ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1234-1241

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 519.642.2

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА

ОСОБЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследовано линейное интегро-дифференциальное уравнение с особым дифференциаль-

ным оператором в главной части. Для нахождения его приближённого решения в простран-

стве обобщённых функций предложены и обоснованы специальные варианты обобщённого

метода коллокации.

DOI: 10.31857/S0374064122090072, EDN: CIHAHE

Настоящая работа посвящена отысканию приближённого решения линейного интегро-диф-

ференциального уравнения (ИДУ)

∫

∏

Ax ≡ x(p)(t) (t - t_j)mj + K(t, s)x(s) ds = y(t),

(1)

j=1

-1

где t ∈ I ≡ [-1, 1], числа t_j ∈ (-1, 1), m_j ∈ N (j = 1, q) и p ∈ Z⁺ являются фиксирован-

ными; K и y - известные непрерывные функции, обладающие определёнными свойствами

“гладкости” точечного характера, а x - искомая функция. Очевидно, что задача о нахожде-

нии решения ИДУ (1) в классе обычных гладких функций является некорректно поставленной.

Следовательно, возникает вопрос о построении основных пространств, обеспечивающих кор-

ректность этой задачи. При рассмотрении этого вопроса вполне естественно учитывать, что

при p = 0 ИДУ (1) представляет собой линейное интегральное уравнение третьего рода (УТР)

(т.е. в этом смысле уравнения являются “родственными”). Последнее встречается в ряде задач

теорий переноса нейтронов, упругости, рассеяния частиц (см., например, [1; 2, с. 121-129] и со-

держащуюся в них библиографию), в теории уравнений с частными производными смешанного

типа [3], а также в теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся симво-

лом [4]. При этом, как правило, естественными классами решений УТР являются специальные

пространства обобщённых функций типа D или V. Под D (соответственно V ) понимается

пространство обобщённых функций, построенных с помощью функционала “дельта-функция

Дирака” (соответственно функционала “конечная часть интеграла по Адамару”). Подробный

обзор полученных результатов и обширную библиографию по УТР можно найти в моногра-

фии [5, с. 3-11, 168-173] и в диссертации [6, с. 3-6, 106-114].

ИДУ (1) при q = 1, t₁ = 0 исследовано в работе [7, с. 25-43], в которой с использованием

известных результатов по УТР построена теория Нётера для такого уравнения в классах глад-

ких и обобщённых функций типа D. В статье [8] разработана полная теория разрешимости

общего ИДУ (1) в некотором пространстве типа D обобщённых функций (фредгольмовость

уравнения, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные усло-

вия непрерывной обратимости оператора A), обоснован прямой проекционный метод прибли-

жённого решения, основанный на применении стандартных полиномов. Следует отметить, что

исследуемые ИДУ точно решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому особен-

но актуальна разработка эффективных методов их приближённого решения в пространствах

обобщённых функций с соответствующим теоретическим обоснованием.

В данной статье разработаны обобщённые варианты метода коллокации на основе специ-

альных полиномов, приспособленные к приближённому решению ИДУ (1) в пространстве ти-

па D обобщённых функций. Основное внимание уделено обоснованию исследуемых методов в

1234

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1235

смысле [9, гл. 1], т.е. доказаны теоремы существования и единственности решения соответству-

ющего приближённого уравнения, установлены оценки погрешности приближённого решения

и доказана безусловная сходимость последовательности приближённых решений к точному

решению однозначно разрешимого ИДУ (1). Также исследованы вопросы устойчивости и обу-

словленности аппроксимирующих уравнений.

1. Пространства основных и обобщённых функций. Пусть C ≡ C(I) - банахово

пространство всех непрерывных на отрезке I функций с обычной max-нормой и m ∈ N. Сле-

дуя работе [10], будем считать, что функция f ∈ C принадлежит классу C{m; 0} ≡ C{m}0(I),

если в точке t = 0 существует тейлоровская производная f^{m}(0) порядка m (естественно

считаем, что C{0; 0} ≡ C). Построим основное в наших исследованиях пространство:

Y ≡ C{m,p;0} ≡ {y ∈ C{m;0} : y^{i}(0) = 0, i = 0,p - 1},

где число p ∈ Z⁺ удовлетворяет неравенству p < m.

