ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.35-50
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.25
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ
И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
В ПРОСТРАНСТВАХ МУЗИЛАКА-ОРЛИЧА
© 2023 г. Л. М. Кожевникова, А. П. Кашникова
Рассматриваются эллиптические уравнения второго порядка с нелинейностями, определя-
емыми функциями Музилака-Орлича, и правой частью из пространства L1(Ω). В прост-
ранствах Музилака-Орлича-Соболева устанавливаются некоторые свойства и единствен-
ность как энтропийных, так и ренормализованных решений задачи Дирихле в областях с
липшицевой границей. Кроме того, доказывается эквивалентность и знакоопределённость
энтропийных и ренормализованных решений.
DOI: 10.31857/S0374064123010053, EDN: OBVGXN
Введение. В работе рассматривается задача Дирихле
- div a(x,∇u) + b(x,u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω,
(1)
u|∂Ω = 0
(2)
в строго липшицевой области Ω ⊂ Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn)}, n ≥ 2, c конечной мерой.
Здесь функции a(x, s) = (a1(x, s), . . . , an(x, s)) : Ω × Rn → Rn имеют рост, определяемый
обобщённой N -функцией M(x, z).
Понятие ренормализованных и энтропийных решений служит основным инструментом для
изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с правой частью в виде меры и, в
частности, из пространства L1(Ω). Для уравнения вида
-div a(x,∇u) = μ, x ∈ Ω,
(3)
c ограниченной мерой μ в работе [1] И. Хлебицка в рефлексивном пространстве Музилака-
Орлича доказала существование ренормализованного решения задачи Дирихле, а также един-
ственность ренормализованного решения уравнения (3) c диффузной мерой μ.
Если функция Музилака-Орлича M не удовлетворяет Δ2-условию, то соответствующее
пространство Музилака-Орлича не является рефлексивным, и рассматриваемая задача зна-
чительно усложняется. Обычно, если ограничений на рост обобщённой N -функции M(x, z)
не требуется, то предполагается, что она подчиняется условию log-гёльдеровой непрерывности
по переменной x ∈ Ω, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам пространства
Музилака-Орлича.
Существование ренормализованного решения задачи (3), (2) c μ ∈ L1(Ω) и с неоднородной
анизотропной функцией Музилака-Орлича доказано в работе [2], а в статье [3] - существование
и единственность ренормализованных решений эллиптических включений с многозначным
оператором в условиях нерефлексивных и несепарабельных пространств Музилака-Орлича.
В работах [4] и [5] установилено существование ренормализованного и энтропийного реше-
ний, соответственно, задачи Дирихле для уравнения вида
- div (a(x,u,∇u) + c(u)) + a0(x,u,∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω,
с функцией c ∈ C0(R, Rn).
35
3∗
36
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида
-div (a(x,u,∇u) + c(x,u)) + a0(x,u,∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω,
с каратеодориевой функцией c(x, s0) : Ω × R → Rn, подчиняющейся условию роста по пере-
менной s0, доказано в работах [6, 7] при a0 ≡ 0 и в [8].
В работе [9] в пространствах Музилака-Орлича доказаны существование и единственность
энтропийных и ренормализованных решений задачи (3), (2) с μ ∈ L1(Ω), установлена их
эквивалентность.
В настоящей статье получены некоторые свойства и доказана единственность энтропий-
ных и ренормализованных решений задачи Дирихле (1), (2) в нерефлексивных пространствах
Музилака-Орлича в строго липшицевых областях Ω с конечной мерой. Кроме того, доказана
эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений рассматриваемой задачи. Ранее
в работе [10] в произвольных областях установлен аналогичный результат в анизотропных
∑n
пространствах Соболева с переменными показателями (M(x, s) =
|si|pi(x), pi ∈ (1, ∞),
i=1
i = 1,n).
1. Пространства Музилака-Орлича-Соболева. В этом пункте приведём необходимые
сведения из теории обобщённых N -функций и пространств Музилака-Орлича (см. [11, гл. 1;
12, 13]).
Определение 1. Пусть функция M(x,z) : Ω × R → R+ удовлетворяет следующим усло-
виям:
1) M(x, · ) - N -функция по z ∈ R, т.е. она является выпуклой вниз, возрастающей при
z ∈ R+, чётной, непрерывной, M(x,0) = 0 для п.в. x ∈ Ω, и выполняются соотношения
inf M(x, z) > 0 для всех z = 0,
x∈Ω
lim sup
M (x, z)/z = 0, lim
inf M(x, z)/z = ∞;
z→0x∈Ω
z→∞
x∈Ω
2) M( · , z) - измеримая функция по x ∈ Ω для любых z ∈ R.
Такая функция M(x, z) называется функцией Музилака-Орлича или обобщённой N -функ-
цией.
Сопряжённая функция M(x, · ) к функции Музилака-Орлича M(x, · ) в смысле Юнга
для п.в. x ∈ Ω и любых z ≥ 0 определяется равенством
M (x, z) = sup(yz - M(x, y)).
y≥0
Отсюда следует неравенство Юнга
|zy| ≤ M(x, z) + M(x, y), z, y ∈ R, x ∈ Ω.
(4)
Функция Музилака-Орлича M удовлетворяет Δ2-условию, если существуют константы
c > 0, z0 ≥ 0 и функция H ∈ L1(Ω) такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых |z| ≥ z0 справедливо
неравенство
M (x, 2z) ≤ cM(x, z) + H(x).
Δ2-условие эквивалентно выполнению для п.в. x ∈ Ω и любых |z| ≥ z0 неравенства
M (x, lz) ≤ c(l)M(x, z) + Hl(x), Hl ∈ L1(Ω),
где l - любая константа больше единицы, c(l) > 0.
В настоящей работе не предполагается, что N -функции M(x, z), M(x, z) удовлетворяют
Δ2-условию.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
37
Существуют три класса пространств Музилака-Орлича:
1) LM (Ω) - обобщённый класс Музилака-Орлича, состоящий из измеримых функций v :
Ω → R таких, что
∫
ϱM,Ω(v) = M(x,v(x)) dx < ∞;
Ω
2) LM (Ω) - обобщённое пространство Музилака-Орлича, являющееся наименьшим линей-
ным пространством, которое содержит класс LM (Ω), с нормой Люксембурга
∥u∥M,Ω = inf{λ > 0 : ϱM,Ω(v/λ) ≤ 1};
3) EM (Ω) - замыкание по норме ∥u∥M,Ω ограниченных измеримых функций с компактным
носителем в Ω. Справедливы вложения EM (Ω) ⊂ LM (Ω) ⊂ LM (Ω). Ниже в обозначениях
∥ · ∥M,Q, ϱM,Q(·),
∥ · ∥1,Q будем опускать индекс Q, если Q = Ω.
Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака-Орлича M(x, z).
Условие (M1, loc). Функция M(x, z) локально интегрируема, т.е.
∫
ϱM,Q(z) = M(x,z) dx < ∞ для любого z ∈ R
Q
и для любого измеримого множества Q ⊂ Ω такого, что meas Q < ∞.
Условие (M2). Функция M(x, z) удовлетворяет условию φ-регулярности, т.е. существу-
ет функция φ : [0, 1/2] × R+ → R+ такая, что φ( · , z) и φ(r, · ) - неубывающие функции и для
всех x, y ∈ Ω, |x - y| ≤ 1/2, z ∈ R+ и некоторой константы c > 0 выполняется
M (x, z) ≤ φ(|x - y|, z)M(y, z), lim sup φ(ε, cε-n) < ∞.
ε→0+
Пусть M и M подчиняются условию (M1, loc), тогда пространство EM (Ω) - сепарабель-
ное и (EM (Ω))∗ = LM (Ω). Если дополнительно M удовлетворяет Δ2-условию, то EM (Ω) =
= LM(Ω) = LM(Ω) и LM(Ω) - сепарабельное. Пространство LM(Ω) рефлексивное тогда и
только тогда, когда функции Музилака-Орлича M и M удовлетворяют Δ2-условию.
Последовательность функций {vj }j∈N ∈ LM (Ω) модулярно сходится к v ∈ LM (Ω) (будем
→ v), если существует константа λ > 0 такая, что имеет место равенство
j→∞
(vj -v)
lim
ϱM
= 0.
j→∞
λ
Если M удовлетворяет Δ2-условию, то модулярная топология и топология по норме сов-
падают.
Для двух сопряжённых функций Музилака-Орлича M и M, если u ∈ LM (Ω) и v ∈
∈ LM(Ω), выполняется неравенство Гёльдера
∫
u(x)v(x) dx
2∥u∥M ∥v∥M .
≤
Ω
Определим пространство Музилака-Орлича-Соболева
W1LM (Ω) = {v ∈ LM (Ω) : |∇v| ∈ LM (Ω)}
с нормой
∥v∥1M = ∥v∥M + |||∇v|||M .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
38
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Последовательность функций {vj }j∈N ∈ W1LM (Ω) модулярно сходится к v ∈ W1LM (Ω), если
существует константа λ > 0 такая, что справедливы равенства
(vj -v)
( |∇vj - ∇v|)
lim
ϱM
= 0, lim
ϱM
= 0.
j→∞
λ
j→∞
λ
Пространство
W 1LM (Ω) определим как замыкание пространства C∞0(Ω) по слабой топо-
логии σ((LM )n+1, (EM )n+1) в W1LM (Ω). Пространство
W 1LM(Ω) банахово (см. [12, теоре-
ма 10.2]).
Определение 2. Область Ω подчиняется сегментному свойству, если существует конеч-
ное открытое покрытие {Θi}ki=1 множества Ω и соответствующие ненулевые векторы zi ∈ Rn
такие, что (Ω
⋂Θi) + tzi ⊂ Ω для любых t ∈ (0,1) и i = 1,k.
Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака-Орлича-
Соболева (см. [14, теорема 3]).
Лемма 1. Предположим, что область Ω удовлетворяет сегментному свойству, а обоб-
щённая N -функция M удовлетворяет условиям (M1,loc), (M2), и пусть M удовлетворяет
условию (M1,loc). Тогда для любого v ∈W1LM (Ω) существует последовательность функций
ξj ∈ C∞0(Ω) такая, что ξj
→
v модулярно в
W 1LM (Ω), j → ∞.
j→∞
Примеры функций Музилака-Орлича M, удовлетворяющих условиям леммы 1, приведе-
ны в работе [14].
1. Если N -функция M(x, z) = M(z) не зависит от x, то удовлетворяет условию (M2) с
φ(r, z) = 1.
2. Функция M(x, z) = |z|p(x), p : Ω → [p-, p+], p- = inf p(x) > 1, p+ = sup p(x) < ∞,
x∈Ω
x∈Ω
удовлетворяет условию (M2) с функцией φ(r, z) = max{zσ(r), z-σ(r)}, где σ : (0, 1/2] → R+,
lim sup σ(ε) = 0, - модуль непрерывности функции p. Для σ(r) = -c/ log r,
0 < r ≤ 1/2,
ε→0+
получаем стандартное условие log-гёльдеровой непрерывности.
3. N -функция M(x, z) = |z|p + a(x)|z|q ,
1 ≤ p < q, c неотрицательной функцией a ∈
∈ C0,αloc (Ω), α ∈ (0,1], удовлетворяет условию (M2) с φ(r,z) = Cαrα|z|q-p + 1, q ≤ p + α/n.
2. Предположения и формулировка результатов. Предполагается, что функции
b(x, s0) : Ω × R → R, a(x, s) : Ω × Rn → Rn,
входящие в уравнение (1), измеримы по x ∈ Ω для s0 ∈ R, s = (s1, . . . , sn) ∈ Rn, непрерывны
по s0 ∈ R, s = (s1, . . . , sn) ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω, и выполнено
Условие (M). Существует положительная константа a ∈ (0, 1) такая, что для п.в. x ∈ Ω
и для любых s, t ∈ Rn, s = t, справедливы неравенства
a(x, s) · s ≥ a(M(x, |s|) + M(x, |a|)),
(5)
(a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) > 0.
(6)
Здесь функция Музилака-Орлича M(x, z) подчиняется условиям (M1, loc), (M2), сопря-
∑n
жённая к M функция M(x, z) удовлетворяет условию (M1, loc), s · t =
siti,
|s| =
∑n
i=1
=(
s2i)1/2.
i=1
Предполагается, что функция b(x, s0) - неубывающая по s0 ∈ R, b(x, 0) = 0 для п.в.
x ∈ Ω, поэтому для п.в. x ∈ Ω, s0 ∈ R справедливо неравенство
b(x, s0)s0 ≥ 0.
(7)
Сформулируем дополнительное условие, которое используется в теореме существования.
