ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 9, с.1294-1296

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.977.5

ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКЕ

НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

Предложен метод решения задачи апостериорного оценивания начального состояния ли-

нейной сингулярно возмущённой динамической системы.

DOI: 10.31857/S0374064122090138, EDN: JTNAYU

Пусть поведение динамической системы на конечном промежутке времени T = [0, t₁] опи-

сывается уравнениями

y=A₁y+A₂z, μ₀Ż=A₃y+A₄z,

(1)

где y ∈ Rⁿ, z ∈ R^m, A₁, A₂, A₃, A₄ - постоянные матрицы соответствующих размеров,

μ₀ - некоторый малый положительный параметр. Будем считать, что матрица A₄ является

устойчивой (действительные части всех её собственных значений отрицательны).

Предположим, что начальное состояние y(0) = y₀, z(0) = z₀ системы (1) неизвестно и

принадлежит множеству X₀, которое имеет вид

X₀ = {(y₀,z₀) : y₀ ∈ Rⁿ, z₀ ∈ R^m, c_∗ ≤ y₀ ≤ c^∗, d_∗ ≤ z₀ ≤ d^∗},

где c_∗, c^∗ и d_∗, d^∗ - заданные векторы из пространств Rⁿ и R^m соответственно.

Множество X₀ назовём априорным распределением начального состояния системы (1).

Далее за поведением системы будем следить с помощью выходных сигналов измеритель-

ного устройства

w(t) = l′1y(t) + l′2z(t) + χ(t),

(2)

которое в каждый момент времени t ∈ T с ошибкой χ(t) измеряет проекцию состояния

(y(t), z(t)) системы (1) на направление (l₁, l₂), l₁ ∈ Rⁿ, l₂ ∈ R^m (символ "штрих"в формуле (2)

означает операцию транспонирования). Отметим, что ошибками измерения χ(t), t ∈ T, могут

быть любые кусочно-непрерывные функции, удовлетворяющие неравенствам

χ_∗ ≤ χ(t) ≤ χ∗, t ∈ T.

Пусть из устройства (2) принят сигнал w(t), t ∈ T, в котором содержится информация о

начальном состоянии (y₀, z₀), позволяющая уменьшить исходную неопределённость, т.е. вме-

сто априорного распределения начального состояния, принадлежащего множеству X₀, рас-

сматриваем апостериорное распределение, принадлежащее множеству X(t₁). Оно включает

те и только те элементы (y₀, z₀) ∈ X₀, которые способны вместе с некоторыми допустимыми

ошибками измерения породить наблюдаемый сигнал w(t), t ∈ T.

Множество X(t₁) в общем случае имеет сложную структуру. Однако в конкретных зада-

чах оптимизации системы (1) достаточно знать лишь определённые числовые характеристики

этого множества. Одной из таких важнейших характеристик является его протяжённость в

направлении заданного вектора (h₁, h₂), h₁ ∈ Rⁿ, h₂ ∈ R^m, т.е.

max{h′1y₀ + h′2z₀}, (y₀, z₀) ∈ X(t₁).

(3)

Опишем метод решения задачи (3).

1294

ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКЕ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ

1295

Пусть решение (y(t), z(t)), t ∈ T, системы (1) с начальным состоянием y(0) = y₀, x(0) =

= z₀ имеет вид

y(t) = F₁(t)y₀ + F₂(t)z₀, z(t) = F₃(t)y₀ + F₄(t)z₀,

где F_i(t), i = 1, 4, t ∈ T, - матрицы размеров n × n, n × m, m × n, m × m соответственно,

удовлетворяющие дифференциальному уравнению

⎛

⎞

)

A₁

A₂

(

)

⁽F₁

⎜

⎟

F₁

F₂

⎝₁

⎠

(4)

F₃

F₄

A₃

A₄

μ₀

(

)

F₁(0) F₂(0)

причём

=En+m.

F₃(0) F₄(0)

Тогда задачу (3) можно представить следующим образом:

ϕ₀(y₀,z₀) = h′1y₀ + h′2z₀ → max,

b_∗(t) ≤ a′1(t)y₀ + a′2(t)z₀ ≤ b^∗(t), t ∈ T,

c_∗ ≤ y₀ ≤ c^∗, d_∗ ≤ z₀ ≤ d^∗,

(5)

где b_∗(t) = w(t) - χ^∗, b^∗(t) = w(t) - χ_∗, a′1(t) = l′1F₁(t) + l′2F₃(t), a′2(t) = l′1F₂(t) + l′2F₄(t),

t∈T.

Задача (5) является линейной полубесконечной экстремальной задачей с конечным числом

переменных и континуумом ограничений. Метод решения подобных задач описан в работе [1].

Начальное состояние (y₀, z₀) назовём решением задачи (5), если на нём выполняются огра-

ничения и целевая функция достигает максимума. Построение этого состояния (y₀, z₀) явля-

ется сложной экстремальной задачей.

Отметим, что в общем случае начальное состояние (y₀, z₀) зависит от параметра μ0 (y0 =

= y₀(μ₀),

z₀ = z₀(μ₀)).

Исходя из поставленной задачи и следуя основному принципу асимптотических методов

решения таких задач, вместо одной системы (1) с фиксированным значением параметра μ₀

рассматривается семейство систем

y=A₁y+A₂z, μŻ=A₃y+A₄z

(6)

при μ → 0.

