ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1251-1265

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.23

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ

СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ

С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ,

ЗАДАННОГО НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

Как известно, одномерные интегральные уравнения типа свёртки, рассматриваемые на ко-

нечном отрезке, в общем случае не решаются в квадратурах, в отличие от аналогичных

уравнений, рассматриваемых на всей прямой или на полупрямой. По этой причине при

исследовании их спектра приходится использовать те или иные асимптотические методы.

В работе рассмотрен интегральный оператор типа свёртки с логарифмическим ядром, за-

данный на конечном отрезке. С помощью преобразования Фурье задача последовательно

сведена к задаче сопряжения и к сингулярному (особому) интегральному уравнению на

полупрямой, интегральный оператор в котором не является сжимающим. Показано, что

главная часть полученного интегрального уравнения допускает обращение в явном виде.

Рассмотрены случаи четной и нечетной собственной функции, в каждом из которых най-

дена асимптотика собственных значений и собственных функций исходного оператора.

DOI: 10.31857/S0374064122090096, EDN: CITTKO

В работе [1] найдена асимптотика собственных значений интегрального уравнения переноса

∫¹

ϕ(t) dt

ϕ(x) = λ

x ∈ [-1,1],

0 < α < 1.

|t - x|^α

−1

В статьях [2, 3] изучена асимптотика собственных значений и собственных функций более

общего семейства интегральных операторов свёртки

∫T

(Au)(τ) = k(t - τ)u(τ) dτ,

0≤t≤T,

для которых образ Фурье ядра k(s) - функция K(x) - является невырожденной однородной

функцией, т.е. K(cx) = c^-γK(x) для любого c > 0 и любого вещественного x, где 0 < γ < 1.

В работе [4] предложен метод решения уравнений типа свёртки, заданных на конечном

отрезке, в случае, когда известны два частных решения, отвечающих правым частям спе-

циального вида. В [5] получена асимптотика собственных значений и собственных функций

интегрального оператора свёртки с ядром k(x) = (πx)-1 sin(lx), l > 0, заданного на отрезке

[-1, 1]. В настоящей работе исследована асимптотика собственных значений и собственных

функций интегрального оператора свёртки с логарифмическим ядром.

Рассмотрим спектральную задачу

∫

u(x) =

u(t) dt,

-1 ≤ x ≤ 1.

(1)

|t - x|

−1

1251

1252

ПОЛОСИН

Пусть параметр λ ≫ 0. Не ограничивая общности, можно считать, что собственная функция

является либо чётной, либо нечётной. Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1◦. Искомая функция чётная (и действительнозначная): u(x) = u(-x). Положим

∫x

v(x) = u(t) dt,

-1 ≤ x ≤ 1.

Легко видеть, что v(x) - нечётная функция. Проинтегрируем правую часть уравнения (1) по

частям и получим

∫

v(t) dt

u(x) =

+ 2v(1)w(x),

(2)

t-x

−1

где

w(x) =

2π

1-x²

В дальнейшем будем придерживаться общей схемы, описанной в [6, с. 201]. Продолжим

уравнение (2) на всю вещественную прямую, доопределив функции u(x), v(x) и w(x) нулём

вне отрезка [-1, 1]:

∫

v(t) dt

u(x) =

+ 2v(1)w(x) + f₊(x - 1) + f₊(-x - 1),

-∞ < x < +∞,

(3)

t-x

−∞

где

⎧

∫

⎪

⎨

v(t) dt

x > 0,

f₊(x) =

t-x-1

(4)

⎪

-1

⎩

x < 0.

Применим к соотношению (3) преобразование Фурье с масштабированным аргументом.

Введём обозначения

∫1

∫

U (p) = e^iλpxu(x) dx, W (p) = e^iλpxw(x) dx,

-1

тогда U(0) = 2v(1),

∫

U (0) cos(λp) - U(p)

e^iλpxv(x)dx =

W (p) =

e^iλpx ln

iλp

2π

1-x²

−1

-1

и (3) перейдёт в уравнение

|p| - 1

1+e2iλp

e^iλpU(p) + U(0)

- U(0)e^iλpW(p) - e2iλpF⁺(p) = F⁺(-p).

