ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1205-1219

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ХИЛФЕРА

Рассмотрена задача типа Коши для уравнения высокого порядка с дробной производной

в смысле Хилфера. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи

в классе ограниченных функций, построенного с помощью автомодельных решений.

DOI: 10.31857/S0374064122090047, EDN: CHVYQA

1. Введение и построение автомодельных решений. Рассмотрим следующее уравне-

ние дробного порядка:

u(x, y) = 0,

(1)

здесь q - 1 < α₁ ≤ q, p - 1 < α₂ ≤ p, q < p, q, p ∈ N, 0 ≤ β1 ≤ 1,

0 ≤ β₂ ≤ 1, μ < 0, Dα,β0t -

оператор дробного дифференцирования в смысле Хилфера порядка α и типа β (см. [1])

Dα,β0tu = Iβ(s-α) ∂0t

(I(1-β)(s-α)0tu),

∂t^s

или

Dα,β0tu = D-β(s-α) ∂s0t

(D-(1-β)(s-α)0tu),

∂t^s

где s-1 < α ≤ s, 0 ≤ β ≤ 1, s ∈ N, Iγ0t - оператор дробного интегрирования, а Dγ0t - оператор

дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка γ, определяемый соотношением [2,

с. 28]

⎧

∫

⎪

ϕ(τ)dτ

⎪

γ < 0,

⎨Γ(-γ)

|t - τ|γ+1

Dγ0tϕ(t) =

ϕ(t),

γ = 0,

⎪

⎩d[γ]+1

Dγ-[γ]-10tϕ(t), γ > 0,

dt[γ]+1

в котором [γ] - целая часть числа γ.

Заметим, что в уравнении (1) при β = 0 имеем дробную производную Римана-Лиувилля,

а при β = 1 - дробную производную Капуто.

В работе [3] методами специальных операторов были найдены автомодельные решения

уравнения c постоянными коэффициентами, содержащие дробные производные в смысле Ри-

мана-Лиувилля. Для уравнения с обычной производной вида

∂^pu(x,y)

∂^qu(x,y)

= 0, p < q,

∂x^p

∂y^q

автомодельные решения были построены в статье [4].

Отметим, что различные начально-краевые задачи для уравнения с дробной производной

Хилфера изучались в работах [5-7] и др.

1205

1206

ИРГАШЕВ

Найдём один из видов автомодельных решений уравнения (1). Справедлива следующая

Лемма 1. Если μ < 0, -α₁γ_j +b+1+β₁(α₁ - q) > 0, b ∈ R, γ_j = (j-(1 - β₂)(p - α₂))/α₂,

j = 0,p - 1, то автомодельные решения уравнения (1) при x > 0, y > 0 имеют вид

)

⁽1

u_j(x, y) = xα2γ^j y-α1γ^j+^beα2,α+1,-α1γj+b+1

xα2 y-α1

(2)

где

∑

zⁿ

e^μ,δα,β(z) =

α > 0, α > β, z ∈ C,

Γ(αn + μ)Γ(δ - βn)

n=0

- функция типа Райта [8, с. 23] или обобщённая функция Райта [3].

Доказательство. Найдём частные производные от функции (2), входящие в уравнение (1).

Для упрощения записи индекс j при параметре γ будем пропускать. Использовав формулу

(2.2.12) из [8], получим

(

))

⁽1

D-β1(q-α1)∂0y

D-(1-β1)(q-α1)

xα2γy-α1γ+beα2γ+1,-α1γ+b+1

xα2 y-α1

α₂,α₁

∂y^q

(

))

⁽1

=xα2γ y-α1γ+b-α1eα2γ+1,-α1γ+b-α1+1

xα2 y-α1

(3)

α₂,α₁

а с помощью формул (1.2.7) и (2.2.17) -

(

))

⁽1

D-β2(p-α2)∂0x

D-(1-β2)(p-α2)

xα2γy-α1γ+beα2γ+1,-α1γ+b+1

xα2 y-α1

α₂,α₁

∂x^p

(

))

⁽1

=D-β2(p-α2)0xDp-(1-β2)(p-α2)0x xα2γy-α1γ+beα2γ+1,-α1γ+b+1

xα2 y-α1

α₂,α₁

(

))

⁽1

=D-β2(p-α2)0x y-α1γ+bxα2γ-p+(1-β2)(p-α2)eα2γ-p+(1-β2)(p-α2)+1,-α1γ+b+1

α₂,α₁

xα2 y-α1

Применив формулу (2.2.3) из [8], будем иметь

)

⁽1

eα2γ-p+(1-β2)(p-α2)+1,-α1γ+b+1

xα2 y-α1

α₂,α₁

)

⁽1

xα2 y-α1 eα2γ+1-p+(1-β2)(p-α2)+α2,-α1γ+b+1-α1

xα2 y-α1

α₂,α₁

а формулу (2.2.17) -

(

D-β2(p-α2)

y-α1γ+b-α1 xα2γ-p+(1-β2)(p-α2)+α2 ×

))

⁽1

×eα2γ-p+(1-β2)(p-α2)+α2+1,-α1γ+b+1-α1

xα2 y-α1

α₂,α₁

)

⁽1

y-α1γ+b-α1 xα2γeα2γ+1,-α1γ+b-α1+1

α₂,α₁

xα2 y-α1

(4)

Подставив выражения (3) и (4) в уравнение (1), получим верное равенство. Лемма доказана.

