ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1274-1283

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.55

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА, ОПИСЫВАЕМЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Изучен вопрос существования вектор-функций равновесных цен в моделях рынка, описы-

ваемых дифференциальными уравнениями. В исследуемых моделях спрос и предложение

зависят не только от цен на товары, но и от скоростей изменения цен. Достаточные усло-

вия существования равновесия в таких моделях получены как следствия теорем о суще-

ствовании точек совпадения отображений, действующих из q₀-симметрического (q₁, q₂)-

квазиметрического пространства цен в метрическое пространство приобретаемых наборов

товаров.

DOI: 10.31857/S0374064122090114, EDN: JTJTNX

Введение. При моделировании рынка большое значение имеет фактор времени. Извест-

ный экономист Фридрих Август фон Хайек в 1936 г. писал: “Ход времени весьма важен для

придания понятию равновесия какого-либо смысла. Об этом стоит упомянуть, поскольку мно-

гие экономисты оказались, похоже, неспособны найти место для времени в равновесном анали-

зе и потому предположили, что понятие равновесия должно рассматриваться как вневремен-

ное. Подобное представление мне кажется лишённым смысла.” Динамические модели “спрос-

предложение”, учитывающие фактор времени, более адекватно, чем статические, описыва-

ют процессы современного рынка, происходящие в долгосрочные рыночные периоды. С по-

мощью динамических моделей экономических систем решаются многие задачи государствен-

ного экономического планирования, многие макро- и микроэкономические задачи маркетин-

га и др. Особый интерес представляют модели процессов рынка, описываемые дифференци-

альными уравнениями (динамические модели с непрерывным временем), которые изучались

Дж.К. Эвансом, Р.Г.Д. Алленом, Дж.Р. Хиксом, Д. Гейлом, Р. Солоу, П.А. Самуэльсоном и

другими (см., например, [1-4]). Важной проблемой при изучении таких моделей является полу-

чение условий существования положения равновесия (в случае рынка многих товаров - вектор-

функции равновесных цен). До настоящего времени были получены лишь условия существо-

вания равновесия в некоторых специальных случаях, в частности, в одномерных моделях или

многомерных линейных моделях. Для многомерных нелинейных динамических моделей, учи-

тывающих специфику пространства цен, вопрос существования равновесия до сих пор оставал-

ся открытым. Для получения достаточных условий существования равновесия в этих моделях

можно применить результаты теории накрывающих отображений, а именно, они могут быть

получены как следствие теорем о существовании точек совпадения накрывающего и липши-

цевого отображений, действующих в абстрактных квазиметрических пространствах (в этом

случае вектор-функция равновесных цен рассматривается как точка совпадения отображений

спроса и предложения). Этот подход (для статических моделей) уже был применён авторами в

статьях [5, 6]. Однако достаточные условия существования равновесных вектор-функций цен

в динамических моделях рынка многих товаров в случае, если спрос и предложение зависят

от времени и скорости изменения цен, до сих пор не были получены.

В данной работе результаты, полученные в [7-10], используются для вывода достаточных

условий существования равновесия в рыночных моделях, которые учитывают влияние фак-

тора времени, а спрос и предложение зависят не только от текущих цен на товары, но и от

скорости изменения цен. Ещё одной отличительной чертой настоящей работы является рас-

смотрение пространства цен как q₀-симметрического (q₁, q₂)-квазиметрического пространства,

что позволяет более точно описать процессы рынка, в отличие от существующих моделей, не

учитывающих возможности внешнего (в том числе государственного) регулирования цен.

1274

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА

1275

1. Динамические модели рынка многих товаров. Рассмотрим динамическую модель

рынка многих товаров, обобщающую модель Аллена-Эванса.

Пусть на рынке представлено n ∈ N товаров, причём i-й товар в момент времени t ∈

∈ [t₁, t₂], где t2 > t1 ≥ 0 заданы, для потребителя имеет цену pi = pi(t) ∈ [c1i,c2i], i =

= 1, n. Здесь c₁ = (c₁₁, . . . , c1n) и c₂ = (c₂₁, . . . , c2n), c2i > c1i ≥ 0, i = 1, n, - заданные

векторы, определяющие естественные ограничения на цены. Кроме того, известны значения

цен в момент времени t₁ : p(t₁) = p = (p₁, . . . , p_n).