Введём в пространстве Y норму

∑

∥y∥_Y ≡ ∥T y∥_C +

|y^{i}(0)|,

(2)

i=p

где T

: Y

→ C - “характеристический” оператор класса Y, определяемый следующим

образом:

[

]

∑

(T y)(t) ≡ y(t) -

y^{i}(0)tⁱ/i! t^-m ≡ H(t) ∈ C (H(0) ≡ lim H(t)).

t→0

i=p

Лемма 1 [8]. i) Включение y ∈ Y равносильно выражению

∑

y(t) = t^mH(t) +

α_itⁱ,

(3)

i=p

причём Ty = H ∈ C с точностью до устранимого разрыва в точке t = 0, а y^{i}(0) = α_ii!

(i = p, m - 1).

ii) Пространство Y по норме (2) полно и нормально вложено в пространство C.

Обозначим через C(p) ≡ C(p)(I) векторное пространство p раз непрерывно дифференци-

руемых на множестве I функций, в котором определим норму

∑

∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C +

|z(i)(-1)| (z ∈ C(p)),

(4)

i=0

где Dz ≡ z(p)(t) ∈ C.

Лемма 2 [8]. Пространство C(p) с нормой (4) полно и нормально вложено в простран-

ство C.

Следствие 1. Обычная норма ∥·∥_C(p) в C(p) и норма (4) эквивалентны, т.е. существует

постоянная d ≥ 1 такая, что ∥z∥(p) ≤ ∥z∥_C(p) ≤ d∥z∥(p) для любой функции z ∈ C(p), где

∑_p

∥z∥_C(p) ≡

∥z(i)∥_C .

i=0

Пусть C(p)-1 ≡ C(p)-1(I) ≡ {z ∈ C(p) : z(i)(-1) = 0 (i = 0, p - 1)} - банахово пространство

гладких функций с нормой ∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C .

Теперь над пространством Y основных функций построим семейство X ≡ D(p)-1{m; 0}

обобщённых функций x(t) вида

∑

x(t) ≡ z(t) +

γ_iδ^{i}(t),

(5)

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1236

ГАББАСОВ

где t ∈ I, z ∈ C(p)-1, γ_i ∈ R - произвольные постоянные, а δ и δ^{i} - соответственно дельта-

функция Дирака и её “тейлоровские” производные, действующие на пространстве Y основных

функций по следующему правилу:

∫1

(δ^{i}, y) ≡

δ^{i}(t)y(t)dt ≡ (-1)ⁱy^{i}(0) (y ∈ Y, i = 0,m - p - 1).

(6)

−1

Очевидно, что векторное пространство X является банаховым относительно нормы

∑

∥x∥_X ≡ ∥z∥(p) +

|γ_i|.

(7)

i=0

2. Обобщённый метод коллокации на основе полинома Бернштейна. Пусть задано

ИДУ (1). Для сокращения громоздких выкладок и упрощения формулировок, не ограничивая

при этом общности идей, методов и результатов, всюду в дальнейшем будем считать q = 1,

t₁ = 0, т.е. рассмотрим ИДУ вида

(Ax)(t) ≡ (V x)(t) + (Kx)(t) = y(t) (t ∈ I),

(8)

∫¹

V ≡ UD, Df ≡ f(p)(t), Ug ≡ t^mg(t), Kx ≡ K(t,s)x(s)ds,

-1

где p ∈ N

^⋃ {0}, m ∈ N, p < m; y ∈ Y ≡ C{m,p;0}; ядро K обладает следующими

свойствами:

K(·,s) ∈ C, K(t,·) ∈ Y, ψ_i(t) ≡ K^{i}s(t,0) ∈ Y (i = 0,m - p - 1),

(9)

а x ∈ X - искомый элемент.