Отметим, что при β = 0 представление (2) совпадает с результатами из работы [3].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1207

Пусть теперь в представлении (2) α₂ = p ∈ N, α₁ = α, q - 1 < α ≤ q ∈ N, q < p, тогда

автомодельными решениями уравнения

Dα,β0yu(x,y) - μ∂pu(x,y)

= 0,

0 ≤ β ≤ 1,

(5)

∂x^p

будут выражения вида

∑

μ^-n(xy^-α/p)pn+i

u_i(x,y) = y^b

i = 0,p - 1.

Γ(-αn - αi/p + b + 1)(pn + i)!

n=0

Рассмотрим их линейную комбинацию

∑

u(x, y) = y^b

c_iu_i(x,y), c_i ∈ C,

i=0

и пусть коэффициенты c_i такие, что c_i = cⁱ, c^p = 1/μ, т.е. в качестве параметра c выберем

любой из корней уравнения c^p = 1/μ. В результате получим семейство из p функций

(

)

u(x, y) = y^bφ -

,b + 1;cxy-α/p ,

(6)

здесь

∑

z^k

φ(-δ, ε; z) =

k!Γ(-δk + ε)

k=0

- функция Райта [9].

Теперь выясним, в каких случаях выражение (6) удовлетворяет уравнению (5). Справед-

лива следующая

Лемма 2. Если (1 + α/p)π/2 < |arg c| ≤ π, то представление (6) удовлетворяет уравне-

нию (5).

Доказательство. Учитывая лемму 2.1 из работы [10], имеем

(

))

D-β(q-α) ∂0y

D-(1-β)(q-α)

y^bφ -

,b + 1;cxy^-α/p

∂y^q

(

))

=D-β(q-α)0y yb+(1-β)(q-α)-qφ

,b + 1 + (1 - β)(q - α) - q;cxy^-α/p

(

)

=y^b-αφ -

,b - α + 1;cxy^-α/p

(7)

Далее непосредственным вычислением убеждаемся, что для s ∈ N справедливо равенство

( (

))

∑

∂

(cy^-α/p)ⁿx^n-s

y^b

φ -

,b + 1;cxy^-α/p

∂x^s

(n - s)!Γ(-αn/p + b + 1)

n=s

(

)

=c^sy^b-αs/pφ -

,b-

s + 1;cy^-α/px ,

(8)

из которого следует, что

( (

))

(

)

∂

y^b

φ -

,b + 1;cxy^-α/p

y^b-αφ -

,b - α + 1;cy^-α/px

(9)

∂x^p

Подставив (7) и (9) в уравнение (5), получим верное равенство. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1208

ИРГАШЕВ

2. Задача с начальными условиями и её решение. В этом пункте в области

D = {(x,y) : -∞ < x < +∞,0 < y < T},

0 < T < +∞,

для уравнения

L[u(x, y)] = Dα,β0yu(x, y) - (-1)n-1 ∂2nu(x,y)

= 0,

(10)

∂x2n

где n = 1, 2, . . . , если 0 < α ≤ 1, и n = 2,3,..., если 1 < α < 2, рассмотрим задачу с

начальными условиями типа Коши.

Задача Коши для уравнений c дробными производными Джрбашяна-Нерсесяна и Римана-

Лиувилля рассматривалась, соответственно, в работах [10, 11] и [12], идеи которых использо-

ваны в настоящем исследовании. Следует также отметить статьи [13-16], где изучен вопрос о

разрешимости задачи типа Коши для уравнений с дробными производными Капуто и Римана-

Лиувилля и с целыми производными второго порядка.

Так как λ2nk = (-1)n-1, где λ_k = e(2k-n+1)iπ/(2n), k = 0, n - 1, то с учётом леммы 2 и

неравенства

(

)

< |arg (-λ_k)| ≤ π, k = 0, n - 1,

функции вида

(

)

u_k(x,y) = y^bφ -

,b + 1;-λ_k|x|y-α/(2n) ,

b ∈ R, k = 0,n - 1,

(11)

удовлетворяют уравнению (10) в области D.

