ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1284-1293
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.633
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2022 г. П. П. Матус, Хоанг Тхи Киеу Ань, Д. Пылак
Для гиперболо-параболического уравнения с постоянными коэффициентами изучены ус-
тойчивые компактные разностные схемы с весами 4+2 и 4+4 порядков аппроксимации.
Полученные результаты обобщены на случай уравнения с переменным коэффициентом,
квазилинейного и многомерного уравнений. Получены априорные оценки устойчивости и
сходимости разностного решения в сильных нормах. Показано, что приведённые в работе
тестовые численные расчёты согласуются с теоретическими выводами.
DOI: 10.31857/S0374064122090126, EDN: JTMPGG
Введение. Уравнения гиперболо-параболического типа, например, уравнения электромаг-
нитного поля, зависящие от свойств среды, описывают многие важные физические процессы.
Если среда однородна, то в случае её малой проводимости напряжённости электрического
и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению, в случае же сравнительно боль-
шой проводимости упомянутые величины удовлетворяют уравнению теплопроводимости [1,
с. 440-444]. При описании некоторых физических процессов термодинамики в кристалличе-
ских телах, в пористых средах используется математическая модель Каттанео, включающая
уравнения гиперболо-параболического типа (см. [2]). Физический и математический смысл
сопряжения уравнения гиперболического и параболического типов описывается, например, в
работах [3, с. 256; 4-9].
Для приближённого решения нестационарных задач математической физики такого типа
наиболее часто использовались разностные или конечно-элементные аппроксимации [3]. В на-
стоящее время наибольший интерес представляет построение компактных схем [2, 10, 11]. Под
компактными схемами мы понимаем разностные схемы повышенных порядков аппроксима-
ции, записанные на стандартных для данного уравнения шаблонах.
Основополагающими работами по компактными вычислительным методам порядка ап-
проксимации 4 + 2 (четвёртый порядок по пространственной переменной и второй по вре-
менной) для параболических и гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами
являются работы 50-летней давности А.А. Самарского [12] и А.Н. Валиуллина и В.И. Паасо-
нена [13].
В настоящее время компактные разностные схемы не только построены для новых классов
уравнений математической физики типа уравнений Фишера, Клейна-Гордона, но и обобщены
на квазилинейные уравнения [14-16].
Данная работа посвящена построению и исследованию компактных разностных схем 4 + 2
и 4+4 порядков точности для гиперболо-параболического уравнения с постоянными коэффи-
циентами. С использованием метода энергетических неравенств получены априорные оценки
устойчивости и сходимости разностного решения в сеточных нормах L2(ωh), W12(ωh), C(ωh)
или L∞(ωh). Кроме того, полученные результаты обобщаются на случаи уравнения с пере-
менным коэффициентом, квазилинейного и многомерного уравнений, приводятся результаты
тестовых расчётов, подтверждающих повышенный порядок точности разностных схем на стан-
дартных шаблонах. В работе используются обозначения из [3, 17].
1. Математическая модель и её свойства. В области
QT = {(x,t) : 0 ≤ x ≤ l,
0 ≤ t ≤ T}, QT = Ω × [0,T], Ω = Ω
⋃Γ, Ω = {0 < x < l},
1284
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
1285
требуется найти непрерывную функцию u(x, t), удовлетворяющую в QT следующей началь-
но-краевой задаче:
(
)
∂
∂u
∂
ρ1
+
(ρ2u) = Lu + f(x, t), x ∈ Ω, t ∈ (0, T ],
(1)
∂t
∂t
∂t
∂u
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,
(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,
(2)
∂t
u(0, t) = μ1(t), u(l, t) = μ2(t), t ∈ (0, T ].
(3)
Здесь
(
)
∂
∂u
Lu =
k
,
ρ1 > 0, ρ2 ≥ 0, k > 0.
