ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1226-1233
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.28+517.968.78
О СИСТЕМАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТОЖДЕСТВЕННО
ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ ПЕРЕД ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ
© 2022 г. М. В. Булатов, Л. С. Соловарова
Рассмотрены линейные однородные системы интегро-дифференциальных и интегральных
уравнений с матрицами-ядрами Вольтерры и Фредгольма с нулевыми начальными услови-
ями. Исследован случай, когда искомая вектор-функция зависит от одного (интегро-диф-
ференциальные системы) и двух (системы интегральных уравнений) аргументов и матри-
ца перед главной частью является квадратной и тождественно вырожденной. Подчеркнуто
принципиальное отличие рассматриваемых систем от систем, разрешённых относительно
главной части, в существовании не только тривиального решения. В терминах матрич-
ных пучков и полиномов сформулированы достаточные условия, при выполнении которых
задачи для рассматриваемых систем имеют только тривиальное решение. Приведены ил-
люстративные примеры.
DOI: 10.31857/S0374064122090060, EDN: CIBLSD
Введение. Системы различных классов интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений описывают важные прикладные задачи, чем и обусловлены интерес к их исследова-
нию и большое количество публикаций по данной тематике. Конкретные прикладные задачи,
библиографию и исторический обзор можно найти в специальной учебной литературе [1-3] и
в монографиях [4-8].
Как правило, исследование существования и единственности решения таких задач приве-
дены для случая, когда система разрешена относительно главной части. Значительно меньше
исследованы системы с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Исклю-
чение составляют лишь интегральные уравнения Вольтерры первого рода. К настоящему вре-
мени созданы алгоритмы решения этих задач только для частных случаев. Детальную биб-
лиографию, исторический обзор и описание трудностей, возникающих при создании и обос-
новании численных методов решения интегральных уравнений первого рода, можно найти в
работах [4-9].
Разработка качественной теории - формулировка условий существования и единственно-
сти решения в различных классах функций, а также разработка численных методов решения
систем интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерры с тождест-
венно вырожденной матрицей перед главной частью - только начинает зарождаться. Число
публикаций по этой теме насчитывает первые десятки статей (см., например, [10-12] и приве-
дённую в них библиографию). Исследований аналогичного класса задач с матрицами-ядрами
типа Вольтерры и Фредгольма практически нет. Эти факторы и послужили мотивацией для
написания данной статьи.
В работе приведены формулировки двух видов систем интегральных и интегро-дифферен-
циальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью и подчерк-
нуты их принципиальные отличия от классических постановок задач для систем, разрешённых
относительно главной части.
1. Постановка задачи. Рассмотрим однородную задачу
∫t
∫
1
A(t)x′(t) + B(t)x(t) + K(t, τ)x(τ) dτ + μ L(t, τ)x(τ) dτ = 0,
0 ≤ τ ≤ t ≤ 1,
(1)
0
0
x(0) = 0,
(2)
1226
О СИСТЕМАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1227
где A(t), B(t), K(t, τ), L(t, τ) - вещественные n × n-матрицы, x(t) - заданная и искомая
n-мерная вектор-функция, μ - вещественный параметр.
В данной работе рассмотрен случай, когда
det A ≡ 0.
(3)
Всюду далее предполагается, что элементы A(t), B(t), K(t, τ) и L(t, τ) обладают до-
статочной гладкостью, необходимой для проведения выкладок. Под решением задачи (1), (2)
будем понимать любую непрерывно-дифференцируемую вектор-функцию, которая обращает
равенство (1) в тождество и удовлетворяет условию (2).
Если исходная система (1) является неоднородной, то при K(t, τ) ≡ L(t, τ) ≡ 0 и A(t) ≡ 0
имеем дифференциально-алгебраические уравнения, а при A(t) ≡ 0, L(t, τ) ≡ 0 будем иметь
один из четырёх случаев:
1) систему интегральных уравнений Вольтерры второго рода при det B(t) = 0 для любого
t ∈ [0,1];
2) систему интегральных уравнений Вольтерры третьего рода при det B(tj ) = 0, j = 1, p,
tj ∈ [0,1];
3) интегро-алгебраические уравнения, если det B(t) ≡ 0, но при условии, что B(t) не
является тождественно нулевой матрицей;
4) систему интегральных уравнений Вольтерры первого рода при нулевой матрице B(t).