Предположим также, что заданы числа q₀, q₁, q₂ ≥ 1 и определяющая возможности внеш-

него регулирования цен функция ρ_X : X × X → R₊, X = [c₁₁, c₂₁] × . . . × [c₁₁, c₂₁], удовлетво-

ряющая условиям

ρ_X(p;p^∗) = 0 тогда и только тогда, когда p = p^∗,

(1)

ρ_X(p;p^∗) ≤ q₀ρ_X(p^∗;p) для любых p,p^∗ ∈ X,

(2)

ρ_X(p;p^∗) ≤ q₁ρ_X(p;p^∗∗) + q₂ρ_X(p^∗∗;p^∗) для всех p,p^∗,p^∗∗ ∈ X.

(3)

Функция ρ_X позволяет учитывать в исследуемой модели специфику пространства цен, в

частности, отличие механизмов повышения и понижения цен.

На скорости изменения цен накладываются условия

p(t) = ( p₁(t),p˙₂(t), . . . ,p˙_n(t)) ∈ P для

почти всех (п.в.) значений t, где P ⊆ Rⁿ - заданное замкнутое множество.

Спрос совокупного потребителя описывается отображением

D : P × X × [t₁,t₂] → Rⁿ, D = D(p(t),p(t),t),

где D_i( p(t), p(t), t), i = 1, n, - объём приобретаемого в момент времени t i-го товара. Пред-

ложение совокупного производителя описывается отображением

S : P × X × [t₁,t₂] → Rⁿ, S = S(p(t),p(t),t),

где S_i( p(t), p(t), t), i = 1, n, - объём произведённого и предлагаемого в момент времени t на

рынке i-го товара.

Отображения предложения S и спроса D предполагаются непрерывными по t, кроме

того, отображение предложения предполагается накрывающим по первому аргументу и лип-

шицевым по второму, отображение спроса - липшицевым по первому и второму аргументу.

Под динамической моделью “спрос-предложение” с непрерывным временем будем пони-

мать набор

σ = (D( p(t),p(t),t),S( p(t),p(t),t),t₁,t₂, p,P,c₁,c₂,q₀,q₁,q₂).

(4)

Определим полное метрическое (как обычно, под полным метрическим пространством

понимаем метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность

сходится к элементу этого же пространства) пространство AC_∞([t₁, t₂], p, P ) абсолютно непре-

рывных функций p : [t₁, t₂] → X таких, что

p ∈ L_∞([t₁,t₂],P), p(t₁) = p, с метрикой

ρAC∞([t₁,t₂],p,P)(p, p^∗) = ρL∞([t1,t2]),P)⁽p, p∗)^.

Определение 1. Пусть δ ∈ (0,t₂ -t₁). Положением равновесия в модели (4), отвечающим

значению δ, называется абсолютно непрерывная функция p^δ : [t₁, t₁ + δ] → Rⁿ, производная

которой существенно ограничена и для которой выполняются условия

p(t₁) = p := (p₁, p₂, . . . , p_n),

D( p(t),p(t),t) = S( p(t),p(t),t),

p ∈ P для любого t ∈ [t₁,t₁ + δ].

Для получения достаточных условий существования положения равновесия в моделях

рынка будем рассматривать равновесие как точку совпадения соответствующих отображе-

ний спроса и предложения, действующих из q₀-симметрического (q₁, q₂)-квазиметрического

пространства цен в метрическое пространство приобретаемых наборов товаров.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1276

АРУТЮНОВ, ПАВЛОВА

2. Формализация задачи и вспомогательные результаты. Для описания простран-

ства цен необходимо следующее

Определение 2 [10]. Пусть заданы множество X и числа q₀,q₁,q₂ ≥ 1. Функция ρ_X :

X × X → R⁺, удовлетворяющая условию (1) (аксиома тождества), условию (2) (аксиома

q₀-симметрии) и условию (3) ((q₁,q₂) - обобщённое неравенство треугольника), называется

q₀-симметрической (q₁,q₂)-квазиметрикой, а пара (X,ρ_X) - q₀-симметрическим (q₁,q₂)-

квазиметрическим пространством.

Пространства такого типа являются объектами интенсивного исследования (см., например,

работы [10-14]) и имеют широкое применение в теории оптимизации и аппроксимации, выпук-

лом анализе и в различных прикладных областях. В настоящей статье описание пространства

цен как q₀-симметрического (q₁, q₂)-квазиметрического пространства позволяет построить мо-

дель, более точно описывающую процессы рынка и учитывающую специфику пространства

цен на товары.

