ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1193-1204
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956+517.983
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
© 2022 г. С. П. Зубова, Е. В. Раецкая
Исследуется разрешимость полуграничной задачи в банаховом пространстве для уравне-
ния в частных производных с необратимыми операторными коэффициентами. За счёт
регулярности операторного пучка уравнение расщепляется на два уравнения в подпро-
странствах. Выявляются условия разрешимости задач, поставленных для этих уравнений,
и строятся решения.
DOI: 10.31857/S0374064122090035, EDN: CHUCTT
Введение. Рассматривается уравнение
∂u
∂u
A
=B
,
(1)
∂t
∂x
где A : E1 → E2 - линейный замкнутый фредгольмов оператор с нулевым индексом, dom A =
= E1; B ∈ L(E1 → E2); E1, E2 - банаховы пространства; (t,x) ∈ T × X, T = [0,tk],
X = [0,xk]; u = u(t,x) - искомая вектор-функция.
Под решением уравнения (1) понимается вектор-функция u = u(t, x) ∈ dom A, непрерывно
дифференцируемая по t и по x, удовлетворяющая (1) при всех (t, x) ∈ T × X.
Ищется решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ X,
(2)
u(t, 0) = ψ(t), t ∈ T,
(3)
где ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие вектор-функции со значениями в E2.
Интерес к уравнениям в частных производных с необратимым оператором при производ-
ной по выделенной переменной привлекла работа С.Л. Соболева [1], вследствие чего такие
уравнения называют уравнениями соболевского типа. Уравнениями указанного типа описы-
ваются процессы гидродинамики, тепло- и влагопереноса, процессы в электромеханических
системах (см., например, [2-4]).
Исследование уравнения (1) можно сопоставить с исследованием уравнения
dz
A
= Bz(t)
(4)
dt
с коэффициентами A и B, описанными выше, а решение задачи (1)-(3) - с решением урав-
нения (4), удовлетворяющим условию
z(0) = z0 ∈ dom A.
(5)
При этом можно использовать многие факты, полученные при решении задачи (4), (5), на-
чало исследования которой было положено, по-видимому, в середине XX века на семинаре
проф. Л.А. Люстерника в Московском государственном университете.
В частном случае конечномерных пространств E1, E2 определённые результаты описаны
в книге [5, гл. XII, § 7]; в конечномерном случае значительные результаты получены в работах
[6-9], в банаховом пространстве - в [10, 11].
1193
1194
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
С шестидесятых годов прошлого века активные исследования задачи (4), (5) велись в Воро-
нежской математической школе под руководством проф. С.Г. Крейна. Подробные результаты
получены в работах [12-15], часть их приведена в Математической энциклопедии [16, с. 332-
337]. Опишем основные результаты.
В случае регулярного операторного пучка A - λB (т.е. обратимости пучка при достаточно
малых по модулю и не равных нулю λ (λ ∈˙⋃(0)⋂ C)) оператор Aλ = (A-λB)-1A: dom A →
→ E1 имеет число нуль нормальным собственным числом, т.е. имеет место разложение E1 в
прямую сумму
E1 = M
⊕N,
(6)
где N - корневое подпространство для Aλ; M инвариантно относительно Aλ и такое, что
сужение
Aλ оператора Aλ на M обратимо (см. [12]). Определение нормального собственного
числа приведено в [17, гл. I, § 2].
Далее: решение задачи (4), (5) существует в том и только в том случае, если z0 ∈ M. Само
решение целиком лежит в M и оно единственно. Получена формула для решения.
Результаты получены и в случае неоднородного уравнения (4), и в случае переменных
коэффициентов A и B, и в случае ненулевого индекса оператора A.
Задача (1)-(3) в пространстве Rn с дополнительным слагаемым Cu(t, x), с постоянными
или переменными коэффициентами исследована в работах В.Ф. Чистякова, в частности, в
статьях [18, 19], в которых получены определённые условия разрешимости задачи, построено
частное решение.
Цель настоящей работы - построить решение задачи (1)-(3). Для этого требуется опре-
делить необходимые условия согласования для функций ϕ(x), ψ(t), достаточную степень
их гладкости, убедиться, что достаточным условием на коэффициенты A и B для решения
поставленных задач является условие регулярности пучка A - λB.
1. Расщепление уравнения и краевых условий. Пусть пучок A - λB регулярен; PN
и PM - проекторы на подпространства N и M соответственно, отвечающие разложению (6).
Тогда
u(t, x) = PM u(t, x) + PN u(t, x).
(7)
Обозначим PM z = zM , PN z = zN для любого z ∈ E1.