Исследование неоднородной задачи (1) с заданными начальными условиями при L(t, τ) ≡ 0
на предмет существования и единственности решения, а также создание численных методов
её решения описаны в статьях [13, 14].
Из самой постановки задачи видно, что нулевая вектор-функция является решением дан-
ной задачи. Ниже сформулируем условия, гарантирующие существование только тривиально-
го решения поставленных задач.
В данной работе также затронут вопрос о существовании только тривиального решения
двумерных систем интегральных уравнений вида
∫s
∫
q
∫1
∫
1
C(s, q)u(s, q) +
M (s, q, r, l)u(r, l) dl dr + θ
N (s, q, r, l)u(r, l) dl dr = 0,
(4)
0
0
0
0
где 0 ≤ r ≤ s ≤ 1, 0 ≤ l ≤ q ≤ 1, C(·), M(·), N(·) - n×n-матрицы, θ - скалярный параметр,
u(s, q) - n-мерная вектор-функция, и
det C(s, q) ≡ 0.
(5)
Системы (1), (2) и (4) для которых выполнены условия (3) и (5) соответственно, прин-
ципиально отличаются от систем, разрешённых относительно главной части, т.е. с условием
det A(t) = 0 для любого t ∈ [0, 1] и det C(s, q) = 0 при всех (s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1]. Они могут
иметь бесконечно много решений при любых μ и θ, а в неоднородном случае могут быть
неустойчивыми к возмущениям входных данных или не иметь достаточно гладкого решения.
Таким образом, рассматриваемая задача относится к классу некорректных.
Приведём конкретные примеры.
Пример 1. Рассмотрим задачу
(
)(
)′
(
)(
)
1
0
x1
0
1
x1
+
+
0
0
x2
1
0
x2
∫t
(
)(
)
∫
1
(
)(
)
(
)
0
0
x1(τ)
1
0
x1(τ)
0
+
dτ + μ
dτ =
,
0
1
x2(τ)
1
0
x2(τ)
0
0
0
x1(0) = x2(0) = 0.
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1228
БУЛАТОВ, СОЛОВАРОВА
Непосредственной проверкой легко убедиться, что данная задача имеет множество решений
x1 = ψ(t), x2 = -ψ′(t) при любом значении μ ∈ (-∞,∞), где ψ(t) - любая функция,
∫1
удовлетворяющая условиям ψ(0) = ψ′(0) и
ψ(t)dt = 0.
0
Пример 2. Неоднородная система
(
)(
)′
(
)(
)
1
0
x1
1
0
x1
+
+
0
0
x2
0
0
x2
∫t
(
)(
)
∫
1
(
)(
)
(
)
0
1
x1(τ)
0
1
x1(τ)
f1
+
dτ + μ
dτ =
(6)
1
0
x2(τ)
0
0
x2(τ)
f2
0
0
имеет единственное решение при любых значениях μ ∈ (-∞, ∞).
В самом деле, из второго уравнения в (6)
t
∫
x1(τ)dτ = f2(t)
0
имеем x1(t) = f′2(t). При этом должно быть выполнено
f2(0) = 0.
(7)
Продифференцируем первое уравнение в (6):
1
∫t
∫
x′1 + x1 + x2(τ)dτ + x2(τ)dτ = f1(t)
0
0
и получим x′′1(t) + x1(t) + x2(t) = f1(t). В силу того что, x1(t) = f2(t), имеем x2(t) = f1(t) -
(t). Отметим, что данная система имеет единственное решение, которое не зависит
2
от начальных условий (2)
Рассмотрим теперь возмущённую задачу (6):
(
)(
)′
(
)(
)
1
0
x1
1
0
x1
+
+
0
0
x2
0
0
x2
∫t
(
)(
)
∫
1
(
)(
)
)
0
1
x1(τ)
0
1
x1(τ)
f1
+
dτ + μ
dτ =
,
1
0
x2(τ)
0
0
x2(τ)
f2
0
0
где
f1(t) - f1(t)∥C ≤ δ,
f2(t) - f2(t)∥C ≤ δ, δ > 0. Легко заметить, что при
f2(t) = f2(t) +
+ δ sin(t/δ2) погрешность ∥x1(t) - x1(t)∥Cδ→0 → ∞, а при
f2 = f2 + δ cos(t) возмущённая
задача не имеет решения в классе непрерывно-дифференцируемых функций, так как
f2(0) =
= 0 (нарушено условие (7)).
