ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.4-14
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.95+517.984
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
НЕЛОКАЛЬНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО
УРАВНЕНИЯ l(·) - A С ОПЕРАТОРОМ ТРИКОМИ A
© 2023 г. Б. Е. Кангужин, Б. Д. Кошанов
Исследуется вопрос единственности решения регулярной по времени задачи для диффе-
ренциально-операторного уравнения l(·) - A с оператором Трикоми A. Порядок диф-
ференциального выражения l(·) считается произвольным натуральным числом n, а ре-
гулярные краевые условия задаются по временной переменной t. Оператор A является
порождённым уравнением Трикоми Av(·) = yvxx(·) + vyy(·). Граничные условия для опе-
ратора Трикоми задаются условием Дирихле на эллиптической части и дробными произ-
водными следами решения вдоль характеристик. Указывается, что данный оператор явля-
ется самосопряжённым оператором в пространстве L2(Ω). Самосопряжённость оператора
A гарантирует существование полной ортонормированной в L2(Ω) системы собственных
функций, если Ω - область, ограниченной кривой Ляпунова и характеристиками волново-
го уравнения.
DOI: 10.31857/S0374064123010028, EDN: OBOZON
Введение. Основным вопросом, изучаемым в настоящей статье, является вопрос един-
ственности решения уравнения вида
∑
∂nu(x, y; t)
∂n-ju(x,y;t)
+ pj(t)
=
∂tn
∂tn-j
j=1
∂2u(x,y;t)
∂2u(x,y;t)
=y
+
+ f(x,y;t), (x,y) ∈ Ω,
0<t<T,
(1)
∂x2
∂y2
с регулярными краевыми условиями по t
Uν(u(x,y;·)) = 0, ν = 1,n, (x,y) ∈ Ω,
(2)
и с условиями по (x,y)
(
)2
1
4
1
u(x, y; t)|σ0 = 0, σ0 : x -
+
y3 =
,
(3)
2
9
4
x5/6D1/60+(u(χ0(x);t)x-2/3) + (1 - x)5/6D1/61-(u(χ1(x);t)(1 - x)-2/3) = 0,
(4)
где
u(χ0(x); t) = u(x, -[3x/2]2/3; t),
0 ≤ x ≤ 1/2,
u(χ1(x); t) = u(x, -[3(1 - x)/2]2/3; t),
1/2 ≤ x ≤ 1,
0<t<T.
Здесь Ω - конечная двумерная область, ограниченная при y > 0 кривой Ляпунова σ, окан-
чивающейся в окрестности точек O(0, 0) и B(1, 0) малыми дугами “нормальной кривой”
(
)2
1
4
1
σ0 : x -
+
y3 =
,
2
9
4
4
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
5
а при y < 0 - характеристиками
2
2
OC : x -
(-y)3/2 = 0, BC : x +
(-y)3/2 = 1.
3
3
Граничные условия задаются с помощью дробных производных Римана-Лиувилля [1, с. 87]
∫
x
∫
1
g(t)
g(t)
D1/60+g(x) =d
dt, D1/61-g(x) = -d
dt.
dx
(x - t)1/6
dx
(t - x)1/6
0
x
Главная цель настоящей статьи - установить критерий единственности решения задачи
(1)-(4). Известны различные способы доказательства единственности. Обычно эффективным
средством доказательства единственности является принцип максимума [2, с. 411] и его раз-
личные обобщения (принцип Хопфа [3, с. 115] и Зарембы-Жиро [4, с. 85]). Для задачи (1)-(4)
указанные принципы не выполняются. Поэтому нам необходим другой, отличный от принципа
экстремума, метод.
В работе В.А. Ильина [5] предложен довольно универсальный способ доказательства един-
ственности решения для гиперболических и параболических уравнений при довольно общих
ограничениях на область Ω. Смысл требований теоремы В.А. Ильина [5] заключается в том,
что эллиптическая часть гиперболического и параболического операторов обладает полной
ортогональной системой собственных функций в соответствующем функциональном прост-
ранстве.
В данной статье оператор L, соответствующий задаче (1)-(4), представляется в виде разно-
сти двух коммутирующих операторов A и B. Единственность решения гарантируется, когда
спектры операторов A и B не пересекаются и операторы A и B имеют полные системы кор-
невых элементов в соответствующих функциональных пространствах. При этом не требуется,
чтобы оператор B являлся самосопряжённым.
