ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1242-1250
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.48
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО ПРИНЦИПА
НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК К ИССЛЕДОВАНИЮ
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МОДЕЛИ
ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
© 2022 г. М. В. Николаев, А. А. Никитин, У. Дикман
Работа посвящена анализу системы нелинейных интегральных уравнений, возникающей в
результате трёхпараметрического замыкания третьего пространственного момента в мо-
дели У. Дикмана и Р. Лоу в случае n-видового сообщества в N -мерном пространстве.
Данная система для анализа её разрешимости представляется в виде операторного урав-
нения в банаховом пространстве специального вида. При помощи обобщённого принципа
неподвижных точек формулируются достаточные условия существования нетривиального
решения.
DOI: 10.31857/S0374064122090084, EDN: CIIPCT
Введение. В данной работе изучена система нелинейных интегральных уравнений, воз-
никающая в модели популяционной динамики Дикмана-Лоу [1, 2] в случае многовидового
сообщества:
0 = 2δijmi(x)Ni + [(mi + mj) ∗ Cij](x) - (α(bi + bj) + (1 - α)(di + dj) + wij(x) + wji(x))Cij(x) -
)
∑
∑
( [wik ∗ Cjk](-x)
[wjk ∗ Cik](x)
[wikCik ∗ Ckj](x) + [wjkCkj ∗ Cik](x)
-β
+
Cij(x) - γ
-
Nj
Ni
Nk
k=1
k=1
∑
βNiNj (sik + sjk)Nk, i,j = 1,n, x ∈ RN.
(1)
k=1
∫
Здесь [f ∗ g](x)
= RNf(y)g(x-y)dy-свёрткафункцийfиg;di>0-естественная
смертность вида i; mi(x) = bimi(x), где mi(x) - ядро разброса, а bi > 0 - интенсивность
рождаемости вида i; wij (x) = sijwij (x), где wij (x) - ядро конкуренции, sij ≥ 0 - сила
конкуренции вида i по отношению к виду j. Ядра разброса и конкуренции являются неотри-
цательными интегрируемыми сферически симметричными функциями с L1-нормой, равной
единице, стремящимися к нулю на бесконечности. Кроме того, α = α/(α + γ),
β = β/(α +γ),
γ = γ/(α + γ), где α, β, γ ∈ R и α + γ = 0. Все описанные выше величины известны, а
под δij понимается символ Кронекера. Числа Ni и функции Cij (x) - это неизвестные первые
и вторые пространственные моменты сообщества соответственно, на которые накладываются
дополнительные условия вида
lim
Cij(x) = NiNj, i,j = 1,n.
(2)
∥x∥RN →+∞
Система (1) называется системой уравнений равновесия. Она представляет собой следствие
бесконечной системы интегро-дифференциальных уравнений динамики пространственных мо-
ментов (вывод которой дан, например, в статье [3]) в случае трёхпараметрического замыка-
ния третьего момента (см. [4]). Числа α, β и γ являются параметрами данного замыкания.
1242
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО ПРИНЦИПА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
1243
Решение системы описывает средние плотности популяций видов сообщества, а также про-
странственное распределение пар индивидов в стационарном случае (отсутствует динамика во
времени).
Подобные задачи ранее исследовались авторами в работах [5] и [6], в которых рассмат-
ривался одновидовой случай, что приводило к одному интегральному уравнению. В первой
статье к изучаемому уравнению для установления достаточных условий существования реше-
ния применялся обобщённый принцип Лере-Шаудера. Во второй статье введение пространств
функций, интегрируемых с точностью до константы, позволило применить принцип Банаха.
Идеи этих статей частично использованы в настоящей работе, но с применением более общего
принципа неподвижных точек и принципа Лере-Шаудера-Банаха, предложенного М.А. Крас-
носельским (см. [7]).