Рассмотрим следующую линейную комбинацию решений (11):

(

)

∑

Γ_b(x - ξ,y) =

λ_kφ

,b + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

(12)

k=0

Вещественнозначность функции (12) следует из работы [12, лемма 2]. Отметим также, что

функция Γ_b(x - ξ, y - η) при b = α - 1 - α/(2n) является фундаментальным решением

уравнения (10) при 0 < α ≤ 1 и β = 0 (см. [12]). Изучим некоторые свойства функции

Γ_b(x - ξ,y - η).

Лемма 3. Справедливы следующие соотношения:

1) при всех s ∈ N

(

)

∑

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

αs

= -(sgn (x - ξ))^s

(-λ_k)s+1φ -α

,b-

+ 1; -λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

;

∂x^s

k=0

∂2nΓ_b(x - ξ,y)

= (-1)n-1Γ_b-α(x - ξ, y);

∂x2n

⎧

⎨0,

s = 0,2n - 2,

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

lim

- lim

(-1)ⁿyb-α+α/(2n)

x-ξ→+0

∂x^s

x-ξ→-0

∂x^s

⁼⎩

s = 2n - 1;

Γ(b + α/(2n) - α + 1)

4) Dα0yΓ_b(x - ξ, y) = Γ_b-α(x - ξ, y);



_∂sΓb(x - ξ,y)



≤ C|x - ξ|^-θyb+α(θ-s)/(2n), где y > 0, s ∈ N₀, N₀ = N

^⋃ {0}, C =



∂x^s

= C(α,b,θ,s),

⎧

αs

⎨0,

-b-1 ∈N₀,

θ≤

^⎩-1,αs

-b-1∈N₀;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1209

6) при |x - ξ|y-α/(2n) → +∞



 ∂^s



b(x - ξ, y)

Cyb-αs/(2n) exp(-ν|x - ξ|2n/(2n-α)y-α/(2n-α)),

≤

^∂x^sΓ

где C - положительная постоянная, не зависимая от x, ξ, y, а

(

)

⁾⁽ α)α/(2n-α)

n-1

ν <

cos

;

2n - α

+∞

yb+α/(2n)

Γ_b(x - ξ,y)dξ =

Γ(α/(2n) + b + 1)

−∞

Доказательство.

1) Использовав формулу (8), имеем

)

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

∑ ∂^s (

,b + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

∂x^s

λ_k ∂xs^φ

k=0

(

)

b-αs/(2n)

∑

αs

= -(sgn (x - ξ))^s

(-λ_k)s+1φ -

,b-

+ 1; -λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

k=0

2) Справедливость этого пункта следует из свойства 1) при s = 2n.

3) Из свойства 1) следует, что

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

lim

- lim

x-ξ→+0

∂x^s

x-ξ→-0

∂x^s

)

b-αs/(2n)

∑

(-λ_k)s+1 + (-1)^s

(-λ_k)s+1

2nΓ(b - αs/(2n) + 1)

k=0

Если s = 2m, m ∈ N, то

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

lim

- lim

= 0.

x-ξ→+0

∂x^s

x-ξ→-0

∂x^s

Если s = 2m - 1, m = 1, n - 1, то

b-αs/(2n)

∑

∂^sΓ_b(x - ξ,y)

lim

- lim

λ2mk =

x-ξ→+0

∂x^s

x-ξ→-0

∂x^s

nΓ(b - αs/(2n) + 1)

k=0

b-αs/(2n)

∑

e-(nm+m)iπ/n

e2kmiπ/n = 0.

nΓ(b - αs/(2n) + 1)

k=0

Наконец, если s = 2n - 1, то

b+α/(2n)-α

∂2n-1Γ_b(x - ξ,y)

(-1)ⁿy

lim

- lim

x-ξ→+0

∂x2n-1

x-ξ→-0

∂x2n-1

Γ(b + α/(2n) - α + 1)

4) Из леммы 2.1 работы [10] находим

(

))

∑

Dα0yΓ_b(x - ξ,y) =

λ_kD^α

y^bφ -

,b + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

k=0

(

)

∑

= λ_ky^b-αφ -

,b - α + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

= Γ_b-α(x - ξ,y).

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1210

ИРГАШЕВ

5) Используя оценку из [10, формула (2.11)]

{

-ε ∈ N₀,

|yε-1φ(-δ, ε; λxy^-δ )| ≤ Cx^-θyε-1+δθ, θ ≥

−1,

-ε ∈ N₀,

получим



(

)



∑



_∂sΓb(x - ξ,y)

αs



|λ_k|s+1



b-αs/(2n)φ

,b-

+ 1; -λ_k|x - ξ|y-α/(2n)



≤

^y

≤

∂x^s

k=0

≤ C|x - ξ|^-θyb+α(θ-s)/(2n).