Отметим также работу И.В. Тихонова [6], посвящённую теоремам единственности реше-
ний линейных нелокальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений. Указанная
работа интересна тем, что И.В. Тихонов предложил новый метод доказательства теорем един-
ственности, основанный на “методе частных” для целых функций экспоненциального типа.
В статье [7] изучался вопрос единственности решения уравнения теплопроводности с нело-
кальным условием, выраженным интегралом по времени на фиксированном отрезке. Авторам
удалось дать полное описание классов единственности в терминах поведения решений при
|x| → ∞. В данной статье метод И.В. Тихонова адаптирован для операторов, дифференци-
альная часть которых является оператором высокого порядка.
Исследуемый нами класс операторов вида L=B-A относится по терминологии А.А. Дези-
на [8] к операторам, порождаемым дифференциально-операторными уравнениями. В данной
статье исследуется единственность решения задачи (1)-(4) для дифференциально-оператор-
ного уравнения.
Вопросы разрешимости дифференциально-операторных уравнений изучались в работах
[9-13]. В.В. Шелухин [14, 15] исследовал задачу о прогнозе температуры океана по средним
данным за предшествующий период времени, которая также относится к классу дифферен-
циально-операторных уравнений.
1. О спектральных свойствах дифференциального оператора на отрезке. В дан-
ном пункте приведены спектральные свойства одномерного дифференциального оператора
высшего порядка. В функциональном пространстве L2(0, T ) рассмотрим оператор B, по-
рождённый дифференциальным выражением
dnw
dn-1w
l(w) ≡
+ p1(t)
+ ... + pn(t)w(t),
0<t<T,
dtn
dtn-1
c регулярными краевыми условиями
∑
[αkj w(k)(0) + βkjw(k)(T )] = 0, j = 1, n,
(5)
k=0
где pj (t) ∈ C(n-j)[0, T ], j = 1, n.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
6
КАНГУЖИН, КОШАНОВ
Напомним, какие краевые условия называются регулярными. Для этого обозначим через
S сектор комплексной плоскости ρ - плоскости, определённой неравенствами 0 ≤ argρ ≤
≤ π/n, и пусть ω1, ω2, ..., ωn - все различные корни n-й степени из -1, занумерованные
так, что для всех ρ ∈ S справедливы неравенства
Re(ρω1) ≤ Re (ρω2) ≤ ... ≤ Re(ρωn).
Известно [16], что краевые условия (5) можно привести к виду
∑
∑
U1(w)=w(j1)(0)+ (α1,kw(k)(0)+β1,kw(k)(T)), U2(w)=w(j1)(T)+ (α2,kw(k)(0)+β2,kw(k)(T)),
k=0
k=0
∑
U2m-1(w) = w(jm)(0) +
(α2m-1,kw(k)(0) + β2m-1,kw(k)(T )),
k=0
∑
U2m(w) = w(jm)(T) +
(α2m,kw(k)(0) + β2m,kw(k)(T )),
k=0
∑
U2m+1(w) = α1w(ν1)(0) + β1w(ν1)(T) +
(α2m+1,kw(k)(0) + β2m+1,kw(k)(T )),
k=0
∑
Un(w) = αrw(νr)(0) + βrw(νr)(T) +
(αn,mw(k)(0) + βn,mw(k)(T )),
k=0
среди чисел jk и νi нет двух одинаковых (0 ≤ jk ≤ n - 1, k = 1, m; 0 ≤ νi ≤ n - 1, i = 1,r;
2m + r = n, |αi| + |βi| = 0).
Регулярность краевых условий определяется различным образом, в зависимости от того
будет ли n нечётным или чётным.