Основная цель работы - найти достаточные условия, гарантирующие существование нетри-
виального решения системы (1) с учётом условий (2). Для этого система рассматривается в
виде единого операторного уравнения в терминах некоторого специального банахова прост-
ранства. После этого оператор, порождённый уравнением, исследуется на предмет наличия
неподвижных точек. Кроме того, показывается, что неподвижная точка исследуемого опера-
тора не может быть тривиальной. Заметим, что леммы, приведённые в пунктах 1 и 2, имеют
технический характер и могут быть доказаны с использованием стандартной техники из курса
функционального анализа.
1. Вспомогательные утверждения. Пусть B - банахово пространство с нормой ∥ · ∥.
Рассмотрим матричное банахово пространство Bm×n, т.е. пространство матриц, компонентами
которых являются элементы B, а норма определяется по правилу
∑∑
∥F ∥m×n =
∥Fij ∥,
(3)
i=1 j=1
где
F = [Fij]i=1,n,j=1,n ∈ Bm×n.
Очевидно, что полученное пространство Bm×n с нормой (3) также является банаховым, и для
него имеет место следующий критерий компактности.
Лемма 1. Множество M ⊂ Bm×n компактно в пространстве Bm×n тогда и только
тогда, когда каждое из множеств M|ij при i = 1,m, j = 1,n компактно в B, где
M|ij = {Fij : F ∈ M}.
Из этой леммы напрямую следует связь компактности оператора, действующего в матрич-
ных пространствах, с компактностью его сужений на всевозможные компоненты образа.
Лемма 2. Пусть B1 и B2 - банаховы пространства. Оператор A, действующий из
Bm1×n11
в Bm2×n22, компактен тогда и только тогда, когда одновременно компактны все
операторы следующего вида:
AijF = (AF)ij, i = 1,m2, j = 1,n2,
т.е. сужения оператора A на всевозможные компоненты пространства Bm2×n22.
В дальнейшем будем рассматривать специальное функциональное пространствоL1(RN ),
введённое в статье [6], состоящее из функций вида
f (x) = F (x) + η, где F ∈ L1(RN ), η ∈ R.
Для удобства изложения будем обозначать функцию F ∈ L1(RN ) и число η ∈ R, соответ-
ствующие функции f ∈L1(RN ), через Ff и N f соответственно. Введённое пространство
является банаховым относительно нормы
∥f∥̂
= ∥Ff∥L1 + |N f|.
(4)
L1
Установим критерии предкомпактности множеств из пространстваL1(RN ).
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1244
НИКОЛАЕВ и др.
Лемма 3. Множество K предкомпактно вL1(RN ) тогда и только тогда, когда FK
предкомпактно в L1(RN), а NK предкомпактно в R, где
FK = {Ff : f ∈ K}, NK = {Nf : f ∈ K}.
Формулировка леммы 3 имеет весьма общий характер. Намного удобнее пользоваться сле-
дующим (специальным) критерием.
Лемма 4. Множество K предкомпактно вL1(RN ) тогда и только тогда, когда выпол-
нены следующие условия:
1) существует число M > 0 такое, что для любой функции f ∈ K справедливо неравен-
ство ∥f∥
<M;
L
1
2) для любого числа ε > 0 найдётся число δ > 0 такое, что при выполнении для произ-
∫ольного h ∈ RN условия ∥h∥RN < δ и для любой функции F ∈ FK справедливо неравенство
|F (x + h) - F (x)| dx < ε.
RN
Доказательство. Согласно лемме 3 множество K предкомпактно тогда и только тог-
да, когда предкомпактны множества FK и N K. Таким образом, если K предкомпактно в
L
1(RN ), то для множества FK выполнен критерий Рисса, а множество N K ограничено, что
с учётом определения нормы (4) влечёт справедливость условий 1) и 2).
С другой стороны, если упомянутые выше условия леммы верны, то множество FK удо-
влетворяет критерию Рисса, а множество N K ограничено, т.е. удовлетворяет условию тео-
ремы Больцано-Вейерштрасса. Следовательно, оба они предкомпактны в соответствующих
пространствах, а значит, K предкомпактно вL1(RN ). Лемма доказана.