(5)

|p|

2|p|

Заметим, что F⁺(0) существует, так как f₊(x) = O(x-2) при x → +∞ в силу нечётности

функции v(x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1253

Обозначим D₀(p) = 1+1/|p|, D(p) = p²D₀(p)/(p² -1) и определим каноническую функцию

X(z) задачи сопряжения аналитических функций, удовлетворяющую соотношению D(p) =

= X⁺(p)/X^-(p) (см. [7, с. 176]). Для этого положим D₀(p) = X+0 (p)/X-0 (p), где

∫

(

)

ln X₀(z) =

D₀(t)

2πi

t-z

2πi

|t| t - z

−∞

-∞

X⁺(z) = z²X⁺⁰(z)/(z² - 1), X^-(z) = X-0(z).

Отметим, что X(∞) = 1. Тогда уравнение (5) можно представить в виде

(

)

p² - 1 e^iλpU(p)

1+e2iλp

U (0)e^iλpW (p) + e2iλpF⁺(p)

F⁺(-p)

+ (1 + |p|) U(0)

(6)

p²

X⁺⁰(p)

2p²X⁺⁰(p)

|p|X⁺⁰(p)

X-0(p)

Определим функцию Φ(z) следующим образом:

⎧

⎪z2 - 1 eiλzU(z)

⎪

+ (1 + z sgn Re z) ×

⎨

z²

X⁺⁰(z)

(

)

Φ(z) =

1+e2iλz

U (0)e^iλz W (z) + e2iλz F⁺(z)

⎪

× U(0)

Im z > 0,

⎪

2z²X⁺⁰(z)

z(sgn Re z)X⁺⁰(z)

⎩

F⁺(-z)/X-0(z),

Im z < 0.

В силу (6) функция Φ(z) является аналитической во всей плоскости, за исключением верхней

мнимой полуоси, имеет в нуле особенность интегрируемого порядка и исчезает на бесконечно-

сти. Следовательно,

∫

U (0)e^iλtW (t) + e2iλtF⁺(t) - U(0)(1 + e2iλt)/2

Φ(z) =

dt.

πi

tX⁺⁰(t)(t - z)

Отсюда вытекает, что при Im z > 0

∫

X^-(-z)

U (0)e^iλtW (t) + e2iλtF⁺(t) - U(0)(1 + e2iλt)/2

F⁺(z) =

dt.

πi

tX⁺⁰(t)(t + z)

Таким образом, на верхней мнимой полуоси z = iy,

0 < y < +∞, относительно функции

ς(y) = e^-λyF⁺(iy)/X-0(-iy) получаем уравнение

∫

X-0(-is) e-λ(s+y)

ς(y) +

ς(s) ds = ζ(y),

(7)

sX⁺⁰(is) s + y

где

∫

-λy

1 + e-2λs - 2e^-λsW(is)

ζ(y) = U(0)

ds.

2π

sX⁺⁰(is)(s + y)

Изучим поведение канонической функции на мнимой оси. Так как

∫

= 0,

uu² +1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1254

ПОЛОСИН

то

∫ (

)

∫

1 + su du

ln(1 + su)

ln X⁺⁰(is) =

= ln

du =

t t² +s²

su u² + 1

√s⁺

u² + 1

∫

(

)

s ln s

= ln

arcctg u -

√s⁺

πs-1

1+u

1 + su

поэтому

1 + O(slns)

X⁺⁰(is) =

s → +0;

(8)

√s

так как ln X-0(-is) = - ln X⁺⁰(is), то X-0(is) =

√s(1+ O(s ln s)) при s → +0. Таким образом,

X-0(-is)

= 1 + O(slns), s → +0.

sX⁺⁰(is)

Соответственно представим уравнение (7) в виде

∫

ς(y) +

e-λ(s+y)ς(s)

ζ(y),

0 < y < +∞,

(9)

s+y

где

∫

⁽X-0(-is)

⁾e-λ(s+y)

ζ(y) = ζ(y) -

-1

ς(s) ds.

sX⁺⁰(is)

s+y

Здесь ς(y) = O^∗(1/√y) при y → +0 и ς(+∞) = 0. Отметим также, что общий случай

уравнения (9) с параметром рассматривался автором в статье [8].

Уравнение (7) аналогично уравнению, к которому была сведена задача в работе [1], однако

(и это отличие весьма существенно) в данном случае интегральный оператор - не сжимающий.

Далее покажем, что уравнение (7) однозначно разрешимо.

Выразив искомую функцию через решение уравнения (7) из соотношения (5):

U (p) = (|p|(U(0)W (p) + e^iλpF⁺(p) + e^-iλpF⁺(-p)) - U(0) cos(λp))/(|p| - 1),

получим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи - условие на спектр:

W (1) + 2 Re (e^iλF⁺(1)/U(0)) = cos λ.