Требование I. Предположим, что область определения оператора B задаётся регуляр-
ными в смысле Биркгофа краевыми условиями [17, с. 57]. Иначе говоря, в случае нечётного
n = 2p - 1 следующие два определителя отличны от нуля:
ωp1
0
0
ωj11
ωj1p-1
0
0
0
ωn1
ωj1p+1
ωpm
0
0
ωjm1
−1
θ0 =
,
0
0
0
ωnm
+1
β1ω1n
α1ων11
−1
+1
... βrωrnνr
−1
+1
0
0
0
ωj11
ωj1p-1
0
0
ωp1
ωn1
ωj1p+1
0
0
0
θ1 =
ωjm1
−1
,
0
0
ωpm
ωnm
+1
α1ων11
−1
+1
... β1ων1n
−1
+1
... βrωνrn
при этом i = 1, r, j = 1, n.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
7
Когда же n = 2p чётное, то определители
ωp1
0
0
0
ωj11
ωj1p-1
0
0
0
ωn1
ωj1p+1
ωj1p+2
ωpm
0
0
0
θ-1 =
ωjm1
−1
,
0
0
0
ωnm
+1
+2
α1ων11
α1ων11
+1
β1ων1p+2
... β1ων1n
−1
+1
βrωνrp+2
... βrωνrn
0
0
0
ωj11
ωj1p-1
ωj1p+1
0
0
ωp1
0
ωn1
ωj1p+2
0
0
0
θ1 =
ωjm1
−1
+1
0
0
ωpm
0
ωnm
+2
α1ων11
−1
+1
β1ων1p+2
... β1ων1n
−1
+1
βrωνrp+2
... βrωνrn
также отличны от нуля.
Введём фундаментальную систему решений {w1(t, λ), . . . , wn(t, λ)} однородного уравнения
l(ws) = λws(t, λ),
0<t<T,
удовлетворяющих условиям Коши в нуле
d(j-1)
ws(0,λ) = δj,s, j = 1,n, s = 1,n,
dt(j-1)
где δj,s - символ Кронекера. Заметим, что все решения {ws(t, λ), s = 1, n} являются целыми
функциями от λ.
Обозначим через Δ(λ) характеристический определитель, задаваемый формулой
Δ(λ) = det(Uν (wj )).
Нули характеристического определителя Δ(λ), с учётом их кратности, представляют собой
собственные значения оператора B.
Наконец, для полноты изложения приведём формулу Лагранжа [17].
Пусть U1, . . . , Un - линейно независимые формы переменных w(0), w′(0), . . . , w(n-1)(0),
w(T ), w′(T ), . . . , w(n-1)(T ). Дополним их какими-нибудь линейными формами Un+1,
..., U2n до линейно независимой системы 2n форм U1, U2, ..., U2n. Для любых линейно
независимых форм U1, U2, . . . , U2n существует единственный набор 2n линейных однород-
ных форм
V2n, V2n-1, ... , V1
относительно переменных R(0), R′(0), . . . , R(n-1)(0), R(T ), . . . , R(n-1)(T ) для произволь-
ной функций R(t) ∈ Wn2[0, T ]. Тогда формула Лагранжа для любых двух функций w(t) и
R(t) из Wn2[0, T ] запишется в виде
T
T
∫
∫
l(w(t))R(t) dt - w(t)l+(R(t)) dt = U1(w)V2n(R) + U2(w)V2n-1(R) + . . . + U2n(w)V1(R). (6)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
8
КАНГУЖИН, КОШАНОВ
Здесь l+(·) - формально сопряжённое дифференциальное выражение к выражению l(·), за-
данное как
∑
n-j
dnR(t)
d
l+(R) ≡ (-1)n
+
(-1)n-j
(pj(t)R(t)),
0<t<T.
dtn
dtn-j
j=0
Сопряжённый оператор B∗ задаётся дифференциальным выражением
B∗R(t) = l+(R),
0<t<T,
и областью определения
D(B∗) = {R ∈ Wn2[0, T ] : V1(R) = 0, . . . , Vn(R) = 0}.
В работе [16] вычислены сопряжённые краевые условия:
∑
Vn(R) = R(n-1-γ1)(0) +
(α∗n,kR(k)(0) + β∗n,kR(k)(T )),
k=0
∑
Vn-1(R) = R(n-1-γ1)(T) +
(α∗n-1,kR(k)(0) + β∗n-1,kR(k)(T )),
k=0...
