ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1220-1225

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.223+517.929

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Рассматривается смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциаль-

но-разностного уравнения в ограниченной области. Установлена взаимосвязь этой задачи с

нелокальной смешанной краевой задачей для эллиптического дифференциального уравне-

ния. Сформулированы теоремы об однозначной разрешимости обеих задач и о гладкости

их обобщённых решений.

DOI: 10.31857/S0374064122090059, EDN: CHXUSR

Введение. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения, интерес к ко-

торым вызван в связи с их важными приложениями, рассматриваются в работах многих ма-

тематиков. Общая теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений по-

строена в монографии [1], а современный обзор литературы приведён в статье [2]. В отличие

от эллиптических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципи-

ально новых свойств. Например, гладкость обобщённых решений может нарушаться внутри

области даже при бесконечно гладкой правой части и сохраняться лишь в некоторых под-

областях (см. [1, 2]). В работе [3] исследована смешанная краевая задача для сильно эллип-

тического дифференциально-разностного уравнения в цилиндрической области. В настоящей

работе исследуются смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-

разностного уравнения и нелокальная смешанная задача для эллиптического дифференциаль-

ного уравнения в произвольной ограниченной области с гладкой границей.

Отметим, что смешанные краевые задачи для сильно эллиптических систем дифференци-

ально-разностных уравнений возникают при исследовании упругих деформаций трёхслойных

пластин с гофрированным заполнителем в случае, когда две противоположные грани пласти-

ны жёстко закреплены, а другие две - свободны [4].

1. Некоторые свойства разностных операторов. Рассмотрим вспомогательные ре-

зультаты о свойствах разностных операторов (доказательства см. в [1, гл. II]).

1.1. Пусть Q ⊂ Rⁿ - ограниченная область с границей ∂Q ∈ C^∞ или Q = (0,d) × G, где

G ⊂ Rn-1 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C^∞, если n ≥ 3, и G = (a,b), если n = 2.

Рассмотрим разностный оператор R : L₂(Rⁿ) → L₂(Rⁿ), определяемый по формуле

∑

Ru(x) =

a_hu(x + h),

(1)

h∈M

где a_h ∈ C, M ⊂ Rⁿ - конечное множество векторов с целочисленными координатами, x =

= (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ.

Введём оператор R_Q : L₂(Q) → L₂(Q) следующим образом: R_Q = P_QRI_Q, где I_Q :

L₂(Q) → L₂(Rⁿ) - оператор продолжения функций из пространства L₂(Q) нулём в Rⁿ \ Q,

P_Q : L₂(Rⁿ) → L₂(Q) - оператор сужения функций из L₂(Rⁿ) на область Q. Операторы R_Q

используются в краевых задачах для дифференциально-разностных уравнений._⋃

Обозначим через Q_r открытые связные компоненты множества Q \ (h∈M(∂Q + h)), где

M - аддитивная абелева группа, порождённая множеством M. Назовём компоненты Q_r под-

областями, а множество R всех подобластей Q_r, r = 1, 2, . . . , - разбиением области Q.

1220

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1221

Разбиение R естественным образом распадается на непересекающиеся классы: подобласти

Qr1 ,Qr2 ∈ R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для

которого справедливо равенство Qr2 = Qr1 + h. Обозначим подобласти Q_r через Q_sl, где

s - номер класса (s = 1,2,...), а l - порядковый номер данной подобласти в s-м классе.

Очевидно, что каждый класс состоит из конечного числа N = N(s) подобластей Q_sl. Будем

предполагать, что число различных классов конечно и равно s₁.

1.2. Введём множество

⋃

K =

^⋂ (∂Q + h₁)^⋂ [(∂Q + h₂) \ (∂Q + h₁)]}.

h₁,h₂∈M

Пусть множество K

^⋂∂Q имеет нулевую (n - 1)-мерную меру Лебега μn-1(·). Однако в

общем случае может оказаться, что μn-1(K

^⋂∂Q) = 0 (см. [1, пример 7.6]).

Определим множества Γ_p как связные компоненты открытого в топологии ∂Q множества

∂Q\K . Можно доказать, что если (Γ_p+h)

^⋂Q = ∅ при некотором h ∈ M, то либо Γ_p+h ⊂ Q,

либо существует множество Γ_r ⊂ ∂Q \ K такое, что Γ_p + h = Γ_r. В силу этого утверждения

множество {Γ_p + h : Γ_p + h ⊂ Q, p = 1, 2, . . . , h ∈ M} можно разбить на классы следующим

образом: множества Γp1 + h₁ и Γp2 + h₂ принадлежат одному и тому же классу, если

1) существует h ∈ M такое, что Γp1 + h₁ = Γp2 + h₂ + h,

2) направления внешних нормалей к границе ∂Q в точках x ∈ Γp1 + h₁ и x - h ∈ Γp2 + h₂

совпадают (в случае Γp1 + h₁, Γp2 + h₂ ⊂ ∂Q).