Приближённое решение ИДУ (8) будем искать в виде

∑

x_n ≡ x_n(t;{c_j}) ≡ g_n(t) +

ci+n+1δ^{i}(t),

(10)

i=0

(

)

∑

g_n ≡ Jz_n, z_n(t) ≡ 2^-n

c_i

(t + 1)ⁱ(1 - t)^n-i (n ∈ N),

(11)

i=0

где

∫

Jz ≡ (Jp-1z)(t) ≡ ((p - 1)!)-1 (t - s)p-1z(s)ds,

-1

(

)

≡ n!/(i!(n - i)!) (i = 0,n) - биномиальные коэффициенты. Неизвестные параметры c_j =

= c(n)j (j = 0,n + m - p) найдём согласно нашему методу из квадратной системы линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ) (n + m - p + 1)-го порядка:

c_k = (Ty - TKx_n)(ν_k) (k = 0,n), ρ^{i}n(0) = 0 (i = p,m - 1),

(12)

где ρ_n(t) ≡ ρ^An(t) ≡ (Ax_n - y)(t) - невязка приближённого решения, а узлы коллокации ν_k =

= ν(n)k ∈ I вычисляются по формуле

ν_k = -1 + 2k/n (k = 0,n).

(13)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1237

Прежде чем перейти к обоснованию предложенного метода (10)-(13), следуя работе [11],

примем следующие полезные для оформления результатов соглашения. Во-первых, стандарт-

ное утверждение “при всех n ∈ N (n ≥ n₀) СЛАУ (12) имеет единственное решение {c^∗j},

и последовательность приближённых решений x^∗n ≡ x_n(t; {c^∗j}) сходится к точному решению

x^∗ = A-1y уравнения (8) по норме пространства X ” заменим простой фразой “метод (10)-(12)

обоснованно применим к уравнению (8)”. Во-вторых, для погрешности приближённого реше-

ния введём специальное обозначение Δx^∗n ≡ ∥x^∗n - x^∗∥_X ; оценка этой величины определяет

скорость сходимости приближённых решений x^∗n к точному решению x^∗ уравнения (8).

Для вычислительного алгоритма (8)-(13) справедлива

Теорема 1. Если однородное ИДУ Ax = 0 имеет в пространстве X лишь нулевое реше-

ние (например, в условиях теоремы 2 [8]), то прямой метод (10)-(12) обоснованно применим

к уравнению (8), причём

∑

Δx^∗n = O{ω_t(h;Δ_n) +

ω(f_i; Δ_n) + ω(T y; Δ_n)},

(14)

i=0

где ω(f; Δ) - модуль непрерывности функции f ∈ C с шагом Δ

(0 < Δ ≤ 2), а ω_t(h; Δ) -

частный модуль непрерывности функции h по переменной t; h ≡ T_tK, f_i ≡ T ψ_i (i =

= 0, m - p - 1), Δ_n ≡ n-1/2.

Доказательство. Очевидно, что ИДУ (8) можно представить в виде линейного оператор-

ного уравнения

Ax ≡ V x + Kx = y (x ∈ X ≡ D(p)-1{m; 0}, y ∈ Y ≡ C{m, p; 0}),

в котором оператор A : X → Y непрерывно обратим.

Систему (10)-(12) требуется записать также в операторной форме. С этой целью постро-

им соответствующие конечномерные подпространства. Именно, через X_n ⊂ X обозначим

(n + m - p + 1)-мерное подпространство элементов вида (10), а за Y_n ⊂ Y примем класс

span {tⁱ}n+mp. Далее введём линейный оператор Γ_n ≡ Γn+m-p+1 : Y → Yn согласно прави-

лу

∑

tⁱ

Γ_ny ≡ Γn+m-p+1(y;t) ≡ (UB_nTy)(t) +

y^{i}(0)

(15)

i=p

где B_n : C → Π_n ≡ span {tⁱ}n0 представляет собой оператор Бернштейна [12, с. 22] по системе

узлов (13).