∑
Vn-2m(R) = R(n-1-γm)(0) +
(α∗n-2m,kR(k)(0) + β∗n-2m,kR(k)(T )),
k=0
∑
Vn-2m+1(R) = R(n-1-γm)(T) +
(α∗n-2m+1,kR(k)(0) + β∗n-2m+1,kR(k)(T )),
k=0
∑
Vr(R) = β1R(n-1-ν1)(0) + α1R(n-1-ν1)(T) +
(α∗r,kR(k)(0) + β∗r,kR(k)(T )),
k=0
∑
V1(R) = βrR(n-1-νr)(0) + αrR(n-1-νr)(T) +
(α∗1,kR(k)(0) + β∗1,kR(k)(T )),
k=0
где числа γ1, . . . , γm определяются из соотношения
{γ1, . . . , γm}
⋃ {j1, . . . , jm}⋃ {ν1, . . . , νr} = {0, 1, . . . , n - 1}.
Введём фундаментальную систему решений {R1(t, λ), . . . , Rn(t, λ)} однородного сопря-
жённого уравнения
l+(Rs) = λRs(t,λ),
0<t<T,
(7)
удовлетворяющих условию Коши в нуле
d(j-1)
Rs(0,λ) = δj,s, j = 1,n, s = 1,n.
dt(j-1)
Заметим, что все решения {Rs(t, λ), s = 1, n} являются целыми функциями от λ. Обозначим
через Δ∗(λ) характеристический определитель, задаваемый формулой
Δ∗(λ) = det(Vν(Rj)).
(8)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
9
Нули характеристического определителя Δ∗(λ), с учётом их кратности, представляют собой
собственные значения сопряжённого оператора B∗.
Введём также решения однородного сопряжённого уравнения (7) τs(t, λ) при s = 1, n с
неоднородными условиями
Vj(τs) = δj,s · Δ∗(λ), j = 1,n.
Пусть λ0 - нуль характеристического определителя Δ(λ) и его кратность равна m0. Тогда
при любом s = 1, n в упорядоченной строке
1
∂
1
∂m0-1
s(t, λ0),
τs(t,λ0),... ,
τs(t,λ0)
(9)
τ
1!∂λ
(m0 - 1)!∂λm0-1
первая ненулевая функция представляет собой собственную функцию оператора B∗, а после-
дующие члены строки дают цепочку присоединённых функций, порождённых ею.
В дальнейшем собственные значения оператора B∗ будем обозначать через λν , ν ≥ 1, а
соответствующие собственные и присоединённые функции - через Rν (t), ν ≥ 1.
В работе [16] доказано следующее утверждение.
Теорема A [16]. Пусть область определения оператора B задаётся регулярными в смыс-
ле Биркгофа краевыми условиями. Тогда область определения сопряжённого оператора B∗
также задаётся регулярными в смысле Биркгофа краевыми условиями.
Нам потребуется также следующее утверждение [17].
Теорема B [17]. Пусть оператор B порожден регулярными в смысле Биркгофа краевыми
условиями. Тогда система собственных и присоединённых функций оператора B является
полной системой в пространстве L2(0, T ).
Применяя теорему A и теорему B к сопряжённому оператору B∗, можем сформулировать
утверждение.
Теорема C. Пусть выполнено требование I. Тогда система собственных и присоединён-
ных функций оператора B∗ полна в пространстве L2(0,T).
2. О спектральных свойствах краевой задачи для уравнения Трикоми. В данном
пункте приведена самосопряжённая краевая задача для уравнения Трикоми.
Пусть Ω ∈ R2 - конечная область, ограниченная при y > 0 кривой Ляпунова σ, оканчи-
вающейся в окрестности точек O(0, 0) и B(1, 0) малыми дугами “нормальной кривой” σ0, а
при y < 0 - характеристиками
2
2
OC : x -
(-y)3/2 = 0, BC : x +
(-y)3/2 = 1
3
3
уравнения
Av = yvxx(x, y) + vyy(x, y) = f(x, y).
(10)
Задача T. Найти в области Ω решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям
(
)2
1
4
1
u(x, y)|σ0 = 0, σ0 : x -
+
y3 =
,
2
9
4
x5/6D1/60+(u(χ0(x))x-2/3) + (1 - x)5/6D1/61-(u(χ1(x))(1 - x)-2/3) = 0,
где
u(χ0(x)) = u(x, -[3x/2]2/3),
0 ≤ x ≤ 1/2,
u(χ1(x)) = u(x, -[3(1 - x)/2]2/3),
1/2 ≤ x ≤ 1.