Представление B = λ-1(λB - A + A) и умножение уравнения (1) слева на (A - λB)-1
приводит к уравнению
∂u
1
∂u
(Aλ - I)
,
(8)
Aλ ∂t=
λ
∂x
и поскольку M и N инвариантны относительно Aλ, то, подставив (7) в (8) и отделив слага-
емые в M и N, получим в подпространстве M
∂uM
1
∂uM
Aλ
=
(Aλ - PM )
(9)
∂t
λ
∂x
и в подпространстве N
∂uN
1
∂uN
Aλ
=
(Aλ - PN )
(10)
∂t
λ
∂x
В M оператор Aλ обратим, следовательно, уравнение (9) разрешается относительно произ-
водной по t следующим образом:
∂uM
1
=
(PM
Aλ-1)∂uM
(11)
∂t
λ
∂x
Таким образом, справедлива
Лемма 1. Уравнение (1) эквивалентно системе, состоящей из равенства (7) и двух диф-
ференциальных уравнений (10), (11).
Замечание 1. Равенство (7) - алгебраическое уравнение для нахождения функции u(t, x),
в этом смысле уравнение (1) является дифференциально-алгебраическим.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
1195
Из (7) следует, что
u(0, x) = uM (0, x) + uN (0, x) = ϕM (x) + ϕN (x),
u(t, 0) = uM (t, 0) + uN (t, 0) = ψM (t) + ψN (t),
отсюда получим
uM (0,x) = ϕM (x), uM (t,0) = ψM (t),
(12)
uN(0,x) = ϕN (x), uN (t,0) = ψN (t).
(13)
Недостатком уравнений (10) и (11) является наличие в них параметра λ. В статье [12]
получена формула для оператора λ-1(PM
A-1λ), не содержащая λ. Доказательство неза-
висимости решения уравнения (10) от λ достаточно трудоёмко, поэтому преобразуем (10),
умножив его слева на A - λB :
∂uN
∂uN
A
=B
(14)
∂t
∂x
Итак, задача состоит в решении уравнений (14) и (11) с условиями (12) и (13).
2. Предварительные сведения. Фредгольмовость оператора A : E1 → E2 позволяет
разложить пространства в прямые суммы
E1 = Coim A
⊕Ker A, E2 = ImA⊕ Coker A,
(15)
где Coim A - прямое дополнение к ядру Ker A в пространстве E1, Coker A - дефектное под-
пространство; сужение
A оператора A на Coim A имеет ограниченный обратный оператор
A-1 (см. [20]).
Проекторы на Ker A и Coker A, отвечающие разложению (15), обозначаются через P0 и
Q0 соответственно; через I - единичный оператор в соответствующем пространстве; оператор
A-1(I - Q0) обозначается через A- и называется полуобратным оператором.
Далее приведём результаты, полученные в [12, 13] и описанные в [14, 15].
Лемма 2. Равенство
Ay = z, y ∈ E1
⋂dom A, z ∈ E2,
эквивалентно системе
Q0z = 0,
y = A-z + P0y для всех P0y ∈ KerA
⋂dom A.
При построении оператора (A - λB)-1, при исследовании свойств оператора Aλ = (A -
- λB)-1A возникают операторы
S0 = Q0B, T0 = A-0B (A0 = A), Aj = Sj-1Pj-1,
Sj = QjSj-1Tj-1, Tj = Tj-1 - A-jSj-1Tj-1, j = 1,p,
(16)
p - максимальная длина цепочек B-присоединённых элементов к элементам из KerA. Име-
ются ввиду B-жордановы цепочки, отвечающие нулевому собственному числу.
Операторы Aj : Ker Aj-1 → Coker Aj-1 - конечномерные операторы с соответствующими
квадратными матрицами, следовательно, являются фредгольмовыми, тогда
Ker Aj-1 = Coim Aj
⊕Ker Aj, Coker Aj-1 = Im Aj ⊕Coker Aj, j = 1,p - 1.
(17)
Операторы Pj и Qj в (16) - это проекторы на Ker Aj и Coker Aj соответственно, отвечающие
разложениям (17); A-j
A-1j(Qj-1 - Qj).
Лемма 3. Пучок (A - λB) регулярен в том и только в том случае, когда существует
число q ∈ N такое, что оператор Aq обратим. Число p есть минимальное из таких q.
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1196
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
Разложение (15) с помощью равенств (17) переходит в разложения
E1 = Coim A
⊕ Coim A1 ⊕ ...⊕ CoimAp-1 ⊕Coim Ap,
E2 = Im A
⊕ ImA1 ⊕ ...⊕Im Ap-1 ⊕Im Ap,
Coim Ap = Ker Ap-1, Im Ap = Coker Ap-1.
