁽ν_f(R_k)



f(j)(ξRk )



≤

2(νf(Rk))j.

(1)



≤

R_k

f (ξRk )

R_k

Пусть далее R_k > R₀. Рассмотрим равенство

P (ξRk , f(ξRk ), . . . , f(n)(ξ_R

)) = 0,

равносильное равенству I₁ = I₂, где

)

(

)

∏

∑

⁽f(n)(ξ_R

)

f(n)(ξRk )

I₁ = (f(ξRk ))^d

-α_j

I₂ =

P_l ξRk ,1,... ,

f^l(ξ_R

f (ξRk)

f (ξRk )

j=1

l=1

Учитывая оценки (1) и то, что ν_f (R_k) > R2k, получаем при достаточно большом R_k

)_n

)

∏(1(νf(Rk)

⁽ν_f(R_k))nd

|I₁| ≥ |f(ξRk )|^d

- |α_j |

≥ γ₁|f(ξRk)|^d

R_k

j=1

для некоторой постоянной γ₁ > 0. Аналогично можно показать, что

)n(d-1)

⁽ν_f(R_k)

|I₂| ≤ (d - 1)HR^m

≤ γ₂Rγ3|f(ξ_R

)|d-1

⁽ν_f(R_k))n(d-1),

R_k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА

1189

здесь H - сумма модулей всех коэффициентов всех многочленов P₁, . . . , Pd-1; m - мак-

симальная степень по переменной z у всех многочленов P₁, . . . , Pd-1; γ₂ > 0, γ₃ > 0 -

постоянные, не зависящие от R_k.

Отсюда, учитывая, что |I₁| = |I₂|, найдём

|ν_f (R_k)| ≤ γ₄R1+γ3/n

(2)

|f(ξRk )|

Так как f(z) - трансцендентная функция, то правая часть в неравенстве (2) стремится к

нулю при R_k → +∞, откуда следует, что и ν_f (R_k) → 0 при k → +∞, что противоречит

оценкам (1). Но тогда найдётся постоянная γ₅ > 0, не зависящая от R, такая, что при всех

R ∈ E_f следует неравенство ν_f(R) ≤ γ₅R², откуда в силу леммы 3 заключаем, что f(z) -

функция конечного порядка. Лемма 4 полностью доказана.

Лемма 5 ([3], лемма 3). Пусть h(z) - целая функция конечного порядка не выше ρ. Тогда

для любого ε > 0 найдутся числа R₀ > 0 и δ > 0 такие, что справедливо следующее

утверждение: при любых R > R₀ и H > 0 в кольце C_R = {2R ≤ |z| ≤ 3R} можно выбрать

конечное множество B_R кругов с суммой радиусов не более 2H таким образом, что при

любом z ∈ C_R \ B_R справедлива оценка



(

)

_h′(z)

Rρ+ε



1+Rρ+ε-1 +

(3)

≤

_h(z)

Следствие 1. Пусть ϕ(z) - целая функция конечного порядка не выше ρ. Тогда при

всяком j ∈ N для любого ε > 0 найдутся числа R_j и σ_j такие, что справедливо утвержде-

ние: при любых R > R_j и H > 0 в кольце C_R = {2R ≤ |z| ≤ 3R} можно выбрать конечное

множество B_j,R кругов с суммой радиусов не более 2jH таким образом, что при всяком

z ∈ C_R \ B_j,R верна оценка



(

)_j

_ϕ(j)(z)



Rρ+ε



σ_j

1+Rρ+ε-1 +

(4)

≤

 ϕ(z)

Доказательство. Отметим, что при любом l ∈ N ϕ(l)(z) - целая функция порядка не

выше ρ (см., например, [6, гл. 1]). Применим лемму 5 к каждой из ϕ(l)(z) при всех l =

= 0, j - 1.

Пусть B_j,R - объединение совокупностей исключительных кругов при всех l = 0, j - 1;

δ₀, ..., δj-1 - соответствующие постоянные из неравенства (3). Тогда сумма радиусов всех

кругов из B_j,R не более чем 2jH, и при всех z ∈ C_R \ B_j,R выполняется оценка







(

)_j

_ϕ(j)(z)



_ϕ′(z)ϕ′′(z)

 ϕ(j)(z)



Rρ+ε







··

δ₀ ··· δj-1

1+Rρ+ε-1 +

⁼



·

≤

 ϕ(z)

_ϕ(z)

_ϕ′(z)

^ϕ(j-1)(z)

В завершение доказательства положим σ_j = δ₀ · · · δj-1.