Оператор, соответствующий краевой задаче T, обозначим через A. Собственные значения
оператора A будем нумеровать парой целочисленных индексов ηm. Собственные функции
оператора A, соответствующие собственным значениям ηm, обозначим через vm(x, y).
В работе [18] доказано следующее утверждение.
Теорема K [18]. Оператор A является самосопряжённым в пространстве L2(Ω).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
10
КАНГУЖИН, КОШАНОВ
Как следствие данной теоремы K заключаем, что собственные функции {vm(x, y), m ∈ N}
оператора A образуют полную систему функций в L2(Ω).
3. О единственности решения краевой задачи для уравнения l(·)-A с операто-
ром Трикоми A. Пусть Ω - конечная область из п. 2. В области Q = Ω×(0,T) рассмотрим
задачу для уравнения (1) с краевыми условиями по t (2) и с условиями (3), (4).
В операторном виде задачу (1)-(4) запишем как
Bu = Au(x,y;t) + f(x,y;t), (x,y;t) ∈ Q.
(11)
Здесь оператор B действует по переменной t и его свойства приведены в п. 1. Оператор A
действует по переменным (x, y) и его спектральные свойства приведены в п. 2.
Докажем критерий единственности решения однородного операторного уравнения (11).
Теорема. Пусть выполнено требование I. Тогда однородное операторное уравнение
Bu = Au
(12)
имеет только тривиальное решение u ∈ D(B)
⋂D(A) тогда и только тогда, когда
σ(B)
⋂σ(A) = ∅,
где σ(B) и σ(A) - спектры операторов B и A соответственно.
Доказательство. Необходимость. Пусть λν - некоторое собственное значение операто-
ра B (c собственной функцией wν (t)) и является также собственным значением оператора A,
т.е. λν = ηm (c собственной функцией vm(x, y)). Тогда функция u(x, t) = wν (t)vm(x, y) бу-
дет нетривиальным решением однородной задачи (12). Необходимость требований теоремы
доказана.
Достаточность. Пусть ни одно из собственных значений оператора B
{λk, k ≥ 1} не
является собственным значением оператора A. Иначе говоря, число вида {ηm, m ∈ N} не яв-
ляется собственным значением оператора B, т.е. Δ(ηm) = 0. Покажем, что решение u(x, y; t)
однородной краевой задачи (12) тождественно равно нулю в пространстве L2(Q). Для этого
при фиксированном (x, y) ∈ Ω и j = 1, n введём функции
∫T
Fj (x, y; λ) = τj(t, λ)u(x, y; t) dt,
0
представляющее собой целые функций от λ.
Согласно формуле Лагранжа (6) функцию AFj (x, y; λ) при j = 1, n можно записать в виде
∫T
∫
T
AFj (x, y; λ) = τj(t, λ) · Au(x, y; t) dt = τj(t, λ) · Bu(x, y; t) dt =
0
0
∫T
= u(x, y; t)l+(τj) dt + Un+1(u)Vn(τj ) + . . . + U2n(u)V1(τj ) =
0
∫T
= λ u(x,y;t)τj(t,λ)dt + Un+1(u)Vn(τj) + ... + U2n(u)V1(τj) =
0
= λFj (x, y; λ) + Δ∗(λ) · U2n-j+1(u).
(13)
Если λ0 - нуль характеристического определителя Δ(λ) кратности m0, то из соотношений
(13) вытекают равенства
AFj (x, y; λ0) = λ0Fj (x, y; λ0),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
11
dFj (x, y; λ0)
dFj (x, y; λ0)
A
=λ0
+ Fj(x,y;λ0),
dλ
dλ
m0-1
d
dm0-1Fj(x,y;λ0)
dm0-2Fj(x,y;λ0)
A
Fj (x, y; λ0) = λ0
+
m0-1
dλ
dλm0-1
dλm0-2
Поскольку λ0 ∈ σ(A), то из соотношений (13) вытекают и равенства
dsFj(x,y;λ0)
≡0
при s = 0, m0 - 1.
dλs
Тогда при j = 1, n отношения Fj (x, y; λ)/Δ∗(λ) являются целыми функциями от λ, посколь-
ку в точке λ = λ0 имеют устранимую особенность.
