ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.15-29

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4+517.968.7

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НИХ

Рассматриваются системы интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка с

тождественно вырожденной в области определения матрицей перед старшей производной

искомой вектор-функции. Приведены критерии разрешимости таких систем уравнений и

начальных задач для них, примеры, иллюстрирующие теоретические результаты.

DOI: 10.31857/S037406412301003X, EDN: OBSWYK

1. Введение и постановка задачи. При моделировании природных и технических про-

цессов в настоящее время часто встречаются системы, включающие в себя взаимосвязанные

обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) различных порядков и алгебраические

уравнения (см., например, [1-4]). Совокупность взаимосвязанных ОДУ и алгебраических урав-

нений можно записать в виде системы ОДУ с вырожденной матрицей в области определения

при старшей производной искомой вектор-функции. В линейном случае эти уравнения имеют

вид равенств

∑

Λ_kx := A_i(t)x(i)(t) = f(t), t ∈ T = [α,β] ⊂ R¹,

(1)

i=0

где A_i(t) - (n × n)-матрицы, x(t) и f(t) - искомая и известная вектор-функции, x(i)(t) =

= (d/dt)ⁱx(t), x⁽⁰⁾(t) = x(t), и выполнено соотношение

det A_k(t) = 0 для любого t ∈ T.

(2)

Если моделируемый процесс обладает последействием, то система может включать интеграль-

ные уравнения (ИУ) Вольтерры и Фредгольма первого и второго рода, и её можно представить

в виде системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ)

∫

∑

(Λ_k + V + λΦ)y := A_i(t)y(i)(t) + K(t, s)y(s) ds + λ K(t, s)y(s) ds = f(t), t ∈ T,

(3)

i=0

где λ - скалярный параметр (возможно комплексный), K(t, s), K(t, s) - (n × n)-матрицы,

определённые в области T × T, y(t) - искомая вектор-функция.

Предполагается, что начальные условия для систем (1), (3) задаются в виде равенств

P_xx(α) = a_x, P_yy(α) = b_y,

(4)

где P_x, P_y - заданные (q × nk)-матрицы полного ранга, q ≤ nk, a_x, b_y - заданные векторы,

x = (x^т,(x⁽¹⁾)^т,... ,(x(k-1))^т)^т, y = (y^т,(y⁽¹⁾)^т,...,(y(k-1))^т)^т,^т - транспонирование.

Задачи (1), (3), (4) при P_x, P_y = E_nk совпадают с задачами Коши, когда заданы

x(α) = a = (a^т0, a^т1, . . . , aтk-1)^т, y(α) = b = (b^т0, b^т1, . . . , bтk-1)^т,

где E_nk - единичная матрица размерности nk, a_i, b_i - заданные векторы из Rⁿ, i = 0, k - 1.

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

Системы вида (1), удовлетворяющие условию (2), называют в настоящее время дифферен-

циально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) [1]. Используются также термины “дескриптор-

ные системы” [4], “алгебро-дифференциальные системы” (АДС) [5], “сингулярные системы” [6].

Выражения вида (3) с условием (2) авторы называют “вырожденными системами ИДУ” или

“ДАУ с возмущениями в виде операторов Вольтерры” [7].

Под решениями систем (1), (3) понимаются любые вектор-функции x(t), y(t) ∈ C^k(T ),

которые обращают системы в тождество на отрезке T при подстановке. Если вектор-функции

x(t), y(t) удовлетворяют условиям (4), то они являются решениями задач (1), (3), (4).

Замечание 1. Очевидно, что для существования решений задач Коши для систем (1), (3)

необходимо (но не всегда достаточно) выполнение критерия Кронекера-Капелли в точке t = α

для векторов x(k)(α), y(k)(α), а именно:

rank A_k(α) = rank(A_k(α) | f(α) - a),

(

∫

)

rank A_k(α) = rank A_k(α) | f(α) -b - λ K(α, s)ς(s) ds

∑k-1

где a =

A_i(α)a_i,

b = ∑k-1i=0 A_i(α)b_i, ς(s) - некоторая вектор-функция.

i=0

Итак, для разрешимости задач Коши необходимо, чтобы начальные векторы a_i, b_i при-

надлежали некоторым многообразиям R_x, R_y ⊂ R^kn. Более того, для разрешимости задачи

Коши для системы (3) необходима разрешимость системы интегральных уравнений первого

рода с вырожденным ядром вида

∫

λ L₂K(α,s)ς(s)ds = L₂[f(α) -b],

(

)

(

)

L₁

Ak,1(α)

неособенная матрица L =

обладает свойством LA_k(α) =

, блок L₂ имеет

L₂

размерность [n - r] × n, r = rank A_k(α).

Матрицы P_x, P_y в формулах (4) выбираются проекторами начальных данных на R_x и R_y

соответственно. В школе Г.А. Свиридюка условия вида (4) называют условиями Шоуолтера-

Сидорова [8]. Для ДАУ условия в форме (4) ввёл Ю.Е. Бояринцев [9].

К началу 1990-х гг. было установлено, что формула обращения оператора ДАУ первого

порядка Λ₁ при достаточно гладких входных данных для некоторых классов линейных ДАУ

содержит интегро-дифференциальный оператор (ИДО) с тождественно вырожденной матри-

цей на отрезке T при старшей производной и вырожденным ядром K(t, s) [6, с. 12]. Оказалось,

что такой ИДО можно трактовать как левый обратный оператор к оператору Λ₁. Это стало

дополнительным стимулом для изучения вырожденных систем ИДУ [10].

В монографии [2] построена теория вырожденных систем ИДУ с аналитическими входными

данными и получены условия сходимости разностного метода первого порядка. В рамках этого

подхода в школе Ю.Е. Бояринцева был получен ряд результатов о разрешимости систем ИДУ,

построен и обоснован ряд численных методов решения начальных и краевых задач, включая

нелинейный случай [11-16]. Утверждения о свойствах вырожденных систем ИДУ со слабой

особенностью в ядре доказаны в статье [17]. С начала 2000-х гг. в этой области начинают

активно работать и зарубежные математики (см., например, [18-20] и приведённую в них

библиографию).

2. Вспомогательные определения и утверждения.

Определение 1 (см., например, [5]). Полуобратной матрицей к (m × n)-матрице M(t),

t ∈ T, называется (n × m)-матрица M^-(t), удовлетворяющая для любых t ∈ T уравнению

M (t)M^-(t)M(t) = M(t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

Полуобратная матрица определена для любого t ∈ T и любой (m × n)-матрицы M(t) [5].