Фиксируем числа q₀, q₁, q₂ ≥ 1. Рассмотрим q₀-симметрическое (q₁, q₂)-квазиметрическое

пространство (X, ρ_X ) и метрическое пространство (Y, ρ_Y ). Относительно функции ρ_Y под-

разумеваем выполненными обычные аксиомы метрики. Введём в рассмотрение множества

B_X(x,r) = {x ∈ X : ρ_X(x, x) ≤ r}, B_Y (y,r) = {y ∈ Y : ρ_Y (y, y) ≤ r},

которые будем называть шарами радиуса r с центром в точке x и с центром в точке y со-

ответственно. Отметим, что шар B_Y (y, r) ⊆ Y является замкнутым, а шар B_X (x, r) ⊆ X

замкнутым множеством может не быть (относительно топологии на X, порождаемой функ-

цией ρ_X ).

Будем говорить, что последовательность {x_i} q₀-симметрического (q₁, q₂)-квазиметриче-

ского пространства (X, ρ_X ) сходится к x₀ ∈ X, если lim

ρ_X(x₀,x_i) = 0. Последовательность

i→∞

{x_i} будем называть фундаментальной последовательностью, если для любого ε > 0 суще-

ствует такое натуральное число N, что для всех натуральных чисел m и n таких, что n >

> m > N, выполняется неравенство ρ_X(x_m,x_n) < ε. Как обычно, под полнотой пространства

(X, ρ_X ) будем понимать сходимость любой фундаментальной последовательности к элемен-

ту этого пространства. Отметим, что в полном q₀-симметрическом (q₁, q₂)-квазиметрическом

пространстве предел фундаментальной последовательности может быть не единственным.

В теории неявных уравнений (как алгебраических, так и дифференциальных), к решению

которых сводится задача поиска положений рыночного равновесия, большую роль играют

накрывающие и липшицевы отображения.

Определение 3. Пусть задано α > 0. Отображение Ψ : X → Y называется α-накрыва-

ющим, если

B_Y (Ψ(x),αr) ⊆ Ψ(B_X(x,r)) для любого r ≥ 0, x ∈ X.

Определение 4. Пусть задано β > 0. Отображение Φ : X → Y называется β-липшице-

вым, если

ρ_Y (Φ(x₁),Φ(x₂)) ≤ βρ_X(x₁,x₂) для всех x₁,x₂ ∈ X.

Определение 5. Отображение Ψ : X → Y называется замкнутым, если для любых

последовательностей {x_i} ⊂ X,

{y_i} ⊂ Y, сходящихся к точкам x₀ и y₀ соответственно, и

таких, что (x_i, y_i) ∈ gph Ψ = {(x, y) ∈ X × Y : y = Ψ(x)} для всех i ∈ N, выполняется условие

(x₀, y₀) ∈ gph Ψ.

Пусть заданы отображения Ψ, Φ : X → Y и числа α > β ≥ 0.

В статье [10] получена теорема, содержащая условия, гарантирующие существование точки

совпадения у отображений, действующих в квазиметрических пространствах. Для её форму-

лировки введём следующие обозначения:

1-θ

S(θ, 0) = 0, S(θ, n) =

θ ∈ [0,1), n ∈ N.

1-θ

Положим

m₀ = min{j ∈ N : q₂β^j < α^j},

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА

1277

а в предположении, что q²⁰β < α, определим число

n₀ = min{j ∈ N : q₁(q²⁰β)^j < α^j}.

Теорема 1 (о существовании точек совпадения) [10]. Предположим, что q₀-симметри-

ческое (q1, q2)-квазиметрическое пространство (X, ρ_X ) является полным. Пусть отобра-

жение Ψ является α-накрывающим и замкнутым, а отображение Φ - липшицевым с кон-

стантой β < α. Зафиксируем произвольную точку x₀ ∈ X. Тогда у отображений Ψ и Φ

существует такая точка совпадения ξ, что имеет место оценка

m₀-1

q²¹αm0-¹S(q₂β/α,m₀ - 1) + q₁(q₂β)

lim

ρ_X(x₀,η) ≤

ρ_Y (Ψ(x₀),Φ(x₀)).