∂x
∂x
1.1. Закон сохранения энергии для однородной дифференциальной задачи. За-
кон сохранения энергии является одним из фундаментальных законов природы, установлен-
ных эмпирически. Как правило, они присущи гиперболическим уравнениям. Например, из-
вестные уравнения газовой динамики выводятся из соответствующих физических законов
сохранения массы, импульса и энергии. Для параболических уравнений чаще используется
понятие невозрастания энергии, чем закон сохранения. Тем не менее и в этом случае они
также существуют, хотя может быть и не являются очевидными (см. статьи [18, 19]). Пусть
H = L2(0,l) - действительное сепарабельное гильбертово пространство со скалярными произ-
ведением и нормой
∫l
√
(u, v) = u(x)v(x) dx,
∥u∥ =
(u, u).
0
Неограниченный самосопряжённый положительно-определённый линейный оператор с обла-
стью определения [20]
◦
D(A) =
W12(0,l)
⋂ W22(0,l),
плотной в L2(0, l), задаётся формулой
(
)
∂
∂v
A(v) = -
k(x)
,
v(0, t) = v(l, t) = 0, k(x) ∈ C1[0, l],
0 < k1 ≤ k(x) ≤ k2.
∂x
∂x
Оператор A отображает множество D(A) на L2(0, l). Выражение (v, u)A = (Av, u), u, v ∈
∈ D(A) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. Пополняя D(A) по норме ∥u∥A =
= (u, u)1/2A, получаем так называемое энергетическое пространство HA ⊂ H.
Введём также пространство Лебега L2(0, t; H) [21, с. 383]. Функция u(t) отображает ин-
тервал (0, t) ⊂ R в пространство H со скалярным произведением и нормой
∫t
(u, v)L2(0,t;H) = (u(ξ), v(ξ)) dξ,
∥u∥L2(0,t;H) = (u, u)1/2L2(0,t;H).
0
Пусть функция E(t) задана энергетическим соотношением
∂u2
∂u2
E(t) = 2ρ1
+ρ2
+ ∥u∥2A.
∂t
∂t
L2(0,t;H)
L2(0,l)
Заметим, что при t = 0 значение функции E(0) определяется лишь через заданные начальные
условия задачи (1)-(3):
E(0) = ρ2∥u0∥2L
+ ∥u0∥2A.
2(0,l)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1286
МАТУС и др.
Теорема 1. Для решения однородной задачи (1)-(3) при
f (x, t) = 0 и μ1(t) = μ2(t) = 0
имеет место закон сохранения
E(t) = E(0).
(4)
Доказательство данного утверждения является тривиальным. Действительно, умножив
уравнение (1) скалярно в L2(0, l) на 2∂u/∂t и применив формулу интегрирования по частям,
получим равенство
(
)
∂u2
d
∂u2
2ρ1
+
ρ2
+ ∥u∥2
= 0.
A
∂t
dt
∂t
L2(0,l)
L2(0,l)
Интегрируя последнее соотношение на отрезке [0, t], приходим к соотношению (4). Теорема
доказана.
1.2. Устойчивость решения задачи по начальным данным и правой части. Поня-
тие устойчивости является составной частью понятия корректности дифференциальной зада-
чи и в общем случае означает непрерывную зависимость решения от входных данных ϕ, т.е.
существование такой постоянной ρ > 0, не зависящей от решения и входных данных, что для
всех ϕ,
ϕ из некоторого допустимого множества выполняется оценка
∥ũ-u∥1 ≤ρ
ϕ - ϕ∥2,
где ∥ · ∥1,
∥ · ∥2 - некоторые нормы, ũ - решение той же задачи с возмущёнными входными
данными
ϕ.
Наиболее часто в качестве константы ρ выбирается одна из величин: ρ = 1 или ρ = ecT ,
c = const > 0. В первом случае имеет место глобальная устойчивость при любом t ∈ [0,∞),
во-втором - лишь до конечного момента времени.