Теперь переходим ко второму этапу доказательства. Согласно методике работы В.А. Ильи-
на [5] функцию Fj (x, y; λ) умножим скалярно на собственную функцию vm(x, y):
∫
Gj,m(λ) ≡ Fj (x, y; λ)vm(x, y) dx dy, m ∈ N, j = 1, n.
Ω
Кратности нулей функционала Gj,m(λ) не меньше кратностей нулей функций Fj (x, y; λ). Сле-
довательно, отношения
Gj,m(λ)
Qj,m(λ) ≡
Δ∗(λ)
определяют целые функции от λ.
Дальнейший анализ целых функций Qj,m(λ) основан на технике оценок порядка роста и
типа целых функций. Заметим, что целая функция Qj,m(λ) не зависит от выбора фундамен-
тальной системы решений однородного уравнения
l+(R(t,λ)) = λR(t,λ),
0<t<T.
Обозначим через ω1, ω2, . . . , ωn все различные корни n-й степени из (-1)n+1. Разберём
сначала случай нечётного n = 2p - 1.
Пусть ρ - произвольное комплексное число из сектора S0 = {ρ ∈ C : 0 < arg ρ < π/n}.
Перенумеруем числа ω1, ω2, . . . , ωn в следующем порядке:
ε1 = ωi1, ε2 = ωi2, ... , εn = ωin .
Тогда для любого ρ ∈ S0 выполняются неравенства
Re (ρε1) ≤ Re (ρε2) ≤ ... ≤ Re(ρεp-1) < 0,
Re(ρεp-1) ≤ Re(ρεp) ≤ Re(ρεp+1),
0 < Re(ρεp+1) ≤ Re(ρεp+2) ≤ ... ≤ Re(ρεn).
Теперь вместо фундаментальной системы решений
{R1(t, ρn), . . . , Rn(t, ρn)} будем рас-
сматривать фундаментальную систему решений однородного сопряжённого уравнения
l+(R(t,λ)) = λR(t,λ),
0 < t < T, λ = (-ρ)n.
Выберем её согласно теореме 1 из [17, с. 58]:
h1(t,ρ) = eρε1t[1 + o(1/ρ)], ... , hn(t,ρ) = eρεnt[1 + o(1/ρ)], ρ ∈ S0, ρ → ∞.
(14)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
12
КАНГУЖИН, КОШАНОВ
В результате при любом ρ из сектора S0 имеем асимптотическое представление характе-
ристического определителя
Δ(ρ) при ρ → ∞, записанное через фундаментальную систему
решений {h1(t, ρ), . . . , hn(t, ρ)} (см. [17]).
При j < p, ρ ∈ S0, ρ → ∞, имеем
Vn(hj) = (ρεj)(n-1-γ1)[1], Vn-1(hj) = (ρεj)(n-1-γ1)[0],
...,
Vn-2m+2(hj) = (ρεj)(n-1-γm)[1], Vn-2m+1(hj) = (ρεj)(n-1-γm)[0],
...,
Vr(hj) = (ρεj)(n-1-ν1)[α1], V1(hj) = (ρεj)(n-1-νr)[αr].
Точно также при j > p, ρ ∈ S0, ρ → ∞, имеем
Vn(hj) = (ρεj)(n-1-γ1)eρεjT [0], Vn-1(hj) = (ρεj)(n-1-γ1)eρεjT [1],
...,
Vn-2m+2(hj) = (ρεj)(n-1-γm)eρεjT [0], Vn-2m+1(hj) = (ρεj)(n-1-γm)eρεjT [1],
...,
Vr(hj) = (ρεj)(n-1-ν1)eρεjT [β1], V1(hj) = (ρεj)(n-1-νr)eρεjT [βr].
Здесь для краткости обозначено [a] = a + o(1/ρ).
Подставим все эти выражения в соотношение (8):
Δ∗(λ) = det(Vν(hj)) = ραeρ(ωp+1+...+ωn)T Δ∗0,
где α = 2[n - 1 - γ1 + ... + n - 1 - γm] + n - 1 - ν1 + ... + n - 1 - νr, Δ∗0 = [θ∗0] + eρωp[θ∗1].
Числа θ∗0 и θ∗1 определяются по сопряжённым формам {V1, . . . , Vn} и аналогичны чис-
лам θ0 и θ1, определяемым по формам {U1, . . . , Un}. Эти числа отличны от нуля согласно
теореме A.