Если матрица M(t) - квадратная и неособенная, то M-1(t) = M^-(t). Матрица M^-(t) опреде-

лена в общем случае неединственным образом (ее частным случаем является псевдообратная

матрица M⁺(t)).

Лемма 1 (см., например, [5, c. 35]). Пусть задана система линейных алгебраических урав-

нений (СЛАУ) M(t)χ = f(t), t ∈ T. Тогда:

1) если M(t) ∈ C^j(T ), j ∈ N

^⋃{0}, rank M(t) = r = const для любого t ∈ T, то суще-

ствует матрица M^-(t) ∈ C^j(T). Если rankM(t) = const, t ∈ T, то хотя бы один элемент

любой матрицы M^-(t) имеет разрыв второго рода на отрезке T ;

2) СЛАУ разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие

Π(t)f(t) = 0, t ∈ T,

и все её решения представимы в виде

χ = M^-(t)f(t) + Π(t)ω(t), t ∈ T,

где Π(t) = [E_m -M(t)M^-(t)],

Π(t) = [E_n -M(t)M^-(t)] - проекторы на ядро и образ матрицы

M (t) соответственно, ω(t) - произвольная вектор-функция;

3) СЛАУ имеет постоянные решения χ тогда и только тогда, когда

∫

f (t) = M(t)C^-θ, C = M^т(s)M(s) ds, θ = M^т(s)f(s) ds,

и все её решения представимы в виде

χ = C^-θ + (E_n - C^-C)c для любого c ∈ Rⁿ.

Ниже нам потребуются некоторые сведения о системах ИУ Фредгольма первого рода

∫

^Φς :=

^K(t, s)ς(s) ds = f(t), t ∈ T,

(5)

где

^K(t, s) - (m × n)-матрица, определённая в области T × T, ς ≡ ς(t) - искомая вектор-

функция.

Определение 2. Ядро

^K(t, s) = ∥kij (t, s)∥i=1,m,j=1,n интегральных уравнений (5) на-

зывается вырожденным, если все его элементы можно представить в виде конечной суммы

∑nij

произведений вида k_ij(t, s) =

a_ν,ij(t)b_ν,ij(s).

ν=1

Лемма 2 [15]. Любое матричное вырожденное ядро

^K(t, s) разложимо на произведение

матриц M(t) и L(s) размерностей (m×μ) и (μ×m) соответственно, где μ ≤ nm max n_ij.

Пример 1. В одномерном случае, когда

^K(t, s) =∑iν=1 a_ν (t)b_ν (s), i ∈ N, можно принять

M (t) = (a₁(t), a₂(t), . . . , a_i(t)) и L(s) = (b₁(s), b₂(s), . . . , b_i(s))^т. Например, для ядра K(t, s) =

= (t - s)ⁱ возможно представление K(t, s) = (C0itⁱ, . . . , Ci-1it, Cⁱⁱ · 1)(1, -s, . . . , (-s)ⁱ)^т, где

C^ji = i!/(j!(i - j)!) - биномиальные коэффициенты.

На основе леммы 1 и представления вырожденного ядра в виде произведения

^K(t, s) =

= M(t)L(s) в работе [15] доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть в системе (5) ядро

^K(t, s) вырожденное и M(t), L(s) - матрицы

из леммы 2. Тогда для разрешимости системы (5) необходимо и достаточно выполнения

условий:

1) f(t) = M(t)C^-θ;

2) χ

C^-χ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

∫_β

в которых C =

M^т(s)M(s)ds,

L(s)L^т(s) ds, θ =

M^т(s)f(s)ds, χ = C^-θ + (E_μ -

− C^-C)c, c - произвольный вектор из R^μ.

Более того, все решения системы описываются формулой

ς(t) = ς(t) + ξ(t) = L^т(t

C^-χ + (I - Φ₀)w,

∫_β

где Φ₀w =

K₀(t,s)w(s)ds, K₀(t,s) = L^т(t

C^-L(s), I - единичный оператор, w ≡ w(t) -

∫_β

произвольная вектор-функция, которая обладает свойством b

C^-b, b =

L(s)w(s) ds.

Замечание 2. Обратим внимание, что проверка условий леммы 3 существенно упроща-

ется, если de

C = 0. Тогда при выполненном условии 1) система (5) имеет решения при

произвольных значениях вектора χ и произвольных вектор-функциях w(t). Однородная сис-

тема (5)

^Φς = 0 имеет ненулевое ядро ς = (I - Φ₀)w.

Отметим ещё одно полезное соотношение. Из формулы Лейбница для дифференцирования

произведений вытекает равенство

d_i[MF] = M_i[M]d_i[F],

(6)

где M ≡ M(t), F ≡ F (t) - некоторые матрицы подходящей размерности из Cⁱ(T ),

⎛

⎞

⎛

⎞

C⁰⁰M

⎜(d/dt)M

⎟

⎜

⎟

C⁰¹M⁽¹⁾

C¹¹M ...

⎜

⎟

⎜

⎟

d_i[M] =

M_i[M] =

⎝

⎠^,

⎝

⎠.

(d/dt)ⁱM

C0iM(i) C1iM(i-1) ... CⁱⁱM

3. Сведения из теории линейных ДАУ. Введём следующие понятия.

Определение 3. Пространство решений (ПР) однородного ДАУ (1) конечномерно, если

все произведения

X_d(t)c, где

X_d(t) - (n × d)-матрица из C^k(T), c - вектор произвольных

постоянных, являются решениями ДАУ, и на отрезке T нет других решений. Минимально воз-

можное значение целочисленного параметра d называется размерностью ПР системы (1). ПР

однородного ДАУ (1) бесконечномерно, если оно содержит бесконечное количество линейно-

независимых решений.

Выделим класс линейных ДАУ, наиболее близких по свойствам к системам ОДУ в нор-

мальной форме (форме Коши).

Определение 4. Система (1) имеет решение типа Коши на отрезке T, если она разре-

шима для любой вектор-функции f(t) ∈ C^kn(T ) и её решения представимы в виде линейной

комбинации

x(t, c) = X_d(t)c + ψ(t),

(7)

где X_d(t) - (n × d)-матрица из C^k(T ) со свойством rank dk-1[X_d(t)] = d для любого t ∈ T ,

dk-1[.] - оператор из формул (6), c - вектор произвольных постоянных, ψ(t) - вектор-функция

со свойством Λ_kψ(t) = f(t), t ∈ T, и на любом подотрезке T₀ = [α₀, β₀] ⊆ T нет решений,

отличных от x(t, c).