Оценки глобальной устойчивости решения задачи вида (1)-(3), по-видимому, впервые по-
лучены в работе [22].
В данном пункте исследуется устойчивость решения задачи при неоднородных граничных
условиях при условии, что это решение существует, единственно и обладает в области QT
всеми необходимыми непрерывными производными.
Теорема 2. Решение задачи (1)-(3) устойчиво по начальным данным, правой части, и
для всех t имеет место априорная оценка
∫
t
∂
2
ρ2
(ũ - u)
+ ∥ũ(t) - u(t)∥2A ≤ ρ2∥ũ0 - u0∥2L
+
f (t) - f(0)∥2 dt.
(5)
2
(0,l)
∂t
L2(0,l)
0
Оценка (5) получается с помощью применения стандартной техники метода энергетических
неравенств.
2. Гиперболо-параболическое уравнение с постоянными коэффициентами.
2.1. Постановка задачи и разностная схема. В области QT рассмотрим начально-
краевую задачу (1)-(3) с постоянными коэффициентами ρ1, ρ2, k.
На равномерной сетке узлов ω = ωh × ωτ = {(xi, tn) ∈ QT }, где ωh = {xi = ih, 0≤i≤N,
h = l/N} = ωh
⋃ {0, l} и ωτ = {tn = nτ, 0 ≤ n ≤ N0, τ = T/N0} = ωτ
⋃ {0}, заменим
дифференциальную задачу разностной схемой с весами
h2
h2
ρ1ytt + ρ1
yttxx + ρ2y˚t+ ρ2
y
= ky(σ,σ)xx + ϕ, (x,t) ∈ ω,
(6)
txx
12
12
y(x, 0) = u0(x), x ∈ ωh, yt(x, 0) = u1(x), x ∈ ωh,
(7)
y(0, t + τ) = μ1(t + τ), y(l, t + τ) = μ2(t + τ), t ∈ ωτ ,
(8)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
1287
где
v = v(xi,tn) = vni ,
v=vn+1i,
v=vn-1i, vi±1 =vni±1,
v - 2v + v
v-v
vi+1 - 2vi + vi-1
vtt =
,
,
vxx =
,
τ2
v◦t=
2τ
h2
2
h
v(σ,σ) = σv + (1 - 2σ)v + σv = v + στ2vtt, σ ≥ 0, ϕ = f +
fxx,
12
τ
u1(x) = u0 +
[ku′′0 - ρ2u0 + f(x, 0)].
2ρ1
Пользуясь разложениями (см. [17, гл. II; 23, гл. VII])
2
∂2v
h
∂4v
∂2v
τ2 ∂4v
∂v
τ2 ∂3v
vxx =
+
+ O(h4), vtt =
+
+ O(τ4), v˚t =
+
+ O(τ4),
∂x2
12 ∂x4
∂t2
12 ∂t4
∂t
6 ∂t3
невязку
2
h
h2
Ψ = -ρ1utt -
ρ1uttxx - ρ2u˚t-
ρ2u˚txx + ku(σ,σ)xx + ϕ
12
12
разностного уравнения (6) можно записать в виде
(
)
2
h
∂2
∂2u
∂u
∂2u
Ψ=
-ρ1
-ρ2
+k
+f
+ O(h4 + τ2),
12 ∂x2
∂t2
∂t
∂x2
откуда следует
∥Ψ∥ ≤ M(h4 + τ2), M = const > 0.
(9)
Аналогично для погрешности аппроксимации второго начального условия в (7) имеет место
оценка
∥Ψ∥ = ∥u1 - u0t∥ ≤ M1τ2, M1 = const > 0.
(10)
2.2. Устойчивость по начальным данным и правой части. Для исследования этих
вопросов нам понадобятся следующие утверждения.