6) Учитывая оценку из [10, формула (2.8)], при |x - ξ|y-α/(2n) → +∞

|φ(-δ, ε; z)| ≤ C exp(-ν|z|1/(1-δ)), C = C(δ, ε, ν),

(13)

где δ ∈ (0, 1), ε ∈ R,

π - |argz|

1+δ

ν < (1 - δ)δδ/(1-δ) cos

π < |argz| ≤ π,

1-δ

и свойство 1), имеем



(

)

 ∂^s



αs



b(x - ξ, y)

Cyb-αs/(2n) max

−

,b-

+ 1; -λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

≤

^φ

≤

^∂x^sΓ

k=0,n-1

≤ Cyb-αs/(2n) max exp(-ν|x - ξ|2n/(2n-α)y-α/(2n-α)),

k=0,n-1

где

(

⁾⁽ α)α/(2n-α)

⁽π - |arg(-λ_k)|⁾

ν <

cos

1 - α/(2n)

Так как

(

)

⁽π - |arg(-λ_k)|⁾

n-1

min

cos

= cos

k=0,n-1

1 - α/(2n)

2n - α

то справедлива оценка



 ∂^s



Cyb-αs/(2n) exp(-ν|x - ξ|2n/(2n-α)y-α/(2n-α)),

b(x - ξ, y)≤

^∂x^sΓ

где

(

)

⁾⁽ α)α/(2n-α)

n-1

ν <

cos

2n - α

7) Используя равенство (см. [10, формула (2.12)])

∫

φ(-δ, ε; λx) dx = -

(14)

λΓ(δ + ε)

имеем

∫

(

)

Γ_b(x - ξ,y)dξ =

λ_k

φ -

,b + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n) dξ =

k=0

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1211

∫

(

)

λ_k

φ -

,b + 1;-λ_k(x - ξ)y-α/(2n) dξ +

k=0

-∞

+^∞ (

)

]

+ φ -

,b + 1;-λ_k(ξ - x)y-α/(2n) dξ

(15)

Вычислим каждый интеграл в отдельности. Для этого в первом интеграле сделаем замену

переменных по формулам t = (x - ξ)y-α/(2n), ξ = x - yα/(2n)t, dξ = -yα/(2n) dt. Тогда будем

иметь

∫

(

)

φ -

,b + 1;-λ_k(x - ξ)y-α/(2n) dξ =

−∞

+∞ (

)

yα/(2n)

=yα/(2n)

φ -

,b + 1;-λ_kt dξ =

(16)

λ_kΓ(α/(2n) + b + 1)

Аналогично для второго интеграла получим

∫ (

)

yα/(2n)

φ -

,b + 1;-λ_k(ξ - x)y-α/(2n) dξ =

(17)

λ_kΓ(α/(2n) + b + 1)

Подставив выражения (16) и (17) в (15), получим равенство

∫

yb+α/(2n)

Γ_b(x - ξ,y)dξ =

Γ(α/(2n) + b + 1)

−∞

Лемма доказана.

Для дальнейшего изложения введём функцию

(

) (

)

(

)

Φ(b + 1, b; -λ_kt) =

+b φ -

,b + 1;-λ_kt

-φ -

, b; -λ_kt

b, t ∈ R,

здесь предполагается, что множитель α/(2n) + b не меняется, могут изменяться вторые пара-

метры у функций Райта. Например, запись Φ(b + 1 + s, b + s; -λ_kt) означает следующее:

(

)

(

) (

)

(

)

Φ b + 1 + s,b + s;-λ_kt

+b φ -

,b + 1 + s;-λ_kt

-φ -

,b + s;-λ_kt

Отметим некоторые свойства этой функции.

Лемма 4. Справедливы следу(щие соотношения:

)

Φ(b + 1, b; -λ_kt) = -λ_kΦ b + 1 -

,b-

;-λ_kt

;

+∞ (

)

αs

Φ b+1+

,b+

;-λ_kt dt =

(

)

b + α/(2n)

;

λ_k

Γ(b + 1 + α(s + 1)/(2n))

(b + α/(2n))Γ(b + α(s + 1)/(2n))

∫

λ_k

t2sΦ(b + 1,b;-λ_kt)dt = 0, s = 0,n - 1.

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1212

ИРГАШЕВ

Доказательство.

1) Следует из формулы (см. [10, 17])

φ(δ, ε; z) = φ(δ, ε + δ; z) (δ > -1).

2) Следует из формулы (14).