2. Некоторые операторы, действующие в пространстве (L1(RN))n×n. Исследуем
некоторые отображения, действующие в банаховом пространстве (L1(RN ))n×n.
Рассмотрим класс интегрируемых существенно ограниченных функций
BL1(RN) = {ϕ ∈ L1(RN ) : esssup|ϕ| < +∞}
RN
и введём обозначение
∥ϕ∥BL1 = max{∥ϕ∥L1 , ess sup |ϕ|}.
RN
Пусть Φ ∈ (BL1(RN ))n×n и M - оператор, действующий на элементы F ∈ (L1(RN ))n×n по
правилу MF = Φ ⊙ F , где под ⊙ подразумевается покомпонентное умножение матриц.
Лемма 5. Оператор M является линейным оператором в пространстве (L1(RN ))n×n,
имеющим норму ∥M∥ = max
∥Φij ∥BL1 .
i,j=1,n
Для элемента f ∈L1(RN ) и функции ϕ ∈ L1(RN ) корректно определена операция свёртки
∫
∫
∫
[f ∗ ϕ](x) = f(x - y)ϕ(y) dy = Ff(x - y)ϕ(y) dy + N f ϕ(y) dy.
RN
RN
RN
Рассмотрим аналог этой операции в пространстве (L1(RN ))n×n. Пусть
ϕij ∈ L1(RN ), i, j = 1, n.
Определим оператор C, действующий на элементы F ∈ (L1(RN ))n×n по правилу
CF = [[ϕij ∗ Fij]]i,j=1,n.
(5)
Лемма 6. Оператор C, определяемый выражением (5), является линейным компактным
оператором, действующим в пространстве (L1(RN ))n×n, с нормой ∥C∥ = max
∥ϕij ∥L1 .
i,j=1,n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО ПРИНЦИПА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
1245
Замечание 1. Компактность оператора C доказывается при помощи лемм 1, 2 и 4.
Помимо линейных операторов рассмотрим так называемые квадратичные операторы. Бу-
дем называть оператор A : X → Y квадратичным, если существует такой билинейный опера-
тор B : X × X → Y , что для любого x ∈ X выполняется
Ax = B(x,x).
Будем называть K-нормой квадратичного оператора A, действующего из банахова прост-
ранства B1 с нормой ∥ · ∥1 в банахово пространство B2 с нормой ∥ · ∥2, число
∥Ax∥2
∥A∥K = sup
= sup ∥Ax∥2.
x∈B1\{θ1}
∥x∥2
1
∥x∥1=1
где θ1 - это нулевой элемент пространства B1.
Замечание 2. K-норма квадратичного оператора, действующего в банаховых простран-
ствах, не превосходит нормы порождающего его билинейного оператора.
Лемма 7. Пусть B1 и B2 - банаховы пространства с нормами ∥ · ∥1 и ∥ · ∥2 соот-
ветственно, а A : B1 → B2 - квадратичный оператор, порождённый билинейным операто-
ром B. Тогда для любых элементов x, y ∈ B1 имеет место оценка
∥Ax - Ay∥2 ≤ ∥B∥(∥x∥1 + ∥y∥1)∥x - y∥1.
Доказательство. Исходя из билинейности оператора B, имеем
B(x, x) - B(y, y) = B(x, x) - B(x, y) + B(x, y) - B(y, y) = B(x, x - y) + B(x - y, y).
Значит,
∥Ax - Ay∥2 = ∥B(x, x - y) + B(x - y, y)∥2 ≤ ∥B(x, x - y)∥2 + ∥B(x - y, y)∥2 ≤
≤ ∥B∥ · ∥x∥1∥x - y∥1 + ∥B∥ · ∥x - y∥1∥y∥1 = ∥B∥(∥x∥1 + ∥y∥1)∥x - y∥1.
Замечание 3. Действующий в банаховых пространствах квадратичный оператор A, по-
рождённый билинейным оператором B, является липшицевым в любом шаре радиуса R с
центром в нуле с константой липшицевости L = 2R∥B∥.