Лемма [17, гл. II]. Для всякой функции y(x), заданной на равномерной сетке
ωh = {xi = ih, i = 0,N, x0 = 0, xN = l}
и обращающейся в нуль при x = 0 и x = l, справедливы оценки
λ1∥y∥2 ≤ ∥yx]|2 ≤ λN-1∥y∥2,
где
4
πh
8
4
πh
4
λ1 =
sin2
≥
и λN-1 =
cos2
<
h2
2l
l2
h2
2l
h2
Заметим, что выражение
k
Qn = ρ1∥yt∥2 + c1τ2∥ytx]|2 +
(∥yx]|2 + ∥yx]|2),
2
где c1 = σ - 1/2 - ρ1h2/(12τ2), при выполнении условия
2
1
h
σ≥
+ρ1
(11)
2
12τ2
неотрицательно.
С учётом выражения
(
)
ŷ+y
1
y(σ,σ) =
+ σ-
τ2ytt
2
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1288
МАТУС и др.
разностную схему (6) можно представить в виде
(
)
1
h2
h2
ŷxx + yxx
ρ1ytt - σ -
-ρ1
τ2yttxx + ρ2y˚t+ ρ2
=k
+ ϕ.
(12)
y
txx
2
12τ2
12
2
Умножая (12) скалярно на 2τy˚t и применяя первую разностную формулу Грина и лемму,
получаем следующие оценки:
(
)
yt - yt
2τ(y˚t, ρ1ytt) = ρ1τ yt + yt,
= ρ1∥yt∥2 - ρ1∥yt∥2,
(13)
τ
(
(
)
) (
)
1
h2
1
h2
−2τ y˚t, σ -
-ρ1
τ2yttxx
= σ-
-ρ1
τ2(∥ytx]|2 - ∥ytx]|2),
(14)
2
12τ2
2
12τ2
2τ(y˚t, ρ2y˚t) = 2ρ2τ∥y˚t∥2,
(15)
(
)
h2
τh2
2τ
2τ y˚t, ρ2
= -ρ2
∥y˚tx]|2
≥ -ρ2
∥y˚t]|2,
(16)
y
txx
12
6
3
(
)
ŷxx + yxx
k
k
k
2τ y˚t, k
=
(ŷ- y, ŷxx + yxx) = -
(∥ŷx]|2 + ∥yx]|2) +
(∥yx]|2 + ∥yx]|2),
(17)
2
2
2
2
τ
2τ(y˚t, ϕ) ≤ τρ2∥y˚t∥2 +
∥ϕ∥2.
(18)
ρ2
Из (12)-(18) приходим к соотношению
ρ2
τ
τ ∥y˚t∥2 + Qn+1 ≤ Qn +
∥ϕn∥2,
3
ρ2
или
τ
Qn+1 ≤ Qn +
∥ϕn∥2.
ρ2
Тем самым доказана
Теорема 3. Пусть выполнено условие (11). Тогда разностная схема (6)-(8) абсолютно
устойчива по начальным данным, правой части, и для её решения имеет место априорная
оценка
∑
τ
Qn+1 ≤ Q1 +
∥ϕk∥2.
(19)
ρ2
k=1
2.3. Сходимость разностной схемы. Подставив z + u в (6)-(8) вместо y, где u -
решение задачи (1)-(3), получаем для погрешности z задачу
h2
h2
ρ1ztt + ρ1
zttxx + ρ2z˚t+ ρ2
= kz(σ,σ)xx + Ψ, (x,t) ∈ ω,
z
txx
12
12
z(x, 0) = 0, x ∈ ωh, zt(x, 0) =Ψ, x ∈ ωh,
z(0, t + τ) = 0, z(l, t + τ) = 0, t ∈ ωτ .