Будем считать, что для любого k > 0 имеет место равенство
sup |b(x,s0)| = Φk(x) ∈ L1(Ω).
(8)
|s0|≤k
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
39
Условию (M) удовлетворяют, например, функции
si
ai(x,s) = M(x,|s|)
,
i = 1,n.
|s|2
T1
Определим срезающую функцию Tk(r) = max(-k, min(k, r)). Через
(Ω) обозначим
M
множество измеримых функций u : Ω → R таких, что Tk(u) ∈W1LM (Ω) при любом k > 0.
Для u ∈T1M (Ω) и любого k > 0 имеем
∇Tk(u) = χ{Ω:|u|<k}∇u ∈ (LM (Ω))n.
(9)
∫
Введём обозначение 〈u〉 =Ω u dx.
Определение 3. Энтропийным решением задачи (1), (2) называется функция u ∈T1M (Ω)
такая, что:
1) b(x, u) ∈ L1(Ω);
2) a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ (LM (Ω))n при всех k > 0;
3) при всех k > 0 и v ∈ C10(Ω) справедливо неравенство
〈(b(x, u) - f)Tk(u - v)〉 + 〈a(x, ∇u) · ∇Tk(u - v)〉 ≤ 0.
(10)
Определение 4. Ренормализованным решением задачи (1), (2) называется функция u ∈
∈T1M (Ω) такая, что:
1) b(x, u) ∈ L1(Ω);
2) a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ (LM (Ω))n при всех k > 0;
3) выполнено равенство
∫
lim
a(x, ∇u) · ∇u dx = 0;
h→∞
{Ω:h≤|u|<h+1}
4) для любой функции S ∈ W1∞(R) с компактным носителем и любой функции v ∈ C10(Ω)
справедливо равенство
〈(b(x, u) - f)S(u)v〉 + 〈a(x, ∇u) · (S′(u)v∇u + S(u)∇v)〉 = 0.
(11)
В теоремах 1-6 предполагается, что область Ω строго липшицева и выполнено условие (M).
Теорема 1. Пусть дополнительно выполнено условие (8), тогда существует энтропий-
ное решение задачи (1), (2).
Доказательство теоремы 1 следует из работы [5, теорема 5.1]. Основными результатами
настоящей работы являются теоремы 2-6.
Теорема 2. Пусть дополнительно выполнено условие (8), тогда энтропийное решение,
построенное в теореме 1, является ренормализованным решением задачи (1), (2).
Теорема 3. Пусть f(x) ≥ 0 для п.в. x ∈ Ω, тогда энтропийное решение задачи (1), (2)
u ≥ 0 для п.в. x ∈ Ω.
Теорема 4. Пусть u1, u2 - энтропийные решения задачи (1), (2), тогда u1 = u2 п.в. в Ω.
Теорема 5. Пусть u1, u2 - ренормализованные решения задачи (1), (2), тогда u1 = u2
п.в. в Ω.
Следует отметить, что теоремы 3-5 по сути являются обобщением соответствующих резуль-
татов работы [9] для уравнения (3) на уравнение вида (1). Однако доказательство теоремы 5
существенно проще за счёт соотношения, которое будет установлено для ренормализованного
решения задачи (1), (2) в лемме 7.
Теорема 6. Пусть дополнительно выполнено условие (8), тогда энтропийное и ренорма-
лизованное решения задачи (1), (2) эквивалентны.
Согласно единственности энтропийного решения (теорема 4) из теоремы 2 следует, что
энтропийное решение является ренормализованным решением задачи (1), (2). Тогда, ввиду
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
40
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
единственности ренормализованного решения задачи (1), (2) (теорема 5), справедливо утвер-
ждение теоремы 6.
3. Подготовительные сведения. В этом пункте установим некоторые свойства энтро-
пийного и ренормализованного решений задачи (1), (2) и приведём вспомогательные леммы.
Предполагается, что область Ω строго липшицева и выполнено условие (M). Все постоянные,
встречающиеся ниже в работе, положительны.
Приведём теорему Витали в следующей форме (см. [15, гл. 3, § 6, теорема 15]).
Лемма 2. Пусть последовательность {vj }j∈N ⊂ L1(Ω) и vj → v п.в. в Ω, j → ∞.
Тогда для сходимости vj → v сильно в L1(Ω), j → ∞, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие равномерной интегрируемости
∫
lim
|vj (x)| dx = 0 равномерно по j ∈ N.
meas (Q)→0
Q
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1, область Ω строго липшицева, функция
v ∈ W1LM (Ω), тогда v ∈ W11(Ω).
Доказательство. Согласно лемме 1 для функции v ∈W1LM (Ω) существует последова-
тельность {ξj }j∈N ∈ C∞0(Ω) такая, что найдётся число λ > 0, при котором
∫
∫
M (x, |v - ξj |/λ) dx → 0,
M (x, |∇(v - ξj)|/λ) dx → 0, j → ∞.
(12)
Ω
Ω
Из сходимости (12), ввиду существования функции M-1(x, · ), непрерывной обратной к функ-
ции M(x, · ) по z ≥ 0, следует сходимость по некоторой подпоследовательности
ξj → v,
∇ξj → ∇v п.в. в Ω, j → ∞.
(13)
Кроме того, по лемме 2 имеем, что
{M(x, |v - ξj |/λ)}j∈N, {M(x, |∇(v - ξj )|/λ)}j∈N равномерно интегрируемы в L1(Ω).
(14)
Из определения N -функции заключаем, что для любого ε > 0 существует константа Cε >
> 0 такая, что для любых z ∈ R и п.в. x ∈ Ω справедливо неравенство
|z| ≤ εM(x, z) + Cε.
(15)
Тогда для любого измеримого множества Q ⊂ Ω имеем
∫
∫
|v - ξj| dx ≤ λ M(x, |v - ξj|/λ) dx + C1 meas (Q), j ∈ N.
Q
Q
Отсюда, ввиду (14), следует, что {v - ξj }j∈N равномерно интегрируема в L1(Ω).
Тогда, применяя сходимость (13), по лемме 2 устанавливаем сходимость
ξj → v в L1(Ω), j → ∞.
(16)
Аналогично устанавливается сходимость
∇ξj → ∇v в L1(Ω), j → ∞.