Предположим, что число различных классов конечно и равно r₁.

Очевидно, что множество Γ_p ⊂ ∂Q может принадлежать лишь одному классу, а множество

Γ_p + h ⊂ Q - не более чем двум классам. Обозначим множества Γ_p + h через Γ_rj, где r =

= 1, r₁ - номер класса, j - номер элемента в данном классе (1 ≤ j ≤ J = J(r)). Не ограничивая

общности, будем считать, что Γr1, . . . , ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1, . . . , ΓrJ ⊂ ∂Q, 0 ≤ J0 = J0(r) < J(r).

Здесь через J = J(r) обозначено количество элементов в r-м классе, а через J₀ = J₀(r) -

количество элементов в r-м классе, принадлежащих области Q.

Из определения множества K и фактов, представленных выше, вытекает, что для лю-

бого множества Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl, при этом

Γ_rj

^⋂∂Qs1l₁

= ∅, если (s₁,l₁) = (s,l). Тогда несложно показать, что для любого номера

r = 1,r1 существует единственное число s = s(r) такое, что N(s) = J(r), и после некото-

рой перенумерации подобластей Q_sl будут справедливы включения Γ_rl ⊂ ∂Q_sl, l = 1, N(s).

Также для л⋂бого Γrj ⊂ Q⋂существуют подобласти Qs1l1 и Qs2l2 такие, что Qs1l1 = Qs2l2 ,

Γ_rj ⊂ ∂Qs1l₁

∂Qs2l₂

и Γ_rj

∂Qs3l₃ = ∅, если (s3,l3) = (s1,l1),(s2,l2).

2. Разностные операторы в пространствах Соболева.

2.1. Через Wk2(Q) обозначим пространство Соболева комплекснозначных функций из

пространства L₂(Q), имеющих все обобщённые производные из L₂(Q) до порядка k вклю-

чительно.

Обозначим черезW12,Γ(Q) подпространство функций в W¹²(Q), удовлетворяющих краевым

условиям

u|Γrl = 0, r ∈ B, l = J₀ + 1, J,

где J₀ = J₀(r), J = J(r), B = {r : J₀(r) > 0}, Γ = {Γ_rl}, r ∈ B, l = J₀ + 1, J.

Введём матрицы R_s (s = 1, s₁) порядка N(s) × N(s) с элементами вида

{

a_h, h = h_sj - h_si ∈ M,

r^sij =

(2)

h_sj - h_si ∈ M.

Далее введём матрицы R1s, получаемые из матриц R_s вычёркиванием последних N - J₀

столбцов, матрицы R0s порядка J₀ ×J₀, получаемые из матриц R1s вычёркиванием последних

N - J₀ строк. Обозначим через e^ri, i = 1,N, i-ю строку матрицы R1s.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1222

ЛИЙКО

Определение 1. Разностный оператор R_Q - L₂(Q) → L₂(Q) называется регулярным,

если матрицы R_s, s = 1, s₁, и R0s, s = s(r), r ∈ B, невырожденные.

Замечание. Если оператор R_Q является регулярным, то матрицы R0s(r) невырожден-

ные для всех r ∈ B. Следовательно, существуют такие коэффициенты γ^rij, r ∈ B, i =

= J₀(r) + 1,J(r), j = 1,J₀(r), что справедливо равенство

∑

e^rl =

γ^rlje^rj, l = J₀ + 1,J.

(3)

j=1

Обозначим через W12,Γ,γ(Q) подпространство функций в W¹²(Q), удовлетворяющих нело-

кальным краевым условиям

∑

w(x + h_sl)|Γr1 =

γ^rljw(x + h_sj)|Γr1 , r ∈ B, l = J₀ + 1,J,

j=1

где γ = {γ^rij }, γ^rij - комплексные числа.

Теорема 1. Пусть оператор R_Q : L₂(Q) → L₂(Q) является регулярным. Тогда отобра-

жение R_Q :W12,Γ(Q) → W12,Γ,γ(Q) - изоморфизм.

Это утверждение устанавливает связь между смешанной краевой задачей для сильно эл-

липтического дифференциально-разностного уравнения и сильно эллиптическим дифферен-

циальным уравнением с нелокальными смешанными краевыми условиями.

2.2. Рассмотрим некоторое число r ∈ B и соответствующие J = J(r) и J₀ = J₀(r).

Для этого r существуют такие p = p(r) и m = m(r), что Γr1 ⊂ ∂Q_pm, Q_pm = Qs1. Перену-

меруем подобласти p-го класса таким образом, чтобы выполнялось условие

Γ_rl ⊂ ∂Q_pl, l = 1,J₀, J₀ ≤ N(p).