η→ξ

α^m0 - q₂β^m0

Если выполняется дополнительное условие q²⁰β < α, то имеют место оценки

n₀-1

q₂αn0-¹S(q₁q²⁰β/α,n₀ - 1) + (q₁q²⁰β)

ρ_X(ξ,x₀) ≤ q₀q²

ρ_Y (Ψ(x₀),Φ(x₀)),

αⁿ0 - q₁(q²⁰β)ⁿ0

n₀-1

q₂αn0-¹S(q₁q²⁰β/α,n₀ - 1) + (q₁q²⁰β)

lim

ρ_X(η,x₀) ≤ q₀q₂

ρ_Y (Ψ(x₀),Φ(x₀)).

η→ξ

αⁿ0 - q₁(q²⁰β)ⁿ0

Применим эту теорему для получения условий разрешимости уравнения вида F (x, x) = y

относительно x. Для этого сформулируем следующее

Определение 6 [8]. Пусть заданы число α > 0 и множества U ⊆ X, V ⊆ Y. Отображение

Ψ : X → Y называется условно α-накрывающим относительно множеств U и V , если для

любых u ∈ U и r > 0 таких, что B_X (u, r) ⊆ U, имеет место включение

Ψ(B_X (u, r)) ⊇ B_Y (Ψ(u), αr)

^⋂V^⋂Ψ(U).

Пусть заданы полное q₀-симметрическое (q₁, q₂)-квазиметрическое пространство (X, ρ_X ),

метрическое пространство (Y, ρ_Y ), отображение F : X × X → Y, числа α > β ≥ 0, R₁ > 0,

R₂ > 0 и точка x ∈ X. Положим

R_min = min{R₁,R₂},

ŷ = F(x, x),

n₀-1

q₂αn0-¹S(q₁q²⁰β/α,n₀ - 1) + (q₁q²⁰β)

r(y) = γ(n₀)ρ_Y (y, ŷ), γ(n₀) = q₀q²

αⁿ0 - q₁(q²⁰β)ⁿ0

^Û (y) = B_X (x, r(y)) для любого y ∈ Y.

(5)

Следующая теорема, обобщающая теорему 1 из [9] на случай квазиметрических прост-

ранств, даёт достаточные условия для разрешимости уравнения F (x, x) = y относительно x.

Теорема 2. Предположим, что при любом x₂ ∈ U = B_X (x, R₁) отображение F ( · , x₂)

является условно α-накрывающим относительно шаров U, V (x₂) = B_Y (F (x, x₂), αR₂), а

при любом x₁ ∈ U отображение F(x₁,·) удовлетворяет на множестве U условию Лип-

шица с константой β такой, что q₁q²⁰β < α.

Предположим также, что для всех y ∈ B_Y (ŷ,αR₂) и для всех сходящихся последователь-

ностей u_i → u, u_i,u ∈ U, из равенства lim

F (u_i, u) = y следует равенство F (u, u) = y.

i→∞

Тогда для любого y ∈ Y, для которого выполняются следующие условия:

ρ_Y (y, ŷ) ≤

R_min,

(6)

γ(n₀)

⋂

y∈

F (U, x₂),

(7)

x₂∈Û(y)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

8^∗

1278

АРУТЮНОВ, ПАВЛОВА

существует решение x ∈ U уравнения F(x,x) = y, удовлетворяющее оценке

ρ_X(x, x) ≤ r(y) = γ(n₀)ρ_Y (y, ŷ).

Доказательство. Из условий (5) и (6) следует, что для всех y ∈ Y справедливо неравен-

ство r(y) ≤ R₁ и, значит,

^Û (y) = B_X (x, r(y)) ⊆ U = B_X (x, R₁).

Далее, в силу условной α-накрываемости отображения F ( · , x₂) относительно шаров U и

V (x₂) и включения (7) получаем, что для любого y ∈ Y существует точка ξ ∈ X такая, что

F (ξ, x) = y, ρ_X (x, ξ) ≤ α-1ρ_Y (ŷ, y).

(8)

Также в силу условной α-накрываемости отображения F ( · , x₂) относительно шаров U и

V (x₂) и включения (7) имеем, что для любых y ∈ Y и ξ ∈ S(y), где множество S(y) состоит

из точек ξ ∈Û(y), для которых найдутся точки x₂ ∈ U(y) такие, что F (ξ, x₂) = y и ρ(ξ, x₂) ≤

≤ α-1ρY (y,F(y,y)), существует точка

ξ ∈ X такая, что выполняются условия

ξ,ξ) = y, ρ_X(ξ

ξ) ≤ α-1ρY (F(ξ,ξ),y).