Покажем теперь, что система (10)-(12) равносильна линейному уравнению

A_nx_n ≡ V x_n + Γ_nKx_n = Γ_ny (x_n ∈ X_n, Γ_ny ∈ Y_n).

(16)

Пусть x^∗n ≡ x_n(t; {c^∗j}) - решение уравнения (16), т.е. V x^∗n + Γ_nτ^∗n = 0 (τ^∗n ≡ Kx^∗n - y).

В силу равенств (10), (11) и (15) последнее означает, что

∑

tⁱ

(U(z^∗n + B_nT τ^∗n))(t) +

(τ^∗n)^{i}(0)

≡ 0.

(17)

i=p

На основании (3) очевидно, что тождество (17) эквивалентно системе

z^∗n(t) ≡ (B_n(Ty - TKx^∗n))(t), (τ^∗n)^{i}(0) = 0 (i = p,m - 1).

(18)

В левой и правой частях первого равенства системы (18) находятся полиномы Бернштейна

некоторых функций соответственно со значениями c^∗k и (T y - T Kx^∗n) в узлах (ν_k) (k = 0, n)

из (13). Далее, с учётом (8) и V x^∗n = Uz^∗n, имеем

(ρ^∗n)^{i}(0) = (τ^∗n)^{i}(0) (i = p, m - 1, ρ^∗n ≡ Ax^∗n - y).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1238

ГАББАСОВ

Следовательно, система (18) принимает вид

c^∗k = (Ty - TKx^∗n)(ν_k) (k = 0,n), (ρ^∗n)^{i}(0) = 0 (i = p,m - 1).

(19)

Итак, СЛАУ (12) имеет решение {c^∗j}n+m-p0, т.е. решение уравнения (16) является реше-

нием системы (10)-(12).

С целью получения обратного утверждения соответствующие равенства в узлах в (19)

умножаем на выражения

(

)

2-n

(t + 1)ⁱ(1 - t)^n-i (i = 0, n)

соответственно и затем почленно складываем, что приводит к системе (18). Далее достаточно

провести изложенные выше рассуждения в обратном порядке.

Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно установить существование, един-

ственность и сходимость решений уравнений (16). Для этих целей понадобится аппроксима-

тивное свойство оператора Γ_n, которое устанавливает

Лемма 3. Для любой функции y ∈ Y справедлива оценка

∥y - Γ_ny∥_Y ≤ d₁ω(T y; Δ_n)

(здесь и далее d_i (i = 1, 3) - некоторые константы, значения которых не зависят от на-

турального числа n).

Справедливость леммы 3 следует из представления (3), определений (15), (2) и оценки [12,

с. 245]:

∥f - B_nf∥_C ≤ d₁ω(f; Δ_n) (f ∈ C).

(20)

Покажем теперь “близость” операторов A и A_n на подпространстве X_n. Использовав

уравнения (8) и (16), представления (3) и (15), норму (2), для произвольного элемента x_n ∈

∈ X_n находим, что

∥Ax_n - A_nx_n∥_Y = ∥Kx_n - Γ_nKx_n∥_Y = ∥T Kx_n - B_nT Kx_n∥_C .

(21)

На основании (8), (5) и (6) имеем

∑

(Kx)(t) = (Kz)(t) +

(-1)ⁱγ_iψ_i(t).

i=0

Следовательно,

∑

(Kx_n)(t) = (Kg_n)(t) +

(-1)ⁱci+n+1ψ_i(t),

i=0

и тогда справедливо равенство

∫1

∑

TKx_n = h(t,s)g_n(s)ds +

(-1)ⁱci+n+1f_i(t).

(22)

i=0

−1

В силу (22), (20), леммы 2 и определения (7) последовательно выводим промежуточную

оценку

∫



∑



∥T Kx_n - B_nT Kx_n∥_C ≡ max

h - B^tnh)(t,s)g_n(s)ds +

(-1)ⁱci+n+1(f_i - B_nf_i)(t)

 (

≤

t∈I

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1239

∑

≤ 2d₁∥g_n∥_C ω_t(h; Δ_n) +

d₁|ci+n+1|ω(f_i;Δ_n) ≤

∑

≤ 2d₁∥g_n∥(p)ω_t(h; Δ_n) + d₁∥x_n∥_X

ω(f_i; Δ_n) ≤

[

]

∑

≤ d₂ ω_t(h;Δ_n) + ω(f_i;Δ_n) ∥x_n∥_X (d₂ ≡ 2d₁).