Пример 3. В качестве решения задачи
(
)(
)′
∫
t
(
)(
)
∫
1
(
)(
)
(
)
1
0
x1
1
0
x1(τ)
1
0
x1(τ)
0
+
dτ + μ
dτ =
,
1
0
x2
1
0
x2(τ)
1
0
x2(τ)
0
0
0
x1(0) = x2(0) = 0
можно взять вектор-функцию (0, ϕ′(t))т, где ϕ(t) - любая достаточно гладкая функция, удо-
влетворяющая условию ϕ(0) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О СИСТЕМАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1229
Перейдём теперь к системе (4). Точно также, как и задача (1), (2) с условием (3), она
принципиально отличается от систем, разрешённых относительно главной части (интеграль-
ных уравнений второго рода). Приведём некоторые примеры.
Пример 4. Рассмотрим неоднородную систему (4) вида
(
)(
)
∫
s
∫
q
(
)(
)
ς(s, q)
0
u1(s,q)
0
1
u1(r,l)
+
dl dr +
0
0
u2(s, q)
1
0
u2(r,l)
0
0
∫1
∫
1
(
)(
)
(
)
ψ(s, q, r, l)
0
u1(r,l)
ϕ1(s,q)
+θ
dl dr =
,
(8)
0
0
u2(r,l)
ϕ2(s,q)
0
0
которая имеет единственное решение при любых достаточно гладких входных данных и любом
θ ∈ (-∞,∞) (предположение на правую∫ч∫сть сделано по ходу изложения).
s
q
В самом деле, из второго уравнения
u1(r,l)dl dr = ϕ2(s,q) системы (8) вытекает, что
0
0
2
∂
u1(s,q) =
ϕ2(s,q),
∂s∂q
при этом должно выполняться ϕ2(0, q) = ϕ2(s, 0) = 0.
Подставив это выражение в первое уравнение (8), получим
q
1
1
∫s
∫
∫
∫
ς(s, q)u1(s, q) +
u2(r,l)dl dr + θ
ψ(s, q, r, l)u1(r, l) dl dr = ϕ1(s, q),
0
0
0
0
т.е.
[
∫
1
∫
1
]
2
∂
u2(s,q) =
ϕ1(s,q) - ς(s,q)u1(s,q) - θ
ψ(s, q, r, l)u1(r, l) dl dr
∂s∂q
0
0
Итак, решение данной системы зависит от смешанных производных высоких порядков
входных данных, а функция ς(s, q) может обращаться в нуль, и этот факт не означает наличия
сингулярных точек.
Похожая на предыдущую система
(
)(
)
∫
s
∫
q
(
)
ς(s, q)
0
u1(s,q)
u1(r,l)
+
dl dr +
0
0
u2(s, q)
u2(r,l)
0
0
∫1
∫
1
(
)(
)
(
)
0
0
u1(r,l)
0
+θ
dl dr =
(9)
0
N (s, q, r, l)
u2(r,l)
0
0
0
будет иметь сингулярные точки, если функция ς(s, q) = 0 в некоторых точках области [0, 1] ×
× [0, 1] обращается в нуль. Если взять ς(s, q) = -sq, то решением первого уравнения данного
примера, помимо тривиального, является функция u1(r, l) = 1. Также в зависимости от то-
го как задана функция N(s, q, r, l) и скаляр θ второе уравнение системы (9) может иметь
нетривиальное решение. Например, при θ = 1 и N(s, q, r, l) ≡ 1 любая функция
u2(r,l) = (r - 0.5)2k+1 + (l - 0.5)2m+1,
где k, m - любые целые неотрицательные числа, является решением.