(10)

Теперь стандартным образом продолжим уравнение (9) на всю вещественную ось, обозна-

чив k(y) = exp(-λ|y|)/y,

-∞ < y < +∞, и положим ς₊(y) = ς(y), ς_-(y) = 0,

ζ₊(y)

ζ(y)

при y > 0, ς₊(y)

ζ₊(y) = 0 при y < 0. В результате получим

∫

ς₊(y) +

k(s + y)ς₊(s) ds = ς_-(s)

ζ₊(y),

-∞ < y < +∞.

(11)

−∞

Введём обозначения

+∞

∫

Σ^±(p) = e^ipyς_±(y)dy, Z⁺(p) =

e^ipy

ζ₊(y)dy,

-∞ < p < +∞.

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1255

Так как

∫

λ + ip

e^ipyk(y)dy = 2iarctg

= ln

λ - ip

−∞

то уравнение (11) в образах Фурье будет иметь вид

Σ⁺(p) +

arctg

Σ⁺(-p) = Σ^-(p) + Z⁺(p),

-∞ < p < +∞.

(12)

Определим следующую функцию:

⎧

⎨Σ⁺(z) - Z⁺(z),

Im z > 0,

Ψ(z) =

λ - iz

⎩

Σ⁺(-z) + Σ^-(z), Im z < 0,

λ + iz

тогда в силу (12)

∫

Ψ(z) =

Σ⁺(-t)

t-z

-i∞

или

∫

Σ⁺(z) - Z⁺(z) = -

Σ⁺(t)

t+z

iλ

В результате получим уравнение относительно функции Σ⁺ :

∫

Σ⁺(iλy) +

Σ⁺(iλs)

= Z⁺(iλy),

1 < y < +∞,

s+y

или

∫

e(t-x)/2 dt

Σ⁺(iλe^x) +

Σ⁺(iλe^t)

= Z⁺(iλe^x),

0 < x < +∞.

(13)

2 ch ((x - t)/2)

Пусть 0 < ε < 1/2. Введём функции

+∞

∫

H⁺(p) = e(ip+ε)xΣ⁺(iλe^x)dx, G⁺(p) =

e(ip+ε)xZ⁺(iλe^x)dx,

далее продолжим уравнение (13) стандартным образом на всю вещественную ось и перейдём

к образам Фурье:

(1 + Ω(p))H⁺(p) = H^-(p) + G⁺(p),

-∞ < p < +∞,

где

∫

e(ε-1/2+ip)s ds

Ω(p) =

2 ch (s/2)

ch (π(p + i(1/2 - ε)))

−∞

В силу соотношений

ch (πp) sin(πε)

sh(πp)cos(πε)

Re Ω(p) =

> 0, Im Ω(p) = -

sh²(πp) + cos²(πε)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1256

ПОЛОСИН

индекс данной задачи сопряжения в рассматриваемом классе решений равен нулю, поэтому

задача однозначно разрешима.

Факторизуем коэффициент задачи сопряжения следующим образом:

E⁺(p)

1 + Ω(p)

E^-(p)

где

Γ²(3/4 - ε/2 - ip/2)

Γ(ε/2 + ip/2)Γ(1/2 + ε/2 + ip/2)

E⁺(p) =

E^-(p) =

Γ(1 - ε/2 - ip/2)Γ(1/2 - ε/2 - ip/2)

Γ²(1/4 + ε/2 + ip/2)

Γ(z) - гамма-функция Эйлера. Тогда

H⁺(p)

H^-(p)

G+(p)

E⁺(p)

E^-(p)

и решение примет вид

∫

E⁺(z)

G+(t)/E⁺(t) dt

H⁺(z) =

2πi

1 + Ω(t) t - z

-∞

∫

E⁺(p)

G+(t)/E⁺(t) dt

e^εxΣ⁺(iλe^x) =

e^-ipx dp

x > 0.

2π

2πi

1 + Ω(t) t - p

−∞

-∞

Вычислим теперь интегралы с помощью вычетов. Внутренний интеграл равен

∫

(

∑

G+(t)/E⁺(t) dt

ln s + b

⁾Z⁺(iλs)ds

a_m

2πi

1 + Ω(t) t - p

1/2+ε+2m+ip

(1/2+ε+2m+ip)² s3/2+2m

m=0

-∞

где

Γ(5/4 + m)Γ(3/4 + m)

Γ^′(1 + m)

Γ^′(3/4 + m)

Γ^′(5/4 + m)

a_m =

b_m =

m=0,1,2,...

