ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.30-34
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.954
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ p-ЛАПЛАСИАНА
НА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
С МОДЕЛЬНЫМ КОНЦОМ
© 2023 г. В. В. Бровкин
Получен критерий существования решений второй краевой задачи для p-лапласиана на
римановых параболических многообразиях с модельным концом.
DOI: 10.31857/S0374064123010041, EDN: OBUWCJ
Пусть M - полное связное ориентированное риманово многообразие с краем (возможно
пустым). Будем рассматривать задачу
div (|∇u|p-2∇u) = f на M,
(1)
∂u
|∇u|p-2
= h,
(2)
∂ν
∂M
где p > 1 - некоторое вещественное число, ∇ и div - римановы градиент и дивергенция, ν -
вектор внешней нормали к ∂M, а f и h - обобщённые функции из пространства D′(M),
причём supp h ⊂ ∂M.
Если край многообразия M пустой, то условие Неймана (2) предполагается выполненным
автоматически. В этом случае всюду ниже считаем, что h = 0.
Под W1p,loc(Ω), где Ω - открытое подмножество M, понимается линейное пространство
функций, принадлежащих классу W1p(Ω′
⋂Ω) для любого открытого множества Ω′ ⊂ M с
компактным замыканием. Пространство Lp,loc(Ω) определяется аналогично. Через C∞0(M)
обозначаем пространство бесконечно гладких функций на M с компактным носителем.
Через L1p(Ω), где Ω - открытое подмножество M, обозначим линейное пространство обоб-
щённых функций u ∈ D′(Ω) таких, что ∇u ∈ Lp(Ω) [1, c. 12]. Полунорма в L1p(Ω) определя-
ется равенством
(∫
)
1/p
∥u∥L1
|∇u|p dV
p
(Ω) =
Ω
Решения задачи (1), (2) будем понимать в слабом смысле. Именно, говорим, что функция
u ∈ W1p,loc(M) является решением (1), (2), если
∫
-
|∇u|p-2∇u∇ϕ dV = (f - h, ϕ)
M
для любой функции ϕ ∈ C∞0(M), где dV - элемент объёма многообразия M.
На решения задачи (1), (2) будем накладывать следующее условие на бесконечности:
∫
|∇u|p dV < ∞.
(3)
M
30
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
31
Краевые задачи в неограниченных областях и на гладких многообразиях привлекают вни-
мание многих математиков [2-14]. Задача (1)-(3) на гиперболических многообразиях с мо-
дельным концом рассмотрена в статье [5]. В данной работе получен критерий существования
решений задачи (1)-(3) в случае параболического многообразия.
Определение 1. Ёмкость компакта B ⊂ Ω относительно открытого множества Ω ⊂ M
определяется соотношением
∫
capp(B, Ω) = inf
|∇ϕ|p dV,
ϕ
Ω
где inf берётся по всем функциям ϕ ∈ C∞0(Ω), тождественно равным единице в окрестности
этого компакта.
Если Ω = M, то вместо capp(B, Ω) пишем capp(B). Для произвольного замкнутого мно-
жества H ⊂ M полагаем, что
capp(H) = sup capp(B),
B
где sup берётся по всем компактам B ⊂ H. Ёмкость пустого множества считается равной
нулю.
Определение 2. Многообразие M называется p-параболическим, если его ёмкость равна
нулю, т.е. capp(M) = 0. В противном случае многообразие M называется p-гиперболическим.
Заметим, что многообразие M является p-параболическим тогда и только тогда, когда
произвольную константу можно приблизить в полунорме пространства L1p(M) функциями из
C∞0(M), равными единице в окрестности компакта ненулевой меры.
Несложно убедиться в том, что Rn - p-параболическое многообразие при p ≥ n и p-ги-
перболическое при p < n.
Для всех l ∈ D′(Ω) обозначим
NΩ(l) = sup
|(l, ϕ)|.
ϕ∈C∞0(Ω)
∥ϕ∥L1
=1
p(Ω)
При этом не исключается случай NΩ(l) = ∞.