Имеет место следующая
Теорема 4. Пусть выполнено условие (11). Тогда решение разностной схемы (6)-(8) схо-
дится к точному решению дифференциальной задачи (1)-(3) и имеет место оценка
max ∥yn - un∥C ≤ M2(h4 + τ2), M2 = const > 0.
tn∈ωτ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
1289
Доказательство. Применим теорему 3 для оценки погрешности метода. Тогда из оце-
нок (9), (10), неравенства (19) и из неравенства теоремы вложения [17, гл. II]
√
l
∥y∥C ≤
∥yx]|
2
получим следующую оценку:
√
√
√
{
}
l
∥yn - un∥C ≤
√ρ1∥Ψ∥ + τ c1 +k∥Ψx]| +T
max ∥Ψ(t)∥
≤ M2(h4 + τ2).
2k
2
ρ2
t∈ωτ
Следовательно, разностное решение сходится к точному решению с четвёртым порядком по
пространству и вторым по времени. Теорема доказана.
Замечание 1. Заменяя разностное уравнение (6) уравнением
(
)
)
ρ22 τ2
(h2
k τ2
ρ1 +
ytt + ρ2y˚t+ ρ2
-
= ky(σ,σ)xx + ϕ
(20)
y
txx
ρ1
12
12
ρ1 12
и аппроксимацию второго начального условия в (7) разностным уравнением
(
)
)
)
τ
τ2
τ3
(τ
τ2
τ3
(τ2
τ3
τ3
yt(x,0) = u1(x) =
1-
+
-
u0(x) +
-
+
u′′0 +
-
u′′0 +
u(4)0 +
2
6
24
2
6
24
6
12
24
)
)
2
(τ
τ
τ3
(τ2
τ3
)∂f
τ3
(∂2f
∂2f
+
-
+
f (x, 0) +
-
(x, 0) +
+
(x, 0), x ∈ ωh,
(21)
2
6
24
6
24
∂t
24
∂x2
∂t2
где
(
)
2
1
ρ
1
h
h2
τ2
ρ2 τ2
σ=
1-
,
ϕ=f+
fxx +
ftt +
,
f
t
12
k τ2
12
12
ρ1 12
получаем схему с четвёртым порядком аппроксимации Ψ = O(h4 + τ4). Легко доказать, что
разностная схема (20) с разностными условиями (7), (8), (21) устойчива при γ = aτ/h = 1,
√
a =
k/√ρ1, т.е. при τ = (√ρ1/√k)h. Отсюда следует, что если число ρ1 = 0 (остаётся
только параболическое уравнение), то устойчивость есть только при τ = 0. Таким образом,
схема четвёртого порядка аппроксимации для параболического уравнения всегда неустойчива.
Замечание 2. Далее обобщаем компактные разностные схемы 4 + 2 порядка аппроксима-
ции на другие случаи гиперболо-параболического уравнения, такие как уравнение с перемен-
ным коэффициентом, квазилинейные и многомерные уравнения.
а. Уравнение с переменным коэффициентом. Рассмотрим дифференциальную задачу (1)-
(3) с переменным коэффициентом k(x, t) ≥ k1 > 0. На равномерной сетке ω следующая
разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком погрешности O(h4 + τ2):
h2
h2
ρ1ytt + ρ1
Λ(qytt) + ρ2y˚t+ ρ2
Λ(qy˚t) = Λy(σ,σ) + ϕ, (x, t) ∈ ω,
12
12
y(x, 0) = u0(x), x ∈ ωh, yt(x, 0) = u1(x), x ∈ ωh,
y(0, t + τ) = μ1(t + τ), y(l, t + τ) = μ2(t + τ), t ∈ ωτ ,
где
1
Λy = (ayx)x, a = a(x, t) = 6[q(x - h, t) + 4q(x - h/2, t) + q(x, t)]-1, q =
,
k
2
h
τ
ϕ=f +
Λ(qf), u1(x) = u0(x) +
([k(x, 0)u′0(x)]′ - ρ2u0(x) + f(x, 0)).
12
2ρ1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1290
МАТУС и др.