В следующем пункте приведены достаточные условия существования только тривиального
решения задачи (1), (3).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
5∗
1230
БУЛАТОВ, СОЛОВАРОВА
2. Условия существования только тривиального решения. Для дальнейшего изло-
жения потребуются определения и вспомогательные утверждения из теории матричных пуч-
ков и полиномов.
Определение 1 [15, 16]. Матричный полином p2A(t)+pB(t)+C(t), где A(t), B(t), C(t) -
n × n-матрицы, p - скаляр, имеет простую структуру на отрезке [0,1], если:
1) rank A(t) = k0 = const для любого t ∈ [0, 1];
2) rank (A(t)|B(t)) = k0 + k1 = const при любом t ∈ [0, 1];
3) det (p2A(t) + pB(t) + C(t)) = a0(t)p2k0+k1 + a1(t)p2k0+k1-1 + . . . , где a0(t) - функция,
причём a0 = 0, t - любое значение из отрезка [0,1].
Лемма 1 [15, 16, 13]. Если матричный полином p2A(t) + pB(t) + C(t) имеет простую
структуру на отрезке [0, 1] и элементы матриц A(t), B(t), C(t) принадлежат классу
Ck[0,1], то существует невырожденная для любого t ∈ [0,1] матрица P(t) такая, что
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
A1(t)
B1(t)
C1(t)
P (t)(p2A(t) + pB(t) + C(t)) = p2 ⎝
0
⎠+p ⎝B2(t)⎠+ ⎝C2(t)⎠,
0
0
C3(t)
где A1(t), B1(t), C1(t) - k0 × n-матрицы, B2(t), C2(t) - k1 × n-матрицы, C3 - (n - k0 -
- k1) × n-матрица, причём
⎛
⎞
A1(t)
⎠=0
det⎝αB2(t)
для любых t ∈ [0, 1] и α, β = 0.
βC3(t)
Для квадратных матриц, элементы которых зависят от двух аргументов, приведём резуль-
таты из теории матричных пучков.
Определение 2 (cм., например, [17, с. 52]). Матричный пучок λC(s,q) + D(s,q) удовле-
творяет критерию “ранг-степень” в области (s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1], если:
1) rank C(s, q) = k0 = const для любых (s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1];
2) det (λC(s, q) + D(s, q)) = a0(s, q)λk0 + a1(s, q)λk0-1 + . . . + ak(s, q),
где a0(s, q) - функция, не обращающаяся в нуль при любых (s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1].
Лемма 2 [17, с. 32]. Если матричный пучок λC(s, q) + D(s, q) удовлетворяет критерию
“ранг-степень” в области (s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1] и элементы матриц C(s, q) и D(s, q) явля-
ются непрерывными функциями в заданной области, то существует невырожденная n × n-
матрица с непрерывными элементами P (s, q) такая, что
(
)
(
)
C1(s,q)
D1(s,q)
P (s, q)(λC(s, q) + D(s, q)) = λ
+
,
(10)
0
D2(s,q)
где C1, D1 - k0 × n-матрицы, D2 - (n - k0) × n-матрица, λ - действительный параметр.
(
)
C1(s,q)
Лемма 3 [10]. Матрица
из леммы 1 является невырожденной для любых
αD2(s, q)
(s, q) ∈ [0, 1] × [0, 1] и любого скаляра α = 0.
Перед формулировкой условий существования достаточно гладкого решения рассматрива-
емого класса задач приведём ещё два факта.
Утверждение 1. Если у задачи (1), (2) элементы входных данных достаточно гладкие,
det A(t) = 0 при всех t ∈ [0, 1], то при |μ| < μ0 она имеет только тривиальное решение.