(9)

Для нахождения решения уравнения F (x, x) = y (для всех y, удовлетворяющих усло-

виям теоремы) применим метод итераций. Для этого построим следующую последователь-

ность {u_i}.

Положим u₀ = x. В силу условия (8) существует элемент u₁ ∈X такой, что F (u₁, u₀) = y и

ρ_X(u₀,u₁) ≤

ρ_Y (ŷ,y) =

r(y) ≤ r(y).

αγ(n₀)

Следовательно, u₁ ∈ S(y) ⊆Û(y).

В силу условия (9) существует u₂ ∈ X, что F (u₂, u₁) = y и

ρ_X(u₁,u₂) ≤

ρ_Y (F(u₁,u₁),y) =

ρ_Y (F(u₁,u₁),F(u₁,u₀)).

По условию теоремы при любом x₁ ∈ U отображение F (x₁, · ) удовлетворяет на множестве

U условию Липшица с константой β, следовательно

q₀β

ρ_X(u₁,u₂) ≤

ρ_X(u₁,u₀) ≤

r(y),

αγ(n₀) α

откуда получим неравенства

(

)

q₀q₂β

ρ_X(u₀,u₂) ≤ q₁ρ_X(u₀,u₁) + q₂ρ_X(u₁,u₂) ≤

q₁ +

r(y) ≤ r(y),

αγ(n₀)

а, значит, u₂ ∈ S(y) ⊆Û(y).

Следуя указанному алгоритму, построим последовательно элементы u₃, u₄, . . . На i-м

шаге получим элемент u_i ∈ S(y) ⊆Û(y) такой, что F (u_i, ui-1) = y и справедлива оценка

i+1

qi+10β

ρ_X(ui-1,u_i) ≤

r(y).

(10)

αγ(n₀) αi+1

Отсюда следует, что

(

)(

)-1⁾

qi+20βi+2

q₀β

ρ_X(ui-1,u₀) ≤

(1 - q₂)qi+11 + q₂qi+1

q₁ -

αγ(n₀)

αi+2

(

)

))

⁽q₀β

qi+11 + q₂qi+1

;i+2

-1

≤ r(y).

αγ(n₀)

q₁α

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА

1279

Таким образом, u_i ∈ S(y) ⊆

^Û (y). Кроме того, в силу (11) расстояния между постро-

енными последовательными элементами ui-1 и u_i оценивается соответствующими членами

убывающей геометрической прогрессии, последовательность {ui} ⊂

^Û (y) является фунда-

ментальной. Тогда в силу полноты пространства X существует (возможно, не единственный)

элемент x ∈Û(y), являющийся пределом этой последовательности.

Далее, имеем

ρ_Y (F(u_i,x),y) = ρ_Y (F(u_i,x),F(u_i,ui-1)) ≤ βρ_X(x,ui-1) → 0, i → ∞.

Из последнего выражения следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Вопрос о существовании положения равновесия в модели рынка (4) в настоящей статье

сводится к вопросу существования локального решения дифференциального уравнения.

Рассмотрим задачу Коши для не разрешённого относительно производной дифференциаль-

ного уравнения, содержащего дополнительные ограничения на производную искомой функции

f(x,x,t) = 0,

x ∈ P, t ∈ [t₁,t₂],

(11)

x(a) = x,

(12)

где P ⊆ Rⁿ - заданное замкнутое множество, x ∈ X.

Будем предполагать, что функция f : P × X × [t₁, t₂] → R^m удовлетворяет условиям

Каратеодори:

1) f( · , · , t) непрерывна для п.в. t ∈ [t₁, t₂];

2) f(ξ, x, · ) измерима для всех (ξ, x) ∈ P × X;

3) для любого ρ > 0 найдётся такое число M, что для любых (ξ, x) ∈ P ×X, удовлетворя-

ющих неравенству ||(ξ, x)||AC∞ ≤ ρ, и для п.в. t ∈ [t₁, t₂] имеет место оценка |f(ξ, x, t)| ≤ M.