Предположим, что многообразие M представимо в виде
M =ω
⋃D × [r0,∞), ω ⋂D × [r0,∞) = ∅,
(4)
где ω - предкомпактная область, D - компактное риманово многообразие с краем, а r0 > 0 -
некоторое вещественное число. Пусть также на множестве D × [r0, ∞) задана метрика
ds2 = a2(r) dr2 + b2(r)gij (θ) dθi dθj,
где a и b - положительные бесконечно гладкие функции на [r0, ∞), а gij и θi - метрический
тензор и локальные координаты на D. Назовём множество D × [r0, ∞) модельным концом
многообразия M по отношению к области ω (см. [3]). Обозначим
Mr0 = ω, Mr = ω
⋃D × [r0,r), r > r0.
Из явного выражения для ёмкостного потенциала компакта ω можно увидеть, что мно-
гообразие M с модельным концом является p-параболическим в том и только том случае,
когда
∞
∫
a(s)
ds = ∞.
b(n-1)/(p-1)(s)
r0
Положим
∫
r
a(s)
E(r) =
ds, r > r0.
(5)
b(n-1)/(p-1)(s)
r0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
32
БРОВКИН
Легко проверить, что функция E является p-гармонической на множестве M \ ω. Возьмём
последовательность вещественных чисел ri > r0, i ∈ N, такую, что
E(r1) = 1, E(ri) = 2E(ri-1), i = 2, 3, . . .
Теорема 1. Пусть M - p-параболическое многообразие с модельным концом (4). Обозна-
чим Ω1 = Mr1 и Ωi = Mri+1 \ Mri-2 , i = 2, 3, . . . Тогда для разрешимости задачи (1)-(3)
необходимо и достаточно, чтобы
∑
Np/(p-1)(f - h) < ∞
(6)
Ωi
i=1
и при этом для некоторой последовательности ηi ∈ C∞0(M) были выполнены условия
lim
(f - h, ηi) = 0, lim
∥ηi∥L1
и ηi
= 1, i ∈ N,
(7)
p(M) =0
K
i→∞
i→∞
где K - компакт положительной меры.
Приведём примеры, демонстрирующие применения теоремы 1. Всюду в этих примерах
будем считать, что p > 2.
Пример 1. Пусть M = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x23 - x21 - x22 = 1, x3 > 0} - плоскость Ло-
бачевского. Можно показать, что M является многообразием с модельным концом (4), где
ω = {(x1,x2,x3) ∈ M : x3 < 2}, r = x3, r0 = 2 и D - единичная окружность в R2 с угловой
координатой θ. При этом, очевидно, имеем равенство
ds2 = a2(r) dr2 + b2(r) dθ,
где
√
√
2r2 - 1
a(r) =
и b(r) =
r2 - 1.
r2 - 1
Обозначим через Q+i точку многообразия M с координатами r = 2i и θ = π/2, а через
Q-i - с координатами r = 2i и θ = -π/2. Рассмотрим задачу (1)-(3), где h = 0 и
∑
f (x) =
αi(δQ+
(x) - δQ- (x)).
i
i
i=1
Здесь αi ≥ 0 - вещественные числа, а δQ+(x) и δQ- (x) - дельта-функции Дирака, сосредото-
i
i
ченные в точках Q+i и Q-i. Другими словами,
∑
(f, ϕ) =
αi(ϕ(Q+i) - ϕ(Q-i)), ϕ ∈ C∞0(M).
i=1
Непосредственными вычислениями можно показать, что M - p-параболическое многооб-
разие, причём
ri ≍ 2i(p-1)/(p-2) при i → ∞.
Несложно также увидеть, что множества Ωi, i ∈ N, определённые в теореме 1, являются
предкомпактными областями, причём из оценок, полученных на основе теорем вложения, сле-
дует, что
∑
NΩi(f) ≍ 2i(p-1)/p
αj при i → ∞.
log2 ri-2<j<log2 ri+1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
33
Возьмём невозрастающую функцию η ∈ C∞(R), равную единице на промежутке (-∞, 0]
и нулю на [1, ∞). Можно убедиться в том, что последовательность ηi(x3) = η(2-ix3), i ∈
∈ N, удовлетворяет условиям теоремы 1. Таким образом, применив эту теорему, получим, что
задача (1)-(3) имеет решение в том и только том случае, когда
∑
2iαp/(p-1)i < ∞.
i=1
Пример 2. Пусть M - часть плоскости Лобачевского, рассмотренной в предыдущем при-
мере, состоящая из точек (x1, x2, x3) таких, что x1 ≥ 0. Положим правую часть f уравнения
(1) равной нулю, а функцию h, параметризуя край многообразия координатой x2, зададим
соотношением
h(x2) = (1 + x22)σ/2 sign x2,
где σ ∈ R. Заметим, что h - нечётная, вообще говоря, разрывная функция переменной x2.