б. Квазилинейное уравнение. В области QT для квазилинейного гиперболо-параболическо-
го уравнения
∂2u
∂u
ρ1
+ρ2
= Lφ(u) + f(x,t), x ∈ Ω, t ∈ (0,T],
(22)
∂t2
∂t
рассмотрим начально-краевую задачу (2), (3) с условием φ′u = k(u) ≥ k1 > 0. Здесь Lv =
= ∂2v/∂x2, ρ1 > 0, ρ2 ≥ 0.
На сетке узлов ω напишем для дифференциальной задачи (22), (2), (3) следующую ком-
пактную разностную схему с весами:
h2
h2
ρ1ytt + ρ1
yttxx + ρ2y˚t+ ρ2
= (φ(y))(σ,σ)xx + ϕ, (x, t) ∈ ω,
(23)
y
txx
12
12
y(x, 0) = u0(x), x ∈ ωh, yt(x, 0) = u1(x), x ∈ ωh,
(24)
y(0, t + τ) = μ1(t + τ), y(l, t + τ) = μ2(t + τ), t ∈ ωτ ,
(25)
где
2
h
ϕ=f +
fxx,
12
τ
u1(x) = u0(x) +
[Lφ(u0(x)) - ρ2u0(x) + f(x, 0)].
2ρ1
Аналогично случаю с постоянными коэффициентами нетрудно показать, что для погреш-
ности аппроксимации разностной схемы (23)-(25) имеют место оценки
∥Ψ∥ ≤ M1(h4 + τ2),
∥Ψ∥ ≤ M2τ2, M1, M2 - положительные константы.
Для реализации этой схемы необходимо использовать итерационный метод Ньютона.
в. Многомерные уравнения. Пусть G = {x = (x1, . . . , xp),
0 ≤ xα ≤ lα, α = 1,p} является
p-мерным прямоугольным параллелепипедом с границей Γ , т.е. G = G
⋃ Γ. В цилиндре QT =
= G × [0 ≤ t ≤ T] для многомерного гиперболо-параболического уравнения
∑
∂2u
∂u
ρ1
+ρ2
= Lαu + f(x,t), x ∈ G, t ∈ (0,T],
(26)
∂t2
∂t
α=1
рассмотрим смешанную задачу
∂u
u(x, 0) = u0(x), x ∈ G,
(x, 0) = u0(x), x ∈ G,
(27)
∂t
u(x, t) = μ(x, t), x ∈ Γ, t ∈ (0, T ],
(28)
где
(
)
∂
∂u
Lαu =
kα
,
∂xα
∂xα
kα - положительные постоянные, α = 1,p.
В параллелепипеде G построим разностную сетку ωh = {xi = (i1h1, . . . , iphp), iα = 0, Nα,
hα = lα/Nα, α = 1,p} = ωh
⋃γh и равномерную сетку ωτ = {tn = nτ, n = 0,N0, τN0 = T}.
Сетка ωh равномерна по каждой из пространственных переменных. Здесь γh = {xi ∈ Γ} -
множество узлов сетки ωh, которые принадлежат границе Γ. На построенной сетке ω = ωh ×
× ωτ исходную задачу (26)-(28) аппроксимируем компактной разностной схемой
∑
∑
h2α
h2α
ρ1ytt + ρ1
Λαytt + ρ2y˚t+ ρ
2
Λαy˚t=
12
12
α=1
α=1
∑
∑
h2α
= Λαy(σ,σ) +
ΛαΛβy(σ,σ) + ϕ, (x,t) ∈ ω,
(29)
12
α=1
α,β=1
α=β
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
1291
y(x, 0) = u0(x), x ∈ ωh, yt(x, 0) = u1(x), x ∈ ωh,
(30)
y(x, t + τ) = μ(x, t + τ), x ∈ γh, t ∈ ωτ ,
(31)
где
]
∑
[ p∑
h2α
τ
Λαf, u1(x) = u0(x) +
Lαu0(x) - ρ2u0(x) + f(x,0) .