3) Учитывая свойство 1) леммы 4, неравенство (13), и используя метод интегрирования по

частям, имеем

∫

(

)

∑

λ_k

t2sΦ(b + 1,b;-λ_kt)dt = -

t2sdΦ b + 1 +

,b+

;-λ_kt

k=0

k=0 0

∫

(

)

∑

= 2s

Φ b+1+

,b+

;-λ_kt t2s-1 dt.

k=0 0

Повторив этот процесс ещё 2s - 1 раз, получим

∫

(

)

∑

(2s)!

αs

λ_k

t2sΦ(b + 1,b;-λ_kt)dt =

Φ b+1+

,b+

;-λ_kt dt =

2s-1

k=0

(

)

∑

(2s)!

α + 2nb

-1 ei(n-1)sπ/n

e-2πiks/n = 0.

Γ(b + α(2s + 1)/(2n)) α(2s + 1) + 2nb

k=0

Последнее равенство выполняется при s = 1, n - 1. Справедливость свойства 3) леммы 4 при

s = 0 следует из свойства 2) этой же леммы. Лемма доказана.

Исследуем теперь задачи с начальными условиями для уравнения (10).

Задача 1. Найти решение u(x, y) уравнения (10) в области D = {(x, y) : -∞ < x < +∞,

0 < y < T}, удовлетворяющее условиям:

1) 0 < α ≤ 1;

∂2nu(x,y)

2) Dα,β0yu(x, y),

∈ C(D);

∂x2n

3) y(1-β)(1-α)u(x, y) ∈ C(D);

4) lim (y(1-β)(1-α)u(x, y)) = ϕ(x).

y→+0

Заданная функция удовлетворяет ограничению

ϕ(x) ∈ C(R),

|ϕ(x)| ≤ M,

0 < M - const.

(18)

Задача 2. Найти решение u(x, y) уравнения (10) в области D, удовлетворяющее условиям:

1) 1 < α < 2;

2) Dα,β0yu(x, y),∂2nu(x,y)

∈ C(D), y(1-β)(2-α)u(x,y) ∈ C¹(D);

∂x2n

3) lim (y(1-β)(2-α)u(x, y)) = ϕ(x);

y→+0

∂

4) lim

(y(1-β)(2-α)u(x, y)) = ψ(x). Заданные функции удовлетворяют ограничениям

y→+0 ∂y

ϕ(2n)(x), ψ(x) ∈ C(R),

|ψ(x)|, |ϕ(j)(x)| ≤ M

(19)

для любых x ∈ R, j = 0, 2n, 0 < M - const.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1213

Существование решений задач 1 и 2 следует из следующих теорем.

Теорема 1. Решение задачи 1 определяется формулой

+∞

u(x, y) = Γ(1 - (1 - β)(1 - α)) Γ_b(x - ξ, y)ϕ(ξ) dξ,

(20)

-∞

где

b=-

- (1 - β)(1 - α).

(21)

Доказательство. Сначала покажем, что функция (20) удовлетворяет уравнению (10).

Используя закон композиции операторов дробного интегро-дифференцирования и обобщённую

формулу Ньютона-Лейбница ([8, с. 15]), получим

∫

)

Dα,β0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ = D-β(1-α)0yD1-(1-β)(1-α)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ) dξ

−∞

-∞

∫

)

∫

)

yβ(1-α)-1

=Dα0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

lim

D-(1-β)(1-α)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

(22)

Γ(β(1 - α))

y→0

−∞

-∞

Покажем, что выражение (22) имеет смысл. Отметим, что при b ∈ R, y > 0 в силу

∫

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ =

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ +

−∞

-∞

∫K

∫

+ Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ + Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

-K

и свойств 5), 6) из леммы 3 имеем

 ∫



Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

∞,

(23)



^<

−∞

где 0 < K - достаточное большое число. Учитывая это, находим

∫

)

∫

)

∂

Dα0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

Γ_b(x - ξ,t)ϕ(ξ)dξ dt =

Γ(1 - α) ∂y

(y - t)^α

−∞

-∞

+∞

(

∫

)

∫

∂

Γ_b(x - ξ,t)

= ϕ(ξ)

Dα0yΓ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ.

Γ(1 - α) ∂y

(y - t)^α dtdξ=

−∞

-∞

В силу (23) все выкладки законны. Используя свойство 4) леммы 3, имеем

∫

)

∫

Dα0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

= Γ_b-α(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ.

(24)

−∞

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

4^∗

1214

ИРГАШЕВ

Последний интеграл существует в силу свойств 5) и 6) леммы 3. Далее, учитывая свойство

леммы 3, получим

∫

)

∫

)

lim

D-(1-β)(1-α)0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

= lim

Γb+(1-β)(1-α)(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

y→0

−∞

-∞

∫

)

∫

)

= ϕ(x) lim

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)dξ

+ lim

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ

y→0

−∞

-∞

∫

)

= ϕ(x) + lim

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ

y→0

−∞

Теперь вычислим предел в последней сумме:

∫

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ = I₁ + I₂ + I₃,

-∞

где

x-ε

I₁ =

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ,

-∞

+∞

I₂ =

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ,

x+ε

I₃ =

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ.

x-ε

Учитывая свойство 6) леммы 3 и (18), находим

∫



lim

I₁ = lim

I₂ = 0,

|I₃| ≤ C

sup

|ϕ(s) - ϕ(x)|,

−α/(2n)(x - ξ, y)

ξ≤C.