Лемма 4. Справедливо представление пространства E1 в виде (6), где
M = {y ∈ E1 : Siy = 0, i = 0,p - 1}.
Сужение
Aλ оператора Aλ на M имеет ограниченный обратный оператор
A-1λ = PM - λTp.
(18)
Получены формулы для построения проекторов PM и PN на M и N соответственно.
3. Структура корневого подпространства. Подпространство N есть линейная обо-
лочка собственных и присоединённых элементов wi(λ) оператора Aλ, отвечающих нулево-
му собственному числу. Оператор Aλ в N нильпотентен со степенью нильпотентности p :
Apλ = 0.
Для элементов wi(λ) получены формулы, однако при работе в подпространстве N удобнее
использовать vi - элементы B-жордановых цепочек для A, отвечающие нулевому собствен-
ному числу, не зависящие от λ, т.е. элементы v1, v2, . . . ∈ E1 : Av1 = 0, Avi = Bvi-1, . . .
Максимальная длина цепочек равна p, элементы цепочек длины k имеют вид
v1 = Pk-1z1, v2 = Tk-2(Pk-1z1) + Pk-2z2, ...
∑
∏
...,
vi =
Tk-j(Pk-s+1zs-1) + Pk-izi, i = 1,k,
(19)
s=1 j=i
с произвольными элементами Pk-izi ∈ Ker Ak-i, т.е. vi - блоки B-присоединённых элементов
к блоку v1 собственных элементов оператора A, принадлежащих Coim Ak.
Переход от wi(λ) к vi возможен, поскольку wi(λ) являются линейными комбинациями
элементов vi :
w1(λ) = v1,
∑
wi(λ) =
(-1)j-1Cj-2i-2λj-1vj , i = 2, k.
j=2
Теперь N - линейная оболочка собственных и B-присоединённых элементов оператора A, в
таком случае проекторы PM и PN не зависят от параметра λ.
Элементы из Coim A1 не имеют B-присоединённых элементов, длины их B-жордановых
цепочек равны единице. Элементы из Coim A2 имеют по одному B-присоединённому элемен-
ту, длины их B-жордановых цепочек равны 2, . . . , элементы из Coim Ap = Ker Ap-1 имеют
B-жордановы цепочки длины p.
Замечание 2. Если Ar = (0) с некоторым r,
1 ≤ r < p, то полагаем, что A-r = (0),
Coim Ar = {0}, соответствующие присоединённые элементы являются нулевыми и Pr = Pr-1,
Qr = Qr-1.
Представим
N =N1
⊕N2⊕...⊕Np,
где Nk - линейная оболочка элементов из Coim Ak (это vk1) и B-присоединённых к ним
элементов vki, i = 2, k.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
1197
3.1. Структура подпространства Nk.
Лемма 5. Nk = lin {vk1, vk2, . . . vkk}, где
vk1 = zk1, vk2 = T0zk1 + zk2, ...
∑
...,
vkj =
Tj-i0zki, для любых zki ∈ Coim Ak, i = 1,k,
(20)
i=1
и
Sizkk-j = 0, j > i,
Sizkk-i = 0, i = 0,k - 1.
(21)
Здесь
Si = Q0BTi0|CoimAk .
Доказательство. Первое равенство в (20) очевидно. Далее из равенства Avk2 = Bvk1 в
силу леммы 2 следует, что vk2 существует в том и в только в том случае, когда Q0Bvk1 =
= S0vk1 = 0. Тогда vk2 = A-Bvk1 + zk2 для всех zk2 ∈ Coim Ak.
Аналогично, так как существует vki такой, что Avki = Bvki-1, то S0vki-1 = 0 и vki =
= T0vki-1+zki для любых zki ∈ Coim Ak. При этом S0vki-1 = S0T0vki-2 = ... = S0Ti-20vk1 =
= 0, i = 2, k.
Уравнение Avkk+1 = Bvkk не имеет решения vkk+1, поэтому S0vkk = 0 и Sivkk-i = 0,
i = 0,k - 1.
Замечание 3. Формулы (20) согласуются с формулами (19), поскольку Aj |CoimAk = (0),
j = 1,k - 1, и Pj = P0, Qj = Q0. Сужение
Ak оператора Ak на Coim Ak обратимо в Nk и
Ak = Sk|CoimAk
Sk.
Замечание 4. В формулах (20) нельзя отбросить младшие слагаемые, как это делается
при построении B-присоединённых элементов к одномерному вектору из подпространств N.
Иначе - элемент из Nk нельзя представить в виде суммы B-присоединённых элементов с
элементами из Coim Ak, вообще говоря, неодномерными.