Λαy = kαyxαxα , ϕ = f +
12
2ρ1
α=1
α=1
Легко показать, также как и в рассмотренных выше случаях, что разностная схема (29)-
(31) аппроксимирует исходную задачу (26)-(28) с четвёртым порядком относительно простран-
ственных переменных и со вторым относительно временной, т.е.
√
∥Ψ∥ ≤ M1(|h|4 + τ2),
∥Ψ∥ ≤ M2τ2,
|h| = h21 + h22 + . . . + h2p,
M1, M2 - положительные константы.
Компактные разностные схемы 4+2 порядка аппроксимации для уравнения с переменным
коэффициентом и квазилинейного уравнения в многомерном случае строятся так же, как и в
работах [15, 16].
3. Тестовые расчёты. В этом пункте приводятся результаты численных расчётов при ре-
шении начально-краевой задачи (1)-(3) для гиперболо-параболического уравнения с постоян-
ными коэффициентами. Начальные и краевые условия, правая часть уравнения определяются
из точного решения
u(x, t) = et+x + et-x.
Здесь параметры задачи выбираются следующими: ρ1 = ρ2 = 1/2, k = 1, l = T = 1.
Через ∥z∥L∞ и ∥z∥L2 обозначим в нормах L∞ = C и L2 погрешность метода, полученную
на последнем временном слое tn = T :
)1/2
(N-1∑
∥z∥L∞ = max
|yi - ui|,
∥z∥L2 =
h|yi - ui|2
0≤i≤N
i=1
На рисунке численное решение и погрешность получены при σ = 1, h = 0.025 и τ =
= 0.03125.
(а)
(б)
Рисунок. Численное решение (а) и погрешность (б) метода.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
1292
МАТУС и др.
Порядок скорости сходимости по пространственной (ph) и временной (pτ ) переменным
определяется по следующим формулам:
∥z(2h, τ)∥
∥z(h, 2τ)∥
ph
= log2
,
pτ
= log2
(32)
∥z(h, τ)∥
∥z(h, τ)∥
Полученные результаты расчётов представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1. Скорость сходимости по временному направле-
нию (h = 0.0005)
τ = 0.125
∥z∥L∞
pτL∞
∥z∥L2
pτL2
τ
1.35E-02
-
9.69E-03
-
τ /21
3.12E-03
2.11653
2.32E-03
2.06053
τ /22
7.75E-04
2.00861
5.63E-04
2.04528
τ /23
1.93E-04
2.00648
1.39E-04
2.01826
τ /24
4.81E-05
2.00472
3.45E-05
2.00731
τ /25
1.20E-05
2.00222
8.62E-06
2.00325
Таблица 2. Скорость сходимости по пространственному направлению
h = 0.01
τ = 0.1
∥z∥L∞
phL∞
∥z∥L2
phL2
h
τ
8.58E-03
-
6.14E-03
-
h/21
τ /41
4.95E-04
4.1163
3.58E-04
4.0992
h/22
τ /42
3.07E-05
4.00832
2.21E-05
4.019
h/23
τ /43
1.92E-06
4.00279
1.38E-06
4.00361
h/24
τ /44
1.20E-07
3.99829
8.62E-08
3.99816
h/25
τ /45
8.07E-09
3.89302
5.80E-09
3.89234
При рассмотрении порядка скорости сходимости по τ (табл. 1) в расчётах учитывалось
выполнение неравенства h4 ≤ τ2, в результате чего можно было применять второе правило
Рунге (32).
Так как разностное решение сходится к точному решению с четвёртым порядком по h
и вторым по τ, то при рассмотрении порядка скорости сходимости по пространственному
значению (табл. 2) шаги h и τ либо уменьшаются в два и четыре раза соответственно, либо
выбираются так, чтобы выполнялось неравенство h4 ≥ τ2. Тогда можно применить первое
правило Рунге (32).
Значения порядка p, представленные в табл. 2, близки к четвёртому. Это означает, что
построенная схема имеет четвёртый порядок точности по пространственной переменной.