Тогда задача (5) примет следующий вид:

ϕ(y₀, z₀) = h′1y₀ + h′2z₀ → max,

b_∗(t) ≤ a′1(t,μ)y₀ + a′2(t,μ)z₀ ≤ b^∗(t), t ∈ T,

c_∗ ≤ y₀ ≤ c^∗, d_∗ ≤ z₀ ≤ d^∗,

(7)

где b_∗(t) = w(t) - χ^∗, b^∗(t) = w(t) - χ_∗, a′1(t, μ) = l′1F₁(t, μ) + l′2F₃(t, μ), a′2(t, μ) = l′1F₂(t, μ) +

+l′2F₄(t,μ), t ∈ T; F_i(t,μ), 1 ≤ i ≤ 4, - матрицы соответствующих размерностей, удовлетво-

ряющие дифференциальному уравнению (4) с заменой в нём параметра μ₀ на μ (μ > 0).

В данном случае применение метода, описанного в работе [1], вызывает серьёзные труд-

ности, поскольку система дифференциальных уравнений (6) при малом μ является жёст-

кой (см. [2, с. 11-19]). В связи с этим предлагается использовать метод декомпозиции задачи

(7) на две задачи меньшей размерности [3, с. 39-53].

Определение. Вектор (y₀, z₀),

y₀ ∈ Rⁿ, z0 ∈ Rm, назовём решением задачи (7), если:

1) найдётся число ε > 0 (ε → 0) такое, что |ϕ(y₀, z₀) - ϕ₀(y₀, z₀)| ≤ ε;

2) max{a′1(t, μ)y0 + a′2(t, μ)z0 - b∗(t), b∗(t) - a′1(t, μ)y0 - a′1(t, μ)z0, 0} = O(μ);

t∈T

3) c_∗ ≤ y₀ ≤ c^∗, d_∗ ≤ z₀ ≤ d^∗.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022

1296

КРАХОТКО, РАЗМЫСЛОВИЧ

Применив метод пограничных функций [3, с. 11-16], получим

a′1(t,μ)y₀ + a′1(t,μ)z₀ = (l′1 - l′2A-14A₃)F₀(t)y₀ + l′2G(s)A-14A₃y₀ + l′2G(s)z₀ + η(t,μ),

где max|η(t, μ)| = O(μ); F0(t), t ∈ T, G(s), s = t/μ, s ≥ 0, - матричные функции размеров

t∈T

n × n и m × m соответственно, являющиеся решением начальных задач

0 = (A1 - A2A⁴¹A3)F0, F0(0) = En;

= A₄G, G(0) = E_m.

(8)

Заметим, что в силу уравнения (8) и того, что матрица A₄ является устойчивой, имеет

место оценка ||G(s)|| ≤ α exp(-βs), s ≥ 0, где α, β - некоторые положительные числа. Тогда

найдётся число s^∗ > 0 такое, что ||l′2G(s)|| ≤ μ при s ≥ s^∗.

На первом этапе алгоритма с помощью метода, описанного в статье [1], решается следую-

щая задача:

h′1y₀ → max,

b_∗(t) ≤ (l′1 - l′2A-14A₃)F₀(t)y₀ ≤ b^∗(t), t ∈ [μs^∗,t₁],

c_∗ ≤ y₀ ≤ c^∗.

(9)

Отметим, что подобная задача была решена в работе [4].

Второй этап алгоритма состоит в решении задачи

h′2z₀ → max,

b_∗(μ,s) - g(s) ≤ l′2G(s)z₀ ≤ b^∗(μ,s) - g(s), s ∈ [0,s^∗],

d_∗ ≤ z₀ ≤ d^∗,

(10)

где g(s) = l′2G(s) = A-14 y₀ + (l′1 - l′2A-14A₃)y₀.

Считаем, что решения y₀ и z₀ задач (9) и (10) соответственно являются невырожденны-

ми (см. [1]).

Нетрудно убедиться в том, что вектор (y₀, z₀) есть решение задачи (7).

Пусть τ - текущий момент времени из промежутка T. Предположим, что к этому момен-

ту записан сигнал измерительного устройства w(t), t ∈ [0, τ]. Устройство, решающее задачу

в режиме реального времени, где вместо T берётся T (τ) = [0, τ], назовём оптимальным

эстиматором для системы (1). Алгоритм работы оптимального эстиматора описан в [1], од-

нако в данном случае реализация этого алгоритма затруднена из-за жёсткости интегрирования

систем, поэтому имеет смысл ограничиться построением оптимального эстиматора по пред-

ложенной выше схеме. Для решения задач вида (9), (10) в режиме реального времени, где

вместо значения t₁ берётся τ ∈ [μs^∗, t₁], можно использовать алгоритм, описанный в книге

[2, с. 142-200].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Габасов Р., Кирилова Ф.М., Костюкова О.И. Построение оптимальных эстиматоров для линейных

динамических систем // Вестн. Белорусского ун-та. Сер. 1. 1992. № 2. С. 45-49.

2. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жёстких систем.

М., 1979.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых

уравнений. M., 1973.

4. Крахотко В.В., Размыслович Г.П. Построение асимптотического решения задачи оптимального

наблюдения квазилинейной дифференциально-алгебраической системы // Дифференц. уравнения.

2017. Т. 53. № 2. С. 264-269.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 26.05.2022 г.

г. Минск

После доработки 05.08.2022 г.

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№9

2022