^Γ

^d

y→0

s∈(x-ε,x+ε)

x-ε

В силу непрерывности ϕ(x) и произвольности ε имеем lim

I₃ = 0. Значит,

y→0

∫

yβ(1-α)-1

Dα,β0y

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ =

Γ_b-α(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ -

ϕ(x).

(25)

Γ(β(1 - α))

−∞

-∞

Теперь вычислим частную производную по переменной x. Учитывая свойства 2) и 3) лем-

мы 3, получим

(∫x

∫

)

∂2n

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ +

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

∂x2n

−∞

∫

)

yβ(1-α)-1

= (-1)n-1

Γ_b-α(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ -

(26)

Γ(β(1 - α))

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1215

Подставив (25) и (26) в уравнение (10), получим тождество.

Покажем справедливость соотношения 4) задачи 1. Имеем

(

∫

)

Γ(1 - (1 - β)(1 - α)) lim y(1-β)(1-α)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

y→+0

−∞

= Γ(1 - (1 - β)(1 - α)) lim

(J₁ + J₂ + J₃),

y→+0

где

∫

)

J₁ = y(1-β)(1-α)

(ϕ(ξ) - ϕ(x))Γ_b(x - ξ, y) dξ,

−∞ x+ε

∫

J₂ = y(1-β)(1-α)

Γ_b(x - ξ,y)(ϕ(ξ) - ϕ(x))dξ,

x-ε

+∞

J₃ = y(1-β)(1-α)ϕ(x)

Γ_b(x - ξ,y)dξ.

-∞

Из свойств 6) и 7) леммы 3, а также из (18) и (21) следует, что

ϕ(x)

lim

J₁ = lim

J₂ = 0, lim

J₃ =

y→+0

Γ(1 - (1 - β)(1 - α))

откуда

lim (y(1-β)(1-α)u(x, y)) = ϕ(x).

y→+0

Условие 3) задачи 1 вытекает из непрерывности функции ϕ(x) и соотношения

4) задачи 1.

Теорема доказана.

Теорема 2. Решение задачи 2 определяется формулой

+^∞

u(x, y) = Γ(1 - (1 - β)(2 - α)) Γ_b(x - ξ, y)ϕ(ξ) dξ +

-∞

+∞

+ Γ(2 - (1 - β)(2 - α)) Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ,

(27)

-∞

здесь b = -α/(2n) - (1 - β)(2 - α).

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1 покажем, что первое слагаемое в

представлении (27) удовлетворяет уравнению (10), т.е.

∫

]

L Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

= 0,

(28)

−∞

и условию

(

∫

)

lim y(1-β)(2-α)Γ(1 - (1 - β)(2 - α))

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

= ϕ(x).

(29)

y→+0

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1216

ИРГАШЕВ

Проверим, что второе слагаемое в представлении (27) тоже удовлетворяет уравнению (10).

Действуя так же как и в доказательстве теоремы 1 (формулы (22)-(25)), имеем

∫

)

∫

Dα,β0y

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

= Γb+1-α(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ -

−∞

-∞

∫

)

β(2-α)-1

lim

Γ-α/(2n)(x - ξ, y)ψ(ξ) dξ

Γ(β(2 - α))

y→+0

-∞

∫

)

β(2-α)-2

lim

Γ1-α/(2n)(x - ξ, y)ψ(ξ) dξ

Γ(β(2 - α) - 1)

y→+0

-∞

+∞

yβ(2-α)-1ψ(x)

= Γb+1-α(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ +

(30)

Γ(β(2 - α))

-∞

Здесь учтены условия (19), свойство 6) леммы 3 и равенства

∫

)

∫

)

lim

Γ-α/(2n)(x - ξ,y)dξ

= 1, lim

Γ1-α/(2n)(x - ξ,y)dξ

= lim

= 0,

y→+0

y→+0 Γ(2)

−∞

-∞

которые следуют из свойства 7) леммы 3. Найдём частные производные по переменной x.

Использовав свойство 3) леммы 3, запишем

∫

)

(∫x

∫

)

∂2n

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ +

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

∂x2n

−∞

-∞

∫

)

yβ(2-α)-1ψ(x)

= (-1)n-1

Γb+1-α(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ +

(31)

Γ(β(2 - α))

−∞

Из (30) и (31) следует

∫

]

L Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

= 0.