Пример 2. Рассмотрим однородное ДАУ

(

)

(

)

2γ

Λ₁x :=

x = 0, t ∈ T = [1,2],

где γ - параметр. Для любого γ = 1 в определениях 3, 4 имеем, что d = 0. Если γ =

= 1, то в качестве базиса ПР можно взять вектор-функции φ_j (t) = (2t^j , -t^j)^т, j ∈ N

^⋃{0}.

Из вида базиса следует, что dim kerΛ1 = ∞, и одну из компонент решения можно взять в

виде произвольной вектор-функции из C¹(T ).

Определение 5. Если существуют операторы

∑

Ω_l = L_j(t)(d/dt)^j, Ω_r =

R_j(t)(d/dt)^j,

j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

где L_j (t), R_j(t) - (n × n)-матрицы из C(T ), обладающие свойствами

Ω_l ◦ Λ_kυ =Λkυ, Λ_k ◦ Ω_rυ =Λkυ для любой υ ≡ υ(t) ∈ Cν+k(T),

∑_k

Λ_kυ =

A_i(t)υ(i)(t),

Λ_kυ =

A_i(t)υ(i)(t), ν = {l или r},

A_i(t),

A_i(t) - некоторые (n×

i=0

×n)-матрицы из C(T), de

A_k(t) = 0, de

A_k(t) = 0 для любого t ∈ T, то они называются

левым и правым регуляризирующими операторами (ЛРО и ПРО) для системы (1), а наимень-

шие возможные l, r называются её индексами (левым и правым).

Замечание 3. Ниже принимается, что индекс оператора Λ_k со свойством det A_k(t) = 0

при всех t ∈ T равен нулю.

Пример 3. Рассмотрим ДАУ

(

)(

)

(

)(

)

(

)

-2t

x₁

f₁

Λ₁x =

=f =

t ∈ T = [-1,1].

(8)

−2t²

x₂

f₂

(

)

Умножив ДАУ на матрицу L(t) =

и выразив компоненту x₁ через x₂, систему

−t

расщепляем на дифференциальное и алгебраическое уравнения

(γ - 2)t x₁(t) + 2γx₁(t)

f₁, x₂(t) = γtx₁(t)

f₂, t ∈ T,

(9)

где

f₁ = 2f₁ +

f₁

f₂,

f₂ = f₂(t) - tf₁(t). При γ = 2 видим, что решение системы (8) типа

Коши существует, d = 0, индекс l = 2, и при любых f ∈ C²(T ) выполняется равенство

(

)

(

)

x₁

1/2

⁽ t/4 -1/4

= Λ₁f =

˙f

x₂

t²/2

-t/2

В качестве ЛРО можно принять оператор Ω₂ = (d/dt)Λ1.

При γ = 1 однородная система (8) имеет семейство решений из определения 3:

(

)

(

)

φ₁(t) φ₂(t)

c₁

X_d(t)c =

c, c =

∈R²,

tφ₁(t) tφ₂(t)

c₂

где φ₁(t) = {0, t ∈ T₁; t², t ∈ T₂}, φ₂(t) = {t², t ∈ T₁; 0, t ∈ T₂}, T₁ = [-1, 0], T₂ = (0, 1]. Через

точку (x₁(0), x₂(0))^т = 0 проходит бесконечное число решений.

Если подотрезок T₀ = [α₀, β₀] ⊂ T обладает свойством 0 ∈ T₀, то ДАУ (8) при γ = 1

на T₀ имеет решение типа Коши, где d = 1, индекс l = 1. В качестве ЛРО можно принять

оператор Ω₁ = diag{1, (d/dt)}L(t). С использованием формул (9) решение можно записать в

явной форме.

Введём понятия и приведём утверждения, позволяющие вычислить индекс ДАУ и коэф-

фициенты ЛРО.

Определение 6. Совокупность самой системы (1) и её производных до порядка i включи-

тельно d_i[Λ_kx - f] = 0, t ∈ T, где d_i[.] - оператор из формул (6), называется i-продолженной

системой (1).

С использованием формул (6) i-продолженную систему запишем в виде соотношений

∑

D_i[A]xi+k = (O_j,M_i[A_j],Õj)xi+k = (B_i,Γ_i[A])xi+k = d_i[f(t)],

(10)

j=0

где A = (A_k(t), Ak-1(t), . . . , A₀(t)), матрица D_i[A] имеет размерность [ni × (i + k + 1)n],

нулевые матрицы O_j ,

Õ_j имеют размерности [n_i ×jn], [ni × (k - j)n], ni = n(i + 1), j = 0, k,

соответственно, xi+k = di+k[x], B_i ≡ B_i(t) - блок размерности [ni × kn], Γi[A] - блочно-

треугольная квадратная матрица с блоками A_k(t) на диагонали.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

2^∗

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

Далее нам потребуется сводка следующих результатов: теоремы 1, 2 и леммы 4, 5 из ра-

боты [7] и леммы 4.1-4.3 из работы [5]. Для того чтобы сформулировать эти утверждения в

более компактном виде, ослабим требования на гладкость входных данных.

Теорема 1. Пусть в ДАУ (1): A_i(t) ∈ C2m(T ), i = 0, k, f(t) ∈ C^m(T ), m = kn. Тогда

три условия на систему (1) на отрезке T эквивалентны:

1) на T определено решение типа Коши;

2) на T определён ЛРО;

3) на T определён ПРО.

∏i

Следствие 1. Пусть для произведения операторов Λ_ν =

Λkj , t ∈ T, определён

j=1

ЛРО. Тогда для каждого сомножителя Λkj , j = 1, i, t ∈ T, определён свой ЛРО.

Более того, если для каждого оператора Λkj , j = 1, i, t ∈ T, определён ЛРО, то для

оператора произведения Λ_ν определён ЛРО.

Следствие 2. Пусть оператор Λk1 , t ∈ T, является ЛРО для оператора Λk2 , t ∈ T.

Тогда начальная задача Λk1 v = 0, t ∈ T, v(j)(α) = 0, j = 0, k₁ - 1, имеет на отрезке T

только нулевое решение.