Приведём примеры квадратичных операторов, действующих в (L1(RN ))n×n. Пусть
ϕij ∈ BL1(RN ), i, j = 1, n.
Рассмотрим билинейный оператор S, действующий на элементы F, G ∈ (L1(RN ))n×n по
правилу
]
∑
S(F, G) =
([ϕikFik ∗ Gkj ] + [ϕjkGkj ∗ Fik])
(6)
k=1
i,j=1,n
Лемма 8. Норма билинейного оператора S, определяемого выражением (6), не превосхо-
дит числа 2 max
∥ϕij ∥BL1 .
i,j=1,n
Определим билинейный оператор P следующим образом:
]
∑
(P(F, G))(x) =
([ϕik ∗ Fjk](-x) + [ϕjk ∗ Fik](x))Gij (x)
,
(7)
k=1
i,j=1,n
где F, G ∈ (L1(RN ))n×n.
Лемма 9. Норма билинейного оператора P не превосходит числа 2 max
∥ϕij ∥BL1 .
i,j=1,n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
6∗
1246
НИКОЛАЕВ и др.
Пусть задан набор числовых констант {λijk ∈ R : i, j, k = 1, n}. Рассмотрим билинейный
оператор, действующий на элементы F, G ∈ (L1(RN ))n×n следующим образом:
[
]
∑
R(F, G) = N Fij λijkN Gik
(8)
k=1
i,j=1,n
Лемма 10. Норма билинейного оператора R не превосходит числа
max
|λpqr|.
p,q,r=1,n
Замечание 4. Очевидно, что образ оператора R лежит в пространстве числовых мат-
риц Rn×n, поэтому если он ограничен, то и компактен.
3. Исследование системы уравнений равновесия. Запишем систему (1) в терминах
пространства (L1(RN ))n×n. Для этого введём новые неизвестные функции
Cij
Qij =
(9)
Ni
Условия (2) поведения вторых пространственных моментов на бесконечности позволяют за-
ключить, что
lim
Qij(x) = Nj, i,j = 1,n,
∥x∥RN →+∞
и что неизвестные функции Qij можно искать в пространствеL1(RN ). В таком случае можно
полагать, что N Qij = Nj.
Будем всюду далее дополнительно считать, что ядра разброса и конкуренции существенно
ограничены. Запишем систему (1) после замены (9) в операторной форме. Пусть
M =diag{m1,m2,... ,mn}, W =[wij + wji]i,j=1,n, Ω = [(α(bi + bj) + (1 - α)(di + dj))-1]i,j=1,n.
Пусть также C - оператор, аналогичный оператору свёртки (5) с ϕij = mi + mj; S - квад-
ратичный оператор, порождённый билинейным оператором самосвёртки (6), для которого
ϕij = wij ; P - квадратичный оператор, порождённый билинейным свёрточно-мультиплика-
тивным оператором (7), для которого ϕij = wij ; а R - квадратичный оператор, порождённый
билинейным скалярно-матричным оператором (8), для которого λijk = sik + sjk. Рассмотрим
оператор, действующий по правилу
EF =Ω⊙(2M +CF -W ⊙F
βPF - γSF - βRF),
где под ⊙ подразумевается покомпонентное умножение матриц. Заметим, что операторное
уравнение Q = EQ эквивалентно системе (1) после замены (9). В дальнейшем будем называть
оператор E оператором равновесия.
Таким образом, задача об отыскании равновесных пространственных моментов сведена
к задаче нахождения неподвижной точки оператора равновесия. Прежде чем переходить к
исследованию существования неподвижной точки оператора равновесия, отметим следующий,
важный с биологической точки зрения, факт.
Теорема 1. Неподвижная точка оператора равновесия не может быть нулевым элемен-
том пространства (L1(RN ))n×n.