Введём матрицу R^′s, получаемую из матрицы R_s вычёркиванием последних N(s) - J₀

строк и первых J₀ столбцов. Если N(p) > J₀, то введём также матрицу R^′p, получаемую из

матрицы R_p вычёркиванием последних N(p) - J₀ строк и первых J₀ столбцов. Если N(p) >

> J₀, то введём матрицу T_r = (R^′s | R^′p) порядка J₀ × (N(s) + N(p) - 2J₀), получаемую

объединением столбцов матриц R^′s и R^′p.

Теорема 2. Пусть оператор R_Q : L₂(Q) → L₂(Q) является регулярным, и пусть для всех

r ∈ B таких, что N(p) > J₀, столбцы матрицы T_r линейно независимы, и для всех r ∈ B

таких, что N(p) = J₀, столбцы матрицы R^′s линейно независимы. Предположим также,

что R-1Q(H₁) ⊂ W¹²(Q), где H₁ - линейное подпространство в W¹²(Q). Тогда справедливы

включения

R-1Q(H₁) ⊂W12,Γ(Q) и H₁ ⊂ W12,Γ,γ(Q).

Утверждение теоремы 2 показывает, что для регулярного разностного оператора R_Q при

выполнении дополнительных условий на коэффициенты наличие “минимальной гладкости”

функций из некоторого подпространства H₁ и его прообраза R-1Q(H₁) означает, что функции

из R-1Q(H₁) имеют нулевые следы на многообразиях Γ_rl, r ∈ B, l = J₀ + 1, J, а функции из

H₁ удовлетворяют нелокальным краевым условиям. Поэтому при рассмотрении смешанных

краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений естествен-

но задавать однородные условия Дирихле на многообразиях Γ_rl, r ∈ B, l = J₀ + 1, J, и крае-

вые условия второго рода на многообразиях Γ_rl, r ∈ B, l = 1, J. Такие задачи эквивалентны

смешанным нелокальным краевым задачам для сильно эллиптических дифференциальных

уравнений. Рассмотрение эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными кра-

евыми условиями второго рода на сдвигах многообразий Γ_rl, r ∈ B, l = J₀ + 1, J, приводит

к переопределённым задачам.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1223

3. Смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-

разностного уравнения.

3.1. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

AR_Qu(x) = f₀(x), x ∈ Q,

(4)

со смешанными краевыми условиями

u|Γrl = 0, r ∈ B, l = J₀(r) + 1, J(r),

(5)

)

(∑



a_ijR_Quxj cos(ν,x_i)

= 0, r ∈ B, l = 1, J(r),

(6)



i,j

Γ_rl

где f₀ ∈ L₂(Q), ν - единичный вектор внешней нормали к Γ_rl, дифференциальный оператор

∑

∂

A=-

a_ij

a_ij = a_ji ∈ R,

∂x_i

∂x_j

i,j=1

R_Q = P_QRI_Q : L₂(Q) → L₂(Q), оператор R задаётся по формуле (1).

Будем предполагать, что оператор A сильно эллиптический, т.е. выполняется условие

∑

a_ijξ_iξ_j > 0,

0=ξ∈Rⁿ.

i,j=1

Пусть матрицы R_s, соответствующие разностному оператору R_Q, удовлетворяют условию

R_s + R^∗s > 0, s = 1,s₁. В таком случае уравнение (4) будем называть сильно эллиптическим.

Определение 2. Функция u ∈W12,Γ(Q) называется обобщённым решением задачи (4)-(6),

если для любой функции v ∈W12,Γ(Q) выполняется интегральное тождество

∑

(a_ij R_Quxj , vxi )L2(Q) = (f0, v)L₂(Q).

i,j=1

Теорема 3. Пусть уравнение (4) сильно эллиптическое. Тогда для любой функции f₀ ∈

∈ L₂(Q) существует единственное обобщённое решение u ∈W12,Γ(Q) задачи (4)-(6), при

этом справедлива оценка

∥u∥_W 1

(Q)

≤ c₀∥f₀∥L2(Q),

где c₀ > 0 - постоянная, не зависящая от f₀.

3.2. Рассмотрим теперь вопрос о гладкости обобщённых решений задачи (4)-(6).

Теорема 4. Пусть уравнение (4) сильно эллиптическое. Предположим, что u ∈W12,Γ(Q) -

обобщённое решение задачи (4)-(6). Тогда u ∈ W²²(Q_sl\K^ε) для любого ε > 0 и всех s = 1,s₁,

l = 1,N(s), где K ^ε = {x ∈ Rⁿ : dist(x,K ) < ε}.