Следствие 3. Пусть для каждого оператора Λkj , j = 1, i, t ∈ T, с матрицами-ко-

∏_i

эффициентами из C^∞(T ) определён ЛРО. Тогда для произведения Λ_ν =

Λkj , t ∈ T,

j=1

∑_i

справедливо равенство d_ν =

d_j, где d_ν, dj - размерности ПР операторов Λν и Λkj ,

j=0

t ∈ T, из формулы (7).

Замечание 4. Утверждение, эквивалентное следствию 3, впервые доказано при аналити-

ческих входных данных для ДАУ первого порядка в статье [21].

К сожалению, нет пока общей формулы, кроме некоторых частных случаев (см. ниже

лемму 4), позволяющей вычислить индекс произведения произвольных операторов ДАУ по их

индексам. Индекс произведения может меняться в широких пределах, например,

[E_n - (d/dt)N]^j = E_n - (d/dt)jN,

[E_n - (d/dt)N] ◦ [E_n + (d/dt)N] = E_n,

где N - постоянная матрица со свойством N² = 0, оператор E_n ± (d/dt)jN, j ∈ N, имеет

индекс 2.

Теорема 2. Пусть в ДАУ (1) выполнены условия теоремы 1 и левый индекс ДАУ равен l.

Тогда:

1) правый и левый индексы ДАУ равны и справедливы неравенства 0 ≤ l ≤ kn;

2) в формуле (7) вектор-функция имеет вид

∫t

∫

∑

ψ(t) = K(t, s)f(s) ds +

C_j(t)f(j)(t), l ≥ k, ψ(t) = K(t,s)f(s)ds, l < k,

(11)

j=0

где K(t, s), C_j (t) - некоторые (n × n)-матрицы, t ∈ T, (t, s) ∈ T × T.

Замечание 5. Способы вычисления индекса (левого) и матричных коэффициентов ЛРО

можно найти, например, в статье [7]. При вычислении ПРО нужно решать ДАУ с матрица-

ми коэффициентов в качестве искомых величин [22]. Поэтому этот метод приведения ДАУ к

нормальной форме в настоящее время представляет только теоретический интерес.

Лемма 4. Пусть входные данные операторов Λkj , t ∈ T, j = 1, i, обладают достаточной

гладкостью. Тогда:

1) индекс оператора Λk+j = (d/dt)^jΛ_k, t ∈ T, равен индексу Λ_k, t ∈ T, при любом j = N;

2) если индексы сомножителей Λkj , t ∈ T, не превосходят единицы, то индекс оператора

∏_i

Λ_ω =

Λkj , t ∈ T, не превосходит i;

j=1

3) если индексы сомножителей Λkj , t ∈ T, не превосходят k_j, то индекс оператора

∏_i

Λ_ν =

Λkj , t ∈ T, не превосходит ν. Более того, индекс произведения (

Λkj ) ◦ Λ_k

j=1

не превосходит индекса оператора Λ_k.

Доказательства следствий вытекают из вида формулы обращения (11), в которой при вы-

полнении условия l ≤ k отсутствуют операторы C_j(t)(d/dt)^j , j ≥ 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

Замечание 6. Если ДАУ (1) имеет решение типа Коши, то сохраняются важнейшие свой-

ства линейных систем ОДУ в нормальной форме: 1) множества решений на отрезках T и

T0 = [α0, β0] ⊂ T совпадают (отсутствует “память”); 2) если через заданную точку (b ∈

∈ R^kn, t_∗ ∈ T) проходит решение ДАУ, то оно единственно на T, так как решение системы

Xk-1(t_∗)c = b

ψk-1(t_∗) относительно вектора c единственно: rankXk-1(t_∗) = d < kn для

любого t_∗ ∈ T, где

Xk-1(t_∗) = dk-1[X_d(t)],

ψ = dk-1[ψ(t)].

Это и обусловило появление термина “решение типа Коши”.

Лемма 5. Начальная задача (1), (4) в условиях теоремы 1 разрешима тогда и только

тогда, когда для некоторого вектора c ∈ R^nk выполнены соотношения

rank Gl-1 = (rank Gl-1 | h - g),

(12)

где Gϱ-1 = Γl-1[A]|t=α, h = dl-1[f(t)]|t=α, g = Bl-1(α)[P^-xa_x + (E_nk - P^-xP_x)c].

Более того, если вектор g вычисляется единственным образом, то решение начальной

задачи единственно.

Рассмотрим задачу Коши, где P_x = E_nk, a_x = a. Формула (12) является необходимым и

достаточным условием выполнения равенства Dl-1[A]dk+l-1[x] = dl-1[f] в точке t = α. Со-

гласно разбиению матрицы Dl-1[A] в формуле (10) это равенство эквивалентно разрешимости

СЛАУ Gl-1Z = h - Bl-1(α)a, Z = dl-1[x(k)]|t=α.

Если ввести вектор-функции z(i)(t) = (d/dt)ⁱ[Λ_kx - f], t ∈ T, i = 0, l - 1, то они в силу

сказанного выше удовлетворяют условиям z(i)(α) = 0. Начальная задача

Ω_lz = 0, t ∈ T, z(i)(α) = 0, i = 0,l - 1,

где Ω_l - ЛРО для системы (1), имеет согласно следствию 2 только одно решение z ≡ z(t) =

= [Λ_kx - f] = 0. ДАУ Λ_kx = f имеет решение типа Коши. СЛАУ

Xk-1(α)χ = a

ψk-1(α),

где

Xk-1(t) = dk-1[X_d],

ψk-1(t) = dk-1[ψ], имеет единственное решение χ. Для завершения

доказательства необходимо применить лемму 1, из которой следует, что все начальные векторы

принадлежат многообразию P^-xa_x+(E₂-P^-xP_x)c, где вектор c пробегает все значения из R^nk.

Пример 4. Рассмотрим начальную задачу

(

)

(

)

(

)

2+γ

(2 + γ)e^t + 5e2t

Λ₁x

A₁ x

A₀x =

t ∈ T = [0,1],

(13)

4 + 4γ

(4 + 4γ)e^t + 12e2t

P_xx(α) = (1,2)x(0) = a_x = 3.