Следствие 2. Пусть r ∈ N, ϕ₁(z), . . . , ϕ_r(z) - целые функции конечного порядка не

выше ρ. Тогда при всяком s ∈ N для любого ε > 0 найдутся числа R_s,r и λ_s,r такие, что

справедливо утверждение: при любых R > R_s,r и H > 0 в кольце C_R = {2R ≤ |z| ≤ 3R}

можно выбрать конечное множество B_r,s,R кругов с суммой радиусов не более 2rsH таким

образом, что при всяком z ∈ C_R \ B_r,s,R и при любых k = 1,r, j = 1,s верны оценки



(

)_s

ϕ(j)k(z)

Rρ+ε



λ_s,r

1+Rρ+ε-1 +



≤

ϕk(z)

Замечание. Для доказательства следствия 2 достаточно применить следствие 1 к каж-

дой из функций ϕ₁(z), . . . , ϕ_r(z) и, объединив выброшенные в каждом случае круги, взять

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1190

ЯНЧЕНКО

в качестве правой части искомого неравенства максимум из правых частей всех неравенств

вида (4).

Лемма 6 ([4], § 2, лемма 2). Пусть δ ∈ (0; 1); R > 101/δ; B_R - конечное множество

кругов с общей суммой радиусов менее 2R1-δ, лежащих в кольце C_R = {2R ≤ |z| ≤ 3R}.

Тогда найдётся число R₁ ∈ (2R, 3R) такое, что окружность βR1 = {z : |z| = R₁} не

пересекается с множеством B_R.

3. Доказательство теоремы. Далее через γ_i (i = 1, 2, . . .) будем обозначать положи-

тельные постоянные, которые зависят только от функции f(z) и многочлена P (и не зависят

от определённых далее чисел R). По условию f(z) удовлетворяет уравнению

P_d(f(z),f(n)) + Q(z,f(z),f^′(z),... ,f(n)(z)) = 0,

(5)

∏_d

где P_d(ω₀, ω_n) =

(ω_n - α_jω₀), а степень многочлена Q (по совокупности переменных ω₀,

j=1

..., ω_n) не превосходит d-1. Так как при d = 1 утверждение теоремы очевидно выполняется,

то в дальнейшем считаем, что d ≥ 2.

Согласно лемме 4 функция f(z) имеет конечный порядок. Пусть этот порядок равен ρ.

Положим K = 100(nd + deg_z Q)²(ρ + 1). Обозначим через L следующее множество функций:

L = {f(z),f^′(z),... ,f(n)(z),f(n)(z) - α₁f(z),...,f(n)(z) - α_df(z)}.

Тогда каждая из функций множества L имеет порядок, не превосходящий ρ, и найдётся

постоянная γ₁ такая, что при любом R > γ₁ для любой функции ϕ ∈ L и любого j ∈

∈ {0, 1, . . . , n} справедливы оценки

M_ϕ(j) (4R) ≤ exp(Rρ+1).

Применим следствие 2 из леммы 5, согласно которому существуют постоянные γ₂, γ₃ > 0, что

при любом R > γ₂ найдётся конечное число кругов B_R такое, что:

а) B_R ⊂ {2R ≤ |z| ≤ 3R};

б) сумма радиусов всех кругов из B_R не превосходит R1/2;

в) при любом z ∈ {2R ≤ |z| ≤ 3R} \ B_R для любой функции ϕ(z) ∈ L и любого j ∈

∈ {0, 1, . . . , 3nd} справедливы оценки



_ϕ(j)(z)



γ₃R^K.

≤

 ϕ(z)

Далее, согласно лемме 6 найдётся γ₄ > 1, что при любом R > γ₄ существует число R₁ ⊂

⊂ (2R, 3R) такое, что окружность βR1 = {z : |z| = R₁} лежит во множестве {2R ≤ |z| ≤

≤ 3R} \ B_R и, следовательно, для любой точки z ∈ βR1 , любой функции ϕ ∈ L и любого

j ∈ {0,1,... ,3nd} справедливы оценки



_ϕ(j)(z)



γ₃R^K.

(6)

≤

 ϕ(z)

Фиксируем произвольное достаточное большое R. Пусть многочлен Q из равенства (5)

имеет вид

∑

aj1,...,jn(z)ω00 ··· ωnn.

j₀+...+jn≤d-1

Тогда из (5) при любом z ∈ βR1 получим



∏

_f(n)(z)



∑

_f′(z)j1

_f(n)(z)

jn



|f(z)|^d

-α_j

|a_j (z)|

···

|f(z)|j0+...+jn ,

≤



 f(z)

j=1

j₀+...+jn≤d-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА

1191

откуда, учитывая выбор параметра K, имеем неравенство



∏

_f(n)(z)



|f(z)|^d

-α_j

γ₅(|f(z)| + 1)d-1RK(d-1/2).