(m!π)²

Γ(1 + m)

2Γ(3/4 + m)

2Γ(5/4 + m)

Заметим, что a_m > 0. Покажем, что и коэффициент b_m положителен. Действительно,

(

)

Γ²(1 + x)

Q(x)

b_m =

Γ(3/4 + x)Γ(5/4 + x)x=m

dx Γ(3/4 + x)Γ(5/4 + x)

B²(3/4 + x,1/4)

Q(x) = B(3/4 + x, 1/4)

B(1 + x, 1/4) - B(1 + x, 1/4)

B(3/4 + x, 1/4) =

∫1

∫

∫∫

(ts)x-1/4(s1/4 - t1/4) ln(s/t)

tx-1/4s^x ln

(1 - t)-3/4(1 - s)-3/4 ds dt =

ds dt > 0.

((1 - t)(1 - s))3/4

0<t<s<1

Внешний интеграл равен (y > 1)

∫

(

∑

∑a_ma_k

ln s + b_m + ln y + b_k

Σ⁺(iλy) = -

3/2+2k

(m + k + 1)³

(m + k + 1)²

m=0 k=0

(ln s + b_m)(ln y + b_k)

⁾Z⁺(iλs)ds

m+k+1

s3/2+2m

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1257

Возвращаясь к исходным функциям, получаем решение уравнения (9):

+∞

ς(y)

ζ(y) +

Ξ(y, t

ζ(t) dt,

0 < y < +∞,

здесь

∫

Ξ(y, t) =

Ω(τ, s)e-λ(τy+st) dτ ds,

∑

∑ a_ma_k

Ω(τ, s) =

(A_mk + B_mk ln s + B_km ln τ + C_mk ln s ln τ),

s3/2+2mτ3/2+2k

m=0 k=0

b_m + b_k

b_mb_k

A_mk =

(m + k + 1)³

(m + k + 1)²

m+k+1

2b_k

B_mk =

C_mk =

(m + k + 1)²

m+k+1

Очевидно, что все эти коэффициенты положительны.

Таким образом, уравнение (7) принимает вид

∫

)

∫

⁽X^-(-is)

ς(y) +

- 1 K(y,s)ς(s)ds = ζ(y) +

Ξ(y, t)ζ(t) dt,

0 < y < +∞,

(14)

sX⁺⁰(is)

где

∫

-λ(s+y)

e-λ(s+t)

K(y, s) =

+ Ξ(y,t)

dt.

s+y

s+t

Рассмотрим банахово пространство

C, состоящее из функций вида f(x) = g(x)/√x, где

g(x) ∈ C[0, +∞), с нормой ∥f∥˜C = max

|√xf(x)|. Покажем, что интегральный оператор в

0<x<+∞

левой части (14) является сжимающим в этом пространстве. В самом деле, в силу (8) суще-

ствует такая константа C₀ > 0, что справедлива оценка



X-0(-is)



s|ln s|



-1

0 < s < +∞.

(15)



≤

sX⁺⁰(is)

C₀ + s|ln s|

В силу (15) справедливо равенство

∫



√yX-0(-is)



-1

(y, s) ds ≤ I₁ + I₂,



^K

√s

sX⁺⁰(is)

где

∫

√y

√s|ln s| e-λ(s+y)

C′1

| ln s|

ln λ

I₁ =

ds ≤

√

ds ≤ C₁

C₀ + |s ln s| s + y

√se-λs

∫

λ√y

I₂ ≤

|Ω(τ, ξ)|e^-λτy K₂(ξ) dτ dξ,

π²

+∞

∫

√s| ln s| e-λ(s+(1+ξ)t)

K₂(ξ) =

ds dt.

C₀ + s|ln s|

s+t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1258

ПОЛОСИН

Так как

+^∞

∫

√s| ln s|

e-λ(s+v)

K₂(ξ) =

ds dv =

C₀ + s|ln s| (1 + ξ)s + v

√

+∞

∫

V |lnV |

= e^-λU dU

≤ e^-λUh(U)dU,

C₀

+ V |lnV | U + ξV

∫

√

V |lnV |dV

√

h(U) =

∼C′2

U ln

U → +0,

C₀ + V |ln V |

то K₂(ξ) ≤ C′′2λ-3/2 ln λ, и для I₂ справедлива оценка

∫

√

ln λ

dτ dξ

ln λ

dτ dξ

ln λ

I₂ ≤ C^′′

|Ω(τ, ξ)|

λτye^-λτy

≤C^′′′

|Ω(τ, ξ)|

≤C₂

√τ

Таким образом, норма интегрального оператора из соотношения

(14) оценивается как

O(λ-1 ln λ). Следовательно,

(

∫

)(

⁽ ln λ⁾⁾

F⁺(iy) = e^λyX-0(-iy) ζ(y) +

Ξ(y, t)ζ(t) dt

1+O

0 < y < +∞.