Пусть δ ∈ (0, t₂ - t₁). Решением задачи Коши (12), (13), соответствующим значению δ,

на отрезке [t₁, t₁ + δ] будем называть абсолютно непрерывную функцию x^δ : [t₁, t₁ + δ] → X,

производная которой существенно ограничена, для неё справедливо равенство (13), а для п.в.

t ∈ [t₁,t₁ + δ] выполняется условие (12).

Следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы 3 из работы [9] на случай квазимет-

рических пространств, содержит условия, гарантирующие существование локального решения

задачи Коши (12), (13).

Теорема 3 (о существовании локальных решений дифференциального уравнения). Пред-

положим, что существуют числа R₁ > 0, R₂ > 0, ν > 0, δ ∈ (0, t₂ - t₁] и функция

u₀ ∈ L_∞([t₁,t₂],P) такие, что выполняются следующие условия:

1) существует число α > 0 такое, что для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех x ∈ B_X (x, ν)

отображение f(·,p,t) : P → R^m является условно α-накрывающим относительно шаров

U (t) = B_P (u₀(t), R₁), V (x, t) = B_Rm (f(u₀(t), x, t), αR₂);

2) для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех x ∈ B_X (x, ν) выполнено включение 0 ∈ f(U(t), x, t);

δα

3) существует неотрицательное число L <

такое, что для всех x, x ∈ B_X (x, ν),

q₁q²

для всех функций u ∈ U(t) и для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] выполняется неравенство

|f(u, x, t) - f(u, x, t)| ≤ Lρ_X (x, x);

4) выполняется неравенство r₀ < R_min = min{R₁,R₂}, где

r₀ := α-1 vrai sup |f(u₀(t), x,t)|.

t∈[t₁,t₁+δ]

Тогда для любого ε > 0 существуют число δ_ε ∈ (0, δ] и соответствующее решение

xδε ∈ AC_∞([t₁,t₁ + δ_ε], x,P)

задачи (11), (12) такие, что выполняется неравенство ρL∞([t₁,t₁+δε],Ω)(xδε ,u0ε ) < r0 + ε, где

uδε0 - сужение функции u0 на отрезок [t1,t1 + δε].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1280

АРУТЮНОВ, ПАВЛОВА

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3 из работы [9] и основано на при-

менении теоремы 2 к отображению

F : L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],P) × L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],P) → L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],R^m),

определяемому через оператор Немыцкого:

F (z₁, z₂) = N_f (z₁, Cz₂),

∫t

(N_f (z, x))(t) = f(z(t), x(t), t), (Cz)(t) = x + z(s)ds.

Теорема доказана.

3. Основной результат. В следующей теореме сформулированы достаточные условия

существования равновесия в динамической модели рынка (4).

Теорема 4. Предположим, что существуют числа R₁ > 0, R₂ > 0, ν > 0, δ ∈ (0, t₂ -t₁]

и функция u₀ ∈ L_∞([t₁, t₂], P ) такие, что выполняются следующие условия:

1) существует число α > 0 такое, что для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех p ∈ B_Rn (p, ν)

отображение S(·,p,t) : P → Rn+ является условно α-накрывающим относительно шаров

U (t) = B_P (u₀(t), R₁), V (p, t) = B_Rn(S(u0(t), p, t), αR2);

2) существует число β > 0 (β < α) такое, что

max

|D_i(u, p, t) - D_i(ũ, p, t)| ≤ β max |u_i - ũ_i|

i=1,n

для всех p ∈ B_Rn( p, ν), u, ũ ∈ P и для п.в. t ∈ [t1, t1 + δ];

3) для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех p ∈ B_Rn (p, ν) справедливо условие

0 ∈ S(U(t),p,t) - D(U(t),p,t);

4) существуют числа 0 ≤ L_S , L_D < δα/(q₁q²⁰) такие, что для всех p, p ∈ B_Rn (p, ν), для

всех u ∈ U(t) и для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] выполняются неравенства

max

|S_i(u, p, t) - S_i(u, p, t)| ≤ L_S max |p_i - p_i|,

i=1,n

max

|D_i(u, p, t) - D_i(u, p, t)| ≤ L_D max |p_i - p_i|;

i=1,n

5) выполняется неравенство r₀ < R_min, где

r₀ := (α - β)-1 vrai sup max |S_i(u₀(t), p,t) - D_i(u₀(t), p,t)|.

t∈[t₁,t₁+δ] i=1,n

Тогда для любого ε > 0 существуют число δ_ε ∈ (0, δ] и вектор-функция равновесных цен

pδε ∈ AC_∞([t₁,t₁ + δ_ε], p,P)

(

)

в модели (4) такие, что ρL∞([t₁,t₁+δε],P)

pδε ,uδε0

< r₀ + ε, где uδε0 - сужение функции u0 на

отрезок [t₁,t₁ + δ_ε].