3.2. Представление элементов в Nk. Запишем произвольный элемент y ∈ Nk в виде
суммы элементов, описанных формулами (20):
∑
y = zk1 + (T0zk1 + zk2) + ... +
Tk-i0zki,
(22)
i=1
с элементами zki ∈ Coim Ak, которые предстоит определить с помощью свойств (21), для
чего целесообразно перегруппировать слагаемые в последнем равенстве:
∑
∑
y = Tj0zk1 + Tj0zk2 + ... + (I + T0)zkk-1 + zkk.
j=0
j=0
Последовательным умножением этого равенства слева на S0, S1, . . . , Sk-1 и с использова-
нием свойств (21) формируется система
S0y = S0Tk-10zk1, S1y = S1Tk-10zk1 + S1Tk-20zk2,
...,
Sk-1y = Sk-1Tk-10zk1 + Sk-1Tk-20zk2 + ... + Sk-1T00zkk.
(23)
Здесь S0Tk-10|CoimA
= S1Tk-20|CoimA
= ... = Sk-1T00|CoimAk =
Ak - обратимый оператор,
k
k
вследствие чего из первого уравнения этой системы находится zk1 =
A-1kS0y, из второго
уравнения - zk2, и т. д. Единственность решения zki системы очевидна. Логично обозначить
zki через yki. Таким образом, доказана
Лемма 6. Любой элемент y ∈ Nk представим в виде (22) с элементами zki = yki,
i = 1,k, определяемыми из системы (23).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
3∗
1198
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
4. Решение уравнения (14) с условиями (13). Как правило, вектор-функцию из ко-
нечномерного пространства представляют в виде суммы элементов минимальной размерности.
В данной работе uN (t, x) ищется в виде суммы B-жордановых блоков:
∑
∑
uN(t,x) =
uk, ψN(t) =
ψk,
k=1
k=1
∑
uk = uk1 + (T0uk1 + uk2) + ... + Tk-i0uki,
i=1
∑
ψk = ψk1 + (T0ψk1 + ψk2) + ... + Tk-i0ψki,
(24)
i=1
uk = uk(t,x) ∈ Nk, ψk = ψk(t) ∈ Nk, где uki определяются из (23) с заменой y → uk,
zki → uki, а ψki - из (23) с заменой y → ψk, zki → ψki.
∂uN
∂uN
4.1. Преобразование уравнения (14) в Nk. Соотношение A
= B
в силу
∂t
∂x
леммы 2 эквивалентно системе
∂uN
S0
= 0,
∂x
∂uN
∂uN
=T0
+ zk1(t,x), для любых zk1(t,x) ∈ Coim Ak,
∂t
∂x
т.е.
(
(
)
)
∑
∂uk1
∂uk1
∂uk2
∂uki
S0
+ T0
+
+...+
Tk-i
=0
(25)
0
∂x
∂x
∂x
∂x
i=1
и
(
)
(
(
)
∑
∂uk1
∂uk1
∂uk2
∂uki
∂uk1
∂uk1
∂uk2
+ T0
+
+...+
Tk-i
=T0
+ T0
+
+...
0
∂t
∂t
∂t
∂t
∂x
∂x
∂x
i=1
)
∑
∂uki
...+
Tk-i
+zk1.
(26)
0
∂x
i=1
∂uk1
Равенство (25) в силу свойств (21) имеет вид S0Tk-1
= 0, и в силу обратимости
0
∂x
S0Tk-10|CoimA
=A˜k имеем
k
∂uk1
= 0.
∂x
В соотношении (26) удобно сгруппировать слагаемые при одинаковых степенях T0 :
)
)
∑
∑
∑
(∂uki
∂uki+1
(∂uki
∂uki+1
(∂ukk
Tk-j
-
+
-
+
-zk1
= 0.
0
∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
j=1
i=1
i=1
Умножая последнее равенство последовательно на S0, S1, . . . , Sk-1 и учитывая свойства
(21) и обратимость операторов S0Tk-10|CoimA
= S1Tk-20|CoimA
= ... = Sk-1T00|CoimAk =
Ak,
k
k
получаем
∂uki
∂uki+1
-
= 0, i = 1, k - 1,
∂t
∂x
∂ukk
- z(t,x) = 0,
∂t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
1199
т.е. в подпространстве Nk уравнение (14) разрешается относительно производной по x:
∂uk1
∂uki+1
∂uki
= 0,
=
,
i = 1,k - 1.
