ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.30-34

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.954

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ

ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ p-ЛАПЛАСИАНА

НА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

С МОДЕЛЬНЫМ КОНЦОМ

Получен критерий существования решений второй краевой задачи для p-лапласиана на

римановых параболических многообразиях с модельным концом.

DOI: 10.31857/S0374064123010041, EDN: OBUWCJ

Пусть M - полное связное ориентированное риманово многообразие с краем (возможно

пустым). Будем рассматривать задачу

div (|∇u|p-2∇u) = f на M,

(1)



∂u

|∇u|p-2



= h,

(2)



∂ν

∂M

где p > 1 - некоторое вещественное число, ∇ и div - римановы градиент и дивергенция, ν -

вектор внешней нормали к ∂M, а f и h - обобщённые функции из пространства D^′(M),

причём supp h ⊂ ∂M.

Если край многообразия M пустой, то условие Неймана (2) предполагается выполненным

автоматически. В этом случае всюду ниже считаем, что h = 0.

Под W1p,loc(Ω), где Ω - открытое подмножество M, понимается линейное пространство

функций, принадлежащих классу W1p(Ω^′

^⋂Ω) для любого открытого множества Ω^′ ⊂ M с

компактным замыканием. Пространство Lp,loc(Ω) определяется аналогично. Через C∞0(M)

обозначаем пространство бесконечно гладких функций на M с компактным носителем.

Через L1p(Ω), где Ω - открытое подмножество M, обозначим линейное пространство обоб-

щённых функций u ∈ D^′(Ω) таких, что ∇u ∈ L_p(Ω) [1, c. 12]. Полунорма в L1p(Ω) определя-

ется равенством

(∫

)

1/p

∥u∥_L1

|∇u|^p dV

(Ω) =

Решения задачи (1), (2) будем понимать в слабом смысле. Именно, говорим, что функция

u ∈ W1p,loc(M) является решением (1), (2), если

∫

|∇u|p-2∇u∇ϕ dV = (f - h, ϕ)

для любой функции ϕ ∈ C∞0(M), где dV - элемент объёма многообразия M.

На решения задачи (1), (2) будем накладывать следующее условие на бесконечности:

∫

|∇u|^p dV < ∞.

(3)

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА

Краевые задачи в неограниченных областях и на гладких многообразиях привлекают вни-

мание многих математиков [2-14]. Задача (1)-(3) на гиперболических многообразиях с мо-

дельным концом рассмотрена в статье [5]. В данной работе получен критерий существования

решений задачи (1)-(3) в случае параболического многообразия.

Определение 1. Ёмкость компакта B ⊂ Ω относительно открытого множества Ω ⊂ M

определяется соотношением

∫

cap_p(B, Ω) = inf

|∇ϕ|^p dV,

где inf берётся по всем функциям ϕ ∈ C∞0(Ω), тождественно равным единице в окрестности

этого компакта.

Если Ω = M, то вместо cap_p(B, Ω) пишем cap_p(B). Для произвольного замкнутого мно-

жества H ⊂ M полагаем, что

cap_p(H) = sup cap_p(B),

где sup берётся по всем компактам B ⊂ H. Ёмкость пустого множества считается равной

нулю.

Определение 2. Многообразие M называется p-параболическим, если его ёмкость равна

нулю, т.е. cap_p(M) = 0. В противном случае многообразие M называется p-гиперболическим.

Заметим, что многообразие M является p-параболическим тогда и только тогда, когда

произвольную константу можно приблизить в полунорме пространства L1p(M) функциями из

C∞0(M), равными единице в окрестности компакта ненулевой меры.

Несложно убедиться в том, что Rⁿ - p-параболическое многообразие при p ≥ n и p-ги-

перболическое при p < n.

Для всех l ∈ D^′(Ω) обозначим

N_Ω(l) = sup

|(l, ϕ)|.

ϕ∈C∞0(Ω)

∥ϕ∥L1

p(Ω)

При этом не исключается случай N_Ω(l) = ∞.