Изучим условие (10). Продолжив полученное решение аналитически в верхнюю полуплос-

кость, получим

(

F⁺(1)

X^-(-1)

⁽ ln λ⁾⁾

(J₁ - J₂ + J₃ - J₄)

1+O

U (0)

π²

где

+∞

∫

1 + e-2λs ds

e^-λsW(is) ds

J₁ = π

J₂ = π

2sX⁺⁰(is)

s-i

sX⁺⁰(is) s - i

+∞

∫

1 + e-2λs dsdt

J₃ = λ

Ω(τ + 1, ξ - 1)e^iλτ e^-λξt dτ dξ,

2sX⁺(is) s + t

+^∞

∫

e^-λsW(is) ds dt

J₄ = λ

Ω(τ + 1, ξ - 1)e^iλτ e^-λξt dτ dξ.

sX⁺(is) s + t

В силу свойства (8) для канонической функции существует такая константа C₀₀ > 0, что



√s|ln s|



0 < s < +∞.

(16)

≤

^sX⁺⁰(is)^-

√s

C₀₀ + s|ln s|

Представим первый интеграл в виде J₁ = J₁₁ + J₁₂ + J₁₃, где

∫

(

)

ds/(s - i)

e-2λs ds

iπ√π

J₁₁ =

= const, J₁₂ =

√

+ O(λ-3/2) = O

√

sX⁺⁰(is)

√s s - i⁼

2λ

∫

(

⁾e-2λs ds

J₁₃ =

sX⁺⁰(is)

√s s - i

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1259

Из неравенства (16) следует, что

∫

√s| ln s|

⁽ ln λ ⁾

|J₁₃| ≤

√

e-2λs ds = O

s² + 1

λ3/2

√

Таким образом, J₁ = J₁₁ + O(1/

λ).

Второй интеграл представим в виде J₂ = J₂₁ + J₂₂, где

+∞

∫

(

e^-λsW(is)ds

)√xdx

J₂₁ = π

e^-λtJ₂₁₁(t)

√

J₂₁₁(t) =

√s(s - i)

x(2 - x) t - ix

∫

(

⁾e-λsx ds

J₂₂ =

x(2 - x)

sX⁺⁰(is)

√s s - i

Так как

∫²

(

)

∫

(

)

J₂₁₁(t) = i

x(2 - x)

√x-

x(2 - x) t - ix

√x⁼

(

∫

√

∫

(

)

√

∫

(

)

√

)

√

= 8i

2 ln

-i

t ln

1 - 2iy

√y^+ln

1 - 2iy

√y^+ln

1 - ty

1 - 2iy

√y

(

)

√

5/2

π²

= 8i

2 ln

- πi3/2

t ln

+ O tln

t → +0,

то

√

J₂₁ = 4i

2πλ ln

√ ln λ + O(1).

Далее, в силу (16)

∫

√s| ln s|

e^-λsx ds

|J₂₂| ≤

√

e^-λtJ₂₂₁(t)dt,

x(2 - x)

C₀₀ + s|ln s|

s² + 1

где

∫2

√

t| ln(t/x)|

√x

J₂₂₁(t) =

√

dx.

C₀₀x + t|ln(t/x)|

t² + x²

x(2 - x)

Так как

∫

(

)

| ln y|

√y

J₂₂₁(t) =

√

dy = O ln

t → +0,

C₀₀y + |ln y|

1+y²

ty(2 - ty)

то

∫

(

)

|J₂₂| ≤

e^-λtO ln

dt = O(ln λ).