(27)
∂x
∂x
∂t
4.2. Решение уравнения (14) в Nk с условием uN (t, 0) = ψN (t). Решая после-
довательно уравнения (27) с условиями uki(t, 0) = ψki(t) при достаточной гладкости ψki(t),
получаем
dψk1
uk1(t,x) = ψk1(t), uk2(t,x) = x
+ ψk2(t), ...
dt
∑
xi-j di-jψkj
...,
uki(t,x) =
,
i = 1,k.
(28)
(i - j)! dti-j
j=1
Определяем и
∑
xk-j dk-j+1ψkj
zk1(t,x) =
(k - j)! dtk-j+1
j=1
4.3. Решение уравнения (14) с условием uN (t, 0) = ψN (t) . Согласно равенству (24)
∑
uN (t,x) = uk(t,x),
(29)
k=1
поэтому справедлива
Лемма 7. Пусть ψki(t) ∈ Ck-i+1(T → C), k = 1, p, i ≤ k. Решение uN (t, x) уравнения
(14) существует, единственно и описывается формулами (29), (24), (28).
4.4. Решение уравнения (14) с условиями (13). На основании результатов п. 4.3
справедлива
Лемма 8. Пусть ψki(t) ∈ Ck-i+1(T → C), k = 1, p, i ≤ k. Решение уравнения
∂uN
∂uN
A
=B
∂t
∂x
∑p
с условиями uN (t, 0) = ψN (t), uN (0, x) = ϕN (x) =
ϕi(x) существует в том и только в
i=1
том случае, когда выполняются условия согласования, вытекающие из (29), (24), (28):
∑
xi-j di-jψkj
ϕk i(x) =
,
i = 1,k.
(30)
(i - j)! dti-j
t=0
j=1
5. Решение задачи в дополнительном подпространстве. Для решения уравнения
(11) можно воспользоваться формулой (18), в результате чего уравнение приобретает вид
∂uM
∂uM
=Tp
(31)
∂t
∂x
5.1. Решение уравнения (31) с условием uM (0, x) = ϕM (x). Использование спек-
тральных свойств оператора Tp ∈ L(M → M) приводит к следующему результату.
Пусть Γ - замкнутый спрямляемый контур, окружающий спектр ограниченного оператора
xPM + tTp.
Лемма 9. Решение uM (t, x) уравнения (31) с условием uM (0, x) = ϕM (x) и аналитиче-
ской на X вектор-функцией ϕM (x) имеет вид
∮
1
uM (t,x) = -
(tTp + (x - μ)PM )-1ϕM (μ) dμ.
(32)
2πi
Γ
В этом нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (32) в (31) и в начальное условие.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1200
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
5.2. Решение уравнения (31) с условиями (12). Из формулы (32) при x = 0 следу-
ет, что
∮
1
ψM (t) = -
(tTp - μPM )-1ϕM (μ) dμ.
(33)
2πi
Γ
Это ещё одно условие согласования для вектор-функций ϕ(x), ψ(t), необходимое для суще-
ствования решения задачи (1)-(3).
Лемма 10. Решение uM (t, x) уравнения
∂uM
∂uM
A
=B
∂t
∂x
с условиями uM (0, x) = ϕM (x) ∈ C∞(X → M), uM (t, 0) = ψM (t) существует в том и
только в том случае, когда выполняется условие (33). Решение имеет вид (32).
6. Решение задачи (1)-(3). На основании результатов, полученных в предыдущих пунк-
тах, справедлива следующая
Теорема. Пусть ϕM (x) ∈ C∞(X → M). Решение задачи (1)-(3) существует в том и
только в том случае, когда выполняются условия согласования (30) и (33). Решение един-
ственно и определяется по формулам (7), (32), (29), (24), (28).
Единственность решения в корневом подпространстве очевидна, а единственность uM (t, x)
доказывается с помощью преобразования Лапласа z(t, y) функции z(t, x), равной разности
двух предполагаемых решений uM1(t, x) и uM2(t, x). За счёт условий z(t, 0) = 0 и z(0, x) = 0
преобразование z(t, y) тождественно равно нулю, следовательно, z(t, x) ≡ 0 и uM1(t, x) =
= uM2(t,x).
7. Пример. Решается задача (1)-(3) c операторами
(
)
(
)
∂/∂s
1
0
1
A=
,
B=
-1
∂/∂s
-1
0
в банаховом пространстве E = E1 = E2 = {y(s) ∈ C1([0, 2π] → R2), y(0) = y(2π)}, dom A =
= C2([0,2π],y(0) = y(2π)), domA = E, т.е. строится решение u(t,x,s) = (u1(t,x,s),u2(t,x,s))
системы
∂2u1
∂u2
∂u2
∂u1
∂2u2
∂u1
+
=
,
-
+
=-
(34)
∂s∂t
∂t
∂x
∂t
∂s∂t
∂x
с условиями
u(0, x, s) = ϕ(x, s) = (ϕ1(x, s), ϕ2(x, s)), u(t, 0, s) = ψ(t, s) = (ψ1(t, s), ψ2(t, s)),
u(t, x, 0) = u(t, x, 2π).