Предположим, что многообразие M представимо в виде

M =ω

^⋃D × [r₀,∞), ω ^⋂D × [r₀,∞) = ∅,

(4)

где ω - предкомпактная область, D - компактное риманово многообразие с краем, а r₀ > 0 -

некоторое вещественное число. Пусть также на множестве D × [r₀, ∞) задана метрика

ds² = a²(r) dr² + b²(r)g_ij (θ) dθⁱ dθ^j,

где a и b - положительные бесконечно гладкие функции на [r₀, ∞), а g_ij и θⁱ - метрический

тензор и локальные координаты на D. Назовём множество D × [r₀, ∞) модельным концом

многообразия M по отношению к области ω (см. [3]). Обозначим

Mr0 = ω, M_r = ω

^⋃D × [r₀,r), r > r₀.

Из явного выражения для ёмкостного потенциала компакта ω можно увидеть, что мно-

гообразие M с модельным концом является p-параболическим в том и только том случае,

когда

∞

∫

a(s)

ds = ∞.

b(n-1)/(p-1)(s)

r₀

Положим

∫

a(s)

E(r) =

ds, r > r₀.

(5)

b(n-1)/(p-1)(s)

r₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

БРОВКИН

Легко проверить, что функция E является p-гармонической на множестве M \ ω. Возьмём

последовательность вещественных чисел r_i > r₀, i ∈ N, такую, что

E(r₁) = 1, E(r_i) = 2E(ri-1), i = 2, 3, . . .

Теорема 1. Пусть M - p-параболическое многообразие с модельным концом (4). Обозна-

чим Ω₁ = Mr1 и Ω_i = Mri+1 \ Mri-2 , i = 2, 3, . . . Тогда для разрешимости задачи (1)-(3)

необходимо и достаточно, чтобы

∑

Np/(p-1)(f - h) < ∞

(6)

Ω_i

i=1

и при этом для некоторой последовательности η_i ∈ C∞0(M) были выполнены условия



lim

(f - h, η_i) = 0, lim

∥η_i∥_L1

и η_i

= 1, i ∈ N,

(7)

p(M) =0

i→∞

где K - компакт положительной меры.

Приведём примеры, демонстрирующие применения теоремы 1. Всюду в этих примерах

будем считать, что p > 2.

Пример 1. Пусть M = {(x₁, x₂, x₃) ∈ R³ : x²³ - x²¹ - x²² = 1, x₃ > 0} - плоскость Ло-

бачевского. Можно показать, что M является многообразием с модельным концом (4), где

ω = {(x₁,x₂,x₃) ∈ M : x₃ < 2}, r = x₃, r₀ = 2 и D - единичная окружность в R² с угловой

координатой θ. При этом, очевидно, имеем равенство

ds² = a²(r) dr² + b²(r) dθ,

где

√

2r² - 1

a(r) =

и b(r) =

r² - 1.

r² - 1

Обозначим через Q+i точку многообразия M с координатами r = 2ⁱ и θ = π/2, а через

Q^-i - с координатами r = 2ⁱ и θ = -π/2. Рассмотрим задачу (1)-(3), где h = 0 и

∑

f (x) =

α_i(δ_Q+

(x) - δ_Q- (x)).

i=1

Здесь α_i ≥ 0 - вещественные числа, а δ_Q+(x) и δQ- (x) - дельта-функции Дирака, сосредото-

ченные в точках Q+i и Q^-i. Другими словами,

∑

(f, ϕ) =

α_i(ϕ(Q+i) - ϕ(Q^-i)), ϕ ∈ C∞0(M).

i=1

Непосредственными вычислениями можно показать, что M - p-параболическое многооб-

разие, причём

r_i ≍ 2i(p-1)/(p-2) при i → ∞.

Несложно также увидеть, что множества Ω_i, i ∈ N, определённые в теореме 1, являются

предкомпактными областями, причём из оценок, полученных на основе теорем вложения, сле-

дует, что

∑

NΩi(f) ≍ 2i(p-1)/p

α_j при i → ∞.

log₂ ri-2<j<log₂ ri+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА

Возьмём невозрастающую функцию η ∈ C^∞(R), равную единице на промежутке (-∞, 0]

и нулю на [1, ∞). Можно убедиться в том, что последовательность η_i(x₃) = η(2^-ix₃), i ∈

∈ N, удовлетворяет условиям теоремы 1. Таким образом, применив эту теорему, получим, что

задача (1)-(3) имеет решение в том и только том случае, когда

∑

2iαp/(p-1)i < ∞.

i=1

Пример 2. Пусть M - часть плоскости Лобачевского, рассмотренной в предыдущем при-

мере, состоящая из точек (x₁, x₂, x₃) таких, что x₁ ≥ 0. Положим правую часть f уравнения

(1) равной нулю, а функцию h, параметризуя край многообразия координатой x₂, зададим

соотношением

h(x₂) = (1 + x²²)σ/2 sign x₂,

где σ ∈ R. Заметим, что h - нечётная, вообще говоря, разрывная функция переменной x₂.