Доказательство. Обозначим нулевые элементы пространств (L1(RN ))n×n и L1(RN ) че-
рез Θ и θL1 соответственно. Рассмотрим действие оператора E на элементе Θ покомпонент-
но. Пусть i = 1, n, тогда
∑
(EΘ)ii(x) = 2mi(x) + 2[mi ∗ 0](x) - 2wii(x) · 0 -β
([wik ∗ 0](-x) + [wik ∗ 0](x)) · 0 -
k=1
∑
∑
−γ
([wik · 0 ∗ 0](-x) + [wik · 0 ∗ 0](x)) - 2β · 0 ·
sik · 0 = 2mi(x).
k=1
k=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО ПРИНЦИПА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
1247
Поскольку в постановке задачи bi > 0, а ∥mi∥L1 = 1, то mi = bimi = θL1 . Таким образом,
(EΘ)ii = θL1 = Θii, а значит, EΘ = Θ, т.е. Θ не является неподвижной точкой оператора
равновесия. Теорема доказана.
В дальнейшем будем обозначать
μ = max
∥mi + mj∥L1 = max
(bi + bj) = 2 max bi,
i,j=1,n
i,j=1,n
i=1,n
ν = 2 max
∥wij ∥BL1 , ξ = max
|sik + sjk| = 2 max
sij, η = max
∥wij + wji∥BL1 ,
i,j=1,n
i,j,k=1,n
i,j=1,n
i,j=1,n
(
)-1
ω = max
|Ωij | = min |α(bi + bj) + (1 - α)(di + dj)|
i,j=1,n
i,j=1,n
Будем предполагать, что параметры биологической модели и замыкания подобраны так, что
величина ω определена корректно, т.е. выполнено условие
min |α(bi + bj) + (1 - α)(di + dj)| > 0.
(10)
i,j=1,n
Используя известные принципы Банаха и Лере-Шаудера, можно доказать обобщённый
принцип существования неподвижной точки оператора, действующего в банаховом простран-
стве, который не является ни сжимающим, ни компактным.
Теорема 2 [7]. Пусть операторы A и B действуют в некотором банаховом простран-
стве B, причём A - компактный, а B - сжимающий. Пусть B ⊂ B является замкнутым
выпуклым ограниченным множеством, причём для любых x, y ∈ B справедливо
Ax + By ∈ B,
тогда у оператора C = A + B существует по крайней мере одна неподвижная точка в B.
Применим данную теорему для нахождения достаточных условий существования у опера-
тора равновесия неподвижной точки.
Теорема 3. Пусть выполнено условие (10), |β| + |γ| > 0, и существует по крайней мере
один коэффициент агрессивности sij, не равный нулю. Пусть также
(
)2
∑
1
D= μ+η-
- 8(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
bi ≥ 0,
ω
i=1
а положительное число R такое, что
√
√
-μ - η + ω-1 -
D
-μ - η + ω-1 +
ω(η + 2(|β| + |γ|)νR) < 1,
≤R≤
D.
2(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
2(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
Тогда у оператора равновесия существует неподвижная точка в шаре радиуса R с центром
в нуле.
Доказательство. Представим оператор равновесия в виде суммы K + H, где
KF = Ω ⊙ (CF -βRF), HF = Ω ⊙ (2M - W ⊙ F -βPF - γSF).
Согласно лемме 6 и замечанию 4 операторы C и R компактны, поэтому и оператор K ком-
пактен, поскольку растяжение (умножение на константу) не влияет на компактность, а сумма
компактных операторов является компактным оператором. В свою очередь, оператор H яв-
ляется липшицевым в любом шаре радиуса R с центром в нуле, так как из лемм 5, 8, 9 и
замечания 1 следует
∥HF - HG∥n×n ≤ ω(∥W ⊙ (F - G)∥n×n + |β| · ∥PF - PG∥n×n + |γ| · ∥SF - SG∥n×n) ≤
≤ ω(η + 2(|β| + |γ|)νR)∥F - G∥n×n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1248
НИКОЛАЕВ и др.