Доказательство. Рассмотрим отображение Ψ : P × Rⁿ × [t₁, t₂] → Rⁿ,

Ψ( p(t),p(t),t) = S( p(t),p(t),t) - D( p(t),p(t),t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА

1281

Для всех t ∈ [t₁, t₁ + δ_ε] ⊆ [t₁, t₁ + δ] задача

D( p(t),p(t),t) = S( p(t),p(t),t), p(t₁) = p

равносильна уравнению F (x, x) = y относительно x (скорости изменения цен), где

F : L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],P) × L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],P) → L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],Rn+),

∫t

F (z₁, z₂) = N_f (z₁, Cz₂), (Cz₂)(t) = p + z(s)ds,

t₀

N_f : AC_∞([t₁,t₁ + δ_ε], p,P) × L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],P) → L_∞([t₁,t₁ + δ_ε],Rn+),

(N_f (z, x))(t) = Ψ( p(t), p(t), t).

Из условий 1), 2) и теоремы 1 из [7] следует, что существуют положительные числа α, β

(α > β) такие, что для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех p ∈ B_Rn (p, ν) отображение Ψ является

условно (α - β)-накрывающим относительно шаров U(t) и V (p, t). Кроме того, из условия 4)

следует, что существует такое число L ≥ 0, что справедливо неравенство

max

|Ψ_i(u, p, t) - Ψ_i(u, p, t)| ≤ L max |p_i - p_i|

i=1,n

для всех p, p ∈ B_Rn( p, ν), для всех функций u ∈ U(t) и для п.в. t ∈ [t1, t1 + δ].

Из условия 3) следует, что 0 ∈ Ψ(U(t), p, t) для п.в. t ∈ [t₁, t₁ + δ] и всех p ∈ B_Rn (p, ν).

Из условия 5) имеем оценку

r₀ := (α - β)-1 vraisup max |Ψ_i(u₀(t), p,t)| < R_min.

t∈[t₁,t₁+δ] i=1,n

Наконец, применив теорему 3 из статьи [9] к отображению Ψ, получим утверждение настоя-

щей теоремы. Теорема доказана.

4. Пример, иллюстрирующий основной результат. Рассмотрим модель типа (4), ко-

торая обобщает хорошо известную модель Аллена-Эванса:

σ = (a,b,γ, p,c₁,c₂,d₁,d₂,t₁,t₂,q₀,q₁,q₂),

(13)

в которой спрос и предложение определяются формулами

D_i( p,p,t) = a_i + b_ip_j( p_ip_i)-1, S_i( p,p,t) = γ_i p_ip_i(p˙_jp_j)-1,

где i, j = 1, 2, i = j, t ∈ [t₁, t₂], а a_i, b_i, γ_i, i = 1, 2, - заданные положительные параметры

модели.

В рассматриваемой модели приняты следующие естественные ограничения на цены и ско-

рости изменения цен:

p_i(t) ∈ [c1i,c2i],

p_i(t) ∈ [d1i,d2i], i = 1,2,

(14)

где c2i > c1i > 0, d2i > d1i. В начальный момент времени t₁ цены на товары, присутствующие

на рынке, определяются вектором

p := (p₁(t₁), p₂(t₁)) = (p₁, p₂),

pi ∈ [c1i, c2i], i = 1, 2.

(15)

Предложение. Предположим, что модель (13) удовлетворяет условиям (15) и (16).

Пусть также параметры этой модели удовлетворяют условию

q₁q²⁰

max

b_ic2ic-11j < | min

d1i|³

max

γ_ic2jc-11i.

i,j=1,2

i=1,2

i,j=1,2

i=j

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1282

АРУТЮНОВ, ПАВЛОВА

Тогда существует вектор-функция равновесных цен p(t) = (p₁(t), p₂(t)) такая, что

p_i(t) ∈ [ci1,ci2],

p_i(t) ∈ [d1i,d2i], i = 1,2.