(35)
Известно [21], что оператор A в пространстве E является фредгольмовым. Легко проверяется
⋃
˙
обратимость пучка A-λB при λ ∈
(0)
⋂C и при выполнении условия (35), следовательно,
оператор Aλ = (A-λB)-1A имеет число нуль нормальным собственным числом и справедливо
разложение E в прямую сумму (6).
Ядро оператора Aλ совпадает с ядром A, а решение уравнения Ay = 0, т.е. уравнения
(
)
∂y
0
-1
= Ry, R =
,
y∈E,
∂s
1
0
имеет вид y = esRc для любых c = c(t, x) ∈ C1([T × X] → R2).
Заметим, что
(
)
c1 cos s - c2 sin s
esRc =
c1 sin s + c2 cos s
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
1201
B -присоединённых элементов к элементам из Ker A нет, поэтому
N = {esRc, для любых c ∈ C1([T × X] → R2)}.
Для существования решения y уравнения Aλy = z в пространстве E необходимо и до-
статочно выполнения условия
2π
∫
e-τRRy(t,x,τ)dτ = 0,
(36)
0
которое представляет собой условие принадлежности элемента y(t, x, s) подпространству M.
Нетрудно убедиться в том, что если y обладает свойством (36), то и Aλy обладает таким
свойством, т.е. M инвариантно относительно Aλ.
Далее, y(t, x, s) = yM (t, x, s) + yN (t, x, s), т.е.
y(t, x, s) = yM (t, x, s) + esRc(t, x).
(37)
С помощью условия (36) для любых y ∈ E находим
2π
∫
1
c(t, x) =
e-τRy(t,x,τ)dτ.
(38)
2π
0
∫2π
Из (37) и (38) определяется проектор на N : PN (·) = (2π)-1
e(s-τ)RR(·)dτ и PM = I - PN.
0
Легко проверяется свойство P2N = PN , тогда и P2M = PM . Имеем
∫2π
A-1λ(·) = PM (·) - λ e(s-τ)RR(·)dτ.
(39)
s
Теперь u(t, x, s) = uM + uN , uM = uM (t, x, s), uN = uN (t, x, s); ϕ(x, s) = ϕM + ϕN , ϕM =
= ϕM(x,s), ϕN = ϕN(x,s); ψ(t,s) = ψM + ψN, ψM = ψM(t,s), ψN = ψN(t,s).
7.1. Решение уравнения (14) с условием uN(t, 0, s) = ψN (t, s). Поскольку N =
= Ker A, то уравнение (14) состоит из одного уравнения
∂uN
= 0,
∂x
следовательно,
uN (t,x,s) = ψN(t,s).
(40)
7.2. Решение уравнения (14) с условиями (35). Так как uN(0,x,s) = ϕN (x,s), то
одно из условий согласования граничных значений -
ψN(0,s) = ϕN (x,s),
(41)
откуда следует, что вектор-функция ϕN не должна зависеть в этом примере от x.
Итак, решение поставленной в примере задачи в подпространстве N существует в том и
только в том случае, если ψN (t, s) ∈ C1(T × [0, 2π] → R2), ϕN = ϕN (s) ∈ C1([0, 2π] → R2) и
выполняется условие (41). Это решение определяется формулой (40).
7.3. Решение уравнения (31) с условием uM (0, x, s) = ϕM (x, s). В уравнении (31)
∫2π
Tp = 1/λ(PM
A-1λ). Из (39) следует, что Tp(·) =
e(s-τ)RR(·) dτ. Решение уравнения (31)
s
с условием uM (0, x, s) = ϕM (x, s) имеет вид (32), если функция ϕM (x, s) аналитична по x в
области, ограниченной контуром Γ, окружающим спектр ограниченного оператора tTp +xPM .
Вычислим
(tTp + (x - μ)PM )-1ϕM (μ, s) =
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1202
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
∫
2π
((
)
)
1
t
t
=
ϕM (μ, s) -
exp
1+
(s - τ)R RϕM (μ, τ) dτ.
x-μ
(x - μ)2
x-μ
s
Тогда
∫2π
(
∮
(
)
)
1
1
t
uM (t,x,s) = ϕM (x,s) - t e(s-τ)R -
exp
(s - τ)R RϕM (μ, τ) dμ dτ.