Если γ = 0, то индекс ДАУ l = 1, размерность ПР d = 1, в качестве ЛРО можно принять

оператор

(

)

Ω₁ = diag{1,(d/dt)}L, L =

-2

Матрицы и векторы в формуле (12) имеют вид G₀

A₁, B₀

A₀,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

-2c₂

c₁

7+γ

3 + 2γ

P^-xa_x =

· 3, (E₂ - P-x P_x)c=

∈R², h=

c₂.

c₂

16 + 4γ

4 + 8γ

Из условия равенства рангов (12) следует уравнение (1 - 2γ)c₂ = 1 - 2γ; c₂ = 1 для любого

γ = 1/2. Итак, для любого γ = 1/2 имеем

x(0) = P^-xa_x + (E₂ - P^-xP_x)c = (1, 1)^т, x = (e^t, e2t)^т.

Если γ = 1/2, то умножением ДАУ (13) на матрицу L выделим алгебраическое уравнение

(1, 2)x = e^t + 2e2t, t ∈ T, и начальное условие является его следствием при t = 0. Начальная

задача совместна, но её решение неединственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

Если γ = 0, то d = 0, l = 2. В формуле (12) матрицы и векторы имеют вид

)

(

)

(

)

A₁

A₀

-2c₂

G₁ =

B₁ =

h = d₁[f(t)]|t=0, P-x a_x =

· 3, (E₂ -P^-xP_x)c =

A₀

A₁

c₂

Проделав аналогичные выкладки при l = 1, получим, что c₂ = 1, x(0) = (1, 1)^т.

4. Общие свойства вырожденных систем ИДУ. По аналогии с ДАУ введём следую-

щие понятия.

Определение 7. Пространство решений однородной системы ИДУ (3) конечномерно, если

все произведения

Y_d(t)c, где

Y_d(t) - (n × d)-матрица из C^k(T), c - вектор произвольных

постоянных, являются решениями системы ИДУ, и на отрезке T нет других решений.

Минимально возможное значение целочисленного параметра d называется размерностью

ПР системы (3). ПР однородной системы ИДУ (3) бесконечномерно, если оно содержит беско-

нечное количество линейно-независимых решений.

Определение 8. Если существуют операторы

∑

Ω_ϱ =

L_j(t)(d/dt)^j,

Ω_r =

R_j(t)(d/dt)^j,

j=0

где

L_j(t),

R_j(t) - (n × n)-матрицы из C(T), обладающие свойствами

Ω_ϱ ◦ (Λ_k + V + λΦ)υ = (Λk

V +λΦ)υ, (Λ_k +V +λΦ)◦Ωrυ=(Λk

V + λΦ)υ,

υ ≡ υ(t) ∈ Cν+k(T) - произвольная вектор-функция, ν = {ϱ или r}, входные данные операто-

ров (Λk

V +λΦ), (Λk

V +λΦ) принадлежат пространствам C(T), C(T ×T) соответственно,

старшие коэффициенты операторовΛk,

Λ_k удовлетворяют условиям

A_k(t) = 0, de

A_k(t) = 0 для любого t ∈ T,

то они называются левым и правым регуляризирующими операторами для системы (3), а

наименьшие возможные ϱ, r называются её индексами (левым и правым).

Для систем ИДУ теряется часть важных свойств общих решений ДАУ с решением типа

Коши, отмеченных в замечании 6.

Пример 5. Рассмотрим одномерный пример

∫t

y(t) + b²y(s) ds = 0, t ∈ T = [0, 1], y(t_∗) = a, t_∗ ∈ T.

Общее решение здесь имеет вид y(t, c) = c cos(bt), c ∈ R¹. Начальная задача с условием

y(0) = a имеет единственное решение y(t) = a cos(bt) при любом a ∈ R¹.

Если a = 0, t_∗ > 0 и t_∗b = π/2, то задача не имеет на отрезке [0, 1] решений, так как

y(t_∗) = 0. В случае y(t_∗) = 0, t_∗b = π/2 видим, что y(t, c) = c cos(bt) при любом c ∈ R¹.

Пример 6. Рассмотрим уравнения

∫

0v(t) + v(t) - v(s)ds = 1,

0y(t) + y(t) - y(s)ds = 1, t ∈ T,

которые имеют решения v(t) = 1/(1 - τ), τ = β - α, y(t) = e(t-α). В отличие от ДАУ с

решением типа Коши ИДУ “помнят” отрезок, на котором определены, и при произвольных

сужениях отрезка T₀ ⊂ T решения меняются (или могут вообще не существовать).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

Пример 7. Рассмотрим систему

(

)

(

)

∫

(

)

(Λ₁ + V )y =

y(t) +

y(t) + (t - s)^ν

y(s) ds = f(t),

где t ∈ T = [0, 1], f(t) ∈ Cν+2(T ). Здесь определён ЛРО в смысле определения 8, а именно,

)(

)

⁽1

Ω₂ =

(d/dt)ν+2

-4

ПР системы Λ₁x = 0, t ∈ T, бесконечномерно. В качестве базиса ПР можно взять набор

вектор-функций φ_j = (t^j , -t^j)^т, j ∈ N

^⋃{0}, ЛРО для оператора Λ₁ не существует. Для

разрешимости рассматриваемой системы ИДУ необходимо выполнение условия

(d/dt)^j [f₂(t) - 4f₁(t)]|t=0 = 0, j = 0, ν + 1.

Итак, в отличие от ДАУ существование ЛРО для оператора вырожденной системы ИДУ

не гарантирует её разрешимость при сколь угодно гладких входных данных и в общем случае

индекс ИДУ не ограничен числом nk. В случае нашего примера ν можно задавать произ-

вольно.

Пример 8. Рассмотрим систему

∫t

(

)

f₁(t)

(Λ₁ + γV )y = A₁ y(t) + y(t) + γ A^т1y(s) ds = f(t) =

t ∈ T = [0,1],

f₂(t)

где

(

)

A₁ =

A²¹ = 0, f(t) ∈ C²(T).

∫t

Решение y = (y₁(t), f₂(t) - γ

y₁(s)ds)^т, где y₁(t) = [f₁(t) -

2(t)]/(1 - γ), единственно. Для

операторов Λ₁, (Λ₁+γV ), γ = 1, определены индексы l = 2, ϱ = 2 в смысле определений 5, 8.

Здесь l > k, k = 1. При γ = 1 ПР системы (Λ₁ + γV )y = 0, t ∈ T, бесконечномерно.