Таким образом, проведённые тестовые расчёты согласуются с теоретическими выводами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of Mathematical Physics. Dover; New York, 1990.
2. Huang Ya., Yin Zh. The compact finite difference method of two-dimensional Cattaneo model // J.
Funct. Spaces. 2020. V. 1. P. 1-12.
3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями.
Минск, 1998.
4. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа
// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 991-1001.
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разностные схемы для задачи
о сопряжении уравнений гиперболического и параболического типов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39.
№ 4. С. 954-962.
6. Korzyuk V.I., Lemeshevskii S.V., Matus P.P. Conjugation problem about jointly separate flow of
viscoelastic and viscous fluids in the plane duct // Math. Model. Anal. 1999. V. 4. № 1. P. 114-123.
7. Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Задача сопряжения о совместно-раздельном течении
вязкоупругой и вязкой жидкостей в плоской трубе // Докл. НАН Беларуси. 2000. Т. 44. № 2. С. 5-8.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ТРЁХТОЧЕЧНОМ ШАБЛОНЕ
1293
8. Четверушкин Б.Н., Морозов Д.Н., Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Об одной
явной схеме для решения задач фильтрации // Мат. моделирование. 2010. Т. 22. № 4. P. 99-109.
9. Врагов В.Н. О смешанной задаче для одного класса гиперболо-параболических уравнений // Докл.
АН СССР. 1975. Т. 224. № 2. С. 273-276.
10. Vong S.W., Pang H.K., Jin X.Q. A high-order difference scheme for the generalized Cattaneo equation
// East Asian J. Appl. Math. 2012. V. 2. № 2. P. 170-184.
11. Zhao X., Sun Z.Z. Compact Crank-Nicolson schemes for a class of fractional Cattaneo equation in
inhomogeneous medium // J. Sci. Comput. 2015. V. 62. № 3. P. 747-771.
12. Самарский А.А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопровод-
ности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. № 5. С. 812-840.
13. Валиуллин А.Н., Паасонен В.И. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности
для многомерного уравнения колебаний // Численные методы механики сплошной среды. 1970.
Т. 1. № 1. С. 17-30.
14. Матус П.П., Утебаев Б.Д. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических урав-
нений // Мат. моделирование. 2021. Т. 33. № 4. С. 60-78.
15. Матус П.П., Хоанг Тхи Киеу Ань. Компактные разностные схемы на трёхточечном шаблоне для
гиперболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 963-975.
16. Матус П.П., Хоанг Тхи Киеу Ань. Компактные разностные схемы для многомерного уравнения
Клейна-Гордона // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 120-138.
17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1989.
18. Lapinska-Chrzczonowicz M., Matus P. Exact difference scheme and difference scheme of higher order of
approximation for a convection-diffusion equation. I // Ann. UMCS. Informatica AI. 2013. V. 13. № 1.
P. 37-51.
19. Матус П.П., Чурбанова Н.Г., Щадинский Д.А. О роли законов сохранения и входных данных при
возникновении режимов с обострением в квазилинейных многомерных параболических уравнениях
с нелинейным источником и их аппроксимациях // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 7. С. 981-
989.
20. Йованович Б.С., Матус П.П. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных урав-
нений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1371-1377.
21. Wloka J. Partial Differential Equations. Cambridge, 1987.
22. Jovanovic B., Lemeshevsky S., Matus P. On the stability of differential-operator equations and operator-
difference schemes as t → ∞ // Comput. Meth. Appl. Math. 2002. V. 2. № 2. P. 153-170.
23. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск,
1973.
Институт математики НАН Беларуси,
Поступила в редакцию 22.05.2022 г.
г. Минск,
После доработки 22.05.2022 г.
Католический университет имени Иоанна-Павла II,
Принята к публикации 05.07.2022 г.
г. Люблин, Польша,
Белорусский государственный университет,
г. Минск
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№9
2022
9∗