При любом ρ из сектора S0 асимптотическое представление
τ1(t,ρ) при ρ → ∞, запи-
санное через фундаментальную систему решений (14), имеет следующий вид:
1
τ1(t,ρ) =
ραeρ(ωp+1+...+ωn)T eρεpt([ξ∗0]e-ρεpt + eρωp(T-t)[ξ∗1]),
(ρεp)(n-1-γ1)
где ξ∗0, ξ∗1 - некоторые числовые определители. Аналогичные асимптотические представления
получаем для
τj(t,ρ) при j > 1.
Отсюда вытекает, что справедливо равенство
∫
)
(∫T
τ1(t,λ)
Qk,m1(λ) =
u(x, y; t) dt vk,m(x, y) dx dy =
Δ∗(ρ)
Ω
0
∫
∫T
eρεpt([ξ∗0]e-ρεpt + eρωp(T-t)[ξ∗1])
=
u(x, y; t)vk,m(x, y) dt dx dy.
])
(ρεp)(n-1-γ1)([θ∗0] + eρωp [θ∗1
Ω 0
Используя лемму Римана [19, с. 496] в случае Re (ρεp) = Re (ρεp+1) = 0, легко получаем,
что lim Q1,m(λ) = 0, ρ ∈ S0. Если Re (ρεp) > 0, то Re (ρεp+1) < 0. Отсюда сразу же
|ρ|→∞
следует lim
Q1,m(λ) = 0 при ρ ∈ S0. Таким образом, вдоль всех лучей ρ ∈ S0 и ρ → ∞
ρ→∞
имеем предельное равенство
lim
Q1,m(λ) = 0.
ρ→∞
Аналогичные асимптотические представления получаем для Qj,m(λ) при j > 1 и при всех
m = 2,3,...
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
КРИТЕРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
13
Точно такой же анализ можно провести для сектора ρ ∈ S1, где S1 = {ρ ∈ C : π/(2p) <
< arg ρ < π/p}. Следовательно, по теоремам Фрагмена-Линделёфа и Лиувилля [20, с. 203]
для функций конечного порядка получаем, что
Qj,m(λ) ≡ 0 при всех λ ∈ C.
Отсюда для любых m ∈ N и любого j = 1, n имеем
∫
vm(x,y)Fj(x,y;λ)dxdy ≡ 0 для любых λ ∈ C.
Ω
Тогда из полноты системы { vm(x, y), m ∈ N } в пространстве L2(Ω) вытекает, что
Fj (x, y; λ) ≡ 0 для любых x, y ∈ Ω и любого λ ∈ C, j = 1, n.
Следовательно, имеем
T
∫
τj(t,λ)u(x,y;t)dt ≡ 0 для любых x,y ∈ Ω и любого λ ∈ C, j = 1,n.
0
Отсюда вытекает тождество для любых x, y ∈ Ω, λ ∈ C, ν ≥ 0:
T
∫
1
∂ν
τj(t,λ)u(x,t)dt ≡ 0, j = 1,n.
(15)
ν!∂λν
0
Теперь вместо λ в равенство (15) подставим λτ - произвольное собственное значение опе-
ратора B. Кратность собственного значения λτ считается равной mτ . Пусть параметр ν в
формуле (15) принимает значения 1, 2, . . . , mτ - 1. Тогда в силу (9) из (15) получаем, что
при любом фиксированном (x, y) ∈ Ω функция u(x, y; t) ортогональна ко всем собственным
функциям оператора B∗. Поскольку система собственных функций оператора B∗ является
полной системой в L2(0, T ), то отсюда вытекает
u(x, y; t) ≡ 0 при всех t ∈ (0, T ), (x, y) ∈ Ω.
В случае чётного n = 2p утверждение теоремы доказывается аналогично. Таким образом,
достаточность теоремы доказана.
Заключение. В данной работе исследован оператор L, представимый в виде разности
двух коммутирующих операторов A и B. Оператор B порождается линейным дифференци-
альным выражением высокого порядка и регулярными двухточечными краевыми условиями
на отрезке [0, T ]. Оператор A соответствует уравнению Трикоми в плоской области, ограни-
ченной кривой Ляпунова и характеристиками волнового уравнения. Рассматриваемый нами
оператор A не является полуограниченным и имеет полную ортогональную систему собствен-
ных функций в соответствующем функциональном пространстве. При указанном выборе опе-
раторов B и A операторное уравнение Lu = Bu - Au = 0 имеет тривиальное решение тогда
и только тогда, когда спектры операторов B и A не пересекаются.