Из оценок, полученных на основе теорем вложения, имеем

NΩi (h) ≍ 2i(p-1)(σ+2(p-1)/p)/(p-2) при i → ∞,

где Ω_i - множества, определённые в теореме 1. Тем самым, применив теорему 1 с той же

последовательностью {η_i}∞i=1, что и в предыдущем примере, получим, что для разрешимости

задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

2(p - 1)

σ<-

Теорема 1 обобщается на случай произвольного p-параболического риманова многообразия

(не обязательно с модельным концом). Именно, имеет место следующая

Теорема 2. Пусть M - p-параболическое многообразие и Ω ⊂ M - липшицева область с

компактным замыканием. Предположим, что существует функция E такая, что



∂E



Δ_pE = 0 на M \ Ω, E > 0 на M \ Ω, E|∂Ω = 0,

= 0,



∂ν

∂M\Ω

и при этом для любого вещественного числа A > 0 множество {x ∈ M \ Ω : E(x) ≤ A}

компактно. Положим

Ω₁ = Ω

^⋃ {x ∈ M \ Ω : E(x) < 4}, Ω_i = {x ∈ M \ Ω : 2i-1 < E(x) < 2i+1}, i = 2, 3, . . .

Тогда для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены

условия (6) и (7), где η_i ∈ C∞0(M), i ∈ N, а K - компакт положительной меры.

Замечание. Функцию E, определённую в теореме 2, принято называть потенциалом

Эванса-Селберга многообразия M. В случае p-параболического многообразия с модельным

концом примером такого потенциала, очевидно, является функция E, заданная равенством (5).

В общем случае теоремы существования потенциала Эванса-Селберга можно найти в рабо-

тах [13, 14].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А. Конькову

за постановку задачи и внимание к работе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

БРОВКИН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л., 1985.

2. Cheng S.Y., Yau S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications

// Comm. Pure Appl. Math. 1975. V. 28. № 3. P. 333-354.

3. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // Math.

Z. 2012. V. 272. № 1-2. P. 459-472.

4. Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for harmonic function on

noncompact Riemannian manifolds // Пробл. анал. Issues Anal. 2019. V. 8 (26). № 3. P. 73-82.

5. Бровкин В.В. О существовании решений задачи Неймана для p-лапласиана на гиперболических

многообразиях с модельным концом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 139-141.

6. Бровкин В.В., Коньков А.A. О существовании решений второй краевой задачи для p-лапласиана

на римановых многообразиях // Мат. заметки. 2021. Т. 109. № 2. С. 180-195.

7. Гадыльшин Р.Р., Чечкин Г.А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом гра-

ничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40. № 2. С. 271-287.

8. Григорьян А.А. О размерности пространств гармонических функций // Мат. заметки. 1990. Т. 48.

№ 5. С. 55-61.

9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О параболических по времени решениях параболических уравне-

ний второго порядка во внешних областях // Вестн. Московского ун-та. Сер. Математика. 1985.

Т. 39. № 4. С. 38-47.

10. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных об-

ластяx // Мат. сб. 1993. Т. 184. № 12. С. 23-52.

11. Коньков А.А. О пространстве решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях

// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 5. С. 805-813.

12. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряжённых эллиптических уравнений в

случае неограниченных областей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1967. Т. 31. № 5. С. 1179-1199.

13. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Aspects of potential theory on manifolds, linear and non-linear // Milan

J. Math. 2008. V. 76. P. 229-256.

14. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Some non-linear function theoretic properties of Riemannian manifolds

// Rev. Mat. Iberoamericana. 2006. V. 22. № 3. P. 801-831.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 24.07.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 21.10.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023