В качестве базиса можно принять φ_j (t) = (-jtj-1, t^j)^т, j ∈ N. Не существует ЛРО и для

совместности системы ИДУ необходимо выполнение условия f₁(t)

f₂(t) = 0, t ∈ T.

Определение 9. Совокупность системы (3) и её производных до порядка i включитель-

но d_i[(Λ_k + V + λΦ)y - f] = 0, t ∈ T, где d_i[ · ] - оператор из формул (6), называется i-

продолженной системой (3).

Продолженную систему из определения 9 с использованием формулы (6) запишем в виде

равенства

∫^t

∫

D_i[A,K]yi+k + d_i[K(t,s)]y(s)ds + λ d_i[K(t,s)]y(s)ds = d_i[f(t)],

(14)

где

(

)

∑

D_i[A,K] = D_i[A] +

M_i[Qj-1]E_-j, E_-j =

En(i+1-j)

j=1

нулевые блоки в матрице E_-j уравнивают размерности слагаемых матриц, Qj-1 ≡ Qj-1(t) =

= ∂j-1K(t,s)/∂tj-1|t=s, yi+k = di+k[y]. Ниже используется аналог разбиения из формул (10):

(

)

D_i[A,K] =

B_i(t)

Γ_i[A,K]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

Лемма 6. Пусть для системы ИДУ (3) выполнены условия:

1) левый индекс определён и равен ϱ;

2) rank Γ_i[A, K] = const, t ∈ T.

Тогда, начиная с некоторого i = ϱ, справедливо равенство

(

)

E_n

Γ-

[A, K]Γi[A, K] =

t∈T,

(15)

Z₂₁(t)

Z₂₂(t)

где первые n строк матрицыΓ-ϱ[A, K], разбитые на (n × n)-блоки, можно принять в каче-

стве коэффициентов ЛРО для системы (3).

Доказательство. Из определения 8 следует, что, умножив строки матрицыΓi[A, K] на

коэффициенты ЛРО и сложив их, получим матрицу с первой блочной строкой

A_k(t),0,... ,0).

Так как имеет место неравенство de

A_k(t) = 0 для любого t ∈ T, видим, что в СЛАУ

Γ_ϱ[A,K]Z = 0, t ∈ T,

первые n компонент вектор-функции Z с необходимостью равны нулю. Из леммы 1 и условия

о постоянстве ранга матрицы этой СЛАУ следует, что найдётся матрицаΓϱ[A, K] нужной нам

гладкости и все решения СЛАУ описываются формулой

Z = {En(ϱ+1) - Γ-ϱ [A,K]Γϱ[A,K]}u, t ∈ T,

где u - произвольная вектор-функция подходящей размерности. Из этого соотношения следует

справедливость равенства (15) и утверждения в целом.

Опишем самый простой класс вырожденных систем линейных ИДУ общего вида.

Теорема 3. Пусть для системы ИДУ (3) выполнены условия:

1) оператор Λ_k из системы (3) удовлетворяет условиям теоремы 1 и его левый индекс

равен l ≤ k;

2) K(t, s), K(t, s) ∈ C^k(T × T ), f(t) ∈ C^k(T ).

Тогда:

1) в качестве ЛРОΩϱ для оператора системы ИДУ (3) можно принять оператор Ω_l;

2) система (3) при λ = 0 разрешима и её общее решение имеет структуру вида

y(t, c) = Y_d(t)c + ϕ(t), t ∈ T,

где Y_d(t) = (E_n + V)X_d(t), ϕ(t) = (E_n + V)ψ(t), V - некоторый оператор Вольтерры, X_d(t) -

матрица, ψ(t) - вектор-функция, c - вектор из определения 4;

3) система (3) разрешима при всех λ, за исключением не более чем счётного множества

значений λ_j , j ∈ N, и её общее решение имеет структуру вида

y(t, c) = Y_d(t)c + ξ(t), t ∈ T,

где Y_d(t) = (E_n +λW)(E_n +V)X_d(t), ξ(t) = (E_n +λW)(E_n +V)ψ(t), W - некоторый оператор

Фредгольма, 0 < |λ₁| < |λ₂| < ...

Доказательство. Прямое вычисление показывает, что при l ≤ k справедливо равенство

Γ_l[A] =Γl[A,K], из которого согласно лемме 4 следует справедливость утверждения 1) те-

оремы.

Запишем систему (3) в виде равенства

Λ_ky = -V y - λΦy + f : Λ_ky = w(t), t ∈ T,

∫_β

∫t

где w(t) = -

K(t, s)y(s) ds - λ

K(t, s)y(s) ds + f(t). Используя формулы обращения (7) и

(11), с учётом условия l ≤ k запишем выражение

∫^t

y(t, c) = X_d(t)c + K(t, s)w(s) ds + C₀(t)w(t), t ∈ T.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

Согласно утверждениям из монографии [23] произведение операторов Вольтерры является

оператором Вольтерры, произведение оператора Вольтерры и оператора Фредгольма - опера-

тором Фредгольма. Таким образом, получено интегральное уравнение вида

∫t

∫

y(t) = W(t, s)y(s) ds + λ W (t, s)y(s) ds + ζ(t),

(16)

где

∫

[

∫

]

∫

W(t, s)y(s) ds =

K(t, s) K(s, τ)y(τ)dτ ds + C₀(t)K(t, s)y(s) ds,

∫

[

∫

]

∫

W (t, s)y(s) ds =

K(t, s) K(s, τ)y(τ)dτ ds + C₀(t)K(t, s)y(s) ds,

∫t

ζ(t) = X_d(t)c + K(t, s)f(s) ds + C₀(t)f(t).

Для системы ИУ (16) при λ = 0 в книге [23] приведена формула, из которой следует, что

∫t

y(t, c) = (E_n + V)ζ = ζ(t) +

^W (t, s)ζ(s) ds,

(17)

где

^W (t, s) - резольвентное ядро для системы (16), ζ ≡ ζ(t). Из формулы (17) вытекает

справедливость утверждения 2) теоремы.

Докажем утверждение 3), когда λ = 0. Запишем систему уравнений (17) в виде равенства

∫

y(t) = λ(E_n + V) W (t, s)y(s) ds + (E_n + V)ζ(t).

(18)

В силу правила умножения операторов Вольтерры и Фредгольма система уравнений (18) яв-

ляется системой уравнений Фредгольма второго рода. Из этого факта следует справедливость

утверждения 3) теоремы. Теорема доказана.