(17)
Применив неравенство (2.37) из [16, гл. 2, § 2] для функций v - ξj ∈ W11(Ω), получаем
∥v∥1,∂Ω ≤ C2∥v - ξj∥11,Ω, j ∈ N,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
41
где v - след функции v|∂Ω. Ввиду сходимостей (16) и (17) устанавливаем, что ∥v∥1,∂Ω = 0,
следовательно, v = 0 п.в. на ∂Ω. Таким образом, доказано, что v ∈W11(Ω).
Замечание. Пользуясь выпуклостью функции M(x, · ) и принадлежностью v ∈ LM (Ω),
несложно установить эквивалентность условия (14) условию
{M(x, |ξj |/λ1)}j∈N,
{M(x, |∇ξj |/λ1)}j∈N равномерно интегрируемы в L1(Ω)
(18)
c некоторым λ1 > 0.
Следствием теоремы Витали является
→ v модулярно в LM(Ω), j → ∞. Тогда
vj ⇀ v в топологии σ(LM ,LM ) пространства LM(Ω) (см. [14, лемма 2]).
Следствием теоремы Витали является теорема Лебега.
Лемма 5. Пусть gj , j ∈ N, g - функции из пространства L1(Ω) такие, что gj → g
сильно в L1(Ω), j → ∞, и пусть vj, j ∈ N, v - измеримые функции в Ω такие, что:
1) vj → v п.в. в Ω, j → ∞;
2) |vj | ≤ |gj |, j ∈ N п.в. в Ω.
Тогда vj → v сильно в L1(Ω), j → ∞.
Лемма 6. Пусть функции vj , j ∈ N, v ∈ L∞(Ω) такие, что {vj }j∈N ограничена в
L∞(Ω) и vj → v п.в. в Ω, j → ∞, тогда vj ⇀ v, j → ∞, в топологии σ(L∞,L1) прост-
ранства L∞(Ω).
Если, кроме того, g из LM (Ω) (EM (Ω)), то vjg → vg модулярно (сильно) в LM (Ω)
(EM (Ω)), j → ∞.
Доказательство леммы 6 следует из теоремы Лебега.
Лемма 7. Пусть u - энтропийное решение задачи (1), (2), тогда
meas {Ω : |u| ≥ k} → 0, k → ∞.
(19)
Кроме того,
(M(x, |∇u|) + M(x, |a(x, ∇u)|))χ{Ω:|u|<k} ∈ L1(Ω) для любого k > 0
(20)
и справедливо соотношение
∫
1
lim
a(x, ∇u) · ∇u dx = 0.
(21)
k→∞ k
{Ω:|u|<k}
Доказательство. Неравенство (10) при v = 0 принимает вид
∫
∫
∫
I = b(x,u)Tk(u)dx +
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤ fTk(u) dx.
Ω
{Ω:|u|<k}
Ω
С учётом неравенства (7) устанавливаем оценку
∫
∫
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤
|f||Tk(u)| dx ≤ k∥f∥1.
(22)
{Ω:|u|<k}
Ω
В силу (5) имеем
∫
a
(M(x, |∇u|) + M(x, |a(x, |∇u|)|)) dx ≤ kC1.
(23)
{Ω:|u|<k}
Из соотношения (23), применив неравенство (15), устанавливаем (19) (см. [9, предложение 3.1]).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
42
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Запишем неравенство (22) в виде
∫
∫
1
|Tk(u)|
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤
|f|
dx.
(24)
k
k
{Ω:|u|<k}
Ω
Поскольку |Tk(u)|/k ≤ 1, Tk(u)/k → 0 п.в. в Ω при k → ∞, и f ∈ L1(Ω), то по теореме
Лебега имеем
∫
|Tk(u)|
lim
|f|
dx = 0.
(25)
k→∞
k
Ω
Из (24) и (25) выводим (21).
Лемма 8. Если u является энтропийным решением задачи (1), (2), то неравенство (10)
справедливо для любой функции v ∈W1LM (Ω)⋂ L∞(Ω).
Доказательство. Согласно лемме 1 для функции v ∈W1LM (Ω) существует последова-
тельность {ξj }j∈N ∈ C∞0(Ω) такая, что для некоторого λ > 0 выполнено (12). Тогда, согласно
лемме 3 и замечанию, справедливы соотношения (13), (18).
Рассмотрим нечётную неубывающую функцию T ∈ C∞(R) такую, что T (z) = z для
|z| ≤ ∥v∥∞,
|T (z)| = K > 0 для |z| ≥ z0 > ∥v∥∞. Обозначим max T′(z) = K1 > 0.
[-z0,z0]
Применив сходимость (13), для ограниченной последовательности
{T (ξj )}j∈N ∈
C∞0(Ω)
установим сходимости
T (ξj) → T (v) = v,
∇T(ξj) = T′(ξj)∇ξj → T′(v)∇v = ∇v п.в. в Ω, j → ∞.
(26)
Тогда для любого k > 0 имеют место сходимости
Tk(u - T(ξj)) → Tk(u - v),
∇Tk(u - T(ξj)) → ∇Tk(u - v) п.в. в Ω, j → ∞.
(27)
Пустьk = k + K, тогда справедлива оценка
|∇Tk(u - T (ξj))| ≤ |∇T̂(u)| + |∇T (ξj )|, x ∈ Ω, j ∈ N.
(28)
k
Поскольку ∇T̂(u) ∈ (LM (Ω))n, то найдётся число μ > 0 такое, что
k
∫
M (x, |∇T̂(u)|/μ) dx < ∞.
(29)
k
Ω
Применяя (28) и учитывая выпуклость функции M(x, · ), получаем неравенства
(
)
(
)
(
)
|∇Tk(u - T (ξj ))|
1
|∇T̂(u)|
1
|T′(ξj )∇ξj |
k
M x,
dx ≤
M x,
+
M x,
≤
2(λ1K1
+ μ)
2
λ1K1
+μ
2
λ1K1 + μ
(
)
(
)
1
|∇T̂(u)|
1
|∇ξj|
k
≤
M x,
+
M x,
2
μ
2
λ1
Отсюда, ввиду (18), (29), следует равномерная интегрируемость последовательности
{ (
)}
|∇Tk(u - T (ξj ))|
M x,
2(λ1K1 + μ)
j∈N
Учитывая замечание и сходимость (27), применяя лемму 2, устанавливаем модулярную
сходимость
→ ∇Tk(u - v), j → ∞.
(30)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
43
Из сходимости (30), согласно лемме 4, при любом k > 0 имеем сходимость
∇Tk(u - T(ξj)) ⇀ ∇Tk(u - v) по топологии σ((LM )n,(LM )n) в (LM (Ω))n, j → ∞.