Утверждение 2. Система интегральных уравнений
s
∫r
∫
u(s, q) + A1(s, q, r)u(s, r) dr + A2(s, q, l)u(l, q) dl +
0
0
q
1
1
∫s
∫
∫
∫
+
A3(s,q,r,l)u(r,l)dl dr + θ
A4(s,q,r,l)u(r,l)dl dr = 0,
0
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О СИСТЕМАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1231
где 0 ≤ r ≤ s ≤ 1, 0 ≤ l ≤ q ≤ 1, Aj(·), j = 1,4, - n×n-матрицы с непрерывными в области
определения элементами, θ - скалярный параметр, при |θ| ≤ θ0 имеет только тривиальное
решение.
Доказательство этих фактов следует из принципа сжатых отображений (см., например, [1,
с. 74; 2, с. 52]).
Сформулируем достаточные условия существования решения рассматриваемых задач.
Утверждение 3. Пусть для задачи (1), (2) выполнены условия:
1) элементы матриц A(t), B(t), K(t, τ), L(t, τ) и f(t) - дважды непрерывно дифферен-
цируемые функции (для матриц K(t, τ), L(t, τ) - по совокупности элементов);
2) матричный полином p2A(t) + pB(t) + K(t,t) имеет простую структуру на отрез-
ке [0, 1].
Тогда при |μ| ≤ m0 данная задача имеет только тривиальное решение.
Доказательство. Умножим систему (1) на матрицу P (t) такую, что матрица
P (t)(p2A(t) + pB(t) + K(t, t))
имеет блочный вид
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
A1(t)
B1(t)
K1(t,t)
P (t)(p2A(t) + pB(t) + K(t, t)) = p2 ⎝
0
⎠+p ⎝B2(t)⎠+ ⎝K2(t,t)⎠,
0
0
K3(t,t)
где A1(t), B1(t), K1(t, t) - k0 × n-матрицы, B2(t), K2(t, t) - k1 × n-матрицы, K3(t, t) -
n × (n - k0 - k1)-матрица, rankA(t) = k0, rank(A(t)|B(t)) = k0 + k1. Существование такой
матрицы гарантируют условия утверждения и лемма 1.
Используя результат леммы 1, распишем в блочном виде систему
(
∫
t
∫
1
)
P (t) A(t)x′(t) + B(t)x(t) + K(t, τ)x(τ) dτ + μ L(t, τ)x(τ) dτ
=
(11)
0
0
1
∫t
∫
= A1(t)x′(t) + B1(t)x(t) + K1(t,τ)x(τ)dτ + μ L1(t,τ)x(τ)dτ = 0,
0
0
∫t
∫
1
B2(t)x(t) + K2(t,τ)x(τ)dτ + μ L2(t,τ)x(τ)dτ = 0,
(12)
0
0
∫
t
∫
1
K3(t,τ)x(τ)dτ + μ L3(t,τ)x(τ)dτ = 0,
(13)
0
0
где
⎛
⎞
⎛
⎞
L1(t,τ)
f1(t)
P (t)L(t, τ) =⎝L2(t, τ)⎠, P (t)f(t) = ⎝f2(t)⎠.
L3(t,τ)
f3(t)
Дифференцируя (12), (13) по t один и два раза соответственно и объединяя полученные
уравнения с уравнениями (11), получаем систему интегро-дифференциальных уравнений
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
t
1
A1(t)
B1(t)
∫
K1(t,τ)
∫
L1(t,τ)
0
⎝ B2(t)
⎠x′(t)+ ⎝
B2(t)⎠x(t)+
⎝
K2(t,τ)⎠x(τ)dτ+μ
⎝L2(t,τ)⎠x(τ)dτ= ⎝0⎠ (14)
K3(t,t)
B3(t)
K3(t,τ)
L3(t,τ)
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1232
БУЛАТОВ, СОЛОВАРОВА
с начальным условием x(0) = 0, элементы матриц которой являются непрерывными функ-
циями в силу первого условия утверждения. Из условий утверждения и леммы 1 следует, что
блочная матрица
⎛
⎞
A1(t)
⎝ B2(t)
⎠
K3(t,τ)
у системы (14) является невырожденной для любого t ∈ [0, 1]. Из утверждения 1 вытекает,
что система (14) при |μ| ≤ μ0 и x(0) = 0 имеет только тривиальное решение. Утверждение
доказано.