Обратим внимание на предложенный в настоящей статье метод доказательства теоре-
мы единственности, представляющий собой “гибрид” метода направляющих функционалов
М.Г. Крейна [17] и метода В.А. Ильина [5].
Дальнейшее обобщение сформулированного нами результата может развиваться в следую-
щем направлении. Во-первых, в качестве оператора B можно выбрать модельный оператор,
порождаемый дифференциальным выражением
)
∑
∑
∂kw(t1,t2,... ,tq)
Bw(t1,t2,... ,tq) =
pki(ti)
∂tk
i=0
k=0
i
на параллелепипеде (t1, t2, . . . , tq) ∈ [0, T1] × [0, T2] × . . . × [0, Tq].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
14
КАНГУЖИН, КОШАНОВ
Область определения оператора B надо выбрать так, чтобы граничные условия по каждой
переменной ti на отрезке [0, Ti] являлись регулярными в смысле Биркгофа [17].
В качестве оператора A можно выбирать эллиптические операторы, подчинённые усло-
виям C. Агмона [21], которые гарантируют, что оператор A имеет полную систему корневых
функций. При указанном выборе операторов B и A наша формулировка критерия единствен-
ности сохраняется.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Республики Казахстан (проекты AP 14869558, AP 08855402).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.
Amsterdam; London; New York, 2006.
2. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., 1957.
4. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М., 1959.
5. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений
// Успехи мат. наук. 1960. Т. 15. № 2. С. 97-154.
6. Тихонов И.В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных диффе-
ренциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. Математика. 2003. Т. 67. № 2. C. 133-166.
7. Попов А.Ю., Тихонов И.В. Классы единственности в нелокальной по времени задаче для урав-
нения теплопроводности и комплексные собственные функции оператора Лапласа // Дифференц.
уравнения. 2004. Т. 40. № 3. C. 396-405.
8. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории гра-
ничных задач // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2000. Т. 229. № 3. С. 3-175.
9. Grisvard P. Equations operaationnelles abstraites et problemes aux limites // Ann. Scuola Norm. Super.
Pisa, 1967. V. 21. № 3. P. 308-347.
10. Дубинский Ю.А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для неклас-
сических уравнений // Мат. сб. 1969. Т. 79 (121). № 1. С. 91-117.
11. Романко В.К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов // Дифференц.
уравнения. 1974. Т. 10. № 1. С. 117-131.
12. Кожанов А.И., Пинигина Н.Р. Краевые задачи для неклассических дифференциальных уравнений
высокого порядка // Мат. Заметки. 2017. Т. 101. Вып. 3. С. 403-412.
13. Орынбасаров М.О. О разрешимости краевых задач для параболического и полипараболического
уравнений в нецилиндрической области с негладкими боковыми границами // Дифференц. урав-
нения. 1994. Т. 30. № 1. C. 151-161.
14. Шелухин В.В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений
// Сибирский мат. журн. 1991. Т. 32. № 2. C. 154-165.
15. Шелухин В.В. Задача о прогнозе температуры океана по средним данным за предшествующий
период времени // Докл. РАН. 1992. Т. 324. № 4. C. 760-764.
16. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых диф-
ференциальных операторов // Изв. вузов. Математика. 1964. № 2. C. 82-93.
17. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.
18. Кальменов Т.Ш. О самосопряжённых краевых задачах для уравнения Трикоми // Дифференц.
уравнения. 1983. Т. 19. № 1. C. 66-75.
19. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. М., 1984.
20. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М., 1979.
21. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems
// Comm. Pure and Appl. Math. 1962. V. 15. № 2. P. 119-143.
Казахский национальный университет
Поступила в редакцию 03.04.2022 г.
имени Аль-Фараби, г. Алматы,
После доработки 03.04.2022 г.
Институт математики и математического
Принята к публикации 28.11.2022 г.
моделирования, г. Алматы, Казахстан,
Международный университет информационных
технологий, г. Алматы, Казахстан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