В работе [3] показана справедливость теоремы 4 при ε = 0 для случая, когда область

Q = (0,d)×G является цилиндром, разностный оператор R имеет сдвиги по оси цилиндра, а

дифференциальный оператор A = -Δ, где Δ - оператор Лапласа. В общем случае теорема 4

при ε = 0 неверна (см. [5]).

4. Связь с нелокальной эллиптической краевой задачей. Изучим связь между сме-

шанной краевой задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравне-

ния и сильно эллиптическим дифференциальным уравнением с нелокальными смешанными

краевыми условиями, которую устанавливает теорема 1 об изоморфизме.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1224

ЛИЙКО

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Aw(x) = f₀(x), x ∈ Q,

(7)

с нелокальными смешанными краевыми условиями

∑

w(x + h_sl)|Γr1 =

γ^rljw(x + h_sj)|Γr1 , r ∈ B, l = J₀(r) + 1,J(r),

(8)

j=1

)

(∑



a_ijwxj cos(ν,x_i)

= 0, r ∈ B, l = 1, J(r),

(9)



i,j

Γ_rl

где f₀ ∈ L₂(Q), ν - единичный вектор внешней нормали к поверхности Γ_rl, дифференциаль-

ный оператор

∑

∂

A=-

a_ij

a_ij = a_ji ∈ R,

∂x_i

∂x_j

i,j=1

γ^rij - комплексные числа.

Пусть оператор A сильно эллиптический, т.е. выполняется условие

∑

a_ijξ_iξ_j > 0,

0=ξ∈Rⁿ.

i,j=1

Также предположим, что справедливо следующее

Условие A. Пусть для заданных чисел γ^rij существуют числа a_h ∈ C (h ∈ M ) такие,

что выполняются равенства (3), при этом матрицы R_s вида (2) удовлетворяют условию

R_s + R^∗s > 0 (s = 1,s₁).

Определение 3. Функция w ∈ W12,Γ,γ(Q) называется обобщённым решением задачи (7)-

(9), если для любой функции v ∈W12,Γ(Q) выполняется интегральное тождество

∑

(a_ij wxj , vxi )L2(Q) = (f0, v)L₂(Q).

i,j=1

Утверждение теоремы 1 устанавливает эквивалентность задач (4)-(6) и (7)-(9). Пусть вы-

полняется условие A, функция w ∈ W12,Γ,γ(Q) - обобщённое решение задачи (7)-(9). Тогда

функция u = R-1Qw ∈W12,Γ(Q) является обобщённым решением задачи (4)-(6). В силу теоре-

мы 3 можно доказать следующую теорему.

Теорема 5. Пусть выполняется условие A. Тогда для любой функции f₀ ∈ L₂(Q) суще-

ствует единственное обобщённое решение w ∈ W12,Γ,γ(Q) задачи (7)-(9), при этом справед-

лива оценка

∥w∥_W 1

(Q)

≤ c₁∥f₀∥L2(Q),

где c₁ > 0 - постоянная, не зависящая от f₀.

Рассмотрим теперь вопрос о гладкости обобщённых решений задачи (7)-(9).

Теорема 6. Пусть выполняется условие A. Предположим, что w ∈ W12,Γ,γ(Q) - обоб-

щённое решение задачи (7)-(9). Тогда w ∈ W²²(Q \ (∂Q

^⋂K )^ε) для любого ε > 0.

Из теоремы 6 можно получить обобщение теоремы 4 о гладкости обобщённых решений сме-

шанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения, пред-

положив, что R_Q - регулярный оператор.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1225

Теорема 7. Пусть оператор R_Q регулярный, и пусть u ∈W12,Γ(Q) - обобщённое решение

задачи (4)-(6). Тогда u ∈ W²²(Q_sl \ K^ε) для любого ε > 0 и всех s = 1, s₁, l = 1, N(s).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (соглашение № 075-15-2022-1115).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications // Operator Theory. Adv.

and Appl. V. 91. Basel; Boston; Berlin, 1997.

2. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных урав-

нений и их приложения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71. № 5 (431). С. 3-112.

3. Liiko V.V., Skubachevskii A.L. Smoothness of solutions to the mixed problem for elliptic differential-

difference equation in cylinder // Complex Variables and Elliptic Equat. 2022. V. 67. № 2. P. 462-477.

4. Onanov G.G., Tsvetkov E.L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with

deviating argument in a stationary problem of elasticity theory // Rus. J. of Math. Phys. 1995. V. 3.

№ 4. P. 491-500.

5. Liiko V.V. Mixed boundary value problem for strongly elliptic differential difference equations in a

bounded domain // Rus. J. of Math. Phys. 2021. V. 28. № 2. P. 270-274.

Российский университет дружбы народов,

Поступила в редакцию 16.06.2022 г.

г. Москва,

После доработки 16.06.2022 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 15.08.2022 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022