√

Таким образом, J₂ = 4i

2πλ ln(e/2) + O(ln λ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1260

ПОЛОСИН

Третий интеграл запишем в виде J₃ = J₃₁ + J₃₂, где

+∞

∫

1 + e-2λs dsdt

J₃₁ = λ

Ω(τ + 1, ξ - 1)e^iλτ e^-λξt dτ dξ,

2√s s + t

+∞

∫

(

∫

1+e-2λs

J₃₂ = λ

Ω(τ + 1, ξ - 1)e^iλτ e^-λξt dτ dξ.

sX⁺⁰(is)

√s s + t

Изменив порядок интегрирования, получим

√

∫

)

(

)

πλ

⁽ arctg^√ξ/2 - 1

J₃₁ =

Ω(τ + 1, ξ - 1)e^iλτ

√

dτ dξ = O

√

√ξ - 2

√

Аналогично с помощью (16) оценивается и J₃₂, откуда следует, что J₃ = O(1/

λ).

Четвёртый интеграл представим в виде J₄ = J₄₁ + J₄₂, где

∫

e-λ(sx+ξt) ds dt

J₄₁ =

e^iλτ dτ

Ω(τ + 1, ξ - 1) dξ ln

2π

2x - x²

√s s + t,

∫

(

)

ds dt

J₄₂ =

e^iλτ dτ

Ω(τ + 1, ξ - 1) dξ ln

2π

2x - x²

sX⁺⁰(is)

√se-λsxe^-λξt

s+t

Тогда

∫

√

dv/√u + v

J₄₁ =

√

e^iλτ dτ

Ω(τ +1, ξ-1) dξ

x ln

dx e^-λu du

2x - x²

(ξ + x)u + (ξ - x)v

-u

∫

√

(

)

3/2

√

√πeiλτ ρ¹(τ)dτ=iρ1(0)

здесь

√

+∞

∫

ξ+η

dη

ρ₁(τ) =

Ω(τ + 1, ξ + 1) dξ ln

arctg

2η - η²

2-η

√ξ + η,

√

+∞

∫

ξ+η

dη

ρ₁(0) =

Ω(1, ξ + 1) dξ ln

arctg

2η - η²

2-η

√ξ + η>0

в силу отмеченных выше свойств функции Ω(τ, s).

Далее,

∫

iλ

J₄₂ =

e^iλτ ρ₂(τ)dτ =

ρ₂(0) +

ρ′2(τ)e^iλτ dτ =

ρ₂(0) + ... ,

2π

где

+^∞

∫2

∫

(

)

ds dt

ρ₂(τ) =

Ω(τ + 1, ξ - 1) dξ ln

2x - x²

sX⁺⁰(is)

√se-λsxe^-λξt

s+t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1261

В силу неравенства (16) значение

+∞

∫

(

)

ds dt

ρ₂(0) =

Ω(1, ξ - 1) dξ ln

2x - x²

sX⁺⁰(is)

√se-λsxe^-λξt

s+t

оценивается следующим образом:

+^∞

∫

|ρ₂(0)| ≤

Ω(1, ξ - 1) dξ J₄₂₁(ξ, x) ln

dx,

2x - x²

где

+∞

∫

√s| ln s|

ds dt

√ux| ln(u/x)| e-λ(u+v)dudv

J₄₂₁(ξ,x) =

e-λ(sx+ξt)

C₀₀

+ s|ln s|

s+t

C₀₀x + u|ln(u/x)| ξu + xv

+∞

∫

√

∫

| ln t|

t dt

| ln t|

C₄₂/λ

= e-λy dy

≤

e^-λy dy

√

C₀₀ + t|ln t| y + (ξ - x)t

ξ-x

C₀₀ + t|ln t|

ξ-x

поэтому

∫

C₄₂

⁽1⁾

|ρ₂(0)| ≤

Ω(1, ξ - 1) dξ ln

2x - x² ξ - x

√

Таким образом, J₄₂ = O(1) и J₄ = iρ₁(0)

λ/π + O(1).

В результате окончательно имеем

(

))

√

F⁺(1)

X-0(-1)

⁽ ln λ

4π

2 ln

+ ρ₁(0) + O

√

U (0)

iπ5/2

Так как

∫

(

))

ln λ

W (1) =

cos(λx) ln

dx = sin λ

1+O

1-x²

ln λ

то условие (10) определяет асимптотическое поведение собственных значений, отвечающих

чётным собственным функциям:

)

⁽ ln n

λ(1)n = πn + θ₁ + O

n → ∞,

√n

где θ₁ = const.

2◦. Искомая функция нечётная: u(x) = -u(-x). Положим

∫1

v(x) = - u(t) dt.