Пример 9. Обратим внимание на следующее обстоятельство. При переходе от системы

ИДУ к системе ИУ (17) мы неявно предполагаем, что в последней y ∈ C^k(T ). Действительно,

предположения о гладкости входных данных гарантируют это. Но для систем ИДУ со слабой

особенностью в ядре это не так. Рассмотрим систему ИДУ

(

)(

)

(

)(

)

∫

(

)(

)

(

)

-1

y₁(t)

y₁(s)

(Λ₁ + V )y =

+ p(t,s)

ds =

y₂(t)

y₂(s)

f₂(t)

где t ∈ T = [0, 1], p(t, s) = (t - s)-γ ,

0 < γ < 1. Индекс оператора Λ₁ равен единице

и удовлетворяет условиям теоремы 3. Предположим, что γ = 1/2, и продифференцируем

второе уравнение по t, в результате получим

∫

y₂(0)

y₂(t) +

√

y₂(s) =

˙f

2(t), t ∈ T.

√t - s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

Из исходного уравнения следует, что y₂(0) = f₂(0). Условия f₂(t) ∈ C¹(T ) для выполнения

включений y₁(t), y₂(t) ∈ C¹(T ) здесь мало. Необходимо ещё выполнение условия f₂(0) = 0.

Докажем утверждения о разрешимости систем ИДУ при более общих предположениях.

Теорема 4. Пусть для системы (3) при λ = 0 выполнены условия:

1) A_i(t) ∈ C2ϱ(T ), i = 0, k, K(t, s) ∈ C2ϱ(T × T ), f(t) ∈ C^ϱ(T );

2) существует ЛРОΩϱ из определения 8;

3) rank Dϱ-1 = (rank Dϱ-1 | h), Dϱ-1 =Dϱ-1[A, K]|t=α, h = dϱ-1[f(t)]|t=α.

Тогда:

1) система разрешима и её общее решение имеет вид

y(t, c) = Y_d(t)c + ξ(t),

(19)

где Y_d(t) - (n × d)-матрица из C^k(T ) со свойством rank dk-1[Y_d(t)]|t=α = d, c - вектор

произвольных постоянных,

∫

∑

ξ(t) = (Λ_ϱ-k + V )f =

C_j(t)f(j)(t) + K(t,s)f(s)ds, ϱ ≥ k, ξ(t) = V f, k > ϱ,

j=0

K(t, s), C_j(t) - некоторые (n × n)-матрицы, t ∈ T, (t, s) ∈ T × T ;

2) существует ПРО, причём правый и левый индексы системы (3) равны.

Доказательство. Условие 3) теоремы является условием Кронекера-Капелли и означает,

что производные невязки, вектор-функции

z(i)(t) = (d/dt)ⁱ[(Λ_k + V )y - f], t ∈ T, i = 0,ϱ - 1,

удовлетворяют условиям z(i)(α) = 0 в силу формулы (14).

Начальная задача

Ω_ϱ ◦ (Λ_k + V )y = (Λk

V )y = 0, t ∈ T, y(j)(α) = 0, j = 0, k - 1,

имеет только одно решение y ≡ y(t) = 0, так как система

(Λk

V )y = 0, t ∈ T,

приводима к нормальной форме. Отсюда следует, что начальная задача

Ω_ϱz = 0, t ∈ T, z(i)(α) = 0, i = 0,ϱ - 1,

также имеет только одно решение z ≡ z(t) = 0.

Таким образом, исходное уравнение (Λ_k + V )y = f, t ∈ T, имеет по крайней мере одно

решение при любом свободном члене f ≡ f(t), удовлетворяющем условию 3) теоремы, так

как z = (Λ_k + V )y - f, t ∈ T.

Далее, общее решение системы невырожденных ИДУ

Ω_ϱ ◦ (Λ_k + V )y = (Λk

V )y = Ωϱf(t), t ∈ T,

имеет вид

∫t

ŷ(t, c)

Y (t)c + ϖ(t), ϖ(t) = Ψ(t, s)[Ω_ϱf(s)] ds, t ∈ T, (t, s) ∈ T × T,

(20)

где

Y (t) - (n × kn)-матрица из C^k(T ) со свойством det dk-1

Y (t)]|t=α = 0, c - вектор произ-

вольных постоянных, ядро Ψ(t, s) - некоторая (n × n)-матрица со свойством

∂^jΨ(t,s)/∂t^j|t=s ≡ 0, t ∈ T, j = 0,k - 1.

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

Если подставить сумму (20) в исходную систему, то получим систему алгебраических уравне-

ний M(t)c = m(t), где M(t) = (Λ_k + V

Z(t), m(t) = f(t) - (Λ_k + V )ϖ(t), и согласно лемме 1

все её решения представимы в виде соотношения

c = C^-θ + (E_kn - C^-C)υ для любого υ ∈ R^kn,

∫

C = M^т(s)M(s)ds, θ = M^т(s)m(s)ds.

(22)

Подставив выражение для c из формулы (22) в формулу (20) и проинтегрировав по час-

тям с учётом формул (21) выражение для вектор-функции ϖ(t), получим доказательство

утверждения 1) теоремы. Методы доказательства утверждения 2) теоремы можно найти в

монографии [5, леммы 4.1-4.3]. Теорема доказана.

Следствие 4. Пусть в условии 3) теоремы 4 rank Dϱ-1 = ϱn.

Тогда система (3) разрешима при всех λ, за исключением не более чем счётного множе-

ства значений λ_j, j ∈ N, и её общее решение имеет структуру вида

y(t, c) = (E_n + λW₀)Y_d(t)c + (E_n + λW₀)ξ(t), t ∈ T,

где W₀ - некоторый оператор Фредгольма.

Доказательство. Запишем систему (3) в виде равенства

(Λ_k + V )y = -λΦy + f, t ∈ T.

(23)

Ранговое условие гарантирует разрешимость системы ИДУ

(Λ_k + V )y = w, t ∈ T,

при любой заданной достаточно гладкой вектор-функции w ≡ w(t). Используя формулы

обращения (19), для системы (23) запишем выражение

y = Y_d(t)c + ξ(t) + λ(Λ_ϱ-k - V )Φy, t ∈ T.

(24)

Подробно проделав выкладки, убеждаемся, что система (24) является системой ИУ Фредголь-

ма второго рода. Разрешая систему, убеждаемся в справедливости следствия.