Если в точках нарушается второе условие утверждения 2, то через данные точки может
проходить несколько решений. Для иллюстрации этого факта достаточно рассмотреть про-
стейший пример с матрицами
A(t) = diag (a11(t), 0, 0), B(t) = diag (1, b22(t), 0),
K(t, τ) = diag (0, 1, K33(t, τ)), L(t, τ) ≡ 0.
(15)
Дифференциальные уравнения
(t - tj )x′(t) - dx(t) = 0, x(0) = 0,
(16)
где d - натуральное число, tj ∈ [0, 1), j = 1, 3, имеют решения x = 0 при t ∈ [0, tj ) и
x = c(t - tj)d при t ∈ [tj,1], где c - любое число.
Положим j = 3, x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))т и 0 ≤ t1 < t2 < t3 < 1. Записав (16) при j = 2
и j = 3 в виде интегральных уравнений Вольтерры второго и первого рода соответственно
и объединив полученные уравнения в систему (1) с матрицами (15), получим, что в точках
tj ∈ [0, 1) происходит нарушение условий второго утверждения (соответственно изменяется
rank A(t) в точке t1, изменяется rank (A(t)|B(t) в точке t2 и функция a0(t3) = 0).
Утверждение 4. Пусть для задачи (4) выполнены условия:
1) элементы входных данных достаточно гладкие;
2) матричный пучок λC(s,q) + M(s,q,s,q) удовлетворяет критерию “ранг-степень”.
Тогда, начиная с некоторого |θ| ≤ θ0, рассматриваемая задача имеет единственное ре-
шение.
Доказательство утверждения 4 основано на леммах 2 и 3 и проводится аналогично дока-
зательству утверждения 3.
Заключение. В статье приведены достаточные условия существования только тривиаль-
ного решения для однородных систем интегро-дифференциальных (с нулевыми начальными
данными) и интегральных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. Данные
условия сформулированы в терминах матричных полиномов и пучков.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-51-
S52003-a),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.
2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М., 1975.
3. Бельтюков Б.А. Некоторые вопросы теории приближённых методов решения интегральных урав-
нений. Иркутск, 1994.
4. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.
М., 1978.
5. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерры I рода: теория и численные методы. Новоси-
бирск, 1999.
6. Brunner H., Houwen P. van der. The Numerical Solution of Volterra Equations. Amsterdam; New York,
1986.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
О СИСТЕМАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1233
7. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations. Cambridge,
2004.
8. Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. Philadelphia, 1985.
9. Тен Мен Ян. Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерры I рода: дис
канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1985.
10. Bulatov M.V., Lima P.M. Two-dimensional integral-algebraic systems: analysis and computational
methods // J. of Comput. and Appl. Math. 2011. V. 236. № 2. P. 132-140.
11. Brunner H., Hui L. Collocation methods for integro-differential algebraic equations with index 1// IMA
J. Numer. Anal. 2020. V. 40(2). P. 850-885.
12. Chistyakova E.V., Chistyakov V.F. Solution of differential algebraic equations with the Fredholm operator
by the least squares method // Appl. Numer. Math. 2020. V. 149. P. 43-51.
13. Булатов М.В., Чистякова Е.В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырож-
денной матрицей перед производной многошаговыми методами // Дифференц. уравнения. 2006.
Т. 42. № 9. С. 1248-1255.
14. Булатов М.В., До Тиен Тхань. Методы типа Адамса для решения вырожденных интегро-диффе-
ренциальных уравнений // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и про-
граммирование. 2014. Т. 7. № 3. C. 93-106.
15. Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек // Ляпуновские чтения и презентация инфор-
мационных технологий: матер. конф. Иркутск, 2002. С. 10.
16. Булатов М.В., Минг-Гонг Ли. Применение матричных полиномов к исследованию линейных диф-
ференциально-алгебраических уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44.
№ 10. С. 1299-1306.
17. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск,
1996.
Институт динамики систем и теории управления
Поступила в редакцию 05.11.2020 г.
имени В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск
После доработки 24.05.2022 г.
Принята к публикации 05.07.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