для любых F, G ∈ (L1(RN ))n×n с нормой, не превосходящей числа R. Кроме того, H -
сжимающий оператор в данном шаре, если ω(η + 2(|β| + |γ|)νR) < 1.
Пусть F, G ∈ (L1(RN ))n×n, причём их нормы не превосходят числа R. Тогда можно уста-
новить следующую оценку:
∥KF + HG∥n×n = ∥Ω ⊙ (CF -βRF + 2M - W ⊙ G -βPG - γSG)∥n×n ≤
≤ ω(∥CF∥n×n + |β|(∥RF∥n×n + ∥PG∥n×n) + 2∥M∥n×n + ∥W ⊙ G∥n×n + |γ| · ∥SG∥n×n) ≤
(
)
∑
≤ ω μ∥F∥n×n + |β|(ξ∥F∥2n×n + ν∥G∥2n×n) + 2 bi + η∥G∥n×n + |γ|ν∥G∥2
≤
n×n
i=1
(
)
∑
≤ ω (|β|(ξ + ν) + |γ|ν)R2
+ (μ + η)R + 2 bi
i=1
Для того чтобы норма оператора KF + HG не превосходила числа R, достаточно, чтобы
выполнялось неравенство
∑
R
(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)R2 + (μ + η)R + 2
bi ≤
,
ω
i=1
т.е.
(
)
∑
(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)R2 + μ + η -1
R+2
bi ≤ 0.
ω
i=1
Из условий теоремы следует, что a = |β|(ξ + ν) + |γ|ν > 0, поэтому для выполнения упо-
мянутого выше неравенства необходимо, чтобы рассматриваемый квадратный трёхчлен имел
вещественные корни, т.е. чтобы его дискриминант
(
)2
∑
1
D= μ+η-
- 8(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
bi
ω
i=1
был неотрицательным. В таком случае корни будут равны
√
-μ - η + ω-1 ±
D
R1,2 =
2(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
и при всех R ∈ [R1, R2] исследуемое неравенство будет выполнено.
Таким образом, если величина D не меньше нуля, а положительное число R такое, что
справедливы неравенства
√
√
-μ - η + ω-1 -
D
-μ - η + ω-1 +
ω(η + 2(|β| + |γ|)νR) < 1,
≤R≤
D,
2(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
2(|β|(ξ + ν) + |γ|ν)
то для операторов K, H и шара радиуса R с центром в нуле выполнены все условия теоре-
мы 2, а значит, у оператора равновесия существует по крайней мере одна неподвижная точка
в рассматриваемом шаре.
Отметим, что условие |β| + |γ| > 0 нужно только для того, чтобы коэффициент при стар-
шей степени в возникающем при доказательстве теоремы квадратном трёхчлене не обращался
в нуль. Однако из невыполнения данного условия не следует отсутствие неподвижной точки
у оператора равновесия. Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть выполнено условие (10),β = γ = 0, а
1
ρ=
- μ - η > 0.
ω
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО ПРИНЦИПА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
1249
Тогда оператор равновесия имеет неподвижную точку в шаре радиуса
∑
2
R=
bi
ρ
i=1
с центром в нуле.
Доказательство. Представим оператор E в виде суммы K + H аналогично доказатель-
ству теоремы 3 и получим
KF = Ω ⊙ CF, HF = Ω ⊙ (2M - W ⊙ F).
При этом для любых F, G ∈ (L1(RN ))n×n выполняется неравенство
∥HF - HG∥n×n ≤ ω∥W ⊙ (F - G)∥n×n ≤ ωη∥F - G∥n×n.