2πi
(x - μ)2
x-μ
s
Γ
Здесь
(
)
(
)
-ϕ2
-ϕM2
RϕM =
=
,
ϕ1
ϕM1
M
⎛
⎞
t(s - τ)
t(s - τ)
(
)
- ϕM1 sin
⎜-ϕM2cos
⎟
t
x-μ
x-μ
exp
(s - τ)R RϕM =
⎜
⎟
⎝
⎠.
x-μ
t(s - τ)
t(s - τ)
-ϕM2 sin
+ ϕM1 cos
x-μ
x-μ
Разложение функций cos(t(s - τ)/(x - μ)), sin(t(s - τ)/(x - μ)) в ряды Тейлора и интегриро-
вание по частям в интегралах по контуру Γ приводит к результату
(
)
∫
2π
(
)
ϕM1(x, s)
v1(t,x,s,τ)
uM (t,x,s) =
+t e(s-τ)R
dτ,
ϕM2
(x, s)
v2(t,x,s,τ)
s
где
v1 = v1(t,x,s,τ) =
∑
∑
t2k(s - τ)2k
∂2k+1
ϕM2
t2k+1(s - τ)2k+1 ∂2k+2ϕM1
=
(-1)k+1
+
(-1)k
,
(2k)!(2k + 1)!
∂x2k+1
(2k + 1)!(2k + 2)!
∂x2k+2
k=0
k=0
v2 = v2(t,x,s,τ) =
∑
∑
t2k+1(s - τ)2k+1 ∂2k+2ϕM2
t2k(s - τ)2k ∂2k+1ϕM1
=
(-1)k
+
(-1)k
(42)
(2k + 1)!(2k + 2)!
∂x2k+2
(2k)!(2k + 1)!
∂x2k+1
k=0
k=0
Окончательно получим
(
)
∫
2π
(
)
ϕM1(x, s)
v1 cos(x - τ) - v2 sin(s - τ)
uM (t,x,s) =
+t
dτ.
(43)
ϕM2
(x, s)
v1 sin(x - τ) + v2 cos(s - τ)
s
7.4. Решение уравнения (31) с условиями (35). Условие uM (t,0,s) = ψM (t,s) выпол-
няется в том и только в том случае, как это следует из формулы (43), когда
(
)
∫
2π
(
)
ϕM1(0, s)
v1(t,0,s,τ)cos(s - τ) - v2(t,0,s,τ)sin(s - τ)
+t
dτ = ψM (t, s).
ϕM2
(0, s)
v1(t,0,s,τ)sin(s - τ) + v2(t,0,s,τ)cos(s - τ)
s
Решение определяется по формулам (43), (42).
7.5. Частный случай 1. Пусть
(
)
(
)
x + acoss
t + (a - t)coss + tsins
ϕ(x, s) =
,
ψ(t, s) =
(44)
bx cos s + c sin s
(c - t) sin s - t cos s
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
РЕШЕНИЕ ПОЛУГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
1203
Тогда
⎞
⎛
⎞
⎛a+c
b
a-c
bx
cos s -
x sin s
x+
cos s +
sin s
⎜
2
2
⎟
⎜
2
2
⎟
ϕN (x, s) =
⎝
⎠, ϕM (x,s) =
⎝
⎠,
a+c
b
c-a
bx
sin s +
x cos s
sin s +
cos s
2
2
2
2
⎛
(
)
⎞
⎞
⎛a+c
a-c
cos s + t sin s
t+
- t coss
⎜
⎟
⎜
2
⎟
2
⎜
(
)
⎟
ψN(t,s) =
⎝
⎠, ψM (t,s) =
⎝
⎠.
a+c
c-a
sin s - t cos s
- t sins
2
2
Решение задачи в подпространстве M, построенное по формулам (43), (42), имеет вид
⎛
(
)
⎞
a-c
b
t+x+
- t coss +
(t + x) sin s
⎜
2
2
⎟
uM (t,x,s) =
⎜
(
)
⎟
⎝
⎠,
c-a
b
- t sins +
x cos s
2
2
в N -
(
)
(t + 3/2) cos s
uN(t,x,s) =
(t + 3/2) sin s
Решение
⎛
⎞
3+a-c
b
t+x+
cos s +
(t + x) sin s
⎜
2
2
⎟
u(t, x, s) = uM (t, x, s) + uN (t, x, s) =
⎝
⎠
3+c-a
b
sin s +
x cos s
2
2
не является решением задачи (34), (35), так как не выполняются условия согласования, в
частности условие (41) (ϕN зависит от x).