Доказательство. Применив теорему Милютина о возмущениях накрывающих отображе-

ний из работы [15], получим оценку константы накрывания α отображения S( · , p, t) : P →

→ Rn+, где P = [d₁₁,d₂₁] × [d₁₂,d₂₂]:

α ≤ | min

d1i|³

max

γ_icj2c-1i1.

i=1,2

i,j=1,2

i=j

Далее, получив для отображения D( · , p, t) : P → Rn+ оценку константы Липшица

β ≥ max

b_ic2ic-11j

i,j=1,2

i=j

и применив теорему 4, получим утверждение предложения.

С помощью теоремы 4 можно получить достаточные условия (в виде легко проверяемых

условий на параметры модели) существования положения равновесия и в других динамиче-

ских моделях рынка, например, в моделях, где предложение описывается нелинейной динами-

ческой моделью “затраты-выпуск” (см. [16, 17]), а спрос описывается динамической моделью,

обобщающей модель Стоуна.

Заключение. Результаты теории накрывающих и липшицевых отображений, действую-

щих в квазиметрических пространствах, позволяют исследовать модели рынка на предмет

существования в них положения равновесия. Для этого в настоящей статье получены доста-

точные условия разрешимости уравнения F (x, x) = y относительно x для q₀-симметрических

(q₁, q₂)-квазиметрических пространств, а также достаточные условия существования локаль-

ного решения дифференциального уравнения.

Теоремы 2 и 3 получены Арутюновым А.В. при поддержке Российского научного фонда

(проект 22-21-00863). Теорема 4 получена Павловой Н.Г. при поддержке Министерства науки и

высшего образования Российской Федерации (государственное задание 075-00337-20-03, проект

0714-2020-0005).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Evans G.C. Mathematical Introduction to Economics. New York, 1930.

2. Hicks J. Value and Capital. Oxford, 1939.

3. Samuelson P.A. Economics: an Introductory Analysis. New York, 1948.

4. Allen R.G.D. Mathematical Economics. London; New York, 1960.

5. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е., Павлова Н.Г. Равновесные цены как точка совпадения двух

отображений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2013. Т. 53. № 2. С. 225-237.

6. Арутюнов А.В., Павлова Н.Г., Шананин А.А. Равновесные цены в одной модели экономического

равновесия // Мат. моделирование. 2016. Т. 28. № 3. С. 3-22.

7. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функц. анализ и его прил. 2014. Т. 48.

Вып. 1. С. 89-93.

8. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy S.E. Stability theorems for estimating the distance to a set of

coincidence points // SIAM J. Optim. 2015. V. 25. № 2. P. 807-828.

9. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к

дифференциальным уравнениям, не разрешённым относительно производной // Дифференц. урав-

нения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

10. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Точки совпадения многозначных отображений в (q₁, q₂)-квазиметри-

ческих пространствах. Накрывающие отображения и точки совпадения // Докл. РАН. 2017. Т. 476.

№ 2. C. 129-132.

11. Wilson W.A. On quasi-metric spaces // Amer. J. Math. 1931. V. 53. № 3. P. 675-684.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

РАВНОВЕСИЕ В МОДЕЛЯХ РЫНКА

1283

12. Бахтин И.А. Принцип сжатых отображений в почти метрических пространствах // Функц. анализ.

1989. Вып. 30. С. 26-37.

13. Czerwik S. Contraction mappings in b-metric spaces // Acta Math. Inform. Univ. Ostraviensis. 1993.

V. 1. P. 5-11.

14. Cvetković M., Karapinar E., Rakocević V. Some fixed point results on quasi-b-metric-like spaces // J.

Inequal. Appl. 2015. V. 374. P. 1-17.

15. Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума

в задачах с ограничениями // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33. Вып. 6 (204). С. 85-148.

16. Павлова Н.Г. Исследование открытой динамической модели Леонтьева с непрерывным временем

как линейной динамической системы с управлением // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 1.

С. 111-116.

17. Pavlova N.G. Necessary conditions for closedness of the technology set in dynamical Leontief model

// Proc. 11th Int. Conf. Management of Large-Scale System Development (MLSD). Moscow, 2018. P. 510-

514.

Институт проблем управления

Поступила в редакцию 05.06.2022 г.

имени В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

После доработки 05.06.2022 г.

Московский физико-технический институт

Принята к публикации 05.07.2022 г.

(национальный исследовательский университет)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022