(32)

−∞

Учитывая (28) и (32), получим L[u(x, y)] = 0.

Теперь проверим выполнение условия 3) задачи 2. Из леммы 3 и (19) имеем

(

∫

)

lim y(1-β)(2-α)

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

y→+0

−∞

(

∫

)

= lim y(1-β)(2-α)

Γb+1(x - ξ,y)(ψ(ξ) - ψ(x))dξ

y→+0

−∞ x+ε x-ε

(

∫

)

+ lim y(1-β)(2-α)ψ(x)

Γb+1(x - ξ,y)dξ

= 0.

(33)

y→+0

−∞

Из (29) и (33) следует, что lim (y(1-β)(2-α)u(x, y)) = ϕ(x).

y→+0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1217

Осталось проверить условие 4) задачи. Найдём

(

∫

))

⁽ ∂

I = lim

y-b-α/(2n)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

y→0

∂y

−∞

(

)

(

∫

)

(

∫

)

= -

- b lim

y-b-1-α/(2n)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

+ lim

y-b-α/(2n)

Γb-1(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

y→0

−∞

-∞

(

∫

((

)

))

= - lim y-b-1-α/(2n)

+ b Γ_b(x - ξ,y) - yΓb-1(x - ξ,y) ϕ(ξ)dξ

y→0

−∞

[( ∫x

∫

)((

) (

)

∑

lim y-1-α/(2n)

λ_k

+b φ -

,b + 1;-λ_k|x - ξ|y-α/(2n)

y→0

k=0

-∞ x

(

))

]

-φ -

, b; -λ_k|x - ξ|y-α/(2n) ϕ(ξ) dξ

В первом интеграле сделаем замену переменных по формулам

t = (x - ξ)y-α/(2n), ξ = x - tyα/(2n), dξ = -yα/(2n) dt,

а во втором - по формулам

t = (ξ - x)y-α/(2n), ξ = x + tyα/(2n), dξ = yα/(2n) dt.

В результате получим

∫

∑

I =-

lim y-1

λ_k

Φ(b + 1, b; -λ_kt)(ϕ(x - yα/(2n)t) + ϕ(x + yα/(2n)t)) dt.

(34)

y→0

k=0

С учётом свойства 3) леммы 4 и формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

∑

ϕ(2n)(x - θyα/(2n)t)

ϕ(x - yα/(2n)t) =

(-1)^s ϕ(s)(x)(yα/(2n)t)s +

y^αt2n,

0 < θ < 1,

(2n)!

s=0

∑

ϕ(s)(x)

ϕ(2n)(x + μyα/(2n)t)

ϕ(x + yα/(2n)t) =

(yα/(2n)t)^s +

y^αt2n,

0 < μ < 1,

(2n)!

s=0

имеем

∫

λ_k

Φ(b + 1, b; -λ_kt)(ϕ(x - yα/(2n)t) + ϕ(x + yα/(2n)t)) dt =

k=0

∫

λ_k

t2nΦ(b + 1,b;-λ_kt)(ϕ(2n)(x + μyα/(2n)t) + ϕ(2n)(x - θyα/(2n)t))dt.

(35)

(2n)!

k=0

Учитывая оценку (13), условие (19), соотношение (35) и 1 < α < 2, находим

(

∫

))

⁽ ∂

lim

y-b-α/(2n)

Γ_b(x - ξ,y)ϕ(ξ)dξ

= 0.

y→0

∂y

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1218

ИРГАШЕВ

Осталось проверить справедливость равенства

(

∫

)

∂

J = Γ(2 - (1 - β)(2 - α)) lim

y(1-β)(2-α)

Γb+1(x - ξ,y)ψ(ξ)dξ

= ψ(x).

y→+0 ∂y

−∞

Действительно, действуя так же как при получении представления (34) и используя свойство 2)

леммы 4, имеем

∫

∑

Γ(2-(1-β)(2-α))

J=-

lim

λ_k Φ(b+2,b+1;-λ_kt)(ψ(x - yα/(2n)t) + ψ(x + yα/(2n)t))dt=

y→+0

k=0

∫

∑

Γ(2 - (1 - β)(2 - α))

= -ψ(x)

λ_k

Φ(b + 2, b + 1; -λ_kt) dt =

k=0

(

)

∑

Γ(2-(1-β)(2-α))

b + α/(2n)

= -ψ(x)

Γ(b + 2 + α/(2n))

Γ(b + 1 + α/(2n))

k=0

(

)

b + α/(2n)

= -Γ(b + 2 + α/(2n))

ψ(x) = ψ(x).

Γ(b + 2 + α/(2n))

Γ(b + 1 + α/(2n))

Предельный переход в интеграле законен в силу (13), (19). Теорема доказана.