(31)
Запишем неравенство (10) c v = T (ξj ):
∫
∫
(b(x, u) - f)Tk(u - T (ξj)) dx + a(x, ∇u) · ∇Tk(u - T (ξj)) dx ≤ 0.
(32)
Ω
Ω
Поскольку b(x, u), f ∈ L1(Ω) (см. п. 1) определения 3), то в первом слагаемом неравенства
(32), используя (27), согласно теореме Лебега можно перейти к пределу при j → ∞.
Ввиду того, что a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<̂
∈ (LM (Ω))n (см. п. 2) определения 3), применяя (31),
k}
устанавливаем, что второе слагаемое в (32) также имеет предел при j → ∞. Таким образом,
после предельного перехода в (32) получим неравенство (10).
Лемма 9. Если u является ренормализованным решением задачи (1), (2), то равенство
(11) справедливо для любой функции S ∈ W1∞(R) с компактным носителем и любой функции
v ∈ W1LM (Ω)⋂L∞(Ω).
Доказательство. Поступая как в лемме 8, найдём последовательность {ξj }j∈N ∈ C∞0(Ω)
такую, что имеют место сходимость (26) и сходимость
∇T(ξj) ⇀ ∇v по топологии σ((LM )n,(LM )n) в (LM (Ω))n, j → ∞.
(33)
Пусть S ∈ W1∞(R) такая, что supp S ⊂ [-L, L] для L > 0. Равенство (11) c v = T (ξj )
принимает вид
∫
∫
((b(x, u) - f)S(u) + a(x, ∇TL(u)) · ∇TL(u)S′(u))T (ξj ) dx + a(x, ∇TL(u))S(u) · ∇T (ξj ) dx=0.
Ω
Ω
Поскольку f, b(x, u), a(x, ∇TL(u)) · ∇TL(u)S′(u) ∈ L1(Ω) (см. (9) и пп. 1), 2) определения 4),
то в первом слагаемом, применяя (26), согласно теореме Лебега можно перейти к пределу
при j → ∞. Ввиду принадлежности a(x, ∇TL(u))S(u) ∈ (LM (Ω))n, применив (33), во втором
слагаемом можно перейти к пределу при j → ∞. В итоге получим равенство (11) для любой
функции v ∈W1LM (Ω)⋂ L∞(Ω).
Лемма 10. Пусть u - энтропийное решение задачи (1), (2), тогда при всех k > 0 спра-
ведливо соотношение
∫
lim
a(x, ∇u) · ∇u dx = 0.
(34)
h→∞
{Ω:h≤|u|<h+k}
Доказательство. Положив в неравенстве (10) v = Th(u), h > 0, будем иметь
∫
∫
∫
a(x, ∇u) · ∇u dx +
(b(x, u))Tk(u - Th(u)) dx ≤ k
|f| dx.
{h≤|u|<k+h}
{h≤|u|}
{h≤|u|}
Далее, используя знакоопределённость функции b(x, s0) по аргументу s0 (см. (7)), выводим
неравенство
∫
∫
∫
k
|b(x, u)| dx +
(a(x, ∇u) · ∇u + b(x, u)(u - h sign u)) dx ≤ k
|f| dx.
{|u|≥k+h}
{h≤|u|<k+h}
{h≤|u|}
Ввиду (7) для h ≤ |u| справедливо неравенство b(x, u)(u - h sign u) ≥ 0. Соединив два
последних неравенства, для любого k > 0 имеем
∫
∫
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤ k
|f| dx.
{h≤|u|<k+h}
{h≤|u|}
Отсюда, ввиду того, что f ∈ L1(Ω), учитывая (19) и переходя к пределу при h → ∞, выводим
соотношение (34).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
44
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Лемма 11. Пусть u - ренормализованное решение задачи (1), (2), тогда справедливы
соотношения (19)-(21).
Доказательство. Зафиксируем k > 0, пусть σ > k. Определим функцию Sσ формулой
⎧
⎪r,
|r| < σ,
(
)
⎪
1
sign r
⎨
σ+
sign r -
(r - (σ + 1) sign r)2, σ ≤ |r| ≤ σ + 1,
Sσ(r) =
2
2
⎪(
)
⎪
1
⎩ σ+
sign r,
|r| > σ + 1.
2
Очевидно, что
⎧
⎨1,
|r| < σ,
S′σ(r) =
σ + 1 - |r|,
σ ≤ |r| ≤ σ + 1,
⎩0,
|r| > σ + 1.
Легко проверить включения
Sσ ∈ W2∞(R), suppS′σ ⊂ [-σ - 1,σ + 1], suppS′′σ ⊂ [-σ - 1,-σ]
⋃ [σ, σ + 1].
Положив в (11) S = S′σ, v = Tk(u), получим
J1 + J2 + J3 = 〈a(x,∇u)S′σ(u) · ∇Tk(u)〉 + 〈a(x,∇u)S′′σ(u) · ∇uTk(u)〉 +
+ 〈b(x, u)S′σ(u)Tk(u)〉 = 〈fS′σ(u)Tk(u)〉.
(35)
Оценим каждый интеграл:
∫
∫
J1 = a(x,∇u)S′σ(u) · ∇Tk(u)dx =
a(x, ∇u) · ∇u dx,
(36)
Ω
{Ω:|u|<k}
∫
∫
J2 = -
|Tk(u)|a(x, ∇u) · ∇u dx = -k
a(x, ∇u) · ∇u dx,
(37)
{Ω:σ≤|u|≤σ+1}
{Ω:σ≤|u|≤σ+1}
используя (7), выводим
∫
J3 = b(x,u)S′σ(u)Tk(u)dx ≥ 0.
(38)
Ω
Соединив (35)-(38), установим неравенство
∫
∫
∫
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤
|f||Tk(u)| dx + k
a(x, ∇u) · ∇u dx.
{Ω:|u|<k}
Ω
{Ω:σ≤|u|≤σ+1}
Применив условие 3) определения 4, перейдём к пределу при σ → ∞ и получим неравен-
ство (22). Соотношения (19)-(21) являются следствием неравенства (22) (см. лемму 7).
4. Знакоопределённость энтропийного решения.
Доказательство теоремы 3. Пусть l > 0, положим в (10) v = Tl(u+) и получим
I + J = 〈(b(x,u) - f)Tk(u - Tl(u+))〉 + 〈a(x,∇u) · ∇Tk(u - Tl(u+))〉 ≤ 0.