Для начальной задачи (3), (4) при λ = 0 можно сформулировать и доказать утвержде-

ние о совместности, аналогичное лемме 5. При λ = 0 возникают трудности, отмеченные в

замечании 2 и не преодолённые до сих пор. Приведём очевидное утверждение.

Лемма 7. Начальная задача (3), (4) в условиях следствия 4 разрешима тогда и только

тогда, когда разрешима СЛАУ

Yk-1(α)c = a_y

ξk-1(α),

где

Yk-1(t) = P_ydk-1[(E_n + λW₀)Y_d(t)],

ξk-1(t) = P_ydk-1[(E_n + λW₀)ξ(t)], относительно

вектора c. Если решение c одно, то решение начальной задачи единственно.

Замечание 7. Обратим внимание, что в условиях теоремы 4 левый обратный оператор

Λ_ϱ-k + V к оператору системы (3) Λ_k + V является ИДО с вырожденной матрицей при

старших производных. Но пока нет утверждений об обратимости утверждения 1) теоремы 4

(аналога теоремы 1).

Таким образом, условие rank Dϱ-1 = ϱn гарантирует, что система ИДУ (3) не содержит

подсистем вида

∫

K₁(t,s)y₁(s)ds + λ K₁(t,s)y₁(s)ds = f₁(t), t ∈ T,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

ЧИСТЯКОВ, ЧИСТЯКОВА

где K₁(t, s), K₁(t, s) - некоторые матрицы (в общем случае прямоугольные), y₁(t), f₁(t) -

линейные комбинации компонент вектор-функций y(t) и f(t) соответственно.

Пример 10. Рассмотрим два модельных ИУ

∫

y(s) ds + λ y(s) ds = f(t),

w(s) ds + λ tw(s) ds = f(t), t ∈ T = [0, 1].

(25)

При t = 0 имеем необходимые условия совместности

∫¹

λ y(s)ds = f(0), f(0) = 0.

Дифференцируя ИУ (25) по t, получаем

∫1

y(t) =

(t), w(t) + λ w(s) ds =

(t), t ∈ T.

Разберём до конца случай с решением y(t). Подставив y(t) =

(t) в условие совместности,

получим равенства

∫1

(s) ds = λ[f(1) - f(0)] = f(0).

Итак, первое ИУ (25) разрешимо тогда и только тогда, когда (1 + λ)f(0) - λf(1) = 0. При

λ = 0 это стандартное условие разрешимости уравнения

∫

y(s) ds = f(t), t ∈ T.

Выкладки показали, что в случае общих систем ИДУ (3) условия на f(t) могут быть сложнее,

чем условие 3) теоремы 4.

Полный анализ второго уравнения предоставляем провести читателю. Обращаем внимание,

что пример имеет ненулевые характеристические числа.

Заключение. Отметим, что содержание статьи является подготовительным материалом

для построения численных методов решения начальных задач вида (3), (4) на основе метода

наименьших квадратов или родственного ему метода нормальных сплайнов [16, 24]).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образова-

ния Российской Федерации в рамках госзадания по проекту “Теория и методы исследования

эволюционных уравнений и управляемых систем с их приложениями” (№ гос. регистрации

121041300060-4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lamour R., März R., Tischendorf C. Differential-Algebraic Equations: a Projector Based Analysis. Berlin,

2013.

2. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск,

1996.

3. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравне-

ниями. Днепропетровск, 2006.

4. Белов А.А. Дескрипторные системы и задачи управления. М., 2015.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

5. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле-

дования. Новосибирск, 1998.

6. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингу-

лярных систем. Новосибирск, 1989.

7. Чистяков В.Ф., Чистякова Е.В. Линейные дифференциально-алгебраические уравнения с возму-

щениями в виде интегральных операторов Вольтерры // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 10.

C. 1309-1320.

8. Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского

типа // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3. № 2. С. 104-125.

9. Бояринцев Ю.Е., Корсуков B.M. Применение разностных методов к решению регулярных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы прикладной математики. Иркутск, 1975.

С. 140-152.

10. Алгебро-дифференциальные системы и методы их решения / Под. ред. О.В. Васильева. Новоси-

бирск, 1993.

11. Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производ-

ной // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 5. С. 692-697.

12. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Но-

восибирск, 2003.

13. Чистякова Е.В. О свойствах разностных схем для вырожденных интегро-дифференциальных урав-

нений индекса 1 // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2009. Т. 49. № 9. С. 1579-1588.

14. Чистякова Е.В. Дифференциально-алгебраические уравнения с малым нелинейным членом

// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 9. С. 1365-1368.

15. Chistyakov V.F., Chistyakova E.V. On some properties of the Fredholm-type integral algebraic equations

// Mathematical Methods in the Applied Sciences. Special Issue on Integral Equations and their Appli-

cations. 2020. https://doi.org/10.1002/mma.6747.

16. Chistyakova E.V., Chistyakov V.F. Solution of differential algebraic equations with the Fredholm operator

by the least squares method // Appl. Numer. Math. 2020. V. 149. P. 43-51.

17. Bulatov M.V., Lima P., Weinmuller E. Existence and uniqueness of solutions to weakly singular integral-

algebraic and integro-differential equations // Central Eur. J. of Math. 2014. V. 12. № 2. P. 308-321.

18. Brunner H. Volterra Integral Equations: an Introduction to Theory and Applications. Cambridge, 2017.

19. Liang H., Brunner H. The convergence of collocation solutions in continuous piecewise polynomial spaces

for weakly singular Volterra integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 2019. V. 57. P. 1875-1896.

20. Liang H., Brunner H. Collocation methods for integro-differential algebraic equations with index 1

// IMA J. of Numer. Anal. 2020. V. 39. P. 850-885.

21. Чистяков В.Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро-дифференциальных систем // Сиб. мат.

журн. 1993. Т. 34. № 3. С. 209-221.

22. Щеглова А.А. Исследование и решение вырожденных систем обыкновенных дифференциальных

уравнений с помощью замен переменных // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. № 6. С. 1435-1445.

23. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М., 1975.

24. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Журн. вычислит. математики и мат. фи-

зики. 1989. Т. 29. № 2. С. 212-224.

Институт динамики систем и теории управления

Поступила в редакцию 09.11.2021 г.

имени В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск

После доработки 07.11.2022 г.

Принята к публикации 28.11.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023