Из оценок, полученных на основе теорем вложения, имеем
NΩi (h) ≍ 2i(p-1)(σ+2(p-1)/p)/(p-2) при i → ∞,
где Ωi - множества, определённые в теореме 1. Тем самым, применив теорему 1 с той же
последовательностью {ηi}∞i=1, что и в предыдущем примере, получим, что для разрешимости
задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
2(p - 1)
σ<-
p
Теорема 1 обобщается на случай произвольного p-параболического риманова многообразия
(не обязательно с модельным концом). Именно, имеет место следующая
Теорема 2. Пусть M - p-параболическое многообразие и Ω ⊂ M - липшицева область с
компактным замыканием. Предположим, что существует функция E такая, что
∂E
ΔpE = 0 на M \ Ω, E > 0 на M \ Ω, E|∂Ω = 0,
= 0,
∂ν
∂M\Ω
и при этом для любого вещественного числа A > 0 множество {x ∈ M \ Ω : E(x) ≤ A}
компактно. Положим
Ω1 = Ω
⋃ {x ∈ M \ Ω : E(x) < 4}, Ωi = {x ∈ M \ Ω : 2i-1 < E(x) < 2i+1}, i = 2, 3, . . .
Тогда для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
условия (6) и (7), где ηi ∈ C∞0(M), i ∈ N, а K - компакт положительной меры.
Замечание. Функцию E, определённую в теореме 2, принято называть потенциалом
Эванса-Селберга многообразия M. В случае p-параболического многообразия с модельным
концом примером такого потенциала, очевидно, является функция E, заданная равенством (5).
В общем случае теоремы существования потенциала Эванса-Селберга можно найти в рабо-
тах [13, 14].
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А. Конькову
за постановку задачи и внимание к работе.
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
34
БРОВКИН
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л., 1985.
2. Cheng S.Y., Yau S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications
// Comm. Pure Appl. Math. 1975. V. 28. № 3. P. 333-354.
3. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // Math.
Z. 2012. V. 272. № 1-2. P. 459-472.
4. Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for harmonic function on
noncompact Riemannian manifolds // Пробл. анал. Issues Anal. 2019. V. 8 (26). № 3. P. 73-82.
5. Бровкин В.В. О существовании решений задачи Неймана для p-лапласиана на гиперболических
многообразиях с модельным концом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 139-141.
6. Бровкин В.В., Коньков А.A. О существовании решений второй краевой задачи для p-лапласиана
на римановых многообразиях // Мат. заметки. 2021. Т. 109. № 2. С. 180-195.
7. Гадыльшин Р.Р., Чечкин Г.А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом гра-
ничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40. № 2. С. 271-287.
8. Григорьян А.А. О размерности пространств гармонических функций // Мат. заметки. 1990. Т. 48.
№ 5. С. 55-61.
9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О параболических по времени решениях параболических уравне-
ний второго порядка во внешних областях // Вестн. Московского ун-та. Сер. Математика. 1985.
Т. 39. № 4. С. 38-47.
10. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных об-
ластяx // Мат. сб. 1993. Т. 184. № 12. С. 23-52.
11. Коньков А.А. О пространстве решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях
// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 5. С. 805-813.
12. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряжённых эллиптических уравнений в
случае неограниченных областей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1967. Т. 31. № 5. С. 1179-1199.
13. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Aspects of potential theory on manifolds, linear and non-linear // Milan
J. Math. 2008. V. 76. P. 229-256.
14. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Some non-linear function theoretic properties of Riemannian manifolds
// Rev. Mat. Iberoamericana. 2006. V. 22. № 3. P. 801-831.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 24.07.2022 г.
имени М.В. Ломоносова
После доработки 21.10.2022 г.
Принята к публикации 21.10.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023