(7)

≤

 f(z)

j=1

Пусть z₀ ∈ βR1 и |f(z₀)| > R2Kd. Из (7) находим



∏



_f(n)(z0)

RK(d-1/2)



-α_j

≤γ₆

(8)



 f(z₀)

|f(z0)|

j=1

Здесь согласно условиям теоремы все числа α_j различны.

Пусть j₀ таково, что справедливо неравенство



_f(n)(z0)



_f(n)(z0)



min

-α_j

-αj0

⁼

^.

 f(z₀)

Тогда из (8) имеем



^d

∏



_f(n)(z0)

RK(d-1/2)



-αj0

≤

-α_j

γ₆



≤

 f(z₀)

R2Kd

j=1

откуда следует, что



_f(n)(z0)



γ₇



-αj0

≤

 f(z₀)

R^K

Если j = j₀, то (при достаточно большом R)



_f(n)(z0)



_f(n)(z0)



γ₇



-α_j

|α_j - αj0 | -

-αj0

|α_j - αj0 | -

≥

|α_j - αj0 |.

≥

 f(z₀)

R^K

Из (8) будем иметь



_f(n)(z0)



RK(d-1/2)



-αj0

γ₈

≤

 f(z₀)

|f(z₀)|

или

|f(n)(z) - αj0 f(z₀)| ≤ γ₈RK(d-1/2).

Если же |f(z₀)| ≤ R2Kd, то из (6) следует, что

|f(n)(z₀)| ≤ γ₉R3Kd,

откуда получим

|f(n)(z₀) - αj0 f(z₀)| ≤ γ₁₀R3Kd.

Таким образом, при достаточно большом R > γ₁₁ и при любом z ∈ βR1 найдётся нату-

ральное число j(z) ∈ {1, . . . , d} такое, что

|f(n)(z) - αj(z)f(z)| ≤ γ₁₂R3Kd.

Но тогда, согласно (6), при всех l = 0, 2nd справедливы оценки

|f(n+l)(z) - αj(z)f(l)(z)| ≤ γ₁₃R4Kd.

(9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1192

ЯНЧЕНКО

Отсюда при всех s = 1, d имеют место неравенства

|f(ns)(z) - αsj(z)f(z)| ≤ (1 + |αj(z)|)^sγ₁₃R4Kd.

(10)

Действительно, применив индукцию:

1) при s = 1 получим оценку (9);

2) если (10) верно при s = t, то при s = t + 1 имеем

|f(n(t+1))(z) - αt+1j(z)f(z)| ≤ |f(n(t+1))(z) - αj(z)f(nt)(z)| + |αj(z)f(nt)(z) - αt+1j(z)f(z)| ≤

≤ γ₁₃R4Kd + |αj(z)|(1 + |αj(z)|)^tγ₁₃R4Kd ≤ (1 + |αj(z)|)t+1γ₁₃R4Kd.

Справедливость неравенств (10) доказана.

∏_d

Пусть Q(t) =

(t - α_j) = t^d + ad-1td-1 + . . . + a₀. Положим

j=1

L(f) = f(nd) + ad-1f(n(d-1)) + . . . + a₁f(n) + a₀.

Тогда (учитывая, что Q(αj(z)) = 0 при всех j(z)) найдём, что при любом z ∈ βR1

|L(f(z))| = |L(f(z)) - Q(αj(z))f(z)| ≤

≤ |f(dn)(z) - αdj(z)f(z)| + |ad-1||f((d-1)n)(z) - αd-1j(z)f(z)| + . . . + |a₀||f(z) - f(z)| ≤ γ₁₅R4Kd.

Таким образом, при всяком достаточно большом R для целой функции L(f(z)) имеет место

оценка

max

|L(f(z))| ≤ max |L(f(z))| ≤ γ₁₄R4Kd.

|z|≤R

z∈βR1

Тогда по теореме Лиувилля L(f(z)) = q(z) при некотором многочлене q(z) ∈ C[z], т.е. функ-

ция y = f(z) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

y(dn) + ad-1y((d-1)n) + ... + a₁y(n) + a₀y = q(z),

откуда следует, что f(z) - квазимногочлен. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., 1950.

2. Горбузов В.Н. Целые решения алгебраических дифференциальных уравнений. Гродно, 2006.

3. Подкопаева В.А., Янченко А.Я. О целых решениях конечного порядка одного класса алгебраиче-

ских дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 10. С. 1318-1322.

4. Янченко А.Я. О некоторых арифметических свойствах значений целых функций конечного порядка

и их первых производных // Мат. сб. 2019. Т. 210. № 12. С. 136-150.

5. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М., 1987.

6. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., 1956.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 28.03.2022 г.

“Московский энергетический институт”

После доработки 11.08.2022 г.

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022