(39)
Если 0 ≤ u < l, то Tk(u - Tl(u+)) = 0, поэтому имеем цепочку равенств
∫
I = (b(x,u) - f)Tk(u - Tl(u+))dx =
Ω
∫
∫
=
(b(x, u) - f)Tk(u - Tl(u+)) dx +
(b(x, u) - f)Tk(u - Tl(u+)) dx = I1 + I2.
{Ω:u<0}
{Ω:u≥l}
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
45
Если u <∫0, то Tk(u - Tl(u+)) = Tk(u) < 0 и I1 ≥ 0. Если u ≥ l, то Tk(u - Tl(u+)) = Tk(u - l)
и I2 ≥ -{Ω:u≥l} fTk(u - l)dx. Таким образом, выводим оценку
∫
I ≥-
fTk(u - l)dx.
(40)
{Ω:u≥l}
В множествах {Ω : u < -k},
{Ω : 0 ≤ u < l},
{Ω : u ≥ l + k} почти всюду выполнено
равенство ∇Tk(u - Tl(u+)) = 0. Следовательно, получим
∫
(
∫
∫
)
J = a(x,∇u)·∇Tk(u-Tl(u+))dx =
+
a(x, ∇u) · ∇Tk(u - Tl(u+)) dx.
Ω
{Ω:-k≤u<0}
{Ω:l≤u<l+k}
Если -k ≤ u < 0 или l ≤ u < l + k, то ∇Tk(u - Tl(u+)) = ∇u. Отсюда имеем
(
∫
∫
)
J =
+
a(x, ∇u) · ∇u dx.
(41)
{Ω:-k≤u<0}
{Ω:l≤u<l+k}
Соединив (39)-(41), устанавливаем неравенство
(
∫
∫
)
∫
+
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤
fTk(u - l)dx.
(42)
{Ω:-k≤u<0}
{Ω:l≤u<l+k}
{Ω:u≥l}
Согласно (19), ввиду того, что f ∈ L1(Ω), имеем
∫
lim
fTk(u - l)dx = 0.
l→∞
{Ω:u≥l}
Отсюда, устремляя в (42) l → ∞, пользуясь (34), получаем
∫
a(x, ∇u) · ∇u dx ≤ 0, k > 0.
{Ω:-k≤u<0}
Применив (5), устанавливаем равенство
∫
M (x, |∇Tk(u-)|) dx = 0, k > 0.
Ω
Следовательно, ∇Tk(u-) = 0 п.в. в Ω.
Согласно лемме 3 Tk(u) ∈W11(Ω). Отсюда ввиду следствия 3.1 [17, гл. II, § 3] устанавливаем
принадлежность Tk(u-) ∈W11(Ω). Поэтому Tk(u-) = 0 п.в. в Ω. Ввиду произвольности k
отсюда следует, что u- = 0 п.в. в Ω. Теорема 3 доказана.
5. Единственность энтропийного и ренормализованного решений.
Доказательство теоремы 4. Пусть u1, u2 - энтропийные решения задачи (1), (2).
В неравенстве (10) для u1 положим v = Th(u2), а для u2 пусть v = Th(u1), h > k. Сложив
интегральные неравенства, получим
∫
∫
I(h, k) =
A1 · ∇(u1 - Th(u2))dx +
A2 · ∇(u2 - Th(u1))dx ≤
Ω1(h,k)
Ω2(h,k)
∫
∫
≤
(-B1 + f)Tk(u1 - Th(u2)) dx +
(-B2 + f)Tk(u2 - Th(u1)) dx = J(h, k).
(43)
Ω
Ω
Здесь Ai(x) = a(x, ∇ui), Bi(x) = b(x, ui), Ωi(h, k) = {x ∈ Ω : |ui - Th(u3-i)| < k}, i = 1, 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
46
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Множества Ω1(h, k), Ω2(h, k) представляются в виде объединения непересекающихся под-
множеств:
Ω1(h,k) = Ω12(h,k)
⋃Ω11(h,k)⋃ Ω12(h,k), Ω2(h,k) = Ω12(h,k)⋃ Ω21(h,k)⋃ Ω22(h,k),
где
Ω12(h,k) = {x ∈ Ω : |u1 - u2| < k,
|u1| < h,
|u2| < h},
Ωi3-i(h,k) = {x ∈ Ω : |ui - hsign u3-i| < k,
|u3-i| ≥ h}, i = 1, 2,
Ωii(h,k) = {x ∈ Ω : |ui - u3-i| < k,
|ui| ≥ h,
|u3-i| < h}, i = 1, 2.
Интегралы в левой части неравенства (43) от функций Ai · ∇(ui - Th(u3-i)), i = 1, 2, по
множеству Ω12(h, k) принимают вид
∫
I12(h,k) =
(A1 - A2) · ∇(u1 - u2) dx ≥ 0.
(44)
Ω12(h,k)
Интегралы от функций Ai ·∇(ui -Thu3-i) по множествам Ωi3-i(h, k), i = 1, 2, соответственно,
учитывая (5), оцениваются как
∫
∫
A1 · ∇u1 dx +
A2 · ∇u2 dx ≥ 0.
(45)
Ω12(h,k)
Ω21(h,k)
Наконец, пользуясь (5), получаем
∫
∫
A1 · ∇(u1 - u2)dx +
A2 · ∇(u2 - u1)dx ≥
Ω11(h,k)
Ω22(h,k)
∫
∫
≥-
A1 · ∇u2 dx -
A2 · ∇u1 dx = -I11(h,k) - I22(h,k).
(46)
Ω11(h,k)
Ω22(h,k)
Соединяя (44)-(46), устанавливаем оценку
I(h, k) ≥ I12(h, k) - I3(h, k), I3(h, k) = I11(h, k) + I22(h, k).
Покажем, что I3(h, k) → 0 при h → ∞. Используя (4) и (5), оценим интеграл
|I11(h, k)| ≤ ∥χ{Ω:h≤|u1|<h+k}M(x, |A1|)∥1 + ∥χ{Ω:h-k≤|u2|<h}M(x, |∇u2|)∥1 ≤
∫
∫
1
1
≤
a(x, ∇u1) · ∇u1 dx +
a(x, ∇u2) · ∇u2 dx.
a
a
{Ω:h≤|u1|<h+k}
{Ω:h-k≤|u2|<h}
Применив (34), устанавливаем, что I11(h, k) → 0 при h → ∞. Аналогично оценивается инте-
грал I22(h, k).