(23)

Из (21) и (23) следует искомая оценка “близости” операторов A и A_n :

[

]

∑

ε_n ≡ ∥A - A_n∥Xn→Y ≤ d2 ωt(h;Δn) + ω(fi;Δn) .

(24)

Из теоремы 7 [9, с. 19] на основании оценки (24) и леммы 3 вытекает утверждение теоремы 1

с оценкой погрешности (14).

Следствие 2. Если существуют ограниченные производные h(r)t, f(r)i, (T y)(r) (r ≥ 2),

то в условиях теоремы 1 верна оценка Δx^∗n = O(1/n).

3. Обобщённый метод коллокации на базе интерполяционного полинома Эрми-

та-Фейера. Приближённое решение задачи (8), (9) будем искать в виде

( {2n-1∑

})m-p-1∑

x_n(t) ≡ J

c_iti

(t) +

ci+2nδ^{i}(t),

(25)

i=0

где c_j

= c(n)j (j = 0,2n + m - p - 1) - подлежащие определению коэффициенты, которые

находим из квадратной СЛАУ (2n + m - p)-го порядка:

(T ρ_n)(λ_k) = 0, (T Ux_n)^′ (λ_k) = 0 (k = 1, n), ρ^{i}n(0) = 0 (i = p, m - 1),

(26)

где {λ_k} - система узлов Чебышёва первого рода.

Пусть F_n ≡ F2n+m-p : Y → Y_n ≡ span {tⁱ}2n+m-1p - линейный оператор, сопоставляющий

любой функции y ∈ Y полином F_ny, однозначно определяемый условиями

(T F_ny - T y)(λ_k) = 0, (T F_ny)^′(λ_k) = 0 (k = 1, n),

(F_ny - y)^{i}(0) = 0 (i = p, m - 1).

На основании рассуждений, приведённых в работе [5, с. 29], несложно получить представление

∑

tⁱ

Fny ≡ F2n+m-p(y; t) ≡ (UΦnT y)(t) +

y^{i}(0)

(27)

i=p

где Φ_n : C → Π2n-1 - оператор Эрмита-Фейера [12, с. 549] по системе {λ_k} (k = 1, n).

Лемма 4. Если функции y ∈ Y и T y принадлежат классу Lip α

(0 < α ≤ 1), то

справедлива оценка

∥y - F_ny∥_Y ≤ d₃n-α/2.

Доказательство следует из леммы 1, представлений (27), (2) и оценки (см., например, [13])

∥f - Φ_nf∥_C ≤ d₃n-α/2 (f ∈ Lip α,

0 < α ≤ 1).

Для вычислительной схемы (8), (9), (25), (26) справедлива

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1240

ГАББАСОВ

Теорема 2. Если Ker A = {0} в пространстве X, а функции h (по t), f_i (i =

= 0, m - p - 1), T y принадлежат классу Lip α (0 < α ≤ 1), то метод (25), (26) обоснованно

применим к уравнению (8), и при этом Δx^∗n = O(n-α/2).

Для доказательства данной теоремы достаточно повторить рассуждения, проведённые при

доказательстве теоремы 1, с учётом того, что в этом случае система (25), (26) эквивалентна

следующему операторному уравнению:

A_nx_n ≡ F_nAx_n = F_ny (x_n ∈Xn, F_ny

Y_n),

где

X_n - подпространство всех образований x_n вида (25) таких, что (TUx_n)^′(λ_k) = 0 (k =

= 1, n), а

Y_n состоит из всех полиномов y_n ∈ Y_n, обладающих свойством (Ty_n)^′(λ_k) = 0

(k = 1, n).