3. Единственность решений. Покажем единственность решений задач 1 и 2 при неко-

торых дополнительных условиях. Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть существует решение u(x, y) задачи 1 (задачи 2) с условиями:

∫+∞

|u(x, y)| dx < ∞;

-∞

∂^ju(x,y)

2) lim

= 0, j = 0, 2n - 1.

|x|→∞

∂x^j

Тогда это решение единственно при y > 0.

Доказательство. Покажем единственность решения задачи 2 (единственность задачи 1

доказывается аналогично). Пусть существуют два решения задачи 2 с условиями 1) и 2) (тео-

рема 3). Обозначим их разность через v(x, y). Тогда функция v(x, y) есть решение следующей

задачи:

Dα,β0yv(x,y) - (-1)n-1 ∂2nv(x,y)

= 0, lim (y(1-β)(2-α)v(x, y)) = 0,

∂x2n

y→+0

∂

lim

(y(1-β)(2-α)v(x, y)) = 0.

(36)

y→+0 ∂y

Применим преобразование Фурье

+∞

Fx[v](ξ, y) =

v(x, y)e^ixξ dx = v(ξ, y),

-∞

∫

^[∂2nv(x,y)^]

∂2nv(x,y)

(ξ, y) =

e^ixξ dx = (-1)ⁿξ2nv(ξ,y).

∂x2n

-∞

С учётом (36) получим задачу

∂

Dα,β0yv(ξ,y) = -ξ2nv(ξ,y), lim

(y(1-β)(2-α)v(ξ, y)) = 0,

lim

(y(1-β)(2-α)v(ξ, y)) = 0.

y→+0

y→+0 ∂y

Из работы [18, лемма 1] следует, что v(ξ, y) ≡ 0. Значит (см. [19, теорема 120, с. 183]) v(x, y) ≡

≡ 0 п.в. Так как y(1-β)(2-α)v(x,y) ∈ C¹( ^D), то v(x,y) ≡ 0 при y > 0. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

1219

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hilfer R. Fractional time evolution // Appl. of Fract. Calc. in Phys. 2000. P. 87-130.

2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.

3. Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order

// Fract. Calc. and Appl. Anal. 1998. V. 1. № 1. P. 63-78.

4. Иргашев Б.Ю. Построение частных решений с особенностями, выраженных через гипергеометри-

ческие функции, для уравнения с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 2020.

Т. 56. № 3. С. 328-336.

5. Kim M.-Ha., Chol-Ri G., Chol O.H. Operational method for solving multi-term fractional differential

equations with the generalized fractional derivatives // Fract. Calc. and Appl. Anal. 2014. V. 17. № 1.

P. 79-95.

6. Karimov E.T. Tricomi type boundary value problem with integral conjugation condition for a mixed type

equation with Hilfer fractional operator // Bull. of the Inst. of Math. 2019. № 1. P. 19-26.

7. Salakhitdinov M.S., Karimov E.T. Direct and inverse source problems for two-term time-fractional

diffusion equation with Hilfer derivative // Uzbek Math. J. 2017. № 4. P. 140-149.

8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., 2005.

9. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc.

1933. V. 8. № 29. P. 71-79.

10. Pskhu A.V. Fundamental solutions and cauchy problems for an odd-order partial differential equation

with fractional derivative // Electr. J. of Differ. Equat. 2019. V. 2019. № 21. P. 1-13.

11. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв.

РАН. Сер. мат. 2009. Т. 73. № 2. C. 141-182.

12. Карашева Л.Л. Задача Коши для параболического уравнения высокого четного порядка с дробной

производной по временной переменной // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. C. 696-706.

13. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной про-

изводной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 5. C. 599-609.

14. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной

производной Римана-Лиувилля // Докл. РАН. 2006. Т. 406. № 1. C. 12-16.

15. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Условия существования классического решения задач Коши для

диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Докл. РАН. 2007. Т. 414. № 4.

C. 451-454.

16. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц.уравнения. 1990. Т. 26. № 4. C. 660-670.

17. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser.

1940. V. 11. № 1. P. 36-48.

18. Kadirkulov B.J., Jalilov M.A. On a nonlocal problem for a fourth-order mixed-type equation with the

Hilfer operator // Bull. of the Karaganda Univ. Math. ser. 2021. V. 104. № 4. P. 89-102.

19. Титчмарш Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. М., 1948.

Наманганский инженерно-строительный институт,

Поступила в редакцию 30.01.2022 г.

Республика Узбекистан,

После доработки 16.04.2022 г.

Институт математики имени В.И. Романовского

Принята к публикации 05.07.2022 г.

АН Республики Узбекистан, г. Ташкент

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022