Так как ω-1 - μ - η > 0, а μ > 0, то ωη < 1, а значит, H - сжимающий всюду оператор. При
этом если нормы элементов F и G не превосходят числа R, то
∥KF - HG∥n×n = ∥Ω ⊙ (CF + 2M - W ⊙ G)∥n×n ≤ ω(∥CF ∥n×n + 2∥M∥n×n + ∥W ⊙ G∥n×n) ≤
(
) (
∑
∑ )
≤ ω μ∥F∥n×n + 2 bi + η∥G∥n×n
≤ ω (μ + η)R + 2 bi
i=1
i=1
Поэтому если
(
)
∑
1
μ+η-
R+2
≤ 0,
ω
i=1
то норма KF - HG также не будет превосходить R. Решением данного неравенства относи-
тельно R с учётом
1
μ+η-
= -ρ < 0
ω
является множество
∑
2
R≥
bi.
ρ
i=1
С учётом компактности оператора K и сжимаемости оператора H всюду из теоремы 2 сле-
дует, что в шаре радиуса
∑
2
R=
bi
ρ
i=1
с центром в нуле у оператора равновесия существует неподвижная точка. Теорема доказана.
Заключение. В рамках данной работы была изучена система нелинейных интегральных
уравнений (1) с дополнительными условиями (2). Данная система возникает в биологической
модели У. Дикмана и Р. Лоу, описывающей многовидовые сообщества неподвижных организ-
мов. Для исследования разрешимости данная система была сформулирована в виде единого
операторного уравнения в специальном банаховом пространстве (L1(RN ))n×n. Было показа-
но, что порождаемый этим уравнением оператор равновесия при определённых условиях на
параметры замыкания α, β, γ, а также на скалярные параметры биологической модели bi,
di и sij, представим в виде суммы K + H, где оператор K является компактным, а H -
сжимающим в шаре пространства (L1(RN ))n×n определённого радиуса R с центром в нуле.
Это позволило, применив обобщённый принцип Лере-Шаудера-Банаха, доказать существова-
ние неподвижной точки оператора равновесия в этом шаре, что равносильно существованию
решения исходной системы уравнений равновесия. Также было показано, что получаемое реше-
ние не может быть тривиальным, а значит, рассматриваемое состояние равновесия не является
состоянием вымирания сообщества.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1250
НИКОЛАЕВ и др.
Результаты пп. 1, 2 настоящей работы получены Никитиным А.А. при финансовой под-
держке Российского научного фонда (проект 22-11-00042). Остальные результаты получены
всеми авторами при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Фе-
дерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной
математики по соглашению № 075-15-2022-284.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Law R., Dieckmann U. Moment approximations of individual-based models // The Geometry of
Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity / Eds. U. Dieckmann, R. Law, J. Metz.
Cambridge, 2000. P. 252-270.
2. Dieckmann U., Law R. Relaxation projections and the method of moments // The Geometry of Ecological
Interactions: Simplifying Spatial Complexity / Eds. U. Dieckmann, R. Law, J. Metz. Cambridge, 2000.
P. 412-455.
3. Plank M.J., Law R. Spatial point processes and moment dynamics in the life sciences: a parsimonious
derivation and some extensions // Bull. Math. Biol. 2015. V. 77. № 4. P. 586-613.
4. Murrell D., Dieckmann U., Law R. On moment closures for population dynamics in continuous space
// J. of Theoretical Biology. 2004. V. 229. № 3. P. 421-432.
5. Николаев М.В., Никитин А.А. Принцип Лере-Шаудера в применении к исследованию одного нели-
нейного интегрального уравнения // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 9. С. 1209-1217.
6. Николаев М.В., Дикман У., Никитин А.А. Применение специальных функциональных пространств
к исследованию нелинейных интегральных уравнений, возникающих в равновесной пространствен-
ной логистической динамике // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021.
Т. 499. № 1. С. 35-39.
7. Красносельский М.А. Два замечания о методе последовательных приближений // Успехи мат. наук.
1955. Т. 10. № 1 (63). С. 123-127.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 11.04.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 28.04.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 05.07.2022 г.
и прикладной математики,
Институт проблем управления
имени В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,
Высший университет Окинавского института
науки и технологий, г. Онна, Япония,
Международный институт прикладного
системного анализа, г. Лаксенбург, Австрия,
Высший университет повышения квалификации,
г. Хаяма, Япония
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