Очевидно, что v(x) - чётная функция, определённая на отрезке -1 ≤ x ≤ 1. Проинтегри-

ровав уравнение (1) по частям, получим

∫

v(t) dt

u(x) =

-1 ≤ x ≤ 1.

t-x

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

7^∗

1262

ПОЛОСИН

Общая схема дальнейших рассуждений почти такая же, как в п. 1^◦. Продолжим это урав-

нение на всю вещественную прямую, доопределив функции u(x) и v(x) нулём вне отрез-

ка [-1, 1]:

∫

v(t) dt

u(x) =

+ f₊(x - 1) - f₊(-x - 1),

-∞ < x < +∞,

t-x

−∞

где функция f₊(x) определяется по формуле (4) и f₊(x) = O(x-1) при x → +∞ в силу

чётности функции v(x).

Обозначив

∫1

∫

U (p)

U (p) = e^iλpxu(x) dx, U(0) = 0,

e^iλpxv(x)dx = -

iλp

−1

-1

перейдём в последнем уравнении к образам Фурье:

(

)

U (p) = e^iλpF⁺(p) - e^-iλpF⁺(-p).

|p|

Коэффициент D(p) и каноническая функция X(z) такие же, что и в п. 1^◦. Определим

функцию Φ(z) по правилу

⎧

(

⎪z2 - 1 eiλzU(z)

⁾e2iλzF⁺(z)

⎨

- 1+

Im z > 0,

z²

X⁺⁰(z)

z sgn Rez

X⁺⁰(z)

Φ(z) =

⎪

F⁺(-z)

⎩-

Imz < 0.

X-0(z)

Аналогично рассуждениям п. 1^◦ имеем

∫

e2iλtF⁺(t) dt

Φ(z) =

;

πi

tX⁺⁰(t) t - z

так как в нижней полуплоскости F⁺(-z) = -X^-(z)Φ(z), то в верхней полуплоскости

∫

X^-(-z)

e2iλtF⁺(t) dt

F⁺(z) = -

;

πi

tX⁺⁰(t) t + z

из соотношения

e^iλpF⁺(p) - e^-iλpF⁺(-p)

U (p) = |p|

|p| - 1

вытекает условие на спектр:

Im(e^iλF⁺(1)) = 0.

(17)

Таким образом, на верхней мнимой полуоси z = iy,

0 < y < +∞, получаем уравнение

относительно функции ς(y) = e^-λyF⁺(iy)/X-0(-iy):

∫

X-0(-is) e-λ(s+y)

ς(y) -

ς(s) ds = 0,

sX⁺⁰(is) s + y

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1263

которое аналогично п. 1^◦ запишем в виде

∫

e-λ(s+y)

ς(y) -

ς(s) ds

ζ(y),

(18)

s+y

где

∫

⁽X-0(-is)

⁾e-λ(s+y)

ζ(y) =

-1

ς(s) ds.

sX⁺⁰(is)

s+y

Сохранив обозначения из п. 1^◦, приходим к уравнениям

∫

ς₊(y) -

k(s + y)ς₊(s) ds = ς_-(s)

ζ₊(y),

-∞ < y < +∞;

−∞

Σ⁺(p) -

arctg

Σ⁺(-p) = Σ^-(p) + Z⁺(p),

-∞ < p < +∞.

Определим теперь функцию

⎧

⎨Σ⁺(z) - Z⁺(z),

Im z > 0,

Ψ(z) =

λ + iz

⎩

Σ⁺(-z) + Σ^-(z), Im z < 0,

λ - iz

тогда

∫

Σ⁺(z) = Z⁺(z) +

Σ⁺(t)

t+z

iλ

и получим задачу сопряжения

(1 - Ω(p))H⁺(p) = H^-(p) + G⁺(p),

-∞ < p < +∞,

индекс которой, в отличие от п. 1^◦, равен единице.

Факторизуем коэффициент задачи сопряжения

E⁺(p)

1 - Ω(p)

E^-(p)

где

Γ²(1/4 - ε/2 - ip/2)

Γ(ε/2 + ip/2)Γ(1/2 + ε/2 + ip/2)

E⁺(p) =

E^-(p) = -

Γ(1 - ε/2 - ip/2)Γ(1/2 - ε/2 - ip/2)

Γ²(3/4 + ε/2 + ip/2)

У однородной задачи сопряжения существует нетривиальное решение E(z), исчезающее на

бесконечности, а общее решение неоднородной задачи сопряжения имеет вид

∫

E⁺(z)

G+(t)/E⁺(t) dt

H⁺(z) = CE⁺(z) +

2πi

1 - Ω(t) t - z

-∞

здесь C - произвольная постоянная, которую в дальнейшем будем считать действительной.