Очевидно представление Ω =Ω12(h)⋃ Ω12(h)⋃ Ω21(h)⋃ Ω12(h), в котором
Ω12(h) = {x ∈ Ω : |u1| < h, |u2| < h},
Ω12(h) = {x ∈ Ω : |u1| ≥ h, |u2| ≥ h},
Ωi
(h) = {x ∈ Ω : |ui| < h,
|u3-i| ≥ h}, i = 1, 2.
3-i
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
47
Для интегралов в правой части неравенства (43) от функций (-Bi + f)Tk(ui - Th(u3-i)), i =
= 1, 2, по множествуΩ12(h), ввиду неубывания функции b(x, s0) по s0, имеем неравенство
∫
-J12(h) =
(B1 - B2)Tk(u1 - u2) dx ≥ 0.
Ω12(h)
Для интегралов от тех же функций по множествуΩ21(h) получаем оценку
∫
|J21(h)| ≤ k
(|B1| + |B2| + 2|f|) dx.
(47)
Ω2
(h)
1
Ω2
Поскольку f, B1, B2 ∈ L1(Ω) и мера множества
1
(h) стремится к нулю при h → ∞ (см.
(19)), из (47) следует, что lim
|J21(h)| = 0.
h→∞
Аналогично устанавливается, что lim
|J12(h)| = lim
|J12(h)| = 0. Таким образом, пре-
h→∞
h→∞
дельный переход в (43) даёт соотношение
∫
lim
I12(h,k) = lim
(A1 - A2) · ∇(u1 - u2) dx ≤ 0.
h→∞
h→∞
Ω12(h,k)
Множество Ω12(h, k) при h → ∞ сходится кΩ12(k) = {x ∈ Ω : |u1 - u2| < k}, значит, при
любом k > 0 справедливо неравенство
∫
(a(x, ∇u1) - a(x, ∇u2)) · ∇(u1 - u2) dx ≤ 0.
(48)
Ω12(k)
Это противоречит условию (6), поэтому ∇(u1 - u2) = 0 п.в. вΩ12(k) при любом k > 0. Сле-
довательно, ∇Tk(u1 - u2) = 0 п.в. в Ω. Ввиду принадлежностей Tk(u1), Tk(u2) ∈W11(Ω) (см.
лемму 3), заключаем, что Tk(u1 - u2) = 0 п.в. в Ω для любого k > 0. Ввиду произвольности
k устанавливаем, что u1 = u2 п.в. в Ω.
Доказательство теоремы 5. Определим функцию hσ формулой
⎧
⎪0,
|r| ≥ 2σ,
⎨
1,
|r| ≤ σ,
hσ(r) =
⎪
σ - |r|
⎩2
,
σ < |r| < 2σ.
σ
Пусть u1, u2 - ренормализованные решения задачи (1), (2). Запишем (11) для u1 и u2 c
S = hσ(u1), v = Tk(u1 -u2)hσ(u2) и S = hσ(u2), v = Tk(u1 -u2)hσ(u1) соответственно, затем
вычтем из первого решения второе и получим равенство
J1 + J2 + J3 + J4 = 〈(A1 - A2) · ∇Tk(u1 - u2)hσ(u1)hσ(u2)〉 +
+ 〈(A1 - A2) · ∇u1Tk(u1 - u2)h′σ(u1)hσ(u2)〉 + 〈(A1 - A2) · ∇u2Tk(u1 - u2)hσ(u1)h′σ(u2)〉 +
+ 〈(B1 - B2)Tk(u1 - u2)hσ(u1)hσ(u2)〉 = 0.
(49)
Оценим каждый интеграл Jk, k = 1, 4. Применив (6), для первого имеем
∫
J1 =
(A1 - A2) · ∇(u1 - u2)hσ(u1)hσ(u2) dx ≥ 0.
(50)
{Ω:|u1-u2|<k}
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
48
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
Учитывая (4), (5), выводим неравенство
∫
k
|J2| ≤
(A1 · ∇u1 + M(x, |A2|) + M(x, |∇u1|)) dx ≤
σ
{Ω:σ≤|u1|<2σ,
|u2|<2σ}
∫
k
≤
C3
(A1 · ∇u1 + A2 · ∇u2) dx.
σ
{Ω:σ≤|u1|<2σ,
|u2|<2σ}
Ввиду (21) имеем
lim
|J2| = 0.
(51)
σ→∞
Аналогично устанавливается, что
lim
|J3| = 0.
(52)
σ→∞
Пользуясь монотонностью функции b(x, s0), выводим оценку
J4 ≥ 0.
(53)
Соединив (49), (50), (53), получим неравенство
∫
(a(x, ∇u1) - a(x, ∇u2)) · ∇(u1 - u2)hσ(u1)hσ(u2) dx ≤ |J2| + |J3|.
{Ω:|u1-u2|<k}
Использовав лемму Фату и соотношения (51), (52), выполнив в последнем неравенстве
предельный переход при σ → ∞, установим неравенство (48), из которого следует, что u1 =
= u2 п.в. в Ω.
6. Существование ренормализованного решения. Энтропийное и ренормализованное
решения строятся как предел последовательности слабых решений аппроксимационной задачи
для уравнения
- div a(x,∇u) + bm(x,u) = fm(x), x ∈ Ω, m ∈ N,
(54)
c функциями
fm(x) = Tmf(x), bm(x,s0) = Tmb(x,s0).
Для каждого m ∈ N существует обобщённое решение um ∈W1LM (Ω) задачи (54), (2) [17,
теорема 13]. Таким образом, для любой функции v ∈W1LM (Ω)⋂ L∞(Ω) выполняется инте-
гральное равенство
〈(bm(x, um) - fm(x))v〉 + 〈a(x, ∇um) · ∇v〉 = 0, m ∈ N.
(55)
В работе [5, теорема 5.1] установлены сходимости
fm → f в L1(Ω), m → ∞,
(56)
um → u п.в. в Ω, m → ∞,
(57)
bm(x,um) → b(x,u) в L1(Ω), m → ∞,
(58)
при любом k > 0 получены сходимости
a(x, ∇Tk(um)) ⇀ a(x, ∇Tk(u)) по топологии σ((LM )n, (EM )n) в (LM (Ω))n, m → ∞,
(59)
a(x, ∇Tk(um)) · ∇Tk(um) → a(x, ∇Tk(u)) · ∇Tk(u) в L1(Ω), m → ∞,
(60)
и доказано, что предельная функция u является энтропийным решением задачи (1), (2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНТРОПИЙНЫХ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
49
Доказательство теоремы 2. Докажем, что энтропийное решение, построенное в теоре-
ме 1, удовлетворяет определению 4. Условия 1), 2) выполнены, так как совпадают с условия-
ми 1), 2) определения 3. Условие 3) также выполнено (см. соотношение (34)).