4. Замечания.

1. В силу определения нормы в D(p)-1{m; 0} нетрудно заметить, что из сходимости после-

довательности (x^∗n) к x^∗ = A-1y в метрике D(p)-1{m; 0} следует обычная сходимость в прост-

ранстве обобщённых функций, т.е. слабая сходимость.

2. При приближении решений операторных уравнений Ax = y возникает естественный

вопрос о скорости сходимости невязки ρ^∗n(t) ≡ (Ax^∗n - y)(t) исследуемого метода. Один из

результатов в этом направлении легко получить из теорем 1 и 2, а именно, из них вытекают

соответствующие простые следствия: 1) если исходные данные (h, f_i, T y) уравнения (8) при-

надлежат классу C(r) (r = 2, 3, . . .), то в условиях теоремы 1 справедлива оценка ∥ρ^∗n∥_Y =

= O(n-1); 2) если же исходные данные принадлежат классу Lip α

(0 < α ≤ 1), то при

выполнении условий теоремы 2 верна оценка ∥ρ^∗n∥_Y = O(n-α/2).

3. При p = 0 исследуемое ИДУ (8) является интегральным уравнением третьего рода с

оператором

A : D{m;0} → C{m;0},

а прямой метод (10)-(13) - специальным для УТР вариантом обобщённого метода коллокации.

Следовательно, теорема 1 содержит в себе известные результаты [5, с. 98-100] по обоснованию

специального варианта метода коллокации для решения УТР в классе D{m; 0} обобщённых

функций.

4. Если m = p = 0, то ИДУ (8) преобразуется в интегральное уравнение Фредгольма

второго рода в пространстве C. При этом вычислительный алгоритм (10)-(13) становится

известным вариантом метода коллокации (см. [14]), причём T y ≡ y и h ≡ K. Поэтому в

данном случае оценка теоремы 1 совпадает с соответствующей уравнению второго рода в C

оценкой статьи [14].

5. Суть предыдущих замечаний 3, 4 остаётся в силе и в случае прямого метода (25), (26).

6. Так как в условиях теорем 1 и 2 соответствующие аппроксимирующие операторы A_n

обладают свойством вида

∥A-1n∥ = O(1) (A-1n : Y_n → X_n, n ≥ n₁),

то очевидно [9, с. 23, 24], что предложенные в данной работе прямые методы для ИДУ (8)

устойчивы относительно малых возмущений исходных данных. Последнее позволяет найти

численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ с любой наперёд заданной степенью точ-

ности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bart G.R., Warnock R.L. Linear integral equations of the third-kind// SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4.

№ 4. P. 609-622.

2. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М., 1972.

3. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 1.

С. 162-165.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1241

4. Расламбеков С.Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в

классах обобщённых функций // Изв. вузов. Математика. 1983. № 10. С. 51-56.

5. Габбасов Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщённых

функций. Казань, 2006.

6. Замалиев Р.Р. О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями

в ядре: дис

канд. физ.-мат. наук. Казань, 2012.

7. Абдурахман. Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором в

главной части: дис

канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2003.

8. Габбасов Н.С. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений в особом случае // Диффе-

ренц. уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 889-899.

9. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань, 1980.

10. Прессдорф З. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном

числе точек // Мат. исследования. 1972. Т. 7. № 1. C. 116-132.

11. Габбасов Н.С. Прямые методы решения интегро-дифференциальных уравнений в особом случае

// Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 7. С. 904-916.

12. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л., 1949.

13. Петерсен И. О сходимости приближенных методов интерполяционного типа для обыкновенных

дифференциальных уравнений // Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1961. № 1. С. 3-12.

14. Каспшицкая М.Ф., Тукалевская Н.И. К вопросу о сходимости метода коллокации // Укр. мат.

журн. 1967. Т. 19. № 4. С. 48-56.

Набережночелнинский институт Казанского

Поступила в редакцию 29.12.2021 г.

(Приволжского) федерального университета

После доработки 29.12.2021 г.

Принята к публикации 05.07.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022