7.6. Частный случай 2. Пусть в (44) b = 0:
⎛
⎞
⎞
a-c
⎛a+c
(
)
x+
cos s
cos s
x + acoss
⎜
2
⎟
⎜
2
⎟
ϕ(x, s) =
,
ϕM (x, s) =
⎝
⎠, ϕN (s) =
⎝
⎠,
c sin s
c-a
a+c
sin s
sin s
2
2
⎛
(
)
⎞
a-c
t+x+
- t coss
⎜
2
⎟
uM (t,x,s) =
⎜
(
)
⎟
⎝
⎠,
c-a
- t sins
2
вектор-функция ψ(t, s) прежняя. Тогда функция
(
)
t + x + (a - t)coss + tsins
u(t, x, s) =
(c - t) sin s - t cos s
есть решение задачи (34), (35), поскольку условия (35) с функциями (44) при b = 0 выполня-
ются.
Заключение. В работе показано, что решение задачи (1)-(3), как и задачи (4), (5), пред-
ставимо в виде суммы решений уравнений в двух подпространствах, одинаковых для этих
задач. Но уравнения в задаче (1)-(3) дифференциальные, причём одно из них разрешимо
относительно одной переменной, а другое - относительно второй переменной. В задаче (4),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1204
ЗУБОВА, РАЕЦКАЯ
(5) одно уравнение является дифференциальным, а другое - алгебраическим, имеющим лишь
тривиальное решение, т.е. задача (4), (5) разрешима лишь тогда, когда начальное значение
задано в подпространстве, в котором уравнение является дифференциальным. Доказано, что
задача (1)-(3) разрешима не при любых задаваемых значениях в (2), (3), а если только вы-
полняются определённые условия согласования. Выявлены условия на гладкость граничных
функций, достаточные для решения задачи (1)-(3). Построено решение, при этом от коэф-
фициентов рассматриваемого уравнения, как и уравнения (4), требуется лишь регулярность
операторного пучка. Приведён пример решения задачи (1)-(3) с системой уравнений в частных
производных по трём переменным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954.
Т. 18. С. 3-50.
2. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М., 1976.
3. Gunther M., Rentrop P. PDAE-Netzwerkmodelle in der Elektrischen Schaltungssimulation. Karlsruhe,
1999 (Preprint/IWRMMM, № 99/3).
4. Серов У.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов М., 1981.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М., 1988.
6. Campbell S.L. The index of infinite dimensional implicit system // Math. and Comput. Model. of System.
1999. V. 5. № 1. P. 18-42.
7. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного реше-
ния и исследования. Новосибирск, 1988.
8. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Но-
восибирск, 2003.
9. Kunkel P., Mehrmann V. Algebraic Equations: Analysis and Numerical Solution. Zurich, 2006.
10. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении
дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 9. С. 1516-
1526.
11. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators.
Utrecht; Boston; Tokyo; Keln, 2003.
12. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым опера-
тором при производной // Дифференц. уравнения и их применение. Институт физики и математики
АН Литовской ССР. 1976. Т. 14. С. 21-39.
13. Зубова С.П. Свойства возмущенного фредгольмовского оператора. Решение дифференциального
уравнения с фредгольмовским оператором при производной // Деп. в ВИНИТИ. Воронежский гос.
ун-т. Воронеж, 1991. № 2516-В91.
14. Зубова С.П. Решение однородной задачи Коши для уравнения с нётеровым оператором при произ-
водной // Докл. РАН. 2009. Т. 428. № 4. С. 444-446.
15. Зубова С.П. Решение задач для дескрипторных уравнений методом декомпозиции // Вестн. Воро-
нежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2013. № 2. С. 134-140.
16.
Матемватическая экнциклопедия. Т. 3. Коо-Од. 1977-1985.
17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов М., 1965.
18. Нгуен Х.Д., Чистяков В.Ф. О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических
уравнений в частных производных // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Серия: Математическое
моделирование и программирование. 2013. Т. 6. № 1. С. 98-111.
19. Бормотова О.В., Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О разрешимости вырожденных систем диффе-
ренциальных уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. 2005. № 4. С. 18-29.
20. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН
СССР. Сер. мат. 1943. Т. 7. Вып. 3. С. 147-166.
21. Зубова С.П., Усков В.И. Приложения матрично-дифференциального оператора к решению задач
для уравнений в частных производных // Итоги науки: избр. тр. Междунар. симпозиума по фун-
даментальным и прикладным проблемам науки. М., 2017. Вып. 31. С. 3-24.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 07.03.2022 г.
Воронежский государственный лесотехнический
После доработки 18.07.2022 г.
университет имени Г.Ф. Морозова
Принята к публикации 15.08.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