Соответственно,

∫

e^εxΣ⁺⁰(iλe^x) =

e^-ipxE⁺(p)dp,

2π

-∞

∫

E⁺(p)

G+(t)/E⁺(t) dt

e^εxΣ⁺(iλe^x) = e^εxΣ⁺⁰(iλe^x) +

e^-ipx dp

x > 0.

2π

2πi

1 - Ω(t) t - p

−∞

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1264

ПОЛОСИН

Вычислив интегралы, получим решение уравнения (18):

+∞

ς(y) = ς₀(y)

ζ(y) +

Ξ(y, t

ζ(t) dt,

∫

∑

ln s +bk

ς₀(y) =

ã_k

e^-λys

ds, Ξ(y, t) =

Ω(τ, s)e-λ(τy+st) dτ ds,

s2k+1/2

k=0

∑

â_mã_k

Ω(τ, s) =

(A_mk + B_mk ln s + B^′km ln τ + C_mk ln s ln τ),

s5/2+2mτ1/2+2k

m=0 k=0

bm +^bk

bm^bk

A_mk =

(m + k + 1)³

(m + k + 1)²

m+k+1

2b_k

2b_m

B_mk =

B^′km =

C_mk =

(m + k + 1)²

m+k+1

(m + k + 1)²

m+k+1

Γ(1/4 + k)Γ(3/4 + k)

Γ^′(1/4 + k)

Γ^′(3/4 + k)

ã_k =

,bk =Γ′(1+k)

k = 0,1,2,...,

(k!π)²

Γ(1 + k)

2Γ(1/4 + k)

2Γ(3/4 + k)

Γ(5/4 + m)Γ(7/4 + m)

Γ^′(5/4 + m)

Γ^′(7/4 + m)

â_m =

,bm =Γ′(1+m)

m = 0,1,2,...

(m!π)²

Γ(1 + m)

2Γ(5/4 + m)

2Γ(7/4 + m)

Рассмотрим банахово пространство

C, состоящее из функций вида f(x) = g(x)(1+|lnx|)/

/√x, где g(x) ∈ C[0,+∞), с нормой ∥f∥ˆC = max |

√xf(x)/(1 + |ln x|)|. Аналогично п. 1^◦

0<x<+∞

доказывается, что интегральный оператор в выражении для

ζ(y) в условии (17) является

сжимающим в этом пространстве, и его норма оценивается как O(λ-1 ln³ λ). Следовательно,

(

⁽ ln³ λ⁾⁾

F⁺(iy) = e^λyX-0(-iy)ζ₀(y) 1+O

0 < y < +∞,

а условие (17) принимает вид

(

)(

∑

⁽ ln³ λ⁾⁾

Im ie^iλX^-(-1)

ã_kb_k

1+O

= 0.

k=0

∑_∞

Покажем, что

ã_kb_k > 0. В самом деле, достаточно заметить, что при x > 0

k=0

Γ^′(x + 1)

Γ^′(x)

ln Γ(x + 1) =

ln Γ(x) >

ln Γ(x) =

Γ(x + 1)

Γ(x)

откуда следует оценкаbk > b_k.

Таким образом, получаем асимптотическое поведение собственных значений, отвечающих

нечётным собственным функциям:

)

⁽ ln³ n

λ(2)n = πn + θ₂ + O

n → ∞,

где θ₂ = const.

Автор признателен Е.И. Моисееву за внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284 и при частичной финансовой

поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 20-51-18006 Болг-а).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1265

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ukai S. Asymptotic distribution of eigenvalues of the kernel in the Kirkwood-Riseman integral equation

// J. of Math. Physics. 1971. V. 12. № 1. P. 83-92.

2. Пальцев Б.В. Уравнения свертки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих

степенную асимптотику на бесконечности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44. № 2. С. 322-394.

3. Пальцев Б.В. Асимптотика спектра интегральных операторов свёртки на конечном интервале с

однородными полярными ядрами // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67. № 4. С. 67-154.

4. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке // Успехи мат. наук. 1980.

Т. 35. № 4. С. 69-129.

5. Полосин А.А. О спектре и собственных функциях оператора свёртки на конечном интервале с

образом ядра - характеристической функцией // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 9. С. 1180-

1194.

6. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.

8. Полосин А.А. О решении одного сингулярного интегрального уравнения // Дифференц. уравнения.

2003. Т. 39. № 5. С. 710-714.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 27.05.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 25.07.2022 г.

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022