Докажем равенство (11). Пусть функция S ∈ C10(R) такая, что supp S ⊂ [-L, L] для L >
> 0. Для любой функции ξ ∈ C10(Ω), взяв в качестве тестовой функции в (55) v = S(um)ξ ∈
∈ W1LM (Ω), выводим
〈a(x, ∇um) · (S′(um)ξ∇um + S(um)∇ξ)〉 + 〈(bm(x, um) - fm(x))S(um)ξ〉 =
= Im + Jm = 0, m ∈ N.
(61)
Очевидно, что справедливы равенства
∫
∫
Im = a(x,∇um) · (S′(um)ξ∇um + S(um)∇ξ)dx = a(x,∇TL(um)) · ∇TL(um)S′(um)ξ dx +
Ω
Ω
∫
+ a(x,∇TL(um)) · ∇ξS(um)dx = Im1 + Im2, m ∈ N.
(62)
Ω
Ввиду сходимостей (57), (60), применив лемму 5, устанавливаем
∫
lim
Im1 = lim
a(x, ∇TL(um)) · ∇TL(um)S′(um)ξ dx =
m→∞
m→∞
Ω
∫
= a(x,∇TL(u)) · ∇TL(u)S′(u)ξ dx.
(63)
Ω
Из сходимости (57) по лемме 6 получаем S(um)∇ξ → S(u)∇ξ сильно в (EM (Ω))n, m → ∞.
Отсюда, учитывая сходимость (59), выводим
∫
∫
lim
Im2 = lim
a(x, ∇TL(um)) · ∇ξS(um) dx = a(x, ∇TL(u)) · ∇ξS(u) dx.
(64)
m→∞
m→∞
Ω
Ω
Соединив (62)-(64), получаем
∫
lim Im =
a(x, ∇TL(u)) · (S′(u)ξ∇TL(u) + S(u)∇ξ)dx =
m→∞
Ω
∫
= a(x,∇u) · (S′(u)ξ∇u + S(u)∇ξ)dx.
(65)
Ω
Из сходимости (57) по лемме 6 имеем
S(um)ξ ⇀ S(u)ξ в топологии σ(L∞, L1), m → ∞.
Тогда, ввиду сходимостей (56) и (58), устанавливаем равенство
∫
lim Jm =
(b(x, u) - f)S(u)ξ dx.
(66)
m→∞
Ω
Комбинируя (61), (65), (66), получаем равенство (11). Таким образом, приходим к выводу, что
u является ренормализованным решением задачи (1), (2). Теорема 2 доказана.
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
50
КОЖЕВНИКОВА, КАШНИКОВА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chlebicka I. Measure data elliptic problems with generalized Orlicz growth // Proc. of the Royal Soc. of
Edinburgh Sec. A: Math., First View. 2022. P. 1-31.
2. Gwiazda P., Skrzypczaka I., Zatorska-Goldstein A. Existence of renormalized solutions to elliptic equation
in Musielak-Orlicz space // J. of Differ. Equat. 2017. V. 264. P. 341-377.
3. Denkowska A., Gwiazda P., Kalita P. On renormalized solutions to elliptic inclusions with nonstandard
growth // Calc. Var. Partial Differ. Equat. 2021. V. 60. № 21. P. 1-44.
4. Ait Khellou M., Benkirane A. Renormalized solution for nonlinear elliptic problems with lower order
termsand L1 data in Musielak-Orlicz spaces // Ann. of the Univ. of Craiova. Math. and Comput. Sci.
Ser. 2016. V. 43. № 2. P. 164-187.
5. Elemine Vall M.S.B., Ahmedatt T., Touzani A., Benkirane A. Existence of entropy solutions for nonlinear
elliptic equations in Musielak framework with L1 data // Bol. Soc. Paran. Math. 2018. V. 36. № 1.
P. 125-150.
6. Elarabi R., Rhoudaf M., Sabiki H. Entropy solution for a nonlinear elliptic problem with lower order term
in Musielak-Orlicz spaces // Ricerche Mat. 2017. V. 62. № 2. P. 1-31.
7. Ait Khelloul M., Douiri S.M., El Hadfi Y. Existence of solutions for some nonlinear elliptic equations in
Musielak spaces with only the log-Hölder continuity condition // Mediterranean J. of Math. 2020. V. 17.
Art. no. 33. P. 1-18.
8. Talha A., Benkirane A. Strongly nonlinear elliptic boundary value problems in Musielak-Orlicz spaces
// Monatsh Math. Ann. of the Univ. of Craiova. Math. and Comput. Sci. Ser. 2018. V. 186. P. 745-776.
9. Li Ying., Fengping Y., Shulin Zh. Entropy and renormalized solutions to the general nonlinear elliptic
equations in Musielak-Orlicz spaces // Nonlin. Anal. 2021. V. 61. P. 1-20.
10. Кожевникова Л.М. Эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений анизотропной
эллиптической задачи в неограниченных областях с данными в виде меры // Изв. вузов. Матема-
тика. 2020. № 1. С. 1-16.
11. Рутицкий Я.Б., Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., 1958.
12. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces. Lecture Notes in Math. V. 1034. Berlin, 1983.
13. Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces // Nonlin. Anal.
2018. № 175. P. 1-27.
14. Ahmida Y., Chlebicka I., Gwiazda P., Youssfi A. Gossez’s approximation theorems in Musielak-Orlicz-
Sobolev spaces // J. of Funct. Anal. 2018. V. 275. № 9. P. 2538-2571.
15. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.
16. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.
М., 1973.
17. Benkirane A., Sidi El Vally M. Variational inequalities in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces // Bull. Belg.
Math. Soc. Simon Stevin. 2014. V. 21. № 5. P. 787-811.
Стерлитамакский филиал
Поступила в редакцию 13.05.2022 г.
Уфимского университета науки и технологий,
После доработки 17.11.2022 г.
Елабужский институт
Принята к публикации 28.11.2022 г.
Казанского (Приволжского) федерального университета
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
